Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / 5 уроков по теме квадратные уравнения
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

5 уроков по теме квадратные уравнения

библиотека
материалов
  1. уроков по теме «Квадратные уравнения»

Урок №1

Цель урока: ввести понятие квадратного уравнения. Ознакомить учащихся с алгоритмом решения квадратного уравнения; ознакомить с применением теоремы Виета и теоремы, обратной ей.

Ход урока:

  1. Устные упражнения

  1. Представьте в виде многочлена выражение:

(х – 2)(2 + х); hello_html_3cdd035f.gif

  1. Равносильны ли уравнения:

3х – 2 = х = 3 и 2х – 5 = 0; 0,5х – 3 = 0 и х – 6 = 0

5х – 1 = 3х - hello_html_6719d051.gif + 2х = 1; 5hello_html_m6ea82a6e.gif – 10х + 25 = 0 и hello_html_m6ea82a6e.gif – 2х + 5 = 0 ?

  1. Решите уравнение:

У – 7 = 0; х + 0,5 = 0; 8х = 0;

2х - hello_html_7f8f9891.gif = 0; у + hello_html_m4ec2c24d.gif = 0; а ( а – 1) = 0;

hello_html_m6ea82a6e.gif7х = 0; hello_html_m6ea82a6e.gif – 15 = 0.

  1. Изучение нового материала

  1. Составим уравнение с корнем х = 3.

Сначала составим числовое тождество, например:

Заменяя число 3 слева буквой х, превратим тождество в линейное:

И равносильное ему уравнение

Итак, на основе тождества (1) получили линейное уравнение (3), которое имеет единственный корень

Теперь составим такое алгебраическое уравнение, которое имело бы два произвольно заданных корня hello_html_m438d6914.gifи hello_html_m3f108886.gif.

Пусть это будут корни:

  1. Запишем условие в виде совокупности двух линейных уравнений с правыми частями, равными нулю.

  2. Перемножим уравнение совокупности. Раскроем скобки в левой части и приведём подобные.

  3. Мы получили квадратное уравнение. В квадратном уравнении старший член во второй степени. Выражение, записанное в левой части называют квадратным трёхчленом.

3 = 3 (1)

Х = 3 (2)

Х – 3 = 0 (3)



Х = 3





hello_html_m2584b41b.gif= 5 (1).



Х – 3 = 0, х – 5 = 0 (2)





(х – 3)(х – 5) = 0

hello_html_m6ea82a6e.gif3х – 5х +15 = 0



hello_html_m6ea82a6e.gif8х + 15 = 0



Составленное нами квадратное уравнение

hello_html_m6ea82a6e.gif8х + 5 = 0

Имеет два намеченных заранее корня:

hello_html_193e6d0b.gif= 5. Чтобы проверить решения, значение корня подставим в обе части уравнения.

Проверка первого корня Проверка второго корня

(hello_html_m438d6914.gif = 3) ( hello_html_m3f108886.gif = 5 )

hello_html_m6ea82a6e.gif8х + 15 = 0 hello_html_m6ea82a6e.gif – 8х + 15 = 0

hello_html_m488e4e66.gif? 0 hello_html_39327b07.gif + 15 ? 0

9 – 24 +15 ? 0 25 – 40 +15 ? 0

0 = 0 0 = 0

Подставим в уравнение число, отличающее от найденных корней, например hello_html_501c942e.gif = 2:

hello_html_m48b14914.gif-8hello_html_79c0f69b.gif 2 + 15 ? 0

4 – 16 + 15 ? 0

3 hello_html_m2bc03806.gif 0

Значит,hello_html_193e6d0b.gif = 5 – корни квадратного уравнения.

  1. Составим алгоритм решения приведённого квадратного уравнения

hello_html_m6ea82a6e.gif+ рх + q = 0.



Решить квадратное уравнение:

  1. Перенесём свободный член в правую часть с противоположным знаком

  2. Представим второй член в левой части как удвоенное произведение неизвестного х на некоторое число ( таким числом оказалось hello_html_117ebf6d.gif = 4 ):

  3. Прибавим к обеим частям равенства по квадрату второго множителя (hello_html_42b2d531.gif

  4. Представим левую часть как квадрат двучлена:

  5. Извлечём из обеих частей квадратный корень:

  6. Соответственно этим двум знакам получаем два корня квадратного уравнения:

hello_html_m6ea82a6e.gif8х + 15 = 0 (р = -8, q = 15 )



hello_html_m6ea82a6e.gif8х = -15









hello_html_m6ea82a6e.gif- 2hello_html_m2bab3784.gif



hello_html_m6ea82a6e.gif- 2hello_html_m2d5fde9b.gif











hello_html_mbed2099.gif







(hello_html_455af506.gif



hello_html_m7966e1c2.gif

Х – 4 = hello_html_m78ac3b63.gif



hello_html_m6883a8f8.gif

hello_html_m658c06b8.gif.

hello_html_m2b29e3ff.gif;

hello_html_4739aeb4.gif.

hello_html_m6ea82a6e.gif+ рх + q = 0





hello_html_m6ea82a6e.gif+ рх = -q









hello_html_68e5ae17.gif-q



hello_html_m6ea82a6e.gif+ 2 hello_html_2e3e6fe1.gif = -q











hello_html_77315d55.gif





( hello_html_m5cd335bb.gif



hello_html_m75177124.gif

Х + hello_html_m12268871.gif

hello_html_m3f368656.gif

hello_html_55cb8ce5.gif.



Проверка найденных корней.

hello_html_m55dfe634.gifhello_html_273a5ee4.gif

hello_html_m6e191501.gifhello_html_m3001ab47.gif+ 15 = 0

hello_html_39327b07.gif+ 15 ? 0 hello_html_m488e4e66.gif ? 0

hello_html_m4a2a2062.gif9 – 24 +15 ? 0

hello_html_m7f2eb6f9.gif0 = 0.

hello_html_m3c2c048b.gifhello_html_4e3cf6a4.gif

Решение .

hello_html_7421bfd5.gifhello_html_m15dfa3f2.gif

hello_html_m1c25bc83.gif

hello_html_21050155.gif

hello_html_m2e4a113a.gif

hello_html_m767dcf4d.gif.

3.Закрепление изученного №523-525

Домашнее задание №526,531.

























Урок №2

Тема. Частные случаи приведённого квадратного уравнения.

Урок – лекция.

  1. Если в квадратном уравнении равны нулю некоторые коэффициенты (при а hello_html_m2bc03806.gif

0), то имеем частные случаи квадратного уравнения или так называемые неполные квадратные уравнения.

Существуют три частных случая приведённого квадратного уравнения hello_html_mbfaac27.gif = 0:

1

р = 0, q hello_html_m2bc03806.gif0

hello_html_m17dfd4e6.gif= 0, hello_html_25d25fe8.gif

hello_html_7d12d2e4.gif

2

Р = 0, q = 0

hello_html_m3cb94538.gif

hello_html_6c9b10c6.gif

3

Р hello_html_m2bc03806.gif0, q = 0

hello_html_m3e8a5940.gifх( х+р ) = 0

hello_html_31225101.gif, hello_html_m3f108886.gif= -р



Заметим, что если под знаком квадратного радикала получается отрицательное число, то уравнение не имеет решения.

Например: hello_html_m6ea82a6e.gif+ 4 = 0,

hello_html_m202da18e.gif

Х = hello_html_34d26a74.gif.

  1. Решить уравнения и проверить корни.

  1. 3hello_html_m6ea82a6e.gif- 27 = 0, в) 5hello_html_m6ea82a6e.gif – 20 = 0,

3hello_html_m6ea82a6e.gif+ 27 = 0; 45hello_html_388427a1.gif;

б) 3hello_html_1c5db706.gif = 0; г) 23hello_html_m6ea82a6e.gif = 0,

7,346hello_html_63ee756f.gif

  1. Теорема Виета.

Сумма корней приведённого квадратного уравнения hello_html_m6ea82a6e.gif+ рх + q = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком (-р), а произведение корней равно свободному члену (q).

Доказательство.

Составим квадратное уравнение вида (1), которое имеет корни hello_html_m2c46062e.gif:

hello_html_m6ea82a6e.gif+ рх + q = 0. (1)

hello_html_4daf3557.gif

hello_html_m43922bc8.gifhello_html_m591252d2.gif= 0,

hello_html_m6f13f0bc.gif= 0,

hello_html_67cd20cb.gif(2)

hello_html_m499b9893.gif

Приравнивая соответствующие коэффициенты выведенного уравнения (2) и исходного уравнения (1), мы находим доказываемые соотношения (3) и (4):

Р = -(hello_html_6f49c03d.gif), или hello_html_4bf1f54c.gif (3)

hello_html_32ab84b4.gifq. (4)

hello_html_m3119dafc.gif.

hello_html_m1c6fe2ee.gif.

hello_html_d5653ff.gifhello_html_m6ea82a6e.gif+ рх + q = 0 (1)

hello_html_2e628fd1.gifЕсли

hello_html_m5420c6bf.gifhello_html_m67e5c4f8.gifа свободный р = - (hello_html_39becefa.gif

hello_html_554ef858.gifq = hello_html_mf3c69e8.gif

то числа hello_html_m2c46062e.gif являются корнями данного то hello_html_m2c46062e.gif являются

квадратного уравнения. корнями этого уравнения

доказательство .

Согласно условию теоремы напишем квадратное уравнение (2):

hello_html_m28efaae5.gif(2)

hello_html_m40d93412.gifх в уравнение (2), получим тождество 0 = 0.

hello_html_919e2db.gif

hello_html_m41bbbcdc.gif

hello_html_54d2d941.gif.

hello_html_3e763fb3.gifкорень уравнения (2).

hello_html_m3626fcdc.gif

hello_html_mb2e8520.gif

hello_html_m6346656d.gif

hello_html_m40ebf625.gif

hello_html_m4950c794.gif

Составим квадратное уравнение с корнями, указанными в одной из клеток этой таблицы; например, в пересечении столбца hello_html_m3f108886.gif = 5 и строки hello_html_m438d6914.gif = 4 мы находим два числа. Это означает:

-(а+в) = -(4+5) = -9 = р, 4hello_html_79c0f69b.gif 5 = 20 = q.

hello_html_5d44af8d.gif

hello_html_m1627147f.gifhello_html_m3f108886.gif= q



hello_html_235d6969.gif= 0

hello_html_m438d6914.gifhello_html_m3f108886.gif


З

3

5

5

7

7

9

9

2


5

6

7

10

9

14

11

18

4


7

12

9

20

11

28

13

36



6

9

18

11

30

13

42

15

54



8

11

24

13

40

15

36

17

42

hello_html_2bf82c68.gifhello_html_m4ed6d2b8.gif(hello_html_1f01cd1d.gif

hello_html_13f66915.gifhello_html_m4ed6d2b8.gif(hello_html_m33bfe977.gif

hello_html_m1008db04.gifhello_html_2bf82c68.gif;

Домашнее задание а) решить составленное уравнение. Получились ли намеченные корни?

б) составить квадратное уравнение для любой другой клетки таблицы. Решить составленное уравнение.

























































































Урок №3. Составление уравнений, приводящих к квадратному.

  1. Проверка домашнего задания. В таблице даны параметры семи уравнений. Найти пропущенные числа, составив и решив соответствующие уравнения.




1

2

3

4

5

6

7

hello_html_m438d6914.gif

0,5

hello_html_m57c90caf.gif

0,2

0,3

2

-3


hello_html_m3f108886.gif

4

-8

-0,7

hello_html_3b88a430.gif




р





8


5

q






12

4

  1. Пусть решено уравнение

(х - 3)(2х – 5 ) = 3 (1)

hello_html_ma43fbc9.gif

hello_html_m475c57b4.gif

hello_html_mae45214.gif(х-3)2х-5) = 3

hello_html_m341c7974.gif

1hello_html_m617380cc.gif

  1. Решить уравнение Составить и решить похожее уравнение

hello_html_373b156d.gifб)hello_html_m6c8bd6b.gif = 0

hello_html_m35a8a62c.gif

hello_html_79b6d36f.gif

hello_html_8604147.gif;

hello_html_m6f6003ac.gifг) 3hello_html_m7423c85c.gif = 0

hello_html_5a39c3d9.gif

12-10-2=0

3hello_html_2a322a69.gif

hello_html_m2611996d.gifhello_html_433bf05d.gif

  1. Решить уравнение

а) hello_html_452a05a4.gif б) проверить числовое равенство

hello_html_6249f82b.gif

Заменить всюду число 8 буквой х:

hello_html_m111e951c.gif.

hello_html_467f181e.gif

(hello_html_75f0f08c.gif).

  1. а) решить уравнение б) проверить числовое равенство

hello_html_m7f6bd11d.gifhello_html_512f3094.gif

hello_html_m3773a57.gif

hello_html_512f3094.gif

hello_html_51f87eeb.gif

  1. а) решить уравнение б) проверить равенство

hello_html_m1f121be5.gifhello_html_m65217688.gif

hello_html_m53b50829.gif

составленное уравнение

(hello_html_m69778fce.gif













































































Урок №4. Параметрические уравнения, приводящие к квадратному.



Решим следующее квадратное уравнение:

hello_html_m1425438f.gif



hello_html_6d4ac031.gif, hello_html_m337ae796.gif.

hello_html_2415ec0a.gif

hello_html_39d7c1be.gif(к):

hello_html_m1dcf8908.gif(1)

hello_html_m2740014d.gif

hello_html_m732ed0d5.gif

hello_html_17086764.gifпри различных значениях коэффициента к. Корни уравнения будут различными.



Параметр к

Уравнение

hello_html_m438d6914.gif

hello_html_m3f108886.gif

-8

hello_html_60c0b171.gif

10

-2

8

hello_html_701b1d90.gif

-10

2

1

hello_html_4221fe6f.gif

-5

4



В таких задачах переменную величину к называют параметром, а уравнение, содержащее такой параметр, называют параметрическим.

  1. а) при каком значении параметра к квадратное уравнение (1) будет иметь корень, равный 4? Каков второй корень?

б) пусть параметром квадратного уравнения будет свободный член к. При каком значении параметра к квадратное уравнение hello_html_m522c0712.gif будет иметь равные корни (hello_html_24b8e32d.gifпротивоположные значения корней (hello_html_692782eb.gif ? взаимно обратные корни (hello_html_64761621.gif ? Найти указанные корни. Проверить ответы.

2) а) требуется составить квадратное уравнение, такое, чтобы один корень был на 3 больше другого корня.

Решение. hello_html_53870160.gif hello_html_m72399316.gif

Перемножим по частям линейные уравнения совокупности, получим

(х-а)(х-а-3)=0.

hello_html_37a0f200.gif(1)

При любых значениях параметра а будем получать два корня, один из которых больше другого на 3. Проверка .

Пусть а=0, hello_html_m31f9f1b9.gif, hello_html_530aac1e.gif

Пусть а=1, hello_html_4172c0cf.gif

hello_html_m6d5b8a29.gif

б) составить уравнение (1) при а=10. Решить составленное уравнение. Проверить : hello_html_62d74493.gif

3) составить и решить несколько квадратных уравнений, таких, чтобы второй корень был меньше первого на 2.

Решение

hello_html_7cf7575a.gif(х-а)(х-а+2)=0

Уравнение

hello_html_m438d6914.gif

hello_html_m3f108886.gif

Проверка (hello_html_2252e83a.gif

1


-1

1

1-(-1)=2

2


6

8


3







4)составить и решить такое квадратное уравнение, чтобы второй корень был равен первому корню, умноженному на 2.

hello_html_m3907965.gifhello_html_m8a367bd.gif(х-а)(х-2а)=0, hello_html_1c68ee03.gif

Проверить утверждение задачи при а=3; 6.

5)составить и решить несколько квадратных уравнений, таких, чтобы второй корень был квадратом первого корня.

hello_html_m3e02f421.gif(hello_html_23a8c4c3.gif (х-а)(х-hello_html_m5ae7260a.gif

Проверить, выполняется ли условие задачи.

Уравнение

Корни

Проверка(hello_html_6f366ecf.gif

1

hello_html_m1f77b84c.gif

hello_html_m33bc9362.gif

hello_html_m2fea2e75.gif

2


hello_html_617f7a2a.gif


3




4














УРОК 5 . Тема. Золотое сечение. Число Фидия.

Пусть отрезок длиной в 1 единицу разделен на два отрезка длиной х и 1-х.

Заметим, что х+(1-х)=1.

Золотым сечением отрезка называется такое деление его на две неравные части, при котором отношение всего отрезка (1) к большей его части (х) равно отношению большей части (х) к меньшей части (1-х):

А О В

-----------------------------------

х 1-х

АВ=1, АО= х, ОВ=1-х

hello_html_3a1cf286.gif=hello_html_m6df3ba86.gif

hello_html_7535a498.gif(1)

hello_html_69e883f3.gif



hello_html_1528740b.gif.

hello_html_1c899c8c.gif

hello_html_7406a9c6.gif

hello_html_4eefec9a.gifдревнегреческий архитектор, построивший знаменитый храм Парфенон в Афинах.

hello_html_m3bcfe630.gif, отношение размеров которых близко к корню уравнения х=Ф=0,618…, человеку кажутся удобными и красивыми. Почему это так, ещё не раскрыто учёными.

hello_html_15f13217.gif

hello_html_m1c6903de.gif

hello_html_33358422.gif.

hello_html_2d9e7d53.gifв (1) число Ф вместо переменной х:

hello_html_58adfc64.gifподелим обе части на Ф:

hello_html_m745e8949.gif.

Возведём обе части последнего равенства в квадрат:

hello_html_3737684b.gif

hello_html_m387e740a.gif, откуда

hello_html_6ad28653.gif(2)

Выразим 3 через степени иррационального числа Ф.

Ф=hello_html_m5690a6a6.gif

Получить уравнение hello_html_fe57216.gif возведя обе части (2) в квадрат.

Проверить это равенство на калькуляторе.

hello_html_11852162.gif



Автор
Дата добавления 28.03.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров165
Номер материала ДВ-563419
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх