Уточнение критерия сильной локализации электронов на поверхности полупроводника

УДК 537.311.33

УТОЧНЕНИЕ КРИТЕРИЯ СИЛЬНОЙ ЛОКАЛИЗАЦИИ ЭЛЕКТРОНОВ НА ПОВЕРХНОСТИ ПОЛУПРОВОДНИКА

Муратов Темур Ташкабаевич

Ташкентский государственный педагогический университет им. Низами,

100185, г. Ташкент, ул. Бунёдкор, дом 27.

E-mail: [e-mail]

Анализируется возможность значительной локализации двумерного электронного газа на поверхности сильно легированного полупроводника. Получена аналитическая фор- мула для среднего сечения низкоэнергетического рассеяния приповерхностных электро- нов с учетом функции распределения Ферми-Дирака.  Отмечается существенная особен- ность точки  E_F = 0  в квазидвумерных электронных системах, чем в их трехмерных ана- логах. На основе правила Иоффе-Регеля и полученной формулы для среднего сечения рас- сеяния получен более точный, реалистичный критерий сильной локализации, чем тот, который был получен в других цитируемых работах.

Ключевые слова:  приповерхностный слой; естественный размерный эффект; пра- вило Иоффе-Регеля; сечение двумерного рассеяния; приближение Томаса-Ферми; функция  распределения Ферми-Дирака; критерий сильной локализации.

REFINEMENT OF THE CRITERION FOR STRONG LOCALIZATION OF ELECRONS ON A SEMICONDUCTOR SURFACE

Muratov Temur Tashkabayevich

Tashkent State Pedagogical University named after Nizami, Tashkent, 100185, Uzbekistan

E-mail: [e-mail]

            Possibility of strong localization of the two-dimensional electron gas on the surface of the highly doped semiconductor is analyzed. Analytical formula for cross-section of low-energy scattering of surface electrons with take into account Fermi-Dirac’s distribution was obtained. Is noted about substantial feature of the point E_F = 0 in quasi two-dimensional electrons systems than in its three-dimensional analogs. On the basis of Ioffe-Regel’s rule and formula obtained for average cross-section of scattering more precise realistic criterion of strong localization was obtained than it which has been obtained in other quoted articles.                                 

            Keywords:  near-surface layer; natural size effect;   Ioffe-Regel’s rule; cross-section of two- dimensional scattering; Thomas-Fermi’s approximation; Fermi-Dirac’s distribution function; criterion of strong localization.     

1. Введение

         Реальная поверхность полупроводникового кристалла всегда имеет различного рода микроскопические и макроскопические дефекты структуры. Это могут быть ионы примеси, атомы в междоузлиях, вакансии, точечные дефекты, дислокации, границы зерен и т.п. В состоянии термодинамического равновесия полупроводника, поверхностный заряд (ПЗ), индуцированный вышеуказанными дефектами, скомпенсирован равным по величине, но противоположным по знаку зарядом в приповерхностном слое полупровод- ника. Компенсирующий заряд может быть образован в полупроводнике ионизированными донорами и акцепторами, электронами и дырками. Приповерхностный слой полупроводника, где локализован поверхностный заряд, называется областью пространственного заряда (ОПЗ). При определен- ных условиях, ширина ОПЗ оказывается сравнимой со средним расстоянием между атомами и ионами примеси [1] и, как правило, существует естествен- ный размерный эффект. Следовательно, плотность заряда вблизи поверх- ности не является непрерывно распределенной,   а формируется ансамблем дискретных  - центров. Сосредоточенное распределение ПЗ индуци- рует на поверхности полупроводника хаотический (случайный) потенциал, который рассеивает электроны в двумерной поверхностной зоне. Природа хаотического потенциала связывается с флуктуациями в расположении при- месных ионов [2].   

         Рассеяние электронов хаотическим потенциалом приводит к умень- шению длины свободного пробега , и в том случае, когда ее величина становится меньше длины волны электрона (), она теряет физический смысл. Электроны могут двигаться лишь в ограниченной области кристалла, не имея возможности удалиться от «центра рассеяния» на расстояние срав- нимое с . Тогда электронные состояния локализуются [2]. Согласно прави- лу Иоффе-Регеля, локализованы те состояния, для которых выполняется ус- ловие

,                                                      (1)

где - модуль двумерного квазиволнового вектора.

