Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Урок-конференция "Обобщаем и систематизируем тригонометрию"

Урок-конференция "Обобщаем и систематизируем тригонометрию"


  • Математика

Название документа Выполните классификацию уравнений по методике решения.docx

Поделитесь материалом с коллегами:

Выполните классификацию уравнений по методам решения,

расположив их по группам:

Группа 1. Простейшие уравнения.

Группа 2. Уравнения, решаемые заменой.

Группа 3. Уравнения, решаемые с помощью универсальной подстановки.

Группа 4. Однородные уравнения.

Группа 5. Уравнения, решаемые разложением на множители.

Группа 6. Уравнения, решаемые понижением степени.

Группа 7. Уравнения, решаемые введением вспомогательного угла.

Группа 8. Уравнения, решаемые с использованием свойств тригонометрических функций.

Группа 9. «Увидел сумму – преобразуй в произведение».

«Увидел произведение – преобразуй в сумму».

  1. hello_html_6fa3d982.gif

  2. hello_html_m198c982b.gif

  3. hello_html_m64fd4696.gif

  4. hello_html_m924977d.gif

  5. hello_html_m39afdb24.gif

  6. hello_html_m5f9a643e.gif

  7. hello_html_7e9c859.gif

  8. hello_html_m7ca2293.gif

  9. hello_html_59b71df9.gif

  10. hello_html_m7b6aead2.gif

  11. hello_html_m60bc3d3d.gif

  12. hello_html_7a3df58f.gif

  13. hello_html_m16426e33.gif

  14. hello_html_721568ed.gif

  15. hello_html_m1b7c7195.gif

  16. hello_html_m4830dd59.gif

  17. hello_html_571c358d.gif

  18. hello_html_7e939db4.gif

  19. hello_html_499b5e5a.gif

Название документа Гимн НО.docx

Поделитесь материалом с коллегами:

1. пусть тебе приятно будет это!о путиХотите, чтоб не старили года,

Хотите быть удачливыми всюду,

Дружите с математикой,

Дружите с ней всегда,

Все в жизни получаться сразу будет.

2. Беду с друзьями легче разделить,

К хорошему хорошее прибавить,

Но как без математики

Нам в наше время жить-

Уместно все сомнения оставить.

3. Ты вспомни: и Евклид, и Архимед,

Прославили великую науку.

На сложные решения они нашли ответ,

Взяв будущего мысли на поруки.

4.Ты сомневайся, но вперед иди,

Ты ошибайся, но стремись к ответу.

Пусть будет математике с тобою по пути

И пусть тебе приятно будет это!



Название документа Задания по теме.docx

Поделитесь материалом с коллегами:

Задания по теме «Тригонометрические уравнения»

  1. Б 2008г. hello_html_m537290f6.gif+24x+12 = hello_html_5e9dceac.gif

  2. Б 2008г. hello_html_6367f219.gif

  3. Б 2007г. 4sinx + 3cosx = 5 Найдите tghello_html_m418f76f4.gif.

  4. А 2002г. Укажите наименьший неотрицательный корень уравнения hello_html_m7f8ff4e8.gif

  5. Б 2006г. Найдите число корней уравнения hello_html_m493560f5.gif

  6. Б 2006г. Найдите число положительных корней уравнения hello_html_m251647ce.gif

  7. Б 2003г. Укажите число корней уравнения:

  1. hello_html_54f5bb1f.gif на промежутке hello_html_3d8e62ab.gif

  2. 4hello_html_m6ab46192.gif на промежутке hello_html_m3370ff75.gif

Часть С.

  1. 2006 г. Определите, при каких а имеет хотя бы одно решение уравнение hello_html_7a27cbd6.gif

  2. 2007 г. Решите уравнение hello_html_7fccb67b.gif

  3. 2007 г. Решите уравнение hello_html_2c580fd4.gif

  4. 2007 г. Решите уравнение hello_html_m152134e5.gif

  5. 2006 г. Решите уравнение hello_html_623eee51.gif

  6. 2006 г. Решите уравнение

hello_html_4bb86bf0.gif

  1. 2006 г. Решите уравнение hello_html_1cbd402c.gif

  2. 2006 г. Найдите число корней уравнения hello_html_m73e86425.gif

  3. 2012 г. Решите уравнение hello_html_71f9f562.gif

  4. 2012 г. Решите уравнение hello_html_m12f4c11d.gif =0

  5. 2012 г. Решите уравнение hello_html_272dfdbf.gif

  6. 2008 г. Решите уравнение hello_html_216548b0.gif

  7. 2005 г. Решите уравнение hello_html_m6799f66c.gif

Название документа Памятка по тригонометрии.doc

Поделитесь материалом с коллегами:

Памятка по темеhello_html_m53d4ecad.gif «Тригонометрия»


Основные тригонометрические формулы

  1. Тригонометрические тождества:


  1. hello_html_m53d4ecad.gifsin2α + cos2α = 1

  1. tg α = hello_html_m13d36e88.gif

  1. ctg α = hello_html_m3e98cf61.gif

  1. tghello_html_2e28ff68.gifctghello_html_2e28ff68.gif = 1

  1. 1 + tg2hello_html_2e28ff68.gif = hello_html_7e85c017.gif

  1. 1 + ctg2hello_html_2e28ff68.gif = hello_html_59e4ca5e.gif


  1. Значения тригонометрических функций некоторых углов


α

0

hello_html_m1e307eb8.gif

hello_html_m12edfb30.gif

hello_html_m667a0225.gif

hello_html_7ad6e25.gif

π

hello_html_615a29fb.gifπ

2π

sin α

0

hello_html_m3d4efe4.gif

hello_html_18bb84e9.gif

hello_html_m9b24522.gif

1

0

-1

0

cos α

1

hello_html_m9b24522.gif

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_18bb84e9.gif

hello_html_m3d4efe4.gif

0

-1

0

1

tg α

0

hello_html_m60f7e3e3.gif

1

hello_html_m980c3de.gif

0

0

ctg α

hello_html_m980c3de.gif

1

hello_html_m60f7e3e3.gif

0

0


  1. Тригонометрический круг

hello_html_m1e2ece0d.gif



sin α = y π = 1800

cos α = x π ≈ 3,14

tg α = hello_html_7f8f93d9.gif

ctg α = hello_html_m7d36df78.gif


  1. Формулы приведенияhello_html_m53d4ecad.gif

Для углов вида hello_html_m77fdfc92.gifn ± α

    1. Функция не меняется, если n – четно и меняется на «кофункцию», если n – нечетно;

    2. Перед приведенной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция (0 < α < hello_html_m77fdfc92.gif)

  1. Четность и нечетность

Косинус – четная функция, а синус, тангенс и котангенс – нечетные.


  1. Периодичность

Функции периодические; наименьший положительный период синуса и косинуса равен 2π, а тангенса и котангенса π.


  1. Формулы сложения.


    1. sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

    2. sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β

    3. cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β

    4. cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β

    5. tg (α + β) = hello_html_560d4d06.gif

    6. tg (α - β) = hello_html_599ba76c.gif


  1. Формулы двойного аргумента

    1. sin 2α = 2 sin α cos α;

    2. cos 2α = cos2 α - sin 2α;

    3. tg 2α = hello_html_2b50be98.gif.

  2. Формулы понижения степени (половинного аргумента)


    1. sin 2hello_html_31f22eed.gif= hello_html_m122bb928.gif

    2. cos2 hello_html_31f22eed.gif= hello_html_51a7b7f6.gif

    3. tg 2hello_html_31f22eed.gif= hello_html_m137e3202.gif

    4. tg hello_html_31f22eed.gif= hello_html_m5a0c4677.gif

    5. tg hello_html_31f22eed.gif= hello_html_f7e37e2.gif


  1. Формулы суммы и разности

      1. sin α + sin β = 2 sin hello_html_4b933f93.gifcos hello_html_m74534256.gif

      2. sin α - sin β = 2 sin hello_html_m74534256.gifcos hello_html_m7f9aa53d.gif

      3. cos α + cos β = 2 cos hello_html_4b933f93.gifcos hello_html_m74534256.gif

      4. cos α - cos β = - 2 sin hello_html_4b933f93.gif sin hello_html_m74534256.gif


  1. Формулы произведения

      1. sin α cos β = hello_html_m3d4efe4.gif( sin(α - β) + sin (α + β))

      2. cos α cos β = hello_html_m3d4efe4.gif( cos(α - β) + cos(α + β))

      3. sin α sin β = hello_html_m3d4efe4.gif( cos(α - β) - cos(α + β))




  1. Формулы корней тригонометрических уравнений

    1. sin x = a, hello_html_m36746e2d.gif ≤ 1

x = (-1)narcsin a + n π, n € Z

a = 1 x = hello_html_7ad6e25.gif + 2n π, n € Z

a = -1 x = -hello_html_7ad6e25.gif + 2n π, n € Z

a = 0 x = n π, n € Z


2. cos x = a, hello_html_m36746e2d.gif ≤ 1

x = ± arccos a + 2n π, n € Z

a = -1 x = π + 2n π, n € Z

a = 1 x = 2n π, n € Z

a = 0 x = hello_html_7ad6e25.gif + n π, n € Z

3. tg x = a

x = arctg a + n π, n € Z


4. ctg x = a

x = arcctg a + n π, n € Z




Основные методы решения тригонометрических уравнений:

  • Простейшие тригонометрические уравнения.

  • Замена переменной.

  • Однородные уравнения.

  • Разложение на множители.

  • Уравнения вида sin α x ± sin βx = 0; cos α x ± cos β x = 0.

  • Использование свойств функции.

  • Уравнения вида a sinwx + bcos wx = c.


Советы тем, кто решает тригонометрическое уравнение:

    • Увидел сумму – преобразуй в произведение;

    • Увидел произведение – преобразуй в сумму;

    • Увидел квадрат – понизь степень.



Название документа План урока.docx

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_34eb2ec5.gif1.Хотите, чтоб не старили года,

Хотите быть удачливыми всюду,

Дружите с математикой,

Дружите с ней всегда,

Все в жизни получаться сразу будет.


2. Беду с друзьями легче разделить,

К хорошему хорошее прибавить,

Но как без математики

Нам в наше время жить-

Уместно все сомнения оставить.


3. Ты вспомни: и Евклид, и Архимед,

Прославили великую науку.

На сложные решения они нашли ответ,

Взяв будущего мысли на поруки.


4.Ты сомневайся, но вперед иди,

Ты ошибайся, но стремись к ответу.

Пусть будет математике с тобою по пути

И пусть тебе приятно будет это!



Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение лицей №11


hello_html_4f377d29.gif


Урок-конференция







Класс: 10А


Учитель:

Черных Наталия Витальевна





16 ноября 2012 года

Цели:

  1. Обобщить и систематизировать знания по теме «Тригонометрия».

  2. Определить роль и место заданий этого раздела в системе заданий ЕГЭ.

  3. Способствовать развитию познавательного интереса, эрудиции учащихся, умению работать в команде.

  4. Приобщить учащихся к овладению информационно-коммуникационными средствами обучения.

Основные тригонометрические формулы

  1. Тригонометрические тождества:


  1. hello_html_27d52a30.gifsin2α + cos2α = 1

  1. tg α = hello_html_m52657db.gif

  1. ctg α = hello_html_m390258d1.gif

  1. tghello_html_m7a4b0822.gifctghello_html_m7a4b0822.gif = 1

  1. 1 + tg2hello_html_m7a4b0822.gif = hello_html_4cf31d47.gif

  1. 1 + ctg2hello_html_m7a4b0822.gif = hello_html_22684225.gif


  1. Значения тригонометрических функций некоторых углов


α

0

hello_html_613f92fa.gif

hello_html_425095a1.gif

hello_html_35b4852d.gif

hello_html_5672dcb3.gif

π

hello_html_m4aae006e.gifπ

2π

sin α

0

hello_html_m387bacca.gif

hello_html_7200b46e.gif

hello_html_m316008e2.gif

1

0

-1

0

cos α

1

hello_html_m316008e2.gif

hello_html_27d52a30.gifhello_html_7200b46e.gif

hello_html_230d2e9f.gif

0

-1

0

1

tg α

0

hello_html_97f36eb.gif

1

hello_html_e8e09d2.gif

0

0

ctg α

hello_html_e8e09d2.gif

1

hello_html_97f36eb.gif

0

0




  1. Тригонометрический круг




sin α = y π = 1800

cos α = x π ≈ 3,14

tg α = hello_html_2196771e.gif

ctg α = hello_html_4fbd4ce4.gif


  1. Формулы приведенияhello_html_27d52a30.gif

Для углов вида hello_html_24953519.gifn ± α

    1. Функция не меняется, если n – четно и меняется на «кофункцию», если n – нечетно;

    2. Перед приведенной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция (0 < α < hello_html_24953519.gif)

  1. Четность и нечетность

Косинус – четная функция, а синус, тангенс и котангенс – нечетные.


  1. Периодичность

Функции периодические; наименьший положительный период синуса и косинуса равен 2π, а тангенса и котангенса π.



  1. Формулы сложения.


    1. sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

    2. sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β

    3. cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β

    4. cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β

    5. tg (α + β) = hello_html_m4b8fca72.gif

    6. tg (α - β) = hello_html_4c7e4c0b.gif


  1. Формулы двойного аргумента

    1. sin 2α = 2 sin α cos α;

    2. cos 2α = cos2 α - sin 2α;

    3. tg 2α = hello_html_51eb09de.gif.

