Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Урок решения задач по теме "Площади плоских фигур"

Урок решения задач по теме "Площади плоских фигур"

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Тема: Площади плоских фигур.

Теоремы – труженицы:

  1. Отношения квадратов площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

  2. Если два треугольника имеют равные основания, то площади этих треугольников относятся как высоты;

  3. Если два треугольника имеют равные высоты, то площади этих треугольников относятся как основания.

  4. Основные формулы:

1)hello_html_m1f823960.gif; 2) hello_html_7f74d00c.gif; 3) hello_html_m389c4a6d.gif;4) hello_html_m11e05e0f.gif; 5) hello_html_m2764c5d6.gif;

6) hello_html_m24b7ea23.gif; 7) hello_html_6dd32183.gif;


Площади выпуклого четырехугольника.

1) hello_html_m61ed3e93.gif

2) hello_html_31d92f3.gif;

3) hello_html_m11e05e0f.gif (если в четырехугольник можно вписать окружность)

hello_html_m6f494849.png


Площадь параллелограмма.

1) hello_html_7cae79ab.gif; 2) hello_html_m332d0ac4.gif; 3) hello_html_m28d36401.gif;

S трапеции =hello_html_m5ec5c431.gif - площадь трапеции

Площадь кругового сектора: hello_html_m3c3a13f2.gif (hello_html_23f1ba1.gif- радианная мера центрального угла)

Площадь кругового сегмента: hello_html_m63ee2d1d.gif


Задача: В параллелограмме АВСD, Е – произвольная точка стороны ВС. Доказать, что сумма площадей треугольников АВС и CDE составляет половину площади параллелограмма.

hello_html_m5cf792b5.png

Решение.

ЕМ АВ

АВЕМ и MECD – параллелограммы. SABE = SAEM; SECD= SMDE; SABE+ SECD = ½ SABCD.



Задача: Полуокружность касается сторон АС и ВС треугольника АВС в точках D и Е соответственно и имеет центр на стороне АВ. Найдите радиус этой полуокружности, если ВС = 13см, АВ = 14 см, АС = 15см.

hello_html_69051882.png

Решение.

1) OD=OE=r? ODAC? OEBC

S∆AOC= hello_html_796a53c7.gif

SОВС=hello_html_19c1a815.gif

S∆ABC= S∆AOC + S∆BOC = hello_html_7f6ef4ac.gif+hello_html_m252a6169.gif=14r

2) S∆ABC=hello_html_2f9f804b.gif; p=21 см

S∆ABC=hello_html_153f5937.gif84 (см)

3) 14r=84

r=6 (см)

Ответ: r=6

Замечание: Вместо опорного элемента выбрана площадь, т.е. задача решена методом площадей.


Задача: площадь ∆АВС равна 30см2. На стороне ВС взята точка D так, что AD : DC = 2:3. Длина перпендикуляра DE, проведенного на сторону ВС, равна 9мс. Найдите ВС.

hello_html_mbb6a300.png

Решение.

∆АВD и ∆BDC имеют общую сторону BF; следовательно их площади относятся как длины оснований, т.е. SABD: SBDC=AD : DC = 2 : 3

SBDC= 3/5 SABC= 18 (см2)

SBDC = ½ BC DE, 18 = ½ ВС  9; ВС = 4см.

Ответ: ВС = 4см


Задача: окружность, вписанная в ∆АВС, делит основание АС точкой касания на отрезки а и в. Найти площадь ∆АВС, если известно, что В = 600.

hello_html_45e40d21.png

Решение.

OF = OE = OD = r

AF = AD = a.

CD = CE = в

ВО – биссектриса В => ОВЕ = 300.

ctg300=hello_html_m776e2d4d.gif=r ctg300 = rhello_html_59305994.gif

BF=BE= rhello_html_59305994.gif

AC=a+b

AC=a+ rhello_html_59305994.gif

BC=b+ rhello_html_59305994.gif

S∆ABC = Pr; P=hello_html_6b80a9ec.gif

S∆ABC = (a+b+ rhello_html_59305994.gif)  r


S∆ABC = hello_html_3e902cf3.gif

hello_html_3b4df310.gif= (a + b + rhello_html_59305994.gif)r

hello_html_m273e1206.gif= (a + b + rhello_html_59305994.gif)2r2

abhello_html_59305994.gif= (a + b +hello_html_59305994.gif)r

S∆ABC = abhello_html_59305994.gif

Ответ: SABC = abhello_html_59305994.gif


Примечание: Радиус r нас не интересовал, он необходим был как средство для отыскивания площади.


Задача: В четырехугольнике ABCD Е – середина АВ, F – середина CD. Доказать, что EBFD в два раза меньше площади четырехугольника АВСD.

hello_html_m10b731b2.png

Решение.

BD – диагональ ABCD,

SAED = SBED;

SBFD= SBFC;

SBEDF= 0,5 SABCD

Ключевой момент: Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника.



Задача: В равнобедренной трапеции (равнобокой) высота равна Н, а диагонали взаимно перпендикулярны. Найти площадь трапеции.

Ключ: площадь четырехугольника, диагонали d1 и d2 которого перпендикулярны, вычисляют по формуле: hello_html_mdbf1ca.gif

hello_html_m30432482.png

Решение.

1 способ:

∆ВКО – прямоугольный и равнобедренный. ВК = КО

AFO : AF =OF

ВК + AF = KF

½ ( BC + AD) = H

Sтр.= ½ (BC + AD)  H = HH = H2

2 способ:

BD=hello_html_8e56e7e.gif

Sтр.=hello_html_m585d35dd.gif


Задача: найти площадь трапеции по двум диагоналям 17 и 113, и высоте 15

hello_html_61b081b8.png

Решение.

1) ВР AD; СFAD

2) ∆АСЕ: по теореме Пифагора hello_html_m21544daf.gif

3) ∆BPE: по теореме Пифагора hello_html_m4a729a04.gif

4) AE + PD = BC + AD +120

5)SABCD= hello_html_m48ad03a7.gif

Ответ: SABCD = 900



Задача: В ∆АВС на сторонах АВ и ВС взяты точки К и Р так, что hello_html_m34f2568.gif; hello_html_4112c7d3.gif.

Прямые АР и СК пересекаются в точке Е. найдите площадь треугольника АВС, если известно, что площадь ∆ВСЕ=4см2

hello_html_m4d2cfdf5.png

Решение.

  1. Пусть АК=х, ВК=2х, ВР=у, СР=2у.

  2. РМКС; по теореме Фалеса: hello_html_c8bf5e4.gif

ВМ=hello_html_m1b704854.gifМК=hello_html_m5f640c3e.gifВК=2х=х; КМ=hello_html_m155ef22c.gifх

3) ∆АКЕ∆АМР, hello_html_m379e83ce.gif , т.е. hello_html_m643060d6.gif ; КЕ=hello_html_171d2c54.gifМР

hello_html_m3d83b480.gif; т.е. МР=hello_html_m5f640c3e.gifКС. В итоге получаем, что КЕ=hello_html_55c57abe.gif

ЕС=hello_html_1190796.gif

4) ∆ВЕС и ∆ВКС. У них высота, проведенная из вершины В, общая, значит, их площади относятся как основания, т.е. hello_html_m6d8b6c93.gif

hello_html_m4176aac3.gif = hello_html_m99a7dc.gif(см2)

5) ∆ВКС и ∆ АВС, у них высота, проведенная из вершины С – общая, значит, их площади относятся как основания: hello_html_33bd17f9.gif, получаем:

SABC = hello_html_m41fd11da.gif7 (см2)

Ответ: SABC = 7 см2


Задача : Если ABCD – трапеция с основаниями AD и Вс, а Е – точка пересечения ее диагоналей, то треугольники АВЕ и CDE равновелики.

hello_html_6cf89bdf.png

Разные способы доказательства.

I способ:

SВСЕ =hello_html_m22cd598a.gif ; SСЕD =hello_html_m6385ebf0.gifhello_html_m23785cf1.gif hello_html_4861bcde.gif BE × CE hello_html_m23785cf1.gif SВСЕ = SСЕD

II способ:

S∆ABE = S∆ABD - S∆AED

S∆CED = S∆ACD - S∆AED

SABD = SACD

(AD и Н – общие, высота проведена из В и С).

SABD = SACD

hello_html_6cf89bdf.png

Краткое описание документа:

- Одна из целей – дать учащимся, проявляющим повышенный интерес к математике, возможность углубленного изучения основного курса путем рассмотрения задач, требующих разного подхода при своем решении.
- Развить математическое мышление учащихся.
- Расширить математический кругозор.
- Развить интерес к предмету и его изучению.
- Подготовить учащихся к учебе в ВУЗе.
Назначение этой работы – помочь учащимся и учителю в достижении этих важных целей, которые стоят перед ними.

Теоремы – труженицы:

1)                              Отношения квадратов площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

2)                              Если два треугольника имеют равные основания, то площади этих треугольников относятся как высоты;

3)                              Если два треугольника имеют равные высоты, то площади этих треугольников относятся как основания.


Автор
Дата добавления 20.04.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров322
Номер материала 489595
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх