Инфоурок Алгебра Другие методич. материалыУрок-конференция "Обобщаем и систематизируем тригонометрию"

Урок-конференция "Обобщаем и систематизируем тригонометрию"

Скачать материал

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Выполните классификацию уравнений по методике решения.docx

Выполните классификацию уравнений по методам решения,

расположив их по группам:

Группа 1. Простейшие уравнения.

Группа 2. Уравнения, решаемые заменой.

Группа 3. Уравнения, решаемые с помощью универсальной подстановки.

Группа 4. Однородные уравнения.

Группа 5. Уравнения, решаемые разложением на множители.

Группа 6. Уравнения, решаемые понижением степени.

Группа 7. Уравнения, решаемые введением вспомогательного угла.

Группа 8. Уравнения, решаемые с использованием свойств тригонометрических функций.

Группа 9. «Увидел сумму – преобразуй в произведение».

«Увидел произведение – преобразуй в сумму».

1)    

2)    

3)    

4)    

5)    

6)    

7)    

8)    

9)    

10)  

11)  

12)  

13)  

14)   

15)  

16)  

17)  

18)  

19)  

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Урок-конференция "Обобщаем и систематизируем тригонометрию""

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 3 месяца

Бухгалтер

Получите профессию

Бухгалтер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ Гимн НО.docx

1.  пусть тебе приятно будет это!о путиХотите, чтоб не старили года,

Хотите быть удачливыми всюду,

Дружите с математикой,

Дружите с ней всегда,

Все в жизни получаться сразу будет.

2. Беду с друзьями легче разделить,

К хорошему хорошее прибавить,

Но как без математики

Нам в наше время жить-

Уместно все сомнения оставить.

3. Ты вспомни: и Евклид, и Архимед,

Прославили великую науку.

На сложные решения они нашли ответ,

Взяв будущего мысли на поруки.

4.Ты сомневайся, но вперед иди,

Ты ошибайся, но стремись к ответу.

Пусть будет математике с тобою по пути

И пусть тебе приятно будет это!

 

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Урок-конференция "Обобщаем и систематизируем тригонометрию""

Получите профессию

Методист-разработчик онлайн-курсов

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ задания по т еме.docx

Задания по теме «Выражения»

Часть В

1.        2002 г. Найти значение выражения:

2.        2006 г. Найти значение выражения:

3.        2007 г. Найти значение выражения: 1.5

4.        2006 г. Найти значение выражения:  и    

5.        2006 г. Найти значение выражения:   49(1-

6.        2008 г. Найти значение выражения:

 

7.     2008 г. Найти значение выражения: если ,

8.     2012 г. Найти значение выражения:

9.        2012 г. В треугольнике АВС . Найти sinB.

10.    2006 г. Найти

11.      2006 г. Найти значение выражения:

12.    2010 г. Найти если

13.      2010 г. Найти произведение наибольшего и наименьшего значений функции

14.       2006 г. Найти значение выражения:

96

15.     2002 г. Найти значение выражения: 

16.       2002 г. Найти значение выражения: 

17.       2002 г. Найти значение выражения: 

Часть С.

18.    2002 г. При каких значениях  а выражение   не равно нулю ни при каких значениях x?

19.      2003 г. Найти множество значений функции

1)    

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Урок-конференция "Обобщаем и систематизируем тригонометрию""

Получите профессию

Экскурсовод (гид)

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ Задания по теме.docx

Задания по теме «Тригонометрические уравнения»

1.       Б  2008г. +24x+12 =

2.       Б  2008г.

3.       Б  2007г. 4sinx + 3cosx = 5      Найдите tg.

4.     А  2002г. Укажите наименьший неотрицательный корень уравнения

5.     Б  2006г. Найдите число корней уравнения

6.     Б  2006г. Найдите число положительных корней уравнения

7.       Б  2003г. Укажите число корней уравнения:

1)       на промежутке

2)    4 на промежутке

Часть С.

8.      2006 г. Определите, при каких а имеет хотя бы одно решение уравнение

9.     2007 г. Решите уравнение

10.   2007 г. Решите уравнение

11.   2007 г. Решите уравнение

12.   2006 г. Решите уравнение

13.    2006 г. Решите уравнение

14.   2006 г. Решите уравнение

15.   2006 г. Найдите число корней уравнения

16.   2012 г. Решите уравнение

17.   2012 г. Решите уравнение  =0

18.   2012 г. Решите уравнение

19.    2008 г. Решите уравнение

20. 2005 г. Решите уравнение

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Урок-конференция "Обобщаем и систематизируем тригонометрию""

Получите профессию

HR-менеджер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ Памятка по тригонометрии.doc

Памятка по теме «Тригонометрия»

 

Основные тригонометрические формулы

     I.      Тригонометрические тождества:

 

1.    sin2α + cos2α = 1

2.    tg α =

3.    ctg α =

4.    tgctg = 1

5.    1 + tg2 =

6.    1 + ctg2 =

 

 II.      Значения тригонометрических функций некоторых углов

 

α

0

π

π

2π

sin α

0

1

0

-1

0

cos α

1

0

-1

0

1

tg α

0

1

0

0

ctg α

1

0

0

 

III.      Тригонометрический круг

 

 

sin α = y    π = 1800

cos α = x   π ≈ 3,14

tg α =

ctg α =

 

IV.      Формулы приведения

Для углов вида n ± α

1.    Функция не меняется, если n – четно и меняется на «кофункцию», если n – нечетно;

2.    Перед приведенной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция (0 < α < )

  V.      Четность и нечетность

Косинус – четная функция, а синус, тангенс и котангенс – нечетные.

 

VI.      Периодичность

Функции периодические; наименьший положительный период синуса и косинуса  равен 2π, а тангенса и котангенса π.

 

VII.      Формулы сложения.

 

1.    sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

2.    sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β

3.    cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β

4.    cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β

5.    tg (α + β) =

6.    tg (α - β) =

 

VIII.      Формулы двойного аргумента

1.    sin 2α = 2 sin α cos α;

2.    cos 2α = cos2 α - sin 2α;

3.    tg 2α = .

IX.      Формулы понижения степени (половинного аргумента)

 

1.    sin 2=

2.    cos2 =

3.    tg 2=

4.    tg =

5.    tg =

 

  X.      Формулы суммы и разности

1.    sin α + sin β = 2 sin cos

2.    sin α - sin β = 2 sin cos

3.    cos α + cos β = 2 cos cos

4.    cos α - cos β = - 2 sin  sin

 

XI.      Формулы произведения

1.    sin α cos β = ( sin(α - β) + sin (α + β))

2.    cos α cos β = ( cos(α - β) + cos(α + β))

3.    sin α sin  β = ( cos(α - β) - cos(α + β))

 

 

 

XII.      Формулы корней тригонометрических уравнений

1.           sin x = a,  ≤ 1

x = (-1)narcsin a + n π, n € Z

a = 1 x =  + 2n π, n € Z

a = -1 x = - + 2n π, n € Z

a = 0 x = n π, n € Z

 

2. cos x = a,  ≤ 1

x = ± arccos a + 2n π, n € Z

a = -1  x = π + 2n π, n € Z

a = 1  x = 2n π, n € Z

a = 0   x =  + n π, n € Z

3. tg x = a

x = arctg a + n π, n € Z

 

4. ctg x = a

x = arcctg a + n π, n € Z

 


 

Основные методы решения тригонометрических уравнений:

·             Простейшие тригонометрические уравнения.

·             Замена переменной.

·             Однородные уравнения.

·             Разложение на множители.

·             Уравнения вида sin α x ± sin βx = 0; cos α x ± cos β x = 0.

·             Использование свойств функции.

·             Уравнения вида a sinwx + bcos wx = c.

 

Советы тем, кто решает тригонометрическое уравнение:

ü            Увидел сумму – преобразуй в произведение;

ü            Увидел произведение – преобразуй в сумму;

ü            Увидел квадрат – понизь степень.

 

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Урок-конференция "Обобщаем и систематизируем тригонометрию""

Получите профессию

Секретарь-администратор

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ План урока.docx

1.Хотите, чтоб не старили года,

Хотите быть удачливыми всюду,

Дружите с математикой,

Дружите с ней всегда,

Все в жизни получаться сразу будет.

 

2. Беду с друзьями легче разделить,

К хорошему хорошее прибавить,

Но как без математики

Нам в наше время жить-

Уместно все сомнения оставить.

 

3. Ты вспомни: и Евклид, и Архимед,

Прославили великую науку.

На сложные решения они нашли ответ,

Взяв будущего мысли на поруки.

 

4.Ты сомневайся, но вперед иди,

Ты ошибайся, но стремись к ответу.

Пусть будет математике с тобою по пути

И пусть тебе приятно будет это!

 


 

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение лицей №11

 

 

Урок-конференция

 

"Систематизируем и обобщаем 
тригонометрию"

 

 

 

 

Класс: 10А

 

Учитель:

Черных Наталия Витальевна

 

 

 

 

16 ноября 2012 года


Цели:

1.    Обобщить и систематизировать знания по теме «Тригонометрия».

