Уроки - исследования, математика

                                                      «Уроки - исследования».

   Полнота исследовательской деятельности зависит и от меры увлеченности ученика этой деятельностью, и от умения её выполнять. На уроках математики прививаю школьникам вкус к исследованию, вооружаю их методами научно – исследовательской деятельности. По объёму осваиваемой методики исследования выделяю уроки с элементами исследования и уроки-исследования.

  На уроке с элементами исследования учащиеся отрабатывают отдельные учебные приёмы, составляющие исследовательскую деятельность. По содержанию элементов исследовательской деятельности провожу уроки по выбору темы или метода исследования, по выработке умения формулировать цели исследования, уроки с проведением эксперимента, организую работу с источниками информации, заслушивание сообщений, защиту рефератов и т.д.

  На уроке – исследовании учащиеся овладевают методикой научного исследования, усваивают этапы научного познания.

 Каждый учащийся за время обучения в школе должен приобрести хотя бы скромный опыт в выполнении исследовательских заданий. Поэтому организовываю учебную работу так, чтобы учащиеся ненавязчиво усваивали бы процедуру исследования, последовательно проходя все его основные этапы:

   - мотивация исследовательской деятельности;

   - постановка проблемы;

   - сбор фактического материала;

   - систематизация и анализ полученного материала;

   - выдвижение гипотез;

   - проверка гипотез;

   - доказательство или опровержение гипотез.

    Здесь задача учителя состоит в нахождении простых и удобных приёмов и методов для практической реализации каждого из названных этапов.

Урок по теме «Свойства корней степени n»

 (урок с элементами исследования)

Тип урока:  урок  систематизации и обобщения  учебного материала.

 Характеристика темы:  Преподавание ведётся по учебнику “Алгебра и начала анализа 10» С.М. Никольского для общеобразовательных учреждений.  На данную тему отводится 2 часа. Это второй урок.

Цели урока:

Образовательные: организовать деятельность учащихся

- по проверке и систематизации теоретических знаний  по теме «Свойства корней степени n»;

- по использованию этих знаний при решении типовых задач;

- по применению  знаний  по теме при решении нестандартных задач;

(предполагается достижения учащимися на уроке высокого уровня знаний).

 Развивающие:  продолжить формирование

- исследовательских умений учащихся;

-  математической речи;

- внимания, памяти, мышления высокого уровня (креативного мышления).

 Воспитательные: продолжить формирование системы нравственных отношений к коллективу, себе;

- воспитывать толерантность

Формы работы организации познавательной деятельности: индивидуальная, групповая, фронтальная

Методы работы на уроке:

Основной метод -  деятельностный

 По источнику знаний:

1)     Словесный (объяснение, дискуссия)

2)     Наглядный (плакаты, демонстрация, презентация)

3)     Практический (работа с учебником, с раздаточным материалом)

 По стимулированию мотивации:

1)     Эмоциональный (поощрение, создание ситуации успеха)

2)      Познавательный (создание проблемной ситуации, побуждение к поиску решений)

3)      Социальный (создание ситуации взаимопомощи в группе, заинтересованность в результатах своей работы)

Метод научного познания (анализ  и синтез при решении творческого задания, метод «Мозговой штурм»)

 Методы контроля и самоконтроля:

1)      Устный (фронтальный опрос);

2)      Письменный (лист систематизации и обобщения теоретических знаний, оценочный лист, лист самоконтроля).

Оборудование:

1)     Интерактивная доска SMART;

2)     Презентация к уроку в программе Notebook;

3)     Листы  систематизации и обобщения  знаний;

4)     Листы бумаги А-4, фломастеры.

5)      Оценочные листы.

Структура урока:

1)      Организация начала занятия; вступительное слово учителя, в котором он подчеркивает значение материала изученной темы или тем, сообщает цель и план урока(6 мин);

2)      выполнение учащимися индивидуально и коллективно различного рода устных и письменных заданий обобщающего и систематизирующего характера, вырабатывающих обобщенные умения, формирующих обобщенно-понятийные знания, на основе обобщения фактов(15 мин);

проверка выполнения работ, корректировка (при необходимости);

3)       организация  учебно – исследовательской деятельности на основе ТРИЗ (15 мин);

4)      оценка результатов урока(5 мин);

5)      подведение итогов, задание на дом(4 мин).

Ход урока

1)      Организация начала занятия

Мы продолжаем изучать главу «Корень степени n». Ввели  понятия корня n-ой степени,  корня чётной и нечётной степеней, арифметического корня,  рассмотрели свойства корня степени n.   Эту  тему мы изучали и в 9 классе. Сейчас наши знания в виде красивых, но отдельных бусин. Как вы думаете,  что  мы должны сделать на этом уроке?   (обобщить и систематизировать знания по  о свойствах корней n-ой степени, научиться применять их при преобразовании выражений…)

– Для чего, по-вашему, нужен этот материал?  (уметь  преобразовывать выражения, решать уравнения)

– Совершенно верно.  Я сегодня для вас приготовила сюрприз в виде великолепного математического выражения!  Но об этом позже.

