Вариант 1.

                                             Часть1

 B 1. Каждый день во время конференции расходуется 70 пакетиков чая. Конференция длится 6 дней. Чай продается в пачках по 50 пакетиков.

Сколько пачек нужно купить на все дни конференции? B 2. Одного рулона обоев хватает для оклейки полосы от пола до потолка шириной 1,6 м. Сколько рулонов обоев нужно купить для оклейки прямоугольной комнаты размерами 2,3 м на 4,1 м?

 B 3.Мощность отопителя в автомобиле регулируется дополнительным сопротивлением, которое можно менять, поворачивая рукоятку в салоне машины. При этом меняется сила тока в электрической цепи электродвигателя – чем меньше сопротивление, тем больше сила тока и тем быстрее вращается мотор отопителя. На рисунке показана зависимость силы тока от величины сопротивления. На оси абсцисс откладывается сопротивление (в омах), на оси ординат – сила тока в амперах. Ток в цепи электродвигателя уменьшился с 8 до 6 ампер. На сколько омов при этом увеличилось сопротивление цепи?

 B 4. От дома до дачи можно доехать на автобусе, на электричке или на маршрутном такси. В таблице показано время, которое нужно затратить на каждый участок пути. Какое наименьшее время потребуется на дорогу? Ответ дайте в часах.

 

			1		2		3
	Автобусом		От дома до автобусной  станции — 15 мин		Автобус в пути:  2 ч 15 мин.		От остановки автобуса  до дачи пешком
						5 мин.
Электрич- кой		От дома до станции железной  дороги — 25 мин.		Электричка в пути:  1 ч 45 мин.		От станции до дачи  пешком 20 мин.
Маршрутным такси		От дома до остановки маршрутно- го  такси — 25 мин.		Маршрутное такси в дороге:  1 ч 35 мин.		От остановки маршрутного такси  до дачи пешком 40 минут

 B5. Площадь параллелограмма равна 153. Найдите площадь параллелограмма , вершинами которого являются середины сторон данного параллелограмма.

B 6 . Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая — 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным. B7.

Найдите корень уравнения                   .

B 8. В треугольнике             угол равен 90°, синус внешнего угла при вер-

шине равен         . Найдите       .

B 9. На рисунке изображѐн график функции и восемь точек на оси абсцисс: , , , , . В скольких из этих точек производная функции положительна?

 — середина

ребра                                                                          , а площадь боковой по-

Часть2

 

B 11. Найдите значение выражения .

B 12. При сближении источника и приѐмника звуковых сигналов движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу частота звукового сигнала, регистрируемого приeмником, не совпадает с частотой исходного сигнала Гц и определяется следующим выраже-

нием: (Гц), где – скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а м/с и м/с – скорости приeмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приeмнике будет не менее 160 Гц?

 B 13. Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания. Ответ дайте в градусах.

 B 14. От пристани A к пристани B отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 1 час после этого следом за ним со скоростью на 1 км/ч большей отправился второй. Расстояние между пристанями равно 420 км. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт B оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.

B  15. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

                                             

 

 

C  1. а) Решите уравнение  

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

 

C 2. В правильной шестиугольной призме стороны основания которой равны 4, а боковые ребра равны 3, найдите расстояние от точкиВ до прямой

C 3. Решите систему неравенств     C 4. Точка лежит на отрезке взята

точка удаленная от точек ственно. Найдите площадь треугольника

C 5  Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система

уравнений имеет 

а) ровно четыре решения, 

б) ровно 8 решений.

 C 6. Дана последовательность натуральных чисел, причѐм каждый следующий член отличается от предыдущего либо на 10, либо в 6 раз.

Сумма всех членов последовательности равна 257.

а) Какое наименьшее число членов может быть в этой последовательности?

б) Какое наибольшее количество членов может быть в этой последовательности?

Вариант 2.

Часть1

 

 B1 Шоколадка стоит 35 рублей. В воскресенье в супермаркете действует специальное предложение: заплатив за две шоколадки, покупатель получает три (одну в подарок). Сколько шоколадок можно получить на 200 рублей в воскресенье?

