Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение лицей
№11
Урок-конференция
Класс: 11А
Учитель:
Черных Наталия Витальевна
Цели:
1. Обобщить и систематизировать
знания по теме «Тригонометрия».
2. Определить роль и место
заданий этого раздела в системе заданий ЕГЭ.
3. Способствовать развитию
познавательного интереса, эрудиции учащихся, умению работать в команде.
4. Приобщить учащихся к
овладению информационно-коммуникационными средствами обучения.
Оборудование:
1. Интерактивная доска.
2. Мультимедиапроектор.
3. Рефераты учащихся.
4. Памятка «Изучаем, обобщаем и
систематизируем тригонометрию».
Литература:
•
Н.Я.Виленкин
и др. «Алгебра и математический анализ, 10 кл.» Учебник для классов с
углубленным изучением математики.
•
М.Я.Выгодский
«Справочник по элементарной математике».
•
Рабочая
тетрадь для подготовки к ЕГЭ.
•
«Математика.
Контрольно-измерительные материалы».
•
«Единый
государственный экзамен по математике». Тесты 2002-2015 гг.
•
Кочагин
В.В. «Математика. Сборник заданий ЕГЭ». Интенсивная подготовка. 2012 г.
Технологии:
1.
Личностно-ориентированное
развивающее обучение.
2.
Технология применения
средств ИКТ в предметном обучении.
3.
Технология компьютерного
обучения.
4.
Технология проблемного
обучения.
5.
Технология групповой
деятельности.
Подготовительный этап.
Подготовка к конференции началась за месяц до её
проведения. Класс разделился на три группы (учитывалось желание учащихся, а так
же наличие в каждой группе сильных и слабых учащихся, учащихся, владеющих
компьютерными технологиями, умеющих доступно и ясно донести до других решение
того или иного задания).
В течение первой недели группы отбирали из различных
источников: тестов ЕГЭ 2002-2015 г., контрольно-измерительных материалов,
различных сборников заданий по своей теме:
1. «Тригонометрические выражения».
2. «Тригонометрические уравнения».
В результате этой работы появился список заданий
Единого государственного экзамена, насчитывающий до 30-40 в каждом разделе.
Затем во время осенних каникул каждый учащийся решал
эти задания. В каждой группе был выбран координатор из числа наиболее сильных
учащихся. В первые три дня после каникул с каждой группой лично проведена
консультация. Координаторы рассказали о вкладе каждого учащегося в общее дело.
Те задания, которые вызывали наибольшее затруднение были прорешены вместе со
всеми. Из каждой группы по два человека взялись за оформление реферата,
основную часть которого и составили задания и их решение.
По 2-3 человека из оставшихся взялись за подготовку
слайдов.
Учитель координировал эту работу, рекомендовав для
презентации наиболее типичные, а также нестандартные задания.
За неделю до конференции рефераты были оформлены. Два
дня ушло на их редакцию и написание рецензии.
Перед началом конференции участники получили
программки, а так же памятки.
Ход конференции.
I.
Организационный
момент.
Вступительное слово учителя.
Добрый день, уважаемые участники конференции! Сегодня
нам предстоит обсудить очень важную и серьезную тему в курсе алгебры. Мы
назвали ее «Обобщаем и систематизируем тригонометрию». Тема не нова, впервые мы
с ней знакомились на уроках геометрии в восьмом классе, изучали ее в девятом
классе. Программой десятого класса на нее отведено пятьдесят часов. Материал
нами полностью изучен, выполнены четыре контрольные работы.
Заканчивая изучение столь значимой и большой по
объему темы, мы подведем итоги. Поскольку всем вам предстоит по окончанию
одиннадцатого класса сдавать экзамен, то очень важно усвоить тему. В
одиннадцатом классе тригонометрия не изучается, лишь несколько вопросов,
связанных с производной и первообразной, мы рассмотрим в следующем году.
Учитывая то, что в ЕГЭ тригонометрия занимает 20-25% материала, для сегодняшней
конференции задания составлены исключительно по материалам ЕГЭ.
Их можно условно разделить на три большие группы:
1. «Тригонометрические выражения».
2. «Тригонометрические уравнения».
И так, предоставим слово первой группе.
II. Основная часть.
Выступление участников конференции (материал каждой
группы приводится). После выступления каждой группы учитель кратко комментирует
их работу.
III. Подведение итогов.
Учитель даёт оценку работы каждой группе, отмечает
наиболее отличившихся. Подводя итоги, учитель говорит о том, что материал
конференции дает возможность эффективно подготовиться к единому
государственному экзамену по тригонометрии (этот материал, как в печатном, так
и в электронном виде есть в кабинете).
Приложение
Муниципальное казенное общеобразовательное
учреждение лицей №11 г. Россоши.
На тему:
«Тригонометрические уравнения в системе заданий ЕГЭ»
Класс: 10 «А»
Выполнили:
Руководитель: учитель математики
Черных Наталия Витальевна
План:
1. Вступление.
Роль и место тригонометрических уравнений. Основные формулы.
2. Основная
часть. Методы решения тригонометрических уравнений. Примеры заданий единого
государственного экзамена.
3. Заключение.
Задания для самостоятельного решения.
Литература:
•
Н.Я.Виленкин
и др. «Алгебра и математический анализ, 10 кл.» Учебник для классов с
углубленным изучением математики.
•
М.Я.Выгодский
«Справочник по элементарной математике».
•
Рабочая
тетрадь для подготовки к ЕГЭ.
•
«Математика.
Контрольно-измерительные материалы».
•
«Единый
государственный экзамен по математике». Тесты 2002-2015 гг.
•
Кочагин
В.В. «Математика. Сборник заданий ЕГЭ». Интенсивная подготовка. 2009
г.
Вступление.
Роль и место тригонометрических уравнений.
Тригонометрические уравнения занимают важное место в
системе заданий ЕГЭ. Как правило, эти уравнения встречаются в заданиях группы А
(простейшие), группы В (смешанного типа, с отбором корней) и группы С (уравнения
с модулем, параметрами). Что надо знать, чтобы решать тригонометрические
уравнения? Это, конечно же, тригонометрические формулы.
Основные тригонометрические формулы
I.
Тригонометрические
тождества:
II.
Значения тригонометрических
функций некоторых углов
α
|
0
|
|
|
|
|
π
|
π
|
2π
|
sin α
|
0
|
|
|
|
1
|
0
|
-1
|
0
|
cos α
|
1
|
|
|
|
0
|
-1
|
0
|
1
|
tg α
|
0
|
|
1
|
|
─
|
0
|
─
|
0
|
ctg α
|
─
|
|
1
|
|
0
|
─
|
0
|
─
|
III. Тригонометрический
круг
sin
α = y π = 1800
cos
α = x π ≈ 3,14
tg α =
ctg α =
IV.
Формулы приведения
Для углов вида n ± α
1.
Функция не меняется, если n –
четно и меняется на «кофункцию», если n – нечетно;
2.
Перед приведенной функцией
ставится тот знак, который имеет исходная функция (0 < α < )
V.
Четность и
нечетность
Косинус – четная функция, а синус, тангенс и котангенс – нечетные.
VI.
Периодичность
Функции периодические; наименьший положительный период синуса и
косинуса равен 2π, а тангенса и котангенса π.
VII. Формулы
сложения.
1.
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
2.
sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β
3.
cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β
4.
cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β
5.
tg (α + β) =
6.
tg (α - β) =
VIII.
Формулы двойного
аргумента
1.
sin 2α = 2 sin α cos α;
2.
cos 2α = cos2
α - sin 2α;
3.
tg 2α = .
IX.
Формулы понижения
степени (половинного аргумента)
1.
sin 2=
2.
cos2 =
3.
tg 2=
4.
tg =
5.
tg =
X.
Формулы суммы и
разности
1.
sin α + sin β = 2
sin cos
2.
sin α - sin β = 2
sin cos
3.
cos α + cos β = 2
cos cos
4.
cos α - cos β = - 2
sin sin
XI. Формулы
произведения
1.
sin α cos β = ( sin(α -
β) + sin (α + β))
2.
cos α cos β = ( cos(α -
β) + cos(α + β))
3.
sin α sin β = ( cos(α -
β) - cos(α + β))
XII.
