В помощь ученику "Некоторые приемы быстрого счета"

Некоторые секреты быстрого счёта

            В какой бы области человеческая жизнь не стремилась к необходимому совершенствованию, неизменно то, что всюду в основании верных выводов должны лежать  «счёт и мера», то есть число в той или иной форме.

Понятно,  что в основании сознательной жизни человека лежит счет и мера. Ясно, что если вы хотите правильно судить об окружающем вас пространстве; знать, что такое время, то прежде всего вы должны усвоить счет и меру, а следовательно, научиться свободно обращаться с числом. Истинное  развитие знания и сознательности может идти только рядом с развитием вашего понимания о счете, мере, порядке и числе.

     Вот почему не стоит  пренебрегать малейшим случаем, чтобы поупражняться в счете, мере, порядке и числе. Нельзя отделять арифметику, или математику вообще, от жизни. Нельзя этого делать, потому что человечество только тогда вступило на путь истинного знания, когда во все свои рассуждения ввело понятие о счете, мере и порядке, то есть понятие о числе. Необходимо учиться считать, мерить и вносить порядок в свою жизнь, начиная с первых ваших шагов. Все остальное  человечеству дается легко. А учиться счету, порядку и мере удобно как в игре или забаве, так и в деле. Стоит только этого захотеть и к этому постоянно направлять свой ум, разбираясь во всяком окружающем нас явлении. Поэтому в своей работе я попыталась показать некоторые приемы и методы быстрого устного счета, основным условием выбора которых является   простота, оригинальность и доступность для современных школьников.

  Вычислить: а) 13 · 64 ; б) 24 · 17

а)  произведение 13 · 64 не изменится, если первый множитель умножишь на 2, а второй разделишь на 2, т. е. 13 · 64 = 26 · 32 = 52 · 16 и так далее, пока не получим 832 · 1 = 832

б) 24 · 17 = 12 · 34 = 6 ·68 = 3 ·136 = 408

      Лучше так:    24 · 17 = 24 · 16 + 24;

      24 ·16 = 48 · 8 = 96 · 4 = 192 · 2 = 384 · 1 = 384, тогда 24 ·17 = 384 + 24 = 408

Вычислить устно ( с записью в строчку )

1) 34 · 48 + 18 · 2 + 23 · 24 = 34 · 2 · 24 + 9 · 2 · 12 + 23 · 24 =

         68 · 24 + 23 · 24 + 9 · 24 = 24 · ( 68 + 23 + 9 ) = 24 · 100 = 2400

2) 195 · 6 = ( 200 – 5 ) · 6 = 1200 – 30 = 1170

3) 195 · 38 = ( 200 – 5 ) · 38 = 7600 – 380 : 2 = 7600 – 190 = 7410.

4) 42 · 99 = 42 · (100-1) = 4200 – 42 = 4158

5) 32 · 197 = 32 · (200-3) = 6400 – 96 = 6304

6) 63 + 29 = ( 63 – 1 ) + (29+1) = 62+30 = 92

7) 594 + 267 = (594 + 6) + (267 – 6) = 600 + 261 = 861

8) 158 – 82 = (150 +8) – (90 – 8) = 150 + 8 – 90 + 8 = 150 – 90 + 16 = 60 + 16 = 76

 Умножение на 5 (50)

Чтобы умножить число на 5 ( 50 ), надо разделить его на 2 и умножить на 10 ( 100 ).

Примеры:

446 · 5 = 446 : 2 · 10 = 2230

638 · 5 = 638 : 2 · 10 = 3190

4672 · 50 = 4672 : 2 · 100 = 233600

832 · 50 = 832 : 2 · 100 = 41600

 Умножение на 25 (250)

Чтобы умножить число на 25 ( 250 ), надо умножить его на 100 ( 1000 ) и разделить на 4.

88 · 25 = 8800 : 4 = 2200

248 · 25 = 24800 : 4 = 6200

1256 · 25 =125600 : 4 = 31400

24 · 280 = 24000 : 4 =6000

484 · 280 = 484000 : 4 = 121000

6404 · 250 = 6404000 : 4 = 1601000

  Умножение на 9

254 ·  ( 10 – 1 ) = 254 · 10 – 254 ·  1 = 2540 – 254 = 2286

38 478 ·  ( 10 – 1 ) = 38478 · 10 – 38478 · 1 = 384780 – 38478 = 346302

Таким образом, для умножения многозначного числа на 9 надо приписать к нему справа нуль и вычесть из результата множимое число.

Например: 254 ·  9 = 2540 – 254 = 2286

                   38478 · 9 = 384780 – 38478 = 346302

  Деление на 4, 8, 16

  Чтобы разделить число   на 4,8,16, удобнее несколько раз повторить деление на 2.

148 : 4 = 148 : 2 : 2 = 74 : 2 = 37

320 : 16 = 320 : 4 : 4 = 80 : 4 = 20

816 : 16 = 816 : 2 : 2 : 2 : 2

        Деление на 5 ( 50 ), 25 ( 250 )

Эти приемы основываются на том, что:

а : 5 = а · 2  ; 

10

а : 50 = а · 2  ; 

                 100  

а : 25 = а · 4   ;

                 100

а : 250 = а  ·   4   .

                     1000  

Таким образом, чтобы разделить данное число на 5 (50) его надо умножить на 2 и разделить на 10 (100), а для того чтобы на 25 (250), его надо умножить на 4 и разделить на 100 (1000).

235 : 5 = 235 · 2 : 10 = 47

825 : 5 = 825 · 2 : 10 = 165

430 : 5 = 430 · 2 : 10 = 86

86020 : 5 = 86020 · 2 : 10 = 17204

1225 : 25 = 1225 · 4 : 100 = 4900 : 100 = 49

725 : 25 = 725 · 4 : 100 = 2900 : 100 = 29

562 : 250 = 562 · 4 : 1000 = 2248 : 1000 = 2,248

            456 : 250 = 456 · 4 : 1000 = 1824 : 1000 = 1,824

  Деление на 5, 50, 25

     Чтобы быстро разделить число на 5, 50, 25; надо заметить: 50 = 5 · 10

                                                                                                           25 = 5 · 5 = 50 : 2

              675 : 25 = 675 : 5 : 5

              1050 : 50 = 1050 : 10 : 5 = 105 : 5 = 21.

II. 5 – 9 классы

Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся на 5

              15 · 15 = 225 ( 1 умножаем на 2 и приписываем 25 )

               75 · 75 = 5625 ( 7 умножаем на 8 и приписываем 25 )

               9005 · 9005 = 81090025 ( 900 умножаем на 901 и приписываем 25 ).

 Возведение в квадрат трехзначных чисел, оканчивающихся на 25

     Для получения квадрата трехзначного числа ( например, 325 ):

1)      пишем в конце 625;

2)      число сотен ( 3 ) умножаем на 5, у полученного числа ( 15 ) последнюю цифру ( 5 ) пишем впереди числа 625, а первую цифру ( 1 ) запоминаем;

3)       число сотен данного числа ( 3 ) возводим в квадрат ( 3 · 3 = 9 ) и прибавляем ту цифру, которую только что заполнили ( 9 + 1 ), а полученный результат                    ( 10 ) пишем впереди написанных нами чисел: 105625.

125 · 125 =  (625; 1 · 5 = 5; 0; 5625; 1 · 1 = 1; 1 + 0) = 15625

725 · 725 = (625; 7 · 5 = 35 ; 3; 5625; 7 · 7 = 49; 49 + 3 = 52) 525625

525 · 525 = (625; 5 · 5 = 25; 2; 5625; 5 · 5 = 25;  25 + 2 =27) 275625

625 · 625 = (625; 6 · 5 = 30; 3; 0625; 6 · 6 = 36; 36 + 3 = 39) 390625

225 · 225 = (625; 2 · 5 = 10; 1; 0625; 2 · 2 = 4 ; 4 + 1 = 5) 50625

        Возведение в квадрат чисел 5 и 6 десятков

      Чтобы возвести в квадрат число пятого десятка (41, 42, …. 49) надо к числу единице     прибавить 15, затем к полученной сумме приписать квадрат дополнения числа единиц до 10 (если этот квадрат – однозначное число, то перед ним приписывается 0.

43 ² = (15+3) · 100 + 7²= 1849

46²= (15+6) · 100 + 4² = 2116

48²= (15+8) · 100 + 2² = 2304

49²= (15+9) · 100 + 1² =2401

Еще проще возвести в квадрат число шестого десятка ( 51, 52, … 59). Для этого надо к числу единиц прибавить 25 и к этой сумме приписать квадрат числа единиц.

54²= ( 25+4 ) · 100 + 4² = 2916

57²= ( 25+7 ) · 100 + 7² = 3249

59²= ( 25+9 ) · 100 + 9² = 3481

Умножение на 99, на 999

Умножение на 99, на 999 осуществляется тем же способом, что и на 9.

   В этих случаях приписывают два, три нуля и вычитают множимое число.

324 ·  99 = 32400 – 324 = 32076

546 ·  999 = 546000 – 546 = 545454

Умножение на 111

1294 · 111 = 143 634

Чтобы найти это произведение, поступают так ( согласно приведенной записи ); слева от последней цифры множимого записывают последнюю цифру суммы его единиц и десятков ( 9 + 4, т. е. 3 ), затем последовательно приписывают суммы цифр, взятых по три: ( 2 + 9 + 4 ) + 1 ( от 13 ) = 16, т. е. 6; ( 1 + 2 + 9 ) + 1 ( от 16 ) = 13, т.е. 3; затем – сумму последних двух цифр ( 1 + 2 ) + 1 ( от 13 ) = 4; первую цифру множимого ( 1 ) приписывают слева к полученному результату.

      241 · 111 = 26 751

      52628 ·  111 = 5 841 708

      175 654 · 111 = 19 497 594

Мгновенное умножение

Можно облегчить вычислительную деятельность, прибегая к несложным алгебраическим преобразованиям.

988 · 988 = ( 988 + 12 ) ( 988 – 12 ) + 12² = 1000 · 976 + 144 = 976 144

a² = а² - b² + b² = ( а – b ) ( а + b ) + b²

Можно с успехом пользоваться этой формулой для устных выкладок:

27² = ( 27 – 3 ) ( 27 + 3 ) + 3² = 24 · 30 + 9 = 729

63² = ( 63 – 3 ) ( 63 + 3 ) + 3² = 60 · 66 + 9 = 3969

48² = ( 48 – 2 ) ( 48 + 2 ) + 2² = 46 · 50 + 4 = 2304.

Умножение на 50, 25 , 125.

17 · 50 = 17 · 100 : 2                                                                50 = 100: 2                                               

122 · 50 = 122 : 2 · 100 = 6100                                                25 = 100 : 4 

28 · 25 = 28 : 4 ·  100 = 700                                                     125 = 1000 : 8

208 · 25 = 208 : 4 · 100 = 52 · 100 = 5200

192 · 125 = 192 : 8 · 1000 = 24 · 1000 = 24000

Быстрота и правильность

44 · 25 = 4 · 11 · 25 = 1100

33 · 5 = 11 · 3 · 5 = 15 · 11 = 165

45 · 4 = 45 · 2 · 2 = 180

25 · 8 = 25 · 4 · 2 = 200

Интересный способ умножения

1) 13 · 64 = 13 · 2 · 64 : 2 = 26 · 32 = 52 · 16 = 104  8 = 208 · 4 = 416 · 2 = 832

Прием умножения

2)  15 · 15 = 225 (1 · 2  и приписываем 25)

      25 · 25 = 625 (2 · 3  -/-)

      35 · 35 = 1225 (3 · 4 -/-)

      45 · 45 = 2025 (4 · 5 -/-)

      395 · 395 = 156025                                 695 · 695 = 483025

      39 · 40 = 1560                                            69 ·  70 = 4830

Умножение на 155 и 175

А · 155 = А  · 100 + А · 50 + А · 5 = А · 100 + А : 2 · 100 + А : 4 · 100

А · 175 = А · 100 + А · 50 + А · 25 = А · 100 + А : 2 · 100 + А : 4 · 100

348 · 155 = 34800 + 348 : 2 · 100 + 348 : 2 · 10 = 34800 + 17400 + 1740 = 53940

84 · 175 = 8400 + 84 : 2 · 100 + 84 : 4 · 100 = 8400 + 4200 + 2100 = 14700.

Умножение двухзначных чисел, близких к 100

Пример 1.            Вычислить 95 · 89 .

Решение: чтобы получить две последние цифры ответа ( единицы и десятки ), необходимо:    100 – 95 = 5;              100 – 89 = 11

И результаты перемножить:   5 · 11 = 55

Чтобы получить первые две цифры (тысячи и сотни), надо:   95 – 11 = 84

В результате имеем: 95 · 89 = 8455

Пример 2:          Вычислить 93 · 87

Решение: 1) 100 – 93 = 7          2) 100 – 87 = 13

                 3) 7 · 13 = 91 – последние две цифры;

                 4) 93 – 13 = 80 – первые две цифры;

Таким образом, 93 · 87 = 8091.

Пример 3:         Вычислить 98 · 87

Решение: 1) 100 – 98 = 2       2) 100 – 87 = 13

                 3) 2 · 13 = 26 – последние две цифры;

                 4) 98 – 13 = 85 – первые две цифры;

Таким образом, 98 · 87 = 8526.

Пример 4. вычислить 82 · 94

1)      100 – 82 = 18   2) 100 – 94 = 6

2)      18 · 6 = 108; 08 – последние две цифры;

3)      82 – 6 = 76;  76 + 1 =77 – первые две цифры.                                                        Таким образом, 82 · 94 = 7708.       

Признак делимости на 11

Число делится на 11, если разность суммы цифр, стоящих на нечетных местах, и сумма цифр, стоящих на четных местах, делятся на 11.

 

9 876 543 210 : 11, т.к. 97531 – 86420 = 11 111

                                           15   -     20    =       5

Поменяем 8 и 5:                  9  8  7  6  5  4  3  2  1  0

                                             9  5  7  6  8  4  3  2  1  0

                                             0 + 2 + 4 + 6 + 5                1 + 3 + 8 + 7 + 9

                                                               17                           28

                                                                       28 – 17 = 11  

Если сумме цифр данного числа через одну равна сумме остальных цифр через одну или разность этих сумм делится на 11, то и данное число делится на 11.

Округление часто используется при устных вычислениях

Сначала выполняется округление до круглых чисел, действие производится над круглыми числами, а затем вносится поправка.

362 + 197 = 360 + 2 + 200 – 3 = 560 – 1 = 559

373 + 48;     558 – 82;    485 + 98

                                   Секрет виртуозного извлечения корней

Секретом такого «искусства» овладеть нетрудно. Надо лишь знать таблицу степеней всех однозначных чисел и связь, существующую между последней цифрой основания степени и последней цифрой результата возведения в степень.

            а) Для извлечения кубического корня: 

Кубы чисел от 1 до 10

1³ = 1          6³ = 216

2³ = 8          7³ = 343

3³ = 27         8³ = 512

4³ = 64         9³ = 729

    5³ = 125      10³ = 1000

Пример. Вычислить .      Так как последняя цифра подкоренного числа 6, то и последняя цифра искомого числа 6. Отбрасывая последние три цифры заданного числа, получим  636; это число располагается в таблице кубов между кубами чисел 12 и 13. Меньшее из этих чисел (12) даёт первые две цифры искомого результата. Итак, = 86.

                            = 73,           = 99.

Подмечаем свойство: все цифры, на которые могут оканчиваться кубы чисел,  различны.

Последняя цифра куба числа совпадает с числом, возведённым в куб, для оснований степени 1, 4, 5, 6. 9 и равна разности числа 10 и числа, возведённого в куб, для остальных оснований: 2, 3. 7. 8.

            б) Для извлечения корня пятой степени:

Пятые степени чисел от 1 до 10

1⁵ = 1           6⁵ =    7776

2⁵ = 32         7⁵ =  16807

3⁵ = 243        8⁵ =  32768

4⁵ = 1024       9⁵ = 59049

   5⁵ = 3125      10⁵ = 100000

Подмечаем свойство: последняя цифра пятой степени числа совпадает с основанием степени.

Пример. Вычислить . Последняя цифра результата 5. Отбрасываем последние пять цифр, остаётся число 97, которое располагается между пятыми степенями чисел 2 и 3. Значит,  = 25.

 = 19,      = 50,      = 108

  III. Факультативные занятия

Интересные свойства чисел

Рассмотрим ряд примеров умножения на 9 с любопытными результатами.

Присмотритесь к отдельным столбцам чисел и цифр.

1 · 9 =09               90 = 9 · 10

2 · 9 = 18              81 = 9 · 9

3 · 9 = 27              72 = 9 · 8

4 · 9 = 36              63 = 9 · 7

5 · 9 = 45              54 = 9 · 6

6 · 9 = 54              45 = 9 ·  5 

7 · 9 = 63              36 = 9 ·  4

8 · 9 = 72              27 = 9 · 3

9 · 9 = 81              18 = 9 · 2 

9 · 10 = 90            09 = 9 · 1

                                                Еще любопытные закономерности

9² = 81

99² = 9801

999² = 998001

9999² = 99980 001

99999² = 9999 800 001

9 · 7 = 63

99 · 77 = 7623

999 · 777 = 776223

9999 ·7777 = 77762223                                                                                                             99999 ·  77777 = 7777622223

Удивительные примеры.

12 345 679 · 9 = 1 111 111 111

12 345 679 · 18 = 2 222 222 222

12 345 679 · 27 = 3 333 333 333

12 345 679 · 36 = 4 444 444 444

12 345 679 · 45 = 5 555 555 555

12 345 679 · 54 = 6 666 666 666

12 345 679 · 63 = 7 777 777 777

12 345 679 · 72 = 8 888 888 888

12 345 679 · 81 = 9 999 999 999

Занимательное умножение.

 2) а)  11 · 11 = 121

          111 · 111 = 12321

          1111 · 1111 = 1234321

          11111 · 11111 = 123454321

          111111 · 111111 = 12345654321

          1111111 · 1111111 = 123567654321

          11111111 · 11111111 = 12356787654321

          111111111 · 111111111 = 12345678987654321

б) 1 · 9 + 2 = 11

    12 · 9 + 3 = 111

    123 · 9 + 4 = 1111

    1234 · 9 + 5 = 11111

    12345 · 9 + 6 = 111111

    123456 · 9 + 7 = 1111111

    1234567 · 9 + 8 = 11111111

    12345678 · 9 + 9 = 111111111

в) 9 · 9 + 7 = 88

    98 · 9 + 6 = 888

    987 · 9 + 5 = 8888

    9876 · 9 + 4 = 88888

    98765 · 9 + 3 = 888888

    987654 · 9 + 2 = 8888888

    9876543 · 9 + 1 = 88888888

    98765432 · 9 + 0 = 888888888

Любопытное свойство натуральных чисел:

1³ + 2³ + 2³ + 4³ = ( 1 + 2 + 2 + 4)² = 81

1³ + 2³ + 2³ + 3³ + 4³ + 6³ = (1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 6)² = 324

Материал данной статьи предусматривает цель показать результативность использования различных видов и приёмов быстрого устного счёта для повышения познавательного интереса к изучению математики, что положительно повлияет на прохождение итоговой аттестации.  Устный  счет  на  уроках  математики  способствует развитию и формированию прочных вычислительных навыков и умений.  Приёмы быстрого счёта  могут быть использованы на практике,  как учениками, так и преподавателями школ.