Урок-лекция. Простейшие тригонометрические уравнения. Урок №1

Урок №1

Тема . Простейшие тригонометрические уравнения .

Цель . Усвоение учащимися вывода и использование формул для определения корней уравнения sin x = a  , cos x = a , tg x = a , ctg x = a .

 Тип урока. Урок – лекция

Мотивация обучения .

       Решая квадратные уравнения , мы пользовались выведенными формулами корней , что значительно упрощало работу . Выведем формулы корней тригонометрических уравнений для упрощения их решения .

       Объявляется тема и дидактическая цель урока .

       Изучение нового материала .

I. Определение  . Равенство тригонометрических выражений , содержащих неизвестное только под знаком тригонометрических функций называется тригонометрическим уравнением .

sin x = a

      Если |а| > 1 , то уравнение sin x = a   не имеет решений , так как |sin x| £ 1  для любого х . Отложим на оси ординат а – значение синуса. Этому   значению на единичной окружности соответствуют точки  и , причём  .

На этом отрезке функция синус возрастает и уравнение sin x = a   имеет единственный корень

 х₁ = arcsin a.

  На отрезке   функция синус убывает и принимает все значения от – 1 до 1 . По теореме о корне уравнение имеет один корень x₂ = p - arcsin a /

  Итак , с учётом периодичности уравнение sin x = a  имеет два решения

 х₁ =  arcsin a + 2pn, n Î Z

x₂ = p - arcsin a  + 2pn , n Î Z .

 Удобно записывать эти оба решения одной формулой :

           х =(-1)^k arcsin a +  pk, k Î Z .

Если  k = 2n , то х₁ =  arcsin a + 2pn, n Î Z .

Если  k = 2n + 1 ,то x₂ = p - arcsin a  + 2pn , n Î Z .

    При изучении свойств функции у = sin x  мы находили путём логических рассуждений нули функции  из условия  sin x  = 0 , экстремальные точки из условия sin x  = 1 и sin x  = - 1 . Фактически мы находили корни особых случаев решения уравнения sin x  = а .

Они имели вид :

sin x   = 0          х = pn, n Î Z .

sin x   = 1          х = + 2pn, n Î Z .

sin x  = -1          х = -+ 2pn, n Î Z .

Примеры

1.    sin x   =

        х =(-1)^k arcsin  +  pk, k Î Z .

  так как    arcsin =   , то

х =(-1)^k   +  pk, k Î Z .

2.  sin 2x   =  –

        2х =(-1)^k arcsin  +  pk, k Î Z .

  так как    arcsin = -  arcsin =  -  , то

2х =(-1)^k+1   +  pk, k Î Z .

х =(-1)^k+1   +  , k Î Z .

II.   cos x = a

Если |а| > 1 , то уравнение cos x = a не имеет решений , так как | cos x | £ 1  для любого х . Пусть | а | £ 1  . Надо найти все такие числа х , для которых cos x = a . На отрезке  существует одно такое решение – это арккосинус числа а.

      Косинус чётная функция , и , значит , на отрезке уравнение имеет   в точности одно решение , это число   - arccos a.

  Итак, уравнение  cos x = a  на отрезке  длиной 2p имеет два решения :

    х₁ =   arccos a ,

    х₂= - arccos a.

Вследствие периодичности функции косинус все остальные решения отличаются от этих на 2pn , nÎ Z и объединяются в одну формулу :

 х  =  ± arccos a + 2pn , nÎ Z .

 Решение уравнения можно проиллюстрировать на единичной окружности .

  По определению cos x – это абсцисса точки Р_х  единичной окружности .      Если |а| < 1 , то таких точек две ;  если же а = 1 или а = - 1 , то одна .

При а = 1 числа   arccos a и  - arccos a совпадают ( они равны нулю ) , поэтому решением уравнения  cos x=1 будет   х = 2p n , nÎ Z .

  При  а = - 1   имеем :   cos x= -1         х = p +  2p n , nÎ Z .

  При  а = 0     имеем :   cos x= 0         х = + p n , nÎ Z .

Примеры :

1. cos x=  

х = ± arccos  + 2p n , nÎ Z .

так как  arccos =  , то

х = ±   + 2p n , nÎ Z .

            Ответ :   ±   + 2p n , nÎ Z .

III.              tg x = a

    При любом а  на интервале имеется только одно значение х , такое число х , что tg x = a   - это arctg a.

   Поэтому  уравнение tg x = a на интервале   имеет единственный корень . Функция у = tg x  периодическая , её наименьший период p. Следовательно , остальные корни отличаются от найденного на pn ,

                    х = arctg a + pn , nÎ Z .

   Решение уравнения tg x = a проиллюстрируем на единичной окружности .

 Для любого числа а на линии тангенсов есть лишь одна точка с ординатой а , это точка

Т ( 1 ; а ).  Прямая ОТ пересекается с единичной окружностью ; при этом интервалу

 соответствует точка х₁ правой полуокружности , такая , что х = arctg a .

   Для уравнения   сtg x = a корень   х = arсctg a + pn , nÎ Z .

 Примеры :

1.        tg x =

х = arctg  + pn , nÎ Z .

х =  + pn , nÎ Z .

 Ответ : х =  + pn , nÎ Z .

2.        сtg x =

Это уравнение можно решить двумя способами .

 I .    tg x =                                                    II .  сtg x =

х = arctg  + pn , nÎ Z ;                                        х = arcctg  + pn , nÎ Z;

х =  + pn , nÎ Z ;                                                          х =  + pn , nÎ Z ;

 Ответ : х =  + pn , nÎ Z .

Домашнее задание : уч. Никольский С.М.  п 11.1 . № 11.2 ( а-в) , 11.3(а-в) .

Итог урока : 1. С какими новыми уравнениями познакомились ?

                      2.  Каковы формулы корней простейших

                                           тригонометрических уравнений ?

Краткое описание документа:

В Крыму при переходе под российскую юрисдикцию многим школам достался учебник Алгебры под редакцией Никольского С.М. В средней школе работать по нему трудно, поэтому приходится использовать старые методические разработки. Данное пособие удобно тем, что из него можно "вырывать" пример, редактировать и формировать карточки, пособия.

Хочу так же добавить что участие в разработке этого пособия участвовала Плывч Валентина Николаевна.