Формулы корней
тригонометрических уравнений
1.
sin x = a, ≤ 1
x =
(-1)narcsin a + n π, n € Z
a =
1 x = + 2n π, n € Z
a =
-1 x = - + 2n π, n € Z
a =
0 x = n π, n € Z
2. cos
x = a, ≤ 1
x =
± arccos a + 2n π, n € Z
a =
-1 x = π + 2n π, n € Z
a =
1 x = 2n π, n € Z
a =
0 x = + n π, n € Z
3. tg
x = a
x =
arctg a + n π, n € Z
4. ctg
x = a
x =
arcctg a + n π, n € Z
II. Основная
часть.
Основные методы решения тригонометрических уравнений:
·
Простейшие
тригонометрические уравнения.
·
Замена переменной.
·
Однородные уравнения.
·
Разложение на множители.
·
Уравнения вида sin α x ± sin βx=0; cos α x ± cos β x=0.
·
Использование свойств
функции.
·
Уравнения вида a sinwx + bcos wx = c.
Владение основными
методами решения тригонометрических уравнений поможет быстро решить уравнения
от А до С, если они традиционны, и сэкономить время для решения нестандартных
уравнений, уравнений смешанного типа.
I. Простейшие
тригонометрические уравнения.
ЕГЭ. 2008г. А10. Решите уравнение:
1) 2) 3)
4)
Решение:
Ответ: 1)
II. Замена
переменной
ЕГЭ, 2005г. С1. Решите уравнение:
Решение:
Это уравнение равносильно совокупности двух систем:
Решим первую систему.
Пусть
По теореме Виета найдем корни:
=-2
посторонний корень, =1
Решим вторую систему
Пусть
=2 – посторонний корень,
=-1
Посмотрим, нельзя
ли объединить эти решения. На тригонометрической окружности отметим эти
решения. Видим, что их можно записать одной формулой. Ответ:
III Однородные уравнения
–Однородное
уравнение 1й степени:
–
однородное уравнение 2й степени и т.д.
ЕГЭ, 2007г., В8. Решите уравнение:
.
Найдите
Решение: Применяя формулы двойного аргумента и
основное тригонометрическое тождество, получим:
–
Однородное уравнение 2й степени. Разделим обе его части на .
Получим:
Ответ: 0.5
IV Разложение на
множители
ЕГЭ, 2007г., А4. Найдите корень уравнения:
на
отрезке
1) ; 2); 3) 4)
Решение:
или
нет
корней
n=2
Ответ: 2)
V Уравнения вида:
ЕГЭ, 2007г., С1. Решите уравнение:
Решение: Перенесем
слагаемые в левую часть и сгруппируем:
Разделим обе части
уравнения на 2.
Воспользуемся
формулой
или
Ответ:
VI. Использование свойств функций.
1. ЕГЭ,
2008., С2. Решите уравнение:
Решение.
Так как ,
то уравнение равносильно совокупности двух систем:
Решим
первую систему:
Решим вторую систему.
Так как вторая
система не имеет решений, то ответ:
2. ЕГЭ,
2008г., В7. Решите уравнение:
Решение:
Ответ: -1.2
В своей работе мы
постарались рассмотреть различные методы решения уравнений.
Иногда, прежде чем
получить уравнение, решаемое одним из вышеописанных методов, необходимо сделать
ряд преобразований, опираясь на различные тригонометрические тождества. Во
многих случаях помогает руководство следующими тремя правилами:
- увидел сумму – преобразуй в произведение;
- увидел произведение – преобразуй в сумму;
-увидел квадрат – понизь степень.
Наша работа
адресована учащимся 10-11 классов, она поможет им систематизировать, обобщить и
повторить тему «Решение тригонометрических уравнений», подготовиться к единому
государственному экзамену. В свой реферат мы включили задания ЕГЭ разных лет, частей
А, В и С. Чтобы эффективно подготовиться к экзамену, мы рекомендуем учащимся
самостоятельно решить задания по этой теме, а затем проверить правильность
решения. Желаем удачи!
