Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Урок-лекция. Простейшие тригонометрические уравнения. Урок №1

Урок-лекция. Простейшие тригонометрические уравнения. Урок №1

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

Урок №1

Тема . Простейшие тригонометрические уравнения .


Цель . Усвоение учащимися вывода и использование формул для определения корней уравнения sin x = a , cos x = a , tg x = a , ctg x = a .

Тип урока. Урок – лекция


Мотивация обучения .

Решая квадратные уравнения , мы пользовались выведенными формулами корней , что значительно упрощало работу . Выведем формулы корней тригонометрических уравнений для упрощения их решения .

Объявляется тема и дидактическая цель урока .


Изучение нового материала .

I. Определение . Равенство тригонометрических выражений , содержащих неизвестное только под знаком тригонометрических функций называется тригонометрическим уравнением .

sin x = a

hello_html_m3ebb9eed.png

Если а > 1 , то уравнение sin x = a не имеет решений , так как sin x 1 для любого х . Отложим на оси ординат а – значение синуса. Этому значению на единичной окружности соответствуют точки hello_html_m1d832dea.gif и hello_html_m3ca98acd.gif, причём hello_html_m1d832dea.gif hello_html_1e7379b3.gif.

На этом отрезке функция синус возрастает и уравнение sin x = a имеет единственный корень

х1 = arcsin a.

На отрезке hello_html_m79fea6db.gif функция синус убывает и принимает все значения от – 1 до 1 . По теореме о корне уравнение имеет один корень x2 = - arcsin a /

Итак , с учётом периодичности уравнение sin x = a имеет два решения

х1 = arcsin a + 2n, n Z

x2 = - arcsin a + 2n , n Z .

Удобно записывать эти оба решения одной формулой :

х =(-1)k arcsin a + k, k Z .

Если k = 2n , то х1 = arcsin a + 2pn, n Î Z .

Если k = 2n + 1 ,то x2 = - arcsin a + 2n , n Z .

При изучении свойств функции у = sin x мы находили путём логических рассуждений нули функции из условия sin x = 0 , экстремальные точки из условия sin x = 1 и sin x = - 1 . Фактически мы находили корни особых случаев решения уравнения sin x = а .

Они имели вид :

sin x = 0 х = n, n Z .

sin x = 1 х = hello_html_34a7b9c8.gif+ 2pn, n Î Z .

sin x = -1 х = -hello_html_34a7b9c8.gif+ 2pn, n Î Z .

Примеры


1. sin x = hello_html_2b2ed72.gif

х =(-1)k arcsin hello_html_2b2ed72.gif + k, k Z .

так как arcsin hello_html_2b2ed72.gif= hello_html_2e7f0625.gif , то

х =(-1)k hello_html_2e7f0625.gif + k, k Z .

2. sin 2x = – hello_html_2b2ed72.gif

2х =(-1)k arcsin hello_html_m2682785b.gif + k, k Z .

так как arcsin hello_html_m1545c23e.gif= - arcsin hello_html_2b2ed72.gif= - hello_html_2e7f0625.gif , то

2х =(-1)k+1 hello_html_2e7f0625.gif + k, k Z .

х =(-1)k+1 hello_html_4fce3a85.gif + hello_html_78721723.gif, k Z .

II. cos x = a


Если а > 1 , то уравнение cos x = a не имеет решений , так как cos x 1 для любого х . Пусть а 1 . Надо найти все такие числа х , для которых cos x = a . На отрезке hello_html_m25531a33.gif существует одно такое решение – это арккосинус числа а.

Косинус чётная функция , и , значит , на отрезке hello_html_m7aa4bade.gifуравнение имеет в точности одно решение , это число - arccos a.

Итак, уравнение cos x = a на отрезке hello_html_m554b1d49.gif длиной 2 имеет два решения :

х1 = arccos a ,

х2= - arccos a.

Вследствие периодичности функции косинус все остальные решения отличаются от этих на 2n , n Z и объединяются в одну формулу :

х = arccos a + 2n , n Z .

Решение уравнения можно проиллюстрировать на единичной окружности .

hello_html_36b6b8e9.png

По определению cos x – это абсцисса точки Рх единичной окружности . Если а < 1 , то таких точек две ; если же а = 1 или а = - 1 , то одна .


При а = 1 числа arccos a и - arccos a совпадают ( они равны нулю ) , поэтому решением уравнения cos x=1 будет х = 2 n , n Z .

При а = - 1 имеем : cos x= -1 х = + 2 n , n Z .

При а = 0 имеем : cos x= 0 х = hello_html_78c546d6.gif+ n , n Z .

Примеры :

  1. cos x= hello_html_2b2ed72.gif

х = arccos hello_html_2b2ed72.gif + 2p n , nÎ Z .

так как arccoshello_html_2b2ed72.gif = hello_html_575965d.gif , то

х = hello_html_575965d.gif + 2p n , nÎ Z .

Ответ : hello_html_575965d.gif + 2p n , nÎ Z .


  1. tg x = a

При любом а на интервале hello_html_m3f62a64.gifимеется только одно значение х , такое число х , что tg x = a - это arctg a.

Поэтому уравнение tg x = a на интервале hello_html_m3f62a64.gifимеет единственный корень . Функция у = tg x периодическая , её наименьший период . Следовательно , остальные корни отличаются от найденного на n ,

х = arctg a + n , nÎ Z .


Решение уравнения tg x = a проиллюстрируем на единичной окружности .

hello_html_m2ebedd.png


Для любого числа а на линии тангенсов есть лишь одна точка с ординатой а , это точка

Т ( 1 ; а ). Прямая ОТ пересекается с единичной окружностью ; при этом интервалу


hello_html_m3f62a64.gifсоответствует точка х1 правой полуокружности , такая , что х = arctg a .

Для уравнения сtg x = a корень х = arсctg a + n , nÎ Z .

Примеры :

  1. tg x = hello_html_m49860ce6.gif

х = arctg hello_html_m49860ce6.gif + pn , nÎ Z .

х = hello_html_5fefdfd0.gif + pn , nÎ Z .

Ответ : х = hello_html_5fefdfd0.gif + pn , nÎ Z .

  1. сtg x = hello_html_m49860ce6.gif

Это уравнение можно решить двумя способами .

I . tg x = hello_html_m1839cfe4.gif II . сtg x = hello_html_m49860ce6.gif

х = arctg hello_html_m1839cfe4.gif + pn , nÎ Z ; х = arcctghello_html_m49860ce6.gif + pn , nÎ Z;

х = hello_html_me15f47e.gif + pn , nÎ Z ; х = hello_html_me15f47e.gif + pn , nÎ Z ;


Ответ : х = hello_html_me15f47e.gif + pn , nÎ Z .


Домашнее задание : уч. Никольский С.М. п 11.1 . № 11.2 ( а-в) , 11.3(а-в) .


Итог урока : 1. С какими новыми уравнениями познакомились ?

2. Каковы формулы корней простейших

тригонометрических уравнений ?




Краткое описание документа:

В Крыму при переходе под российскую юрисдикцию многим школам достался учебник Алгебры под редакцией Никольского С.М. В средней школе работать по нему трудно, поэтому приходится использовать старые методические разработки. Данное пособие удобно тем, что из него можно "вырывать" пример, редактировать и формировать карточки, пособия.

Хочу так же добавить что участие в разработке этого пособия участвовала Плывч Валентина Николаевна.

Общая информация

Номер материала: ДБ-091376

Похожие материалы