2.    Определить роль и место заданий этого раздела в системе заданий ЕГЭ.

3.    Способствовать развитию познавательного интереса, эрудиции учащихся, умению работать в команде.

4.    Приобщить учащихся к овладению информационно-коммуникационными средствами обучения.


Основные тригонометрические формулы

      I.      Тригонометрические тождества:

 

1.     sin2α + cos2α = 1

2.     tg α =

3.     ctg α =

4.     tgctg = 1

5.     1 + tg2 =

6.     1 + ctg2 =

 

II.      Значения тригонометрических функций некоторых углов

 

α

0

π

π

2π

sin α

0

1

0

-1

0

cos α

1

0

-1

0

1

tg α

0

1

0

0

ctg α

1

0

0

 

 

 

III.      Тригонометрический круг

 

 

sin α = y    π = 1800

cos α = x   π ≈ 3,14

tg α =

ctg α =

 

IV.      Формулы приведения

Для углов вида n ± α

1.     Функция не меняется, если n – четно и меняется на «кофункцию», если n – нечетно;

2.     Перед приведенной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция (0 < α < )

V.      Четность и нечетность

Косинус – четная функция, а синус, тангенс и котангенс – нечетные.

 

VI.      Периодичность

Функции периодические; наименьший положительный период синуса и косинуса  равен 2π, а тангенса и котангенса π.

 

 

VII.      Формулы сложения.

 

1.     sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

2.     sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β

3.     cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β

4.     cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β

5.     tg (α + β) =

6.     tg (α - β) =

 

VIII.      Формулы двойного аргумента

1.     sin 2α = 2 sin α cos α;

2.     cos 2α = cos2 α - sin 2α;

3.     tg 2α = .

IX.      Формулы понижения степени (половинного аргумента)

 

1.     sin 2=

2.     cos2 =

3.     tg 2=

4.     tg =

5.     tg =

 

X.      Формулы суммы и разности

1.     sin α + sin β = 2 sin cos

2.     sin α - sin β = 2 sin cos

3.     cos α + cos β = 2 cos cos

4.     cos α - cos β = - 2 sin  sin

 

XI.      Формулы произведения

1.     sin α cos β = ( sin(α - β) + sin (α + β))

2.     cos α cos β = ( cos(α - β) + cos(α + β))

3.     sin α sin  β = ( cos(α - β) - cos(α + β))

 

XII.      Формулы корней тригонометрических уравнений

1.           sin x = a,  ≤ 1

x = (-1)narcsin a + n π, n € Z

a = 1 x =  + 2n π, n € Z

a = -1 x = - + 2n π, n € Z

a = 0 x = n π, n € Z

 

2. cos x = a,  ≤ 1

x = ± arccos a + 2n π, n € Z

a = -1  x = π + 2n π, n € Z

a = 1  x = 2n π, n € Z

a = 0   x =  + n π, n € Z

3. tg x = a

x = arctg a + n π, n € Z

 

4. ctg x = a

x = arcctg a + n π, n € Z

 


   II.      Основная часть.

Основные методы решения тригонометрических уравнений:

·              Простейшие тригонометрические уравнения.

·              Замена переменной.

·              Однородные уравнения.

·              Разложение на множители.

·              Уравнения вида sin α x ± sin βx=0; cos α x ± cos β x=0.

·              Использование свойств функции.

·              Уравнения вида a sinwx + bcos wx = c.

 

  Владение основными методами решения тригонометрических уравнений поможет быстро решить уравнения от В до С, если они традиционны, и сэкономить время для решения нестандартных уравнений, уравнений смешанного типа.

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Урок-конференция "Обобщаем и систематизируем тригонометрию""

Получите профессию

Технолог-калькулятор общественного питания

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ Презентация1.pptx

Скачать материал "Урок-конференция "Обобщаем и систематизируем тригонометрию""

Получите профессию

Копирайтер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Описание презентации по отдельным слайдам:

  • 1 слайд

  • 2 слайд

  • 3 слайд

  • 4 слайд

  • 5 слайд

Получите профессию

Секретарь-администратор

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ Реферат Редька.docx

                                                   Задачи из ЕГЭ части В

EГЭ 2008г.    Решите уравнение: 

                   16x2+24x+12=(3-cos)(3+cos )

Решение :           16x2+24x+12= 3-cos2 

-cos2  =16x2+24x+9

-cos2=  ( 4х + 3 )2

-cos2≤ 0    и    ( 4х + 3 )2 0

Равенство , если обе части уравнения равны 0 .

-cos2= 0,

( 4х + 3 )2 = 0 ;

Решим второе уравнение:

 4х + 3 = 0

 4х = -3

  х = -

Подставим в первое:

  cos2*(-) = cos2 (-) = cos2 (2π+) = cos2

cos=0,  то x=-

Ответ:   -

ЕГЭ 2008г.  Решите уравнение : 

                              

Решение :    16 – (5x + 2)2  = (4 + cos2)2

16  -25x2 – 20x – 4 = 16 + 8 cos2  + cos4 

-25x2 – 20x – 4 =  8 cos2  + cos4

25x2 + 20x + 4 =  - 8 cos2  - cos4

25x2 + 20x + 4 =  - cos2 ( cos2 + 8)

25x2 + 20x + 4 =  0

D = 400 – 4 * 25 * 4 = 400 – 400 = 0

X1,2 =

- cos2* ( cos2*  + 8) = -cos2 (cos2 + 8)

cos2 = 0 , то x=

Ответ:

ЕГЭ 2007г.    Найдите tg , если   

                       4sinx + 3cosx = 5  

Решение: 4 *  + 3* = 5                             

Пусть  tg= t

+ =5

8t +3 – 3t2 – 5 – 5t2 = 0

-8t2 + 8t – 2 = 0

8t2 – 8t + 2 = 0

D = 64 – 64 = 0

t =

tg=  

Ответ : 0,5

EГЭ 2002гНайдите наименьший корень уравнения:  sin2x – 5sinx + 4 = 0

Решение :             Пусть sinx = b

a2 – 5a + 4 = 0

                         По теореме Виета:

  а1 + а2 = 5

     а1а2=4

а1 = 1   и   а2= 4  - посторонний корень

sinx = 1

x =  + 2nπ, n ϵ Z

Ответ :  + 2nπ, n ϵ Z

ЕГЭ 2006г.     Найти число корней уравнения.

                       ( 4 - ) = 0

Решение :         4 - = 0,             или                                 16 – x2 = 0,

  16 – x2  0;                                                        sinx 0;                                                    

4 – 1 – ctg2x = 0,                                                 x = 4

(4 – x)(4 + x) 0;

ctg2x = 3,

(x – 4)(x + 4)0;

1) ctg2x = 3,

    ctgx =

x =  + nπ, n ϵ Z

2) (x – 4)(x + 4)0                                                    

 


             -₄                     ₄                   

x  ϵ  [ - 4 ; 4 ]

Так как  π ≈ 3,14, то решением системы являются :  -;  ;  -;  ;  -;   - 6 корней.

Ответ : 8 корней.

ЕГЭ 2006г.   Найти число положительных корней уравнения :

                                        ctg 20x2x = 0

Решение :       ctg= 0 ,                        или                     =0,

                             20x2 - x ≥ 0 ;                                                        sin≠0;

Решим первую систему :

ctg= 0  

=  + , n ϵ Z

 =  + n, n ϵ Z

 = , n ϵ Z

x = , n ϵ Z

20x2x ≥ 0

x (20x – 1) ≥ 0

x ϵ (-∞ ; 0] [ ; + ∞)

x > 0 ( по условию) ,  значит   ≥  

 -   ≥ 0

 ≥ 0

 ≥ 0

 ≤ 0

 


      -                      19,5

n ϵ ( - ; 19,5 ], n ϵ Z

n = 1 , 2 , 3 , . . . 19  - 20 корней

Решим вторую систему :

=0

20x2x = 0

D = 1

x1 = 0

x 2 =

Но при x = 0     ctg= 0  не существует , значит 1 корень.

Ответ : 21 корень.                        

 

ЕГЭ 2003г.  Укажите число корней уравнения :

сtg5x sin10xcos10xcos20x = 0;   на промежутке    [ 0; 2π].

Решение :    sin10x – cos10x – cos20x = 0

cos5xsin10x – sin5xcos10x- sin5xcos20x = 0

sin(10x – 5x) – sin5xcos20x=0

sin5x – sin5xcos20x = 0

sin5x( 1 – cos20x ) = 0

 sin5x ≠ 0                              и                    1 –cos20x = 0                

5x ≠ nπ ,  n ϵ Z                                             cos20x = 1

 x ≠ , n ϵ Z                                              20x = 2nπ, n ϵ Z

                                                                        x = , n ϵ Z 

   Найдём число корней на промежутке [ 0; 2π ].

               0                    2π               

 ;   ;   π;     ;  2π.

Ответ: 10 корней.

 2) 4sin27x cos27x + sin2( + 14πn) =    + cos( -   ) ;                                                на промежутке  [ 3; 5 ].

Решение :    ( 2sin7x cos7x )2 + cos214 =   + cos( -   )

sin214x + cos214x = 1 + cos( - ) , где sin  ≠ 0

cos( - ) = 0                                                        ≠ πn,  n ϵ Z

                            -  + nπ,  n ϵ Z                                          ≠ n,  n ϵ Z

  - =   + n,  n ϵ Z                                                    X ≠ n,  n ϵ Z

  8x = 5 + 3 + 6n

  4x = 4 + 3n

  X

Найдём число корней на промежутке  [ 3; 5 ].

3 5

12 4+3n 20

8 3n 16

2 n

n = 3, 4, 5.

n = 3, то x =

n = 4, то x =  4 =  - посторонний корень

n = 5, то x =  

Ответ: 2 корня

 

 

 

 

                                                 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                      Задачи из ЕГЭ части С

ЕГЭ 2006г. Определите, при каких а уравнение имеет хотя бы одно решение:

                                        8a (sin6x + cos6x ) = (a2 + 4) cos4x

Решение

sin6x + cos6x = (sin2x)3 + (cos2x)3  = ( sin2x + cos2x) (sin4x – sin2x cos2x + cos4x) = sin4x – 2 sin2x cos2x +cos4x  +

+ sin2x cos2x =(sin2x - cos2x) +sin2x cos2x = cos22x + sin2x cos2x = cos22x +*4 sin2x cos2x =cos22x +sin22x

8a (cos22x +sin22x) = ( a2 + 4)( cos22x  - sin22x)

Это однородное уравнение второй степени, значит разделим обе части на cos22x ≠ 0.

8a (1+tg22x) = ( a2 + 4)(1  - tg22x)

Пусть  tg22x = t , где t0

8a (1+t) = ( a2 + 4)(1  - t)

8a + 2at - a2 + a2t + 4t = 4

a2t + 2at + 4t = a2 – 8a + 4

t(a2 + 2a + 4 ) = a2 – 8a + 4

Это линейное уравнение относительно t. Чтобы оно имело хотя бы одно решение, нужно, чтобы

  a2 + 2a + 4 ≠ 0      или      a2 + 2a + 4 = 0,

                    a2 – 8a + 4 = 0;

a2 + 2a + 4 = 0                          

D = 4 – 16 = - 12

a – любое

t =

Так как  t0 , то решим неравенство:

0

Так  как  a2 + 2a + 4 > 0, то и   a2 – 8a + 4 ≥ 0

a2 – 8a + 4 ≥ 0

a2 – 8a + 4 = ( a – 4+2)( a + 4+2)

D = 64 – 16 = 48

a1,2 = = = 4 2

   +                    -                   +

    4 -2           4 +2

Ответ: a ϵ [ 4 -2;  4 +2 ]

ЕГЭ 2007г. Решите уравнение:

                                      | sinx | = sinx cosx

Решение :   Уравнение  равносильно совокупности двух систем :

sinx ≥ 0,

sinx = sinx cosx;

sinx < 0,

-sinx = sinx cosx;

Решим первую систему:

sinx = sinx cosx

sinxsinx cosx = 0

sinx (1 – cosx) = 0

sinx = 0                            или                 1 – cosx = 0

xπnn ϵ Z                                           cosx = 1

                                                                  x = 2πn, n ϵ Z                                                                   xπnn ϵ Z   

sinx 0,                                                                                                                                               

xπnn ϵ Z,   

x = 2πn, n ϵ Z ;

Решим вторую систему:

-sinx = sinx cosx

- sinx – sinx cosx = 0

-sinx (1 + cosx) = 0

-sinx = 0                           или                 1 – cosx = 0

sinx = 0                                                     cosx = 1

xπnn ϵ Z                                           x = π + 2πn, n ϵ Z

 

sinx < 0,

xπnn ϵ Z ,                                                                                                                                                                                                                                                                 

x = π + 2πn, n ϵ Z;                                                                                                                                                        

                                                                                                                                                         

Объединяя эти решения получим:

xπnn ϵ Z

Ответ : πnn ϵ Z

ЕГЭ 2007г.   + =2

Решение :               +  = 2

 |cos1,5x – 2| + | cos1,5x + 1 | = 2

Рассмотрим два случая:

1) |cos1,5x – 2| < 0 , так как cos x ≤ 1 , то и cos1,5x ≤ 1

2)  | cos1,5x + 1 | ≥ 0, так как cos x ≤ 1 , то и cos1,5x ≤ 1

2 – сos1,5x + cos1,5x + 1 = 2

3 = 2

Ответ :

 

ЕГЭ 2007г. Решите уравнение:

                                sin8x – cos6x = ( sin6x + cos8x)

Решение :            sin8x - cos8x = sin6x + cos 6x

Решим при помощи вспомогательного угла ( т. е. разделим обе части угла на 2).

 sin8x - cos8x = sin6x + cos 6x

sin8x cos   - cos8x sin =  sin6x cos   - cos6x sin

cos ( 8x -   ) = sin ( 6x -  )

cos ( - ( 8x -   )) = sin (  - 6x +  )

cos (- 8x ) = sin ( - 6x )

- 8x =  - 6x + 2nπ,  n ϵ Z   

- 8x = 6x -  + 2nπ,  n ϵ Z   

-6x – 8x = - -  + 2nπ,  n ϵ Z ,  

6x – 8x = -+  + 2nπ,  n ϵ Z;   

-14x = -  + 2nπ,  n ϵ Z,   

-2x = -  + 2nπ ,  n ϵ Z ;  

 x = - nπ,  n ϵ Z ,  

 x =  - ,  n ϵ Z .

Ответ :    x = - nπ,  n ϵ Z   и   x =  - ,  n ϵ Z

ЕГЭ 2006г.    Решите уравнение:

                        sin9x = ( )2 + x2 – 0,25

Решение :          

0,25-x2 ≥0,                                         ( )2 = 0,25 – x 2            sin 9x = 0,25 – x2 + x 2 – 0,25

sin9x = 0,25-x2+ x2 – 0,25;              0,25 – x2 ≥ 0                                      sin9x = 0,

sin9x = 0                                           x2 – 0,25 ≤ 0                                       x ϵ [ - 0,5; 0,5];

9x = nπ,  n ϵ Z,                                  ( x – 0,5)(x + 0,5) ≤ 0

x = ,  n ϵ Z;                                  x ϵ [ - 0,5; 0,5]

x ϵ [ - 0,5 ; 0,5]

Ответ :  0; ;  - .

ЕГЭ 2006г. Решите уравнение:

                           - sin2x = 3 - - cos2x

Решение :             - sin2x + cos2x = 3 -

| 2 cos2x - 3| + cos2x = 3 -

| 2cos2x| ≤ 3,  то   2cos2x – 3 < 0, значит |2cos2x – 3| = 3 – 2cos2x.

3 - 2cos2x + cos2x = 3 -

- cos2x = -

cos2x =

2x =  + 2nπ, n ϵ Z

x =  + 2nπ, n ϵ Z

Ответ + 2nπ, n ϵ Z

    

ЕГЭ 2006 г. Найти число корней уравнения:

                                        (cos8x + cos2xctgx * sin2x)  = 0

Решение :   Произведение двух множителей равно нулю тогда и только когда, когда один из множителей равен нулю , а другой при этом не теряет смысла

 

cos8x + cos2x -  ctgx * sin2x = 0 ,                           или                         = 0,

16 – x2 ≥ 0 ;                                                                                                    sinx ≠ 0;

Решим первую систему:

 cos8x + cos2x -  ctgx * sin2x = 0

cos8x + cos2x - * 2 sinx cosx = 0 ,          sinx ≠ 0

cos8x + cos2x -2cos2x = 0                                 x ≠ nπ, n ϵ Z              

cos8x + cos2x – sin2x – 2cos2x = 0

cos8x – cos2x – sin2x = 0

cos8x = 1

8x = 2nπ,  n ϵ Z          

X = ,  n ϵ Z       

Так как  sinx ≠ 0, т.е. x ≠ nπ, то x = , n ≠ 4k,  n,k – целые числа

16 – x2 ≥ 0                 x ϵ [ -4; 4]

         -4                        4            

-4 ≤  ≤ 4

-16 ≤  nπ  ≤ 16

-  ≤ n ≤ 

Так как π ≈ 3,14, то n = -5, -4, -3, -2, -1, 0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,5 , но n ≠ 4k , значит n ≠ -4,  0,  4 , то 8 корней.