B2  В городе N живет 200 000 жителей. Среди них 15% детей и подростков. Среди взрослых жителей 45% не работает (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т. п.). Сколько взрослых жителей работает?

 B3 На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку разность между наибольшей и наименьшей температурами воздуха 16 октября. Ответ дайте в градусах Цельсия

 

 B4 Строительной фирме нужно приобрести 40 кубометров строительного бруса у одного из трех поставщиков. Какова наименьшая стоимость такой покупки с доставкой (в рублях)? Цены и условия доставки приведены в таблице.

 

Поставщик	Цена бруса (руб. за 1 м3)	Стоимость доставки	Дополнительные условия
A	4200	10200
ББб	4800	8200	При заказе на сумму больше 150000 руб. доставка бесплатно
ВВ	4300	8200	При заказе на сумму больше 200000 руб. доставка бесплатно

 B5 Найдите высоту трапеции , опущенную из вершины , если стороны квадратных клеток равны .  B6 Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 10, но не дойдя до отметки

1 час.   B7

Найдите корень уравнения: Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

 B8 В треугольнике угол равен 90°, синус внешнего угла при вершине равен 0,1. Найдите .

 

B 9 На рисунке изображѐн график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀. 

B10.                                                         Найдите квадрат расстояния между

многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Часть2

 

 B11 Найдите значение выражения .

 B12 При движении ракеты еe видимая для неподвижного наблюдателя

длина, измеряемая в метрах, сокращается по закону , где  м — длина покоящейся ракеты,  км/с — скорость света,

а  — скорость ракеты (в км/с). Какова должна быть минимальная скорость ракеты, чтобы еe наблюдаемая длина стала не более 68 м? Ответ выразите в км/с.

 B13 .Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 3. Объем параллелепипеда равен 36. Найдите его диагональ. 

 B14 В сосуд, содержащий 5 литров 12–процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

 B15.Найдите наибольшее значение функции на отрезке

.

 

 

 

C 1 а) Решите уравнение  

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

 

 C 2 Две параллельные плоскости, расстояние между которыми 2, пересекают шар. Одна из плоскостей проходит через центр шара. Отношение площадей сечений шара этими плоскостями равно 0,84. Найдите радиус шара.

 

 C3Решите систему неравенств

 

 

 C 4 Боковые стороны KL и MN трапеции KLMN равны 16 и 34 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 15, средняя линия трапеции равна 30. Прямые KL и MN пересекаются в точке А. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ALM.

 

при каждом из которых система

уравнений                                           имеет ровно четыре решения.

 

 C 6 . Бесконечная десятичная дробь устроена следующим образом. Перед десятичной запятой стоит нуль. После запятой подряд выписаны члены возрастающей последовательности натуральных чиселВ результате получилось рациональное число, которое выражается несократимой дробью, знаменатель которой меньше Найдите наименьшее возможное значение .

Вариант 3.

Часть1

B 1 Выпускники 11а покупают букеты цветов для последнего звонка: из 3 роз каждому учителю и из 7 роз классному руководителю и директору. Они собираются подарить букеты 15 учителям (включая директора и классного руководителя), розы покупаются по оптовой цене 35 рублей за штуку. Сколько рублей стоят все розы? 

 B 2 Футболка стоила 800 рублей. После снижения цены она стала стоить 680 рублей. На сколько процентов была снижена цена на футболку?

 

 B 3 На диаграмме показано количество посетителей сайта РИА Новости во все дни с 10 по 29 ноября 2009 года. По горизонтали указываются дни месяца, по вертикали — количество посетителей сайта за данный день. Определите по диаграмме, сколько раз количество посетителей сайта РИА Новости принимало наибольшее значение.

 

 

 B 4 Строительной фирме нужно приобрести 75 кубометров пенобетона у одного из трех поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Сколько рублей придется заплатить за самую дешевую покупку с доставкой

 

Поставщик	Стоимость пенобетона (руб. за з1 м3)	Стоимость доставки	Дополнительные условия
A	2650	4500 руб.
Б	2700	5500 руб.	При заказе на сумму больше 150 000 руб. доставка бесплатно
В	2680	3500 руб.	При заказе более 80 м3 доставка бесплатно

 B 5.Найдите площадь ромба, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

 

B 6  На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет чѐтной?