– Какие цели поставите вы перед собой на сегодняшний урок?   (ученики формулируют свои цели: “ обобщить и систематизировать знания о свойствах корней n-ой степени, научиться применять их при преобразовании выражений…)

- Я согласна с вашими целями. Они совпадают с моими.

- В  качестве эпиграфа  я взяла слова Александра Даниловича Александрова: «Холодные числа и внешне сухие формулы математики полны внутренней красоты и жара сконцентрированной в них  мысли».  В конце урока вернёмся к этому  высказыванию, и вы   выразите своё отношение к нему.

2)     Обобщение и систематизация знаний

 Вопросы классу:  повторим основные определения.

– Что называется корнем n-ой степени из числа a?  (корнем n-ой степени из числа а называется число, n-ая степень которого равна а.)

– Что называется арифметическим корнем n-ой степени из числа a?  (арифметическим корнем n-ой степени из неотрицательного числа а называется неотрицательное число, n-ая степень которого равна а.)

-  Перед вами «Лист  систематизации и обобщения  теоретических знаний» по теме «Свойства  корня степени n».  Предлагаю каждому самостоятельно заполнить этот лист, потом обсудить в группе и вынести на общее обсуждение.

Лист систематизации и обобщения  теоретического материала

Свойства  корня n–ой степени.

1.Корень из произведения.

Если ……………………………………………., то ……………............................................

Если ……………………………………………., то ……………............................................

        Если ……………………………………………., то ……………............................................

     Примеры:

    2.Корень из дроби.

Если …………………………………………….., то ………………………………………...

Если ……………………………………………., то ……………............................................

Если ……………………………………………., то ……………............................................

      Примеры:

     3.Извлечение корня из корня.

Если ………………………………………………, то …………….........................................

Если ………………………………………………, то …………….........................................

Примеры:

      4.Основное свойство корня.

Если ……………………………………………….., то ……………......................................

Примеры:

Какими свойствами вы бы дополнили этот список?

Молодцы! Правильно! Я приготовила вам сводные таблицы по теме. Они помогут вам при подготовке к  ЕГЭ.

- Устный счет

 3)  Учебно – исследовательская деятельность

- А вот и  сюрприз!

- Как вам нравится это выражение?

- Какое желание возникает? (не решать…)

- На основе ТРИЗ (теории решения изобретательских задач) можно сформулировать советы – принципы решения математических задач, которые могут помочь вам избежать многих ошибок и подсказать, как найти решение.

Принцип отсроченного действия. После прочтения задачи первое желание, которое возникает – это не решать ее. Пойди на поводу у этого желания, повремени с преобразованиями и другими действиями. Возможно, именно в этот момент ты подметишь полезную закономерность.

Принцип максимума локальной информации. На каждом шагу процесса поиска решения необходимо стремиться к получению максимальной информации из структуры полученной ситуации.

Принцип правильности решения. Необходим как локальный контроль (каждый шаг в решении проверять дважды), так и глобальная проверка (проверка результата решения, хотя бы частично, на правильность и реальность).

Принцип отсечения ложных гипотез. В процессе решения задачи часто приходиться различного рода предположения (выдвигать гипотезы). Главное, чего здесь следует опасаться – это не пойди на поводу у ложной гипотезы.

Принцип непрерывности логических цепочек. Нельзя использовать недоказанные утверждения в процессе решения, ибо недоказанное утверждение может оказаться неверным, а из неверного утверждения можно вывести и истину и ложь с помощью правил рассуждения

Принцип полноты пространств альтернатив. Принцип утверждает необходимость исчерпывающего учета всех необходимых составных частей основания. Или все возможные случаи должны быть рассмотрены.

Принцип простоты. Выбранное решение поставленной задачи должны быть достаточно простым.

Принцип системности решения. Решая задачу, после того как решение нами осмыслено, мы своеобразно обращаемся к надсистеме (с точки зрения ТРИЗ) и ее базе данных, стараясь набросить на задачу некую информационную сеть. Затем мы приступаем к анализу составных частей и структуры задачи, привлекая для этого соответствующие подсистемы и информационное обеспечение (в ТРИЗ это называется переход в подсистему). Этот системный подход может повторяться многократно, причем на разных уровнях. Отсюда однозначно вытекает заключение: необходимое условие решение задачи – это знание соответствующей теории, без которой информационная сеть будет с просветами.

