Типичные ошибки при изучении темы «Тригонометрия»

Страшный зверь по имени "Тригонометрия" становится совсем ручным и послушным, если относиться к нему с пониманием. А для этого его нужно вырастить буквально с «младенчества».

Типичные ошибки:

1) некоторые уч-ся плохо понимают, что такое тригонометрическая окружность, как с нею связаны тригонометрические функции;

2) не владеют умением распознавать разные типы тригонометрических уравнений и применять нужные алгоритмы для их решения, выбирать решения уравнения, принадлежащие заданному интервалу;

3) допускают ошибки при определении знаков тригонометрических функций;

4) неправильно наносят точки поворота на целое число радиан;

5) пользоваться формулами приведения, не заучивая их,

6) находить значения тригонометрических функций некоторых углов не только первой четверти,

7) вычислять значения тригонометрических выражений ( незнание формул или неумение их применять);

8) что такое обратные функции и как их находить;

Методические рекомендации по предупреждению ошибок:

1. Типичная ошибка: при нахождении одной из тригонометрических функций через заданное значение другой не учитываются знаки тригонометрических функций в зависимости от положения угла.

1. Упражнение. Найти ctg α, если sin α = 0,8.

Неправильное решение.

1 + ctg2 α = sin–2 α,

1 + ctg2 α = 25/16,

ctg2 α = 9/16,

ctg α = 3/4.

Комментарий: здесь ошибка заключается в том, что при извлечении корня мы можем получить как положительное значение, так и отрицательное, то есть ctg α = ± 3/4, поэтому необходимо искать решение отдельно в каждой четверти.

Правильное решение.

Так как sin α > 0, то α может находиться только в I или во II четверти, значит:

1) если α – угол первой четверти, то ctg α = 3/4;

2) если α – угол второй четверти, то ctg α = – 3/4.

Комментарий: При объяснении данной темы необходимо как можно больше внимания уделять единичной окружности, работе с ней. Учащиеся должны четко усвоить, что от того, в какой четверти может находиться искомая функция, зависит не только значение, но и знак функции, которую находим.

Во избежание подобных ошибок я использую многократное повторение и решение подобных упражнений, вырабатываю у учащихся навык работы с единичной окружностью.

2.При упрощении тригонометрических выражений необходимо не только хорошо знать тригонометрические формулы, но и владеть навыками преобразования алгебраических выражений: правилами раскрытия скобок и заключения в скобки, формулами сокращенного умножения и т.п. Именно недостаточное знание формул курса алгебры провоцирует неправильное решение упражнений.

Пример. Упростить выражение: .

Решение: Перепишем выражение в виде: ·(1-

Здесь мы представили дробь в виде произведения, затем первый множитель заменили, используя формулу, и получили произведение суммы двух выражений на неполный квадрат разности этих выражений – формулу суммы кубов двух выражений.

Комментарий: Трудности и ошибки при упрощении данного выражения возникают именно из-за незнания, либо плохого владения умением применить формулу суммы кубов двух выражений, а также неумения преобразовать дробь в произведение. Поэтому необходимо постоянное повторение формул с помощью упражнений для устного счета, выполнения тестовых заданий и т.п.

3.При доказательстве тригонометрических тождеств учащиеся из-за незнания некоторых тригонометрических формул «придумывают свои», неправильно выполняют преобразования: раскрывают скобки либо выносят за скобки, производят неправильное сокращение дробей, а также не учитывают область допустимых значений.

Пример: Доказать тождество:

В данном тождестве некоторые учащиеся, например, производили неверное сокращение синусов, что свидетельствует о незнании правил сокращения дробей, а также не учитывали область допустимых значений.

Правильное решение.

1 способ:

2 способ:

Комментарии: перед изучением темы разрабатываю комплекс устных, тестовых и письменных упражнений с целью минимализации подобных ошибок. При объяснении материала акцентирую внимание учащихся на том, что тождество справедливо лишь при допустимых значениях переменных.

