Урок №1
Тема . Простейшие тригонометрические уравнения .
Цель . Усвоение
учащимися вывода и использование формул для определения корней уравнения sin x = a , cos x
= a , tg x = a , ctg x = a
.
Тип
урока. Урок – лекция
Мотивация
обучения .
Решая квадратные уравнения , мы пользовались выведенными формулами корней , что
значительно упрощало работу . Выведем формулы корней тригонометрических
уравнений для упрощения их решения .
Объявляется тема и дидактическая цель урока .
Изучение нового материала .
I. Определение
. Равенство тригонометрических выражений , содержащих неизвестное
только под знаком тригонометрических функций называется тригонометрическим
уравнением .
sin x = a
Если |а| > 1 , то уравнение sin x = a не имеет решений , так как |sin x| £ 1 для любого х . Отложим на оси ординат а – значение синуса. Этому значению на единичной
окружности соответствуют точки и , причём .
На этом отрезке
функция синус возрастает и уравнение sin x = a имеет единственный корень
х1
= arcsin a.
На отрезке функция
синус убывает и принимает все значения от – 1 до 1 . По теореме о корне
уравнение имеет один корень x2 = p - arcsin a
/
Итак , с учётом периодичности
уравнение sin x = a имеет два решения
х1
= arcsin a + 2pn, n
Î Z
x2 = p - arcsin a + 2pn
, n Î Z .
Удобно записывать эти оба
решения одной формулой :
х
=(-1)k arcsin a + pk, k
Î Z .
Если k = 2n , то х1 = arcsin a
+ 2pn, n
Î Z .
Если k = 2n + 1 ,то x2 = p - arcsin a + 2pn , n Î Z .
При изучении свойств функции у =
sin x мы находили путём логических рассуждений нули функции из условия sin
x = 0 , экстремальные точки из условия sin x = 1 и sin x = - 1 . Фактически мы
находили корни особых случаев решения уравнения sin x = а .
Они
имели вид :
sin x = 0 х = pn, n Î Z .
sin x = 1 х = + 2pn, n Î Z .
sin x = -1 х = -+ 2pn, n Î Z .
Примеры
1. sin x =
х =(-1)k arcsin
+ pk,
k Î Z .
так как arcsin = , то
х =(-1)k + pk, k Î Z .
2. sin 2x = –
2х =(-1)k arcsin
+ pk,
k Î Z .
так как arcsin = - arcsin = - , то
2х =(-1)k+1 + pk, k Î Z .
х =(-1)k+1 + , k
Î Z .
II. cos x = a
Если |а| > 1 , то
уравнение cos x = a не имеет решений , так как | cos x | £
1 для любого х . Пусть | а | £ 1 . Надо
найти все такие числа х , для которых cos x = a . На отрезке существует
одно такое решение – это арккосинус числа а.
Косинус чётная функция , и ,
значит , на отрезке уравнение имеет в точности
одно решение , это число - arccos a.
Итак, уравнение cos x = a на отрезке длиной
2p имеет два решения :
х1 =
arccos a ,
х2= - arccos a.
Вследствие
периодичности функции косинус все остальные решения отличаются от этих на 2pn
, nÎ Z и объединяются в одну формулу :
х = ± arccos a + 2pn , nÎ Z .
Решение уравнения можно
проиллюстрировать на единичной окружности .
По определению cos x – это абсцисса точки Рх единичной окружности . Если |а| < 1 , то таких точек две ; если же а
= 1 или а = - 1 , то одна .
При а = 1 числа arccos a и - arccos a совпадают ( они равны нулю ) ,
поэтому решением уравнения cos x=1 будет х = 2p n ,
nÎ Z .
При а = - 1 имеем : cos x= -1
х = p + 2p n , nÎ Z .
При а = 0 имеем : cos x= 0
х = + p n ,
nÎ Z .
Примеры :
- cos x=
х = ± arccos
+ 2p n , nÎ Z .
так
как arccos = , то
х = ± + 2p n ,
nÎ Z .
Ответ : ± + 2p n
, nÎ Z .
III.
tg x = a
При любом а на интервале имеется только одно значение х , такое
число х , что tg x = a - это arctg a.
Поэтому уравнение tg x = a на
интервале имеет единственный корень . Функция у = tg
x периодическая , её наименьший период p. Следовательно , остальные корни отличаются от найденного
на pn ,
х = arctg a
+ pn , nÎ Z .
Решение уравнения tg x
= a проиллюстрируем
на единичной окружности .
Для любого числа а на линии тангенсов
есть лишь одна точка с ординатой а , это точка
Т ( 1 ; а ). Прямая ОТ пересекается с
единичной окружностью ; при этом интервалу
соответствует
точка х1 правой полуокружности , такая , что х = arctg a .
Для уравнения сtg x = a корень
х = arсctg a + pn
, nÎ Z .
Примеры
:
1.
tg x =
х = arctg +
pn , nÎ Z .
х = +
pn , nÎ Z .
Ответ : х = + pn , nÎ Z .
2.
сtg x =
Это уравнение можно решить
двумя способами .
I . tg x = II
. сtg x =
х = arctg + pn , nÎ Z ; х = arcctg
+ pn , nÎ Z;
х = + pn , nÎ Z ; х = +
pn , nÎ Z ;
Ответ : х = + pn , nÎ Z .
Домашнее задание : уч. Никольский С.М. п 11.1 . №
11.2 ( а-в) , 11.3(а-в) .
Итог урока : 1. С какими новыми уравнениями познакомились ?
2. Каковы формулы корней простейших
тригонометрических уравнений
?
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.