  2. Формулы понижения степени (половинного аргумента)


    1. sin 2hello_html_2bf9d094.gif= hello_html_6d2b65de.gif

    2. cos2 hello_html_2bf9d094.gif= hello_html_m6b2157e5.gif

    3. tg 2hello_html_2bf9d094.gif= hello_html_67929360.gif

    4. tg hello_html_2bf9d094.gif= hello_html_29428ce0.gif

    5. tg hello_html_2bf9d094.gif= hello_html_m1bb62f6f.gif


  1. Формулы суммы и разности

      1. sin α + sin β = 2 sin hello_html_m6a08e0aa.gifcos hello_html_m597673c6.gif

      2. sin α - sin β = 2 sin hello_html_m597673c6.gifcos hello_html_7342567.gif

      3. cos α + cos β = 2 cos hello_html_m6a08e0aa.gifcos hello_html_m597673c6.gif

      4. cos α - cos β = - 2 sin hello_html_m6a08e0aa.gif sin hello_html_m597673c6.gif


  1. Формулы произведения

      1. sin α cos β = hello_html_230d2e9f.gif( sin(α - β) + sin (α + β))

      2. cos α cos β = hello_html_230d2e9f.gif( cos(α - β) + cos(α + β))

      3. sin α sin β = hello_html_230d2e9f.gif( cos(α - β) - cos(α + β))


  1. Формулы корней тригонометрических уравнений

    1. sin x = a, hello_html_m14aa864a.gif ≤ 1

x = (-1)narcsin a + n π, n € Z

a = 1 x = hello_html_m72870feb.gif + 2n π, n € Z

a = -1 x = -hello_html_m72870feb.gif + 2n π, n € Z

a = 0 x = n π, n € Z


2. cos x = a, hello_html_m14aa864a.gif ≤ 1

x = ± arccos a + 2n π, n € Z

a = -1 x = π + 2n π, n € Z

a = 1 x = 2n π, n € Z

a = 0 x = hello_html_m72870feb.gif + n π, n € Z

3. tg x = a

x = arctg a + n π, n € Z


4. ctg x = a

x = arcctg a + n π, n € Z


  1. Основная часть.

Основные методы решения тригонометрических уравнений:

  • Простейшие тригонометрические уравнения.

  • Замена переменной.

  • Однородные уравнения.

  • Разложение на множители.

  • Уравнения вида sin α x ± sin βx=0; cos α x ± cos β x=0.

  • Использование свойств функции.

  • Уравнения вида a sinwx + bcos wx = c.


Владение основными методами решения тригонометрических уравнений поможет быстро решить уравнения от В до С, если они традиционны, и сэкономить время для решения нестандартных уравнений, уравнений смешанного типа.


Название документа Презентация1.pptx

Поделитесь материалом с коллегами:

1 из 5

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1
Описание слайда:

№ слайда 2
Описание слайда:

№ слайда 3
Описание слайда:

№ слайда 4
Описание слайда:

№ слайда 5
Описание слайда:

Название документа Реферат Редька.docx

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_m594e1ef9.gifhello_html_67b62a5a.gifhello_html_67b62a5a.gifhello_html_m1edbecea.gifhello_html_4e6364f3.gifhello_html_m6f624413.gifhello_html_m5314b382.gifhello_html_m5314b382.gifhello_html_m6f624413.gifhello_html_m13d8d166.gifhello_html_m13d8d166.gifhello_html_m9af853c.gifhello_html_m36692cc7.gifhello_html_m36692cc7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m7cb19be1.gifhello_html_c064cc5.gifhello_html_m15db45ae.gifhello_html_m13d8d166.gifhello_html_m13d8d166.gifhello_html_m9af853c.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_mc62a678.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m150aa231.gifhello_html_m3f6c0546.gifhello_html_m5314b382.gifhello_html_m3f6c0546.gifhello_html_m5314b382.gifhello_html_m13d8d166.gifhello_html_m13d8d166.gifhello_html_m9af853c.gifhello_html_m6f1f5650.gifhello_html_m27685be9.gifhello_html_191845b0.gifhello_html_m5506fe04.gifhello_html_92969cc.gifhello_html_92969cc.gifhello_html_m36290159.gifhello_html_40797a52.gifhello_html_40797a52.gifhello_html_m1e00eac5.gifhello_html_58d957a2.gifhello_html_1c732bf3.gifhello_html_m5506fe04.gifhello_html_92969cc.gifhello_html_92969cc.gifhello_html_m36290159.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m15b9d916.gifhello_html_40797a52.gifhello_html_40797a52.gifhello_html_m1e00eac5.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_9c9da93.gifhello_html_33ad3173.gifhello_html_33ad3173.gifhello_html_33ad3173.gifhello_html_41ece2b9.gifhello_html_78c51471.gifhello_html_78c51471.gifhello_html_m23c8ba97.gifhello_html_m760dbec9.gifhello_html_m528f0151.gifhello_html_40797a52.gifhello_html_40797a52.gifhello_html_40797a52.gifhello_html_255da1cc.gifhello_html_5019c82d.gifhello_html_7e38e530.gifhello_html_7e38e530.gifhello_html_40797a52.gifhello_html_40797a52.gifhello_html_40797a52.gifhello_html_m13d8d166.gifhello_html_m13d8d166.gifhello_html_m8e588db.gifhello_html_32b3a92a.gifhello_html_5244f3d9.gifhello_html_5244f3d9.gifhello_html_m599ded1d.gifhello_html_m52d58974.gifhello_html_m52d58974.gifhello_html_m52d58974.gifhello_html_m6aa8dd95.gifhello_html_m3169cc35.gifhello_html_m52d58974.gifhello_html_3ff85bda.gifhello_html_13e1f9d0.gifhello_html_46c99404.gifhello_html_46c99404.gifhello_html_m79a55a82.gifhello_html_12861b1.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_40797a52.gifhello_html_m1e00eac5.gifhello_html_m79a55a82.gifhello_html_m78eba9c5.gifhello_html_m78eba9c5.gifhello_html_m4b852836.gifhello_html_3aad448f.gifhello_html_3aad448f.gifhello_html_m1e00eac5.gifhello_html_m364129f9.gifЗадачи из ЕГЭ части В

EГЭ 2008г. Решите уравнение:

16x2+24x+12=(3-coshello_html_6483b0c9.gif)(3+coshello_html_6483b0c9.gif )

Решение : 16x2+24x+12= 3-cos2hello_html_6483b0c9.gif

-cos2 hello_html_6483b0c9.gif =16x2+24x+9

-cos2hello_html_m591a2fb9.gif= ( 4х + 3 )2

-cos2hello_html_m591a2fb9.gif≤ 0 и ( 4х + 3 )2 0

Равенство , если обе части уравнения равны 0 .

-cos2hello_html_m591a2fb9.gif= 0,

( 4х + 3 )2 = 0 ;

Решим второе уравнение:

4х + 3 = 0

4х = -3

х = - hello_html_mc11206c.gif

Подставим в первое:

cos2hello_html_m61b77a24.gif*(-hello_html_mc11206c.gif) = cos2 (-hello_html_672f949e.gif) = cos2 (2π+hello_html_5caa12d1.gif) = cos2hello_html_5caa12d1.gif

coshello_html_5caa12d1.gif=0, то x=-hello_html_mc11206c.gif

Ответ: -hello_html_mc11206c.gif

ЕГЭ 2008г. Решите уравнение :

hello_html_1522c68a.gif

Решение : 16 – (5x + 2)2 = (4 + cos2hello_html_163333.gif)2

16 -25x2 – 20x – 4 = 16 + 8 cos2hello_html_163333.gif + cos4hello_html_163333.gif

-25x2 – 20x – 4 = 8 cos2hello_html_163333.gif + cos4hello_html_163333.gif

25x2 + 20x + 4 = - 8 cos2hello_html_163333.gif - cos4hello_html_163333.gif

25x2 + 20x + 4 = - cos2hello_html_163333.gif ( cos2hello_html_163333.gif + 8)

25x2 + 20x + 4 = 0

D = 400 – 4 * 25 * 4 = 400 – 400 = 0

X1,2 = hello_html_3bd6bc4b.gif

- cos2hello_html_m28adf489.gif* hello_html_3bd6bc4b.gif( cos2hello_html_m28adf489.gif* hello_html_3bd6bc4b.gif + 8) = -cos2hello_html_5caa12d1.gif (cos2hello_html_5caa12d1.gif + 8)

cos2hello_html_5caa12d1.gif = 0 , то x= hello_html_3bd6bc4b.gif

Ответ: hello_html_3bd6bc4b.gif

ЕГЭ 2007г. Найдите tghello_html_1c316324.gif , если

4sinx + 3cosx = 5

Решение: 4 * hello_html_4403714c.gif + 3*hello_html_5eaebcc1.gif = 5

Пусть tghello_html_1c316324.gif= t

hello_html_225f0b4d.gif+ hello_html_2621acb0.gif=5

8t +3 – 3t2 – 5 – 5t2 = 0

-8t2 + 8t – 2 = 0

8t2 – 8t + 2 = 0

D = 64 – 64 = 0

t = hello_html_438e65ef.gif

tghello_html_1c316324.gif= hello_html_438e65ef.gif

Ответ : 0,5

EГЭ 2002г. Найдите наименьший корень уравнения: sin2x – 5sinx + 4 = 0

Решение : Пусть sinx = b

a2 – 5a + 4 = 0

По теореме Виета:

а1 + а2 = 5

а1а2=4

а1 = 1 и а2= 4 - посторонний корень

sinx = 1

x = hello_html_7ae89e1b.gif + 2nπ, n ϵ Z

Ответ : hello_html_7ae89e1b.gif + 2nπ, n ϵ Z

ЕГЭ 2006г. Найти число корней уравнения.

( 4 - hello_html_m5a250cd6.gif) hello_html_m12606d96.gif= 0

Решение : 4 - hello_html_m5a250cd6.gif= 0, или 16 – x2 = 0,

16 – x2 hello_html_172491a1.gif 0; sinx 0;

4 – 1 – ctg2x = 0, x = hello_html_m71db06ed.gif4

(4 – x)(4 + x) hello_html_172491a1.gif0;

ctg2x = 3,

(x – 4)(x + 4)hello_html_2dbf2e67.gif0;

1) ctg2x = 3,

ctgx = hello_html_m71db06ed.gifhello_html_e8e09d2.gif

x = hello_html_m71db06ed.gifhello_html_71eeae57.gif + nπ, n ϵ Z

2) (x – 4)(x + 4)hello_html_2dbf2e67.gif0



-₄ ₄

x ϵ [ - 4 ; 4 ]

Так как π ≈ 3,14, то решением системы являются : -hello_html_71eeae57.gif; hello_html_71eeae57.gif; -hello_html_2e443cac.gif; hello_html_2e443cac.gif; -hello_html_m76a72ac7.gif; hello_html_m76a72ac7.gif - 6 корней.

Ответ : 8 корней.

ЕГЭ 2006г. Найти число положительных корней уравнения :

ctghello_html_m28d8e945.gif 20x2x = 0

Решение : ctghello_html_m28d8e945.gif= 0 , или hello_html_27d52a30.gifhello_html_mc96df79.gif=0,

20x2 - x ≥ 0 ; sinhello_html_324a848a.gif≠0;

Решим первую систему :

ctghello_html_m28d8e945.gif= 0

hello_html_324a848a.gif= hello_html_m607af3d6.gif + , n ϵ Z

hello_html_m6aaed72c.gif= hello_html_m48f32624.gif + n, n ϵ Z

hello_html_m6aaed72c.gif= hello_html_1c00097e.gif, n ϵ Z

x = hello_html_m74816e55.gif, n ϵ Z

20x2x ≥ 0

x (20x – 1) ≥ 0

x ϵ (-∞ ; 0] hello_html_m3b5e2a6.gif[ hello_html_111e5b69.gif; + ∞)

x > 0 ( по условию) , значит hello_html_m74816e55.gif hello_html_111e5b69.gif

hello_html_m74816e55.gif- hello_html_111e5b69.gif ≥ 0

hello_html_4cfc3cab.gif0

hello_html_m87956bb.gif0

hello_html_535f40dd.gif0



- hello_html_438e65ef.gif 19,5

n ϵ ( - hello_html_438e65ef.gif; 19,5 ], n ϵ Z

n = 1 , 2 , 3 , . . . 19 - 20 корней

Решим вторую систему :

hello_html_mc96df79.gif=0

20x2x = 0

D = 1

x1 = 0

x 2 = hello_html_27bf55aa.gif

Но при x = 0 ctghello_html_m28d8e945.gif= 0 не существует , значит 1 корень.

Ответ : 21 корень.



ЕГЭ 2003г. Укажите число корней уравнения :

сtg5x sin10xcos10xcos20x = 0; на промежутке [ 0; 2π].

Решение : hello_html_536843bc.gifsin10x – cos10x – cos20x = 0

cos5xsin10x – sin5xcos10x- sin5xcos20x = 0

sin(10x – 5x) – sin5xcos20x=0

sin5x – sin5xcos20x = 0

sin5x( 1 – cos20x ) = 0

sin5x ≠ 0 и 1 –cos20x = 0

5x ≠ nπ , n ϵ Z cos20x = 1

x ≠ hello_html_298746b8.gif, n ϵ Z 20x = 2nπ, n ϵ Z

x = hello_html_m74b14a29.gif, n ϵ Z

Найдём число корней на промежутке [ 0; 2π ].

0 2π

hello_html_m472b8adc.gif; hello_html_7d5242e6.gif; hello_html_65ddc1b6.gif; hello_html_m6d34de2b.gif; hello_html_m607af3d6.gif; hello_html_37f63d96.gif; hello_html_3a16bb63.gif; hello_html_m744d0749.gif; hello_html_m4a3273b.gif; π; hello_html_m1092c89f.gif; hello_html_m6725c138.gif; hello_html_1b79ab81.gif; hello_html_2ee69f24.gif; hello_html_5caa12d1.gif; hello_html_mfcd9299.gif; hello_html_m5584631b.gif; hello_html_m44e1cc80.gif; hello_html_3c03270e.gif; 2π.

Ответ: 10 корней.

2) 4sin27x cos27x + sin2(hello_html_m37587f56.gif + 14πn) = hello_html_6abcb124.gif + cos( hello_html_m18c25d8f.gif- hello_html_m24d4cfe4.gif ) ; на промежутке [ 3; 5 ].

Решение : ( 2sin7x cos7x )2 + cos214 = hello_html_m16c814f6.gif + cos( hello_html_m18c25d8f.gif- hello_html_m24d4cfe4.gif )

sin214x + cos214x = 1 + cos(hello_html_md28bb70.gif - hello_html_78ff0b6c.gif) , где sin hello_html_46d2076b.gif ≠ 0

cos(hello_html_md28bb70.gif - hello_html_78ff0b6c.gif) = 0 hello_html_46d2076b.gif≠ πn, n ϵ Z

hello_html_md28bb70.gif- hello_html_78ff0b6c.gif= hello_html_m607af3d6.gif + nπ, n ϵ Z hello_html_7a2d1881.gif≠ n, n ϵ Z

hello_html_5174a124.gif- hello_html_m7e968a07.gif= hello_html_m607af3d6.gif+ n, n ϵ Z X ≠ hello_html_3bd6bc4b.gifn, n ϵ Z

8x = 5 + 3 + 6n

4x = 4 + 3n

X = hello_html_5e7fea38.gif

Найдём число корней на промежутке [ 3; 5 ].