4. В тригонометрических уравнениях, как и в уравнениях других видов, причиной многих ошибок становится невнимательное отношение к области допустимых значений неизвестного, ошибки по причине невнимательного отношения ко всем заданным в уравнении условиям; учащиеся также часто забывают, что сокращение всех членов уравнения на функцию, содержащую неизвестное, нередко приводит к потере корней уравнения. Еще одна причина появления ошибок – недостаточное внимание к проверке. Следует не забывать, что при проверке посторонних корней тригонометрических уравнений часто удобно использовать единичную окружность.

Комментарий: этих и других ошибок можно избежать путем многократного решения однотипных уравнений. Нужно также учить не формальному подходу к решению уравнений, а рассуждать, объяснять ход своего решения.

Пример. Решить уравнение cos x (2sin 2x – 1) = cos x sin 2x.

Неправильное решение.

2sin 2x – 1 = sin 2x;

sin 2x = 1;

2x = π/2 + 2πk, k ∈ Z;

x = π/4 + πk, k ∈ Z.

Ответ: π/4 + πk, k ∈ Z.

Правильное решение.

cos x (2sin 2x – 1) – cos x sin 2x = 0;

cos x (2sin 2x – 1 – sin 2x) = 0;

cos x (sin 2x – 1) = 0;

1) cos x = 0; x = π/2 + πn, n ∈ Z;

2) sin 2x – 1 = 0; sin 2x = 1; 2x = π/2 + 2πk, k ∈ Z; x = π/4 + πk, k ∈ Z.

Ответ: π/2 + πn, n ∈ Z; π/4 + πk, k ∈ Z.

Еще одна причина появления ошибок – недостаточное внимание к проверке. Следует не забывать, что при проверке посторонних корней тригонометрических уравнений часто удобно использовать единичную окружность.

Пример. Решить уравнение sin x + cos x = 1.

Неправильное решение.

(sin x + cos x)2 = 12;

sin2 x + 2sin x cos x + cos2 x = 1;

1 + 2sin x cos x = 1;

sin 2x = 0;

2x = πn, n ∈ Z;

x = πn/2, n ∈ Z.

Ответ: πn/2, n ∈ Z.

Комментарий. Так как при решении обе части исходного уравнения возводили в квадрат, а его левая часть может быть как положительной, так и отрицательной величиной, могли появиться посторонние корни, следовательно, проверка обязательна.

Правильное решение.

Дополню приведенное выше решение следующими рассуждениями.

Значениям x = πn/2, n ∈ Z соответствуют четыре точки, отмеченные на единичной окружности. Причем зеленые точки соответствуют корням уравнения, а красные – посторонним корням.

Так как зеленой точке на Ох соответствуют значения n = 4k, где k ∈ Z, а на оси Оу – значения n = 4m + 1, гдеm ∈ Z, то

1) x = 4πk/2 = 2πk, k ∈ Z;

2) x = 4πm+π/2 = π/2 + 2πm, m ∈ Z.

Ответ: 2πk, k ∈ Z и π/2 + 2πm, m ∈ Z.

5. Тема “Тригонометрические неравенства” является объективно сложной для восприятия и осмысления учащимися. Поэтому стараюсь последовательно, от простого к сложному, формировать понимание алгоритма и вырабатывать устойчивый навык решения тригонометрических неравенств.

Успех освоения данной темы зависит от знания основных определений и свойств тригонометрических и обратных тригонометрических функций, знания тригонометрических формул, умения решать целые и дробно-рациональные неравенства, основные виды тригонометрических уравнений.

Особый упор делаю на методике обучения решения простейших тригонометрических неравенств, т.к. любое тригонометрическое неравенство сводится к решению простейших неравенств.

Первичное представление о решении простейших тригонометрических неравенств ввожу , используя графики синуса, косинуса, тангенса и котангенса. И только после учу решать тригонометрические неравенства на окружности.

Пример. Решите неравенство

Решение.Все решения данного неравенства являются решениями двойного неравенства откуда получаем, что Ответ:

Комментарий. Здесь при решении тригонометрических неравенств допускались ошибки, связанные с неправильным чтением числовых промежутков, изображенных на единичной окружности.