 B 7  Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней

.

ции

чение?

 

B 10 В прямоугольном параллелепипеде                              известно, что

                   Найдите длину диагонали                                 

Часть2

Ответом  на  задания  В 11– В 15 должно  быть  целое  число  или конечная десятичная  дробь . Ответ  следует  записать  в  бланк  ответов  №  1 справа от  номера  выполняемого  задания , начиная  с  первой  клеточки . Каждую  цифру , знак  минус  и  запятую  пишите  в  отдельной  клеточке в  соответствии  с  приведѐнными  в  бланке  образцами . Единицы  измерений писать  не  нужно .

 

 B 11 Найдите значение выражения .

 B 12 Для сматывания кабеля на заводе используют лебeдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который пово-

рачивается катушка, изменяется со временем по закону , где t — время в минутах, мин — начальная угловая скорость вращения катушки, а мин² — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки достигнет . Определите время после начала работы лебeдки, не позже которого рабочий должен проверить еe работу. Ответ выразите в минутах.

 B 13                              .Найдите объем части конуса, изображенной на

.

B  14 Дорога между пунктами А и В состоит из подъѐма и спуска, а еѐ длина равна 8 км. Турист прошѐл путь изА в В за 5 часов. Время его движения на спуске составило 1 час. С какой скоростью турист шѐл на спуске, если скорость его движения на подъѐме меньше скорости движения на спуске на 3 км/ч

B15Найдите точку минимума функции ,  принадлежащую промежутку .

Ответом  на  задания  В 11– В 15 должно  быть  целое  число  или конечная десятичная  дробь . Ответ  следует  записать  в  бланк  ответов  №  1 справа от  номера  выполняемого  задания , начиная  с  первой  клеточки . Каждую  цифру , знак  минус  и  запятую  пишите  в  отдельной  клеточке в  соответствии  с  приведѐнными  в  бланке  образцами . Единицы  измерений писать  не  нужно .

 

C  1. а) Решите уравнение  

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку  

C 2 В правильной четырѐхугольной призме стороны основания равны 2, а боковые рѐбра равны 3. На ребре отмечена точка так, что . Найдите угол между плоскостями и

.

C 3. Решите систему неравенств  

 

C 4 Окружности радиусов 2 и 9 с центрами          и          соответственно касаются в точке    Прямая, проходящая через точку       вторично пересекает меньшую окружность в точке         а большую — в точке   Найдите площадь треугольника      если     

 

 C 5. Известно, что значение параметра а таково, что система уравнений 

 

имеет единственное решение. Найдите это значение параметра a и решите систему при найденном значении параметра.

 

C 6 Сумма двух натуральных чисел равна 43, а их наименьшее общее кратное в 120 раз больше их наибольшего общего делителя. Найдите эти числа.

 

             

Вариант 4.

Часть1

 

 B1 Павел Иванович купил американский автомобиль, спидометр которого показывает скорость в милях в час. Американская миля равна 1609 м. Какова скорость автомобиля в километрах в час, если спидометр показывает 65 миль в час? Ответ округлите до целого числа

 

 B2 Магазин закупает цветочные горшки по оптовой цене 120 рублей за штуку и продает с наценкой 20%. Какое наибольшее число таких горшков можно купить в этом магазине на 1000 рублей? 

 

B3  На диаграмме показано количество посетителей сайта РИА Новости во все дни с 10 по 29 ноября 2009 года. По горизонтали указываются дни месяца, по вертикали — количество посетителей сайта за данный день. Определите по диаграмме, во сколько раз наибольшее количество посетителей больше, чем наименьшее количество посетителей за день.

 

 

 B4

Семья из трех человек едет из Москвы в Чебоксары. Можно ехать поездом, а можно — на своей машине. Билет на поезд на одного человека стоит 930 рублей. Автомобиль расходует 11 литров бензина на 100 километров пути, расстояние по шоссе равно 700 км, а цена бензина равна 18,5 рублей за литр. Сколько рублей придется заплатить за наиболее дешевую поездку на троих?

 

 B 5 Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника со сторонами 4 и 9. 

