Вариант
1
1. На автозаправке клиент
отдал кассиру 1000 рублей и залил в бак 29 литров бензина по цене
24 руб. 30 коп. за литр. Сколько рублей сдачи он должен получить у
кассира?
2. На рисунке жирными точками
показан курс евро, установленный Центробанком РФ, во все рабочие дни с 23
ноября по 23 декабря 2012 года. По горизонтали указываются числа месяца, по
вертикали — цена евро в рублях. Для наглядности жирные точки на рисунке
соединены линией. Определите по рисунку, какого числа курс евро был наименьший
за указанный период.
3.
На
клетчатой бумаге с размером клетки 11
изображён параллелограмм. Найдите длину его большей высоты.
4. В сборнике билетов по биологии
всего 55 билетов, в 11 из них встречается вопрос по теме «Ботаника». Найдите
вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику
достанется вопрос по теме «Ботаника».
5. Найдите корень уравнения
6.
Найдите
величину угла Ответ
дайте в градусах.
7. На рисунке изображен график —
производной функции определенной
на интервале (−3; 19). Найдите количество точек максимуА функции принадлежащих
отрезку [−2; 15].
8.
Площадь
полной поверхности конуса равна 12. Параллельно основанию конуса проведено
сечение, делящее высоту в отношении 1:1, считая от вершины конуса. Найдите
площадь полной поверхности отсечённого конуса.
9. Найдите значение
выражения
10. Груз массой 0,05 кг колеблется
на пружине. Его скорость v меняется по закону где t —
время с момента начала колебаний, T = 12 с — период
колебаний, м/с.
Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по
формуле где m —
масса груза в килограммах, v — скорость груза в м/с. Найдите
кинетическую энергию груза через 11 секунд после начала колебаний. Ответ дайте
в джоулях.
11. Из одной точки кольцевой
дороги, длина которой равна 12 км, одновременно в одном направлении выехали два
автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 101 км/ч, и через 20 минут после
старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго
автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
12. Найдите точку максимума
функции ,
принадлежащую промежутку
13. Решите уравнение
14. Все рёбра правильной
четырёхугольной пирамиды SABCD с вершиной S равны
6. Основание высоты SO этой пирамиды является серединой
отрезка SS1, M — середина ребра AS,
точка L лежит на ребре BC так, что BL : LC = 1 : 2.
А) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью S1LM —
равнобокая трапеция.
Б) Вычислите длину средней линии этой
трапеции.
15.
Решите неравенство
16. В прямоугольном
треугольнике АВС с прямым углом С точки М и N —
середины катетов АС и ВС соответственно, СН —
высота.
А) Докажите, что прямые МН и NH перпендикулярны.
Б) Пусть Р — точка
пересечения прямых АС и NH, а Q —
точка пересечения прямых BC и МН. Найдите площадь
треугольника PQM, если АН = 12 и ВН = 3.
17. В июле 2020 года планируется
взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
− каждый январь долг увеличивается
на r% по сравнению с концом предыдущего года;
− с февраля по июнь каждого года
необходимо выплачивать одним платежом часть долга.
Если ежегодно выплачивать по 58 564
рублей, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно
выплачивать по 106 964 рублей, то кредит будет полностью погашен за 2 года.
Найдите r.
18. Найдите все положительные
значения при
каждом из которых система имеет
единственное решение.
19. а) Представьте число в
виде суммы нескольких дробей, все числители которых — единица, а
знаменатели — попарно различные натуральные числа.
Б) Представьте число в
виде суммы нескольких дробей, все числители которых — единица, а
знаменатели — попарно различные натуральные числа.
В) Найдите все возможные пары натуральных
чисел m и n, для которых и .
Вариант
2
1. В летнем лагере на каждого участника
полагается 40 г сахара в день. В лагере 181 человек. Сколько килограммовых
упаковок сахара понадобится на весь лагерь на 5 дней?
2. На рисунке жирными точками
показана среднемесячная температура воздуха в Сочи за каждый месяц 1920 года.
По горизонтали указываются месяцы, по вертикали – температура в градусах
Цельсия. Для наглядности жирные точки соединены линией. Определите по рисунку
наименьшую среднемесячную температуру в период с мая по декабрь 1920 года.
Ответ дайте в градусах Цельсия.
3.
На
клетчатой бумаге с размером клетки изображён
круг. Найдите площадь закрашенного сектора. Ответ дайте в квадратных
сантиметрах.
4. Перед началом первого тура
чемпионата по настольному теннису участников разбивают на игровые пары
случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 16
спортсменов, среди которых 7 участников из России, в том числе Платон Карпов.
Какова вероятность того, что в первом туре Платон Карпов будет играть с
каким-либо спортсменом из России?
5. Решите уравнение В
ответе напишите наибольший отрицательный корень.
6.
У
треугольника со сторонами 12 и 15 проведены высоты к этим сторонам. Высота,
проведённая к первой стороне, равна 10. Найдите длину высоты, проведенной ко
второй стороне.
7. На рисунке изображён график —
производной функции и
шесть точек на оси абсцисс: x1, x2,
…, x6. В скольких из этих точек функция возрастает?
8.
Около
конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его
вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Радиус сферы
равен Найдите
образующую конуса.
