Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок-семинар "Задачи, решаемые с помощью интегралов", 11 класс
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Законы экологии», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

ПРИЁМ ЗАЯВОК ТОЛЬКО ДО 21 ОКТЯБРЯ!

Конкурс "Законы экологии"

Урок-семинар "Задачи, решаемые с помощью интегралов", 11 класс

Такого ещё не было!
Скидка 70% на курсы повышения квалификации

Количество мест со скидкой ограничено!
Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок"

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности № 5201 выдана ООО "Инфоурок" 20 мая 2016 г. бессрочно).


Список курсов, на которые распространяется скидка 70%:

Курсы повышения квалификации (144 часа, 1800 рублей):

Курсы повышения квалификации (108 часов, 1500 рублей):

Курсы повышения квалификации (72 часа, 1200 рублей):
библиотека
материалов

hello_html_m7586e607.gifhello_html_m75fc49c8.gifhello_html_f4015b4.gifhello_html_m1e747f9d.gifhello_html_m3f36297a.gifhello_html_m3bc3f6a0.gifhello_html_m3a43ea69.gifУрок-семинар по теме: «Задачи, решаемы с помощью интегралов»

11 класс

План урока:

1.Цель и задачи урока (решение проблемной ситуации):

- рассмотреть задачи, решаемые с помощью интеграла;

- повторить способы вычисления площадей фигур, имеющих сложную конфигурацию;

- систематизировать знания по теме урока

2. Экспресс- отчет:

А) Формула для вычисления площади фигуры, составленной из неперекрывающихся криволинейных трапеций;

Б) Формула для вычисления площади фигуры – как разность криволинейных трапеций;

В) Формула для вычисления площади фигуры, ограниченной графиком функции f(х), если f(х)hello_html_58626ccf.gif;

3. Устный тренажер.

4.Самостоятельная работа.

5.Подведение итогов – составление кластера (ЛСМ-логической смысловой модели).

Оборудование: Мультимедийная установка. На уроке используется презентация: «Формула Ньютона-Лейбница»:

  • при повторении теоретического материала на экране высвечиваются повторяемые формулы, примеры, иллюстрирующие основные определения и алгоритмы решения задач;

  • при самопроверки самостоятельной работы на экране появляются эталонные ответы на соответствующие задания.

Ход урока:

На доске таблица и эпиграф к уроку:

если вы хотите плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их!

Д.Пойя.



1.http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/09/81.jpg

http://900igr.net/datas/geometrija/Ploschad-krivolinejnoj-trapetsii-i-integral/0010-010-Ploschad-krivolinejnoj-trapetsii-vychisljaetsja-po-formule-S-Fb-Fa.jpg

http://go1.imgsmail.ru/imgpreview?key=79bbc41844a95166&mb=imgdb_preview_12022.

http://dok.opredelim.com/pars_docs/refs/12/11037/img2.jpg3.

http://matemonline.com/wp-content/uploads/2011/01/trapec_minus.jpg













4.S=hello_html_m3b152226.gif

http://ege-ok.ru/wp-content/uploads/2013/02/gr5.jpg



5.

6.http://900igr.net/datai/geometrija/Ploschad-krivolinejnoj-trapetsii/0008-008-Poshagovyj-primer.jpg





6.







http://900igr.net/datas/geometrija/Ploschad-krivolinejnoj-trapetsii/0008-008-Poshagovyj-primer.jpg

Фронтальная беседа:

1.Укажите рисунки, на которых изображены криволинейные трапеции (рис.1,5,6)

2.Что называется криволинейной трапецией?

-Фигуру, ограниченную графиком непрерывной функции y=f(х), отрезком [a,b] и прямыми х=a и х=b, называют криволинейной трапецией.

3.Как вычисляется площадь криволинейной трапеции?

S=hello_html_m6f379624.gif

Итак, площади криволинейных трапеций, изображенных на рисунке 1,5,6 вычисляются по формуле:S=hello_html_m6f379624.gif.

Возникает вопрос: «Как найти площади остальных фигур?»