 

B6В кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по два рубля. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что обе двухрублѐвые монеты лежат в одном кармане.

 B7Найдите корень уравнения

 B8Основания равнобедренной трапеции равны 7

и 51. Тангенс острого угла равен соту трапеции.

 B9 На рисунке изображѐн график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀. 

Найдите объем многогранника, вершинами котоправильной шестиугольной призмы , площадь основания которой равна 6, а боковое

ребро равно 3.

Часть2

 

B11 Найдите значиние выражения .

 

B12 Скорость автомобиля, разгоняющегося с места старта по прямолинейному отрезку пути длиной км с постоянным ускорением км/ч ², вычисляется по формуле . Определите наименьшее ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав один километр, приобрести скорость не менее 100 км/ч. Ответ выразите в км/ч².  B13 Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 4, а угол между боковой гранью и основанием равен 45. Найдите объем пирамиды. 

 

B14 Теплоход, скорость которого в непо-

движной воде равна 25 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в исходный пункт теплоход возвращается через 30 часов после отплытия из него. Сколько километров прошел теплоход за весь рейс?

 

B15 Найдите точку максимума функции .

 

 

 

 

 

C1 Решите уравнение .

 

C2 Точка            — середина ребра Найдите угол

между прямыми      и          

C3  Решите систему неравенств  

 

C4 Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от него четырѐхугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок этой прямой, заключѐнный внутри треугольника, равен 40, а отношение катетов треугольника равно  

 

C5Найти     все     значения       при     каждом     из     которых     функция

имеет более двух точек экстремума.

 

 C6 Длины сторон прямоугольника ― натуральные числа, а его периметр равен 4000. Известно, что длина одной стороны прямоугольника равна n% от длины другой стороны, где n ― также натуральное число.

а) Какое наибольшее значение может принимать площадь прямоугольника?

б) Какое наименьшее значение может принимать площадь прямоугольника?

в) Найдите все возможные значения, которые может принимать площадь прямоугольника, если дополнительно известно, что n<100.

 

 

 

 

             

Вариант 5.

Часть1

 

 B 1 Летом килограмм клубники стоит 80 рублей. Мама купила 1 кг 200 г клубники. Сколько рублей сдачи она получит с 500 рублей? B 2. На автозаправке клиент отдал кассиру 1000 рублей и залил в бак 28 литров бензина по цене 28 руб. 50 коп.за литр. Сколько рублей сдачи он должен получить у кассира? 

B 3. (Горьком) за каждый месяц 1994 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наименьшую среднемесячную температуру в 1994 году. Ответ дайте в градусах Цельсия.

 

 

 

 B 4. Семья из трех человек едет из Санкт-Петербурга в Вологду. Можно ехать поездом, а можно — на своей машине. Билет на поезд на одного человека стоит 660 рублей. Автомобиль расходует 8 литров бензина на 100 километров пути, расстояние по шоссе равно 700 км, а цена бензина равна 19,5 рублей за литр. Сколько рублей придется заплатить за наиболее дешевую поездку на троих?

 B 5.Около окружности описан многоугольник, площадь которого равна 5. Его периметр равен 10. Найдите радиус этой окружности.

 B 6 . Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.   B7.

Найдите корень уравнения:  

B 8.

. Найдите тангенс внеш-

 B 9.                                   На рисунке изображѐн график

функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

B 10.Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, высота призмы равна 10. Найдите площадь ее поверхности. 

Часть2

 

 B 11. Найдите значение выражения .

B 12.Eмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре

 Ф. Параллельно с конденсатором подключeн резистор с сопротивлением  Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе  кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения  (кВ) за время, определяемое выражением

(с), где  — постоянная. Определите (в киловольтах), наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло не менее 83,2 с?

B 13.Найдите объем части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите . 

 B 14. Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 24 км/ч, а вторую половину пути – со скоростью, на 16 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в пункт B одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

B  15. Найдите наименьшее значение функции на отрезке

.