9. Найдите ,
если
10. В телевизоре ёмкость
высоковольтного конденсатора Ф.
Параллельно с конденсатором подключен резистор с сопротивлением Ом.
Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе кВ.
После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до
значения U (кВ) за время, определяемое выражением (с),
где —
постоянная. Определите (в киловольтах), наибольшее возможное напряжение на
конденсаторе, если после выключения телевизора прошло 25,2 с. Ответ дайте
в киловольтах.
11. Смешали некоторое количество
21-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством
13-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет
концентрация получившегося раствора?
12. Найдите наименьшее значение
функции на
отрезке
13. а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения,
принадлежащего отрезку
14.
В треугольной пирамиде SABC известны боковые
рёбра: Основанием
высоты этой пирамиды является середина медианы CM треугольника ABC.
Эта высота равна 12.
А) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
Б) Найдите объём пирамиды SABC.
15. Решите неравенство:
16. В треугольник ABC вписана
окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в
точке D, причём AD = R.
А) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
Б) Вписанная окружность касается
сторон AB и BC в точках E и F.
Найдите площадь треугольника BEF, если известно, что R = 2
и CD = 10.
17. В июле планируется взять
кредит в банке на сумму 28 млн рублей на некоторый срок (целое число лет).
Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 25% по
сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года
необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на
одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
Чему будет равна общая сумма выплат после
полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 9 млн
рублей?
18. При каких значениях
параметра а система имеет
единственное решение?
19. Пусть q —
наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель
натуральных чисел x и y, удовлетворяющих равенству 3x =
8y – 29.
А) Может ли быть
равным 170?
Б) Может ли быть
равным 2?
В) Найдите наименьшее значение
Вариант
3
1. Цена на электрический чайник
была повышена на 16% и составила 3480 рублей. Сколько рублей стоил чайник до
повышения цены?
2.
Когда
самолет находится в горизонтальном полете, подъемная сила, действующая
на крылья, зависит только от скорости. На рисунке изображена эта зависимость
для некоторого самолета. На оси абсцисс откладывается скорость (в километрах
в час), на оси ординат – сила (в тоннах силы). Определите по рисунку,
чему равна подъемная сила (в тоннах силы) при скорости 200 км/ч?
3. Найдите площадь треугольника,
изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см
(см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
4. На борту самолёта 12 мест
рядом с запасными выходами и 21 мест за перегородками, разделяющими
салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир
В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при
случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если
всего в самолёте 100 мест.
5. Решите уравнение
6.
Найдите
хорду, на которую опирается угол 120°, вписанный в окружность радиуса
7.
На рисунке изображён график функции y = f(x)
и отмечены семь точек на оси абсцисс:x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7.
В скольких из этих точек производная функции f(x)
отрицательна?
8. В правильной четырёхугольной
пирамиде боковое ребро равно 22, а тангенс угла между боковой гранью и
плоскостью основания равен Найти
сторону основания пирамиды.
9. Найдите значение
выражения
10. Трактор тащит сани с
силой кН,
направленной под острым углом к
горизонту. Работа трактора (в килоджоулях) на участке длиной м
вычисляется по формуле При
каком максимальном угле (в градусах)
совершeнная работа будет не менее 2400 кДж?
11. Расстояние между
городами и равно
435 км. Из города в
город со
скоростью 60 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу
ему из города выехал
со скоростью 65 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города автомобили
встретятся? Ответ дайте в километрах.
12. Найдите точку минимума
функции
13. а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения,
принадлежащие промежутку
14. В правильной шестиугольной
призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все
рёбра равны 1.
а) Докажите, что плоскости AA1D1 и DB1F1 перпендикулярны.
б) Найдите тангенс угла между
плоскостями ABC и DB1F1.
15. Решите неравенство:
16. Диагональ AC разбивает
трапецию ABCD с основанием AD и BC?
из которых AD большее, на два подобных треугольника.
а) Докажите, что ∠ABC = ∠ACD.
б) Найдите отрезок, соединяющий середины
оснований трапеции, если известно, что BC = 18,AD = 50
и
17. В июле планируется взять
кредит на сумму 2 320 500 рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 10% по
сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года
необходимо выплатить некоторую часть долга.
На сколько рублей больше придётся отдать в
случае, если кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть
за 4 года), по сравнению со случаем, если кредит будет полностью погашен двумя
равными платежами (то есть за 2 года)?
18. Найдите все значения а,
при каждом из которых уравнение
имеет ровно три различных корня.
19. Рассматривается набор гирь,
каждая из которых весит целое число граммов, а общий вес всех гирь равен 500
граммов. Такой набор называется правильным, если любое тело, имеющее вес,
выраженный целым числом граммов от 1 до 500, может быть уравновешено некоторым
количеством гирь набора, и притом единственным образом (тело кладется на одну
чашу весов, гири – на другую; два способа уравновешивания, различающиеся лишь
заменой некоторых гирь на другие того же веса, считаются одинаковыми).
а) Приведите пример правильного набора, в
котором не все гири по одному грамму.
б) Сколько существует различных правильных
наборов?
(Два набора различны, если некоторая гиря
участвует в этих наборах не одинаковое число раз.)
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.