Урок-зачет "Исследование функции с помощью производной"

Урок-зачет по теме " Применение производной к исследованию функций "

Цели урока:

ОЦ: Контроль и самоконтроль знаний и навыков по теме “Применение производной к исследованию функций” в системе тестов, дифференцированных по степени сложности.

РЦ: Развитие умений в применении знаний в конкретной ситуации; развитие логического мышления, умения работать в проблемной ситуации; развитие умений сравнивать, обобщать, правильно формулировать задачи и излагать мысли; развитие самостоятельной деятельности учащихся.

ВЦ: Воспитание интереса и любви к предмету через содержание учебного материала, умения работать в коллективе, взаимопомощи, культуры общения; воспитание таких качеств характера, как настойчивость в достижении цели; умение не растеряться в проблемных ситуациях.

Ход урока:

I. Организационный момент.

Приветствие. Сообщение цели урока. Объявление плана урока.

II. Основная часть.

Историческая справка о происхождении терминов и обозначений по теме. Сообщение ученика:

Производная – одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в XXVII веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики, но в первую очередь следующих двух: определение скорости прямолинейного движения и построения касательной к прямой. Независимо друг от друга И. Ньютон и Г. Лейбниц разработали аппарат, которым мы и пользуемся в настоящее время. И. Ньютон в основном опирался на физическое представление о мгновенной скорости движения, считая его очевидным и сводя к нему другие случаи производной, а Г. Лейбниц использовал понятие бесконечно малой. Исчисление созданное Ньютоном и Лейбницем, получило название дифференциального исчисления. С его помощью был решен целый ряд задач теоретической механики, физики и астрономии. В частности, используя методы дифференциального исчисления, ученые предсказали возвращение кометы Галлея, что было большим триумфом науки XXVII века. С помощью тех же методов математики изучали в XXVII и XXVIII веках различные кривые, нашли кривую, по которой быстрее всего падает материальная точка, научились находить кривизну линий. Большую роль в развитии дифференциального исчисления сыграл Л. Эйлер, написавший учебник “Дифференциальное исчисление”.

Основные понятия дифференциального исчисления долгое время не были должным образом обоснованы. Однако в начале XIX века французский математик О. Коши дал строгое построение дифференциального исчисления на основе понятия предела.

Применяемая сейчас система обозначений для производной восходит к Лейбницу и Лагранжу.

В настоящее время понятие производной находит большое применение в различных областях науки и техники.

Работа с классом.

Проверка домашнего задания- опрос по основным теоретическим положениям по теме:

§ Достаточный признак возрастания (убывания) функции.

§ Алгоритм нахождения промежутков возрастания и убывания функции.

§ Определение критических точек функции, точек экстремума и экстремумов функции.

§ Необходимое условие экстремума.

§ Достаточные условия существования экстремума в точке: признак максимума и минимума. Примеры функций, имеющих экстремумы и не имеющих.

§ Алгоритм отыскания экстремумов функции.

§ Схема исследования функции (с помощью производной).

§ Алгоритм нахождения наибольших и наименьших значений функции

o   на отрезке

o   на незамкнутом промежутке

Привести примеры функций:

§  имеющих критические точки, в которых  не существует.

§  , но  не является точкой экстремума.

§  . Найти . Найти . Является ли 0 - критической точкой.

§  . Найти . Найти . Является ли 0 - критической точкой.

§  Может ли значение функции в точке максимума быть меньше ее значения в точке минимума. (ответ: да, может)

§  Работа по рисункам на доске.

По характеру изменения графика функции указать на каких промежутках производная положительна, на каких - отрицательна (каждая из функций определена на R).

§  Дан график производной функции . Найдите промежутки возрастания и убывания функции. (ответ:  возрастает на [-5;2], [4;8] убывает на (-;-5], [8;+ ))

§  Даны графики производных функций. При каких значениях переменной x функции имеют точки максимума и минимума? Назовите эти точки. (ответ: а)  -2 – точка минимума;  – точка максимума; б) -4 и 1 – точки максимума; -1 и 3 – точки минимума; в) x = 2 – точка максимума)

Работа с тестами:

Инструкция по выполнению теста:

В тестировании дано 5 заданий, в которых учащиеся должны установить соответствие между данными множествами. На выполнение теста дано 8 минут.