 

 

 

 

 

C  1. а) Решите уравнение  

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

 

C 2.Дана правильная четырехугольная пирамида Боковое ребро сторона основания равна 2. Найдите расстояние от точки до плоскости        где       — середина ребра  

 C 3. Решите систему неравенств

 

 

C 4. Окружность радиуса

ность также вписана в этот угол и пересекается с первой в точках     и

Известно, что расстояние между центрами окружностей равно       

Найдите  

C 5. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

имеет ровно два решения. C 6. Дано трѐхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.

а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 82?

б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 83?

в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

 

 

 

             

Вариант 6.

Часть1

 B 1.В летнем лагере на каждого участника полагается 40 г сахара в день. В лагере 166 человек. Сколько килограммовых упаковок сахара понадобится на весь лагерь на 5 дней?

 

B2 Для покраски 1 м² потолка требуется 240 г краски. Краска продается в банках по 2,5 кг. Сколько банок краски нужно купить для покраски потолка площадью 50 м²?

 B 3  На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Томске с 8 по 24 января 2005 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какое наибольшее количество осадков выпадало в период с 13 по 20 января. Ответ дайте в миллиметрах.

 

 

 

B 4

Для строительства гаража можно использовать один из двух типов фундамента: бетонный или фундамент из пеноблоков. Для фундамента из пеноблоков необходимо 4 кубометра пеноблоков и 2 мешка цемента. Для бетонного фундамента необходимо 4 тонны щебня и 40 мешков цемента. Кубометр пеноблоков стоит 2550 рублей, щебень стоит 580 рублей за тонну, а мешок цемента стоит 210 рублей. Сколько рублей будет стоить материал, если выбрать наиболее дешевый вариант?

 B 5.На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

B 6. На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет чѐтной?  B 7.

Решите уравнение . В ответе напишите наименьший положительный корень.

 B 8.В треугольнике                                   равен 90°,  — высота, ,

. Найдите

 

B 9. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 3). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

 

 

B 10 .Объем тетраэдра равен 1,9. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.

 

 

 

 

 

Часть2

B 11. Найдите , если .

B 12. Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте  м над землeй, выраженное в километрах, до видимой им линии горизонта вы-

числяется по формуле  км — радиус Земли. Че-

ловек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 12 км. К пляжу ведeт лестница, каждая ступенька которой имеет высоту 20 см. На какое наименьшее количество ступенек нужно подняться человеку, чтобы он увидел горизонт на расстоянии не менее 44 километров

B 13.Найдите объем части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

 B 14 . Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 200 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 40 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

B  15. Найдите точку минимума функции  

 

 

 

 

 

 

C  1. а) Решите уравнение  

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

пирамиде с основанием из-

Найдите угол, образованный плоско-

стью основания и прямой, проходящей через середины ребер  

 C 3. Решите систему неравенств

 

 

C 4. Две окружности, радиусы которых равны 9 и 4, касаются внешним образом. Найдите радиус третьей окружности, которая касается двух данных окружностей и их общей внешней касательной.

 C 5. Найдите все значения , при которых уравнение на промежутке имеет ровно два корня.

 C 6. За новогодним столом дети ели бутерброды и конфеты, причем каждый что-то ел, и может быть так, что кто-то ел и то и другое. Из-

вестно, что мальчиков, евших бутерброды, было не более чем от общего числа детей, евших бутерброды, а мальчиков, евших конфеты,

было не более от общего числа детей, евших конфеты.

а) Могло ли за столом быть 13 мальчиков, если дополнительно известно, что всего за столом было 25 детей?

б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть за столом, если дополнительно известно, что всего за столом было 25 детей?

в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа детей без дополнительного условия пунктов а и б?

 

             

Вариант 7.

Часть1

Ответом  на  задания  В 1– В 10 должно  быть  целое  число  или  конечная десятичная  дробь . Ответ  следует  записать  в  бланк  ответов  №  1 справа  от  номера  выполняемого задания,на чиная  с  первой  клеточки . Каждую цифру , знак  минус  и  запятую  пишите  в  отдельной  клеточке в  соответствии  с  приведѐнными  в  бланке  образцами . Единицы  измерений писать  не  нужно.

 

B 1. Каждый день во время конференции расходуется 70 пакетиков чая. Конференция длится 6 дней. Чай продается в пачках по 50 пакетиков.