3 hello_html_2dbf2e67.gifhello_html_5e7fea38.gifhello_html_2dbf2e67.gif5

12hello_html_2dbf2e67.gif 4+3nhello_html_2dbf2e67.gif 20

8 hello_html_2dbf2e67.gif3n hello_html_2dbf2e67.gif16

2hello_html_m783bb5c8.gif hello_html_2dbf2e67.gifn hello_html_2dbf2e67.gifhello_html_m53e0d4e5.gif

n = 3, 4, 5.

n = 3, то x = hello_html_m516848fe.gif = hello_html_m406d3443.gif hello_html_3bd6bc4b.gif

n = 4, то x = hello_html_f25c4c5.gif = 4 = hello_html_3bd6bc4b.gif - посторонний корень

n = 5, то x = hello_html_m1643e050.gif = hello_html_mc7a34b1.gif

Ответ: 2 корня









































Задачи из ЕГЭ части С

ЕГЭ 2006г. Определите, при каких а уравнение имеет хотя бы одно решение:

8a (sin6x + cos6x ) = (a2 + 4) cos4x

Решение :

sin6x + cos6x = (sin2x)3 + (cos2x)3 = ( sin2x + cos2x) (sin4x – sin2x cos2x + cos4x) = sin4x – 2 sin2x cos2x +cos4x +

+ sin2x cos2x =(sin2x - cos2x) +sin2x cos2x = cos22x + sin2x cos2x = cos22x +hello_html_b12a724.gif*4 sin2x cos2x =cos22x +hello_html_b12a724.gifsin22x

8a (cos22x +hello_html_b12a724.gifsin22x) = ( a2 + 4)( cos22x - sin22x)

Это однородное уравнение второй степени, значит разделим обе части на cos22x ≠ 0.

8a (1+hello_html_b12a724.giftg22x) = ( a2 + 4)(1 - tg22x)

Пусть tg22x = t , где thello_html_172491a1.gif0

8a (1+hello_html_b12a724.gift) = ( a2 + 4)(1 - t)

8a + 2at - a2 + a2t + 4t = 4

a2t + 2at + 4t = a2 – 8a + 4

t(a2 + 2a + 4 ) = a2 – 8a + 4

Это линейное уравнение относительно t. Чтобы оно имело хотя бы одно решение, нужно, чтобы

a2 + 2a + 4 ≠ 0 или a2 + 2a + 4 = 0,

a2 – 8a + 4 = 0;

a2 + 2a + 4 = 0

D = 4 – 16 = - 12

a – любое

t = hello_html_m55bdc528.gif

Так как thello_html_172491a1.gif0 , то решим неравенство:

hello_html_m55bdc528.gifhello_html_172491a1.gif0

Так как a2 + 2a + 4 > 0, то и a2 – 8a + 4 ≥ 0

a2 – 8a + 4 ≥ 0

a2 – 8a + 4 = ( a – 4+2hello_html_e8e09d2.gif)( a + 4+2hello_html_e8e09d2.gif)

D = 64 – 16 = 48

a1,2 = hello_html_m8b1c175.gif= hello_html_49e7e78.gif= 4 hello_html_m71db06ed.gif2hello_html_e8e09d2.gif

+ - +

hello_html_27d52a30.gif4 -2hello_html_e8e09d2.gif 4 +2hello_html_e8e09d2.gif

Ответ: a ϵ [ 4 -2hello_html_e8e09d2.gif; 4 +2hello_html_e8e09d2.gif ]

ЕГЭ 2007г. Решите уравнение:

| sinx | = sinx cosx

Решение : Уравнение равносильно совокупности двух систем :

sinx ≥ 0,

sinx = sinx cosx;

sinx < 0,

-sinx = sinx cosx;

Решим первую систему:

sinx = sinx cosx

sinxsinx cosx = 0

sinx (1 – cosx) = 0

sinx = 0 или 1 – cosx = 0

x = πn, n ϵ Z cosx = 1

x = 2πn, n ϵ Z x = πn, n ϵ Z

sinx 0,

x = πn, n ϵ Z,

x = 2πn, n ϵ Z ;

Решим вторую систему:

-sinx = sinx cosx

- sinx – sinx cosx = 0

-sinx (1 + cosx) = 0

-sinx = 0 или 1 – cosx = 0

sinx = 0 cosx = 1

x = πn, n ϵ Z x = π + 2πn, n ϵ Z



sinx < 0,

x = πn, n ϵ Z ,

x = π + 2πn, n ϵ Z;



Объединяя эти решения получим:

x = πn, n ϵ Z

Ответ : πn, n ϵ Z

ЕГЭ 2007г. hello_html_m1ad599c6.gif + hello_html_3e5bd848.gif=2

Решение : hello_html_m1ad599c6.gif + hello_html_m34197e10.gif = 2

|cos1,5x – 2| + | cos1,5x + 1 | = 2

Рассмотрим два случая:

1) |cos1,5x – 2| < 0 , так как cos x ≤ 1 , то и cos1,5x ≤ 1

2) | cos1,5x + 1 | ≥ 0, так как cos x ≤ 1 , то и cos1,5x ≤ 1

2 – сos1,5x + cos1,5x + 1 = 2

3 = 2

Ответ :



ЕГЭ 2007г. Решите уравнение:

sin8x – cos6x = hello_html_e8e09d2.gif( sin6x + cos8x)

Решение : sin8x - hello_html_e8e09d2.gifcos8x = hello_html_e8e09d2.gifsin6x + cos 6x

Решим при помощи вспомогательного угла ( т. е. разделим обе части угла на 2).

hello_html_m93cd627.gifsin8x - hello_html_m1e3f7aed.gifcos8x = hello_html_m1e3f7aed.gifsin6x + hello_html_m93cd627.gifcos 6x

sin8x cos hello_html_73468479.gif - cos8x sinhello_html_73468479.gif = sin6x cos hello_html_71eeae57.gif - cos6x sinhello_html_71eeae57.gif

cos ( 8x - hello_html_73468479.gif ) = sin ( 6x - hello_html_71eeae57.gif)

cos (hello_html_m607af3d6.gif - ( 8x - hello_html_73468479.gif )) = sin ( - 6x + hello_html_7e833a74.gif)

cos (hello_html_42692635.gif- 8x ) = sin (hello_html_7e833a74.gif - 6x )

hello_html_42692635.gif- 8x = hello_html_7e833a74.gif - 6x + 2nπ, n ϵ Z

hello_html_42692635.gif- 8x = 6x - hello_html_7e833a74.gif + 2nπ, n ϵ Z

-6x – 8x = - hello_html_42692635.gif- hello_html_7e833a74.gif + 2nπ, n ϵ Z ,

6x – 8x = -hello_html_42692635.gif+ hello_html_7e833a74.gif + 2nπ, n ϵ Z;

-14x = - hello_html_4bd69e57.gif + 2nπ, n ϵ Z,

-2x = - hello_html_m607af3d6.gif + 2nπ , n ϵ Z ;

x = hello_html_m79032ab8.gif- nπ, n ϵ Z ,

x = hello_html_541df184.gif - hello_html_60401f9a.gif, n ϵ Z .

Ответ : x = hello_html_m79032ab8.gif- nπ, n ϵ Z и x = hello_html_541df184.gif - hello_html_60401f9a.gif, n ϵ Z

ЕГЭ 2006г. Решите уравнение:

sin9x = ( hello_html_245557a7.gif)2 + x2 – 0,25

Решение :

0,25-x2 ≥0, ( hello_html_245557a7.gif)2 = 0,25 – x 2 sin 9x = 0,25 – x2 + x 2 – 0,25

sin9x = 0,25-x2+ x2 – 0,25; 0,25 – x2 ≥ 0 sin9x = 0,

sin9x = 0 x2 – 0,25 ≤ 0 x ϵ [ - 0,5; 0,5];

9x = nπ, n ϵ Z, ( x – 0,5)(x + 0,5) ≤ 0

x = hello_html_30f7445.gif, n ϵ Z; x ϵ [ - 0,5; 0,5]

x ϵ [ - 0,5 ; 0,5]

Ответ : 0; hello_html_71f23011.gif; - hello_html_71f23011.gif.

ЕГЭ 2006г. Решите уравнение:

hello_html_221077e1.gif- sin2x = 3 - hello_html_7b545cd7.gif- cos2x

Решение : hello_html_m4787b637.gif- sin2x + cos2x = 3 - hello_html_7b545cd7.gif

| 2 cos2x - 3| + cos2x = 3 - hello_html_7b545cd7.gif

| 2cos2x| ≤ 3, то 2cos2x – 3 < 0, значит |2cos2x – 3| = 3 – 2cos2x.

3 - 2cos2x + cos2x = 3 - hello_html_7b545cd7.gif

- cos2x = - hello_html_7b545cd7.gif

cos2x = hello_html_m3042d19.gif

2x = hello_html_1e63b85c.gifhello_html_71eeae57.gif + 2nπ, n ϵ Z

x = hello_html_1e63b85c.gifhello_html_541df184.gif + 2nπ, n ϵ Z

Ответ : hello_html_1e63b85c.gifhello_html_541df184.gif + 2nπ, n ϵ Z

ЕГЭ 2006 г. Найти число корней уравнения:

(cos8x + cos2x - ctgx * sin2x) hello_html_33deaf83.gif = 0

Решение : Произведение двух множителей равно нулю тогда и только когда, когда один из множителей равен нулю , а другой при этом не теряет смысла

cos8x + cos2x - ctgx * sin2x = 0 , или hello_html_33deaf83.gif = 0,

16 – x2 ≥ 0 ; sinx ≠ 0;

Решим первую систему:

cos8x + cos2x - ctgx * sin2x = 0

cos8x + cos2x - hello_html_169c4fd8.gif* 2 sinx cosx = 0 , sinx ≠ 0

cos8x + cos2x -2cos2x = 0 x ≠ nπ, n ϵ Z

cos8x + cos2x – sin2x – 2cos2x = 0

cos8x – cos2x – sin2x = 0

cos8x = 1

8x = 2nπ, n ϵ Z

X = hello_html_m18ce23e6.gif, n ϵ Z

Так как sinx ≠ 0, т.е. x ≠ nπ, то x = hello_html_m18ce23e6.gif, n ≠ 4k, n,k – целые числа

16 – x2 ≥ 0 x ϵ [ -4; 4]

-4 4

-4 ≤ hello_html_m18ce23e6.gif ≤ 4

-16 ≤ nπ ≤ 16

- hello_html_53618a86.gif ≤ n ≤ hello_html_53618a86.gif

Так как π ≈ 3,14, то n = -5, -4, -3, -2, -1, 0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,5 , но n ≠ 4k , значит n ≠ -4, 0, 4 , то 8 корней.

Решим вторую систему:

hello_html_33deaf83.gif= 0,

sinx ≠ 0;

x = hello_html_1e63b85c.gif4

Ответ : 10 корней

ЕГЭ 2012г. Решите уравнение:

7sin2x + 4sinx cosx – 3cos2x = 0

Решение : Это однородное уравнение второй степени. Разделим обе части на cos2x ≠ 0, так как в противном случае и sin2x = 0, что противоречит основному тригонометрическому тождеству.

hello_html_m37d9ffba.gif+ 4 hello_html_5871fb5c.gif - 3 hello_html_m6d5192c1.gif = 0

7tg2x + 4tgx – 3 = 0

Пусть tgx = t

7t2 + 4t – 3 = 0

D = 16 + 4*3*7 = 16 + 84 = 100

t1 = - 1

t2 = hello_html_449e4224.gif

tgx = - 1 и tgx = hello_html_449e4224.gif

x = - hello_html_6e54f974.gif + , n ϵ Z x = arctg hello_html_449e4224.gif + , n ϵ Z

Ответ : - hello_html_6e54f974.gif + ; arctg hello_html_449e4224.gif + , n ϵ Z

ЕГЭ 2012г. Решите уравнение:

(6cos2x – 5cosx -4 ) hello_html_m2caf0251.gif =0

Решение : Произведение двух множителей равно нулю тогда, и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла.

Уравнение равносильно совокупности системы и уравнения :

os2x – 5cosx – 4 = 0 , или hello_html_m2caf0251.gif =0

- 43sinx ≥ 0;

Решим первую систему:

os2x – 5cosx – 4 = 0,

- 43sinx ≥ 0;

Пусть cosx = t, t ϵ [ -1; 1 ]

6t2 – 5t -4 = 0

D = 25 + 4*6*4 = 121

t1 = hello_html_m3448b364.gif= hello_html_m46dd9c5c.gif= 1hello_html_7d979a51.gif - посторонний корень

t2 = - hello_html_m48f32624.gif

cosx = - hello_html_m48f32624.gif

x = hello_html_m7d5e8052.gif + 2nπ, n ϵ Z

- 43sinx ≥ 0

sinx ≤ 0

x = hello_html_m7d5e8052.gif + 2nπ, n ϵ Z ,

sinx ≤ 0;

x = - hello_html_7bfb38b6.gif + 2, n ϵ Z

Решим уравнение:

hello_html_m2caf0251.gif=0

sinx = 0

x = , n ϵ Z

Ответ: ; - hello_html_7bfb38b6.gif + 2, n ϵ Z

ЕГЭ 2012г. Решите уравнение:

cos2x + 2cos2xsin2x = 0

Решение : cos2x – sin2x + 2cos2x – 2 sinx cosx = 0

3 cos2xsin2x – 2sinx cosx = 0

Это однородное уравнение второй степени. Разделим обе части на cos2x ≠ 0, так как в противном случае и sin2x = 0, что противоречит основному тригонометрическому тождеству.

3hello_html_39cb896.gif - hello_html_m1d0cf522.gif - 2 hello_html_m23a89a0a.gif = 0

3 - tg2x – 2tgx = 0

tg2x + 2tgx – 3 = 0

Пусть tgx = t

t2 + 2t – 3 = 0

По теореме Виета:

t1 + t2 = - 2

t1 t2 = -3

t1 = -3 и t2 = 1

tgx = -3 или tgx = 1

x = arctg3 + , n ϵ Z x = hello_html_63914779.gif + , n ϵ Z

Ответ : arctg3 + ; hello_html_63914779.gif + , n ϵ Z

ЕГЭ 2012г. Решите уравнение:

| cos2x – 2| = hello_html_m4f528dee.gif

Решение : Так как 0 ≤ сos2x ≤ 1 , то cos2x – 2 < 0, значит | cos2x – 2|= 2 – cos2x

2 – cos2x = hello_html_30e96289.gif

2 – cos2x = | cosx|

Уравнение равносильно совокупности двух систем:

cosx ≥ 0,

2 – cos2x = cosx;

cosx < 0,

2 – cos2x = - cosx;

Решим первую систему:

2 – cos2x = cosx

- cos2xcosx + 2 = 0

cos2x + cosx – 2 = 0

Пусть cosx = t, t ϵ [ 0; 1]

t2 + t – 2 = 0

По теореме Виета:

t1 + t2 = -1

t1t2 = -2

t1 = 1 и t2 = - 2 – посторонний корень

cosx = 1

x = 2, n ϵ Z

Решим вторую систему:

2 – cos2x = - cosx

- cos2x + cosx + 2 = 0

cos2x - cosx – 2 = 0

Пусть cosx = t, t ϵ [ -1; 0)

По теореме Виета:

t1 + t2 = 1

t1t2 = -2

t1 = -1 и t2 = 2 – посторонний корень

сosx = -1

x = π + 2, n ϵ Z

Объединяя эти решения, получим:

x = , n ϵ Z

Ответ: , n ϵ Z

x = , n ϵ Z



































































Муниципальное казенное общеобразовательное

учреждение лицей №11 г. Россоши.















На тему: «Тригонометрические уравнения в системе заданий ЕГЭ»

Класс: 10 «А»

Выполнили: Слободенюк Виктория

Редька Елизавета

Голубова Дарья

Белова Кристина

Буряченко Дарья

Жидкова Елена





Руководитель: учитель математики

Черных Наталия Витальевна









ноябрь 2012 год

































План:

  1. Вступление. Роль и место тригонометрических уравнений. Основные формулы.

  2. Основная часть. Методы решения тригонометрических уравнений. Примеры заданий единого государственного экзамена.

  3. Заключение. Задания для самостоятельного решения.



Литература:

  • Н.Я.Виленкин и др. «Алгебра и математический анализ, 10 кл.» Учебник для классов с углубленным изучением математики.

  • М.Я.Выгодский «Справочник по элементарной математике».

  • Рабочая тетрадь для подготовки к ЕГЭ.

  • «Математика. Контрольно-измерительные материалы».

  • «Единый государственный экзамен по математике». Тесты 2002-2012 гг.

  • Кочагин В.В. «Математика. Сборник заданий ЕГЭ». Интенсивная подготовка. 2009 г.

Вступление.



Роль и место тригонометрических уравнений.



Тригонометрические уравнения занимают важное место в системе заданий ЕГЭ. Как правило, эти уравнения встречаются в заданиях группы В (смешанного типа, с отбором корней) и группы С (уравнения с модулем, параметрами). Что надо знать, чтобы решать тригонометрические уравнения? Это, конечно же, тригонометрические формулы.





Основные тригонометрические формулы

  1. Тригонометрические тождества:



  1. hello_html_m7c533ce0.gifsin2α + cos2α = 1

  1. tg α = hello_html_m52657db.gif

  1. ctg α = hello_html_m390258d1.gif

  1. tghello_html_m7a4b0822.gifctghello_html_m7a4b0822.gif = 1

  1. 1 + tg2hello_html_m7a4b0822.gif = hello_html_4cf31d47.gif

  1. 1 + ctg2hello_html_m7a4b0822.gif = hello_html_22684225.gif



  1. Значения тригонометрических функций некоторых углов



α

0

hello_html_m28525ca5.gif

hello_html_mb3d5c00.gif

hello_html_m7cd94b74.gif

hello_html_m1f1f12ee.gif

π

hello_html_m4aae006e.gifπ

2π

sin α

0

hello_html_m387bacca.gif

hello_html_7200b46e.gif

hello_html_m316008e2.gif

1

0

-1

0

cos α

1

hello_html_m316008e2.gif

hello_html_m7c533ce0.gifhello_html_7200b46e.gif

hello_html_230d2e9f.gif

0

-1

0

1

tg α

0

hello_html_97f36eb.gif

1

hello_html_e8e09d2.gif

0

0

ctg α

hello_html_e8e09d2.gif

1

hello_html_97f36eb.gif

0

0







  1. Тригонометрический круг







sin α = y π = 1800

cos α = x π ≈ 3,14

tg α = hello_html_m6cf59d2d.gif

ctg α = hello_html_m2dea6d7.gif



  1. Формулы приведенияhello_html_m7c533ce0.gif

Для углов вида hello_html_m6df8fb48.gifn ± α

    1. Функция не меняется, если n – четно и меняется на «кофункцию», если n – нечетно;

    2. Перед приведенной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция (0 < α < hello_html_m6df8fb48.gif)

  1. Четность и нечетность

Косинус – четная функция, а синус, тангенс и котангенс – нечетные.



  1. Периодичность

Функции периодические; наименьший положительный период синуса и косинуса равен 2π, а тангенса и котангенса π.





  1. Формулы сложения.



    1. sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

    2. sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β

    3. cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β

    4. cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β

    5. tg (α + β) = hello_html_m4b8fca72.gif

    6. tg (α - β) = hello_html_4c7e4c0b.gif



  1. Формулы двойного аргумента

    1. sin 2α = 2 sin α cos α;

    2. cos 2α = cos2 α - sin 2α;

    3. tg 2α = hello_html_51eb09de.gif.

  2. Формулы понижения степени (половинного аргумента)



    1. sin 2hello_html_2bf9d094.gif= hello_html_6d2b65de.gif

    2. cos2 hello_html_2bf9d094.gif= hello_html_m6b2157e5.gif

    3. tg 2hello_html_2bf9d094.gif= hello_html_67929360.gif

    4. tg hello_html_2bf9d094.gif= hello_html_29428ce0.gif

    5. tg hello_html_2bf9d094.gif= hello_html_m1bb62f6f.gif



  1. Формулы суммы и разности

      1. sin α + sin β = 2 sin hello_html_m6a08e0aa.gifcos hello_html_m597673c6.gif

      2. sin α - sin β = 2 sin hello_html_m597673c6.gifcos hello_html_7342567.gif

      3. cos α + cos β = 2 cos hello_html_m6a08e0aa.gifcos hello_html_m597673c6.gif

      4. cos α - cos β = - 2 sin hello_html_m6a08e0aa.gif sin hello_html_m597673c6.gif



  1. Формулы произведения

      1. sin α cos β = hello_html_230d2e9f.gif( sin(α - β) + sin (α + β))

      2. cos α cos β = hello_html_230d2e9f.gif( cos(α - β) + cos(α + β))

      3. sin α sin β = hello_html_230d2e9f.gif( cos(α - β) - cos(α + β))



  1. Формулы корней тригонометрических уравнений

    1. sin x = a, hello_html_m17b587c7.gif ≤ 1

x = (-1)narcsin a + n π, n € Z

a = 1 x = hello_html_m72870feb.gif + 2n π, n € Z

a = -1 x = -hello_html_m72870feb.gif + 2n π, n € Z

a = 0 x = n π, n € Z



2. cos x = a, hello_html_m17b587c7.gif ≤ 1

x = ± arccos a + 2n π, n € Z

a = -1 x = π + 2n π, n € Z

a = 1 x = 2n π, n € Z

a = 0 x = hello_html_m72870feb.gif + n π, n € Z

3. tg x = a

x = arctg a + n π, n € Z



4. ctg x = a

x = arcctg a + n π, n € Z

II Основная часть.

Основные методы решения тригонометрических уравнений:

  • Простейшие тригонометрические уравнения.

  • Замена переменной.

  • Однородные уравнения.

  • Разложение на множители.

  • Уравнения вида sin α x ± sin βx=0; cos α x ± cos β x=0.

  • Использование свойств функции.

  • Уравнения вида a sinwx + bcos wx = c.



Владение основными методами решения тригонометрических уравнений поможет быстро решить уравнения от B до С, если они традиционны, и сэкономить время для решения нестандартных уравнений, уравнений



































































Название документа Реферат Шевченко.docx

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_m9af853c.gifhello_html_m6902bdef.gifhello_html_m22e40b5b.gifhello_html_m34b697e7.gifhello_html_50f95d74.gifМуниципальное казенное общеобразовательное учреждение лицей №11 г. Россоши



Реферат на тему:

«Тригонометрические выражения в системе заданий ЕГЭ»

Класс: 10 «А»

Выполнили: Шевченко Виктория

Агошкова Екатерина



Руководитель: Черных Наталия Витальевна



















Ноябрь 2012.









План.



. Вступление. Роль и место тригонометрических выражений в системе заданий ЕГЭ.



. Основная часть. Формулы. Примеры тригонометрических выражений.



. Заключение. Задания для самостоятельной работы.







Литература:



  • Н.Я.Виленкин и др. «Алгебра и математический анализ, 10 кл.» Учебник для классов с углубленным изучением математики.

  • М.Я.Выгодский «Справочник по элементарной математике».

  • Рабочая тетрадь для подготовки к ЕГЭ.

  • «Математика. Контрольно-измерительные материалы».

  • «Единый государственный экзамен по математике». Тесты 2002-2012 гг.

  • Кочагин В.В. «Математика. Сборник заданий ЕГЭ». Интенсивная подготовка. 2012г.







. Вступление.

Тригонометрические выражения широко представлены в группе А и в группе В. В заданиях группы А обычно используется прямое применение формул. Задания группы В требуют последовательного применения разных формул. Очень редко, но всё же встречаются такие задания в группе С. Обычно это очень сложное выражение, содержащее параметр, требующее не только знания разных формул и способов преобразования, но и нестандартного мышления. В своей работе мы приведём и такие примеры.



. Основная часть.

Что надо знать, чтобы преобразовать тригонометрические выражения. Это, прежде всего, тригонометрические формулы.



Рассмотрим несколько примеров.

Каждый год в ЕГЭ встречаются задания на применение формул приведения.

ЕГЭ, 2008, В 2. Найдите значение выражения 11hello_html_m5e39d298.gif , если sin= -0,8

Решение: 11cos(  - hello_html_m36e97c71.gif+ 6sin(hello_html_6b5c0b04.gif = 11cos( - hello_html_m2a7d7878.gif

-5*(-0,8)=4

Ответ: 4

Часто встречаются задания, когда, зная значение одной тригонометрической функции, надо найти другую.

ЕГЭ, 2008, В 3. Найдите значение выражения hello_html_3db9baa7.gif, если sinhello_html_3e2cb2f4.gif, если hello_html_m2828550c.gif

Решение: hello_html_m4d94722c.gif

hello_html_m1105e1f0.gif

Так как  [hello_html_50661fa5.gif; hello_html_6b2fd1c.gif], то - угол  четверти, значит, hello_html_m550bc752.gif

Отсюда следует hello_html_14f91bbd.gif

hello_html_m1b68764f.gifcos= hello_html_377722e8.gif

Ответ: -3

Если в выражении есть двойной угол, то, как правило, нужно применить формулы двойного угла.



ЕГЭ, 2005 г., А 4. Найдите значение выражения 2hello_html_m63701ed9.gif, если х = hello_html_50651b93.gif.

1) 0; 2) 0,5; 3)-0,5; 4)-2

Sin2x= 2hello_html_6c58eafe.gif

2hello_html_m24c88f2c.gif

Ответ: 3) -0,5



ЕГЭ, 2007, В 5. Найдите значение выражения 9hello_html_47999eb0.gif, если sinx = 1/3, hello_html_mcdf96d0.gif

Решение: hello_html_34e0d9ae.gif, hello_html_m41fbfb31.gif

Так как x (hello_html_41d50491.gif, то х – угол V или  четверти, значит, hello_html_14a6186a.gif hello_html_4a7c8345.gif hello_html_m5f03eb79.gif

9hello_html_56e268df.gif

Ответ: 8



Знание формул сложения помогут быстро справиться с заданием типа

ЕГЭ, 2005г., В 4. Найдите значение выражения hello_html_5fa5e92d.gif

Решение: hello_html_3e2e66c4.gif hello_html_43293fc3.gif hello_html_m726aa8a1.gif

Ответ: 1



Формулы понижения степени приходится применять при выполнении заданий типа:

ЕГЭ, 2007г., В 6. Вычислите: 1,5hello_html_m1d3bc4cc.gif

Решение:

hello_html_m4cf8c706.gif



hello_html_6d8c3c3a.gif



hello_html_23faa40.gif

hello_html_6486a128.gif



=hello_html_m527aceeb.gif



hello_html_m772a1cda.gif

1,5hello_html_6c1e9e0d.gif=1

ответ: 1



Рассмотрим несколько нестандартных заданий

1 ЕГЭ, 2006, В 7. Найдите значение выражения:



hello_html_m2767b18a.gif



Решение: hello_html_m2771b097.gif=hello_html_62886eb7.gif = hello_html_48604af.gif



hello_html_1c40b86c.gif=hello_html_43c31520.gif= hello_html_m25cb188.gif



hello_html_49b57ab9.gif

Получим: hello_html_m5aeaf311.gif

чтобы избавиться от знака модуля в числителе, найдите область определения выражения: hello_html_53e836aa.gif hello_html_7067e86.gif hello_html_13966c38.gif hello_html_m13be7023.gif hello_html_62b6dbb5.gif hello_html_m6776d40.gif

+ -- +

¾ 1

hello_html_m73265329.gif

Определим знак выражений hello_html_m61ef39f6.gif и hello_html_m7c2846c6.gif -  четверть (х(0;/2))



/6 ¾ x 1 hello_html_m75e89d4c.gif

hello_html_m132f1892.gif

Так как y=sinx возрастает при х(0;/2), то hello_html_153a4001.gif hello_html_m7cb3e542.gif hello_html_m45d08e8.gif hello_html_m6088f170.gif

¾ x 1 /3



Y= cosx убывает при х(0;/2), поэтому hello_html_3c81096d.gif hello_html_32f1b931.gif hello_html_m5ea25f26.gif hello_html_5fc72d17.gif

Получим: hello_html_7da08fdd.gif

Ответ: 0



2 ЕГЭ, 2002г., С 3. При каких значениях а выражение hello_html_41c5ede9.gif не равно нулю ни при каких значениях а?

