Уроки по комбинаторике. Урок 1. Логика перебора. Перестановки и размещения

• 1 слайд

  Тема урока:
  «Решение комбинаторных задач. Перестановки и размещения»
  Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа с.Руновка Кировского района» Приморского края
  Разработала учитель математики и информатики Федченко Л.П. – дополнение к поурочному плану
  

• 2 слайд

  Устная работа
  Вычислить:
  а) -12 + 7; е) 5 ∙ (-7);
  б) - 8 ∙ (-4); ж) -36 : (-6);
  в) – 12 : 6; з) - 9 + 17;
  г) - 9 - 5; и) - 13 - 12;
  д) 3 - 16; к) - 9 ∙ 11.
  

• 3 слайд

  Задачи, в которых вопрос формулируется «Сколько способов…» или «Сколько вариантов…», называются комбинаторными,
  а раздел математики, который их изучает - комбинаторика.
  

• 4 слайд

  Методы решения комбинаторных задач
  
  метод перебора, построение дерева возможных вариантов, таблицы
  

• 5 слайд

  
  Рассмотрим задачу
  Государственные флаги многих стран
  состоят из вертикальных полос разных
  цветов. Сколько существует различных
  флагов, состоящих из двух горизонтальных
  полос одинаковой ширины и разного
  цвета - белого, красного и синего?
  

• 6 слайд

  Решение:
  Пусть верхняя полоса флага – белая (Б).Тогда нижняя может быть красной (К) или синей (С). Получили две комбинации – два варианта флага.
  Если верхняя полоса флага – красная, то нижняя может быть белой или синей. Получили ещё два варианта флага.
  Пусть, наконец, верхняя полоса – синяя, тогда нижняя может быть белой или красной. Это ещё два варианта флага.
  
  Всего получили 6 вариантов флагов.
  

• 7 слайд

  Комбинаторика – раздел математики, в котором изучается, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.
  

• 8 слайд

  
  Задачей комбинаторики можно считать задачу перебора объектов по специальным правилам и нахождение числа таких способов.
  

• 9 слайд

  Задача № 2.
  
  1. Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7 (цифры в числе не повторяются)?
  
  
  
  

• 10 слайд

  
  
  11, 14, 17,
  
  41, 44, 47,
  
  71, 74, 77.
  
  Всего: 9 вариантов
  
  
  

• 11 слайд

  1
  4
  7
  14, 17, 41, 47, 71, 74
  
  4
  7
  1
  7
  1
  4
  *
  1 цифра
  2 цифра
  

• 12 слайд

  Вывод:
  Задачи, в которых количество мест и количество предметов равны, называются задачами на перестановки.
  
  Задачи, в которых дается какое-то количество предметов и требуется посчитать число всевозможных их перестановок с выборкой из этих предметов, называются задачами на размещение.
  
  

• 13 слайд

  Физкультминутка
  Из-за парт мы выйдем дружно,
  Но шуметь совсем не нужно.
  Встали прямо, ноги вместе,
  Поворот кругом на месте.
  Хлопнем пару раз в ладошки
  И потопаем немножко.
  А теперь представим, детки,
  Будто руки наши- ветки.
  Покачаем ими дружно,
  Словно ветер дует южный.
  Ветер стих. Вздохнули дружно.
  Нам урок продолжить нужно.
  Подравнялись, тихо сели
  И на доску посмотрели.
  

• 14 слайд

  Самостоятельная работа
  Решение задачи 1.
  9, 90, 99,
  900, 909, 990, 999,
  9000, 9009, 9090, 9099, 9900,
  9909, 9990, 9999
  
  Всего 17 вариантов.
  

• 15 слайд

  Самостоятельная работа
  Задача 2
  В танцевальном кружке занимаются пять девочек: Женя, Маша, Катя, Юля и Даша и
  пять мальчиков: Олег, Вова, Стас, Андрей и Иван. Сколько различных танцевальных пар можно составить? Заполни таблицу и проверь свой ответ.
  
  
  
  
  

• 16 слайд

  Решение Задача 2
  25 пар
  Женя
  Маша
  Катя
  Юля
  Даша
  Олег
  Вова
  Стас
  Андрей
  Иван
  Олег
  Олег
  Олег
  Олег
  Олег
  Вова
  Вова
  Вова
  Вова
  Вова
  Стас
  Стас
  Стас
  Стас
  Стас
  Андрей
  Андрей
  Андрей
  Андрей
  Андрей
  Иван
  Иван
  Иван
  Иван
  Иван
  Женя
  Женя
  Женя
  Женя
  Женя
  Маша
  Маша
  Маша
  Маша
  Маша
  Катя
  Катя
  Катя
  Катя
  Катя
  Юля
  Юля
  Юля
  Юля
  Юля
  Даша
  Даша
  Даша
  Даша
  Даша
  

• 17 слайд

  Закодируем имена танцоров заглавными буквами и
  выпишем все получившиеся варианты
  ОЖ ОМ ОК ОЮ ОД
  ВЖ ВМ ВК ВЮ ВД
  СЖ СМ СК СЮ СД
  АЖ АМ АК АЮ АД
  ИЖ ИМ ИК ИЮ ИД
  
  Всего 25 вариантов.
  

• 18 слайд

  Решение задачи 2 (б)
  
  ББ, БГ, БК, БЧ, ГБ, ГГ, ГК, ГЧ,
  КБ, КГ, КК, КЧ, ЧБ, ЧГ, ЧК, ЧЧ
  
  Так как футболки должны быть разных цветов, то перечеркнем лишние.
  Ответ: 6 вариантов
  

• 19 слайд

  Решение задачи 2 с помощью таблицы.
  

• 20 слайд

  
  Самостоятельная работа
  Решение задачи 3
  Девочка
  Мальчик
  Б
  В
  А
  *
  И
  О
  Я
  Г
  Б
  В
  Г
  Б
  В
  Г
  Б
  В
  Г
  АБ, АВ, АГ, ИБ, ИВ, ИГ, ОБ, ОВ, ОГ, ЯБ, ЯВ, ЯГ
  Всего 12 вариантов
  

• 21 слайд

  Вопросы:
  
  - Какие обозначения удобно вводить при решении комбинаторных задач?
  - В чем состоит особенность задач на перестановки?
  - В чем состоит особенность задач на размещения?
  - Как решаются задачи на перестановки и размещения?
  - Сколько можно составить перестановок из трех элементов?
  

• 22 слайд

  Домашнее задание
  № 864 решить и нарисовать флаги
  в тетрадях,
  № 877,881.
  Подумать: решаем ли мы комбинаторные задачи в повседневной жизни и где?
  

• 23 слайд

  Спасибо
  за урок
  

Тема урока: «Решение комбинаторных задач. Перестановки и размещения.»

Место урока в учебном плане: «Комбинаторика. Случайные события» урок 1/8.

Тип урока: Урок формирования новых знаний

Цели урока:

Образовательные:

·         ввести понятие «комбинаторика», «перестановки», размещения;

·        сформировать представление о комбинаторных задачах и применении их  в жизненных ситуациях;

·        ознакомить с типами задач на перестановки и методами их решения;

·        научить строить дерево возможных вариантов;

·        сформировать умения  решать задачи на перестановки различными представленными методами.

Развивающие:

·        способствовать развитию логического мышления,

познавательного интереса учащихся,

памяти, внимания,

умения сравнивать и анализировать,

   Воспитательные:

·         воспитание интереса к изучению математики,

трудолюбия,

культуры учебного труда,

культуры речи, самостоятельности,

умения работать в коллективе.

Методы обучения: объяснительно-иллюстративный, частично-поисковый, репродуктивный, самостоятельная работа.

Формы познавательной деятельности учащихся: фронтальная, индивидуальная, самопроверка.

УМК: Математика: учебник для 6 кл. под редакцией Г.В.Дорофеева, И.Ф.Шарыгина и др., изд-во «Просвещение», 2008 г., Математика,  5-6 : кн.  для учителя / [С. Б. Суворова, [ Л. В. Кузнецова,     С. С. Минаева,     Л. О. Рослова]. — М. : Просвещение, 2006,  рабочая тетрадь,

Оборудование: ПК или ноутбук, проектор, экран, презентация.