Решим вторую систему:

 = 0,

sinx ≠ 0;

x = 4

Ответ : 10 корней

ЕГЭ 2012г. Решите уравнение:

                                          7sin2x + 4sinx cosx – 3cos2x = 0

Решение : Это однородное уравнение второй степени. Разделим обе части на cos2x ≠ 0, так как в противном случае и sin2x = 0, что противоречит основному тригонометрическому тождеству.

 + 4  - 3  = 0

7tg2x + 4tgx – 3 = 0

Пусть tgx = t

7t2 + 4t – 3 = 0

D = 16 + 4*3*7 = 16 + 84 = 100

t1 = - 1

t2 =

tgx = - 1                   и                      tgx =

x = -  + , n ϵ Z                      x = arctg  + , n ϵ Z

Ответ :  -  + ;  arctg  + , n ϵ Z

ЕГЭ 2012г. Решите уравнение:

                                        (6cos2x – 5cosx -4 )  =0               

Решение :    Произведение двух множителей равно нулю тогда, и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла.

Уравнение равносильно совокупности системы и уравнения :

os2x – 5cosx – 4 = 0 ,                    или             =0

- 43sinx ≥ 0;

Решим первую систему:

os2x – 5cosx – 4 = 0,

- 43sinx ≥ 0;

Пусть cosx = t, t ϵ [ -1; 1 ]

6t2 – 5t -4 = 0

D = 25 + 4*6*4 = 121

t1 = = 1 -  посторонний корень

t2 = -

cosx = -

x =  + 2nπ,  n ϵ Z                                                                                       

- 43sinx ≥ 0

 sinx ≤ 0

x =  + 2nπ,  n ϵ Z ,                    

sinx ≤ 0;

x = -  + 2n ϵ Z          

Решим уравнение:

   =0

sinx = 0

x = n ϵ Z                     

Ответ: ;  -  + 2n ϵ Z    

ЕГЭ 2012г. Решите уравнение:

                                     cos2x + 2cos2xsin2x = 0

Решение :            cos2x – sin2x + 2cos2x – 2 sinx cosx = 0

3 cos2xsin2x – 2sinx cosx = 0

Это однородное уравнение второй степени. Разделим обе части на cos2x ≠ 0, так как в противном случае и sin2x = 0, что противоречит основному тригонометрическому тождеству.

3 -   - 2  = 0

3 -  tg2x – 2tgx = 0

  tg2x + 2tgx – 3 = 0

Пусть tgx = t

 t2 + 2t – 3 = 0

    По теореме Виета:

            t1 + t2 = - 2

              t1 t2 = -3

      t1 = -3   и   t2 = 1

tgx = -3                    или                  tgx = 1

x = arctg3 + , n ϵ Z                      x =  + , n ϵ Z

Ответ :  arctg3 +  + , n ϵ Z

ЕГЭ 2012г. Решите уравнение:

                                           | cos2x – 2| =

Решение :   Так как 0 ≤ сos2x ≤ 1 , то cos2x – 2 < 0, значит | cos2x – 2|= 2 – cos2x

2 – cos2x =

2 – cos2x = | cosx|

Уравнение равносильно совокупности двух систем:

cosx ≥ 0,

2 – cos2x = cosx;

cosx < 0,

2 – cos2x = - cosx;

Решим первую систему:

2 – cos2x = cosx

- cos2xcosx + 2 = 0

cos2x + cosx – 2 = 0

Пусть cosx = t,     t ϵ [ 0; 1] 

t2 + t – 2 = 0

По теореме Виета:

t1 + t2 = -1

t1t2 = -2

t1 = 1        и       t2 = - 2 – посторонний корень

cosx = 1

x = 2, n ϵ Z

Решим вторую систему:

2 – cos2x = - cosx

- cos2x + cosx + 2 = 0

cos2x - cosx – 2 = 0

Пусть cosx = t,    t ϵ [ -1; 0)

По теореме Виета:

t1 + t2 = 1

t1t2 = -2

t1 = -1        и       t2 =  2 – посторонний корень

сosx = -1

x = π + 2, n ϵ Z

Объединяя эти решения, получим:                                                                                                          

x = , n ϵ Z                               

Ответ: , n ϵ Z

                                                                                                                                                        x = , n ϵ Z

 

              

 

 

 

 

 

 

 

 

 

        

     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Муниципальное казенное общеобразовательное

учреждение лицей №11 г. Россоши.

 

 

 

 

Реферат

 

 

На тему:     «Тригонометрические  уравнения в системе  заданий ЕГЭ»

Класс: 10 «А»

                                                 Выполнили:   Слободенюк Виктория

                                                                           Редька Елизавета

                                                                           Голубова Дарья

                                              Белова Кристина

                                              Буряченко Дарья

                                              Жидкова Елена

 

 

                                                  Руководитель:     учитель математики

                                                                                                         Черных Наталия Витальевна

 

 

 

 

ноябрь 2012 год

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


                                                              План:

1.    Вступление. Роль и место тригонометрических уравнений. Основные формулы.

2.    Основная часть. Методы решения тригонометрических уравнений. Примеры заданий единого государственного экзамена.

3.    Заключение. Задания для самостоятельного решения.

 

Литература:

         Н.Я.Виленкин и др. «Алгебра и математический анализ, 10 кл.» Учебник для классов с углубленным изучением математики.

         М.Я.Выгодский «Справочник по элементарной математике».

         Рабочая тетрадь для подготовки к ЕГЭ.

         «Математика. Контрольно-измерительные материалы».

         «Единый государственный экзамен по математике». Тесты 2002-2012 гг.

         Кочагин В.В. «Математика. Сборник заданий ЕГЭ». Интенсивная подготовка. 2009 г.

Вступление.

 

                        Роль и место тригонометрических уравнений.

 

  Тригонометрические уравнения занимают важное место в системе заданий ЕГЭ. Как правило, эти уравнения встречаются в заданиях группы В (смешанного типа, с отбором корней) и группы С (уравнения с модулем, параметрами). Что надо знать, чтобы решать тригонометрические уравнения? Это, конечно же, тригонометрические формулы.

 

 

                                       Основные тригонометрические формулы

       I.      Тригонометрические тождества:

 

1.     sin2α + cos2α = 1

2.     tg α =

3.     ctg α =

4.     tgctg = 1

5.     1 + tg2 =

6.     1 + ctg2 =

 

II.      Значения тригонометрических функций некоторых углов

 

α

0

π

π

2π

sin α

0

1

0

-1

0

cos α

1

0

-1

0

1

tg α

0

1

0

0

ctg α

1

0

0

 

 

 

III.      Тригонометрический круг

 

 

sin α = y    π = 1800

cos α = x   π ≈ 3,14

tg α =

ctg α =

 

IV.      Формулы приведения

Для углов вида n ± α

1.     Функция не меняется, если n – четно и меняется на «кофункцию», если n – нечетно;

2.     Перед приведенной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция (0 < α < )

V.      Четность и нечетность

Косинус – четная функция, а синус, тангенс и котангенс – нечетные.

 

VI.      Периодичность

Функции периодические; наименьший положительный период синуса и косинуса  равен 2π, а тангенса и котангенса π.

 

 

VII.      Формулы сложения.

 

1.     sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

2.     sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β

3.     cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β

4.     cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β

5.     tg (α + β) =

6.     tg (α - β) =

 

VIII.      Формулы двойного аргумента

1.     sin 2α = 2 sin α cos α;

2.     cos 2α = cos2 α - sin 2α;

3.     tg 2α = .

IX.      Формулы понижения степени (половинного аргумента)

 

1.     sin 2=

2.     cos2 =

3.     tg 2=

4.     tg =

5.     tg =

 

X.      Формулы суммы и разности

1.     sin α + sin β = 2 sin cos

2.     sin α - sin β = 2 sin cos

3.     cos α + cos β = 2 cos cos

4.     cos α - cos β = - 2 sin  sin

 

XI.      Формулы произведения

1.     sin α cos β = ( sin(α - β) + sin (α + β))

2.     cos α cos β = ( cos(α - β) + cos(α + β))

3.     sin α sin  β = ( cos(α - β) - cos(α + β))

 

XII.      Формулы корней тригонометрических уравнений

1.           sin x = a,  ≤ 1

x = (-1)narcsin a + n π, n € Z

a = 1 x =  + 2n π, n € Z

a = -1 x = - + 2n π, n € Z

a = 0 x = n π, n € Z

 

2. cos x = a,  ≤ 1

x = ± arccos a + 2n π, n € Z

a = -1  x = π + 2n π, n € Z

a = 1  x = 2n π, n € Z

a = 0   x =  + n π, n € Z

3. tg x = a

x = arctg a + n π, n € Z

 

4. ctg x = a

x = arcctg a + n π, n € Z

II Основная часть.

Основные методы решения тригонометрических уравнений:

·              Простейшие тригонометрические уравнения.

·              Замена переменной.

·              Однородные уравнения.

·              Разложение на множители.

·              Уравнения вида sin α x ± sin βx=0; cos α x ± cos β x=0.

·              Использование свойств функции.