Заключение.
III. Задания для самостоятельного решения.
Группа А.
1. ЕГЭ,
2008г., А9. Решите уравнение:
1);
2);
3);
4)
2. Дем. вариант,
2007г., А10. Решите уравнение:
1);
2);
3);
4)
3. ЕГЭ, 2007г.,
А10. Решите уравнение:
1);
2);
3);
4)
4. ЕГЭ, 2005г.,
А9. Решите уравнение:
1);
2);
3);
4)
5. ЕГЭ, 2008г.,
А10. Решите уравнение:
1)0; 2)1; 3)-1; 4)
6. Тренинг,
2008г., А8. Решите уравнение:
1);
2);
3);
4)
7. Тренинг, 2007г,
А9. Решите уравнение:
1);
2);
3) ;
4)
8. ЕГЭ, 2007г.,
А7. Найдите сумму корней уравнения на
отрезке
1);
2);
3);
4)
9. ЕГЭ, 2008г.,
А10. Решите уравнение:
1);
2);
3);
4)
10. ЕГЭ, 2007г.,
А8. Решите уравнение:
1); 2); 3); 4)
Задания группы В.
1. ЕГЭ,
2005г., В6. Сколько корней имеет уравнение:
2. ЕГЭ,
2008г., В7. Решите уравнение:
3. ЕГЭ,
2008г, В7. Решите уравнение:
4. ЕГЭ,
2006г., В7. Найдите наименьший корень уравнения:
на
промежутке
5. ЕГЭ,
2003г., В5. Найдите сумму корней уравнения:
на промежутке
Задания группы С
1. Тренинг,
2007г., С1. Решите уравнение:
2. Тренинг,
2007г., С1. Решите уравнение:
3. Тренинг,
2007г., С1. Решите уравнение:
4. ЕГЭ,
2006г., С1. Решите уравнение:
5. ЕГЭ,
2005г., С1. Решите уравнение:
6. ЕГЭ,
2005г., С1. Решите уравнение:
7. ЕГЭ,
2006г., с2. Решите уравнение:
Решение:
Задания группы А.
1.
Ответ: 4)
2.
Ответ: 1)
3.
Ответ: 1)
4.
Ответ: 4)
5.
,
Так как ,
то
Ответ: 1)
6.
Ответ: 2)
7.
Ответ: 1)
8.
9.
Ответ: 1)
10.
,
Ответ: 2)
Задания группы В.
1.
ОДЗ:
или
(
Ответ: 3 корня
2.
,
Ответ: ч=0,4
3.
Равенство возможно, если:
Ответ: -0,4
4.
или
,
Выберем наименьший
корень уравнения на промежутке ;
Ответ: 0,125
5.
Используем формулы
приведения:
или
Найдем корни
уравнения, принадлежащие промежутку
Сначала исключим
числа вида:
– корень
-
не корень
-
не корень
-
корень
Найдем единицу
корней:
Ответ: 4.
Задания группы С.
1.
Решение: Уравнение
равносильно совокупности двух систем:
Решим первую систему.
или
Решим вторую систему:
Так как ,
т.е. ,
то сократим на .
Ответ:
2.
Решение:
Так как ,
то ,
значит, .
,
Имеем уравнение:
Ответ:
3.
Решение: Используя
определение корня, получим:
,
,
,
– корень
–
не корень
-
не корень
Ответ:
4.
Решение:
Пусть ,
,
или
Ответ:
5.
Решение:
Сумма квадратов двух
выражений равна тогда и только тогда, когда каждое выражение равно 0.
или
Ответ:
Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение
лицей №11 г. Россоши
Реферат на тему:
«Тригонометрические
выражения в системе заданий ЕГЭ»
Класс: 11«А»
Выполнили:
Руководитель: Черных
Наталия Витальевна
План.
I. Вступление. Роль и место тригонометрических
выражений в системе заданий ЕГЭ.
II. Основная часть. Формулы. Примеры
тригонометрических выражений.
III. Заключение. Задания для самостоятельной
работы.
