КРИВАЯ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ

Кривая (граница) производственных возможностей иллюстрирует проблему выбора в условиях ограниченных ресурсов.

КПВ показывает максимально возможное производство одного продукта при фиксированном выпуске другого продукта и при полном и наилучшем использовании фиксированных ресурсов.

Закон возрастающих альтернативных затрат:

При полном и наилучшем использовании ресурсов по мере увеличения производства одного продукта для получения каждой следующей (дополнительной) его единицы приходится отказываться от другого продукта во всё большем количестве.

КПВ представляет собой выпуклую функцию.

КПВ не является неподвижной. С ростом НТП или доступных ресурсов она сдвигается вправо и вверх, при уменьшении ресурсов граница производственных возможностей смещается влево и вниз.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Задача 1.

На одном однородном поле фермер может произвести 300 тонн картофеля или 100 тонн пшеницы, а на другом – везде альтернативная стоимость выращивания 1 тонны пшеницы равна 2 тоннам картофеля при максимальном производстве картофеля, равном 400 т.

а) Какова альтернативная стоимость производства 1 т пшеницы на первом поле?

б) Построить кривую производственных возможностей для каждого поля.

в) Построить общую КПВ фермера.

Решение.

а) На первом поле, пожертвовав 1 тонной пшеницы, фермер высвободил площадь для выращивания 3 тонн картофеля. Следовательно, альтернативная стоимость производства 1 тонны пшеницы на первом поле равна 3 т картофеля. И, наоборот, 1 т картофеля стоит 1/3 т пшеницы.

б) На первом поле фермер может вырастить максимум 300 тонн картофеля, при этом он должен отказаться выращиванием пшеницы совсем (на графике эта ситуация будет соответствовать точке (300; 0)), или вырастить 100 тонн пшеницы, пожертвовав при этом выращиванием картофеля (получаем соответственно точку (0; 100). Отметим в плоскости эти две точки. Кривой производственных возможностей будет отрезок прямой, соединяющий точки максимального производства пшеницы и наибольшего производства картофеля.

Альтернативная стоимость 1 т пшеницы на втором поле равна 2 т картофеля. При этом максимальное производство картофеля составляет 400 т. Значит, наибольшее количество пшеницы, которое можно вырастить на втором поле, равно 400 : 2 = 200 т. Тогда в координатной плоскости нужно построить точки (0; 400) и (200; 0). КПВ представляет собой отрезок прямой, соединяющей эти точки.

в) На двух полях максимум производства картофеля равен 300 + 400 = 700 (т), а наибольшее количество пшеницы, которое можно вырастить – соответственно равно 100 + 200 = 300 (т). Тогда кривой производственных возможностей будет отрезок прямой с концами в точках (700; 0) и (0; 300). Отметим эти точки на графике.

Далее можно предложить два варианта использования производственных ресурсов: в первом случае график проходит через точку (300; 200) – максимально возможный урожай картофеля на первом поле и максимально возможный урожай пшеницы на втором поле; во втором случае – через точку (400; 100) – максимально возможный урожай картофеля на втором поле и максимально возможный урожай пшеницы на первом поле.

Ясно, что верное решение даёт первый вариант, так как в первом случае получается выпуклая кривая, а во втором – вогнутая.

Допустим, что мы всегда засевали все поля пшеницей, а на следующий год нам потребовалось немного картофеля. На каком поле его посадить? Ясно, что на том, где потери в виде недополученной пшеницы будут минимальными, т.е. там, где альтернативная стоимость картофеля наименьшая.

В данном случае следует посадить картофель на первом поле. Если не хватит этого поля, то остаток картофеля надо посадить на поле со следующим по возрастанию значением альтернативной стоимости картофеля и т.д.

Ответ: а) 3 т; б) и в) на рисунках.

Задача 2.

Королевство «Рубляндия» может производить два знаменитых продукта: «масло» и «пушки» (образы мирной и военной продукции) и имеет следующую границу годовых производственных возможностей:

Эту кривую можно представить в табличном виде по точкам перелома:

а) Каково максимально возможное производство пушек?

Ответ: 8 тыс. штук при отсутствии производства масла.

б) Сколько может быть произведено пушек при производстве 7 тыс. тонн масла?

Ответ: не более 6 тыс. пушек.

в) Найти альтернативную стоимость увеличения производства пушек с 6 тыс. до 7 тыс. в год.

Решение.

М (6) = 7 тыс. тонн/год,

М (7) = 4 тыс. тонн/год.

Альтернативная стоимость увеличения производства пушек будет равна:

М (6) – М (7) = 7 – 4 = 3 (тыс. тонн/год)

г) На сколько может быть увеличен выпуск масла при производстве 4 тыс. тонн масла и 4 тыс. штук пушек?

Решение.

М (4) = 10 тыс. тонн/год,

М (7) = 4 тыс. тонн/год.

Выпуск масла может быть увеличен с 4 тыс. тонн до 10 тыс. тонн, т.е. на

10 – 4 = 6 (тыс. тонн/год).

д) Можно ли произвести с помощью имеющихся ресурсов 6,7 тыс пушек и 5,5 тыс. тонн масла?

Решение.

Нет, нельзя, поскольку выпуск 5,5 тыс. тонн масла на КПВ соответствует производству 6,5 тыс. пушек.

е) Какова максимальная альтернативная стоимость производства 1 тысячи пушек?

Решение.

М (7) – М (8) = 4 – 0 = 4 тыс. тонн масла.

Ответ: 4 тыс. тонн масла.

ж) Ведущие специалисты Рубляндии оценивают ценность 1 тыс. пушек в 1 млрд. дукатов, а 1 тысячи тонн масла – в 1,5 млрд. дукатов. Сколько нужно произвести пушек и масла, чтобы их общая ценность была наибольшей?

Решение.

Максимум достигается либо в крайних точках графика, либо в точках переломов (в математике говорим: на концах промежутка или в критических точках, в нулях производной функции).

Перебирая все возможные варианты, получим:

F (0; 12) = 0 ∙ 1 + 12 ∙ 1,5 = 18 (млрд. дукатов),

F (4; 10) = 4 ∙ 1 + 10 ∙ 1,5 = 19 (млрд. дукатов),

F (6; 7) = 6 ∙ 1 + 7 ∙ 1,5 = 16,5 (млрд. дукатов),

F (7; 4) = 7 ∙ 1 + 4 ∙ 1,5 = 13 (млрд. дукатов),

F (8; 0) = 8 ∙ 1 + 0 ∙ 1,5 = 8 (млрд. дукатов).

Ответ: 19 млрд. дукатов.

Задача 3.

Могут ли следующие точки лежать на одной кривой производственных возможностей:

А (15; 3), В (8; 13), С (13; 6), D (5; 12)?

Решение.

Если точки принадлежат некоторой КПВ, то соединив эти точки, мы получим некоторую выпуклую кривую. В данном случае, соединив указанные точки, мы имеем кривую, которая не является выпуклой (нет роста вправо-вверх).

Другое решение.

Заметим, что из точки D в точку В можно попасть, только увеличив сразу две координаты. Но для КПВ характерно то, что при увеличении одной координаты мы должны получить уменьшение другой координаты.

Общий алгоритм решения.

Расположить все точки по возрастанию одной из координат. Тогда, если они могут лежать на одной КПВ, то числа по другой координате будут убывать в соответствии с законом возрастающих альтернативных затрат. Если же этого нет, то данные точки не могут принадлежать никакой КПВ.

Ответ: нет.

Задача 4.

Допустим, точки А (4000; 11000), В (8000; 3000), С (7000; Х), D (3000; Y) лежат на одной КПВ. Определить полный набор соотношений с участием Х и Y.

Решение.

Построим данные точки в координатной плоскости ОХY.

По рисунку видно, что для обеспечения выпуклости возможной КПВ необходимо, чтобы 3000 < Х < 11000. Найдём ограничения на Y.

Обозначим модули угловых коэффициентов прямых DА, АС и СВ соответственно k1, k2, k3. Понятно, что для того, чтобы ломаная DАСВ была выпуклой, необходимо, что угловые коэффициенты прямых DА, АС и СВ (т.е. их наклон) соответственно по модулю возрастали. Значит, необходимо выполнение условия:

k1 ≤k2 ≤ k3.

k1 = (Y – 11000) : 1000,

k2 = (11000 – Х) : 3000,

k3 = (Х – 3000) : 1000.

Тогда (Y – 11000) : 1000≤ (11000 – Х) : 3000 ≤ (Х – 3000) : 1000.

Откуда получаем Y ≤ −1/3 Х + 11000/3 ≤ Х + 8000.

Ответ: 3000 < Х < 11000; Y ≤ −1/3 Х + 11000/3 ≤ Х + 8000.