·              Уравнения вида a sinwx + bcos wx = c.

 

  Владение основными методами решения тригонометрических уравнений поможет быстро решить уравнения от B до С, если они традиционны, и сэкономить время для решения нестандартных уравнений, уравнений

                                                                                              

                                                                                   

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                                                                                        

 

 

 

 

 

 

                                        

 

 

 

 

 

 

 

                                                    

 

                                                 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

     

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Урок-конференция "Обобщаем и систематизируем тригонометрию""

Получите профессию

Технолог-калькулятор общественного питания

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ Реферат Шевченко.docx

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение лицей №11 г. Россоши

 

Реферат на тему:

«Тригонометрические выражения в системе заданий ЕГЭ»

Класс: 10 «А»

Выполнили: Шевченко Виктория

                         Агошкова Екатерина

 

Руководитель: Черных Наталия Витальевна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ноябрь 2012.

 

 

 

 


План.

 

I. Вступление. Роль и место тригонометрических выражений в системе заданий ЕГЭ.

 

II. Основная часть. Формулы. Примеры тригонометрических выражений.

 

III. Заключение. Задания для самостоятельной работы.

 

 

 

Литература:

 

 

         Н.Я.Виленкин и др. «Алгебра и математический анализ, 10 кл.» Учебник для классов с углубленным изучением математики.

         М.Я.Выгодский «Справочник по элементарной математике».

         Рабочая тетрадь для подготовки к ЕГЭ.

         «Математика. Контрольно-измерительные материалы».

         «Единый государственный экзамен по математике». Тесты 2002-2012 гг.

         Кочагин В.В. «Математика. Сборник заданий ЕГЭ». Интенсивная подготовка. 2012г.

 

 

 

I. Вступление.

Тригонометрические выражения широко представлены в группе А и в группе В. В заданиях группы А обычно используется прямое применение формул. Задания группы В требуют последовательного применения разных формул. Очень редко, но всё же встречаются такие задания в группе С. Обычно это очень сложное выражение, содержащее параметр, требующее не только знания разных формул и способов преобразования, но и нестандартного мышления.  В своей работе мы приведём и такие примеры.

 

II. Основная часть.

Что надо знать, чтобы преобразовать тригонометрические выражения. Это, прежде всего, тригонометрические формулы.

 

Рассмотрим несколько примеров.

Каждый год в ЕГЭ встречаются задания на применение формул приведения.

ЕГЭ, 2008, В 2. Найдите значение выражения 11 , если sina= -0,8

Решение:  11cos( a+ 6sin( = 11cos( -

-5*(-0,8)=4

Ответ: 4

Часто встречаются задания, когда, зная значение одной тригонометрической функции, надо найти другую.

ЕГЭ, 2008, В 3. Найдите значение выражения , если sin, если

Решение: 

                   

Так как [; ], то a- угол II четверти, значит,  

Отсюда следует 

cosa=

Ответ: -3

Если в выражении есть двойной угол, то, как правило, нужно применить формулы двойного угла.

 

ЕГЭ, 2005 г., А 4. Найдите значение выражения 2, если х = .

1) 0;    2) 0,5;    3)-0,5;    4)-2

Sin2x= 2

2

Ответ: 3) -0,5

 

ЕГЭ, 2007, В 5. Найдите значение выражения 9, если sinx = 1/3,  

Решение:  ,       

Так как x Î(, то х – угол IV или I четверти, значит,                                                                                                            

9

Ответ: 8

 

Знание формул сложения помогут быстро справиться с заданием типа

ЕГЭ, 2005г., В 4. Найдите значение выражения

Решение:                                                                                                                                                                                                              

Ответ: 1

 

Формулы понижения степени приходится применять при выполнении заданий типа:

ЕГЭ, 2007г., В 6.  Вычислите:  1,5

Решение:

    

 

 

 

=

 

1,5=1

ответ: 1

 

Рассмотрим несколько нестандартных заданий 

1  ЕГЭ, 2006, В 7. Найдите значение выражения:

 

 

Решение: = =

 

 ==

 

Получим:

чтобы избавиться от знака модуля в числителе, найдите область определения выражения:                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            

+            --        +

       ¾             1

                                                                                                                                                                                  

Определим знак выражений                                                                                               и    -  I четверть (хÎ(0;P/2))

 


   P/6        ¾          x        1                          

                                                                                                                                                         

Так как  y=sinx  возрастает при хÎ(0;P/2), то                                                                                                                                                                                                                                                                        

 

  ¾        x              1            P/3

 

Y= cosx  убывает при  хÎ(0;P/2), поэтому                                                                                                                                                                                                                                                                                     

Получим: 

Ответ: 0

 

2  ЕГЭ, 2002г., С 3. При каких значениях а выражение                                            не равно нулю ни при каких значениях а?

Решение:   Пусть  выражение равно 0.                                                                         

                                                                                                                                                                                              

Разделим обе части уравнения на                                                      

                                                                                                                         

Пусть                                                                                                                   

Уравнение квадратное. Оно не имеет решений, если D<0                                

                                                                                                                                                                                                                                         

Ответ: при  выражение  не равно ни при каких значениях х.

 

ЕГЭ, 2002г., С 3.  Найдите наименьшее значение выражения: 

Решение:

Преобразуем числитель дроби:     

Используем формулы:                                                                                ;

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         

Пусть   . Получим:   

Разложим многочлен на множители:

Для этого мы использовали формулы сокращённого умножения:

            

Получим выражение:

                                                                                                                                                                                                                                                                                                  

Наименьшее целое значение это выражение примет, если  будет равен 0. Тогда 

Ответ: 3

 

III. Заключение

Задания для самостоятельного решения.


Задания по теме: «Выражения».

Часть Б.

 

1.

Найти значение выражения:

Решение:

Ответ:-2.

 

2.

Найти значение выражения:

Дано:

Решение:

Ответ:

 

3.

Найти значение выражения:

Решение:

Ответ:1

4.

Найти значение выражения:

Дано:

                                             

Решение:

Ответ:2.

 

5.

Найти значение выражения:

Дано:

Решение:

Ответ:25.

 

6.

Найти значение выражения:

, если,

Решение:

1)

2)

Ответ:4.

 

7.

 

Найти значение выражения:

 если ,

Решение:

1)

2)

Ответ:

8.

Дано:

Найти:

Решение:

 

Ответ:.

 

 

9.

Найти:

Дано:

Решение:

1)

Ответ:

10.

Найти:

,если

Решение:

Ответ:

11.

Найти значение выражения:

Решение:

2)

Ответ:5.

12.

Найти произведение наибольшего и наименьшего значения функции:

Решение:

Путь sin x=x

Ветви направлены вниз. Найдем координаты вершины.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как

Ответ:.

 

13.

Найти значение выражения:

Решение:

2)

Ответ:-18.

14.

Найти значение выражения:

Решение:

Ответ:4.

15.

 

Найти значение выражения:

Решение:

Ответ:7.

16.

Дано:

          Найти: 

        

Решение:        

Ответ:0,4

 

Часть С.

1.

При каких значениях, а выражение 1+sin x (3 sin x + a cos x)не равно  нулю ни при каких значениях х?

Решение:

Уравнение однородное.

Пусть tg x=x

D<0

 

 

Ответ:

Авторы работы надеются на то, что рассмотренные задания ЕГЭ, разнообразные по степени сложности, формулам и методам преобразования помогут учащимся 10 и 11 классов успешно подготовиться к ЕГЭ по этой теме. Еще раз подчеркнем, что знание формул необходимо.

 



 


 

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Урок-конференция "Обобщаем и систематизируем тригонометрию""

Получите профессию

Няня

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ Тригонометрические выражения.pptx

Скачать материал "Урок-конференция "Обобщаем и систематизируем тригонометрию""

Получите профессию

Технолог-калькулятор общественного питания

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Описание презентации по отдельным слайдам:

  • Тригонометрические выражения

    1 слайд

    Тригонометрические выражения

  • 𝑠𝑖𝑛∝&gt;0

    2 слайд

    𝑠𝑖𝑛∝>0

  • 3 слайд

  • 4 слайд

  • 5 слайд

  • 6 слайд

  • 7 слайд

  • 8 слайд

  • 9 слайд

Получите профессию

Секретарь-администратор

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ Уравнения.ppt

Скачать материал "Урок-конференция "Обобщаем и систематизируем тригонометрию""

Получите профессию

Экскурсовод (гид)

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Описание презентации по отдельным слайдам:

  • 1 слайд

  • 2 слайд

  • 3 слайд

  • 4 слайд

  • 5 слайд

  • 6 слайд

  • 7 слайд

  • 8 слайд

  • 9 слайд

  • 10 слайд

  • 11 слайд

  • 12 слайд

Получите профессию

Интернет-маркетолог

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ Урок-конференция.doc

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение лицей №11

 

 

Урок-конференция

 

"Систематизируем и обобщаем 
тригонометрию"

 

 

 

 

Класс: 11А

 

Учитель:

Черных Наталия Витальевна

 

 

 

 

Цели:

 

 

1.    Обобщить и систематизировать знания по теме «Тригонометрия».

2.    Определить роль и место заданий этого раздела в системе заданий ЕГЭ.

3.    Способствовать развитию познавательного интереса, эрудиции учащихся, умению работать в команде.

4.    Приобщить учащихся к овладению информационно-коммуникационными средствами обучения.

 

Оборудование:

1.    Интерактивная доска.

2.    Мультимедиапроектор.

3.    Рефераты учащихся.

4.    Памятка «Изучаем, обобщаем и систематизируем тригонометрию».

 

Литература:

         Н.Я.Виленкин и др. «Алгебра и математический анализ, 10 кл.» Учебник для классов с углубленным изучением математики.

         М.Я.Выгодский «Справочник по элементарной математике».

         Рабочая тетрадь для подготовки к ЕГЭ.

         «Математика. Контрольно-измерительные материалы».

         «Единый государственный экзамен по математике». Тесты 2002-2015 гг.

         Кочагин В.В. «Математика. Сборник заданий ЕГЭ». Интенсивная подготовка. 2012 г.


Технологии:

1.    Личностно-ориентированное развивающее обучение.

2.    Технология применения средств ИКТ в предметном обучении.

3.    Технология компьютерного обучения.

4.    Технология проблемного обучения.

5.    Технология групповой деятельности.

 

 

Подготовительный этап.

 

Подготовка к конференции началась за месяц до её проведения. Класс разделился на три группы (учитывалось желание учащихся, а так же наличие  в каждой группе сильных и слабых учащихся, учащихся, владеющих компьютерными технологиями, умеющих доступно и ясно  донести до других решение того или иного задания).

 В течение первой недели группы отбирали из различных источников: тестов ЕГЭ 2002-2015 г., контрольно-измерительных материалов, различных сборников заданий  по своей теме:

1. «Тригонометрические выражения».

2. «Тригонометрические уравнения».

В результате  этой работы появился список заданий Единого государственного экзамена, насчитывающий до 30-40 в каждом разделе.

Затем во время осенних каникул каждый учащийся решал эти  задания. В каждой группе был выбран координатор из числа наиболее сильных учащихся. В первые три дня после каникул с каждой группой лично проведена консультация. Координаторы рассказали о вкладе каждого учащегося в общее дело. Те задания, которые вызывали наибольшее затруднение были прорешены вместе со всеми. Из каждой группы по два человека взялись за оформление реферата, основную часть которого  и составили задания и их решение.

По 2-3 человека из оставшихся взялись за подготовку слайдов.

Учитель координировал эту работу, рекомендовав для  презентации наиболее типичные, а также нестандартные задания.

За неделю до конференции рефераты  были оформлены. Два дня ушло на их редакцию и написание рецензии.

Перед  началом конференции участники получили программки, а так же памятки.

 


Ход конференции.

 

I.                 Организационный момент.

Вступительное слово учителя.

Добрый день, уважаемые участники конференции! Сегодня нам   предстоит обсудить очень важную и серьезную тему в курсе алгебры. Мы назвали ее «Обобщаем и систематизируем тригонометрию». Тема не нова, впервые мы с ней знакомились на уроках геометрии в восьмом классе, изучали ее в девятом классе. Программой десятого класса на нее отведено  пятьдесят часов. Материал нами полностью изучен, выполнены  четыре контрольные работы.

 Заканчивая изучение столь значимой и большой по объему темы, мы подведем итоги. Поскольку всем вам предстоит по окончанию одиннадцатого класса сдавать экзамен, то очень важно усвоить тему. В одиннадцатом  классе тригонометрия не изучается, лишь несколько вопросов, связанных с  производной и первообразной, мы рассмотрим в следующем году. Учитывая то, что в ЕГЭ тригонометрия занимает 20-25% материала, для сегодняшней конференции задания составлены исключительно  по материалам ЕГЭ.

Их можно условно разделить на три большие группы:

 1. «Тригонометрические выражения».

 2. «Тригонометрические уравнения».

 И так, предоставим слово первой группе.

 

II. Основная часть.

Выступление участников конференции (материал каждой группы приводится). После выступления каждой группы учитель кратко комментирует их работу.

 

III. Подведение итогов.

Учитель даёт оценку работы каждой группе, отмечает наиболее отличившихся. Подводя итоги, учитель говорит о том, что материал конференции дает возможность эффективно подготовиться к единому государственному экзамену по тригонометрии (этот материал, как в печатном, так и в электронном виде есть в кабинете).

 


Приложение

 

Муниципальное казенное общеобразовательное

учреждение лицей №11 г. Россоши.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Реферат

 

На тему:     «Тригонометрические  уравнения в системе  заданий ЕГЭ»

Класс: 10 «А»

 

 

 

Выполнили: 

 

 

Руководитель:     учитель математики

     Черных Наталия Витальевна

 

 

 

 

 

 

 

 

 


План:

1.    Вступление. Роль и место тригонометрических уравнений. Основные формулы.

2.    Основная часть. Методы решения тригонометрических уравнений. Примеры заданий единого государственного экзамена.

3.    Заключение. Задания для самостоятельного решения.

 

Литература:

         Н.Я.Виленкин и др. «Алгебра и математический анализ, 10 кл.» Учебник для классов с углубленным изучением математики.

         М.Я.Выгодский «Справочник по элементарной математике».

         Рабочая тетрадь для подготовки к ЕГЭ.

         «Математика. Контрольно-измерительные материалы».

         «Единый государственный экзамен по математике». Тесты 2002-2015 гг.

         Кочагин В.В. «Математика. Сборник заданий ЕГЭ». Интенсивная подготовка. 2009 г.

Вступление.

 

  Роль и место тригонометрических уравнений.

 

  Тригонометрические уравнения занимают важное место в системе заданий ЕГЭ. Как правило, эти уравнения встречаются в заданиях группы А (простейшие), группы В (смешанного типа, с отбором корней) и группы С     (уравнения с модулем, параметрами). Что надо знать, чтобы решать тригонометрические уравнения? Это, конечно же, тригонометрические формулы.

 

 

 

 

 

Основные тригонометрические формулы

      I.      Тригонометрические тождества:

 

1.     sin2α + cos2α = 1

2.     tg α =

3.     ctg α =

4.     tgctg = 1

5.     1 + tg2 =

6.     1 + ctg2 =

 

II.      Значения тригонометрических функций некоторых углов

 

α

0

π

π

2π

sin α

0

1

0

-1

0

cos α

1

0

-1

0

1

tg α

0

1

0

0

ctg α

1

0

0

 

 

 

III.      Тригонометрический круг

 

 

sin α = y    π = 1800

cos α = x   π ≈ 3,14

tg α =

ctg α =

 

IV.      Формулы приведения

Для углов вида n ± α

1.     Функция не меняется, если n – четно и меняется на «кофункцию», если n – нечетно;

2.     Перед приведенной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция (0 < α < )

V.      Четность и нечетность

Косинус – четная функция, а синус, тангенс и котангенс – нечетные.

 

VI.      Периодичность

Функции периодические; наименьший положительный период синуса и косинуса  равен 2π, а тангенса и котангенса π.

 

 

VII.      Формулы сложения.

 

1.     sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

2.     sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β

3.     cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β

4.     cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β

5.     tg (α + β) =

6.     tg (α - β) =

 

VIII.      Формулы двойного аргумента

1.     sin 2α = 2 sin α cos α;

2.     cos 2α = cos2 α - sin 2α;

3.     tg 2α = .

IX.      Формулы понижения степени (половинного аргумента)

 

1.     sin 2=

2.     cos2 =

3.     tg 2=

4.     tg =

5.     tg =

 

X.      Формулы суммы и разности

1.     sin α + sin β = 2 sin cos

2.     sin α - sin β = 2 sin cos

3.     cos α + cos β = 2 cos cos

4.     cos α - cos β = - 2 sin  sin

 

XI.      Формулы произведения

1.     sin α cos β = ( sin(α - β) + sin (α + β))

2.     cos α cos β = ( cos(α - β) + cos(α + β))

3.     sin α sin  β = ( cos(α - β) - cos(α + β))

 

XII.      Формулы корней тригонометрических уравнений

1.           sin x = a,  ≤ 1

x = (-1)narcsin a + n π, n € Z

a = 1 x =  + 2n π, n € Z

a = -1 x = - + 2n π, n € Z

a = 0 x = n π, n € Z

 

2. cos x = a,  ≤ 1

x = ± arccos a + 2n π, n € Z

a = -1  x = π + 2n π, n € Z

a = 1  x = 2n π, n € Z

a = 0   x =  + n π, n € Z

3. tg x = a

x = arctg a + n π, n € Z

 

4. ctg x = a

x = arcctg a + n π, n € Z

 


   II.      Основная часть.

Основные методы решения тригонометрических уравнений:

·              Простейшие тригонометрические уравнения.