Литература:
•
Н.Я.Виленкин
и др. «Алгебра и математический анализ, 10 кл.» Учебник для классов с
углубленным изучением математики.
•
М.Я.Выгодский
«Справочник по элементарной математике».
•
Рабочая
тетрадь для подготовки к ЕГЭ.
•
«Математика.
Контрольно-измерительные материалы».
•
«Единый
государственный экзамен по математике». Тесты 2002-2012гг.
•
Кочагин
В.В. «Математика. Сборник заданий ЕГЭ». Интенсивная подготовка. 2009
г.
I.
Вступление.
Тригонометрические
выражения широко представлены в группе А и в группе В. В заданиях группы А
обычно используется прямое применение формул. Задания группы В требуют
последовательного применения разных формул. Очень редко, но всё же встречаются
такие задания в группе С. Обычно это очень сложное выражение, содержащее
параметр, требующее не только знания разных формул и способов преобразования,
но и нестандартного мышления. В своей работе мы приведём и такие примеры.
II.
Основная часть.
Что надо знать, чтобы
преобразовать тригонометрические выражения. Это, прежде всего,
тригонометрические формулы.
Рассмотрим несколько
примеров.
Каждый год в ЕГЭ
встречаются задания на применение формул приведения.
ЕГЭ, 2008, В 2. Найдите значение выражения 11 ,
если sina=
-0,8
Решение: 11cos( a - + 6sin( =
11cos( -
-5*(-0,8)=4
Ответ: 4
Часто встречаются
задания, когда, зная значение одной тригонометрической функции, надо найти
другую.
ЕГЭ, 2008, В 3. Найдите значение выражения ,
если sin, если
Решение:
Так как aÎ [; ],
то a- угол II
четверти, значит,
Отсюда следует
cosa=
Ответ: -3
Если в выражении есть
двойной угол, то, как правило, нужно применить формулы двойного угла.
ЕГЭ, 2005
г., А 4. Найдите значение
выражения 2,
если х = .
1) 0; 2) 0,5;
3)-0,5; 4)-2
Sin2x= 2
2
Ответ: 3) -0,5
ЕГЭ, 2007, В 5. Найдите значение выражения 9,
если sinx = 1/3,
Решение: ,
Так как x Î(,
то х – угол IV или I четверти,
значит,
9
Ответ: 8
Знание формул
сложения помогут быстро справиться с заданием типа
ЕГЭ, 2005г., В 4. Найдите значение выражения
Решение:
Ответ: 1
Формулы понижения
степени приходится применять при выполнении заданий типа:
ЕГЭ, 2007г., В 6. Вычислите: 1,5
Решение:
=
1,5=1
ответ: 1
Рассмотрим несколько
нестандартных заданий
1 ЕГЭ, 2006, В 7. Найдите значение выражения:
Решение: = =
==
Получим:
чтобы избавиться от
знака модуля в числителе, найдите область определения выражения:
+ -- +
¾ 1
Определим знак
выражений
и
-
I четверть (хÎ(0;P/2))
P/6 ¾ x 1
Так как y=sinx
возрастает при хÎ(0;P/2), то
¾ x
1 P/3
Y= cosx убывает при хÎ(0;P/2), поэтому
Получим:
Ответ: 0
2 ЕГЭ, 2002г., С
3. При каких значениях а
выражение не
равно нулю ни при каких значениях а?
Решение: Пусть выражение равно 0.
Разделим обе части
уравнения на
Пусть
Уравнение квадратное.
Оно не имеет решений, если D<0
Ответ: при выражение
не
равно ни при каких значениях х.
ЕГЭ, 2002г., С 3. Найдите наименьшее значение выражения:
Решение:
Преобразуем числитель дроби:
Используем формулы:
;
Пусть .
Получим:
Разложим многочлен на
множители:
Для этого мы
использовали формулы сокращённого умножения:
Получим выражение:
Наименьшее целое
значение это выражение примет, если будет
равен 0. Тогда
Ответ: 3
III.
Заключение
Задания для
самостоятельного решения.