Задача 5.

Найти максимальную и минимальную альтернативные стоимости 10 пушек на кусочно-линейной кривой производственных возможностей, заданной точками А (0; 50), В (10; 45), С (20; 35), D (30; 20), Е (40; 0), где первая координата – это пушки, а вторая – тонны масла.

Решение.

Построим график КПВ для данной ситуации.

Максимальная альтернативная стоимость производства 10 пушек равна 20 – 0 = 20 т. масла (см. часть графика с максимальным по модулю угловым коэффициентом, т.е. максимальным уклоном – на последнем участке).

Минимальная альтернативная стоимость производства 10 пушек равна 50 – 45 = 5 т. масла (см. часть графика с минимальным по модулю угловым коэффициентом, т.е. минимальным уклоном – на первом участке).

Ответ: 5 т, 20 т масла.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задача 6.

Как известно, из нефти производят бензин. Нефти добывается 100 т. Допустим, из каждого килограмма нефти получается 500 г. Бензина.

а) Построить кривую производственных возможностей для двух продуктов – бензина и нефти, используемой для всего остального, за исключением производства бензина.

б) Как изменится КПВ, если возможности добычи нефти увеличатся на 30%, а выход бензина увеличится на 20%?

Решение.

а) Если из 1 кг нефти получаем 500 г бензина, то выход бензина составляет 50%.

б) Если выход бензина увеличится на 20% по сравнению с условиями первой задачи, то, составив пропорцию, получим, что выход бензина составит 60%.

Действительно:

500 г. – 100%

х г. – 120%

Значит, х = 60%.

При этом при увеличении добычи на 30% получаем, что добыча нефти равна 130 т.

С учетом этого составим таблицу.

Построим КПВ для обоих случаев.

Задача 7.

Решение.

Условие того, что при увеличении производства одного товара (пушки) производство другого (масло) должно уменьшаться, выполняется.

Но, кроме этого, согласно закону возрастающих альтернативных затрат, ряд, составленный из угловых коэффициентов на каждом участке кусочно-линейного графика КПВ, должен возрастать.

Найдём угловые коэффициенты прямых на каждом участке КПВ.

Видно, что ряд найденных коэффициентов не является возрастающим, так как

k3 > k4.

Ответ: нет, т.к. не выполняется закон возрастающих альтернативных затрат (видно на графике).

Задача 8.

Средневековый кузнец специализируется на копьях и плугах. Могут ли его альтернативные производственные возможности описываться следующими данными?

Решение.

Решается так же, как и задача 7.

Ответ: нет, т.к. не выполняется закон возрастающих альтернативных затрат (видно на графике).

Задача 9.

На одном поле фермер может произвести 500 тонн картофеля или 100 тонн пшеницы, а на другом альтернативная стоимость выращивания 2 тонн пшеницы равна 5 т. картофеля при максимальном производстве картофеля, равном 1000 тонн. Построить кривую производственных возможностей фермера.

Решение.

КПВ представлена на рисунке ниже.

Задача 10.

Фермер имеет три поля, каждое из которых однородно, хотя их продуктивность неодинакова. Поля используются под картофель и пшеницу. На первом поле фермер может вырастить либо 16 тонн картофеля, либо 4 тонны пшеницы, на втором – 8 тонн и 3 тонны соответственно, на третьем – 4 тонны и 2 тонны. Построить кривую производственных возможностей фермера.

Решение.

КПВ представлена на рисунке ниже.

Задача 11.

Фирма изготавливает два типа футбольных мячей, тратя на их производство по 2 часа на каждый мяч. Нарисуйте КПВ фирмы при годовом фонде рабочего времени 7200 часов и выведите её уравнение.

Решение.

Составим уравнение:

2х + 2у = 7200,

х + у = 3600.

КПВ представлена на рисунке ниже.

Задача 12.

Фермер владеет тремя полями площадью 100, 150 и 200 га, урожайность которых оценивается в 25, 20 и 15 центнеров пшеницы с гектара и в 50, 60 и 60 центнеров кукурузы с гектара соответственно. Постройте КПВ и задайте её таблично.

Решение.

Таблица 1.

Таблица 2.

КПВ представлена на рисунке ниже.

Заполним таблицу точек перелома графика КПВ:

Задача 13.