·              Замена переменной.

·              Однородные уравнения.

·              Разложение на множители.

·              Уравнения вида sin α x ± sin βx=0; cos α x ± cos β x=0.

·              Использование свойств функции.

·              Уравнения вида a sinwx + bcos wx = c.

 

  Владение основными методами решения тригонометрических уравнений поможет быстро решить уравнения от А до С, если они традиционны, и сэкономить время для решения нестандартных уравнений, уравнений смешанного типа.

I.       Простейшие тригонометрические уравнения.

ЕГЭ. 2008г. А10. Решите уравнение:

1)      2)  3)

4)

Решение:          

                            

                            

                             

Ответ: 1)

II.    Замена переменной

ЕГЭ, 2005г. С1. Решите уравнение:

Решение: Это уравнение равносильно совокупности двух систем:

 

 

 

 

 

 


Решим первую систему.

 Пусть

По теореме Виета найдем корни:

=-2 посторонний корень, =1

Решим вторую систему

 Пусть

=2 – посторонний корень,

=-1

  Посмотрим, нельзя ли объединить эти решения. На тригонометрической окружности отметим эти решения. Видим, что их можно записать одной формулой. Ответ:

 

III Однородные уравнения

 –Однородное уравнение 1й степени:

 – однородное уравнение 2й степени и т.д.

ЕГЭ, 2007г., В8. Решите уравнение:

. Найдите

Решение: Применяя формулы двойного аргумента и основное тригонометрическое тождество, получим:

 – Однородное уравнение 2й степени. Разделим обе его части на . Получим:

Ответ: 0.5

 

 

 

 

IV Разложение на множители

ЕГЭ, 2007г., А4. Найдите корень уравнения:

 на отрезке

1)    ;    2);  3)  4)

Решение:   

     или

           

        нет корней

n=2   

Ответ: 2)

 

V Уравнения вида:   

ЕГЭ, 2007г., С1. Решите уравнение:

Решение: Перенесем слагаемые в левую часть и сгруппируем:

Разделим обе части уравнения на 2.

Воспользуемся формулой

               или          

                   

                  

                                              

                                              

Ответ:

 

VI. Использование свойств функций.

1.     ЕГЭ, 2008., С2. Решите уравнение:

Решение.   

Так как , то уравнение равносильно совокупности двух систем:

Решим первую систему:

                                             

                                     

                                                   

                                                                

                                                              

Решим вторую систему.

                                       

                          

                                    

                                                              

Так как вторая система не имеет решений, то ответ:

 

 

2.     ЕГЭ, 2008г., В7. Решите уравнение:

Решение:

Ответ: -1.2

В своей работе мы постарались рассмотреть различные методы решения уравнений.

  Иногда, прежде чем получить уравнение, решаемое одним из вышеописанных методов, необходимо сделать ряд преобразований, опираясь на различные тригонометрические тождества. Во многих случаях помогает руководство следующими тремя правилами:

  - увидел сумму – преобразуй в произведение;

 

  - увидел произведение – преобразуй в сумму;

 

  -увидел квадрат – понизь степень.

  Наша работа адресована учащимся 10-11 классов, она поможет им систематизировать, обобщить и повторить тему «Решение тригонометрических уравнений», подготовиться к единому государственному экзамену. В свой реферат мы включили задания ЕГЭ разных лет, частей А, В и С. Чтобы эффективно подготовиться к экзамену, мы рекомендуем учащимся самостоятельно решить задания по этой теме, а затем проверить правильность решения. Желаем удачи!

 

 

 

 

 

 

Заключение.

III. Задания для самостоятельного решения.

Группа А.

1.     ЕГЭ, 2008г., А9. Решите уравнение:

1); 2); 3); 4)

2. Дем. вариант, 2007г., А10. Решите уравнение:

1); 2); 3); 4)

3. ЕГЭ, 2007г., А10. Решите уравнение:

1); 2); 3);

4)

4. ЕГЭ, 2005г., А9. Решите уравнение:

1); 2); 3); 4)

5. ЕГЭ, 2008г., А10. Решите уравнение:

1)0; 2)1; 3)-1; 4)

6. Тренинг, 2008г., А8. Решите уравнение:

1); 2); 3); 4)

 

7. Тренинг, 2007г, А9. Решите уравнение:

1); 2); 3) ;              4)

8. ЕГЭ, 2007г., А7. Найдите сумму корней уравнения  на отрезке

1); 2); 3); 4)

9. ЕГЭ, 2008г., А10. Решите уравнение:

1); 2); 3); 4)

10. ЕГЭ, 2007г., А8. Решите уравнение:

1); 2); 3); 4)

Задания группы В.

1.     ЕГЭ, 2005г., В6. Сколько корней имеет уравнение:

2.     ЕГЭ, 2008г., В7. Решите уравнение:

3.     ЕГЭ, 2008г, В7. Решите уравнение:

4.     ЕГЭ, 2006г., В7. Найдите наименьший корень уравнения:

 на промежутке

5.     ЕГЭ, 2003г., В5. Найдите сумму корней уравнения:

 

на промежутке

Задания группы С

1.     Тренинг, 2007г., С1. Решите уравнение:

2.     Тренинг, 2007г., С1. Решите уравнение:

3.     Тренинг, 2007г., С1. Решите уравнение:

4.     ЕГЭ, 2006г., С1. Решите уравнение:

5.     ЕГЭ, 2005г., С1. Решите уравнение:

6.     ЕГЭ, 2005г., С1. Решите уравнение:

7.     ЕГЭ, 2006г., с2. Решите уравнение:

Решение:

Задания группы А.

1.    

Ответ: 4)

2.    

Ответ: 1)

3.    

Ответ: 1)

4.    

Ответ: 4)

5.    

,

Так как , то

Ответ: 1)

6.    

Ответ: 2)

7.    

Ответ: 1)

8.    

9.    

Ответ: 1)

 

 

10.  

,

Ответ: 2)

 

Задания группы В.

1.    

ОДЗ:

         

      

   или  

      

   

      (

   

Ответ: 3 корня

2.    

,

Ответ: ч=0,4

3.    

                   

                

Равенство возможно, если:

Ответ: -0,4

4.    

   или   ,  

    

           

                                   

Выберем наименьший корень уравнения на промежутке ;

              

                                         

                                            

   

   

   

               

         

                               

   

Ответ: 0,125

5.    

Используем формулы приведения:

                                         

                                        

   или  

     

         

Найдем корни уравнения, принадлежащие промежутку

Сначала исключим числа вида:

            

                     

                      

                                

                                                      

                                                         

                       

 – корень                                         - не корень

 - не корень

 - корень

Найдем единицу корней:

Ответ: 4.

 

 

 

 

Задания группы С.

1.    

Решение: Уравнение равносильно совокупности двух систем:

Решим первую систему.

   или  

     

    

Решим вторую систему:

Так как , т.е. , то сократим на .

Ответ:

2.    

Решение:

Так как , то , значит, .

,

Имеем уравнение:

Ответ:

3.    

Решение: Используя определение корня, получим:

,

,

,

    – корень

    – не корень

    - не корень

Ответ:

4.    

Решение:

       

                                                               

Пусть ,

,

   или  

                          

Ответ:

5.    

Решение:

Сумма квадратов двух выражений равна тогда и только тогда, когда каждое выражение равно 0.

             

                

       

 или  

   

   

Ответ:


Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение лицей №11 г. Россоши

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Реферат на тему:

«Тригонометрические выражения в системе заданий ЕГЭ»

Класс: 11«А»

Выполнили:  

Руководитель: Черных Наталия Витальевна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


План.

 

I. Вступление. Роль и место тригонометрических выражений в системе заданий ЕГЭ.

 

II. Основная часть. Формулы. Примеры тригонометрических выражений.

 

III. Заключение. Задания для самостоятельной работы.

 

 

 

Литература:

 

 

         Н.Я.Виленкин и др. «Алгебра и математический анализ, 10 кл.» Учебник для классов с углубленным изучением математики.

         М.Я.Выгодский «Справочник по элементарной математике».

         Рабочая тетрадь для подготовки к ЕГЭ.

         «Математика. Контрольно-измерительные материалы».

         «Единый государственный экзамен по математике». Тесты 2002-2012гг.

         Кочагин В.В. «Математика. Сборник заданий ЕГЭ». Интенсивная подготовка. 2009 г.


 

I. Вступление.

Тригонометрические выражения широко представлены в группе А и в группе В. В заданиях группы А обычно используется прямое применение формул. Задания группы В требуют последовательного применения разных формул. Очень редко, но всё же встречаются такие задания в группе С. Обычно это очень сложное выражение, содержащее параметр, требующее не только знания разных формул и способов преобразования, но и нестандартного мышления.  В своей работе мы приведём и такие примеры.

 

II. Основная часть.

Что надо знать, чтобы преобразовать тригонометрические выражения. Это, прежде всего, тригонометрические формулы.