Памятка по теме «Тригонометрия»
Основные тригонометрические формулы
III.
Тригонометрические
тождества:
XIII.
Значения
тригонометрических функций некоторых углов
α
|
0
|
|
|
|
|
π
|
π
|
2π
|
sin α
|
0
|
|
|
|
1
|
0
|
-1
|
0
|
cos α
|
1
|
|
|
|
0
|
-1
|
0
|
1
|
tg α
|
0
|
|
1
|
|
─
|
0
|
─
|
0
|
ctg α
|
─
|
|
1
|
|
0
|
─
|
0
|
─
|
XIV.
Тригонометрический
круг
sin
α = y π = 1800
cos
α = x π ≈ 3,14
tg α =
ctg α =
XV.
Формулы приведения
Для углов вида n ± α
1.
Функция не меняется, если n –
четно и меняется на «кофункцию», если n – нечетно;
2.
Перед приведенной функцией
ставится тот знак, который имеет исходная функция (0 < α < )
XVI.
Четность и
нечетность
Косинус – четная функция, а синус, тангенс и котангенс – нечетные.
XVII.
Периодичность
Функции периодические; наименьший положительный период синуса и
косинуса равен 2π, а тангенса и котангенса π.
XVIII.
Формулы сложения.
1.
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
2.
sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β
3.
cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β
4.
cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β
5.
tg (α + β) =
6.
tg (α - β) =
XIX.
Формулы двойного
аргумента
1.
sin 2α = 2 sin α cos α;
2.
cos 2α = cos2
α - sin 2α;
3.
tg 2α = .
XX.
Формулы понижения
степени (половинного аргумента)
1.
sin 2=
2.
cos2 =
3.
tg 2=
4.
tg =
5.
tg =
XXI.
Формулы суммы и
разности
1.
sin α + sin β = 2
sin cos
2.
sin α - sin β = 2
sin cos
3.
cos α + cos β = 2
cos cos
4.
cos α - cos β = - 2
sin sin
XXII.
Формулы
произведения
1.
sin α cos β = ( sin(α - β) + sin (α + β))
2.
cos α cos β = ( cos(α - β) + cos(α + β))
3.
sin α sin β = ( cos(α - β) - cos(α + β))
XXIII.
Формулы корней
тригонометрических уравнений
1.
sin x = a, ≤ 1
x =
(-1)narcsin a + n π, n € Z
a =
1 x = + 2n π, n € Z
a =
-1 x = - + 2n π, n € Z
a =
0 x = n π, n € Z
2. cos
x = a, ≤ 1
x =
± arccos a + 2n π, n € Z
a =
-1 x = π + 2n π, n € Z
a =
1 x = 2n π, n € Z
a =
0 x = + n π, n € Z
3. tg
x = a
x =
arctg a + n π, n € Z
4. ctg
x = a
x =
arcctg a + n π, n € Z
Основные методы решения тригонометрических уравнений:
·
Простейшие
тригонометрические уравнения.
·
Замена переменной.
·
Однородные уравнения.
·
Разложение на множители.
·
Уравнения вида sin α x ± sin βx = 0; cos α x ± cos β x = 0.
·
Использование свойств
функции.
·
Уравнения вида a sinwx + bcos wx = c.
Советы тем, кто решает тригонометрическое уравнение:
ü
Увидел сумму – преобразуй
в произведение;
ü
Увидел произведение –
преобразуй в сумму;
ü
Увидел квадрат – понизь
степень.
Программа для урока
Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение лицей
№11
Урок-конференция
Класс: 10А
Учитель:
Черных Наталия Витальевна
16 ноября 2012 года
Прошу Вас запомнить.
Запомнить, что можно
Любое на свете заданье решить.
Коль вычесть унынье,
Терпенье прибавить,
Волю умножить,
Любовь разделить.
I.
Организационный
момент. Вступительное слово учителя.
II.
Роль и место
тригонометрии в системе заданий ЕГЭ.
1.
«Тригонометрические
выражения в системе заданий ЕГЭ».
2.
«Тригонометрические
уравнения в системе заданий ЕГЭ».
III.
Подведение итогов.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.