Варианты пробного тестирования ЕГЭ (профиль)

Тренировочная работа по МАТЕМАТИКЕ

2016 – 2017 уч. г.

11 класс

(профильный уровень)

1   вариант

Инструкция по выполнению работы

Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих в себя 19 заданий. Часть 1 содержит 8 заданий с кратким ответом базового уровня сложности. Часть 2 содержит 4 задания с кратким ответом повышенного уровня сложности и 7 заданий с развернутым ответом повышенного и высокого уровня сложности.

На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут).

Ответы к заданиям 1-12 записываются по приведенному ниже образцу в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Числа запишите в поля ответов в тексте работы, а затем перенесите их в бланк ответов №1.

КИМ:                  Ответ: ___-0,6___

5

–

0

,

6

БЛАНК:

При выполнении заданий 13-19 требуется записать полное решение и ответ в бланке ответов №2.

Все бланки ЕГЭ заполняются яркими черными чернилами. Допускается использование гелевой, или капиллярной, или перьевой ручек.

При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. Записи в черновике не учитываются при оценивании работы.

Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов.

Желаем успеха!

           Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конечная

 десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы,  затем перенесите его в БЛАНК ОТВЕТОВ №1 справа от номера  соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Каждую  цифру, знак «минус» и запятую пишите в отдельной клеточке в  соответствии с приведенным в бланке образцами. Единицы измерений  писать не нужно.

Часть 1

№1.

В доме, в котором живёт Женя, один подъезд. На каждом этаже по восемь квартир. Женя живёт в квартире 87. На каком этаже живёт Женя?

Ответ: ____________________

№2.

На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Мурманске с 7 по 22 ноября 1995 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней из данного периода выпадало менее 3 миллиметров осадков.

 

Ответ: ____________________

№3.

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: ____________________

№4.

Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза.

Ответ: ____________________

№5.

Найдите корень уравнения  

Ответ: ____________________

№6.

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 13. Найдите гипотенузу этого треугольника.

Ответ: ____________________

№7.

На рисунке изображен график функции f(x), определенной на интервале    (−7; 4). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).

 

Ответ: ____________________

№8.

В       правильной          четырехугольной пирамиде    точка  —    центр основания,  —      вершина, . Найдите длину отрезка .

Ответ: ____________________

              Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов №1

Часть 2

№9.

 Найдите значение выражения .

Ответ: ____________________

№10.

Груз массой 0,8 кг колеблется на пружине. Его скорость v меняется по зако-

ну       где t — время с момента начала колебаний, T = 24 с — пе м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вы-

 где m — масса груза в килограммах, v —

скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 10 секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Ответ: ____________________

№11.

Одиннадцать одинаковых рубашек дешевле куртки на 1%. На сколько процентов тринадцать таких же рубашек дороже куртки?

Ответ: ____________________

№12.

Найдите точку максимума функции  

Ответ: ____________________ 

              Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов №1

 Для записи решений и ответов на задания 13-19 используйте БЛАНК  ОТВЕТОВ №2. Запишите сначала номер выполняемого задания (13, 14 и  т.д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы  записывайте четко и разборчиво.

№13.

а) Решите уравнение  

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежут-

ку  

Ответ: ____________________

№14.

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 5.            На рёбрах SA, AB, BC взяты         точки P, Q, R соответственно так, что PA = AQ = RC = 2.

а) Докажите, что плоскость PQR перпендикулярна ребру SD.

б) Найдите расстояние от вершины D до плоскости PQR.

Ответ: ____________________            

№15.

Решите неравенство  

Ответ: ____________________

№16.

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и CE. Найдите длину отрезка DE, если AC = 6, AE = 2, CD = 3.

Ответ: ____________________

№17.

В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Месяц и год	Июль 2016	Июль 2017	Июль 2018	Июль 2019
Долг (в млн рублей)	S	0,7S	0,4S	0

Найдите наибольшее значение S, при котором разница между наибольшей и наименьшей выплатами будет меньше 1 млн рублей.

Ответ: ____________________                

№18.

Найдите все значения a, при которых уравнение

 

имеет единственное решение.

Ответ: ____________________

№19.

Найдите все простые числа p, для каждого из которых существует такое целое число k,      что    число p является общим        делителем чисел  и       .

Ответ: ____________________

Тренировочная работа по МАТЕМАТИКЕ

2016 – 2017 уч. г.

