Урок-соревнование по математике "Применение производной к исследованию функций" (10 класс)

Урок – соревнование по алгебре и началам анализа в 10 классе

Тема «Применение производной к исследованию функций»

Цели урока:

Образовательная:

- отработка навыков нахождения промежутков монотонности, критических точек и экстремумов функции с помощью производной;

- закрепление алгоритма полного исследования функции и построения ее графика;

-проверка полученных знаний и умений ф ходе выполнения самостоятельной работы.

Развивающая:

- развитие математической культуры речи;

- развитие графической грамотности.

Воспитательная:

- выработка внимания, сосредоточенности, точности, коллективного труда, чувства товарищества.

Оборудование: проектор, интерактивная доска, мультимедийная презентация, карточки с кроссвордами, карточки с формулами дифференцирования и правилами вычисления производных, карточки для устной работы, карточки для письменной работы, таланты

Ход урока

1. Организационный момент

Учитель объявляет о необычности урока и объясняет правила соревнования: класс делится на три группы

1 группа – слабые ученики – только что созданная фирма

2 группа – средние ученики – фирма, имеющая небольшой опыт работы

3 группа – сильные ученики – фирма, которая уже завоевала себе имя

Цель каждой фирмы – набрать как можно большее количество ценных бумаг (которые называются талантами) для себя лично и для команды в целом. В начале урока все учащиеся получают начальный капитал – по одной ценной бумаге. Таланты можно получить, выполнив правильно задания.

Задания для групп будут дифференцированными и, следовательно, будут иметь разную ценность: слабые ученики за каждое правильное решение получат 1 талант, средние ученики – 1, 2 и 3 таланта, сильная группа – 3 и 4 таланта

2. Проверка домашнего задания

Учащиеся проверяют правильность выполнения домашнего задания по готовому решению, которое проектируется на интерактивную доску. За правильное выполнение ученики получают таланты

3. Активизация мыслительной деятельности

Проводится в форме кроссвордов для сильных и средних учащихся, а для слабых учеников – работа у доски с формулами и правилами дифференцирования

Кроссворд для сильных учеников

По горизонтали:

1. Точки, в которых производная не существует или равна нулю

2. Обобщенное название точек максимума и минимума

3. Функция, для которой большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции

По вертикали:

1. Производная синуса

4. Функция, для которой справедливо равенство для всех х из области определения функции f(x)=f(-x)

5. Точка, при переходе через которую производная меняет знак с + на –

6. Множество точек координатной плоскости, координаты которых (x; f(x))

7. [a;b], [a;b), (a;b), (a;b]

8. Если f(x-T)=f(x)=f(x+T), то f(x) – периодичная. Как называется T?

Из букв в выделенных в ячейках составьте фамилию ученого, которое ввел понятие и обозначение производной (Лагранж)

Кроссворд для средних учеников

Найдите в кроссворде следующие слова: критические, максимум, нечетная, периодичная, возрастающая, график, промежуток, синус

С

И

Н

У

С

Г

Р

А

Н

Ч

А

Ю

Щ

У

Т

О

И

Ф

А

И

Т

С

А

Ж

Е

К

К

Я

Я

Д

Р

А

Я

О

М

И

Е

А

Н

О

З

О

П

Р

С

К

Ч

Е

Т

И

К

В

И

Ч

Е

Н

Е

У

М

Р

Р

И

Т

М

И

Н

И

М

П

Е

4. Устные упражнения

Для сильных и средних учащихся

1. На рисунке изображен график функции y=f(x). На оси абсцисс отмечены 6 точек. В скольких из этих точек производная функции отрицательна?

2. На рисунке изображен график функции y=f ’(x) – производной функции y=f(x). На оси абсцисс изображены 6 точек. Сколько из этих точек лежат в промежутках возрастания функции y=f(x)?

3. На рисунке изображен график функции y=f ’(x) – производной функции y=f(x), определенной на интервале (-9; 8). Найдите точку экстремума функции y=f(x) на отрезке [-3;3]

4. На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-9;5). Найдите количество точек, в которых производная функции y=f(x) равна нулю

Для слабых учащихся (работа по карточкам)

1. Знак производной меняется по схеме, изображенной на рисунке. Определите по рисунку промежутки возрастания, убывания, точки максимума, точки минимума

f‘(x) - + - - +

-6 0 1 3

2) На рисунке изображен график функции y=f(x) и отмечены точки A, B, C, D на оси Ox. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке характеристики функции и ее производной

A

1. Значение функции в точке отрицательно, а значение производной положительно

B

2. Значение функции в точке положительно, а значение производной отрицательно

C

3. Значение функции в точке отрицательно, и значение производной отрицательно

D

4. Значение функции в точке отрицательно, и значение производной в точке отрицательно

5. Решение упражнений

У каждого учащегося имеется карточка с заданиями, в которых 5 упражнений. Ученик может решать их на выбор: 1 задание с консультацией учителя, 1 задание для самостоятельного решения, остальные три задания – для домашнего задания (ученик самостоятельно определяет задания, для решения которых ему требуется помощь, а с какими он может справиться самостоятельно). Если ученик справляется с первыми двумя заданиями, он может решить задания другой группы. За каждый правильное решенное задание учащиеся получают таланты.

Карточка № 1 (для слабых учащихся)

1. Найдите критические точки функции y=3x – x³

2. Найдите промежутки убывания функции f(x) = ¼x⁴ - ½x²

3. Докажите, что функция y=2x³ + 7x возрастающая

4. Найдите промежутки монотонности функции и постройте ее график y= x² – 3x +2

5. Найдите промежутки монотонности, точки экстремумов функции и постройте ее график y= x² -3x +2

Карточка № 2 (для средних учащихся)

1. Найдите критические точки функции f(x)=x+ 4/x

2. Найдите множество значений функции f(x) = 0,25x⁴ – 2x² + 1

3. Постройте график функции f(x) = x³ -3x² + 2. Укажите множество значений функции на отрезке [-0,5; 3]

4. Исследуйте функцию и постройте ее график f(x)=x⁴ -2x² +2

5. Исследуйте функцию f(x)=3x – x³c помощью производной. Определите, при каких значениях а уравнение f(x) = a имеет три корня

Карточка № 3 (для сильных учащихся)

1. Найдите критические точки функции f(x)=0,25sin4x – 1,5sin2x +2x

2. При каких значениях а график функции y=3x – 4x³ и прямая у=а имеют одну общую точку?

3. Сколько корней имеет данное уравнение при указанных условиях х³ – 3х² = а -4<a<0

4. Исследуйте функцию f(x) = x⁴ – 2x² +3 с помощью производной

5. Найдите все значения а, для которых функция f(x) = (a-2)x³ + 6x² +(a-3)x -1 убывает на множестве R и не имеет критических точек

6. Рефлексия

– Какова была цель нашего урока? (Повторить применение производной к исследованию функций.)

- Какие задачи вызвали наибольшее затруднение?

– Кто из вас достиг цели? (Учащиеся высказываются.)

– Дайте анализ своей деятельности.

7. Подведение итогов урока, выводы об успешности каждой фирмы, выставление оценок