 

Рассмотрим несколько примеров.

Каждый год в ЕГЭ встречаются задания на применение формул приведения.

ЕГЭ, 2008, В 2. Найдите значение выражения 11 , если sina= -0,8

Решение:  11cos( a+ 6sin( = 11cos( -

-5*(-0,8)=4

Ответ: 4

Часто встречаются задания, когда, зная значение одной тригонометрической функции, надо найти другую.

ЕГЭ, 2008, В 3. Найдите значение выражения , если sin, если

Решение: 

                   

Так как [; ], то a- угол II четверти, значит,  

Отсюда следует 

cosa=

Ответ: -3

Если в выражении есть двойной угол, то, как правило, нужно применить формулы двойного угла.

 

ЕГЭ, 2005 г., А 4. Найдите значение выражения 2, если х = .

1) 0;    2) 0,5;    3)-0,5;    4)-2

Sin2x= 2

2

Ответ: 3) -0,5

 

ЕГЭ, 2007, В 5. Найдите значение выражения 9, если sinx = 1/3,  

Решение:  ,       

Так как x Î(, то х – угол IV или I четверти, значит,                                                                                                             

9

Ответ: 8

 

Знание формул сложения помогут быстро справиться с заданием типа

ЕГЭ, 2005г., В 4. Найдите значение выражения

Решение:                                                                                                                                                                                                               

Ответ: 1

 

Формулы понижения степени приходится применять при выполнении заданий типа:

ЕГЭ, 2007г., В 6.  Вычислите:  1,5

Решение:

    

 

 

 

=

 

1,5=1

ответ: 1

 

Рассмотрим несколько нестандартных заданий 

1  ЕГЭ, 2006, В 7. Найдите значение выражения:

 

 

Решение: = =

 

 ==

 

Получим:

чтобы избавиться от знака модуля в числителе, найдите область определения выражения:                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             

+            --        +

       ¾             1

                                                                                                                                                                                   

Определим знак выражений                                                                                               и    -  I четверть (хÎ(0;P/2))

 


   P/6        ¾          x        1                          

                                                                                                                                                          

Так как  y=sinx  возрастает при хÎ(0;P/2), то                                                                                                                                                                                                                                                                         

 

  ¾        x              1            P/3

 

Y= cosx  убывает при  хÎ(0;P/2), поэтому                                                                                                                                                                                                                                                                                     

Получим: 

Ответ: 0

 

2  ЕГЭ, 2002г., С 3. При каких значениях а выражение                                            не равно нулю ни при каких значениях а?

Решение:   Пусть  выражение равно 0.                                                                          

                                                                                                                                                                                               

Разделим обе части уравнения на                                                       

                                                                                                                          

Пусть                                                                                                                   

Уравнение квадратное. Оно не имеет решений, если D<0                                 

                                                                                                                                                                                                                                          

Ответ: при  выражение  не равно ни при каких значениях х.

 

ЕГЭ, 2002г., С 3.  Найдите наименьшее значение выражения: 

Решение:

Преобразуем числитель дроби:     

Используем формулы:                                                                                ;

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          

Пусть   . Получим:   

Разложим многочлен на множители:

Для этого мы использовали формулы сокращённого умножения:

             

Получим выражение:

                                                                                                                                                                                                                                                                                                   

Наименьшее целое значение это выражение примет, если  будет равен 0. Тогда 

Ответ: 3

 

III. Заключение

Задания для самостоятельного решения.





Памятка по теме «Тригонометрия»

 

Основные тригонометрические формулы

III.      Тригонометрические тождества:

 

1.    sin2α + cos2α = 1

2.    tg α =

3.    ctg α =

4.    tgctg = 1

5.    1 + tg2 =

6.    1 + ctg2 =

 

XIII.      Значения тригонометрических функций некоторых углов

 

α

0

π

π

2π

sin α

0

1

0

-1

0

cos α

1

0

-1

0

1

tg α

0

1

0

0

ctg α

1

0

0

 

XIV.      Тригонометрический круг

 

 

sin α = y    π = 1800

cos α = x   π ≈ 3,14

tg α =

ctg α =

 

XV.      Формулы приведения

Для углов вида n ± α

1.    Функция не меняется, если n – четно и меняется на «кофункцию», если n – нечетно;

2.    Перед приведенной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция (0 < α < )

XVI.      Четность и нечетность

Косинус – четная функция, а синус, тангенс и котангенс – нечетные.

 

XVII.      Периодичность

Функции периодические; наименьший положительный период синуса и косинуса  равен 2π, а тангенса и котангенса π.

 

XVIII.      Формулы сложения.

 

1.    sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

2.    sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β

3.    cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β

4.    cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β

5.    tg (α + β) =

6.    tg (α - β) =

 

XIX.      Формулы двойного аргумента

1.    sin 2α = 2 sin α cos α;

2.    cos 2α = cos2 α - sin 2α;

3.    tg 2α = .

XX.      Формулы понижения степени (половинного аргумента)

 

1.    sin 2=

2.    cos2 =

3.    tg 2=

4.    tg =

5.    tg =

 

XXI.      Формулы суммы и разности

1.    sin α + sin β = 2 sin cos

2.    sin α - sin β = 2 sin cos

3.    cos α + cos β = 2 cos cos

4.    cos α - cos β = - 2 sin  sin

 

XXII.      Формулы произведения

1.    sin α cos β = ( sin(α - β) + sin (α + β))

2.    cos α cos β = ( cos(α - β) + cos(α + β))

3.    sin α sin  β = ( cos(α - β) - cos(α + β))

 

 

 

XXIII.      Формулы корней тригонометрических уравнений

1.           sin x = a,  ≤ 1

x = (-1)narcsin a + n π, n € Z

a = 1 x =  + 2n π, n € Z

a = -1 x = - + 2n π, n € Z

a = 0 x = n π, n € Z

 

2. cos x = a,  ≤ 1

x = ± arccos a + 2n π, n € Z

a = -1  x = π + 2n π, n € Z

a = 1  x = 2n π, n € Z

a = 0   x =  + n π, n € Z

3. tg x = a

x = arctg a + n π, n € Z

 

4. ctg x = a

x = arcctg a + n π, n € Z

 

Основные методы решения тригонометрических уравнений:

·             Простейшие тригонометрические уравнения.

·             Замена переменной.

·             Однородные уравнения.

·             Разложение на множители.

·             Уравнения вида sin α x ± sin βx = 0; cos α x ± cos β x = 0.

·             Использование свойств функции.

·             Уравнения вида a sinwx + bcos wx = c.

 

Советы тем, кто решает тригонометрическое уравнение:

ü            Увидел сумму – преобразуй в произведение;

ü            Увидел произведение – преобразуй в сумму;

ü            Увидел квадрат – понизь степень.

 


Программа для урока

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение лицей №11

 

 

Урок-конференция

 

"Систематизируем и обобщаем 
тригонометрию"

 

 

 

 

Класс: 10А

 

Учитель:

Черных Наталия Витальевна

 

 

 

 

16 ноября 2012 года


 

Прошу Вас запомнить.

Запомнить, что можно

Любое на свете заданье решить.

Коль вычесть унынье,

Терпенье прибавить,

Волю умножить,

Любовь разделить.

 

 

 

 

 


 

I.                Организационный момент. Вступительное слово учителя.

 

II.           Роль и место тригонометрии в системе заданий ЕГЭ.

 

 

1.  «Тригонометрические выражения в системе заданий ЕГЭ».

 

2.  «Тригонометрические уравнения в системе заданий ЕГЭ».

 

III.     Подведение итогов.

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Урок-конференция "Обобщаем и систематизируем тригонометрию""

Получите профессию

Секретарь-администратор

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Получите профессию

Экскурсовод (гид)

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 625 693 материала в базе

Скачать материал

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 11.02.2016 1071
    • RAR 2 мбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Черных Наталия Витальевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Черных Наталия Витальевна
    Черных Наталия Витальевна
    • На сайте: 8 лет и 1 месяц
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 6511
    • Всего материалов: 7

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Экскурсовод

Экскурсовод (гид)

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в сфере начального общего образования

Учитель математики в начальной школе

300/600 ч.

от 7900 руб. от 3950 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 125 человек из 44 регионов

Курс повышения квалификации

Особенности подготовки к проведению ВПР в рамках мониторинга качества образования обучающихся по учебному предмету "Математика" в условиях реализации ФГОС ООО

72 ч. — 180 ч.

от 2200 руб. от 1100 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 208 человек из 53 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания с применением дистанционных технологий

Учитель математики

300 ч. — 1200 ч.

от 7900 руб. от 3950 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 39 человек из 19 регионов

Мини-курс

Искусство в контексте современности

10 ч.

1180 руб. 590 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Финансовые аспекты и ценности: концепции ответственного инвестирования

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Организация и контроль занятий со студентами специальных медицинских групп

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе