Урок решения задач по теме "Площади плоских фигур"

Предпросмотр материала:

Тема: Площади плоских фигур.

Теоремы – труженицы:

1) Отношения квадратов площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

2) Если два треугольника имеют равные основания, то площади этих треугольников относятся как высоты;

3) Если два треугольника имеют равные высоты, то площади этих треугольников относятся как основания.

4) Основные формулы:

1); 2) ; 3) ;4) ; 5) ;

6) ; 7) ;

Площади выпуклого четырехугольника.

2) ;

3) (если в четырехугольник можно вписать окружность)

Площадь параллелограмма.

1) ; 2) ; 3) ;

S _{трапеции}= - площадь трапеции

Площадь кругового сектора: (- радианная мера центрального угла)

Площадь кругового сегмента:

Задача: В параллелограмме АВСD, Е – произвольная точка стороны ВС. Доказать, что сумма площадей треугольников АВС и CDE составляет половину площади параллелограмма.

Решение.

ЕМ॥ АВ

АВЕМ и MECD – параллелограммы. S_∆_ABE = S_∆_AEM; S_∆_ECD= S_∆_MDE; S_∆_ABE+ S_∆_ECD = ½ S_ABCD_.

Задача: Полуокружность касается сторон АС и ВС треугольника АВС в точках D и Е соответственно и имеет центр на стороне АВ. Найдите радиус этой полуокружности, если ВС = 13см, АВ = 14 см, АС = 15см.

Решение.

1) OD=OE=r? OD^AC? OE^BC

S_∆AOC=

S_∆_ОВС=

S_∆ABC= S_∆AOC+ S_∆BOC= +=14r

2) S_∆ABC=; p=21 см

S_∆ABC=84 (см)

3) 14r=84

r=6 (см)

Ответ: r=6

Замечание: Вместо опорного элемента выбрана площадь, т.е. задача решена методом площадей.

Задача: площадь ∆АВС равна 30см². На стороне ВС взята точка D так, что AD : DC = 2:3. Длина перпендикуляра DE, проведенного на сторону ВС, равна 9мс. Найдите ВС.

Решение.

∆АВD и ∆BDC имеют общую сторону BF; следовательно их площади относятся как длины оснований, т.е. S_∆_ABD: S_∆_BDC=AD : DC = 2 : 3

S_∆_BDC= ³/₅S_∆_ABC= 18 (см²)

S_∆_BDC = ½ BC × DE, 18 = ½ ВС × 9; ВС = 4см.

Ответ: ВС = 4см

Задача: окружность, вписанная в ∆АВС, делит основание АС точкой касания на отрезки а и в. Найти площадь ∆АВС, если известно, что ÐВ = 60⁰.

Решение.

OF = OE = OD = r

AF = AD = a.

CD = CE = в

ВО – биссектриса ÐВ => ÐОВЕ = 30⁰.

ctg30⁰==r ctg30⁰= r

BF=BE= r

AC=a+b

AC=a+ r

BC=b+ r

S_∆ABC= Pr; P=

S_∆ABC = (a+b+ r) × r

S_∆ABC =

= (a + b + r)r

= (a + b + r)²r²

ab= (a + b +)r

S_∆ABC = ab

Ответ: S_∆_ABC = ab

Примечание: Радиус r нас не интересовал, он необходим был как средство для отыскивания площади.

Задача: В четырехугольнике ABCD Е – середина АВ, F – середина CD. Доказать, что EBFD в два раза меньше площади четырехугольника АВСD.

Решение.

BD – диагональ ABCD,

S_∆_AED = S_∆_BED;

S_∆_BFD= S_∆_BFC;

S_BEDF= 0,5 S_ABCD

Ключевой момент: Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника.

Задача: В равнобедренной трапеции (равнобокой) высота равна Н, а диагонали взаимно перпендикулярны. Найти площадь трапеции.

Ключ: площадь четырехугольника, диагонали d₁ и d₂ которого перпендикулярны, вычисляют по формуле:

Решение.

1 способ:

∆ВКО – прямоугольный и равнобедренный. ВК = КО

∆AFO : AF =OF

ВК + AF = KF

½ ( BC + AD) = H

S_тр_.= ½ (BC + AD) × H = H×H = H²

2 способ:

BD=

S_тр.=

Задача: найти площадь трапеции по двум диагоналям 17 и 113, и высоте 15

Решение.

1) ВР^ AD; СF^AD

2) ∆АСЕ: по теореме Пифагора

3) ∆BPE: по теореме Пифагора

4) AE + PD = BC + AD +120

5)S_ABCD=

Ответ: S_ABCD= 900

Задача: В ∆АВС на сторонах АВ и ВС взяты точки К и Р так, что ; .

Прямые АР и СК пересекаются в точке Е. найдите площадь треугольника АВС, если известно, что площадь ∆ВСЕ=4см²

Решение.

1) Пусть АК=х, ВК=2х, ВР=у, СР=2у.

2) РМ॥КС; по теореме Фалеса:

ВМ=МК=ВК=2х=х; КМ=х

3) ∆АКЕ~∆АМР, , т.е. ; КЕ=МР

; т.е. МР=КС. В итоге получаем, что КЕ=

ЕС=

4) ∆ВЕС и ∆ВКС. У них высота, проведенная из вершины В, общая, значит, их площади относятся как основания, т.е.

= (см²)

5) ∆ВКС и ∆ АВС, у них высота, проведенная из вершины С – общая, значит, их площади относятся как основания: , получаем:

S_∆_ABC = 7 (см²)

Ответ: S_∆_ABC= 7 см²

Задача : Если ABCD – трапеция с основаниями AD и Вс, а Е – точка пересечения ее диагоналей, то треугольники АВЕ и CDE равновелики.

Разные способы доказательства.

I способ:

S_∆_ВСЕ= ; S_∆_СЕ_D= BE × CE S_∆_ВСЕ = S_∆_СЕ_D

II способ:

S_∆ABE = S_∆ABD - S_∆AED

S_∆CED = S_∆ACD - S_∆AED

S_∆_ABD = S_∆_ACD

(AD и Н – общие, высота проведена из В и С).

S_∆_ABD = S_∆_ACD

Краткое описание материала

- Одна из целей – дать учащимся, проявляющим повышенный интерес к математике, возможность углубленного изучения основного курса путем рассмотрения задач, требующих разного подхода при своем решении.
- Развить математическое мышление учащихся.
- Расширить математический кругозор.
- Развить интерес к предмету и его изучению.
- Подготовить учащихся к учебе в ВУЗе.
Назначение этой работы – помочь учащимся и учителю в достижении этих важных целей, которые стоят перед ними.

Теоремы – труженицы:

1) Отношения квадратов площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

2) Если два треугольника имеют равные основания, то площади этих треугольников относятся как высоты;

3) Если два треугольника имеют равные высоты, то площади этих треугольников относятся как основания.

Урок решения задач по теме "Площади плоских фигур"

Математика

Другие методич. материалы

DOCX

20.04.2015

1730

Математика

Другие методич. материалы

Файл будет скачан в формате:

DOCX

Краткое описание материала

Теоремы – труженицы:

1) Отношения квадратов площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

2) Если два треугольника имеют равные основания, то площади этих треугольников относятся как высоты;

3) Если два треугольника имеют равные высоты, то площади этих треугольников относятся как основания.

Автор материала

Храмушкина Галина Геннадьевна

учитель математики

На сайте: 11 лет и 1 месяц
Всего просмотров: 103049
Подписчики: 0
Всего материалов: 25

103049
просмотров
25
материалов
0
подписчиков

Настоящий материал опубликован пользователем Храмушкина Галина Геннадьевна.
Инфоурок является информационным посредником. Всю ответственность за опубликованные материалы несут пользователи, загрузившие материал на сайт. Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете на материал.