Урок"Решение тригонометрических уравнений методом разложения на множители"(10 класс)

Урок алгебры и начал анализа

на тему:

" Решение тригонометрических уравнений  методом разложения на множители   "

10 класс, 1час

Учебник " Алгебра и начала анализа 10-11 класс "

Автор :   А.Г.Мордкович

                                                                                                                         Бологова М.А.,                                               

                                                                       учитель математики ,

                                                    высшая квалификационная  категория

                            муниципального бюджетного общеобразовательного учреждения-

                                средней общеобразовательной школы № 5 г.Орла

                                                   Орел-2013

Тема :   Решение тригонометрических уравнений  методом разложения на множители  

Тип урока – урок ознакомления с новым материалом

Цель урока:  способствовать  развитию у учащихся навыков  решения тригонометрических

                        уравнений .

Задачи :

Ø  Повторить ранее изученные общие формулы  для решения простейших тригонометрических уравнений ;

Ø  Вспомнить  основные методы решения тригонометрических уравнений;

Ø   Рассмотреть решение тригонометрических уравнений методом разложения на множители

Ø  Закрепить изученное  в ходе выполнения тренировочного теста

План урока

1.           Сообщение темы, цели и задач урока, мотивация  учебной деятельности.

2.           Подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний.

3.           Ознакомление с новым материалом.

4.           Первичное осмысление и закрепление  изученного материала.

5.           Постановка домашнего задания.

6.           Подведение итогов урока.

                                                                  Ход урока.

1.           Сообщение темы, цели и задач урока,  мотивация  учебной деятельности. ( 2  мин )

Здравствуйте, ребята! Садитесь. Откройте, пожалуйста, рабочие тетради. Запишите сегодняшнее число, классную работу и тему урока " Решение тригонометрических уравнений   методом разложения на множители ".  Отсюда вытекает цель    урока  –способствовать развитию ваших навыков по решению тригонометрических уравнений. Французский философ Вольтер утверждал " Умы совершенствуются медленно". Мы с уважением относимся к великими, но 21 век – это век совершенно других скоростей. Поэтому   всего за 40 минут нам нужно решить много задач, а именно:

  - Повторить   общие  формулы  для решения простейших тригонометрических уравнений ;

- Вспомнить   основные методы решения тригонометрических уравнений;

 - Рассмотреть решение   уравнений методом разложения на множители

- Закрепить изученное  в ходе выполнения тренировочного теста.

2. Подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний ( 13 мин ).

Начнем мы с проверки домашнего задания, которую выполним в виде теста. Каждый из вас получил  листок с заданиями теста и два бланка для ответов . Напоминаю : один из них  по окончании работы вы сдадите на проверку,  а второй  оставите себе для сравнения с образцом. Метки и исправления в бланках вносятся  в  соответствии с инструкцией  по заполнению бланков ЕГЭ . На работу отводится 8 минут . Приступайте.

Текст теста

А1.Решите уравнение cos (x - ) =

1) + 2n ,  nZ  ;  2) -  + 2n ,  nZ  ;  3) - + 2n ,  nZ ; 4)    + 2n ,  nZ           

А2. Решите  уравнение     sin ( x +  ) = 1

1) -  - (- 1)  + 2n ,  nZ            2) -  +  (- 1)  + n ,  nZ

3) -  - (- 1)  + n ,  nZ               4) - + (- 1)  + 2n ,  nZ

А3. Решите  уравнение     cos x = sin x

1)  + k, k Z       2) + 2k, k Z       3) + k, k Z         4) (-1) + 2k, k Z      

А4. Решите  уравнение     cos x =  sin x

1)  + 2k ,  kZ        2)   +   ,  kZ   3)   + 2k, k Z           4) +k ,  kZ           

А5.Решите уравнение  tg (x) - = 0

1) 1+ 3n, n Z          2)  + 3n, n Z          3)   +6n, n Z                4)  1+ 6n, n Z    

Бланк ответов

	А1	А2	А3	А4	А5
1					*
2		*		*
3			*
4	*

Учащиеся сдают бланки. Ассистенты из числа учащихся  проверяют.  На экран выводится  образец ответов. Вопросы  классу: " Кто справился с 1заданием ? " и д.т. Задание вызвавшее наибольшее затруднение обсуждается коллективно. Осуществляется самопроверка. Все правильно -5,1ошибка – 4, 2 ошибки -3, более 2 – оценка 2