 - Руководствуясь этими принципами, проведём исследование этой задачи.  Этот список можно принять за схему исследования. Предлагаю организовать работу по методу «Мозгового штурма».

 - Вы знаете, что выслушать надо даже самые невероятные предположения.  И никакой критики! Удачной работы!

(Работа с задачей)

- Молодцы! Упростили такое сложное выражение!  В одиночку с таким заданием очень сложно справиться, а вместе – вы сила!  Будьте дружными, всегда помогайте друг другу!

 - Давайте ещё раз прочитаем высказывание  А.Д.  Александрова.  Вы согласны с ним?

4)  Оценка результатов урока

- Итак, сегодня на уроке  мы систематизировали и обобщили знания по теме «Свойства  корня степени n».  Таблицы, составленные на уроке, вложите в теоретическую тетрадь. Они вам помогут в 11 классе при подготовке к ЕГЭ.

-  Вернёмся к целям нашего урока.  Какие цели достигнуты, а какие нет?

- У каждого есть лист самоконтроля. Заполните его.

ТЕМА УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ:         Свойства степени n
Что должен знать/уметь	Знаю/умею	отметка		Мои затруднения	Рекомендации
		Моя	Учителя
Определение корня степени n   Определение арифметического корня степени n  Формулу корня степени n  из дроби Формулу корня степени n из произведения  Формулу корня из корня Основное свойство корней					Самоконтроль:

5) Подведение итогов, задание на дом

- Нарисуйте   в корне степени n смайл.

Классно!

 Мне не очень!

 

 Вовсе не понравилось

 Д/З № 370, № 373 (д, е, ж, з), №379 (е), №374 (в, г)

Спасибо за урок!

УРОК-ИССЛЕДОВАНИЕ ПО ТЕМЕ: «ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ СУММЫ И РАЗНОСТИ ДВУХ ВЫРАЖЕНИЙ» (по учебнику « Алгебра 7»  С.М. Никольского)

Цель  урока:

Вывести формулы квадратов суммы и разности двух чисел.

Сформировать умение учащихся практически применять эти формулы для упрощения выражений.

Воспитывать активность, внимательность, самостоятельность.

Развивать математическую речь, память, интерес к математике, умение логически рассуждать.

Ход  урока.

Введение.

«Ещё в глубокой древности было подмечено, что некоторые многочлены можно умножать короче, быстрее, чем остальные. Так появились формулы сокращённого умножения. Их несколько. Сегодня  вам предстоит сыграть роль исследователей и «открыть» две из этих формул».

I. Устные  упражнения.   

1. Найдите  квадраты  выражений.

    b ;  - 3 ;  6а ;  7х² у³.

2. Найдите  произведение  5 b  и  3 с. Чему  равно  удвоенное  произведение  этих  выражений?

3. Прочитайте  выражения.

            а)  х + у                  в) (к + 1)²                д)  (а –b)²

б)  с² + р²                г)  р – у                    е)    с² – х²

4. Перемножить  данные  многочлены.

( 4 – а) · (3 + а).

5.Объясните, как умножить многочлен на многочлен.

II. Новый  материал.

                                           Исследовательская работа.

Для исследовательской работы учащиеся объединяются в группы. В них входят ребята с разной математической подготовкой.  Каждой группе предлагается заполнить на доске три строки таблицы, перемножив пары двучленов, приведённых в этой строке. После того как ребята справились с заданиями, один из них выходит к доске и записывает в правом столбце таблицы полученный ответ. Средняя часть таблицы закрыта.

Задание:  Найти  произведение  данных  многочленов.

I	II	III
1)  (а + b) (а +b) 2)  (с + d ) (d + c) 3)  (x – y) (x – y) Из  Д / З.  № 506 (г) (x + 10) (x + 10) (3a – 1) (3a – 1) (5 – 6b) (5 – 6b)	(а +b)2 (c + d)2 (x – y)2 (x + 10)2 (3a – 1)2 (5 - 6b)2	= а 2 + 2аb + b2 = c2 + 2 c d + d2 = x2 – 2 x y – y2 = = =

Вопросы:  1) Есть  ли  нечто  общее  в  условиях  и  ответах?

                   2) Можно ли  выражения  в  I  cтолбце  записать  короче?

 Получив ответы, учитель открывает II столбец.                 

( Открыть  II  столбец)

- Вы  уже  приступили  к  исследованию  темы  урока,  поскольку  находили  произведение    двух  одинаковых  двухчленов (1 столбец таблицы),  т.е.  возводили  в  квадрат  сумму  и  разность  двух  выражений (2 столбец таблицы).

Обсуждение полученных результатов

Анализ  III  столбца:

1)      После  приведения  подобных  членов  подсчитайте,  сколько  получилось  членов  в  каждом  многочлене?    (ответ:  трёхчлен)

2)      Что представляет  собой 1^й, 2^й  и  3^й  члены  по  сравнению  с 1-м  и  2-м  выражениями, стоящими  в  основании  соответствующей  степени?

1-й  член – квадрат  первого  выражения.

2-й  член – удвоенное  произведение  первого  и  второго  выражений.

3-й  член – квадрат  второго  выражения.

Итог.

Учащиеся записывают общую формулу квадрата суммы двух чисел и дают словесное описание.

(а + b)² =  а ² + 2аb + b²  - формула  сокращённого  умножения.

(подчёркивается, что эта формула в дальнейшем будет применяться для возведения в квадрат суммы двух выражений).

Исследование начинается с вопросов.

1) Изменяется  ли  результат, если  возвести  в  квадрат  не  (а + b)², а  (а – b)?

2) Как можно проверить наше предположение?

(Выясняется, что можно проверить, воспользовавшись таблицей, если во всех скобках левого столбца знаки «+» поменять на «- «).

Учащиеся (проверка происходит в группах)  проверяют  результат  и  выясняют, что  « - «  стоит  только  перед  удвоенным  произведением.

(а – b)² =  а ² – 2аb + b²

 -Для  чего  нужны  формулы?  ( Для  упрощения  выражений)

Задание: Сформулируйте  эти  две  формулы, а  затем  прочитайте  по  учебнику стр.111 и стр. 114.

Приступаем  к  работе  компактным  методом.

Первый  шаг.      Ученики  выполняют  упражнение: «Разделить  правило  чёрточками  на  отдельные  указания».

Квадрат  суммы  двух  выражений ║ равен  квадрату  первого  выражения  ║  плюс  удвоенное  произведение  первого  и  второго  выражений  ║  плюс  квадрат  второго  выражения.

Расстановку  чёрточек  сверяют

Второй  шаг.      Учитель  даёт  образец  выполнения  упражнения  с  помощью  подготовленного  к  работе  правила.

Третий  шаг.       В  соответствии  с  образцом,  указанным  учителем,  вызванный  ученик  читает  правила  по  учебнику  и, останавливаясь  после  каждой  чёрточки, выполняет  соответствующую  часть  упражнения:

«Квадрат  суммы  двух  выражений (убедиться, что  дан  именно  квадрат  суммы

(х² + 2хy)², а  не  что-либо  другое)  равен  квадрату  первого  выражения (записывает: (х²)²)  плюс  удвоенное  произведение  первого  и  второго  выражений (выполняет  это  указание: 2 (х²) (2хy))  плюс  квадрат  второго  выражения (записывает: (2хy)²  и  упрощает  полученное  выражение  х⁴ + 4 х³y + 4 х²y²)

Остальные  следят  за  работой  учащегося, отвечающего  на  доске:

 а) (х² + 2хy)²

                б) (8х + 3)²

в) (10х – 7 y)²

г) (1/2а + 6с)²

 III. Актуализация знаний.

Групповая работа.

Каждая группа работает  самостоятельно, получив тестовое задание.

1)      Выбрать  правильный  ответ.

Задания	А	Б	В
1) (с + 11)2	c2 + 11c +121	c2 - 22c + 121	c2 +22c + 121
2) (7y + 6)2	49y2 + 42y + 36	49y2 + 84y + 36	49y2 – 84y +36
3) (9 – 8y)2	81 – 144y + 64y2	81 – 72y + 64y2	81 + 144y + 64y2
4) (2x – 3y)2	4x2 -12xy + 9y2	81 – 72y + 64y2	4x2 – 6xy + 9y2

Результаты работы с тестами учащиеся записывают на доске.

1	2	3	4
В	Б	А	А

2)      Игра  «Кубик – экзаменатор».

На каждой грани, записан квадрат суммы или разности двух выражений.  Вызванный по желанию ученик, подбрасывает кубик и комментирует выпавшую ему на верхней грани часть формулы, называет многочлен, в который можно преобразовать данный квадрат двучлена.

		(4zy – 3р)2
(b – 3)2	(g + 5c)2	(4c2- 5t)2	(1/2x + 1)2
		(7c + 5p)2

 IV. Итог  урока

(Формулы выводятся с помощью проектора на экран).

Повторить  формулы  квадрата  суммы  и  разности  двух  выражений.

Выяснить  с  учащимися, почему  эти  формулы  называются  формулами  сокращённого  умножения.

-Объясните, как  выводится  формула  (а + b)².

-Является  ли  формула  квадрата  суммы  тождеством.

 Домашнее задание: № 527 (а,г,ж) № 528 (б, г,д,е,з) № 537 (а,в).