Итак, ваше предположение:

-выделить в сложной фигуре криволинейные трапеции;

-вычислить их площади;

- найти их сумму или разность.

В математике существует важный принцип решения математической задачи- сведение задачи к известной, чем мы и займемся на уроке.

Кто попробует сформулировать цель и тему нашего урока:

- рассмотрим задачи, решаемые с помощью интеграла;

- повторить способы вычисления площадей фигур, имеющих сложную конфигурацию;

- систематизировать наши знания по теме урока, и как итог составим кластер

( на парте у каждого рабочая схема урока).

Итог нашей беседы подводит I группа – описывает способ вычисления фигуры на рис.2 и записывает основные этапы вычислений:

  1. Построить графики функций y=f(х) и y=g(х) образующие вместе с ОХ криволинейные трапеции.

  2. Найти абсциссы точек пересечения графиков функций y=f(х) и y=g(х) друг с другом и осью ОХ.

  3. Если S=S1+S2, тоS=hello_html_107b23fa.gifdx+hello_html_6ef1e3f6.gif, где х=в – абсцисса точки пересечения графиков функций f(x) и g(x) с осью ОХ.

На чьих карточках вопросы соответствуют отчету I группы.

( Вопрос: Какое свойство площадей надо использовать при вычислении площади фигур, имеющих сложную конфигурацию?)

Отчет продолжает I группа - демонстрация решения задачи: вычислить S фигуры, ограниченной графиками функций y=x2 и y=2x-x2.

Решение:

  1. x2 =2x-x2; x2 –(2x-x2)=0; 2х2-2х=0; 2х(х-1)=0; х1=0 и х2=1.

  2. S=hello_html_mc44f0d7.gif=1.



Отчет II группы- вывести формулу для вычисления Sфигуры на рисунке 3.

  1. Построить графики функций y=f(х) и y=g(х) образующие вместе с ОХ криволинейные трапеции.

  2. Если S=S1-S2, то S1hello_html_58d176c.gif, S2 =hello_html_71fd2a42.gif, то

S=hello_html_m1bab832b.gif, гдеf(x)hello_html_1f213878.gif

На чьих карточках вопросы соответствуют докладу второй группы:

  1. Какое свойство площадей надо использовать при вычислении площадей фигур, имеющих сложную конфигурацию?

  2. В записи f(x)…..g(x)…..0 вместо многоточий поставьте знаки hello_html_131a379f.gif, так, чтобы можно вычислить по формуле

S=hello_html_m554b6fdd.gif, образованной графиками функций y=f(x) и y=g(x) и прямыми х=а и х=в.

Отчет продолжает II группа- демонстрация решения задачи:

Пример нахождения площади криволинейной трапеции через определённый интеграл.

Пусть имеем две функции:
График в декартовой системе координат

И нам надо найти площадь фигуры ограниченной этими двумя функциями.
Преобразуем эти функции к следующему виду.

преобразованные функции
Нанесём их на декартовую систему координат и обозначим нашу фигуру:
парабола и прямая в декартовой системе координат
Видим по рисунку, что часть нашей фигуры находится над осью абсцисс и часть под ней. Для того, что бы найти площадь той части, что над осью нужно просто найти интеграл от первой функции в границах от 0 до 2. Что бы найти площадь части фигуры, которая расположена под осью абсцисс, надо вычислить интеграл от второй функции (не забудьте про знак минус) в границах от 0 до 3. Но это будет площадь треугольника OAC, видим, что с этого надо ещё вычесть площадь фигуры ABC (это будет интеграл от первой функции в границах от 2 до 3). Поэтому, выходя из этих данных, мы это всё можем записать одним интегралом:
Нахождение площади криволинейной трапеции в декартовой системе координат

Решив этот интеграл, мы и найдём площадь нужной нам фигуры.

Площадь через определённый интеграл


Отчет III группы- решение на вычисление площади фигуры, ограниченной графиком функции y=f(x), если f(x)hello_html_m360d6129.gif и прямыми х=а, х=в:

  1. Найти на [а,в], на котором задана функция y=f(x)/

  2. Построить график функции y-f(x) на [а,в].

  3. Если f(x)hello_html_m360d6129.gif на [а,в], то S=hello_html_m3a7204a4.gif.

Отчет продолжает III группа, демонстрация решения задачи: найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=hello_html_6eec8aff.gifx2-2 и y=0.

Решение:

S= -hello_html_m5e215eba.gifdx=5hello_html_7f8f9891.gif.



II. Устный тренажер

Вычислить интеграл

Ответ

1)hello_html_m1ea52ee5.gif

x

2)hello_html_m18a668c9.gif

hello_html_7b4d1d15.gif

3)hello_html_fbc47a3.gifdx

X7

4)hello_html_3a747a6b.gif

hello_html_m2a9b5a67.gif+x

5)hello_html_m5512814b.gifdx

hello_html_m57981be8.gif

6)hello_html_m7b0bc3be.gif

hello_html_m6ad539a2.gif

7)hello_html_5950461c.gif

hello_html_m26b75426.gif

8)hello_html_m71953b76.gif

hello_html_3bd19ca1.gif

9)hello_html_646d253c.gif

hello_html_m61473ba5.gif

10)hello_html_b683f29.gifdx

hello_html_75a5f14f.gif


III. Самостоятельная работа с последующей проверкой на уроке.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций.

I группа: y=x2+2 и y=2x+2

II группа: y=x2-4x+3

III группа: y=6x2 и y=x2-7x+12.


Итог урока:

Кластер –ЛСМ – логическая смысловая модель













Задачи, решаемые с помощью интеграла







http://go1.imgsmail.ru/imgpreview?key=79bbc41844a95166&mb=imgdb_preview_1202




http://dok.opredelim.com/pars_docs/refs/12/11037/img2.jpg














http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/09/81.jpghttp://900igr.net/datas/geometrija/Ploschad-krivolinejnoj-trapetsii-i-integral/0010-010-Ploschad-krivolinejnoj-trapetsii-vychisljaetsja-po-formule-S-Fb-Fa.jpg














http://matemonline.com/wp-content/uploads/2011/01/trapec_minus.jpg



Вычисление площади фигуры

Вычислительные навыки












Свойства площадей фигуры сложной конфигурации


























Что нужно знать и уметь!

http://www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2012/09/81.jpghttp://900igr.net/datas/geometrija/Ploschad-krivolinejnoj-trapetsii-i-integral/0010-010-Ploschad-krivolinejnoj-trapetsii-vychisljaetsja-po-formule-S-Fb-Fa.jpg




















Нахождение первообразных элементарных функций












Построение графиков элементарных функций и нахождение точек их пересечения аналитическими методами

Домашнее задание: составить и решить контрольную карточку, содержащую задачи ЛСМ

Краткое описание документа:

Урок-семинар по теме: «Задачи, решаемы с помощью интегралов»

11 класс

План урока:

1.Цель и задачи урока (решение проблемной ситуации):

- рассмотреть задачи, решаемые с помощью интеграла;

- повторить способы вычисления площадей фигур, имеющих сложную конфигурацию;

- систематизировать знания по теме урока

2. Экспресс- отчет:

А) Формула для вычисления площади фигуры, составленной из неперекрывающихся криволинейных трапеций;

Б) Формула для вычисления площади фигуры – как разность криволинейных трапеций;

В) Формула для вычисления площади фигуры, ограниченной графиком функции f(х), если f(х);

3. Устный тренажер.

4.Самостоятельная работа.

5.Подведение итогов – составление кластера (ЛСМ-логической смысловой модели).

Оборудование: мультимедийная установка. На уроке используется презентация: «Формула Ньютона-Лейбница»:

при повторении теоретического материала на экране высвечиваются повторяемые формулы, примеры, иллюстрирующие основные определения и алгоритмы решения задач;

при самопроверки самостоятельной работы на экране появляются эталонные ответы на соответствующие задания.

Общая информация

Номер материала: 309184

Похожие материалы