Уроки по теме "Решение иррациональных уравнений"

Использование уровневой дифференциации при изучении темы «Решение иррациональных уравнений и систем уравнений»

Урок1: изучения новой темы

Цель урока

• научить учащихся решать иррациональные уравнения методом возведения в степень

• познакомить с различными способами оформления решения уравнений.

• рассмотреть решение систем иррациональных уравнений.

Ход урока

1) Повторение изученного

Перед изучением новой темы повторяются следующие вопросы:

• Определение множества решений уравнения.

• Определение области допустимых значений уравнения (1выражения)

Решить устно. Найдите ОДЗ выражения, уравнения: а); б) ; в); 4)= х.

• Сформулируйте определение следствия уравнения.

• Сформулируйте определение равносильности уравнений.

Задание:

Будут ли следующие уравнения равносильными: х+1=0 ; х²+2х+ 1=0.

2)Изучение новой темы

После фронтального повторения , переходим к изучению новой темы на основе проблемно -исследовательской технологии.

На доске изображен график. Учитель задаёт вопросы

• Что выражает данный чертёж?

• Как найти точное значение точки пересечения данных графиков?

Ученики предлагают решить систему уравнений

Чтобы решить эту систему левые части приравниваем:

=х-8

Учитель: Уравнение такого вида называют иррациональным.

Определение: Иррациональным называется уравнение , содержащее переменную под знаком радикала.

Задание: Какие из следующих уравнений являются иррациональными?

+x =4; х+2= х +1; =4; у² -2у = z²-3z = 2.

Ставится проблема: как решить иррациональное уравнение.

Учащиеся предлагают решение.

Учитель подводит итог: при решении иррациональных уравнений нужно избавиться от иррациональности и перейти к рациональному уравнению.

Рассматриваются различные способы решения уравнений в зависимости от сложности и различные способы оформления этого решения.

Задание1. Решить уравнение: = х-8.

1способ.

Возведём обе части в квадрат.

( )²= (х-8)² х-2=х²-16х +64 х²-17х-66 =0.х₁=11 или х₂=6.

Учитель: Все ли полученные числа являются решением данного уравнения?

В результате проверки выясняется , что число 6 решением данного уравнения не является.

Запись в тетради.

Проверка: = 11-8; 3=3 ( верно).

=6-8, 2≠-2.

Ответ: х = 11.

Учитель: А можно ли было решить уравнение без проверки?

2способ.

Найдём ОДЗ уравнения: х≥ 2.

Замечаем, что оба числа входят в ОДЗ. Проверка же показала , что число 6 решением не является. Делается вывод, что при нахождении ОДЗ уравнения необходимо выполнить проверку.

Ставится проблем: можно ли решить уравнение без проверки, что необходимо для этого учесть.

3 способ: решение уравнений с использованием равносильности.

= х-8

Ответ : 11.

Подводится итог:

Принадлежность найденных решений ОДЗ ещё не говорит о том , что найденное решение не является посторонним. Всё определяется тем , какого «сорта» нарушение равносильности имело место при решении уравнения.

Но бывают случаи, когда удобно найти ОДЗ.

Учащимся предлагается решить следующее уравнение.

+ = 5.

Найдём ОДЗ.х=4

Проверка показывает, что данное значение корнем уравнения не является.

Следовательно, уравнение вообще решения не имеет.

Класс делится на группы по 4человека.

Задание :решите уравнения.

.1)=8 2)=8.

Фронтально обсуждается план решения уравнений.

Уравнения решаются в группах.

Проверка решения уравнений , а в это время решение уравнений кратко записывается на доске.

1. ОДЗ: ( y-3)(2y+2)

ОДЗ:

(y-3)(2y+2)=64y²-2y -35=0 y₁=7 или y₂= -5.

Проверка показывает , что оба числа являются решением уравнения.

Ответ: 7; -5.

2)ОДЗ: y

=8( y-3)(2y+2)=64y²-2y -35=0 y₁=7 или y₂= -5.

-5 не принадлежит ОДЗ уравнения.

Ответ: 7.

Анализируя оба решения, делается вывод, что ОДЗ первого уравнения шире, чем ОДЗ второго уравнения, поэтому не допустима следующая операция:= , так как сужается область определения уравнения.

В конце урока подводится итог изученного в виде таблицы.