Решение: Пусть выражение равно 0. hello_html_m7e9dd2.gif

hello_html_2a8ba50d.gifhello_html_42552558.gifhello_html_m2c1367b5.gif

Разделим обе части уравнения на hello_html_m6e12f116.gif hello_html_m7575eafd.gif

hello_html_m7d9f367f.gif

Пусть hello_html_1cc705b0.gif hello_html_365a1d59.gif

Уравнение квадратное. Оно не имеет решений, если D0 hello_html_772c81c2.gif

hello_html_482ebe29.gifhello_html_6381321f.gifhello_html_4a8053.gif

Ответ: при hello_html_4a8053.gif выражение hello_html_41c5ede9.gif не равно ни при каких значениях х.



ЕГЭ, 2002г., С 3. Найдите наименьшее значение выражения: hello_html_7837e9db.gif

Решение:

Преобразуем числитель дроби: hello_html_74d36dd3.gif

Используем формулы: hello_html_m5f06ef5c.gif;

hello_html_3cdfb232.gifhello_html_m4d94722c.gifhello_html_m434a10ba.gifhello_html_263f18bc.gifhello_html_5c82a2de.gif

Пусть hello_html_4afe5690.gif. Получим: hello_html_5f2b8e44.gif

Разложим многочлен на множители:

hello_html_40646b85.gif

Для этого мы использовали формулы сокращённого умножения:

hello_html_mcd35ae5.gifhello_html_103d295c.gif

Получим выражение:

hello_html_m341ada20.gif

hello_html_51a972a0.gifhello_html_597b1301.gifhello_html_7d20a319.gif

Наименьшее целое значение это выражение примет, если hello_html_m3d1b64da.gif будет равен 0. Тогда hello_html_m450c4e5d.gif

Ответ: 3



. Заключение

Задания для самостоятельного решения.


Задания по теме: «Выражения».

Часть Б.



1.

Найти значение выражения:

hello_html_m175a356b.gif

Решение:

hello_html_102f1aa.gif

hello_html_a140c.gif

hello_html_mfe7a424.gif

hello_html_m7997adfb.gif

Ответ:-2.



2.

Найти значение выражения:

hello_html_m5268b2e4.gif

Дано:

hello_html_6b34545f.gif

Решение:

hello_html_m6b84a566.gif

Ответ:hello_html_5637aaec.gif



3.

Найти значение выражения:

hello_html_m7ceaa434.gif

Решение:

hello_html_m5839b405.gif

hello_html_682ef8c9.gif

hello_html_m462b5fa6.gif

hello_html_m6b926091.gif

hello_html_36eba01e.gif

hello_html_m11cdede3.gif

Ответ:1

4.

Найти значение выражения:

hello_html_3dbacb34.gif

Дано:

hello_html_m1b652070.gifhello_html_7856b353.gif

hello_html_5f6be58b.gif

Решение:

hello_html_m7df8b6bf.gif

hello_html_21091786.gif

hello_html_m3cf2b3ec.gif

hello_html_m4af5b100.gif

hello_html_41f48ac7.gif

hello_html_m16808e29.gif

Ответ:2.



5.

Найти значение выражения:

hello_html_m1598515.gif

Дано:

hello_html_1f68ae22.gif

Решение:

hello_html_5b0d086.gif

Ответ:25.



6.

Найти значение выражения:

hello_html_m5f17dd1c.gif, еслиhello_html_m6c4da0e.gif,hello_html_m2a44d4eb.gif

Решение:

1)hello_html_m434a10ba.gif

hello_html_59869cd7.gif

hello_html_m1d05171a.gif

hello_html_m4df112bf.gif

2)hello_html_m205d1d17.gif

Ответ:4.



7.



Найти значение выражения:

hello_html_7705bd19.gifесли hello_html_m28321daf.gif,hello_html_137555b2.gif

Решение:

hello_html_m61eea5ee.gif

hello_html_m62d68cca.gif

1)hello_html_m434a10ba.gif

hello_html_59869cd7.gif

hello_html_m1d05171a.gif

hello_html_m27a608a.gif

2)hello_html_m14018ae1.gif

Ответ:hello_html_m70ad07e0.gif

8.

Дано:

hello_html_61254e5e.gif

Найти:

hello_html_e209ca9.gif

Решение:

hello_html_m2a99abb5.gif

hello_html_f6daa0f.gif

hello_html_m2d3b08e6.gif



Ответ:hello_html_m57c90caf.gif.





9.

Найти:

hello_html_1579cd78.gif

Дано:

hello_html_3cd98b14.gif

Решение:

hello_html_26d51545.gif

1)hello_html_3b49a04c.gif

hello_html_76579e00.gif

hello_html_7aa354cf.gif

hello_html_m4f22fa52.gif

hello_html_m128202af.gif

hello_html_3fbec64.gif

hello_html_2f5f85d2.gif

Ответ:hello_html_61b1399a.gif

10.

Найти:

hello_html_7f2609dc.gif,еслиhello_html_2b9ab876.gif

Решение:

hello_html_m5b4ac7ba.gif

hello_html_m2d2ffec5.gif

hello_html_6d384b30.gif

hello_html_m1f0a5eea.gif

hello_html_257b8fea.gif

hello_html_m40c365c2.gif

hello_html_m4e7ec2cc.gif

hello_html_m71da7523.gif

hello_html_mcd0a385.gif

Ответ:hello_html_m36093ee7.gif

11.

Найти значение выражения:

hello_html_6632bbca.gif

Решение:

hello_html_2b111295.gif

hello_html_m6e95a1ba.gif

hello_html_m3b0c6f73.gif

hello_html_m62ab1463.gif

hello_html_m413efff1.gif

hello_html_m6e82933f.gif

hello_html_378361a3.gif

2)hello_html_mec74f80.gif

Ответ:5.

12.

Найти произведение наибольшего и наименьшего значения функции:

hello_html_m5ef7b4ab.gif

Решение:

hello_html_m5ef7b4ab.gif

hello_html_79fdd1f9.gif

hello_html_m24bdbf16.gif

Путь sin x=x

hello_html_m25e0ad61.gif

Ветви направлены вниз. Найдем координаты вершины.

hello_html_1d674ef.gif

hello_html_m3d631b75.gif

hello_html_1ed21674.gif

hello_html_c911ea8.gif





















Так как hello_html_m6a47c77e.gif

hello_html_336687d7.gif

hello_html_m12ab6867.gif

hello_html_m146587b7.gif

hello_html_m3030ee84.gif

hello_html_74dd0504.gif

Ответ:hello_html_m2a35ba39.gif.



13.

Найти значение выражения:

hello_html_4c489f60.gif

Решение:

hello_html_6f13e821.gif

hello_html_m44e80e2a.gif

2)hello_html_m74cea126.gif

hello_html_m7deb52c1.gif

hello_html_65c84759.gif

Ответ:-18.

14.

Найти значение выражения:hello_html_11852162.gif

hello_html_m1a11ac9a.gif

Решение:

hello_html_726693a5.gif

hello_html_447495ce.gif

hello_html_m49466fe2.gif

hello_html_6c13ece5.gif

hello_html_m646256b7.gif

hello_html_6959718f.gif

hello_html_3095fd0b.gif

hello_html_407083d8.gif

Ответ:4.

15.



Найти значение выражения:

hello_html_503db973.gif

Решение:

hello_html_m973a88a.gif

hello_html_3f8a4329.gif

hello_html_260fd3e0.gif

hello_html_m6e95a1ba.gif

hello_html_m6e82933f.gif

hello_html_m3b3f56a7.gif

hello_html_m27fcab39.gif

hello_html_mf3943c2.gif

Ответ:7.

16.

Дано:hello_html_m178fdd0c.gif

hello_html_692a2635.gif

Найти:

hello_html_71abb278.gif

Решение:

hello_html_m32eda708.gif

hello_html_3fe03826.gif

hello_html_2401f46b.gif

hello_html_m3cb79f03.gif

hello_html_m7d9ed62e.gif

hello_html_60cfe1cf.gif

Ответ:0,4



Часть С.

1.

При каких значениях, а выражение 1+sin x (3 sin x + a cos x)не равно нулю ни при каких значениях х?

Решение:

hello_html_1bb5b8cc.gif

hello_html_29ab08f5.gif

hello_html_m3f993923.gif

hello_html_m68f99a37.gif

Уравнение однородное.

hello_html_1877d990.gif

hello_html_m3b437446.gif

Пусть tg x=x

hello_html_m5b0a9a72.gif

hello_html_m3291e010.gif

D<0

hello_html_m1be95ab6.gif

hello_html_796fdbf9.gif





hello_html_m1bd02c59.gif

Ответ:
hello_html_m1bd02c59.gif

Авторы работы надеются на то, что рассмотренные задания ЕГЭ, разнообразные по степени сложности, формулам и методам преобразования помогут учащимся 10 и 11 классов успешно подготовиться к ЕГЭ по этой теме. Еще раз подчеркнем, что знание формул необходимо.












Название документа Тригонометрические выражения.pptx

Поделитесь материалом с коллегами:

 Тригонометрические выражения
1 из 9

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1  Тригонометрические выражения
Описание слайда:

Тригонометрические выражения

№ слайда 2
Описание слайда:

№ слайда 3
Описание слайда:

№ слайда 4
Описание слайда:

№ слайда 5
Описание слайда:

№ слайда 6
Описание слайда:

№ слайда 7
Описание слайда:

№ слайда 8
Описание слайда:

№ слайда 9
Описание слайда:

Название документа Уравнения.ppt

Поделитесь материалом с коллегами:

1 из 12

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1
Описание слайда:

№ слайда 2
Описание слайда:

№ слайда 3
Описание слайда:

№ слайда 4
Описание слайда:

№ слайда 5
Описание слайда:

№ слайда 6
Описание слайда:

№ слайда 7
Описание слайда:

№ слайда 8
Описание слайда:

№ слайда 9
Описание слайда:

№ слайда 10
Описание слайда:

№ слайда 11
Описание слайда:

№ слайда 12
Описание слайда:

Название документа Урок-конференция.doc

Поделитесь материалом с коллегами:

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение лицей №11


hello_html_4f377d29.gif


Урок-конференция


hello_html_m510a2416.gif





Класс: 11А


Учитель:

Черных Наталия Витальевна





Цели:



  1. Обобщить и систематизировать знания по теме «Тригонометрия».

  2. Определить роль и место заданий этого раздела в системе заданий ЕГЭ.

  3. Способствовать развитию познавательного интереса, эрудиции учащихся, умению работать в команде.

  4. Приобщить учащихся к овладению информационно-коммуникационными средствами обучения.


Оборудование:

  1. Интерактивная доска.

  2. Мультимедиапроектор.

  3. Рефераты учащихся.

  4. Памятка «Изучаем, обобщаем и систематизируем тригонометрию».


Литература:

  • Н.Я.Виленкин и др. «Алгебра и математический анализ, 10 кл.» Учебник для классов с углубленным изучением математики.

  • М.Я.Выгодский «Справочник по элементарной математике».

  • Рабочая тетрадь для подготовки к ЕГЭ.

  • «Математика. Контрольно-измерительные материалы».

  • «Единый государственный экзамен по математике». Тесты 2002-2015 гг.

  • Кочагин В.В. «Математика. Сборник заданий ЕГЭ». Интенсивная подготовка. 2012 г.

Технологии:

  1. Личностно-ориентированное развивающее обучение.

  2. Технология применения средств ИКТ в предметном обучении.

  3. Технология компьютерного обучения.

  4. Технология проблемного обучения.

  5. Технология групповой деятельности.



Подготовительный этап.


Подготовка к конференции началась за месяц до её проведения. Класс разделился на три группы (учитывалось желание учащихся, а так же наличие в каждой группе сильных и слабых учащихся, учащихся, владеющих компьютерными технологиями, умеющих доступно и ясно донести до других решение того или иного задания).

В течение первой недели группы отбирали из различных источников: тестов ЕГЭ 2002-2015 г., контрольно-измерительных материалов, различных сборников заданий по своей теме:

1. «Тригонометрические выражения».

2. «Тригонометрические уравнения».

В результате этой работы появился список заданий Единого государственного экзамена, насчитывающий до 30-40 в каждом разделе.

Затем во время осенних каникул каждый учащийся решал эти задания. В каждой группе был выбран координатор из числа наиболее сильных учащихся. В первые три дня после каникул с каждой группой лично проведена консультация. Координаторы рассказали о вкладе каждого учащегося в общее дело. Те задания, которые вызывали наибольшее затруднение были прорешены вместе со всеми. Из каждой группы по два человека взялись за оформление реферата, основную часть которого и составили задания и их решение.

По 2-3 человека из оставшихся взялись за подготовку слайдов.

Учитель координировал эту работу, рекомендовав для презентации наиболее типичные, а также нестандартные задания.

За неделю до конференции рефераты были оформлены. Два дня ушло на их редакцию и написание рецензии.

Перед началом конференции участники получили программки, а так же памятки.

Ход конференции.


    1. Организационный момент.

Вступительное слово учителя.

Добрый день, уважаемые участники конференции! Сегодня нам предстоит обсудить очень важную и серьезную тему в курсе алгебры. Мы назвали ее «Обобщаем и систематизируем тригонометрию». Тема не нова, впервые мы с ней знакомились на уроках геометрии в восьмом классе, изучали ее в девятом классе. Программой десятого класса на нее отведено пятьдесят часов. Материал нами полностью изучен, выполнены четыре контрольные работы.

Заканчивая изучение столь значимой и большой по объему темы, мы подведем итоги. Поскольку всем вам предстоит по окончанию одиннадцатого класса сдавать экзамен, то очень важно усвоить тему. В одиннадцатом классе тригонометрия не изучается, лишь несколько вопросов, связанных с производной и первообразной, мы рассмотрим в следующем году. Учитывая то, что в ЕГЭ тригонометрия занимает 20-25% материала, для сегодняшней конференции задания составлены исключительно по материалам ЕГЭ.

Их можно условно разделить на три большие группы:

1. «Тригонометрические выражения».

2. «Тригонометрические уравнения».

И так, предоставим слово первой группе.


II. Основная часть.

Выступление участников конференции (материал каждой группы приводится). После выступления каждой группы учитель кратко комментирует их работу.


III. Подведение итогов.

Учитель даёт оценку работы каждой группе, отмечает наиболее отличившихся. Подводя итоги, учитель говорит о том, что материал конференции дает возможность эффективно подготовиться к единому государственному экзамену по тригонометрии (этот материал, как в печатном, так и в электронном виде есть в кабинете).