          Теоретический анализ формулы сечения рассеяния  медленных элек- тронов в двумерном случае, в отличие от трехмерного, приводит к тому, что с уменьшением энергии сечение рассеяния возрастает [3]. Следовательно, в двумерных электронных системах при T → 0 длина свободного пробега элек- трона должна сильно сокращаться () и, как следствие, вероятность возникновения состояния сильной локализации электронной плотности  в двумерном случае более высокая, чем в трехмерном случае.         

         Возможность возникновения состояния сильной локализации электрон- ных состояний, требует выполнения условия сильного вырождения двумер- ного электронного газа, в приближении Томаса-Ферми, что и было сделано в работе [4], в которой, на основе правила (1), был получен критерий сильной локализации двумерного электронного газа. В качестве объекта теоретичес- кого анализа был выбран модельный (вырожденный) полупроводник n-типа при  T = 0 K. При такой ситуации возможно образование обедненного слоя с неэкранированными зарядами примеси (рис.1). Таким образом, в самом полу- проводнике уровень (энергия)   Ферми расположен в зоне проводимости, а вблизи поверхности образуется область объемного заряда (область обеднения полупроводника электронами) в результате перехода электронов из зоны проводимости (с-зоны) на поверхностные состояния (обусловленные ловуш- ками для электронов).  Однако в процессе вывода критерия, авторы выше- указанной работы, заменили в формуле для сечения рассеяния медленных электронов в двумерном случае на некотором случайном потенциале, квази- волновой вектор электрона  на его волновой вектор на уровне Ферми, т.е. , что некорректно, если учесть зависимость квазиволнового вектора от энергии:. Кроме того, сечение рассеяния медленных электронов в двумерном случае имеет логарифмическую особенность при  [3].

Следовательно, состояние   в двумерных системах, в принципе не достижимо [1].  

         Результат, представленный в [4], не учитывает функцию распределения по квантовым состояниям, а именно: следовало бы усреднить сечение рас- сеяния электронов по их энергиям на основе функции распределения Ферми-Дирака.

         Цель настоящей работы - уточнение критерия сильной локализации на основе энергетического усреднения сечения двумерного рассеяния электро- нов на случайном потенциале, индуцированном ионами примеси.

         Для достижения этой цели нами предлагается вспомогательная модель, в которой исходным положением уровня Ферми является не дно поверхност- ной зоны проводимости  ,    как в работе   [4],   а ее окрестность  (рис. 1).

 

Рис. 1.  Изгиб энергетических зон «вверх» при наличии ОПЗ.  Наша модель предполагает пиннинг уровня Ферми в середине зоны поверхностных состояний (условие выполнения приближения Томаса-Ферми [1]). При T → 0 уровень Ферми поднимается и достигает предельного положения   (закрепляется) у дна поверхностной зоны проводимости E_cs, что соответ- ствует состоянию сильной локализации электронов (пунктирная линия).

Fig. 1.  Bending of energy bands in the presence of surface charge. In our model is suggested the pinning of Fermi level in the middle of surface states band (condition of implementation of Thomas-Fermi’s approximation [1]). At  T → 0 the Fermi level climbs and achieved extremely  position (attached) to the bottom of surface conductivity band E_cs, that conformed to strong localization electron states (the puncture line). 

        Предлагаемая модель предполагает усреднение сечения двумерного рас- сеяния и квазиволнового вектора электронов на основе функции распределе- ния Ферми-Дирака с последующим переходом к пределу T → 0, при этом энергетический спектр предполагается квадратичным.   

2. Методика расчета

         Сечение рассеяния медленных электронов в двумерном случае на неко- тором локальном потенциале можно записать в виде [3]

,                                (2)

где , - постоянная Эйлера, - величина с размерностью длины. При параболическом законе дисперсии , - эффектив- ная масса электрона в поверхностной зоне, - энергия поверхностных элек- тронов, - приведенная постоянная Планка. С учетом этого, формулу (2) можно преобразовать к виду  

,         (),           (3)

где - модельный потенциал, обусловленный индивидуаль- ной примесью;   в форме двумерной прямоугольной ямы глубиной   и ради- усом  . 