Сколько пачек нужно купить на все дни конференции? B 2. Студент получил свой первый гонорар в размере 700 рублей за выполненный перевод. Он решил на все полученные деньги купить букет тюльпанов для своей учительницы английского языка. Какое наибольшее количество тюльпанов сможет купить студент, если удержанный у него налог на доходы составляет 13% гонорара, тюльпаны стоят 60 рублей за штуку и букет должен состоять из нечетного числа цветов?  B 3. На графике изображена зависимость крутящего момента автомобильного двигателя от числа его оборотов в минуту. На оси абсцисс откладывается число оборотов в минуту. На оси ординат — крутящий момент в Н  м. Чтобы автомобиль начал движение, крутящий момент должен быть не менее 60 Н  м. Какое наименьшее число оборотов двигателя в минуту достаточно, чтобы автомобиль начал движение?

  

 

B4. Рейтинговое агентство определяет рейтинг соотношения «цена-качество» электрических фенов для волос. Рейтинг вычисляется на основе средней цены и оценок функциональности , качества и дизайна . Каждый отдельный показатель оценивается экспертами по пятибалльной шкале целыми числами от 0 до 4. Итоговый рейтинг вычисляется по формуле

 

 

В таблице даны оценки каждого показателя для нескольких моделей фенов. Определите, какая модель имеет наименьший рейтинг. В ответ запишите значение этого рейтинга

Модель фена	Средняя цена	Функциональность	Качество	Дизайн
А	1200	1	3	1
Б	3200	2	3	4
В	5500	3	0	0
Г	5700	3	2	3

 B 5.Периметры двух подобных многоугольников относятся как 3:5. Площадь меньшего многоугольника равна 18. Найдите площадь большего многоугольника.

B 6. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три?

 B7. Найдите корень уравнения .

B8.                           В треугольнике .

.

B 9. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−6; 9].

B10. Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его объем увеличится на 19. Найдите ребро куба. 

Часть2

B11. Найдите значение выражения .

B12. Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур определяется выра-

жением                                    , где – время в минутах,

К/мин , К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1760 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор. Ответ выразите в минутах.

правильной    шестиугольной          призме все ребра равны 1. Найдите угол . Ответ

дайте в градусах.

B14. Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 60 кругов по кольцевой трассе протяжѐнностью 3 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришѐл раньше второго на 10 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 15 минут?

B15. Найдите наименьшее значение функции на отрезке

 

 

 

 

 

C1 Решите систему уравнений  

 C 2  Радиус основания конуса равен 5, а его высота равна 12. Плоскость сечения содержит вершину конуса и хорду основания, длина которой равна 6. Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения.

C3. Решите систему

 

C4. Угол C треугольника ABC равен 60°, D — отличная от A точка пересечения окружностей, построенных на сторонах AB и AC как на диаметрах. Известно, что ВD :DC = 1 : 4. Найдите синус угла A. C 5. При каких значениях параметра а система

имеет четыре решения?

 C6. Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более от общего числа учащихся

группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более от общего числа учащихся группы, посетивших кино.

а) Могло ли быть в группе 9 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?

б) Какое наибольшее количество мальчиков МОГЛО быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?

в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов аи б?

             

Вариант 8.

Часть1

 

B 1. В розницу один номер еженедельного журнала стоит 24 рубля, а полугодовая подписка на этот журнал стоит 460 рублей. За полгода выходит 25 номеров журнала. Сколько рублей можно сэкономить за полгода, если не покупать каждый номер журнала отдельно, а получать журнал по подписке.

 B 2 . На бензоколонке один литр бензина стоит 32 руб. 60 коп. Водитель залил в бак 30 литров бензина и купил бутылку воды за 48 рублей.

Сколько рублей сдачи он получит с 1500 рублей?

 B 3. На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Казани с 3 по 15 февраля 1909 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа впервые выпало миллиметров осадков.

 

  

 B 4. В таблице указаны средние цены (в рублях) на некоторые основные продукты питания в трех городах России (по данным на начало

2010 года).

 

 

 

 

 

 

Наименование продукта	Тверь	Липецк	Барнаул
Пшеничный хлеб (батон)	11	12	14
Молоко (1 литр)	26	23	25
Картофель (1 кг)	9	13	16
Сыр (1 кг)	240	215	260
Мясо (говядина) (1 кг)	260	280	300
Подсолнечное масло (1 литр)	38	44	50

Определите, в каком из этих городов окажется самым дешевым следующий набор продуктов: 2 батона пшеничного хлеба, 3 кг картофеля, 1,5 кг говядины, 1 л подсолнечного масла. В ответ запишите стоимость данного набора продуктов в этом городе (в рублях).

 B 5 . Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты

(2; 2), (8; 4), (8; 8), (2; 10).

 B 6. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнѐт игру с мячом. Команда «Статор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю игры.

 B7. Найдите корни уравнения: больший отрицательный корень. B 8 .Найдите градусную величину дуги ности, на которую опирается угол дайте в градусах. B 9.Прямая фику функции

 

 B 10. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 14, а диаметр основания равен 2. Найдите высоту цилиндра.

 

 

 

 

Часть2

 

B11. Найдите значение выражения .

 

B12. В ходе распада радиоактивного изотопа, его масса уменьшается по

закону – начальная масса изотопа, (мин) – про-

шедшее от начального момента время, – период полураспада в минутах. В лаборатории получили вещество, содержащее в начальный момент времени мг изотопа , период полураспада которого мин. В течение скольких минут масса изотопа будет не меньше 5

мг?  B13.

Найдите объем правильной шестиугольной призмы, все ребра которой равны .

 

 B14. Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

B15. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

 

 

 

 

 

 C 1. а) Решите уравнение  

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

 

 C2. В правильной треугольной пирамиде с основанием              сто-

рона основания равна 8, а угол так, что — биссектриса угла ды, проходящего через точки

C 3. Решите систему неравенств                                                                 

C4. Окружности радиусов 3 и 5 с центрами O₁ и O₂ соответственно касаются в точке A. Прямая, проходящая через точку A, вторично пересекает меньшую окружность в точке B, а большую — в точке C. Найдите площадь треугольника BCO₂ , если ABO₁ = 15°.  C5. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

 

  

имеет единственный корень.

C 6. Дано трѐхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.

а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 90?

б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 88?

в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

 

 

 

             

Вариант 9.

Часть1

 

B1.  Шоколадка стоит 40 рублей. В воскресенье в супермаркете действует специальное предложение: заплатив за две шоколадки, покупатель получает три (одну в подарок). Сколько шоколадок можно получить на 320 рублей в воскресенье?

 B 2. Флакон шампуня стоит 160 рублей. Какое наибольшее число флаконов можно купить на 1000 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 25% ?

 B 3. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Санкт-Петербурге за каждый месяц 1999 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, сколько было месяцев, когда среднемесячная температура не превышала 4 градусов Цельсия.

 

 

 B 4.

В среднем гражданин А. в дневное время расходует 125 кВт  ч электроэнергии в месяц, а в ночное время — 155 кВт  ч электроэнергии. Раньше у А. в квартире был установлен однотарифный счетчик, и всю электроэнергию он оплачивал по тарифу 2,6 руб. за кВт  ч. Год назад А. установил двухтарифныйсчeтчик, при этом дневной расход электроэнергии оплачивается по тарифу 2,6 руб. за кВт  ч, а ночной расход оплачивается по тарифу 0,7 руб. за кВт  ч. В течение 12 месяцев режим потребления и тарифы оплаты электроэнергии не менялись. На сколько больше заплатил бы А. за этот период, если бы не поменялся счетчик?

Ответ дайте в рублях.

B5.В треугольнике           угол     равен

угол равен . На продолжении стороны отложен отрезок . Найдите угол треугольника . Ответ дайте в градусах. 

B 6. Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года. B 7.

Найдите корень уравнения .

B 8.Найдите сторону квадрата, вписанного в окружность радиуса .

 B 9 . На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 3). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

 

 

 

 

 

Часть2

 

 B 11. Найдите значение выражения , если .