Приложение


Муниципальное казенное общеобразовательное

учреждение лицей №11 г. Россоши.













hello_html_m6b3013a7.gif


На тему: «Тригонометрические уравнения в системе заданий ЕГЭ»

Класс: 10 «А»




Выполнили:



Руководитель: учитель математики

Черных Наталия Витальевна










План:

  1. Вступление. Роль и место тригонометрических уравнений. Основные формулы.

  2. Основная часть. Методы решения тригонометрических уравнений. Примеры заданий единого государственного экзамена.

  3. Заключение. Задания для самостоятельного решения.


Литература:

  • Н.Я.Виленкин и др. «Алгебра и математический анализ, 10 кл.» Учебник для классов с углубленным изучением математики.

  • М.Я.Выгодский «Справочник по элементарной математике».

  • Рабочая тетрадь для подготовки к ЕГЭ.

  • «Математика. Контрольно-измерительные материалы».

  • «Единый государственный экзамен по математике». Тесты 2002-2015 гг.

  • Кочагин В.В. «Математика. Сборник заданий ЕГЭ». Интенсивная подготовка. 2009 г.

Вступление.


Роль и место тригонометрических уравнений.


Тригонометрические уравнения занимают важное место в системе заданий ЕГЭ. Как правило, эти уравнения встречаются в заданиях группы А (простейшие), группы В (смешанного типа, с отбором корней) и группы С (уравнения с модулем, параметрами). Что надо знать, чтобы решать тригонометрические уравнения? Это, конечно же, тригонометрические формулы.






Основные тригонометрические формулы

  1. Тригонометрические тождества:


  1. hello_html_m53d4ecad.gifsin2α + cos2α = 1

  1. tg α = hello_html_m13d36e88.gif

  1. ctg α = hello_html_m3e98cf61.gif

  1. tghello_html_2e28ff68.gifctghello_html_2e28ff68.gif = 1

  1. 1 + tg2hello_html_2e28ff68.gif = hello_html_7e85c017.gif

  1. 1 + ctg2hello_html_2e28ff68.gif = hello_html_59e4ca5e.gif


  1. Значения тригонометрических функций некоторых углов


α

0

hello_html_m1e307eb8.gif

hello_html_m12edfb30.gif

hello_html_m667a0225.gif

hello_html_7ad6e25.gif

π

hello_html_71e79311.gifπ

2π

sin α

0

hello_html_m3d4efe4.gif

hello_html_18bb84e9.gif

hello_html_m9b24522.gif

1

0

-1

0

cos α

1

hello_html_m9b24522.gif

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_18bb84e9.gif

hello_html_m3d4efe4.gif

0

-1

0

1

tg α

0

hello_html_m60f7e3e3.gif

1

hello_html_m980c3de.gif

0

0

ctg α

hello_html_m980c3de.gif

1

hello_html_m60f7e3e3.gif

0

0




  1. Тригонометрический круг

hello_html_m1e2ece0d.gif



sin α = y π = 1800

cos α = x π ≈ 3,14

tg α = hello_html_7f8f93d9.gif

ctg α = hello_html_m7d36df78.gif


  1. Формулы приведенияhello_html_m53d4ecad.gif

Для углов вида hello_html_m77fdfc92.gifn ± α

    1. Функция не меняется, если n – четно и меняется на «кофункцию», если n – нечетно;

    2. Перед приведенной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция (0 < α < hello_html_m77fdfc92.gif)

  1. Четность и нечетность

Косинус – четная функция, а синус, тангенс и котангенс – нечетные.


  1. Периодичность

Функции периодические; наименьший положительный период синуса и косинуса равен 2π, а тангенса и котангенса π.



  1. Формулы сложения.


    1. sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

    2. sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β

    3. cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β

    4. cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β

    5. tg (α + β) = hello_html_560d4d06.gif

    6. tg (α - β) = hello_html_599ba76c.gif


  1. Формулы двойного аргумента

    1. sin 2α = 2 sin α cos α;

    2. cos 2α = cos2 α - sin 2α;

    3. tg 2α = hello_html_2b50be98.gif.

  2. Формулы понижения степени (половинного аргумента)


    1. sin 2hello_html_31f22eed.gif= hello_html_m122bb928.gif

    2. cos2 hello_html_31f22eed.gif= hello_html_51a7b7f6.gif

    3. tg 2hello_html_31f22eed.gif= hello_html_m137e3202.gif

    4. tg hello_html_31f22eed.gif= hello_html_m5a0c4677.gif

    5. tg hello_html_31f22eed.gif= hello_html_f7e37e2.gif


  1. Формулы суммы и разности

      1. sin α + sin β = 2 sin hello_html_4b933f93.gifcos hello_html_m74534256.gif

      2. sin α - sin β = 2 sin hello_html_m74534256.gifcos hello_html_m7f9aa53d.gif

      3. cos α + cos β = 2 cos hello_html_4b933f93.gifcos hello_html_m74534256.gif

      4. cos α - cos β = - 2 sin hello_html_4b933f93.gif sin hello_html_m74534256.gif


  1. Формулы произведения

      1. sin α cos β = hello_html_m3d4efe4.gif( sin(α - β) + sin (α + β))

      2. cos α cos β = hello_html_m3d4efe4.gif( cos(α - β) + cos(α + β))

      3. sin α sin β = hello_html_m3d4efe4.gif( cos(α - β) - cos(α + β))


  1. Формулы корней тригонометрических уравнений

    1. sin x = a, hello_html_m36746e2d.gif ≤ 1

x = (-1)narcsin a + n π, n € Z

a = 1 x = hello_html_7ad6e25.gif + 2n π, n € Z

a = -1 x = -hello_html_7ad6e25.gif + 2n π, n € Z

a = 0 x = n π, n € Z


2. cos x = a, hello_html_m36746e2d.gif ≤ 1

x = ± arccos a + 2n π, n € Z

a = -1 x = π + 2n π, n € Z

a = 1 x = 2n π, n € Z

a = 0 x = hello_html_7ad6e25.gif + n π, n € Z

3. tg x = a

x = arctg a + n π, n € Z


4. ctg x = a

x = arcctg a + n π, n € Z


  1. Основная часть.

Основные методы решения тригонометрических уравнений:

  • Простейшие тригонометрические уравнения.

  • Замена переменной.

  • Однородные уравнения.

  • Разложение на множители.

  • Уравнения вида sin α x ± sin βx=0; cos α x ± cos β x=0.

  • Использование свойств функции.

  • Уравнения вида a sinwx + bcos wx = c.


Владение основными методами решения тригонометрических уравнений поможет быстро решить уравнения от А до С, если они традиционны, и сэкономить время для решения нестандартных уравнений, уравнений смешанного типа.

  1. Простейшие тригонометрические уравнения.

ЕГЭ. 2008г. А10. Решите уравнение:

hello_html_4fc0462d.gif

  1. hello_html_8dfe70f.gif 2) hello_html_m7a59ccc4.gif 3)hello_html_m6ef25a6e.gif

4) hello_html_55629876.gif

Решение: hello_html_m179ca41a.gif

hello_html_m18322f32.gif

hello_html_5a55c65.gif

hello_html_m6f56afa4.gif

Ответ: 1)

  1. Замена переменной

ЕГЭ, 2005г. С1. Решите уравнение:

hello_html_2eb178dc.gif

Решение: Это уравнение равносильно совокупности двух систем:

hello_html_1e532620.gifhello_html_7269539b.gif






Решим первую систему.

hello_html_m4f5f27ca.gif Пусть hello_html_7a58dae8.gif

hello_html_m3cd2bcf.gif

По теореме Виета найдем корни:

hello_html_430d6b30.gif=-2 посторонний корень, hello_html_52ddc088.gif=1

hello_html_25e46356.gif

hello_html_394c39af.gif

Решим вторую систему

hello_html_23c68f86.gif Пусть hello_html_m1decb679.gif

hello_html_680f14ae.gif

hello_html_430d6b30.gif=2 – посторонний корень,

hello_html_52ddc088.gif=-1

hello_html_m2204c8f5.gif

hello_html_13cace74.gif

Посмотрим, нельзя ли объединить эти решения. На тригонометрической окружности отметим эти решения. Видим, что их можно записать одной формулой. Ответ: hello_html_1091bc52.gif


III Однородные уравнения

hello_html_332691d4.gif –Однородное уравнение 1й степени:

hello_html_14b53128.gif – однородное уравнение 2й степени и т.д.

ЕГЭ, 2007г., В8. Решите уравнение:

hello_html_5398af39.gif. Найдите hello_html_m123991c3.gif

Решение: Применяя формулы двойного аргумента и основное тригонометрическое тождество, получим:

hello_html_6bc892d3.gif

hello_html_16cc1af5.gif

hello_html_m58bd42ce.gif

hello_html_m37f21f68.gif

hello_html_4b7c8ec6.gif

hello_html_m56ab9391.gif – Однородное уравнение 2й степени. Разделим обе его части на hello_html_16df96c5.gif. Получим:

hello_html_5ac734bf.gif

hello_html_76aefe83.gif

hello_html_m491805e5.gif

hello_html_m27550fc4.gif

Ответ: 0.5





IV Разложение на множители

ЕГЭ, 2007г., А4. Найдите корень уравнения:

hello_html_m5ff09547.gif на отрезке hello_html_743576df.gif

  1. hello_html_mafbfe13.gif; 2)hello_html_72484603.gif; 3)hello_html_m382e8f06.gif 4)hello_html_m6233ad9c.gif

Решение: hello_html_724cb56d.gif

hello_html_m245f8321.gif

hello_html_m118944e7.gif

hello_html_m37b1ff0b.gif или hello_html_551b2b1e.gif

hello_html_32c87a63.gif hello_html_5c88f063.gif

hello_html_1e846483.gif нет корней

n=2 hello_html_m41239037.gif

Ответ: 2)


V Уравнения вида: hello_html_ma163534.gif hello_html_3746855f.gif

ЕГЭ, 2007г., С1. Решите уравнение:

hello_html_5137221d.gif

Решение: Перенесем слагаемые в левую часть и сгруппируем:

hello_html_bdf966b.gif

Разделим обе части уравнения на 2.

hello_html_36acbddb.gif

hello_html_m67bd0746.gif

Воспользуемся формулой hello_html_m7ca5bbda.gif

hello_html_225f58a7.gif

hello_html_m4a6002f4.gif

hello_html_m1e5cb91a.gif

hello_html_5286a909.gif

hello_html_maf72d66.gif или hello_html_m5de8b2f1.gif

hello_html_m3fe61bce.gif hello_html_m121c9bf5.gif

hello_html_f69ae57.gif hello_html_48150756.gif

hello_html_m33bb803e.gif

hello_html_3769e2e6.gif

Ответ: hello_html_m3cf41724.gif


VI. Использование свойств функций.

  1. ЕГЭ, 2008., С2. Решите уравнение:

hello_html_m26627504.gif

Решение. hello_html_m7b60f366.gif

Так как hello_html_m1758c0e6.gif, то уравнение равносильно совокупности двух систем:

hello_html_m4f3b403a.gif

Рhello_html_1e532620.gifешим первую систему:

hello_html_1d685a12.gif hello_html_m3053ec2d.gif

hello_html_3981de44.gif hello_html_m34281b0b.gif

hello_html_m406a72c4.gif hello_html_md032c76.gif

hello_html_m40309c85.gif

hello_html_md032c76.gif

Решим вторую систему.

hello_html_1e532620.gifhello_html_m1be7de41.gif hello_html_c8239aa.gif

hello_html_14e6fc80.gif hello_html_6697fa8e.gif

hello_html_60c03117.gif hello_html_66c29996.gif

hello_html_431f9d78.gif

Так как вторая система не имеет решений, то ответ: hello_html_147d5f9f.gif



  1. ЕГЭ, 2008г., В7. Решите уравнение:

hello_html_m7b19c011.gif

Решение: hello_html_m1920d60e.gif

hello_html_m6d7d7f4c.gif

hello_html_m2f8b9d92.gif

hello_html_m6dfbe89a.gif

hello_html_m9103bdd.gif

hello_html_111a8cff.gif

hello_html_1d734e51.gif

hello_html_m343a7237.gif

Ответ: -1.2

В своей работе мы постарались рассмотреть различные методы решения уравнений.

Иногда, прежде чем получить уравнение, решаемое одним из вышеописанных методов, необходимо сделать ряд преобразований, опираясь на различные тригонометрические тождества. Во многих случаях помогает руководство следующими тремя правилами:

- увидел сумму – преобразуй в произведение;


- увидел произведение – преобразуй в сумму;


-увидел квадрат – понизь степень.

Наша работа адресована учащимся 10-11 классов, она поможет им систематизировать, обобщить и повторить тему «Решение тригонометрических уравнений», подготовиться к единому государственному экзамену. В свой реферат мы включили задания ЕГЭ разных лет, частей А, В и С. Чтобы эффективно подготовиться к экзамену, мы рекомендуем учащимся самостоятельно решить задания по этой теме, а затем проверить правильность решения. Желаем удачи!







Заключение.

III. Задания для самостоятельного решения.

Группа А.

  1. ЕГЭ, 2008г., А9. Решите уравнение:

hello_html_532d036c.gif

1)hello_html_m5985dd1c.gif; 2)hello_html_4def83.gif; 3)hello_html_m49c9aa60.gif; 4)hello_html_m13632b95.gif

2. Дем. вариант, 2007г., А10. Решите уравнение:

hello_html_m13db218d.gif

1)hello_html_m595bde16.gif; 2)hello_html_786a5c0e.gif; 3)hello_html_mad6bdec.gif; 4)hello_html_m9745227.gif

3. ЕГЭ, 2007г., А10. Решите уравнение:

1)hello_html_m6a764604.gif; 2)hello_html_75f3eaab.gif; 3)hello_html_m32faba2f.gif;

4)hello_html_m36c1085f.gif

4. ЕГЭ, 2005г., А9. Решите уравнение:

hello_html_m2320277.gif

1)hello_html_m13632b95.gif; 2)hello_html_1562c893.gif; 3)hello_html_mad7b6f0.gif; 4)hello_html_m47410894.gif

5. ЕГЭ, 2008г., А10. Решите уравнение:

hello_html_66bd050c.gif

1)0; 2)1; 3)-1; 4)hello_html_47861671.gif

6. Тренинг, 2008г., А8. Решите уравнение:

hello_html_6f84f57d.gif

1)hello_html_43195827.gif; 2)hello_html_33f56bb.gif; 3)hello_html_7c814dd7.gif; 4)hello_html_5e4cf9de.gif


7. Тренинг, 2007г, А9. Решите уравнение:

hello_html_m599b2127.gif

1)hello_html_6aa5666d.gif; 2)hello_html_33f56bb.gif; 3) hello_html_31bf05be.gif; 4)hello_html_5e4cf9de.gif

8. ЕГЭ, 2007г., А7. Найдите сумму корней уравнения hello_html_m2954a435.gif на отрезке hello_html_m77e15c82.gif

1)hello_html_m4d863f9.gif; 2)hello_html_7c692210.gif; 3)hello_html_m141b1f50.gif; 4)hello_html_1fca6dc0.gif

9. ЕГЭ, 2008г., А10. Решите уравнение:

hello_html_80f5489.gif

1)hello_html_m670fcb18.gif; 2)hello_html_2014cc50.gif; 3)hello_html_299a420f.gif; 4)hello_html_1fe2a4fc.gif

10. ЕГЭ, 2007г., А8. Решите уравнение:

hello_html_m54ff10f4.gif

1)hello_html_33f56bb.gif; 2)hello_html_5bb74608.gif; 3)hello_html_7c814dd7.gif; 4)hello_html_c209934.gif

Задания группы В.