Программное  обеспечение: ОС Windows, MS Power Point, презентация к уроку.

Дидактический материал: цветные полоски бумаги (синяя, красная и белая) для всех учащихся, карточки для самостоятельной работы, карточки для работы на доске.

Литература:

1.     Математика : учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений/      Г. В. Дорофеев, И. Ф. Шарыгин, С. Б. Суворова и др.]; под ред. Г. В. Дорофеева, И. Ф. Шарыгина; Рос. акад. наук, Рос. акад. образования, изд-во «Просвещение». — 10-е изд. — М. : Просвещение, 2008.—302 с.: ил. — (Академический школь­ный учебник).

2.     Математика,  5—б : кн.  для учителя / [С. Б. Суворова,  Л. В. Кузнецова,     С. С. Минаева,     Л. О. Рослова]. — М. : Просвещение, 2006. — 191 с. : ил.

3.     Математика.   6   класс:    поурочные    планы    по   учебнику Г. В, Дорофеева, С. Б. Суворовой, И. Ф. Шарыгина и др. Часть II / авт.-сост. Т. Ю. Дюмина. - Волгоград: Учитель, 2006. -  247 с.

4.     Решение задач по статистике, комбинаторике и теории вероятностей.  7—9  классы. / авт.- сост.  В. Н. Студенецкая. Изд. 2-е, испр. - Волгоград: Учитель, 2006. -428 с.

5.     Уроки математики с применением информационных технологий. 5-10 классы. Методическое- пособие с электронным приложением / Л.И. Горохова и др. 2-е изд., стереотип. -М.: Издательство «Глобус», 2010. - 266 с. (Coвременная школа).

6.     Преподавание математики в современной школе. Методические рекомендации. Владивосток: Издательство ПИППКРО, 2003.

7.     Автор-составитель - Р.И. Махиня, главный методист ПИППКРО, заслуженный учитель РФ, Рецензенты: Г.К. Пак, кандидат физико-математических наук ДВГУ; Е.А. Ланкина,    кандидат    физико-математических  наук ДВГУ.

8.     http://mmmf.math.msu.su/

9.     http://portfolio.1september.ru/

10. http://combinatorica.narod.ru/

План урока:

1.Оргмомент

2.Актуализация знаний.

3.Объяснение нового материала

4.Физкультминутка

5.Формирование знаний и умений

o   самостоятельная обучающая  работа с самопроверкой,

o   решение задач у доски по карточкам и в тетради по учебнику с обсуждением.

6.Итоги урока

7.Дом. задание

Ход урока.

1.    Организационный момент

2.    Актуализация  знаний

o  устная работа

(Слайд 2)

3.     Объяснение нового материала       

Учитель. -  В старинных русских сказаниях повествуется, как богатырь или другой добрый молодец, доехав до распутья, читает на камне: “Вперед поедешь – голову сложишь, направо поедешь – коня потеряешь, налево поедешь – меча лишишься”. А дальше уже говорится, как он выходит из того положения, в которое попал в результате выбора

 Но выбирать разные пути или варианты приходится и современному человеку. Эти пути и варианты складываются в самые разнообразные комбинации. И целый раздел математики, именуемый комбинаторикой, занят поисками ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или ином случае, как из всех этих комбинаций выбрать наилучшую.

      Люди, которые умело владеют техникой решения комбинаторных задач, а, следовательно, обладают хорошей логикой, умением рассуждать, перебирать различные варианты решений, очень часто находят выходы, казалось бы, из самых трудных безвыходных ситуаций. Примером мог бы послужить сказочный герой Барон Мюнхгаузен, который находил выход из любой сложной и трудной ситуации. В жизни эти умения очень часто помогают человеку. Ведь в повседневной жизни нередко перед нами возникают проблемы, которые имеют не одно, а несколько различных вариантов решения. Чтобы сделать правильный выбор, очень важно не упустить ни один из них. Для этого надо осуществить перебор всех возможных вариантов или хотя бы подсчитать их число. Такого рода задачи называют комбинаторными.

Сегодня рассмотрим с вами некоторые задачи  комбинаторики. Мы научимся определять ход их решения, а также познакомимся и научимся применять на практике несколько методов решения комбинаторных задач.

Задача 1. У вас на парте лежат полоски красного, белого и синего цвета.

Соберите, пожалуйста, флаг Российской Федерации.

Как вы расположили полоски?

Молодцы! А какое значение имеют цвета флага нашей страны?

(белый - благородство, синий – честность, красный – смелость)

Замечательно, что вы хорошо знаете флаг своей Родины!

Вы настоящие граждане нашей страны.

Интересно, сколькими способами можно составить флаг из горизонтальных полос белого, красного и синего цвета, если флаг двухцветный?

Эта проблема будет нашей первой задачей, из множества тех задач, решением которых мы сегодня займемся.

Откройте тетради, запишите число и тему урока.

Тема урока: «Решение комбинаторных задач. Перестановки и размещения»

(Слайд 1)

Рассмотрим задачу.

 (Слайд 3)

Из  полосок, лежащих на ваших партах, красного, белого и синего цвета,                                                                                                                                                                                                                                                                     соберите все виды флагов, состоящих из двух горизонтальных полос.

Решение: Пусть верхняя полоса флага – белая (Б). Тогда нижняя полоса может быть красной (К) или синей (С). Получили две комбинации – два варианта флага.
Если верхняя полоса флага – красная, то нижняя может быть белой или синей. Получим ещё два варианта флага.
Пусть, наконец, верхняя полоса – синяя, тогда нижняя может быть белой или красной. Это ещё два варианта флага.
         Всего получили 6 комбинаций – шесть вариантов флагов.

(Слайд 4)

Перед нами нередко возникают проблемы, которые имеют не одно, а несколько различных решений. Обычно одни из них нас устраивают, а другие — нет. Чтобы сделать верный вы­бор, надо рассмотреть все возможные варианты решения. А для этого прежде всего надо найти удобный способ перебора возможных вариантов.

 

. (Слайды 5,6,7)

Эти методы носят следующие названия: метод перебора, построение дерева возможных вариантов, таблицы. (Слайд 7)

Запишите в словарь новое понятие «комбинаторика», комбинаторные задачи.

Рассмотрим следующую задачу.

Задача 2.

Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4, 7 (цифры в числе не повторяются).

 (Слайд 8)

Решение.

Будем выписывать числа в порядке возрастания. Такой спо­соб перебора позволит нам не пропустить никакое из чисел и в то же время не повторить ни одно из них.

Сначала запишем в порядке возрастания все искомые чис­ла, начинающиеся с цифры 1, затем — начинающиеся с циф­ры 4 и, наконец, — с цифры 7.(Слайд 9)

                                                          11, 14, 17,

41, 44, 47,

71, 74, 77. 

Таким образом, из трех данных цифр можно составить 9 двузначных чисел.

Часто процесс перебора удобно осуществлять путем построения специальной схемы — так называемого дерева возможных вариантов.

(Слайд 10)

Эта схема действительно похожа на дерево, правда, "вверх ногами" и без ствола. Знак “*” изображает корень дерева, ветви дерева – различные варианты решения. Чтобы получить двузначное число, надо сначала выбрать первую его цифру, а для нее есть три варианта: 1, 4 или 7. Поэтому из точки * проведены три отрезка и на концах поставлены цифры 1, 4 и 7.

Теперь надо выбрать вторую цифру, а для этого также есть три варианта: 1, 4 или 7. Поэтому от каждой первой цифры проведено по три отрезка, на концах которых снова записано 1, 4 или 7.

Итак, получено всего 9 различных двузначных чисел. Других двузначных чисел из этих трех цифр составить невозможно.

 Откройте учебник на стр. 189. Рассмотрим задачу 1.

Задача 1. Туристическая фир­ма планирует посещение туристами и Италии трех городов: Венеции, Ри­ма и Флоренции. Сколько существу­ет вариантов такого маршрута?

Обозначим города их первыми буквами: В, Р и Ф.

(Замена предметов их условными обозначениями называется кодированием).

Тогда код каж­дого маршрута будет состоять из трех букв, каждая из которых должна ныть использована только один раз, например ВФР или ФРВ.

На рисунке 199 представлено дерево возможных вариантов путешествия.

Учитель: Сравним решения этих задач и скажите в чем  их сходство.

Учащиеся обсуждают решения задач и делается вывод.

Вывод: решение первой задачи сводилось к подсчету, сколькими спо­собами можно переставить три цвета по два, во второй  три цифры по две, в третьей задаче своди­лось к подсчету, сколькими способами можно переставить буквы К, Ж и 3, не меняя количество элементов. (Слайд 12)

Учитель.  Задачи, в которых количество мест и количество предметов равны, являются задачами на перестановки. (Слайд 11)

Задачи, в которых дается какое-то количество предметов и требуется посчитать число всевозможных их перестановок с выборкой из этих предметов, называются задачами на размещение. (Слайд 12)

Все эти задачи достаточно просто решаются с помо­щью дерева возможных вариантов или путем перестановки закодированных элементов.

(Рассмотреть задачу 4 из учебника.)

4. Физкультминута (Слайд 13)

IV. Закрепление нового материала, формирование умений решать задачи.

Самостоятельная обучающая  работа: учащиеся решают задачи на местах по карточкам, лежащим на партах.

   1. С помощью цифр 0 и 9 запишите в порядке возрастания все натуральные числа,  меньшие  10 000. Сколько таких чисел?

9,  90, 99, 900,   ..................................

...................    Ответ: ............................................

  2. В танцевальном кружке занимаются пять девочек: Женя, Маша, Катя, Юля и Даша и пять мальчиков: Олег, Вова, Стас, Андрей и Иван. Сколько различных танцевальных пар можно составить? Заполни таблицу и проверь свой ответ.

	Ж	М	К	Ю	Д
О
В
С
А
И

3.В студии современного танца лучше всех танцуют четы­ре девочки — Аня, Ира, Оля и Яна и три мальчика — Боря, Володя и Гриша. Руководитель студии должен отправить на кон­курс одну танцевальную пару, составленную из мальчика и девочки.  Из скольких вариантов он должен выбирать?

Решите эту задачу, закончив построение дерева возможных вариантов.

 Проверим решения задач. Внимание на экран.  (Слайд 14)

 

(Слайд 16,17)

 

(Слайд18.19)

 (Слайд 20)

Вызвать к доске 4 учащихся для решения задач по карточкам.

Карточка 1. Сколько трёхзначных чисел можно составить, используя цифры 3 и5?

 (Ответ: 8

Карточка 2. На полке лежат 3 книги. Сколькими способами  можно расставить на полке эти книги?

Ответ: 6

3. В классе три человека хорошо поют, двое других играют на гитаре, а еще один умеет показывать фокусы. Сколькими способами можно составить концертную бригаду из певца, гитариста и фокусника? Подсказка: Обозначить буквами певцов -  П1, П2, гитаристов - Г1, Г2,  фокусника -  Ф.

Ответ: 6

Карточка 4.

Витя, Толя и Игорь купили вместе интересную книгу и решили читать ее по очереди. Выпишите все варианты такой очереди. Сколько есть вариан­тов, в которых Игорь на первом месте? Витя не на последнем месте?

Ответ:6

Остальные учащиеся в тетрадях решают задачи № 867, 878. Коллективно обсудить условие задачи № 867(а).

5. Итоги урока.

Вопросы учащимся: (Слайд 21)

- Какие обозначения удобно вводить при решении комбинаторных задач?

- В чем состоит особенность задач на перестановки?

- В чем состоит особенность задач на перестановки?

- Как решаются задачи на перестановки и размещения?

- Сколько можно составить перестановок из трех элементов?

Выставление оценок за урок. (Слайд 22)

Домашнее задание: № 864 решить и нарисовать в тетрадях, 877,881.

 Подумать: решаем ли мы комбинаторные задачи в повседневной жизни и где? 

Спасибо за урок (Слайд 23)