         Поскольку плотность электронных состояний в двумерной зоне не зависит от энергии, справедливо соотношение  

,                              (4)

где - функция распределения Ферми-Дирака.

         Переходя к безразмерным переменным: , , (где - постоянная Больцмана,- энергия Ферми) и сокращая на одинаковые величины числитель и знаменатель, можно (4) привести к виду

,                (5)

где - характерный тепловой импульс электронов, .

Логарифм, стоящий в знаменателе подынтегрального выражения в (5), изменяется довольно медленно вблизи точки  (или) (рис. 2).

Рис. 2.  Горизонтальная линия примерно воспроизводит ход функции .

Fig.2.  Horizontal line loosely sketches of behavior of the function .

По этой причине функцию  можно вынести из-под знака интеграла при , так что имеем [2]   

.                   (6)

Здесь- интеграл Ферми-Дирака порядка .

Формула (6) справедлива при частичном вырождении квазидвумерного электронного газа. При сильном вырождении () [5]

.                    (7)

Подставляя разложение (7) в выражение (6) получим

.                                  (8)

         Первое слагаемое в (8), умноженное на число , совпадает с форму- лой из работы [4].

Аналогичные расчеты приводят к формуле для среднего значения квазиволнового вектора электрона

.                 (9)

         При температуре, стремящейся к нулю, электронная плотность локали- зуется. Соответственно чему, можно не учитывать в дальнейших расчетах температурные поправки в формулах (8) и (9).  

Таким образом, имеем

,    ().   (10)

         Определение параметра  производится в процессе сшивки волновой функции электрона  в областях  и . Во внутренней области (в окрестности ямы) можно пренебречь энергией электрона  по сравнению с его потенциальной энергией  в поверхностной зоне.

         Во внутренней области уравнение () Шредингера имеет вид

.                           (11)

Потенциальная энергия   (конкретная форма которой приведена в работе  [4]) соответствует поверхностной плотности заряда (в рамках полу- классической модели электронного облака) . Здесь - радиальная координата в плоскости поверхности, - электричес- кий момент фиктивного диполя (- удвоенное расстояние от донора в ОПЗ до плоскости поверхности полупроводника, т.е. расстояние до его изображе- ния). Вдали от рассеивающего центра  (отметим, что внутри области локали- зации  электроны, тем не менее, рассеиваются, хотя длина свободного пробега  и равна нулю) потенциальная энергия электрона становится малой. При этом асимптотическое решение уравнения (11) имеет вид [3]  

.                                          (12)

         Во внешней области () волновая функция должна со- ответствовать асимптотике электронной плотности  при , т.е. должна иметь вид

.                                     (13)

         Сшивая логарифмическую производную волновых функций (12) и (13) на границе двух областей  

,                         (14)

приходим к соотношению [3]

.                                      (15)

Выражение с размерностью длины, стоящее в (15) под знаком логарифма, и есть . Значение  определяется из условия [4]. Таким образом,

,            откуда  .                        (16)

         Из (16) следует физический смысл величины , как характеризующей эффективный «размер» диполя (потенциальной ямы с шириной порядка 10 ÷ 100Å). Отсюда становится ясным, что модельный потенциал индивидуальной примеси в (3), есть на самом деле порядок величины кинетической энергии, которой обладал бы электрон, локализованный внутри области размером в поле индивидуального диполя.

         Сечение рассеяния ограничивает длину свободного пробега:

.                                               (17)

В данном случае - среднее сечение рассеяния на флуктуациях потенциала, - поверхностная концентрация заряда. Для вычисления  необходимо ус- реднить (сгладить) выражение (10) по всем размерам диполей ,    равномерно распределенных в диапазоне  (- ширина области обеднения).