Уравнение

Следствие

Равносильность

= a, a

f(x)=а²

f(x)=а²

f(x)= g²(x)

=

f(x)=g(x)

=h(х)

=h(x)

Таблица раздаётся каждому ученику.

3)Решение систем уравнений.

Учитель: Какие способы решения систем уравнений вы знаете?

Повторяется алгоритм решения систем уравнений.

Задание: решите №421(а). Задание решается на доске с объяснением.

4) Решите самостоятельно.

1уровень: № 421(в)

2 уровень- 3 уровень: № 427(а)

Д о м а : решить уравнение.

1.= ; 2).№421(г)( 1 уровень)

3. + =;4) =1-х(2 уровень)

5) Найдите сумму всех корней уравнения: (х-3)+3=х

6)№427(в) (3 уровень).

2 урок : Урок закрепления изученного.

Цель урока:

• Привить навыки и выработать умения решать простейшие иррациональные уравнения.

• Сформировать умения работы с использованием опорного конспекта

• Выработать алгоритм решения иррациональных уравнений.

Ход урока:

1)Повторение изученного, с целью подготовки к решению уравнений.

Учащимся предлагается решить устные упражнения. (В это время несколько учеников записывают решение домашнего задания на доске.)

• Какие из следующих уравнений являются иррациональными:

а) х+=2; б) х=2+х; в) у +=5; г)-3у=4.

• Является ли число х₀ корнем уравнения:

а)= , х₀=4; б) = , х₀=2; в)= , х₀=6;

г)=-, х₀=0.

• Не решая следующих уравнений, объясните, почему каждое из них

не может иметь корней :

а)+ = -2, б) += - 4.

• Решите уравнения:

а) =16; б)=5; в) =-1; г)(х-4)=0.

2) Проверка домашней работы.

3)Решение упражнений, с целью закрепления.

Уравнения решаются на доске с объяснением.

• =х+3;

• =

• Пусть х₀ неположительный корень уравнения :=х-2.

Найдите 3х₀+1.

• Решите уравнение: =

4)Самостоятельная работа обучающего характера.

• Более подготовленные учащиеся выполняют тест(2-3 уровень). Тест прилагается. (Смотри приложение)

• Менее подготовленные учащиеся решают уравнения по карточкам.

Карточки с заданиями прилагаются. (Смотри приложение)

В конце урока ученики, выполнявшие тест, сдают ответы, получают

контролирующие карточки с ответами. (Смотри приложение)

Работают над ошибками в группах.

Ученики первого уровня получают помощь в процессе решения.

Карточки в конце урока сдаются, проверяются учителем.

5) Домашнее задание: 1уровень: №419(б/в); №420(а).

2 уровень: карточка №3, №422(а)

3 уровень:Карточка№2, карточка№3.

3урок. Урок применения знаний и умений

Цель урока:

• Проверить усвоение изученной темы

Ход урока:

1)Повторение изученного, с целью подготовки к выполнению проверочной работы

Решение теста, с последующей проверкой.

Задание: Выполните тест.

1. Решите уравнение 6+ = 2.

2. Решите уравнение: = х.

3. Укажите промежуток , которому принадлежат все нули функции f(х)= - х

1)(-2; 1] 2)(-2;0] 3)(1; 4)[-1;0]

4.Найдите абсциссы общих точек графиков f(х)= и f(х) = х.

5.Сколько корней имеет уравнение: = х+1?

А) Взаимопроверка

Б) Проверка ответов.

Ответы.№1:Уравнение решений не имеет.

№2:, -.

№3: 1

№4: 1

№5:нет корней

Уравнения , решение которых было особо затруднительными, разбираются на доске.

2)Выполнение разноуровневой проверочной работы

1 уровень №1-№3 (оценка3)

2 уровень: №1- №5. (оценка 4)

3 уровень: №1-№6. (оценка 5)

(Смотри приложение)

3)Домашняя работа:

Индивидуальная разноуровневая домашняя работа. (Смотри приложение)

Основной целью данной домашней работы является закрепление ранее изученного, ученики 3 уровня получают возможность подняться на более высокий уровень, ознакомится с новыми методами решения уравнений.

Алгоритм решения задания №2 описан в индивидуальной карточке, выделять полный квадрат и решать уравнения с модулем ребята умеют.

При решении домашней работы возможна индивидуальная консультация.