  1. ЕГЭ, 2005г., В6. Сколько корней имеет уравнение:

hello_html_m223537d1.gif

  1. ЕГЭ, 2008г., В7. Решите уравнение:

hello_html_m13c1093c.gif

  1. ЕГЭ, 2008г, В7. Решите уравнение:

hello_html_m55976296.gif

  1. ЕГЭ, 2006г., В7. Найдите наименьший корень уравнения:

hello_html_4f1e3466.gif на промежутке hello_html_m10b7f228.gif

  1. ЕГЭ, 2003г., В5. Найдите сумму корней уравнения:

hello_html_m6cd77d1e.gif

на промежутке hello_html_c436a82.gif

Задания группы С

  1. Тренинг, 2007г., С1. Решите уравнение:

hello_html_me3667dc.gif

  1. Тренинг, 2007г., С1. Решите уравнение:

hello_html_561ac0e8.gif

  1. Тренинг, 2007г., С1. Решите уравнение:

hello_html_m7d363e7e.gif

  1. ЕГЭ, 2006г., С1. Решите уравнение:

hello_html_m167563c4.gif

  1. ЕГЭ, 2005г., С1. Решите уравнение:

hello_html_m4c5fbd3e.gif

  1. ЕГЭ, 2005г., С1. Решите уравнение:

hello_html_m25646f1.gif

  1. ЕГЭ, 2006г., с2. Решите уравнение:

hello_html_699015bd.gif

Решение:

Задания группы А.

  1. hello_html_532d036c.gif

hello_html_m4ebd42fe.gif

Ответ: 4)

  1. hello_html_m4bf8b352.gif

hello_html_m11255809.gif

hello_html_m39f52736.gif

hello_html_me701a95.gif

hello_html_6f24830b.gif

hello_html_m8a620de.gif

Ответ: 1)

  1. hello_html_678d178.gif

hello_html_719dc1f9.gif

hello_html_m1c89de8.gif

Ответ: 1)

  1. hello_html_m2320277.gif

hello_html_m76b1b387.gif

hello_html_m264cf32f.gif

Ответ: 4)

  1. hello_html_m1d7b6c1c.gif

hello_html_1d41041f.gif, hello_html_m70ed01d1.gif

hello_html_29be642c.gif

hello_html_115e7683.gif

hello_html_m6d9b98c1.gif

hello_html_575e5268.gif

hello_html_301f75d6.gif

hello_html_40ec8bb0.gif

hello_html_m79e6b09f.gif

hello_html_m69660396.gif

hello_html_mb2c5195.gif

Так как hello_html_m5520e71c.gif, то hello_html_2698c76a.gif

hello_html_m311687ac.gif

Ответ: 1)

  1. hello_html_m1ed59aa8.gif

hello_html_179dd319.gif

hello_html_m2f101c4c.gif

Ответ: 2)

  1. hello_html_m341ab8ea.gif

hello_html_m2ef1a734.gif

hello_html_1bad7b3d.gif

Ответ: 1)

  1. hello_html_m2954a435.gif

hello_html_m18302735.gif

hello_html_1038441a.gif

  1. hello_html_444154dc.gif

hello_html_m40595691.gif

hello_html_m67a7a1ab.gif

hello_html_17366303.gif

hello_html_m16832e20.gif

Ответ: 1)



  1. hello_html_m54ff10f4.gif

hello_html_7307ca68.gif, hello_html_7c8c74e7.gif

hello_html_mb658b1f.gif

hello_html_m6b037e9c.gif

hello_html_5999b8a.gif

hello_html_35065a29.gif

hello_html_391c22ee.gif

hello_html_m22d03033.gif

Ответ: 2)


Задания группы В.

  1. hello_html_588fd710.gif

ОДЗ: hello_html_m12f9f5d3.gif

hello_html_m5f8b2287.gif

hello_html_10330743.gif hello_html_m30af358e.gif

hello_html_m37c3a180.gif

hello_html_32ab0c5f.gif

hello_html_m5b28964a.gif

hello_html_m69392bad.gif или hello_html_m35ee6a55.gif

hello_html_531d84b9.gif hello_html_m5b7ba462.gif

hello_html_2698c76a.gif hello_html_m1b6b2b03.gif

hello_html_36822578.gif hello_html_m4b5b666.gif (hello_html_m1cd2215d.gif

hello_html_5f291606.gif hello_html_m12c84e06.gif

Ответ: 3 корня

  1. hello_html_2177ecbd.gif

hello_html_m610beb3a.gif

hello_html_515ef78a.gif

hello_html_m1df5423e.gif

hello_html_6b9029d3.gif, hello_html_4aaa3a1c.gif

hello_html_m28c75c5c.gif

hello_html_6c072417.gif

Ответ: ч=0,4

  1. hello_html_6a0399b7.gif

hello_html_m436bd9fc.gif hello_html_1f2ecf89.gif

hello_html_m47bc8f41.gif hello_html_m137e4a8f.gif

hello_html_73504b9d.gif

hello_html_m63c9cc17.gif

Равенство возможно, если:

hello_html_m7861a550.gif

hello_html_393bae1f.gif

hello_html_1a8301c.gif

hello_html_668b079a.gif

Ответ: -0,4

  1. hello_html_379d6cc8.gif

hello_html_7dbb3786.gif

hello_html_m28868349.gif

hello_html_m3a58802e.gif

hello_html_3f072719.gif

hello_html_d18163.gif

hello_html_42c91818.gif

hello_html_m3f828e00.gif

hello_html_23f37e6e.gif

hello_html_2ce6f257.gif

hello_html_m399e862a.gif

hello_html_4cc6e1d0.gif

hello_html_ma71a5ee.gif или hello_html_m47fe0e40.gif, hello_html_33c93d3a.gif

hello_html_m278a081e.gif hello_html_4d08caa9.gif

hello_html_m1b8121bd.gif hello_html_e700eeb.gif

hello_html_m146385d7.gif

Выберем наименьший корень уравнения на промежутке hello_html_599923f3.gif; hello_html_31cf515f.gif

hello_html_33c93d3a.gif hello_html_m2c31a36a.gif

hello_html_4765c2e3.gif

hello_html_54872af2.gif

hello_html_2698c76a.gif hello_html_13f20d87.gif

hello_html_36822578.gif hello_html_6b60b57.gif

hello_html_m2dc6b228.gif hello_html_1aa2f180.gif

hello_html_m1b8121bd.gif hello_html_6d8b5911.gif

hello_html_2698c76a.gif hello_html_9e767cd.gif hello_html_m5d86813b.gif

hello_html_42765872.gif hello_html_m65ad1c2d.gif

hello_html_2698c76a.gif hello_html_m7ee308f9.gif

Ответ: 0,125

  1. hello_html_mf9eac4e.gif

Используем формулы приведения:

hello_html_2f9c8d1.gif

hello_html_m9266d51.gif

hello_html_6b6d3fb8.gif

hello_html_2aa7e579.gif

hello_html_m2ddb7255.gif

hello_html_m28c78e22.gif

hello_html_6ab0a122.gif

hello_html_m72cc8551.gif

hello_html_4a0d69a5.gif

hello_html_71955358.gif или hello_html_m45e2ed92.gif

hello_html_m27939f5e.gif hello_html_e700eeb.gif

hello_html_1e6c0662.gif hello_html_m146385d7.gif

hello_html_64d49cc1.gif

Найдем корни уравнения, принадлежащие промежутку hello_html_c436a82.gif

Сначала исключим числа вида:

hello_html_m1dfee5d4.gif hello_html_1dbc66e5.gif

hello_html_d63a5e5.gif

hello_html_7d146129.gif

hello_html_m34bfe6c3.gif

hello_html_386d17f.gif hello_html_5c2309b.gif hello_html_42765872.gif hello_html_57ed7bba.gif

hello_html_7f46e044.gif hello_html_m22f473cb.gif

hello_html_m6d787406.gif hello_html_36822578.gif

hello_html_2d3b2b90.gif

hello_html_m72759fb3.gif – корень hello_html_m7943c5df.gif - не корень

hello_html_m7943c5df.gif - не корень

hello_html_m61fb8163.gif - корень

Найдем единицу корней:

hello_html_398cac0f.gif

Ответ: 4.





Задания группы С.

  1. hello_html_me3667dc.gif

Решение: Уравнение равносильно совокупности двух систем:

hello_html_m7631125e.gif

hello_html_m33e3b9ce.gif

Решим первую систему.

hello_html_m747e533c.gif

hello_html_5cd2bfdf.gif

hello_html_532d036c.gif или hello_html_440767e.gif

hello_html_531d84b9.gif hello_html_25e46356.gif

hello_html_613bfe3f.gif hello_html_m72699407.gif

hello_html_531d84b9.gif

Решим вторую систему:

hello_html_125bf31d.gif

Так как hello_html_m3a4aedb8.gif, т.е. hello_html_m28ef07f4.gif, то сократим на hello_html_4ee288e7.gif.

hello_html_m2204c8f5.gif

hello_html_m54c043ae.gif

hello_html_2088da3d.gif

Ответ: hello_html_m13632b95.gif

  1. hello_html_2701a6cf.gif

Решение:

hello_html_m154375.gif

hello_html_m13fb7db5.gif

Так как hello_html_m4be3b992.gif, то hello_html_7e559c3b.gif, значит, hello_html_3e5d623a.gif.

hello_html_mbd01ec5.gif, hello_html_26b84ae.gif

Имеем уравнение:

hello_html_m3173c6ce.gif

hello_html_m5b2610c4.gif

hello_html_3b82f669.gif

hello_html_m5ff8d3c.gif

hello_html_m715dd72b.gif

Ответ: hello_html_m6a194161.gif

  1. hello_html_m92d445.gif

Решение: Используя определение корня, получим:

hello_html_340df4a8.gif,

hello_html_5eb32a65.gif

hello_html_m652d343c.gif

hello_html_m1f21012a.gif

hello_html_4e31bee0.gif

hello_html_m6b3cf710.gif,

hello_html_4e31bee0.gif

hello_html_43978012.gif

hello_html_c375617.gif

hello_html_33c308fd.gif,

hello_html_4e31bee0.gif

hello_html_2698c76a.gif hello_html_m335d4b7a.gif – корень

hello_html_36822578.gif hello_html_7ad9ef58.gif – не корень

hello_html_5f291606.gif hello_html_29b31f24.gif - не корень

Ответ: hello_html_5b411f4b.gif

  1. hello_html_m39bb4be3.gif

Решение: hello_html_64aacde1.gif

hello_html_7697f5fc.gif hello_html_m2c1c2cf3.gif

hello_html_m20d6e452.gif

hello_html_m31f98641.gif

hello_html_44e01e69.gif

hello_html_m7e8f2488.gif

hello_html_1415cd91.gif

Пусть hello_html_11464613.gif, hello_html_591ef8c1.gif

hello_html_317f8180.gif

hello_html_m39b78336.gif

hello_html_mc646cd.gif, hello_html_32d8d809.gif

hello_html_7b4ff545.gif или hello_html_m43434094.gif

hello_html_4dc546f.gif

hello_html_1991d113.gif

Ответ: hello_html_m4485af3.gif

  1. hello_html_m4c5fbd3e.gif

Решение: hello_html_m846a1c8.gif

hello_html_m5a55a8dd.gif

hello_html_51a6b824.gif

hello_html_32ba204a.gif

Сумма квадратов двух выражений равна тогда и только тогда, когда каждое выражение равно 0.

hello_html_m7fc345cd.gif hello_html_m4a310f9b.gif

hello_html_m43cd97af.gif hello_html_m5ab57a13.gif

hello_html_67102db0.gif hello_html_m75c39c80.gif

hello_html_22d76738.gif

hello_html_69babd55.gif или hello_html_27f76990.gif

hello_html_4f2f387d.gif hello_html_m6700e11b.gif

hello_html_m47992c29.gif hello_html_2fab29ad.gif

hello_html_35c25ad7.gif

Ответ: hello_html_440ea45d.gif

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение лицей №11 г. Россоши










Реферат на тему:

«Тригонометрические выражения в системе заданий ЕГЭ»

Класс: 11«А»

Выполнили:

Руководитель: Черных Наталия Витальевна
















План.


. Вступление. Роль и место тригонометрических выражений в системе заданий ЕГЭ.


. Основная часть. Формулы. Примеры тригонометрических выражений.


. Заключение. Задания для самостоятельной работы.




Литература:


  • Н.Я.Виленкин и др. «Алгебра и математический анализ, 10 кл.» Учебник для классов с углубленным изучением математики.

  • М.Я.Выгодский «Справочник по элементарной математике».

  • Рабочая тетрадь для подготовки к ЕГЭ.

  • «Математика. Контрольно-измерительные материалы».

  • «Единый государственный экзамен по математике». Тесты 2002-2012гг.

  • Кочагин В.В. «Математика. Сборник заданий ЕГЭ». Интенсивная подготовка. 2009 г.


. Вступление.

Тригонометрические выражения широко представлены в группе А и в группе В. В заданиях группы А обычно используется прямое применение формул. Задания группы В требуют последовательного применения разных формул. Очень редко, но всё же встречаются такие задания в группе С. Обычно это очень сложное выражение, содержащее параметр, требующее не только знания разных формул и способов преобразования, но и нестандартного мышления. В своей работе мы приведём и такие примеры.


. Основная часть.

