Урок-проект на тему "Арифметическая прогрессия в жизни и в быту"

МОУ «Тургеневская средняя общеобразовательная школа»

Конспект урока

на конкурс

УЧИТЕЛЬ ГОДА-2010

«Арифметическая прогрессия

в жизни и в быту»

9 класс

Разработала и провела:

учитель математики и информатики

Слугина Татьяна Викторовна

2010 год

Урок-проект по теме «Арифметическая прогрессия»

Цели:

(дидактическая) формирование умений анализировать проблему и планировать способы ее решения, применять знания в новой ситуации, осуществлять исследовательскую деятельность, анализировать, делать выводы;

(развивающая) развивать познавательный интерес учащихся и наблюдательность, учить их видеть связь между математикой и окружающей жизнью, развивать грамотную математическую речь;

(воспитательная) воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов

Задачи учителя на уроке:

• проконтролировать знания основных формул арифметической прогрессии;

• проверить навыки учащихся по применению своих знаний в ходе решения нестандартных задач;

• развить представления учащихся об использовании арифметической прогрессии в окружающей их жизни;

• продолжить работу над развитием логического мышления, умением анализировать, сопоставлять и обобщать полученные знания, проводить исследовательскую работу, результатом которой должен быть мини- проект.

Форма работы: индивидуальная, фронтальная.

Метод урока: поисково-исследовательский

Оборудование: мультимедийный проектор, раздаточный дидактический материал, карточки с заданиями, презентация урока.

Структура урока

1. Оргмомент.

2. Сообщение темы, типа и целей урока.

3. Актуализация опорных знаний и умений: фронтальная работа // индивидуальная.

4. Историческая справка.

5. Определение проблемы урока, выдвижение гипотезы.

6. Доказательство гипотезы (решение прикладных задач)

7. Получение результата.

8. Получение мини-проекта ( домашнее задание).

9. Рефлексия.

На доске: «Прогрессио-движение вперед!»

Здравствуйте, друзья.

Я приглашаю вас к сотрудничеству.

Какую тему вы изучали на предыдущих уроках?

Изучена данная тема,
Пройдена теории схема,
Вы много новых формул узнали,
Задачи с прогрессией решали.
И вот в последний урок
Нас поведет
Красивый лозунг
“ПРОГРЕССИО – ДВИЖЕНИЕ ВПЕРЕД!”

Мы сегодня на уроке покорим одну из математических вершин «Арифметическая прогрессия». Откройте тетради, запишите число и тему урока «Арифметическая прогрессия в жизни и в быту».

Работа устно.

1) Вспомним теоретический материал

2) Тренировочные упражнения

А) Является ли заданная последовательность арифметической прогрессией, почему?

3; 6; 9; 12; …

-1; -1; -1;….

0; 13; 1; 14; …

Х_n= 3n – 2;

-3; -1; 1; 3; …

Б) Выразите через a₁ и d а₈, а₃₃, а₁₀₀.

Найдите а₅, если a₁ = 4, d=7.

Найдите а₁₂, если а₁₁ = 20, а₁₃ = 30.

Я уверена, что кто-то из вас подумал: « А зачем изучать какую-то прогрессию? Зачем она нам нужна?»

Сведения из истории.

А вы знаете, ребята, первые представления об арифметической прогрессии были еще у древних народов. В клинописных вавилонских табличках и египетских папирусах встречаются задачи на прогрессии и указания как их решать. Самая древнейшая задача на прогрессии- о делении хлеба, которая записана в знаменитом египетском папирусе Ринда.

Об этой задаче нам расскажет ……

« Тебе сказано: раздели 10 мер хлеба на 10 человек, если разность между количеством хлеба у каждого человека и ему предшествующего составляет 1/8 меры».

В данном случае нам известно число членов прогрессии   п =10, сумма членов  прогрессии   s = 10. Согласно решению папируса, прогрессию будем считать убывающей, т. е.   d  = — ¹/₈.

a₁₀ = a₁+ d (10 — l);      a₁₀ = a₁ — ¹/₈  •  9 = a₁ — ⁹/₈ .

Подставляем значение a₁₀ в формулу для суммы:

Спасибо, небольшая экскурсия в историю завершена. Убедились, что знания по данной теме были нужны в древности, чтобы разделить хлеб.

Постановка проблемы и ее решение

Проблема: А в современном мире они нам нужны? Мы их можем где-то применить?

Чтобы у вас была путеводная звезда, к которой бы вы шли, я выдвигаю гипотезу:

Знания темы «Арифметическая прогрессия» нужны в жизни и в быту!

Давайте проведем исследование. Для этого решим несколько задач прикладного характера.

В ходе исследовательской работы вы должны либо подтвердить, либо опровергнуть данную гипотезу.

Задача 1. При хранении бревен строевого леса их укладывают так, как показано на рисунке. Сколько бревен находится в одной кладке, если в ее основание положить 12 бревен?

Дано: (a_n)- арифметическая прогрессия: ,,

Найти:

Решение:

, где

2) Найдем .

Ответ: 78 бревен в одной кладке.

Задача2. Студенты должны выложить плиткой 288 м². Приобретая опыт, студенты каждый последующий день, начиная со второго, выкладывали на
2 м² больше, чем в предыдущий. И запасов плитки им хватит ровно на 11 дней. Планируя, что производительность труда будет увеличиваться таким же образом, бригадир определил, что для завершения работы понадобиться еще 5 дней. Сколько м² плитки уложили в первый день?

Дано: (a_n)- арифметическая прогрессия, , .

Найти: а₁

Решение:

Пусть – выложили в первый день,

– выложили во второй день.

Всего дней 11 + 5 = 16

Ответ: в первый день выложили 3м²

Задача 3. Родители ко Дню рождения своего сына Андрея решили купить и обновить ему мобильный телефон. Для этого, они в первый месяц отложили 650 рублей, а в каждый следующий месяц откладывали на 50 рублей больше, чем в предыдущий. Какая сумма будет у родителей Андрея через 10 месяцев, и смогут ли они купить ему телефон «Сони-эрексон К-750»?

Дано: (a_n)- арифметическая прогрессия, a₁ = 650, d = 50, n = 10

Найти: S₁₀

Решение: a₁₀ = a₁ +9d = 650 + 450= 1100

S₁₀ = ( ( a₁₊ a₁₀) n) : 2 = ((650 + 1100) 10) : 2 = 8750 ( рублей у родителей Андрея)

«Сони-эрексон К-750» стоит около 7000 рублей, значит они смогут купить сыну телефон.

Ответ: да, смогут.

Вывод: Получили следующий результат- знания формул арифметической прогрессии необходимы! И мне хочется еще раз подчеркнуть вам, что задачи на прогрессию - это не абстрактные формулы. Они берутся из самой нашей жизни, связаны с ней и помогают решать некоторые практические вопросы.

А теперь рассмотрим еще одно свойство членов арифметической прогрессии. Оно, скорее всего, занимательное. На доске написана “стайка девяти последовательных чисел”: 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Она представляет собой арифметическую прогрессию. Кроме того, данная стайка чисел привлекательна способностью разместиться в девяти клетках квадрата 33 так, что образуется магический квадрат, т.е. квадрат, состоящий из 9 клеток, в него вписывают числа так, чтобы сумма чисел по вертикали, горизонтали, диагонали была одним и тем же числом.

Попробуйте составить такой квадрат.

ИНТЕРЕСНЫЙ ФАКТ: Из каждых девяти последовательных членов любой арифметической прогрессии натуральных чисел можно составить магический квадрат.

В самом деле, пусть дана арифметическая прогрессия: a, a+d, a+2d, a+3d, …, a+8d, где a и d натуральные. Расположим её члены в таблицу.

a+3d

a+8d

a+d

a+2d

a+4d

a+6d

a+7d

a

a+5d

Нетрудно видеть, что получился магический квадрат, константа C которого равна 3a+12d

Действительно, сумма чисел в каждой строке, в каждом столбце и по каждой диагонали квадрата равна 3a+12d.

Мы доказали на примере решенных задач, что знания темы «Арифметическая прогрессия нужны была и в древности, необходимы они и в современном мире, да и в занимательной математике часто встречаются интересные задачи. А можем ли мы встретить арифметическую прогрессию в нашем районе? Конечно же, да.

Д/з: Группа теоретиков находит 3 задачи на арифметическую прогрессию, касающиеся нашего района.

Группа практиков составляет из них презентацию.

А ….. расскажет древнее решение задачи из папируса Ринда.

Примеры задач: Ардатовский светотехнический завод установил новое оборудование стоимостью 1700 долларов. Ежегодное амортизационное исчисление 150 долларов. После достижения стоимости 200 долларов оборудование списывается. Сколько лет прослужит оборудование.

Миша погашает ежемесячный займ в банке г. Ардатов. Его шестая и десятая выплаты 345 и 333 рубля. Считая, что выплаты- арифметическая прогрессия, определите 15-ую выплату.

В первом ряду ДК п. Тургенево 21 кресло. В каждом последующем ряду на 2 кресла больше, чем в предыдущем. Сколько кресел в 40 ряду?

А. сейчас давайте подведем итоги нашего урока  при помощи синквейна . Синквейн – это такое высказывание, в котором

        первая строка – одно слово, обычно существительное, отражающее  главную идею; (урок)

        вторая строка – два слова, прилагательные, описывающие основную мысль;

( Необычный, увлекательный)

        третья строка – три слова, глаголы, описывающие действия в  рамках темы;

(Думаем, решаем, общаемся)

        четвертая строка - фраза из 4 слов, показывающая отношение к теме;

(Я умею решать задачи)

Вы видите, у нас получилась арифметическая прогрессия!

        пятая строка –

Спасибо вам, девятиклассники, за урок!

Упорство, творчество и труд

К прогрессу в жизни приведут!

Дополнительные задачи:

а₁ =15, d = 10, а_n= 105

n- ?

а_n = а₁ + ( n – 1) d

105 = 15 + ( n – 1) 10

100 = 10 n

n = 10

Ответ: 10 дней

Дано: a₁ = 10, a₅ = 30

Найти: a₉

Решение:

а₅ = а₁ + 4d, 4d = a₅ – a₁, 4d = 30 - 10,

4d = 20, d = 20:4, значит d = 5.

а₉ = a₁ + 8d;

a₉ = 10 + 8*5;

a₉ = 50.

Ответ: 50 костюмов.