11 класс

(профильный уровень)

2   вариант

Инструкция по выполнению работы

Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих в себя 19 заданий. Часть 1 содержит 8 заданий с кратким ответом базового уровня сложности. Часть 2 содержит 4 задания с кратким ответом повышенного уровня сложности и 7 заданий с развернутым ответом повышенного и высокого уровня сложности.

На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут).

Ответы к заданиям 1-12 записываются по приведенному ниже образцу в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Числа запишите в поля ответов в тексте работы, а затем перенесите их в бланк ответов №1.

КИМ:                  Ответ: ___-0,6___

5

–

0

,

6

БЛАНК:

При выполнении заданий 13-19 требуется записать полное решение и ответ в бланке ответов №2.

Все бланки ЕГЭ заполняются яркими черными чернилами. Допускается использование гелевой, или капиллярной, или перьевой ручек.

При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. Записи в черновике не учитываются при оценивании работы.

Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов.

Желаем успеха!

           Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конечная

 десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы,  затем перенесите его в БЛАНК ОТВЕТОВ №1 справа от номера  соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Каждую  цифру, знак «минус» и запятую пишите в отдельной клеточке в  соответствии с приведенным в бланке образцами. Единицы измерений  писать не нужно.

Часть 1

№1.

В доме, в котором живет Маша, 9 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 4 квартиры. Маша живет в квартире № 130. В каком подъезде живет Маша?

Ответ: ____________________

№2.

На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Минске за каждый месяц 2003 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, сколько в 2003 году было месяцев, когда среднемесячная температура была положительной.

 

Ответ: ____________________

№3.

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: ____________________

№4.

На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 4 прыгуна из Италии и 6 прыгунов из Мексики. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что двадцать четвёртым будет выступать прыгун из Италии.

Ответ: ____________________

№5.

Найдите корень уравнения  

Ответ: ____________________

№6.

Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет  окружности. Ответ дайте в градусах.

 

Ответ: ____________________

№7. Прямая  параллельна касательной к графику функции. 

 Найдите абсциссу точки касания.

Ответ: ____________________

№8.

Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в двенадцать раз?

Ответ: ____________________

              Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов №1

Часть 2

№9.

Найдите значение выражения .

Ответ: ____________________

№10.

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по зако-

ну  где  – время в секундах, прошедшее с мо-

мента открытия крана,  – начальная высота столба воды,  – отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а  – ускорение свободного падения (считайте  м/с ). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объeма воды?

Ответ: ____________________

№11.

Смешали некоторое количество 16-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 18-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Ответ: ____________________

№12.

Найдите точку минимума функции .

Ответ: ____________________

              Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов №1

 Для записи решений и ответов на задания 13-19 используйте БЛАНК  ОТВЕТОВ №2. Запишите сначала номер выполняемого задания (13, 14 и  т.д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы  записывайте четко и разборчиво.

№13.

а) Решите уравнение  

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  

Ответ: ____________________

№14.

В       основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит        прямоугольник ABCD со сторонами AB = 12 и  Длины боковых рёбер пирамиды SA = 5, SB = 13, SD = 10.

а) Докажите, что SA — высота пирамиды.

б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости SBC.

Ответ: ____________________            

№15.

Решите неравенство:  

Ответ: ____________________

№16.

Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон AB, BC и CA в точках K, M и N соответственно.

а) Докажите, что  

б) Найдите отношение AK : KB, если известно, что AN : NC = 4 : 3 и  

Ответ: ____________________

№17.

Баржа грузоподъемностью 134 тонны перевозит контейнеры типов А и В. Количество загруженных на баржу контейнеров типа В не менее чем на 25% превосходит количество загруженных контейнеров типа А. Вес и стоимость одного контейнера типа А составляет 2 тонны и 5 млн. руб., контейнера типа В – 5 тонн и 7 млн. руб.соответственно. Определите наибольшую возможную суммарную стоимость (в млн. руб.) всех контейнеров, перевозимых баржей при данных условиях.

Ответ: ____________________                

№18.

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

  

имеет более двух решений.

Ответ: ____________________

№19.

Произведение всех делителей натурального числа  оканчивается на 399 нулей. На сколько нулей может оканчиваться число ?

Ответ: ____________________

Тренировочная работа по МАТЕМАТИКЕ

2016 – 2017 уч. г.

11 класс

(профильный уровень)

3   вариант

Инструкция по выполнению работы

Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих в себя 19 заданий. Часть 1 содержит 8 заданий с кратким ответом базового уровня сложности. Часть 2 содержит 4 задания с кратким ответом повышенного уровня сложности и 7 заданий с развернутым ответом повышенного и высокого уровня сложности.

На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут).

Ответы к заданиям 1-12 записываются по приведенному ниже образцу в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Числа запишите в поля ответов в тексте работы, а затем перенесите их в бланк ответов №1.

КИМ:                  Ответ: ___-0,6___

5

–

0

,

6

БЛАНК:

При выполнении заданий 13-19 требуется записать полное решение и ответ в бланке ответов №2.

Все бланки ЕГЭ заполняются яркими черными чернилами. Допускается использование гелевой, или капиллярной, или перьевой ручек.

При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. Записи в черновике не учитываются при оценивании работы.

Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов.

Желаем успеха!

           Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конечная

 десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы,  затем перенесите его в БЛАНК ОТВЕТОВ №1 справа от номера  соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Каждую  цифру, знак «минус» и запятую пишите в отдельной клеточке в  соответствии с приведенным в бланке образцами. Единицы измерений  писать не нужно.

Часть 1

№1.

Рост человека 6 футов 1 дюйм. Выразите его рост в сантиметрах, если 1 фут равен 12 дюймам. Считайте, что 1 дюйм равен 2,54 см. Результат округлите до целого числа сантиметров.

Ответ: ____________________

№2.

На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку разность между наибольшей и наименьшей температурой воздуха 15 июля. Ответ дайте в градусах Цельсия.

 

Ответ: ____________________

№3.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 1 изображён угол. Найдите тангенс этого угла.

 

Ответ: ____________________

№4.

Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Сапфир» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Сапфир» выиграет жребий ровно два раза.

Ответ: ____________________

№5.

Найдите корень уравнения  

Ответ: ____________________

№6.

В треугольнике АВС угол С равен 90°,  — высота,            ,                    . 

Найдите АН.

 

Ответ: ____________________

№7.

На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (−3; 8). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 1.

 

Ответ: ____________________

№8.

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна 20. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

Ответ: ____________________

              Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов №1

Часть 2

№9.

Найдите значение выражения      

Ответ: ____________________

№10.

Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону , где t — время в секундах, амплитуда  В, частота . Датчик настроен так, что если напряжение в нeм не ниже чем 1 В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

Ответ: ____________________

№11.

Смешали некоторое количество 21-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 13-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Ответ: ____________________

№12.

Найдите точку минимума функции  

Ответ: ____________________

              Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов №1

 Для записи решений и ответов на задания 13-19 используйте БЛАНК  ОТВЕТОВ №2. Запишите сначала номер выполняемого задания (13, 14 и  т.д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы  записывайте четко и разборчиво.

№13.

а) Решите уравнение 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

Ответ: ____________________

№14.

Правильные треугольники  и  лежат в перпендикулярных плоскостях,  Точка  — середина , а точка  делит отрезок  так, что  Вычислите объём пирамиды  

Ответ: ____________________            

№15. Решите неравенство: 

Ответ: ____________________

№16.

Радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 13,  

 

                                высота, проведённая к стороне BC, равна 5. 

Найдите длину той хорды AM описанной окружности, которая делится пополам стороной BC.

Ответ: ____________________

№17.

Жанна взяла в банке в кредит 1,8 млн рублей на срок 24 месяца. По договору Жанна должна возвращать банку часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 1 %, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Жанной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Жанной, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. Какую сумму Жанна вернёт банку в течение первого года кредитования?

Ответ: ____________________                

№18.

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

  

имеет более двух решений.

Ответ: ____________________

№19.

На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 363. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).

а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 4 раза больше, чем сумма исходных чисел.

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 2 раза больше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Ответ: ____________________

Тренировочная работа по МАТЕМАТИКЕ

2016 – 2017 уч. г.

11 класс

(профильный уровень)

4   вариант

Инструкция по выполнению работы

Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих в себя 19 заданий. Часть 1 содержит 8 заданий с кратким ответом базового уровня сложности. Часть 2 содержит 4 задания с кратким ответом повышенного уровня сложности и 7 заданий с развернутым ответом повышенного и высокого уровня сложности.

На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут).

Ответы к заданиям 1-12 записываются по приведенному ниже образцу в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Числа запишите в поля ответов в тексте работы, а затем перенесите их в бланк ответов №1.

КИМ:                  Ответ: ___-0,6___

5

–

0

,

6

БЛАНК:

При выполнении заданий 13-19 требуется записать полное решение и ответ в бланке ответов №2.

Все бланки ЕГЭ заполняются яркими черными чернилами. Допускается использование гелевой, или капиллярной, или перьевой ручек.

При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. Записи в черновике не учитываются при оценивании работы.

Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов.

Желаем успеха!

           Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конечная

 десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы,  затем перенесите его в БЛАНК ОТВЕТОВ №1 справа от номера  соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Каждую  цифру, знак «минус» и запятую пишите в отдельной клеточке в  соответствии с приведенным в бланке образцами. Единицы измерений  писать не нужно.

Часть 1

№1.

Магазин делает пенсионерам скидку на определенное количество процентов от цены покупки. Пакет кефира стоит в магазине 40 рублей. Пенсионер заплатил за пакет кефира 38 рублей. Сколько процентов составляет скидка для пенсионеров?

Ответ: ____________________

№2.

На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Казани с 3 по 15 февраля 1909 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа впервые выпало  миллиметров осадков.

 

Ответ: ____________________

№3.

 На клетчатой бумаге с размером клетки 11 изображён параллелограмм. Найдите длину его большей высоты.

Ответ: ____________________

№4.

Перед началом первого тура чемпионата по настольному теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 спортсменов, среди которых 13 спортсменов из России, в том числе Владимир Егоров. Найдите вероятность того, что в первом туре Владимир Егоров будет играть с каким-либо спортсменом из России.

Ответ: ____________________

№5.

Решите уравнение    

Ответ: ____________________

№6.

 Найдите большую диагональ ромба, сторона которого равна , а острый угол равен 60°.

Ответ: ____________________

№7.

На рисунке изображён график функции . Функция  

одна из первообразных функции . 

Найдите площадь закрашенной фигуры.

Ответ: ____________________

№8.

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 8, боковое ребро равно 16. Найдите объем пирамиды.

Ответ: ____________________

              Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов №1

Часть 2

№9.

Найдите значение выражения ( −        

Ответ: ____________________

№10.

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем, выраженная в метрах, меняется по закону   – начальный уровень

воды,    м/мин постоянные,  – время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.

Ответ: ____________________

№11.

Вова и Гоша решают задачи. За час Вова может решить на две задачи больше, чем Гоша (при этом оба за час решают целое количество задач). Известно, что вместе они решат 33 задачи на 1 час 15 минут быстрее, чем это сделал бы один Вова. За какое время Гоша может решить 20 задач? Ответ дайте в часах.

Ответ: ____________________

№12.

 Найдите наименьшее значение функции  на отрезке  

Ответ: ____________________ 

бланк ответов №1 Не забудьте перенести все ответы в

 Для записи решений и ответов на задания 13-19 используйте БЛАНК  ОТВЕТОВ №2. Запишите сначала номер выполняемого задания (13, 14 и  т.д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы  записывайте четко и разборчиво.

№13.

а) Решите уравнение  

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку  

Ответ: ____________________

№14.

Длина ребра правильного тетраэдра ABCD равна  Найдите угол между прямыми      и        где M — середина ребра          — середина ребра  

Ответ: ____________________            

№15.

Решите неравенство:  

Ответ: ____________________

№16.

Дан треугольник ABC со сторонами AB = 29, AC = 20 и BC = 21. На стороне BC взята точка D, а на отрезке AD — точка O, причем CD = 7 и AO = 3OD. Окружность с центром O проходит через точку C. Найдите расстояние от точки C до точки пересечения этой окружности с прямой AB.

Ответ: ____________________

№17.

Оля хочет взять в кредит 1 200 000 рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10 % годовых. На какое минимальное количество лет может Оля взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более

320 000 рублей?

Ответ: ____________________                

№18.

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

  

имеет единственное решение.

Ответ: ____________________

№19.

В ряд выписаны числа:  Между ними произвольным образом расставляют знаки « » и « » и находят получившуюся сумму.

Может ли такая сумма равняться:

        а) 12, если            ?

б) 0, если

в) 0, если

г) 5, если

Ответ: ____________________

Ответы

1   вариант

1)                11

2)                14

3)                16

4)                0,375

5)                10

6)                26

7)                -4

8)                16

9)                4

10)            0,169

11)            17

12)            4

13)            Имеем:

б) На указанном промежутке лежит точка              

Ответ: а)  

14)  

а) Стороны треугольника SBD равны 5, 5 и  поэтому он прямоугольный, то есть прямая SD перпендикулярна прямой SB. Поскольку прямые SB и PQ параллельны, прямая SD перпендикулярна прямой PQ. Прямая AC перпендикулярна прямой BD, и по теореме о трёх перпендикулярах прямая AC перпендикулярна прямой SD, а значит, и прямая QR перпендикулярна прямой SD. Таким образом, плоскость PQR перпендикулярна ребру SD.

б) Пусть плоскость PQR пересекает ребро SD в точке E. Из доказанного следует, что прямая PE перпендикулярна прямой SD, откуда

 Поскольку         плоскость PQR перпендикулярна

ребру SD, искомое расстояние равно DE.

Ответ: б)  

15)  

Пусть  Получаем систему неравенств:

 

Следовательно:

  

Таким    образом,    решением    исходного    неравенства    является    множе-

ство  

Ответ:  

16)  

Обозначим  Тогда по свойству биссектри-

 откуда 

Получаем:

 

                                                                                               17)           

Значит,  

Ответ:

        17)          

Долг перед банком (в млн рублей) на июль каждого года должен уменьшаться до нуля следующим образом: 

 

По условию, в январе каждого года долг увеличивается на 25%, значит, долг в январе каждого года равен:

  

Следовательно, выплаты с февраля по июнь каждого года составляют:

 

По условию, разность между наибольшей и наименьшей выплатами должна быть не меньше 1 млн рублей: 

 

Наибольшее целое решение этого неравенства — число 13. Значит, искомый размер кредита — 13 млн рублей.

Ответ: 13.

18)  

Заметим, что если число  является решением уравнения, то и число  также является решением этого уравнения. Значит, если уравне-

ние имеет единственное решение, то это решение  

При  уравнение принимает вид

  

откуда

При уравнение принимает вид  правая часть уравне-

ния  правая часть уравнения равна 4, а левая часть уравнения не меньше 4, причём равенство достигается только

при  При  правая часть уравнения                                    Значит, ис-

ходное уравнение имеет единственное решение

При  исходное уравнение принимает вид  Числа −2, 0 и 2 являются корнями этого уравнения.

Таким    образом,    исходное    уравнение    имеет    единственное    решение

при  и        

Ответ: 3; 7.

19)  

Если число p является делителем числа , то оно является также и дели-

. Но если число p является общим делителем

чисел  и , то оно является также и делителем разности этих чисел, то есть числа

.

Аналогично получаем:

1)                число p является общим делителем чисел  и , значит, p является делителем числа

;

2)                число p является общим делителем чисел  и , значит, p является делителем числа

;

Число 4 имеет один простой делитель — 2. Остается проверить найдутся ли такие целые числа k для каждого из которых число 2 являлось общим делителем чисел       и       .

Заметим, что если число k — четное, то число 2 является общим делителем данных чисел.

Ответ: 2.

Ответы

2   вариант

1)	4
2)	8
3)	3
4)	0,16
5)	87
6)	36
7)	-0,5
8)	12
9)	-1,5
10)	50
11)	17
12)	2
13)

а) Запишем исходное уравнение в виде: 

 

Значит, 

  

или   

или   

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку  

Получим числа:

Ответ: а)  

14)  

а)       Заметим, что

поэтому                                                              

б) Опустим из A перпендикуляр на SB. Он будет перпендикулярен также BC, поскольку  Поэтому его длина и есть расстояние от A до SBC. Вычислим ее

  

Ответ:  

15)  

Рассмотрим два случая.

Первый случай:  

 

Учитывая условие                                                                     

Второй случай:

 

Учитывая условие  

Множество решений исходного неравенства:  

Ответ:  

откуда зать.

б) Положим AN = 4, BK = x, тогда AK = 4, CN = CM = 3, BM = x.

Согласно теореме косинусов получаем:

  

откуда x = , BK = . Таким образом, AK : KB = 5 : 7.

Ответ: б) 5 : 7.

        17)          

Пусть x — количество перевозимых контейнеров типа А, y — количество контейнеров типа В,  Тогда вес контейнеров типа А составит  т, типа В — 5у т. В соответствии с условием задачи  Кроме того, должно выполняться условие:  

Пусть S — суммарная стоимость всех контейнеров. Тогда S = 5x + 7y. Нам предстоит исследовать функцию S(x, y) на наибольшее значение при заданных условиях.

Имеем:  значит,

Найдем, при каком значении у выполняется равенство  

 

Поскольку x, y, а также стоимости контейнеров — числа натуральные,

то

 Натуральных

решений нет.

Если  Натуральных решений нет.

Если  Натуральных решений нет.

Если        Натуральное решение:

        Вычислим значение x при                                                     

Итак, искомое значение 220 млн. руб.

Ответ: 220 млн. руб.

Приведём арифметическое решение.

Заметим, что контейнер типа А приносит 2,5 млн руб. за тонну, а контейнер типа В — 1,4 млн руб. за тонну, поэтому контейнеров типа А должно быть как можно больше, а контейнеров типа В как можно меньше. По условию, на каждые 4 контейнера типа А должно приходится не менее 5 контейнеров типа B. Пусть контейнеров типа А будет 4x, а контейнеров типа B — 5x, их общий вес составит 8x + 25x = 33x тонн. Грузоподъёмность баржи 134 тонны, поэтому наибольшее возможное целое значение x = 4.

Если x = 4, то на баржу можно загрузить 16 контейнеров типа А и 20 контейнеров типа B, их стоимость составит 80 + 140 = 220 млн руб. При этом баржа будет недогружена на 2 тонны. Заменим два контейнера типа А одним контейнером типа В. Стоимость 14 контейнеров типа А и 21 контейнера типа В составляет 70 + 147 = 217 млн руб., при этом баржа недогружена на 1 тонну. Можно было бы загрузить баржу полностью, заменив ещё два контейнера типа А одним контейнером типа В, но при этом общая стоимость контейнеров снова бы снизилась на 3 млн руб. Из этого следует, что оптимально не загружать баржу полностью, а загрузить на неё 16 контейнеров типа А и 20 контейнеров типа В общей стоимостью 220 млн руб.

Примечание.

Проверять изменение стоимости при дозагрузке не полностью нагруженной баржи — обязательная часть решения. Например, если бы контейнер типа В стоил 11 млн руб., а другие данные задачи не поменялись бы, то стоимость 16 контейнеров типа А и 20 контейнеров типа B составила бы 80 + 220 = 300 млн руб. (недогружено 2 тонны), стоимость 14 контейнеров типа А и 21 контейнера типа В составила бы 70 + 231 = 301 млн руб. (недогружена 1 тонна), а стоимость 12 контейнеров типа А и 22 контейнеров типа В составила бы 302 млн руб. — баржа загружена полностью, прибыль максимальна, дальнейшая замена контейнеров типа А на контейнеры типа В приводит к уменьшению прибыли.

18)  

Изобразим на координатной плос-

 

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке O₁(2; 4) и радиусом  

2) Если x + 2y − 5 ≤ 0, то получаем уравнение

  

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке O₂(0; 0) и радиусом  

Полученные окружности пересекаются в двух точках A(−1; 3) и B(3; 1), лежащих на прямой x + 2y − 5 = 0, поэтому в первом случае получаем дугу ω₁ с концами в точках A и B, во втором — дугу ω₂ с концами в тех же точках (см. рис.).

Заметим, что точка  лежит на дуге ω₂ и прямая O₂C перпендикулярна прямой O₁O₂.

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую m, параллельную прямой O₁O₂ или совпадающую с ней.

При a = −5 прямая m пересекает каждую из дуг ω₁ и ω₂ в точке A и ещё в одной точке, отличной от точки A, то есть исходная система имеет три решения.

Аналогично, при a = 5 прямая m проходит через точку B и исходная система имеет три решения.

При  прямая m проходит через точку C, значит, прямая m касается дуг ω₂ и ω₁, то есть исходная система имеет два решения.

Аналогично, при  прямая m касается дуг ω₂ и ω₁, то есть исходная система имеет два решения.

При  прямая m пересекает каждую из дуг ω₁ и ω₂ в двух точках, отличных от точек A и B, то есть исходная система имеет четыре решения.

При −5 < a < 5 прямая m пересекает каждую из дуг ω₁ и ω₂ в точке, отличной от точек A и B, то есть исходная система имеет два решения.

При  прямая m не пересекает дуги ω₁ и ω₂, то есть исходная система не имеет решений.

Значит, исходная система имеет более двух решений при

Ответ:                                                       

19)  Разложим  на простые множители: где  — наибольший простой множитель и  Если запись

числа  оканчивается  нулями, то или  или, наоборот,    

          Оценим количество делителей  числа       

при этом  делится на

Первый случай. Если  — четное, то все делители разбиваются на  пар вида  так, что произведение делителей в каждой паре равно  Поэто-

му произведение всех делителей равно        

Второй случай. Если  — нечетное, то  делителей разбиваются на пары указанного вида, и есть еще один делитель —  В этом случае тоже произ-

ведение всех делителей:                             

Значит, для любого  произведение всех делителей оканчивается  нулями, следовательно,  При этом  откуда

следует, что  — делитель числа 798, и            

Выпишем все такие  Из равенства  также следует, что 798 делится на . Поэтому возможно только  и . Для каждого из этих  подберем  Ограничимся простыми множителями 2 и 5. Значит, нужно подобрать только  и 

        1.                                                                                                            

        2.                                                                        

        3.                                                                    

Таким образом, для  найдены ( и даже не все) , оканчивающиеся  нулями, произведение делителей которых оканчивается 399 нулями. Ответ: 1, 2, 6.

Ответы

3   вариант

1)	185
2)	13
3)	1
4)	0,375
5)	30
6)	17,5
7)	7
8)	40
9)	-136
10)	50
11)	17
12)	-5
13)

а) Имеем

 

б) Корни, принадлежащие отрезку  отберём с помощью единичной

Ответ: а)         

14)  

 

Проведём высоту  треугольника . В тоже время  — высота пирамиды , опущенная из вершины  на плоскость основания .

Площадь треугольника

Найдём объём пирамиды:

 

Ответ: .

15)  

Последовательно получаем:

 

Ответ:  

16)  

 

Пусть K — середина искомой хорды AM. Через точку M проведём хорду MN, параллельную стороне BC. Тогда точка L пересечения отрезков AN и BC — середина AN, значит задача имеет два решения. Кроме того, высота AP треугольника AMN вдвое больше высоты AH треугольника ABC, значит AP = 10 и PH = 5. Пусть R = 13 — радиус окружности, описанной около треугольника ABC. По теореме синусов

 

Пусть O — центр окружности, описанной около треугольника ABC, Q — середина BC. Из прямоугольного треугольника OQB находим, что

 

а так как расстояние между параллельными хордами BC и MN также равно 5, то точка O лежит на отрезке MN. Следовательно, MN — диаметр окружности.

        Из                      прямоугольного                       треугольника AOP находим,

17)  

Пусть B_i — размер долга Жанны на конец месяца i, X_i — платеж Жанны в конце месяца i. Мы знаем, что имеет место соотношение B_i = 1,01B_{i − 1} − X_i. Кроме того, мы знаем, что последовательность (B_i) является арифметической прогрессией. При этом B₀ = 1800 тыс. руб., а B₂₄ = 0, так как в конце срока кредитования долг Жанны должен быть равен нулю. Этих двух точек достаточно, чтобы узнать всю последовательность B_i:  Значит,

  

Поскольку X_i линейно зависит от i, последовательность X_i также является арифметической прогрессией. Значит,

 тыс. рублей.

Ответ: 1066,5 тыс. рублей.

18)  

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы. Рассмотрим два случая:

1)  Если  то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке  и радиусом 1.

2)  Если  то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке  и радиусом  Полученные окружности пересекаются в двух точках  и  лежащих на окружности  поэтому в пер-

вом случае получаем дугу  с концами в точках A и B, во втором — дугу  с концами в тех же точках (см. рис.)

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую m, которая проходит через точку A и угловой коэффициент который равен a.

При  прямая m проходит через точки A и B, то есть исходная система имеет два решения.

        При              прямая m перпендикулярна прямая O₂A, угловой коэффициент

который равен  значит, прямая m касается дуги  в точке A и пересекает дугу  в двух точках (одна из которых — точка A), то есть исходная система имеет два решений.

         При  прямая m пересекает каждую из дуг      и       в точке A и ещё

в одной точке, отличной от точки B, то есть исходная система имеет три решения.

При  прямая m не пересекает дуги  и  в точках, отличных от точки A, то есть исходная система имеет одно решение.

При  или  прямая m пересекает дугу  в двух точках и не пересекает дугу  в точках, отличных от точки A, то есть исходящая система имеет два решения.

Значит, исходная система имеет более двух решений при  

Ответ:  

19)  

а)  поэтому если взять по 11 раз числа 16 и 17, то получится подходящий пример.

б) Обозначим сумму всех цифр десятков за a, а всех цифр единиц за b.

Тогда  откуда  что   невозможно — 363 не кратно 9.

в)       Нужно        максимизировать выражение  поэтому a следует сделать как  (поскольку первая цифра числа

меньше его последней цифры не более чем в 9 раз), поэтому          

 что возможно, например, для трех

чисел     19     и     семнадцати    чисел     18.     Новая    сумма     тогда     будет

равна  

Ответ: а) 17 и 16; б) нет; в) 1650.

Ответы

4   вариант

1)             5

2)             11

3)             4

4)             0,48

5)             1,4

6)             3

7)             6

8)             768

9)             7

10)         20

11)         2

12)         22

13)  

а) Преобразуем исходное уравнение:

                                                       тогда уравнение запишется в виде                            отку-

да

При                      получим  откуда  

При                             нет решений.

б)                                                                                                           Заметим,

что                                                                                                                        

Ответ: а)

14)  

Пусть прямая        параллельная прямой  пересекает прямую     в точке  Тогда искомый угол между прямыми         и        равен углу  Обозначим угол    буквой                   — средняя линия треугольника       поэтому:

 

 и

 

15)  

Преобразуем неравенство:

 

Рассмотрим два случая.

Первый случай:                                . 

Ответ:  

16)  

Проведем через вершину  прямую, параллельную  Пусть  — точка ее пересечения с прямой  а  — точка пересечения  и  Треугольник  подобен треугольнику

 поэто-

му                            Значит,

ник     равен треугольнику роне и двум прилежащим к ней углам. Тогда       — середина стороны

тельно,         —     медиана ка  Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из прямого угла равна половине гипотенузы,

чит,  

Через вершину  проведем прямую, параллельную  Пусть  — точка ее пересечения с прямой  Треугольник

фициентом                поэтому

ки       и        равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому  — середина       

Окружность    с        центром  проходит        через точку  и   при этом  Следовательно,       — радиус этой окружности. Треугольник  прямоугольный,    а точка  — одна из точек пересечения прямой          и окружности.

Пусть  — вторая точка пересечения окружности с прямой  Тогда угол  — вписанный и опирающийся на диаметр  так что  то есть  — высота треугольника 

Отсюда  

Ответ: 14,5 или .

17)  

Пусть сумма кредита равна S, а годовые составляют a %. Тогда в последний день каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент b = 1 + 0,01a Составим таблицу выплат.

Год	Долг банку (руб.)	Остаток доли после выплаты (руб.)
0	1200000	–
1	1320000	1000000
2	1100000	780000
3	858000	538000
4	591800	271800
5	298980	0

Значит, Оля погасит кредит за 5 лет.

Ответ: 5.

18)  

Множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют первому уравнению — окружность с центром в точке  и радиусом 1,5. Второму уравнению — окружность с центром в точке  и радиу-

сом  (возможно, эта окружность вырождается в точку, если  Тогда эта точка имеет координаты  и на первой окружности не лежит). Система будет иметь единственное решение, если эти окружности касаются друг друга, то есть расстояние между их центрами будет равно сумме или разности радиусов.

Итак,

 или   

        При                                                      превращаются           соответственно

в  откуда  (последнее уравнение не имеет положительных корней).

        При  эти         уравнения         превращаются         соответственно

в  откуда  (последнее уравнение не имеет корней на данном промежутке).

соответственно

в         все они корней на данном промежутке не имеют.

Ответ:  

19)  

а) При следующей расстановке знаков получается требуемая сумма:

  

         б) Среди выписанных      чисел      чётных и      нечётных. Поэтому любая

сумма, которую можно получить, будет нечётной и не может равняться  

в) Заметим,     что    .         Значит, между  квадратами последовательных натуральных чисел можно расставить знаки так, что полученная сумма будет равняться    

При  можно разбить все данные числа на группы по  чисел в каждой так, что сумма чисел в каждой группе равна  а значит, и сумма всех чисел равна 

г) Как и в предыдущем пункте, расставим знаки между  числами  таким образом, чтобы их сумма равня-

 поставим знак «». При такой расстановке знаков сумма

равна

Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) да.

Краткое описание документа:

Материалы содержат 4 варианта пробного тестирования ЕГЭ, которое можно провести во втором полугодии в образовательном учреждении. При составлении тестов были использованы материалы базы открытого банка заданий ФИПИ и задания сайта "РешуЕГЭ". Тесты составлены в согласии с образцом демоверсии ФИПИ. В них входят не только задания тестирования, но и инструкция к заполнению бланков ответов.