В помощь студенту-заочнику по дисциплине: "МАТЕМАТИКА" Раздел №1 "ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ"

МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ ПМР

ГОУ «ДНЕСТРОВСКИЙ ТЕХНИКУМ ЭНЕРГЕТИКИ

И КОМПЬЮТЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ»

                                                                                                 УТВЕРЖДАЮ 

                                                                                                          Зам. директора  по учебной работе                                                                         

                                                                                                           __________________М.В. Питель

                                                                                                   «_____»__________________2019 г

В ПОМОЩЬ СТУДЕНТУ-ЗАОЧНИКУ

по дисциплине: «МАТЕМАТИКА»

РАЗДЕЛ № 1

«Теория пределов»

Разработал преподаватель математики

 ГОУ СПО «ДТЭ и КТ»

 Демьянова Светлана Васильевна

РАССМОТРЕНО                                                                             СОГЛАСОВАНО

на заседании ЦМК                                                                          методист

_____________________ дисциплин                                              ________ Левицкая И.Н.                                               Протокол №__ от «__»_____201__г.                                              «__» _________201__г.

Председатель __________________

______________________________    

г. Днестровск, 2019 г.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Глава I. Теория приделов.

1.1. Понятие и виды приделов.

1.2. Числовые последовательности

1.3. Предел функции

1.4.Свойства непрерывных функций

1.5.Сравнение асимптотического поведения функций

Глава II. Практика

2.1. Найти предел

2.2. Найти предел

Глава III. Презентация

Заключение

Список использованной литературы

ВВЕДЕНИЕ

Теория пределов – это один из разделов математического анализа. Понятие о предельном переходе при вычислении площадей и объемов различных геометрических тел использовалось еще учеными Древней Греции, особенно в работах древнегреческого математика, физика и инженера Архимеда.

Дальнейшее свое активное применение теория пределов получила при создании дифференциального и интегрального исчислений в 17 в., прежде всего в работах английского физика, математика, механика и астронома Исаака Ньютона (1642-1727гг.). Впервые определение понятия предела было введено в работе английского математика Джона Валлиса (1616-1703гг.) «Арифметика бесконечных величин». Хотя все же исторически понятие предела не лежало в основе дифференциального и интегрального исчислений. Только лишь в 19 веке в работах великого французского математика и механика Огюстена Луи Коши (1789-1857гг.) теория пределов была использована для строгого обоснования математического анализа. Дальнейшим развитием этой теории занимались немецкий математик Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815-1897гг.) и чешский математик, философ и теолог Бернард Больцано (1781-1848гг.).

Глава I. Теория приделов.

1.1.Понятие и виды приделов.

В математике принципиально важным является понятие бесконечности, обозначаемое символом ∞. Его следует понимать как бесконечно большое (+∞) или бесконечно малое (−∞) число. Когда мы говорим о бесконечности, часто мы имеем в виду сразу оба этих ее смысла, однако запись вида +∞ или −∞ не стоит заменять просто на ∞.

Запись предела функции имеет вид . В нижней части мы пишем основной аргумент x, а с помощью стрелочки указываем, к какому именно значению x0 он будет стремиться. Если значение x0 является конкретным действительным числом, то мы имеем дело с пределом функции в точке. Если же значение x0 стремится к бесконечности (не важно, ∞, +∞,  или −∞), то следует говорить о пределе функции на бесконечности.

Предел бывает конечным и бесконечным. Если он равен конкретному действительному числу, т.е. ., то его называют конечным пределом, если же ,  или , то бесконечным.

Если мы не можем определить ни конечное, ни бесконечное значение, это значит, что такого предела не существует. Примером этого случая может быть предел от синуса на бесконечности.

Предел – одно из фундаментальных понятий математического анализа. Различают два вида предела – последовательности и предел функции.

Пределом последовательности называют объект, к которому члены последовательности в некотором смысле стремятся или приближаются с ростом номера.

Функция ƒ(х) имеет предел а в точке х0, если для всех значений х, достаточно близких к х0, значение ƒ(х) близко к а.

1.2.Числовые последовательности.

Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел х1,х2,…хn, следующих одно за другим в определенном порядке и построенных по определенному закону, с помощью которого хn задается как функция целочисленного аргумента n, то есть хn= ƒ(n).

Число а называется пределом последовательности {хn}, если для любого числа ɛ>0 существует такой номер n0=n0(ɛ), что при n≥ n0  выполняется неравенство | хn - а |<ɛ. 

Если число а – это предел последовательности {хn}, то это обозначают как  , или хn  при n, или .

Пусть дано некоторое множество Х. Сопоставим каждому натуральному числу nN какой-либо определенный элемент хn  x. Получится функция

                                                   хn= ƒ(n) : N → X.              

Такая функция называется бесконечной последовательностью элементов из X. Чтобы знать последовательность, достаточно знать все элементы

x1, x2, x3, …, xn, …

(члены последовательности для всех номеров 1, 2, 3, …, n, …). Поэтому последовательность часто определяют как упорядоченный (т.е. пронумерованный последовательными натуральными числами) набор элементов из множества X.

В этой главе мы будем рассматривать только числовые последовательности, т.е. такие, что хn - это числа.

Существуют два способа наглядной интерпретации числовой последовательности хn= ƒ(n). Первый из них – геометрический. Это просто график функции хn=ƒ(n)  , представляющий собой неподвижную картинку. Второй называется кинематическим: на оси x отмечаются все значения xn, и около каждого из них отмечается номер n, которому это значение соответствует. При желании n можно понимать как дискретные значения времени (например, 1 с, 2 с., 3 с и т.д.), а xn – как положение движущейся (перескакивающей со временем из одного положения в другое) точки.

