В помощь сдающим ЕГЭ. Решение задач с помощью квадратных уравнений.

 В помощь  сдающим  ЕГЭ . «Решение  задач с помощью  квадратных  уравнений»    

Квадратные уравнения представляют собой инструмент для решения большого класса задач. Они используются повсеместно в различных областях науки: физике, математике, технике при  решении  задач.

Обучение решению текстовых задач играет важную роль в формировании математических знаний. Текстовые задачи дают большой простор для развития мышления учащихся. Обучение решению задач – это не только обучение технике получения правильных ответов в некоторых типичных ситуациях, сколько обучение творческому подходу к поиску решения, накопление опыта мыслительной деятельности и демонстрация учащимися возможностей математики в решении разнообразных задач. «Умение решать задачи – практическое искусство, подобное плаванию, или катанию на коньках, или игре на фортепьяно: научиться этому можно, лишь подражая образцам и постоянно тренируясь» Д. Пойа.

На решение текстовых задач на уроках требуется много времени, чтобы в полной мере создать условия учащимися для осмысления содержания задачи, анализа величин в условии, установления взаимных связей между величинами. Практически на уроке удаётся решить одну – две задачи. Текстовые задачи разных типов включены в экзаменационные работы на итоговой аттестации не только на уровне обязательной подготовки, но и на повышенном уровне, а также в контрольные измерительные материалы ЕГЭ, в конкурсные экзамены в высших и средних учебных заведениях.

Решение задач является средством обучения и средством развития интеллектуальных качеств учащихся, имеет большую практическую значимость, вызывает интерес, дает возможность познакомиться с различными практико-ориентированными задачами.

Большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, люди находят ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т.д.). Я остановлюсь на теме «Решение задач с помощью квадратных уравнений», которая имеет место в программе 8 класса.
Овладение теорией квадратных уравнений  (8кл. Алгебра) существенно расширяет возможности решения уравнений методами, изучаемыми в курсе алгебры. Богатство и разнообразие приемов, имеющихся у учащихся, овладевших сведением различных уравнений к квадратным, служат необходимой предпосылкой перехода к завершающему этапу освоения методов решения уравнений. Особенно это сказывается на приложении к алгебраическому методу решения текстовых задач. Сюжеты их становятся более разнообразными, возрастает также сложность перевода на язык математики. В целом можно сказать, что освоение темы «Квадратные уравнения» поднимает учащихся на качественно новую ступень овладения содержанием школьной математики.

Учащиеся должны четко выделять этапы решения задачи алгебраическим методом:

1. Анализ условия задачи и его схематическая запись.
2. Перевод естественной ситуации на математический язык (построение математической модели текстовой задачи).
3. Решение уравнения, полученного при построении математической модели.
4. Интерпретация полученного решения.

Четвертый этап решения задачи алгебраическим методом является принципиально новым для учащихся, поэтому на нем следует заострить внимание. Можно попросить учащихся привести примеры ситуаций, когда полученный корень уравнения может противоречить условию задачи. В процессе обсуждения этого вопроса можно выделить несколько самых распространенных ситуаций:

1. Корень уравнения является отрицательным числом, когда за неизвестное принята какая-то мера, которая может выражаться только положительным числом (длина, площадь, объем и т.п.).
2. Корень уравнения является числом из более широкого множества, чем то, которое описывается в задаче (например, получено дробное число, когда в условии задачи речь идет о целых числах).
3. Несоответствие полученных положительных размеров с реальными (например, скорость пешехода равна 80 км/ч и т.п.)

При решении задач учащиеся могут в процессе интерпретации полученных решений соотносить ситуации с тремя выделенными. Решение сложной текстовой задачи – процесс творческий. Иной раз требуется вернуться к самому началу задачи, учитывая и анализируя уже полученные результаты. «Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их» Д.Пойа.

Рассмотрим задачу с геометрическим содержанием, для решения которой, применяется формула площади треугольника.

Задача 1. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что один из них на 7 см больше другого, а площадь этого треугольника равна 30 см².

Решение. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. Длины катетов неизвестны. Площадь равна 30 см².

Пусть х см-длина одного катета, (х+7) см-длина второго катета . Используя формулу площади треугольника составим уравнение: х(х+7)/2=30 . Решим уравнение: х²+7х=60 , х²+7х-60=0, D=289, х₁=-12; х₂=5. Так как длина отрезка величина положительная, то только х=5 удовлетворяет условию задачи. Найдем длину второго катета: 5+7=12 см. Ответ: 5см и 12 см.

Задача  2.  Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что их сумма равна 23 см, а площадь данного треугольника равна 60 м².

Решение.  Пусть один катет прямоугольного треугольника  равна х м, тогда второй катет  (23-х) м. По условию задачи площадь треугольника 60 м².

Составим и решим уравнение:

½ х ( 23-х)= 60

D= 49

Х₁= 8

Х₂=15 .

Ответ:  8 см; 15 см.

Задача3. Мяч брошен вертикально вверх с начальной скоростью 40 м/с. Через сколько секунд оно окажется на высоте 60 м?

Решение. Из курса физики известно, что если не учитывать сопротивление воздуха, то высота h(м), на которой брошенный вертикально вверх мяч окажется через t(c), может быть найдена по формуле h=V₀ t-gt²/2, где V_o(м/с)-начальная скорость, g-ускорение свободного падения, приближенно равное 10 м/с². Подставив значения h и V в формулу, получим 60=40t-5t². Получили квадратное уравнение, решим его. 5t²-40t+60=0, t²-8t+12=0, D=16, t₁=2; t₂=6. Рассмотрим график зависимости h от t, где h=40t-5t². Из графика видно, что мяч, брошенный вертикально вверх, в течении первых 4с поднимается вверх до высоты 80 м, а затем начинает падать. На высоте 60 м от земли оно оказывается дважды: через 2 с и через 6 с после бросания. Условию задачи удовлетворяют оба найденных корня.
Ответ: на высоте 60 м тело окажется через 2 с и через 6 с.

Задача  4. Несколько подруг решили обменяться фотографиями на память. Чтобы каждая девочка получила по одной фотографии каждой своей подруги, потребовалось 30 фотографий. Сколько было подруг?

Решение:   Пусть было х подруг, тогда каждая должна получить по (х – 1) фотографии. Всего фотографий было х(х – 1), что по условию задачи равно 30. Составим и решим уравнение:

х(х – 1) = 30
х² – х – 30 = 0,
D = 1 + 120 = 121,
х = ,
х₁ =  – 5 – не удовлетворяет смыслу задачи,
х₂ = 6.

По смыслу ясно, что х – натуральное число, и существует только два последовательных натуральных числа, произведение которых равно 30. Итак, х = 6. 6 подруг обменивались фотографиями.

Ответ: 6 подруг.

Задача  5. Несколько приятелей решили сыграть турнир по шахматам. Кто-то из них подсчитал, что если каждый сыграет с каждым по одной партии, то всего будет сыграно 36 партий. Сколько было приятелей?

Решение:   Пусть х приятелей участвует в турнире, тогда каждый из них сыграет (х – 1) партию, но в этом случае партия каждой пары учтена дважды, значит всего было сыграно х(х – 1) партий, что по условию задачи равно 36. Составим и решим уравнение:
 х(х – 1) = 36,
х(х – 1) = 72,
х² – х – 72 = 0,
D = 1 + 288 = 289,
х = ,
х₁ = 9,
х₂ =  – 8 – не удовлетворяет смыслу задачи.

9 приятелей участвовало в турнире.

Ответ: 9 приятелей.

Задача  6. В море встретились два корабля. Один из них шел в восточном направлении, другой – в северном. Скорость первого на 10 узлов больше, чем второго. Через 2 часа расстояние между ними оказалось равным 100 милям. Найдите скорость каждого корабля.

Решение:

Пусть х узлов – скорость второго корабля, тогда (х – 10) узлов – скорость первого корабля, за 2 часа они пройдут 2х и 2(х – 10) миль соответственно, т.к. они идут в перпендикулярных направлениях, то, используя теорему Пифагора, составим и решим уравнение:

(2х)² + (2(х + 10))² = 100²
4х² + 4(х² + 20х + 100) = 10000
2х² + 20х + 100 = 2500
х² + 10х + 50 – 1250 = 0
х² + 10х – 1200 = 0
 = 25 + 1200 = 1225
х =  – 5 + 35
х₁ =  – 40 – не удовлетворяет смыслу задачи,
х₂ = 30
30 узлов – скорость корабля, идущего на север, тогда 30 + 10 = 40 (узлов) – скорость корабля, идущего на восток.

Ответ: 30 узлов и 40 узлов.