Два фермера – Пётр и Павел – могут выращивать свеклу и картофель, засевая ими свои угодья в любой пропорции. Если Пётр все свои поля площадью 100 га отведёт под свеклу, то соберёт урожай 3000 тонн, а если под картофель, то получит 2000 тонн. У Павла земли больше – 150 га, но она похуже, и он может получить 4800 тонн свеклы и 2400 тонн картофеля. Определить точки перелома кривой производственных возможностей совместного труда фермеров, за исключением крайних точек.

Решение.

КПВ представлена на рисунке ниже.

Ответ: (4800; 2000).

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задача 14.

Фермер имеет три поля, каждое из которых однородно, хотя их продуктивность неодинакова. Поля используются под картофель и пшеницу. На первом поле фермер может вырастить либо 160 тонн картофеля, либо 50 тонн пшеницы, на втором – 300 тонн и 100 тонн соответственно, на третьем – 140 тонн и 60 тонн. Определить точки перелома кривой производственных возможностей совместного труда фермеров, за исключением крайних точек.

Ответ: (160; 160), (460; 60).

Задача 15.

Используя наилучшим образом два своих поля, фермер имеет следующую КПВ (см. рисунок под текстом задачи).

Найдите верные утверждения среди следующих:

а) Альтернативной стоимостью производства первых 600 тонн пшеницы является производство 600 тонн картофеля.

б) Альтернативной стоимостью производства последних 300 тонн картофеля является производство 300 тонн пшеницы.

в) При производстве картофеля в размере 250 тонн альтернативной стоимостью 1 тонны пшеницы будут 3 тонны картофеля.

г) КПВ показывает максимально возможное производство картофеля при заданном уровне производства пшеницы.

д) Нельзя произвести 500 тонн пшеницы и 700 тонн картофеля.

е) При производстве 300 тонн пшеницы альтернативной стоимостью 1 тонны картофеля будет 1 тонна пшеницы.

ж) Для увеличения производства пшеницы с 500 тонн до 700 тонн нужно пожертвовать снижением урожая картофеля на 400 тонн.

Ответ: а, б, в, г, е, ж.

Задача 16.

Ниже приведена КПВ фермера, который выращивает пшеницу и картофель на двух полях.

а) Какова альтернативная стоимость производства 1 тонны картофеля, если его выращивается 75 тонн? 150 тонн? Какова при этом альтернативная стоимость 1 тонны пшеницы?

б) Определить альтернативную стоимость выращивания первых 50 тонн пшеницы?

в) Вычислить среднюю урожайность пшеницы и картофеля при наилучшем использовании ресурсов, если площадь каждого поля равна 100 га, а картофеля выращено 70 тонн.

г) Картофеля вырастили 50 тонн, а пшеницы – 100 тонн. На сколько в следующем году можно увеличить урожай пшеницы? А картофеля?

Ответ: а) 0,2 т. пшеницы; 1 т. пшеницы; б) 50 т. картофеля; в) картофель – 1 т/га, пшеница – 0,815 т/га; г) пшеница – на 10 тонн, картофель – на 50 тонн.

Задача 17.

Иван может получить на своем поле либо 400 тонн пшеницы, либо 1000 тонн картофеля. Для Петра альтернативной стоимостью выращивания одной тонны картофеля будет производство 0,25 тонн пшеницы при максимальном урожае картофеля, равном 1200 тонн. Два фермера – Иван и Пётр – решили объединить свои усилия. Это не увеличит их производительности.

а) Построить КПВ «коллективного» хозяйства.

б) Верно ли, что альтернативной стоимостью производства первых 1000 тонн картофеля является производство 400 тонн пшеницы?

в) Верно ли, что нельзя произвести 550 тонн пшеницы и 600 тонн картофеля?

г) Верно ли, что при производстве 1700 тонн картофеля альтернативной стоимостью увеличения производства картофеля на 20 тонн является отказ от 8 тонн пшеницы?

д) Верно ли, что для увеличения производства пшеницы с 200 тонн на 550 тонн нужно пожертвовать снижением урожая картофеля на 1100 тонн?

Ответ: правильные утверждения – г, д.

Задача 17.

На одном поле фермер произвести 500 тонн картофеля или 100 тонн пшеницы, а на другом альтернативная стоимость выращивания 2 тонн пшеницы равна 5 тоннам картофеля при максимальном производстве картофеля, равном 1000 тонн. Фермеру необходимо собрать ровно 200 тонн пшеницы. Каково при этом максимально возможное производство картофеля (в тоннах)?

Ответ: 1000 тонн.