1.3. Предел функции.

Предел функции при 

Пусть функция f (x) определена на некотором множестве x и пусть дана точка x0. Возьмём из x последовательность точек, отличных от x0:

                                                       (1)

сходящуюся к x0. Значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность

                                                            (2)

и можно ставить вопрос о существовании её предела.

Определение 1. Число A называется пределом функции f (x) в точке x= x0 (или при x), если для любой сходящейся к x0 последовательности (1) значений аргумента x, отличных от x0, соответствующая последовательность (2) сходится к числу A.

Символически это записывается так: 

Это означает: чтобы найти предел функции, нужно в функцию вместо x подставить то значение, к которому стремится x.

Предел функции при , при  и при x

Кроме рассмотренного понятия предела функции при  существует также понятие предела функции при стремлении аргумента к бесконечности.

Определение 2. Число A называется пределом функции f (x) при , если для любой бесконечно большой последовательности (1) значений аргумента соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к A.

Символически это записывается так:.                                                           

Определение 3. Число A называется пределом функции f (x) при  (x), если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента, элементы xn которой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к A.

Символически это записывается так:  ; .

Это, как и в случае определения 1, означает: чтобы найти предел функции, нужно в функцию вместо x подставить бесконечность, плюс бесконечность или минус бесконечность.

Теорема 1. (о единственности предела функции). Функция не может иметь более одного предела.

Следствие. Если две функции f (x) и g (x) равны в некоторой окрестности точки x0, за исключением, может быть, самой точки x0, то либо они имеют один и тот же предел при , либо обе не имеют предела в этой точке.

Теорема 2. Если функции f(x) и  g(x) имеют пределы в точке x0, то:

1) предел алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме пределов слагаемых, т.е.

         (3)

2) предел произведения функций равен произведению пределов сомножителей, т.е.

            (4)

3) предел частного двух функций равен частному от деления предела делимого на предел делителя, если предел делителя не равен нулю, т.е.

           (5)

Замечание. Формулы (3) и (4) справедливы для любого конечного числа функций.

Следствие 1. Предел постоянной равен самой постоянной, т.е.

Следствие 2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.

1.4. Свойства непрерывных функций.

1) Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная. (для частного кроме тех случаев, когда значение знаменателя равно нулю).

Пусть функции ƒ (x)и ф (х) непрерывны на некотором множестве х и x0- любое значение из этого множества.

2) Пусть функции u=ф(х) непрерывна в точке x0, а функция у=f(u) непрерывна в точке. Тогда сложная функция , состоящая из непрерывных функций, непрерывна в точке x0.

В силу непрерывности функции ,, т.е. при x имеем u. В следствии непрерывности функции у=f(u) имеем:

3) Если функция у=f(x) непрерывна и строго монотонна на [a;b] оси Ох, то обратная функция у=ф(х) также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке [c;d] оси Oy.

1.5. Сравнение асимптотического поведения функций.

Под асимпто­тикой, или асимптотическим поведением функции в окрестности некоторой точки , понимают описание поведения функции вблизи точки , в которой функция, как правило, не определена.

Асимптотическое поведение функции обычно характеризуют с помощью другой, более простой или более изученной функции, ко­торая в окрестности исследуемой точки с малой относительной погрешностью воспроизводит значения изучаемой функции.

Определение. Если и — бесконечно малые функции в и

,

то они называются бесконечно малыми одного порядка малости при .

 Определение. Если , — бесконечно большие функции и

,

то они называются бесконечно большими одного порядка роста при .

                Определение. Если функции , — бесконечно малые и , то говорят, что является бесконечно малой функцией более вы­сокого порядка по сравнению с функцией .

Определение. Если функции , — бесконечно малые и

то они называются эквивалентными при . 

Функции и , эквивалентные при , называют также асимптотически равными при . 

Асимптотическое равенство (эквивалентность) функций обозначается символом ~ .

~.

Например, из первого замечательного предела следует

~ .

Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых функ­ций равен пределу отношения эквивалентных им функций, т. е. если при ~ и ~.

                                                                        Глава II. Практика.

2.1. Найти предел.

Найти предел:

Решение. Предварительно убедимся, что предел делителя не равен нулю:

Таким образом, формула (5) применима и, значит,

2.2. Найти предел.

Найти придел:

Решение. Теорема о пределе частного здесь неприменима, так как

Преобразуем заданную дробь, разложив числитель и знаменатель на множители. В числителе получим

где 

Теперь сократим дробь и, используя следствие из теоремы 1, вычислим предел данной функции:

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Теория пределов одно из фундаментальных понятий математического анализа. В данной работе мы изучили теорию пределов функций. В зачетной работе я раскрыла числовые последовательности функций, предел функции, свойства непрерывных функций, сравнение асимптотического поведения функций.

В практической работе решила примеры по пределам и сделала презентацию.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.      Бесов О.И., Лекции по математическому анализу. Часть 1. М., 2004г.

2.      Кудрявцев Л.Д., Курс математического анализа. Том 1. М., 2003г.

3.      Никольский С.М., Курс математического анализа. Том 1. М., 1983г.

4.      http://kvm.gubkin.ru/G1.pdf

5.      https://function-x.ru/lim1.html

6.      https://studopedia.su/2_45396_sravnenie-asimptoticheskogo-povedeniya-funktsiy.html