Следующий этап урока – устная работа. Среди  уравнений , предложенных на доске , выберите те, которые решаются

Ø  Как однородные                           № 1, 5, 7, 8

Ø  Приведением к  квадратному     №  4, 6

Ø  Понижением степени                  № 2

Ø  С помощью универсальной подстановки   № 3

Ø  С помощью вспомогательного ( дополнительного ) аргумента  № 3

и  объясните , почему вы так считаете.

1.  2sin x + cos x = 5sinx cosx

2.  sin x + cos2x + sin 3x =

3.  5sin x + 2cos x = 3

4. sin x – 2sin x – 3 = 0

5.  cos x – sin x = 0

    6. 2cos x + 3sin x + 2cosx = 0

7. cos x + 3sin x + 25sinx cosx = 3

    8. sin x - sin 2x = cos x

3.Ознакомление с новым материалом ( 10 мин ).

При решении уравнений часто используется  еще один метод – метод разложения на множители. Прошу всех  пересесть к компьютерам и включить мониторы. На рабочем столе  нажмите на ярлык " Уравнения" . Для вас я приготовила компьютерную презентацию" Решение тригонометрических уравнений методом разложения на множители", которая поможет нам  рассмотреть суть этого метода и посмотреть его применение на практике . Перейдите на второй слайд . Начинаем. 

Текст слайдов

            Если уравнение f  ( х ) = 0 удается преобразовать к  виду   , то решение  данного уравнения  сводится к решению   уравнений  

 ( обычно говорят совокупности уравнений       ) .В случае, если среди сомножителей левой части уравнения    есть функции , определенные не на всей числовой прямой , нужно проявлять особую осторожность, так как формальная замена этого уравнения на совокупность уравнений может привести к появлению посторонних корней.

Многие тригонометрические уравнения, правая часть кото­рых равна нулю, решаются разложением их левой части на мно­жители.

Задача  1.           Решить уравнение sin 2х — sin x = 0.

Используя формулу для синуса двойного аргумента, за­пишем уравнение в виде

2 sin x соs x — sin x = 0. Вынося общий множитель sin x за скобки, получаем

sin x (2 соs x - 1) = 0.

1) sin x = 0, х = n, n  Z.

2) 2 соз x - 1=0, соs х = , x = ± + 2n, n  Z.

Ответ: х = n,  x = ± + 2n, n  Z.  

Задача    2.   Решить   уравнение       sin 7x + sin 3x = 3 cos2x 

  Применяя формулу для суммы синусов, запишем уравне­ние в виде

2 sin 5x · cos 2x = 3cos 2x , или 2 sin 5x · cos 2x  - 3cos 2x = 0, откуда соs 2x ( sin5x - )= 0. Уравнение соs 2x = 0 имеет корни x = + ,  n  Z , а уравнение sin 5x =  не имеет корней.

Ответ: x = + ,  n  Z

2л: — 3 соз 2* = О,

75

Задача   3.       Решить уравнение соs Зх · соs х =  соs 2x

Так   как   соs 2х = соs (3x — х) = соs Зх · соs х + sin Зх · sin x , уравнение примет вид:  

sin Зх · sinx = 0.

1) sinx = 0, x  = n, n  Z.; 2) sin Зх = 0 , х =  , n  Z

Заметим, что числа  вида n содержатся среди чисел вида  , n  Z , так как если

n  = 3k , то = k .Следовательно , первая серия корней содержится во второй .

Ответ : х =  , n  Z

Часто бывает трудно усмотреть, что две серии корней, полу­ченных при решении тригонометрического уравнения, имеют об­щую часть. В этих случаях ответ можно оставлять в виде двух серий.

Задача   5 . Решить уравнение  ( tg x + 1)( 2 cos- ) = 0

1)          tg x + 1= 0, tg x = - 1, x = - +  ,  n  Z. Эти значения х являются корнями исходного уравнения, так как при этом первая скобка левой части уравнения равна нулю, а вторая не теряет смысла.

2)          2 cos-  = 0 ,  cos =  ,  = + 2n, n  Z., х = + 6n, n  Z

При этих значениях х вторая скобка левой части исходного уравнения равна нулю, а первая скобка не имеет смысла. Поэтому эти значения не являются корнями исходного уравнения.

Ответ : x = - +  ,  n  Z.

4. Первичное осмысление и закрепление  изученного материала

Предлагаю вам решить следующее уравнение     sin ( x +  ) = sinx + cos x     ( * ).

( У доски работает один ученик, остальные оформляют решение в тетрадях).

Преобразуем  левую часть sin ( x +  ) = sin x cos  + sin  cos x = (sin x + cos x )

Преобразуем правую часть sinx + cos x = (sin x + cos x )( sinx – sin x cos x + cosx) = (sin x + cos x )( 1 - sin x cos x )

 Уравнение  ( * ) примет вид (sin x + cos x ) = (sin x + cos x )( 1 - sin x cos x )                                                  (sin x + cos x )( - 1 + sin x cos x ) = 0

1)    sin x + cos x = 0 ; tg x = - 1 ; х = -  + n  ,  n  Z

2)    - 1 + sin x cos x = 0   ; sin x cos x =   ;  sin 2x = 2- ;

2х = (- 1 )arcsin (2- ) + n  ,  n  Z ; х = arcsin (2- ) +  n  ,  n  Z

Ответ : х = -  + n  ,  х = arcsin (2- ) +  n  ,  n  Z

            А теперь вы  будете работать в парах.  Английский натуралист Джон Рей утверждал " Ошибка одного - урок другому". Насколько он был прав , мы  сейчас проверим . Ваша задача  (общая для двух учащихся) - решить два уравнения

Варианты карточек для 9 групп

1)  sin x – sin 7x = cos 4x 2) ( 1 – sin x)( tg x – 3) = 0	1) ( 1 – sin x)( tg x – 3) = 0 2) cos2x = (cos x – sinx)	1) sin x – sin 7x = cos 4x 2) cos2x = (cos x – sinx)
1) tg x – sin x = 1 – tg x sin x 2) sin x – sin 7x = cos 4x	1) cos2x = (cos x – sinx) 2) tg x – sin x = 1 – tg x sin x	1) tg x – sin x = 1 – tg x sin x 2) ( 1 – sin x)( tg x – 3) = 0
1)  sin x – sin 7x = cos 4x 2) ( 1 – sin x)( tg x – 3) = 0	1) tg x – sin x = 1 – tg x sin x 2) sin x – sin 7x = cos 4x	1) cos2x = (cos x – sinx) 2) tg x – sin x = 1 – tg x sin x

№1 Решить уравнение  sin x – sin 7x = cos 4x

x =  + ,  x = ( -1 )  + , n Z    

№ 2 Решить уравнение ( 1 – sin x)( tg x – 3) = 0

 x = +  n , n Z 

№ 3  Решить уравнение   tg x – sin x = 1 – tg x sin x  

   x =  + n, n Z          

 №4 Решить уравнение   cos 2x =  ( cos x – sin x )

х =  + n, n Z    

 Итог работы подводится в форме взаимопроверки по следующей таблице ( выводится на экран )

Уравнение  и его ответ	Результат	Оценка за урок
sin x – sin 7x = cos 4x x =  + , x = ( -1 )  + , n Z	Положительная оценка за тест	3(удовлетворительно)
	Одно уравнение + положительная оценка за тест	4(хорошо)
( 1 – sin x)( tg x – 3) = 0 x = +  n , n Z
tg x – sin x = 1 – tg x sin x x =  + n, n Z	Два уравнения + отличная оценка за тест	5(отлично)
cos 2x =  ( cos x – sin x) х =  + n, n Z

5.           Постановка домашнего задания    № 18.11(б), № 18.13(г), №22.11(б)

     6.    Подведение итогов урока

Какие уравнения  называются  тригонометрическими?

С каким методом решения тригонометрических уравнений вы познакомились?

Что нужно помнить при решении тригонометрических уравнений?

Какие методы используют для решения тригонометрических уравнений?

Что вызвало затруднение на уроке? 

Оцените свою работу на уроке.

Благодарю всех Вас за работу, урок окончен.