С математикой у меня сложились долгие отношения. Сначала я ее учила в школе, на семинарах и кружках; постоянное общение с мамой-математиком. Потом — в институте. Потом работала (и работаю) в школе. Частно преподавала. За годы "наших отношений" с математикой, я выделила несколько уровней понимания.

1. 1. Первый — «контурное» понимание, умение решать задачи под руководством преподавателя.
2. 2. Следующий уровень достигается, когда человек самостоятельно, без подсказок может изложить тему. Проверить себя несложно. Послушайте, прочитайте или вспомните материал, который вы понимаете. Попробуйте записать его, не подсматривая в учебник. Наверняка вы столкнетесь с множеством мелких неочевидных проблем. Только найдя ответы на возникшие вопросы, вы сможете записать разумный, верный текст. Этот труд окупится, и ваше понимание материала перейдёт на новый уровень. 3. Ясность в голове. В точной науке математике нужно понимать, что вы делаете в каждый момент времени.
3. О, сколько у меня было конфликтов с учениками на эту тему! К примеру, у каждого объекта есть определение. Понимаете определение? Значит, можете привести примеры объектов, ему удовлетворяющих и не удовлетворяющих. Давайте конкретнее: что такое функция? Это отображение одного множества в другое (удовлетворяющее некоторым условиям). Отображение! Не график, не набор точек, не множество, не кривулька, как мне пытались отвечать на экзаменах. Можете привести пример функции? А отображения, которое не является функцией? Про объекты формулируются аксиомы — утверждения, верные по определению. Ещё про объекты доказываются теоремы или свойства. (Непересекаемость параллельных прямых в школьной геометрии — это теорема или аксиома?) Ещё один камень преткновения — необходимые и достаточные условия (Наличие в треугольнике двух углов по 45 градусов — это необходимое или достаточное условие его прямоугольности? А что если в треугольнике имеется две таких соседних стороны, что сумма квадратов их длин равна квадрату длины третьей стороны; какое это условие прямоугольности треугольника?) Таких терминов немного, но их нужно понимать очень четко. Тогда освоение нового материала заметно облегчается.
4. 4. Мне ничего не понятно. Главному Вопросу «ПОЧЕМУ» многие предпочитают стон-выдох «непонятно». Я имею заметный стаж частного преподавания. Мои ученики нередко, прослушав новый материал, говорят: «Непонятно!» «Что непонятно?» «Ничего не понятно!» Это — леность ума. Прежде чем спросить, подумайте, что именно вам непонятно. Научитесь показывать своё «непонятно» пальцем. Иначе можно повторять объяснение вновь и вновь, а «непонятный» момент будет ускользать. Но есть и обратная сторона медали: если долго изучать предмет, некоторые вещи становятся столь очевидны, что преподавателю не приходит в голову их пояснять! А студенту они неясны, и тут умение «ткнуть пальцем» бывает неоценимо.
5. 5. И последнее — учитесь математически грамотно говорить! Это неоценимо при усвоении материала, сдаче экзаменов и т. д. Если вашу речь записать, должен (в идеале) получаться математически правильный текст. Подумайте над следующими примерами (все эти фразы я слышала многократно): — Таким образом, вектор равен числу… — Что такое функция? — Вот это (студент рисует график произвольной функции) — Какую задачу решает алгоритм, который вы хотите мне рассказать? — Он… производит изменения в пространстве! — Почему из, А следует B? — Так написано в ваших лекциях! Единственный способ научиться говорить о сложном, который я знаю — это тренироваться. Рассказывать вслух ваши решения и новый материал человеку, который может оценить математическую грамотность. Чаще выходить к доске. Стараться обсуждать вопросы с учителем грамотно, а не надеясь на то, что он поймет, о чем идет речь.