УРОК-ИССЛЕДОВАНИЕ ПО ТЕМЕ: « ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА» (по учебнику « Геометрия 7-9» Л.С. Атанасяна, 8 класс)

Цель урока:

Получить формулу площади прямоугольного и произвольного треугольника.                                  

Сформировать умение учащихся практически применять эти формулы научиться для решения практических и теоретических задач.

Воспитывать активность, внимательность, самостоятельность.

Развивать математическую речь, память, интерес к математике, умение логически рассуждать.

Необходимые принадлежности и оборудование:

сигнальные таблички для команд, 4 чертежных треугольника для работы у      доски, разноцветные карточки-оценки, карточки с заданиями.

Ход урока.

Перед началом урока класс делится на 4 команды. Парты расставляются таким образом, чтобы члены каждой команды могли общаться друг с другом. Каждой команде выдается сигнальная табличка, с помощью которой они будут показывать готовность к ответу. Каждый из ответов команды учитель оценивает и выдает соответствующую цветную карточку (красная карточка - 5, зеленая - 4, желтая - 3 и черная - 2).

Учитель показывает листочки с фигурами:

Задача: узнать площади этих фигур.

Чтобы узнать, надо - ? [измерить].

 Площади каких из этих фигур вы можете узнать сейчас?.

Итак, площади фигур 1 и 2 мы можем узнать, измерив длины их сторон и использовав формулы площадей прямоугольника и квадрата; площадь фигур 3 и 4 мы можем узнать, используя вторую аксиому площадей.

Чтобы узнать площадь фигуры 5 мы тоже могли бы воспользоваться 2 аксиомой площадей, т.е. разбить фигуру на более простые фигуры, площади которых мы можем измерять.

Можно ли данную фигуру разбить на прямоугольники? на квадраты?

На какие многоугольники можно разбить любой n-угольник? [треугольники]

Если бы мы смогли найти способ измерения площади треугольника, то мы бы нашли способ измерения площади любого n-угольника. Цель нашего урока - найти такой способ.

Любой исследование начинается с обобщения уже имеющихся знаний. Давайте вспомним, что мы знаем о треугольниках. (несколько фактов ребята предлагают сами, затем учитель задает наводящие вопросы)

 Вспомним, что называется высотой треугольника (отвечает команда, первая поднявшая сигнальную табличку).

На доске изображены треугольники:

В каждом треугольнике необходимо опустить высоту из вершины А на прямую, содержащую сторону ВС ( по 1 человеку от команды; команда 1 - первый треугольник, команда 2 - второй треугольник и т.д.).

 Как в данных случаях будет называться сторона ВС треугольника АВС. [основание]

 Вспомним, по какой формуле вычисляется площадь прямоугольника (необходим ответ, в котором прозвучали бы “смежные стороны”).

Командам выдается листочек с планом исследования. Выполняя задания в соответствии с этим планом, ученики все промежуточные действия и конечные выводы записывают в тетради.

План исследования.

I этап.

Конечная цель: формула площади прямоугольного треугольника.

Ход исследования.

1. Изобразить прямоугольник АВСD. Провести диагональ АС.

2. Сравнить треугольники АВС и ACD. Сравнить их площади.

3. На основе полученного вывода, второй аксиомы площадей и формулы для площади прямоугольника получить формулу площади прямоугольного треугольника.

II этап.

Конечная цель: выявить зависимость между высотой, основанием и площадью остроугольного треугольника.

Ход исследования.

1. Изобразить произвольный остроугольный треугольник.

2. Опустить высоту.

3. Используя вывод I этапа, получить формулу площади треугольника, в которой будут присутствовать высота и основание треугольника.

III этап.

Конечная цель: проверить, является ли полученная формула верной для тупоугольного треугольника, т.е. в том случае, когда высота треугольника не принадлежит его внутренней области.

Ход исследования составить самостоятельно.

После того, как команда получит конечную цель исследования этапа, капитан команды поднимает сигнальную карточку. Учитель вызывает 1 из членов команды к доске. Тот записывает на доске полученный результат, а в это время учитель проверяет записи в тетради ученика.

Итак, для того, чтобы узнать площадь треугольника, надо узнать его высоту и основание. Попробуйте измерить площади фигур, изображенных на рисунке, применив полученные на уроке знания. (командам выдаются картинки:

а)

в)

б)

г)

д)

е)

Площадь клетки считать равной 1ед².

На это задание отводится 5 мин. Подводятся итоги.

Конечное задание: измерить площадь фигуры 5. с точностью до 0,1.

 В классе: №468; 469        

Домашнее задание: п.52 (стр. 125), разобрать теорему и ее доказательство,№470, 472.

УРОК ПО ТЕМЕ: « ИССЛДЕДОВАНИЕ  ЗАДАЧИ ПРИ ПОМОЩИ ЧЕРТЕЖНЫХ ИНСТРУМЕНТОВ»  (по учебнику « Геометрия 7-9» Л.С. Атанасяна,  9 класс, при повторении курса планиметрии)

Цели урока:

Познакомить учащихся с историей задачи;

Закрепить конструктивные умения при выполнении построений циркулем и     линейкой;

Формирование умений выделять существенные свойства фигур, четко формулировать выводы на основе наблюдений;

Активизация деятельности учащихся, побуждая их к творческому поиску;

Формирования навыков самообразования, самостоятельности.

Оборудование урока: ПК, проектор, чертежные инструменты.

Дидактические материалы: Энциклопедический словарь Юного математика, М. Педагогика”.1989, учебник геометрии под редакцией Атанасяна, программное обеспечение (презентация 1 Power Point).

Ход урока

I. Организационный момент

II. Историческая справка

Учитель:

Восемнадцатое столетие было временем удивительных судеб.

Люди без роду, без племени, оказались вознесенными на вершину общества.

И сегодня мы будем говорить, именно о таком человеке.

Член Института Франции (так в революционные годы именовалась Академия наук), незаурядный математик стал академиком за решение нескольких довольно сложных задач по построению циркулем и линейкой. Но мы его знаем как Французского государственного деятеля, полководца, императора Франции.

 

          

 

           Семья была небогата и многодетна, но отец стремился дать сыновьям образование.

В1784 году Наполеон поступил в Парижскую военную школу. Бонапарт обнаружил исключительные способности к математике, оставаясь в этом предмете первым, и будучи уже Французским императором он находил время заниматься ею для собственного удовольствия, чувствовал в ней красоту и объект, достойный приложения остроумия и изобретательности. Одно из свидетельств тому несколько составленных им геометрических задач. И сегодня у нас есть с вами уникальная возможность рассмотреть задачу, составленную самим Наполеоном.

III. Исследование задачи

 

Задача Наполеона.

Чем являются центры равносторонних треугольников, построенных внешним образом на сторонах произвольного треугольника ABC?

Учитель:

Эта задача имеет довольно изящное решение. Но сначала определим, к какому типу она относится? (отвечают ученики).

Учитель:

Тогда несложно сформулировать тему сегодняшнего урока? (отвечают учащиеся).

Учитель:

Тема нашего урока – “Геометрическое исследование задачи при помощи чертежных инструментов”.

Объектом исследования является задача Наполеона.

Идет беседа учителя с классом по следующим вопросам:

Учитель:

Как вы думаете, чем являются центры равносторонних треугольников? – ученики выдвигают гипотезу и составляют план проверки гипотезы.

 

План исследования задачи

Построить произвольный треугольник;

На стороне AB построить равносторонний треугольник;

Построить центр  равностороннего треугольника;

На стороне BC построить равносторонний треугольник;

Построить центр  равностороннего треугольника;

На стороне AC построить равносторонний треугольник;

Построить центр равностороннего треугольника;

Соединить центры ,  ,;

Сравнить отрезки,, ;

Вывод.

Учащиеся выполняют построение по плану.

 

Учащиеся сверяют чертежи и делают вывод о том, чем являются центры равносторонних треугольников, построенных внешним образом на сторонах произвольного треугольника.

Учащиеся отвечают на вопросы учителя:

Можно ли утверждать, что  – равносторонний? – нет;

Учитель:

Да, такого исследования, которое мы провели недостаточно. Этот факт необходимо доказать.

 

Идет беседа с классом по доказательству задачи.

Учитель:

Чем являются точки , ? – центры равносторонних треугольников;

Расшифруйте фразу “Центр равностороннего треугольника” - точка, которая является центром вписанной и описанной окружности;

Чем является центр вписанной окружности? – точка пересечения биссектрис.

 

Для доказательства выполним дополнительное построение: соединим центры ,  с ближайшими двумя вершинами треугольника ABC.

Беседа с классом:

Чем являются отрезки B, C? – биссектрисами; радиусами описанных окружностей;

Что мы можем сказать о радиусах окружности? – они равны;

Каким свойствам обладает равносторонний треугольник? – все углы равны по;

Что мы можем сказать про углыBC, CB? – углы равны по;

Чему равен угол BC? - <BC=-*2=:

Что можно сказать про углы AB, AC? – они равны по;

Какая фигура помимо треугольников есть на чертеже? – шестиугольник

 ABC.

Чему равна сумма внутренних углов n – угольника? -  (n-2);

Чему равна сумма внутренних углов шестиугольника? –  (6-2)=

Чему равна сумма <A + <B  + <C? – ;

Для дальнейшего доказательства отбросим невыпуклые четырехугольники:

Что при этом получим? - шестиугольник ABC.