Что надо знать, чтобы преобразовать тригонометрические выражения. Это, прежде всего, тригонометрические формулы.


Рассмотрим несколько примеров.

Каждый год в ЕГЭ встречаются задания на применение формул приведения.

ЕГЭ, 2008, В 2. Найдите значение выражения 11hello_html_7b5a410b.gif , если sin= -0,8

Решение: 11cos( - hello_html_6e17112e.gif+ 6sin(hello_html_m535e16a2.gif = 11cos( - hello_html_44ba0748.gif

-5*(-0,8)=4

Ответ: 4

Часто встречаются задания, когда, зная значение одной тригонометрической функции, надо найти другую.

ЕГЭ, 2008, В 3. Найдите значение выражения hello_html_3fe92737.gif, если sinhello_html_27b90f6e.gif, если hello_html_4e17760b.gif

Решение: hello_html_m2530fdda.gif

hello_html_md21376d.gif

Так как [hello_html_47e97262.gif; hello_html_7d4d87f9.gif], то - угол четверти, значит, hello_html_m44c68141.gif

Отсюда следует hello_html_79234929.gif

hello_html_59e8eec4.gifcos= hello_html_48c09c17.gif

Ответ: -3

Если в выражении есть двойной угол, то, как правило, нужно применить формулы двойного угла.


ЕГЭ, 2005 г., А 4. Найдите значение выражения 2hello_html_5b72b7eb.gif, если х = hello_html_6328b73.gif.

1) 0; 2) 0,5; 3)-0,5; 4)-2

Sin2x= 2hello_html_7f61c168.gif

2hello_html_2b65ab50.gif

Ответ: 3) -0,5


ЕГЭ, 2007, В 5. Найдите значение выражения 9hello_html_m4d7b9ac.gif, если sinx = 1/3, hello_html_723ee1a0.gif

Решение: hello_html_3ead9dd3.gif, hello_html_44e01e69.gif

Так как x (hello_html_m38728994.gif, то х – угол V или четверти, значит, hello_html_2903a30a.gif hello_html_2eab6a84.gif hello_html_m363ca710.gif

9hello_html_1e73b44f.gif

Ответ: 8


Знание формул сложения помогут быстро справиться с заданием типа

ЕГЭ, 2005г., В 4. Найдите значение выражения hello_html_m2b32fcc1.gif

Решение: hello_html_4986943d.gif hello_html_37c060f4.gif hello_html_46495254.gif

Ответ: 1


Формулы понижения степени приходится применять при выполнении заданий типа:

ЕГЭ, 2007г., В 6. Вычислите: 1,5hello_html_mc94fa0.gif

Решение:

hello_html_m4ccd6b37.gif


hello_html_m2ceb2bf9.gif


hello_html_m657e0a48.gif

hello_html_21636da1.gif


=hello_html_m67ffc9ce.gif


hello_html_m44c143af.gif

1,5hello_html_m8222b03.gif=1

ответ: 1


Рассмотрим несколько нестандартных заданий

1 ЕГЭ, 2006, В 7. Найдите значение выражения:


hello_html_m1cfdab.gif


Решение: hello_html_me4faa95.gif=hello_html_7eca2260.gif = hello_html_m4063de7b.gif


hello_html_m5eac68a0.gif =hello_html_m14984d4b.gif= hello_html_m6b808cf2.gif


hello_html_7ffb2142.gif

Получим: hello_html_m52b57d08.gif

чтобы избавиться от знака модуля в числителе, найдите область определения выражения: hello_html_m3901e3cd.gif hello_html_m269a30f1.gif hello_html_3af5d06.gif hello_html_18482057.gif hello_html_m1397bbed.gif hello_html_397f6473.gif

+ -- +

hello_html_m67a7935a.gif¾ 1

hello_html_m7f2196c2.gif

Определим знак выражений hello_html_105c4490.gif и hello_html_39095370.gif - четверть (х(0;/2))

hello_html_48311be2.gif

/6 ¾ x 1 hello_html_m18fecd9b.gif

hello_html_58dd8812.gif

Так как y=sinx возрастает при х(0;/2), то hello_html_m418d1530.gif hello_html_5a8f548b.gif hello_html_424042a4.gif hello_html_418ba226.gif

hello_html_m557873bb.gif

¾ x 1 /3


Y= cosx убывает при х(0;/2), поэтому hello_html_m3672c5de.gif hello_html_m5ed11d24.gif hello_html_m6dd1f177.gif hello_html_m1ad725fe.gif

Получим: hello_html_37a2de9a.gif

Ответ: 0


2 ЕГЭ, 2002г., С 3. При каких значениях а выражение hello_html_2166ff16.gif не равно нулю ни при каких значениях а?

Решение: Пусть выражение равно 0. hello_html_c7c778f.gif

hello_html_5ec9b938.gif hello_html_277a5549.gif hello_html_31d08142.gif

Разделим обе части уравнения на hello_html_60e49d3d.gif hello_html_m69e89408.gif

hello_html_17cb32c7.gif

Пусть hello_html_44f9907d.gif hello_html_34114da6.gif

Уравнение квадратное. Оно не имеет решений, если D0 hello_html_m7f32f41d.gif

hello_html_46e84373.gif hello_html_m11ccc28b.gif hello_html_m15861201.gif

Ответ: при hello_html_m15861201.gif выражение hello_html_2166ff16.gif не равно ни при каких значениях х.


ЕГЭ, 2002г., С 3. Найдите наименьшее значение выражения: hello_html_m443a9ba8.gif

Решение:

Пhello_html_m5ed0452b.gifреобразуем числитель дроби: hello_html_m739893dc.gif

Используем формулы: hello_html_58e71152.gif;

hello_html_75d3d79c.gifhello_html_1dc45399.gif hello_html_m624ade42.gif hello_html_m66a73cbf.gif hello_html_7312aae2.gif hello_html_m19736164.gif

Пусть hello_html_m76791f7c.gif. Получим: hello_html_m201c0226.gif

Разложим многочлен на множители:

hello_html_m53945f3e.gif

Для этого мы использовали формулы сокращённого умножения:

hello_html_m484e771e.gif hello_html_m77da0ca2.gif

Получим выражение:

hello_html_m7b240b1f.gif

hello_html_49eb8af6.gif hello_html_798fb72a.gif hello_html_m37a39c6b.gif

Наименьшее целое значение это выражение примет, если hello_html_a5cd488.gif будет равен 0. Тогда hello_html_m3661e141.gif

Ответ: 3


. Заключение

Задания для самостоятельного решения.




Памятка по темеhello_html_m53d4ecad.gif «Тригонометрия»


Основные тригонометрические формулы

  1. Тригонометрические тождества:


  1. hello_html_m53d4ecad.gifsin2α + cos2α = 1

  1. tg α = hello_html_m13d36e88.gif

  1. ctg α = hello_html_m3e98cf61.gif

  1. tghello_html_2e28ff68.gifctghello_html_2e28ff68.gif = 1

  1. 1 + tg2hello_html_2e28ff68.gif = hello_html_7e85c017.gif

  1. 1 + ctg2hello_html_2e28ff68.gif = hello_html_59e4ca5e.gif


  1. Значения тригонометрических функций некоторых углов


α

0

hello_html_m1e307eb8.gif

hello_html_m12edfb30.gif

hello_html_m667a0225.gif

hello_html_7ad6e25.gif

π

hello_html_615a29fb.gifπ

2π

sin α

0

hello_html_m3d4efe4.gif

hello_html_18bb84e9.gif

hello_html_m9b24522.gif

1

0

-1

0

cos α

1

hello_html_m9b24522.gif

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_18bb84e9.gif

hello_html_m3d4efe4.gif

0

-1

0

1

tg α

0

hello_html_m60f7e3e3.gif

1

hello_html_m980c3de.gif

0

0

ctg α

hello_html_m980c3de.gif

1

hello_html_m60f7e3e3.gif

0

0


  1. Тригонометрический круг

hello_html_m1e2ece0d.gif



sin α = y π = 1800

cos α = x π ≈ 3,14

tg α = hello_html_7f8f93d9.gif

ctg α = hello_html_m7d36df78.gif


  1. Формулы приведенияhello_html_m53d4ecad.gif

Для углов вида hello_html_m77fdfc92.gifn ± α

    1. Функция не меняется, если n – четно и меняется на «кофункцию», если n – нечетно;

    2. Перед приведенной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция (0 < α < hello_html_m77fdfc92.gif)

  1. Четность и нечетность

Косинус – четная функция, а синус, тангенс и котангенс – нечетные.


  1. Периодичность

Функции периодические; наименьший положительный период синуса и косинуса равен 2π, а тангенса и котангенса π.


  1. Формулы сложения.


    1. sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

    2. sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β

    3. cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β

    4. cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β

    5. tg (α + β) = hello_html_560d4d06.gif

    6. tg (α - β) = hello_html_599ba76c.gif


  1. Формулы двойного аргумента

    1. sin 2α = 2 sin α cos α;

    2. cos 2α = cos2 α - sin 2α;

    3. tg 2α = hello_html_2b50be98.gif.

  2. Формулы понижения степени (половинного аргумента)


    1. sin 2hello_html_31f22eed.gif= hello_html_m122bb928.gif

    2. cos2 hello_html_31f22eed.gif= hello_html_51a7b7f6.gif

    3. tg 2hello_html_31f22eed.gif= hello_html_m137e3202.gif

    4. tg hello_html_31f22eed.gif= hello_html_m5a0c4677.gif

    5. tg hello_html_31f22eed.gif= hello_html_f7e37e2.gif


  1. Формулы суммы и разности

      1. sin α + sin β = 2 sin hello_html_4b933f93.gifcos hello_html_m74534256.gif

      2. sin α - sin β = 2 sin hello_html_m74534256.gifcos hello_html_m7f9aa53d.gif

      3. cos α + cos β = 2 cos hello_html_4b933f93.gifcos hello_html_m74534256.gif

      4. cos α - cos β = - 2 sin hello_html_4b933f93.gif sin hello_html_m74534256.gif


  1. Формулы произведения

      1. sin α cos β = hello_html_m3d4efe4.gif( sin(α - β) + sin (α + β))

      2. cos α cos β = hello_html_m3d4efe4.gif( cos(α - β) + cos(α + β))

      3. sin α sin β = hello_html_m3d4efe4.gif( cos(α - β) - cos(α + β))




  1. Формулы корней тригонометрических уравнений

    1. sin x = a, hello_html_m36746e2d.gif ≤ 1

x = (-1)narcsin a + n π, n € Z

a = 1 x = hello_html_7ad6e25.gif + 2n π, n € Z

a = -1 x = -hello_html_7ad6e25.gif + 2n π, n € Z

a = 0 x = n π, n € Z


2. cos x = a, hello_html_m36746e2d.gif ≤ 1

x = ± arccos a + 2n π, n € Z

a = -1 x = π + 2n π, n € Z

a = 1 x = 2n π, n € Z

a = 0 x = hello_html_7ad6e25.gif + n π, n € Z

3. tg x = a

x = arctg a + n π, n € Z


4. ctg x = a

x = arcctg a + n π, n € Z


Основные методы решения тригонометрических уравнений:

  • Простейшие тригонометрические уравнения.

  • Замена переменной.

  • Однородные уравнения.

  • Разложение на множители.

  • Уравнения вида sin α x ± sin βx = 0; cos α x ± cos β x = 0.

  • Использование свойств функции.

  • Уравнения вида a sinwx + bcos wx = c.


Советы тем, кто решает тригонометрическое уравнение:

    • Увидел сумму – преобразуй в произведение;

    • Увидел произведение – преобразуй в сумму;

    • Увидел квадрат – понизь степень.


Программа для урока

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение лицей №11


hello_html_4f377d29.gif


Урок-конференция


hello_html_m510a2416.gif





Класс: 10А


Учитель:

Черных Наталия Витальевна





16 ноября 2012 года


Прошу Вас запомнить.

Запомнить, что можно

Любое на свете заданье решить.

Коль вычесть унынье,

Терпенье прибавить,

Волю умножить,

Любовь разделить.




hello_html_22c4d48e.gif




  1. Организационный момент. Вступительное слово учителя.


  1. Роль и место тригонометрии в системе заданий ЕГЭ.



        1. «Тригонометрические выражения в системе заданий ЕГЭ».


        1. «Тригонометрические уравнения в системе заданий ЕГЭ».


  1. Подведение итогов.


Название документа задания по т еме.docx

Поделитесь материалом с коллегами:

Задания по теме «Выражения»

Часть В

  1. 2002 г. Найти значение выражения: hello_html_1ccf75c0.gif

  2. 2006 г. Найти значение выражения: hello_html_4f3425b4.gif

  3. 2007 г. Найти значение выражения: 1.5 hello_html_m5b54d22f.gif

  4. 2006 г. Найти значение выражения: hello_html_m5b4cc9fa.gif и hello_html_2264ad67.gif

  5. 2006 г. Найти значение выражения: 49(1-hello_html_m18e3a8c7.gif

  6. 2008 г. Найти значение выражения:

hello_html_45cfa531.gif

  1. 2008 г. Найти значение выражения: hello_html_5107bea9.gifесли hello_html_m450390d6.gif, hello_html_m67681b9e.gif

  2. 2012 г. Найти значение выражения: hello_html_m770bdc0a.gif

  3. 2012 г. В треугольнике АВС hello_html_7d29c404.gif. Найти sinB.

  4. 2006 г. Найти hello_html_m5662d4bf.gif

  5. 2006 г. Найти значение выражения:

hello_html_541f2b66.gif

  1. 2010 г. Найти hello_html_m4e48ec1c.gifесли hello_html_6a88181b.gif

  2. 2010 г. Найти произведение наибольшего и наименьшего значений функции

hello_html_m5ef7b4ab.gif

  1. 2006 г. Найти значение выражения:

96hello_html_m78a077c2.gif

  1. 2002 г. Найти значение выражения: hello_html_m2dcae166.gif

  2. 2002 г. Найти значение выражения: hello_html_5013e6de.gif

  3. 2002 г. Найти значение выражения: hello_html_m69589fc3.gif

Часть С.

  1. 2002 г. При каких значениях а выражение hello_html_m1ca1aac8.gif не равно нулю ни при каких значениях x?

  2. 2003 г. Найти множество значений функции

  1. hello_html_70823cda.gif




Автор
Дата добавления 11.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров195
Номер материала ДВ-444549
Получить свидетельство о публикации

Комментарии:

1 год назад

конференции нет по географии


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх