«Изучение геометрии в школе (проблемы и их решение)»

В ряду учебных дисциплин, составляющих в совокупности школьный курс математики, геометрия играет особо важную роль. Эта роль определяется и относительной сложностью геометрии по сравнению с другими предметами математического цикла, и большим значением этого предмета для изучения окружающего мира.

В разное время высказывались различные суждения по поводу преподавания геометрии и ее месте в системе школьного образования. По мнению многих, геометрия в школе — это не только основная математическая дисципли­на, но и один из важнейших компонентов общечеловеческой культуры. Геометрия, как учебный предмет, обладает уникальными возможностями для решения главной задачи общего математического образования – целостного развития и становления личности средствами математики. Развитие учащихся средствами геометрии направлено на достижение научных, прикладных и общекультурных целей математического образования, где общекультурные цели обучения геометрии в первую очередь предполагают всестороннее развитие мышления детей. Недостатки в освоении геометрии ведут к серьез­ному ущербу всего миропонимания, как материального, так и духовного. Поэтому воспитание геометрического мышления должно выходить за временные рамки курса геометрии как школьного предмета и продолжаться во все время пребыва­ния учащегося в школе.

Цели и результаты обучения геометрии не огра­ничиваются рамками предмета, они столь ценны и широки, что нашей средней школе давно следовало бы взять на вооружение принцип, который можно сформулировать, перефразировав знаменитое платоновское изречение: «Не знаю­щий геометрии не выпускается (из школы)». Выдвигая этот принцип, имеем в виду не столько специальные геометрические знания, предусмотренные программой, сколько тот ни­чем пока незаменимый эффект, который имеет для общего развития личности сам процесс серьезного изучения геометрии.

Развитие логики и развитие интуиции (гео­метрической в частности) — две важнейшие равноправные функции геометрического обра­зования. Пуанкаре писал: «Доказывают при по­мощи логики, изобретают при помощи интуи­ции». Геометрия, как, пожалуй, никакой дру­гой предмет, способствует развитию обоих ка­честв, поскольку логический и интуитивный ас­пекты в этом предмете переплетаются наибо­лее тесно. Диалектическое единство двух про­тиворечивых тенденций, которое мы наблюдаем в геометрии и которого нет сегодня ни в од­ном другом школьном предмете, как раз и дела­ет эту дисциплину, по моему мнению, уникаль­ным и необходимым предметом изучения.

С другой стороны, противоречие между «су­хой логикой» и «живым воображением» являет­ся едва ли не главной причиной всех методи­ческих трудностей во всех вопросах геометри­ческого образования начиная с составления школьных программ, написания учебных посо­бий и кончая оцениванием знаний учащихся. Жаркие дис­куссии вокруг программ и учебников по геомет­рии представляются не только борьбой между сторонниками различных подходов к из­учению геометрии, но и отражением объектив­ных методологических противоречий, присущих этой науке. Польза от дискуссий несомненна: за последние десять лет программы по геомет­рии стали «геометричнее», учебники, грешившие сухим логическим акцентом, заметно эволюцио­нировали к большей наглядности, а чересчур «наглядные» — приобрели больше логической стройности.

Следующим аспектом обучения геометрии в школе является подготовка учителя. Каждая эпоха ставит перед школой новые задачи, и учитель, как один из главных источников знаний, должен соответствовать требованиям своего времени. Учитель должен быть творческой личностью, четко понимать цели преподавания геометрии в школе, обладать знаниями, адекватными этим целям.

А. Н. Колмогоров высказал мысль о том, что в преподавании школьного курса геомет­рии можно выделить пять уровней.

Первый низший уровень предполагает систематизацию того опытного геометрического материала, который накоплен учащимися в младших классах, а также приобретение навы­ков и приемов для практического использования различных геометрических закономерностей. На этом уровне геометрия выступает еще не как математическая дисциплина, а скорее как инструмент, помогающий решать задачи по алгебре (так называемые текстовые задачи), задачи по физике и химии, выполнять задания по черчению. Знаниями этого уровня ограничиваются многие школьные общеобразовательные программы западных стран; такого типа знания остаются в среднем и у наших выпускников, когда "все выученное забывается".

Второй уровень предполагает усвоение учащимися концепции геометрического (математического) доказатель­ства. Подобно тому, как возникновение в античной геомет­рии идеи строгого логического доказательства явилось началом совершенно нового подхода к синтезу знаний, началом революционно нового этапа в развитии человече­ской культуры, так и освоение конкретным учащимся идеи математического доказательства ставит его на новую ступень в своем индивидуальном интеллектуальном развитии.

Практика показывает, что идея доказательства усваива­ется учащимися очень непросто. В ГИА 2017г 16% участников выполнили задачу на простейшее геометрическое доказательство.

Типична ситуация, когда даже хороший учащийся имитирует некоторые приемы, не понимая сути той всеобщности, логической ограниченности допустимых средств, которые лежат в основе идеи доказа­тельства. Усвоение этой идеи является поворотным пунктом в геометрическом и, вообще, в общем образовании человека. Поэтому достижение этого уровня можно рассматривать как основу, отправляясь от которой можно развивать дальнейшее изучение геометрии.

На своих уроках если это возможно в ходе беседы по изучению нового материала предлагаю учащимся выдвигать гипотезы, а потом их опровергать или доказывать. Например при изучении особого свойства прямоугольника, учащиеся его исследуют, предполагают, что диагонали равны, а затем предлагаю им это доказать. То есть уже приучаю детей использовать свои знания в новой ситуации. Стараюсь меньше теорем доказывать сама. Пользуясь девизом "Знания приобретенные самостоятельно, куда богаче и прочнее чем изложенные кем-то..."

На третьем уровне предполагается усвоение учащимися формально-логической схемы геометрии, ее основных понятий, достаточного набора теорем и фактов, достаточно обширная практика в решении геометрических задач. Этот уровень можно охарактеризовать как уровень хорошего выпускника.

На своих уроках если после изучения свойств параллелограмма предлагаю учащимся исследовать параллелограмм, и выдвинуть еще какие-нибудь его свойства, а затем их доказать.

Четвертый уровень — это освоение курса школьной геометрии в его полном традиционном объеме. Предполагается, что на этом уровне учащийся владеет не только общими геометрическими фактами, но и специальной техникой решения геометрических задач (дополнительные построения, соображения размерности, подобия и т. п.).

Пятый уровень - это уровень углубленного, специализированного изучения геометрии с ориентацией на дальнейшую профессиональную работу в области математи­ки и физики. На этом уровне предполагается не только хорошее владение всем арсеналом средств школьной геомет­рии, но также и умение разбираться в ситуациях, обычно моделируемых в так называемых олимпиадных задачах. Критерием достижения этого уровня можно считать умение решать сложные стереометрические задачи, многофигурные задачи, многопараметрические задачи на построение.

Итак, к чему же сводятся суждения о проблеме обучения геометрии? Ныне, как никогда, школе нужна взвешенная, хорошо продуманная система геометрического образования. Основываясь на опыте многих учителей и методистов можно заметить, что при создании этой системы целесообразно учесть следующие аспекты.

1°. Многоуровневое построение системы геометрических знаний и навыков учащихся, позволяющее осуществлять оперативный контроль и измерения в управлении процессом обучения.

2°. Адекватная подготовка учителя в пединститутах, направленная на полное широкомасштабное овладение ими совокупностью геометрических дисциплин, связанных с элементарной геометрией.

3° . Создание концепции геометрической пропедевтики; выделение в программах IV-V классов пропедевтического курса наглядной геометрии; создание условий для восприя­тия школьником геометрии не только как конкретного предмета, но и как обще культурного феномена.