Отрежем от четырехугольника треугольникиA,C. Как показано на рисунке.

.

Переместим их по плоскости, как указано на чертеже, получим четырехугольник D.

Беседа по чертежу:

Что можно сказать о D,  ? – они равны;

Докажите, что эти треугольники равны? –

D=–по построению;

D=O - по построению;

 – общая.

  D = по трем сторонам, значит, все соответственные элементы равны:

<D=<=;, <D=<=;  , значит <=; значит O2 – равносторонний, что и требовалось доказать.

Можно ли утверждать, что данная задача справедлива всегда? ( Да).

Вывод по задаче делают ученики.

IV. Рефлексия. “Все в твоих руках” (Приложение “Ладонь”).

Ученики на листе бумаги обводят свою левую руку. Каждый палец – это позиция, по которой надо высказать свое мнение.

Большой – для меня было важным и интересным…

Указательный – по этой теме я получил прочные знания…

Средний – мне было трудно (мне не понравилось)…

Безымянный – моя оценка психологической атмосферы…

Мизинец – мне было недостаточно…

V. Домашнее задание

Проверить, будут ли центры равносторонних треугольников, построенных внутренним образом на сторонах произвольного треугольника как на основаниях, являться равносторонним треугольником (Провести геометрическое исследование).

От природы каждый человек склонен к познанию и исследованию окружающего мира, вторая часть домашнего задания будет творческой: собрать материал, систематизировать его, оформить в виде презентации по теме: “Великие люди и математика”. Срок выполнения второй части домашнего задания до конца четверти, в каникулы пройдет конференция по данной теме.

 

 

 

 

 

Фрагмент учебного исследования на уроке геометрии по теме "Теорема Пифагора" (по учебнику « Геометрия 7-9» Л.С. Атанасяна,  8 класс)

   На уроке геометрии по теме "Теорема Пифагора" можно провести учебное исследование.

Мотивирующей (исходной) задачей может служить следующая задача.

З а д а ч а

Для крепления мачты нужно установить 4 троса. Один конец каждого троса должен крепиться на высоте 12 м, другой на земле на расстоянии 5 м от мачты.

Хватит ли 50 м троса для крепления мачты?

Анализируя математическую модель этой практической задачи, учащиеся формулируют проблему – нужно найти гипотенузу прямоугольного треугольника по двум известным катетам.

Для решения этой проблемы можно организовать практическую работу исследовательского характера, предложив учащимся задание по рядам: построить прямоугольные треугольники с катетами 12 см и 5 см; 6 см и 8 см; 8 см и 15 см и измерить гипотенузу.

Результаты заносятся в таблицу.

а	12	6	8
b	5	8	15
с	13	10	17

Затем учащимся предлагается выразить формулой зависимость между длинами катетов и гипотенузой в прямоугольных треугольниках. Школьники выдвигают свои гипотезы, которые обсуждаются.

После установления зависимости между сторонами прямоугольного треугольника эмпирический вывод требует теоретического обоснования, т.е. доказывается теорема Пифагора.

В качестве домашнего задания по этой теме можно предложить исследовательскую работу со следующей мотивирующей задачей.

М о т и в и р у ю щ а я   з а д а ч а

Кто же на самом деле открыл теорему Пифагор?

Почему она долгое время называлась "теоремой невесты"?

Существуют ли другие доказательства теоремы?

Цель этой исследовательской работы – научить учеников использовать дополнительную литературу, применять Интернет в собственной образовательной деятельности.

Урок – исследование (2 часа) по теме «Функции и их свойства» («Алгебра -  9» С.М. Никольского).

Цели урока:

-        Повторить определения четности и нечетности функции 

-       Научить учащихся осуществлять перенос знаний в изменённую ситуацию, применять изученное в нестандартной ситуации.

-       Воспитывать активность, внимательность, самостоятельность.

           Ход урока

Тема изучена. Последнее из изученных свойств - четность. Дети умеют исследовать функцию на четность по определению. Изучаемые в школьной программе функции (линейная, квадратичная, степень с натуральным показателем, обратная пропорциональность, корень квадратный, модуль) исследованы на четность.

Задание. Даны 2 функции. Требуется определить четность функции H(x) = F(x) ± G(x), если:

1). F(x) ! четная, G(x) ! четная,

2). F(x) ! нечетная, G(x) - нечетная.

Вместо этого упражнения предлагается групповая исследовательская работа по теме "Взаимосвязь между свойствами функций" на 2 урока.

Класс разбивается на группы.

Группа выбирает вопрос для исследования, планирует свою деятельность, распределяет обязанности и приступает к работе.

Список вопросов для исследования.

Как связаны между собой четность и монотонность?

Какова четность суммы двух функций, четность которых известна?

Какова четность разности двух функций, четность которых известна?

Какова четность произведения двух функций, четность которых известна?

Какова четность частного двух функций, четность которых известна?

Влияние модуля на четность функции.

Влияние модуля на монотонность функции. 

Учащиеся 9 класса имеют инструкцию по проведению исследовательских работ на выявление свойств математических объектов.

Представим инструкцию и возможные результаты по каждому этапу работы на примере темы "Четность произведения двух функций, четность каждой из которых известна". Ниже даны пункты инструкции (выделены жирным шрифтом), проиллюстрированные примером выполнения работы одной из групп.

1. Собрать первичный фонд информации.

В блиц режиме из опыта учащихся собирается копилка конкретных примеров известных детям функций:

y=2x; y=-2x+5; y=x2; y=x3; y=x4; y=x5; y=|x|; y=3/x; y=x; y=5; y=x; y=5x2+2x-3…

2. Проанализировать фонд.

На этом этапе учащиеся классифицируют собранный фонд функций по четности.

Функции:
Четные	Нечетные	«Ни/ни» (функция не является ни четной, ни нечетной)
y=x² y=  y=|x| y=5	y=2x y= y= y=3/x y=x	y= y=-2x+5 y=5x2+2x-3

3. Составить модели для исследования.

Для четности возможны варианты:

1). Ч*Ч; 2).Ч*Н 3). Н*Н 4).Ч * Ни-ни 5). Н * Ни-ни 6). Ни-ни * ни-ни

4. Собрать дополнительный фонд для того, чтобы можно было исследовать все виды моделей.

Ч*Ч	Ч*Н
y= x²  * y= x²   *|x| y=*|x| y=(-3)*(- x²  )	y= x²  *2x y= * y=|x|*3/x …

5. Исследовать полученные модели на четность (по заданному вопросу).

Дано: у= x²   - четная;

y=  - четная.

Проверить на четность функцию g= x² *  

Исследование.

1). Область определения функции g(x)

D(g): (-; +) - симметричная относительно начала отсчета.

2). g(-x) = ) *== = g(x)

Из 1) и 2) следует, что функция g(x) - четная.

Аналогично проверяются остальные функции вида Ч*Ч.

6. Сформулировать гипотезу.

В данном случае: Ч*Ч=Ч (произведение двух четных функций есть четная функция).

7. Проверить гипотезу на дополнительном фонде (привести примеры и, если есть - контрпримеры).

g=( -3)*(- x²)

1). Область определения функции g(x)

D(g): (-; +) - симметричная относительно начала отсчета.

2). g(-x) = (-3)*(-) =(-3)*(- x²)=g(x)

Из 1) и 2) следует, что функция g(x) - четная.

Контрпримеров мы здесь не нашли.

8. Сформулировать гипотезу в виде теоремы (если… то…).

Если перемножить 2 четные функции, то в результате получится четная функция.

9. Доказать теорему в общем виде.

Дано.

y=f(x) - четная;

y=p(x) - четная.

Доказать:

g(x) = f(x)*p(x) - четная.

Доказательство.

(a)y=f(x) - четная, следовательно,

D(f) - симметрична относительно начала координат;

f(-x)=f(x)

(b)y=p(x) - четная, следовательно,

D(p) - симметрична относительно начала координат;

p(-x)=p(x)

Для функции g(x) = f(x)* p(x)

D(g)=D(f)D(p) - симметрична относительно начала координат (видно на рисунке области определения). Обычно ученики делают здесь обобщение: пересечение отрезков, симметричных относительно начала отсчета, дает отрезок, симметричный относительно начала отсчета.

g(-x)= f(-x)* p(-x)= f(x)* p(x)=g(x) (по (a) и (b)).

Из 1) и 2) следует, что g(x) - функция четная, что и требовалось доказать.

10. Выбрать дальнейший путь исследований.

Возможны следующие направления работы:

увеличивать фонд за счет добавления более сложных функций. Здесь можно доказать теорему о том, что произведение любого количества четных функций есть функция четная (Ч*Ч*Ч*…*Ч=Ч);

рассмотреть частные случаи (отыскание возможных следствий из доказанной теоремы);

составить и проверить обратные утверждения.

11. Применить новую модель.

Учащиеся составляют задачи, для решения которых можно использовать доказанные теоремы.

Например:

Определить четность функции y = x² *|x|*(   -3)*(+715)*33333

12. Представить результаты исследования.

Представление результатов обычно проводится в виде мини-конференции, где поочередно выступают представители каждой группы. Предварительно оформляются отчеты по исследовательской работе, которые вывешиваются в классе. В дальнейшем они используются в учебном процессе.