Урок-семинар
по теме: «Задачи, решаемы с помощью интегралов»
11
класс
План
урока:
1.Цель и задачи урока (решение проблемной
ситуации):
-
рассмотреть задачи, решаемые с помощью интеграла;
-
повторить способы вычисления площадей фигур, имеющих сложную конфигурацию;
-
систематизировать знания по теме урока
2. Экспресс- отчет:
А) Формула для вычисления площади фигуры,
составленной из неперекрывающихся криволинейных трапеций;
Б) Формула для вычисления площади фигуры –
как разность криволинейных трапеций;
В) Формула для вычисления площади фигуры,
ограниченной графиком функции f(х),
если f(х);
3. Устный тренажер.
4.Самостоятельная работа.
5.Подведение итогов – составление кластера
(ЛСМ-логической смысловой модели).
Оборудование: Мультимедийная установка. На уроке
используется презентация: «Формула Ньютона-Лейбница»:
·
при
повторении теоретического материала на экране высвечиваются повторяемые
формулы, примеры, иллюстрирующие основные определения и алгоритмы решения задач;
·
при
самопроверки самостоятельной работы на экране появляются эталонные ответы на
соответствующие задания.
Ход урока:
На доске
таблица и эпиграф к уроку:
… если вы
хотите плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи,
то решайте их!
Д.Пойя.
Фронтальная
беседа:
1.Укажите рисунки, на которых изображены
криволинейные трапеции (рис.1,5,6)
2.Что называется криволинейной трапецией?
-Фигуру, ограниченную графиком
непрерывной функции y=f(х),
отрезком [a,b]
и прямыми х=a и х=b,
называют криволинейной трапецией.
3.Как вычисляется площадь криволинейной
трапеции?
S=
Итак,
площади криволинейных трапеций, изображенных на рисунке 1,5,6 вычисляются по
формуле:S=.
Возникает
вопрос: «Как найти площади остальных фигур?»
Итак,
ваше предположение:
-выделить
в сложной фигуре криволинейные трапеции;
-вычислить
их площади;
-
найти их сумму или разность.
В
математике существует важный принцип решения математической задачи- сведение
задачи к известной, чем мы и займемся на уроке.
Кто
попробует сформулировать цель и тему нашего урока:
-
рассмотрим задачи, решаемые с помощью интеграла;
-
повторить способы вычисления площадей фигур, имеющих сложную конфигурацию;
-
систематизировать наши знания по теме урока, и как итог составим кластер
(
на парте у каждого рабочая схема урока).
Итог
нашей беседы подводит I
группа – описывает способ вычисления фигуры на
рис.2 и записывает основные этапы вычислений:
1)
Построить графики функций y=f(х)
и y=g(х)
образующие вместе с ОХ криволинейные трапеции.
2)
Найти абсциссы точек пересечения графиков
функций y=f(х)
и y=g(х)
друг с другом и осью ОХ.
3)
Если S=S1+S2,
тоS=dx+, где х=в – абсцисса
точки пересечения графиков функций f(x)
и g(x)
с осью ОХ.
На чьих карточках вопросы соответствуют
отчету I группы.
( Вопрос: Какое свойство площадей надо
использовать при вычислении площади фигур, имеющих сложную конфигурацию?)
Отчет
продолжает I группа
- демонстрация решения задачи: вычислить S
фигуры, ограниченной графиками функций y=x2
и y=2x-x2.
Решение:
1) x2
=2x-x2; x2 –(2x-x2)=0; 2х2-2х=0;
2х(х-1)=0; х1=0 и х2=1.
2)
S==1.
Отчет II группы- вывести формулу для
вычисления Sфигуры на рисунке 3.
1) Построить
графики функций y=f(х) и y=g(х) образующие вместе с ОХ криволинейные трапеции.
2)
Если S=S1-S2, то S1, S2 =, то
S=, гдеf(x)
На
чьих карточках вопросы соответствуют докладу второй группы:
1) Какое
свойство площадей надо использовать при вычислении площадей фигур, имеющих
сложную конфигурацию?
2) В
записи f(x)…..g(x)…..0
вместо многоточий поставьте знаки , так, чтобы можно вычислить
по формуле
S=, образованной графиками
функций y=f(x)
и y=g(x)
и прямыми х=а и х=в.
Отчет продолжает II группа- демонстрация решения задачи:
Пример
нахождения площади криволинейной трапеции через определённый интеграл.
Пусть
имеем две функции:
И нам надо найти площадь
фигуры ограниченной этими двумя функциями.
Преобразуем эти функции к следующему виду.
Нанесём их на декартовую систему координат и обозначим нашу
фигуру:
Видим по рисунку, что часть нашей фигуры находится над осью
абсцисс и часть под ней. Для того, что бы найти площадь той части, что
над осью нужно просто найти интеграл от первой функции в границах от 0 до 2.
Что бы найти площадь части фигуры, которая расположена под осью абсцисс,
надо вычислить интеграл от второй функции (не забудьте про знак минус) в
границах от 0 до 3. Но это будет площадь треугольника OAC, видим,
что с этого надо ещё вычесть площадь фигуры ABC (это будет
интеграл от первой функции в границах от 2 до 3). Поэтому, выходя из этих
данных, мы это всё можем записать одним интегралом:
Решив
этот интеграл, мы и найдём площадь нужной нам фигуры.
Отчет
III группы-
решение на вычисление площади фигуры, ограниченной графиком функции y=f(x),
если f(x) и прямыми х=а, х=в:
1) Найти
на [а,в], на котором задана функция y=f(x)/
2) Построить
график функции y-f(x) на [а,в].
3) Если
f(x) на [а,в], то S=.
Отчет
продолжает III группа, демонстрация решения задачи:
найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=x2-2
и y=0.
Решение:
S=
-dx=5.
II. Устный тренажер
Вычислить
интеграл
|
Ответ
|
1)
|
x
|
2)
|
|
3)dx
|
X7
|
4)
|
+x
|
5)dx
|
|
6)
|
|
7)
|
|
8)
|
|
9)
|
|
10)dx
|
|
III.
Самостоятельная
работа с последующей проверкой на уроке.
Вычислить площадь
фигуры, ограниченной графиками функций.
I группа: y=x2+2 и y=2x+2
II группа: y=x2-4x+3
III группа:
y=6x2 и y=x2-7x+12.
Итог урока:
Кластер
–ЛСМ – логическая смысловая модель
Задачи, решаемые с помощью интеграла
|
|
|
|
|
Вычисление площади фигуры
|
Вычислительные
навыки
|
Свойства
площадей фигуры сложной конфигурации
|
Что нужно знать и уметь!
|
|
Нахождение первообразных элементарных функций
|
Построение графиков элементарных функций и
нахождение точек их пересечения аналитическими методами
|
Домашнее
задание: составить и решить контрольную карточку, содержащую задачи ЛСМ
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.