Критерии оценивания теста:

За каждый правильный ответ ставится 1 балл, за неправильный - 0 баллов. Таким образом, если 5 баллов - отметка "5"; 4 балла - отметка "4"; 3 балла - отметка "3".

Перед началом использования теста учитель просит учащихся внимательно ознакомиться с критериями оценивания теста. Затем предлагает ребятам составить план действий по прохождению данного теста, т. е. первыми выполнить те соответствия, которые для учащего кажутся самыми легкими, выполнять по мере возрастания трудности. В результате такой работы у учащихся развивается умение анализировать, составлять план действий.

Итоговое тестирование:

Предлагается 3 вида тестов, дифференцированных на три уровня глубины изучения темы:

А – минимальный уровень

Б – базовый уровень

В – углублённый уровень.

Тест 1:

График функции и график производной

Вариант А-1

Для каждой из функций, графики которых изображении в верхнем ряду, найдите график ее производной.

Вариант А-2

Для каждой из функций, графики которых изображении в верхнем ряду, найдите график ее производной.

Вариант Б-1

Для каждой из функций, графики которых изображении в верхнем ряду, найдите график ее производной.

Вариант Б-2

Для каждой из функций, графики которых изображении в верхнем ряду, найдите график ее производной.

Вариант В-1

Для каждой из функций, графики которых изображении в верхнем ряду, найдите график ее производной.

Вариант В-2

Для каждой из функций, графики которых изображении в верхнем ряду, найдите график ее производной.

Тест 2:

Дифференцирование

Вариант А-1

Найдите пары: «функция - график производной этой функции»

Вариант А-2

Найдите пары: «функция - график производной этой функции»

Вариант Б-1

Найдите пары: «функция - график производной этой функции»

Вариант Б-2

Найдите пары: «функция - график производной этой функции»

Вариант В-1

Найдите пары: «функция - график производной этой функции»

Вариант В-2

Найдите пары: «функция - график производной этой функции»

Тест 3:

Связь свойств функции и производной

Вариант А-1

Завершите фразы: «Если на отрезке [1; 3] производная …, то на этом отрезке функция у …»

то если	Монотонно возрастает	Имеет максимум внутренней точке	Имеет минимум внутренней точке	Постоянна	Монотонно убывает

Вариант А-2

Завершите фразы: «Если на отрезке [-1; 1] производная …, то на этом отрезке функция у …»

то если	Монотонно возрастает	Имеет максимум внутренней точке	Имеет минимум внутренней точке	Постоянна	Монотонно убывает

Вариант Б-1

Завершите фразы: «Если на отрезке [0; 1] производная …, то на этом отрезке функция у …»

то если	Монотонно возрастает	Имеет максимум внутренней точке	Имеет минимум внутренней точке	Постоянна	Монотонно убывает

Вариант Б-2

Завершите фразы: «Если на отрезке [-2; 0] производная …, то на этом отрезке функция у …»

то если	Монотонно возрастает	Имеет максимум внутренней точке	Имеет минимум внутренней точке	Постоянна	Монотонно убывает

Вариант В-1

Завершите фразы: «Если на отрезке [1; 3] производная …, то на этом отрезке функция у …»

то если	Монотонно возрастает	Имеет максимум внутренней точке	Имеет минимум внутренней точке	Постоянна	Монотонно убывает

Вариант В-2

Завершите фразы: «Если на отрезке [-2; 0] производная …, то на этом отрезке функция у …»

то если	Монотонно возрастает	Имеет максимум внутренней точке	Имеет минимум внутренней точке	Постоянна	Монотонно убывает

	Тест 3

 

Ответы:

Тест 1. График функции и график производной.

А-1

А-2

Б-1

Б-2

В-1

В-2

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

Тест 2. Дифференцирование.

А-1

А-2

Б-1

Б-2

В-1

В-2

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

Тест 3. Связь свойств функции и производной.

.А-1

А-2

Б-1

Б-2

В-1

В-2

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+