.                         (18)

Здесь введено обозначение .  Интеграл в выражении (18) под- становкой   приводится к виду

,        где  .            (19)

         Для идентификации состояния системы вблизи значения  (или )  требуется рассмотреть асимптотику интеграла (19) при . С этой целью проинтегрируем исходный интеграл несколько раз по частям:

.            (20)

С учетом поведения (20) в области больших аргументов для среднего сечения рассеяния имеем

.                                     (21)

         Теперь возможна оценка состояния сильной локализации электронной плотности на поверхности полупроводника в условиях естественного размер- ного эффекта. Следуя формулам (9) и (17), (21) и учитывая выражение для ширины ОПЗ  (- уровень легирования полупроводника), на основе правила (1) получаем критерий  

.                                  (22)

         Проведем анализ полученного результата. Прежде всего следует отме- тить, что сечение рассеяния медленных электронов на флуктуациях хаотичес- кого потенциала является вероятностной величиной, а сам процесс низко- энергетического рассеяния  случайным  событием. В условиях  естественного

размерного эффекта, при очень низких температурах, вероятность возникно- вения сильной локализации электронной плотности возрастает. Учет кванто- вой статистики Ферми-Дирака приводит к тому, что в данном случае кри- терий сильной локализации соблюдается в среднем только на 60 процентов. В этом смысле результат авторов работы [4] соответствует идеальному слу- чаю сильной локализации (100%), практически недостижимому в реальных условиях. Кроме того, в отмеченной выше работе не учитывается то обстоя-тельство, что в пределе   электронная плотность локализуется, а для перехода к этому пределу требуется предварительно усреднить сечение рас- сеяния и волновой вектор электрона (формулы (8) и (9)). Согласно критерию (22) можно лишь говорить о более или менее сильной локализации электрон- ной плотности в зависимости от уровня легирования полупроводника,    концентрации поверхностных дефектов и т.п. При этом как было отмечено в работе   [4],  на критическом уровне легирования   n₀ ≤ 3.66·10¹⁸ см ^{– 3}  порог про- текания равен нулю, а значение поверхностной плотности   n_s = 10¹² см ^{– 2}  ,  отвечающее критерию сильной локализации, близко к типичным величинам, характерным для поверхности легированных полупроводниковых кристаллов с диэлектрической проницаемостью порядка 10. Ситуация, довольно близкая к условиям проявления сильной локализации, наблюдалась на поверхности полупроводника n-InGaN  (0001) [6]. Было выявлено существование естествен- ного зарядового слоя,   ширина которого может быть вполне соизмерима с рас- стоянием между дефектами. Экспериментальные исследования дают основа- ние полагать,  что формирование зарядового слоя может быть вызвано различ- ными причинами, в частности, высокой поверхностной плотностью дефек- тов.

         Интерес к исследованиям формирования естественного зарядового слоя на поверхности полупроводниковых кристаллов связан с возможностью получения новой фундаментальной информации о свойствах поверхностных электронных состояний.

3. Заключение

         Основное содержание настоящей статьи можно констатировать форму- лами (8), (10) и (22). Учет статистики Ферми-Дирака при выводе критерия сильной локализации 2D электронного газа на поверхности сильно легирован- ного полупроводника, является необходимой процедурой для корректного  перехода (T → 0) к состоянию сильной локализации. С этой целью в работе были получены низкотемпературные поправки к сечению двумерного рас- сеяния и квазиволновому вектору электрона (формулы (8) и (9)).

ЛИТЕРАТУРА

1. Анализ естественных неоднородностей потенциала у поверхности примесного полу-проводника / В.Б. Бондаренко [и др.] // ФТП. 2001. Т. 35.  № 8. С. 964-968.

2. Гантмахер В.Ф. Электроны в неупорядоченных средах. М., ФИЗМАТЛИТ, 2013.

3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: в десяти томах. Том 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория). М., Наука, 1989.

4. Критерий сильной локализации на поверхности полупроводника в приближении Томаса-Ферми / В.Б. Бондаренко [и др.] // ФТП. 2017. Т. 51.  № 10. С. 1372-1375.

5. Аскеров Б.М. Кинетические эффекты в полупроводниках. Л., Наука, 1970.

6. Аккумуляционный нанослой – 2D-электронный канал ультратонких интерфейсов Cs/n-InGaN /  Г.В. Бенеманская [и др.] // ФТТ. 2009. Т. 51, № 2. С. 372-376.

7. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. М., Наука, 1978.