Уникальность геометрии как учебного предмета заключается в том, что она позволяет наиболее ярко устанавливать связи между естественными представлениями об окружающих предметах и их абстрактными моделями; формировать мыслительные операции различных видов и уровней; учитывать индивидуальные особенности протекания психических процессов учащихся. Ясно, что успешное решение этих задач возможно лишь при условии непрерывного геометрического образования.

Геометрические образы сопровождают человека в течение всей его жизни начиная с первых лет. Первичные геометрические сведения у человека появляются до того, как он способен их формально-логически осмыслить. Чем богаче и разностороннее мир ребенка, тем большее количество таких первоначальных знаний он получает до начала обуче­ния в школе. По наблюдениям многих учителей и специалистов-психологов при неверном обучении ранняя способ­ность оперировать геометрическими образами и синтезиро­вать геометрические знания может в дальнейшем не только не развиваться, но даже резко ослабевать. Поэтому одной из главных задач преподавания геометрии является задача планомерного, систематического развития геометрического, образного мышления, восприятие геометрии не только как школьного предмета, но и как феномена человеческой культуры.

К сожалению, в современной школе эта начальная часть геометрического образования развита весьма недостаточно. Наблюдающийся прогресс в постанов­ке геометрического образования не приводит к радикальным изменениям качества геометри­ческого образования школьника, которое сей­час находится в плачевном положении.

Принципиальным тормозом в деле геометри­ческого образования является установившееся за многие годы положение курса геометрии в школе. Оно состоит в том, что в школе геометрия изучается начиная только с VII клас­са и только в рамках систематического курса. При этом полностью отсутствует изучение на­глядной геометрии. При всем своем уважении к традициям, мы тем не менее не видим убеди­тельных аргументов, объясняющих, почему гео­метрия получила в школе именно такой статус. Более того, многие трудности в изучении гео­метрии связаны, как мне кажется, именно с этим сложившимся статусом геометрии в школе.

Хорошо известно, какой огромный путь в сво­ем интеллектуальном развитии проходит ребе­нок в первые пять-шесть лет своей жизни. В богатом багаже его представлений об окру­жающем мире геометрические представления занимают одно из центральных мест. Геомет­рический опыт шестилетнего ребенка настолько многогранен, что если говорить о развитии непосредственных наглядно-геометрических представлений, то изучение геометрии в школе немногое может к нему добавить. Ребенок предшкольного возраста многое знает, многое умеет делать руками. Ему доставляют огромное удовольствие занятия геометрическими играми, упражнениями, буквально всё, что связано с геометрией (рисование, конструирование, лепка и т. п.). Именно на этот возраст приходит­ся пик, если можно так сказать, геометриче­ской активности ребенка.

Но вот ребенок поступает в школу, и живой поток его геометрической активности, вместо того, чтобы быть воспринятым и направленным в учебное русло, фактически перекрывается. В течение первых пяти-шести лет обучения геометрия сочится жалким, иссыхающим ручей­ком по школьным учебникам.

В программах и учебниках для младших классов по математике, если говорить о гео­метрии, совершенно не учитывается ни умствен­ное развитие ребенка, ни его возрастные осо­бенности. На кого, например, рассчитана про­грамма, требующая, чтобы ученик на выходе из четвертых-пятых классов умел распознавать простейшие фигуры: квадрат и прямоугольник, круг и окружность, куб и шар? Ведь в школу приходит ребенок, который для игры в футбол никогда не брал куб, а детские домики возво­дил не из шаров. Возможно, кое-кто из ребят не знает названий некоторых геометрических фигур, хотя и прекрасно знаком с ними.

Положение геометрии по сравнению с други­ми школьными предметами в своем роде уни­кально: ни один предмет, пожалуй, первоклас­сники так ни готовы воспринимать, как нагляд­ную геометрию. В то же время, ни один предмет не начинают изучать в школе с таким запозда­нием (по отношению к благоприятному момен­ту), как геометрию.

Следует сказать, что к 12—13 годам, когда ученик приступает к изучению геометрии, его непосредственный интерес к геометрии уже на излете. К сожалению, школьный учебник воз­будить интерес к предмету не в состоянии: требования к систематическому изложению на­кладывают свой отпечаток независимо от вы­бранного в учебнике подхода — более аксио­матического или более наглядного. Ученик, как только он откроет учебную книгу по геомет­рии, неизбежно должен ощутить разрыв между его личным жизненным геометрическим опытом и тем, с чего начинается любое систематиче­ское изложение геометрии. И это испытание разочарованием от первой встречи со школь­ной геометрией для многих определяет всё даль­нейшее их отношение к предмету.

Было бы неправильно думать, что отсутствие геометрии в младших классах — это беда только лишь геометрии. Есть основания считать, что пятилетний провал в геометрическом обра­зовании детей, лишение их, если можно так сказать, геометрического детства — это трудно восполнимая потеря с точки зрения и общего эмоционального, и умственного развития ре­бенка.

Мысль о том, что курс “Наглядной геометрии” был бы полезен в начальной школе, не является новой, но сложность ее реализации в существующем курсе математики для начальных классов долгие годы останавливала методистов и учителей. О необходимости введения такого курса настойчиво говорят и психологи. Американский педагог-психолог Д. Брунер писал: “… Если бы ребенок раньше овладел понятиями и доступными ему способами действий в виде “интуитивной геометрии”, то он смог бы более глубоко усвоить смысл теорем и аксиом, которые ему объясняются позднее”.

Изучая геометрию, мы отвлекаемся от реальных объектов действительности: среди всех свойств рассматриваем только размеры, форму и положение в пространстве. Т.о., мы изучаем абстрактные модели каких-то реальных объектов.

Психологической особенностью детей младшего школьного возраста является преобладание наглядно—образного мышления, им сложно иметь дело с абстракциями. Восприятие же формы (основа распознания), формирующийся образ предмета складывается на основании объединения в комплекс тактильных, зрительных и ощущений, связанных с ощупыванием, поворачиванием и т.п.

В связи с этим основной метод, используемый в курсе “Наглядная геометрия” для формирования геометрических представлений, - это метод действия с объектами, а не метод наблюдения над ними. В большей мере эта работа производится на интуитивной основе, на уровне осмысления через ощущение, поскольку практическая деятельность, в отличие от теоретической, чаще использует догадку, интуицию. Такая практическая деятельность будет стимулировать развитие “геометрического чутья”, “геометрического видения”, а значит и геометрического пространственного мышления.

Метод действия с объектами предполагает построение курса “Наглядная геометрия” на основе системы практических работ, позволяющих детям научиться строить модель изучаемого пространственного соотношения, используя всевозможную вещественную наглядность (палочки, бечевку, бумагу, геометрические мозаики, конструкторы разных типов и т. д.). Такую деятельность называют моделированием.

Действие моделирования является как раз тем общим способом действий, который отражает специфику математического описания действительности. Если человек умеет построить какую-либо модель изучаемого предмета, процесса, явления, ситуации, отношения и описать ее на математическом языке, значит, он обладает тем, что мы называем математическим мышлением.

В процессе построения курса не считаю необходимым строго следовать логике построения Евклидовой геометрии, т.к. полагаю, что этот урок не должен превращаться в урок геометрии. Геометрический материал осваивается ребенком в ходе выполнения конструкторских заданий, геометрическое обобщение выступает в виде результата решения конструктивной задачи.

Моделируя пространственные отношения наиболее доступным для этого возраста способом, с опорой на наглядно-образное мышление, практическую деятельность и ощущения ученик легко усваивает начальные геометрические сведения.

Если же учесть, что полученные в начальных классах элементарные навыки построения и измерений сохраняются у учащихся на долгие годы, то становится ясной значимость формирования этих навыков именно в этот период.