REFERENCES

1. Bondarenko V.B., Kuzmin M.V., Korablev V.V. An analysis of as-grown inhomogeneities

peculiar to the surface potential of the impurity semiconductor. Semiconductors physics and engineering. 2001. Vol. 35, No. 8. P. 964-968 (in Russ.).    

2. Gantmakher V.F. Elektrony v neuporyadochennykh sredakh [Electrons in disordered mediums]. Mosc., 2013 (in Russ.). 

3. Landau L.D., Lifshitz E.M. Teoreticheskaya fizika: T.3. Kvantovaya mekhanika (Nerelyativistskaya teoriya) [Theoretical physics: Vol.3. Quantum mechanics (nonrelativistic theory)]. Mosc., 1989 (in Russ.). 

4. Bondarenko V.B., Filimonov A.V. A criterion for strong localization on a semiconductor surface in the Thomas-Fermi approximation. Semiconductors physics and engineering. 2017. Vol. 51. No. 10. P. 1372-1375 (in Russ.). DOI: 10.21883/FTP.2017.10.45015.8507. 

5. Askerov B.M. Kineticheskie effekty v poluprovodnikakh [Kinetic effects in semiconductors]. Leningrad, 1970 (in Russ.).

6.  Benemanskaya G.V., Jmeric V.N., Lapushkin M.N., et al. Accumulation nano-layer – 2D- electron channel of ultrathin interfaces Cs/n-InGaN. Solid state physics. 2009. Vol. 51. No. 2. P. 372-376 (in Russ.). PACS: 73.20.-r, 73.21.Fg, 79.60.Dp.              

7.  Nikiforov A.F., Uvarov V.B. Specialnie funksii matematicheskoy fiziki [Special functions of mathematical physics]. Mosc., 1978 (in Russ.).         

---

[1] Именно этот случай в асимптотическом пределе k → 0 представляет наибольший интерес с точки зрения теории поверхностных электронных свойств полупроводников. Дело в том, что вблизи дна поверхностной зоны кинетическая энергия электронов равна нулю (, ). В сильно вырожденном квазидвумерном электронном газе средняя энергия электронов примерно равна энергии Ферми, а это означает что при  T = 0 K уровень Ферми закрепляется у дна поверхностной зоны, что равносильно случаю E_F = 0 (см. рис. 1). Электроны оказываются сильно локализованными в самосогласованном потенциале V_i заряженных доноров. Ясно, что при этом классическая длина свободного пробега электронов  равна нулю. Соответственно классическая электропроводность отсутствует.

[2] Аппроксимация (6) справедлива при условии E_F >> |U_i |. В нашей модели подразумевается, что |U_i| харак- теризует энергию связи «мелкого» донора (хаотического потенциала),  порядка 10 мэВ. При сильном вырож- дении энергия Ферми поверхностного электрона во много раз превышает энергию связи D ^– (A⁺) - центра и уровень Ферми проходит гораздо выше над потенциальной ямой. В том случае, если уровень Ферми пере- секает потенциальную яму (E_F < |U_i |),  то возможны резонансное рассеяние электронов на поверхности полупроводника (включая образование связанных состояний) и другие механизмы рассеяния. В подобных ситуациях аппроксимация (6) может оказаться недостаточно точной или вообще неприемлемой.  В связи с этим большое значение приобретают приближенные методы расчета. Одним из таких методов является ме- тод квадратурных формул. Метод квадратурных формул позволяет вычислить (4) с любой степенью точнос- ти для произвольной статистики   [7].  Однако каждому положению уровня Ферми будет при этом соответство- вать свой особый набор узловых точек и весовых множителей.     

[3] На общий интеграл (12) свободного уравнения Шредингера, еще не наложено граничное условие. Чтобы придать определенный смысл функции (12) надо наложить граничное условие (14). Соотношение (15) позво- ляет представить волновую функцию (12) в виде: . Следовательно, размерность исходной волновой функции определяется константой С₂: [ψ_i] = [C₂].      

Краткое описание документа:

В научной статье получен уточненный критерий сильной локализации электронов на поверхности сильно вырожденного полупроводника. Полученный результат представляет как научный так и методический интерес, и может быть использован на уроках по физике полупроводников. Резульаь имеет обще физический интерес.