 B 12 . Очень лeгкий заряженный металлический шарик зарядом

Кл скатывается по гладкой наклонной плоскости. В момент, когда его скорость составляет м/с, на него начинает действовать постоянное магнитное поле, вектор индукции которого лежит в той же плоскости и составляет угол с направлением движения шарика. Значение индукции поля Тл. При этом на шарик действует сила Лоренца, равная (Н) и направленная вверх перпендикулярно плоскости. При каком наименьшем значении угла шарик оторвeтся от поверхности, если для этого нужно, чтобы сила была не менее чем Н? Ответ дайте в градусах.  B13.Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6 и высота равна 4. 

B14. Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.

B  15. Найдите точку максимума функции  

 

 

 

 

 

C  1. а) Решите уравнение  

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

 

C 2. В правильной четырехугольной пирамиде с основанием проведено сечение через середины ребер и вершину найдите площадь этого сечения, если все ребра пирамиды равны .  C 3. Решите систему неравенств:

 

 C 4. Окружности радиусов 2 и 3 с центрами O₁ и O₂ соответственно касаются в точке A. Прямая, проходящая через точку A, вторично пересекает меньшую окружность в точке B, а большую — в точке C. Найдите площадь треугольника BCO₂ , если ABO₁ = 30°. C 5. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

 

 

 

имеет единственный корень.

C 6 . Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.

а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 4, 6, 8.

б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19, 20, 22?

в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 9, 10, 11, 19, 20, 21, 22, 30, 31, 32, 33, 41, 42, 43, 52.

Вариант 10.

Часть1

B 1  Поезд Новосибирск-Красноярск отправляется в 15:20, а прибывает в 4:20 на следующий день (время московское). Сколько часов поезд находится в пути?

 

 B 2  Среди 40 000 жителей города 60% не интересуется футболом. Среди футбольных болельщиков 80% смотрело по телевизору финал Лиги чемпионов. Сколько жителей города смотрело этот матч по телевизору?

 

B 3  На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Казани с 3 по 15 февраля 1909 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней из данного периода не выпадало осадков.

 

 

B 4  При строительстве сельского дома можно использовать один из двух типов фундамента: каменный или бетонный. Для каменного фундамента необходимо 9 тонн природного камня и 9 мешков цемента. Для бетонного фундамента необходимо 7 тонн щебня и 50 мешков цемента. Тонна камня стоит 1 600 рублей, щебень стоит 780 рублей за тонну, а мешок цемента стоит 230 рублей. Сколько рублей будет стоить материал для фундамента, если выбрать наиболее дешевый вариант? 

  B 5 Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах. 

 

 

B 6  Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов — первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьѐвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

 B 7  Найдите корни уравнения: В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

B 8  Основания трапеции относятся как , а средняя линия равна 5. Найдите меньшее основание. 

 

B 9  На рисунке изображѐн график функции y = F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x), определѐнной на интервале (−3;5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [−2;4].

  

 

B 10 Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 5, а высота –

10. 

 

 

 

 

 

Часть2

 

B 11  Найдите .

 

B 12  Расстояние от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте       километров

над землeй, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле , где (км) — радиус Земли. С какой высоты горизонт виден на расстоянии 28 километров? Ответ выразите в километрах.

 

 B 13  Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2, а объем равен . 

 

 

 

B 14 Клиент А. сделал вклад в банке в размере 7700 рублей.

Проценты по вкладу начисляются раз в год и прибавляются к текущей сумме вклада. Ровно через год на тех же условиях такой же вклад в том же банке сделал клиент Б. Еще ровно через год клиенты А. и Б. закрыли вклады и забрали все накопившиеся деньги. При этом клиент А. получил на 847 рублей больше клиента Б. Какой процент годовых начислял банк по этим вкладам?

B  15 Найдите точку максимума функции .

 

 

 

 

 

 

C 1  Дано уравнение .

 

а) Решите данное уравнение.

б) Укажите корни данного уравнения, принадлежащие промежутку .

 C 2 Дан куб Длина ребра куба равна Найдите расстояние от середины отрезка до плоскости 

 

 

 

C 3 Решите систему  

 

 

C 4В окружности проведены хорды PQ и CD, причѐм PQ = PD = CD = 8, CQ = 6. Найдите CP.

 

 C 5  Известно, что значение параметра а таково, что система уравнений 

 

имеет единственное решение. Найдите это значение параметра a и решите систему при найденном значении параметра.

 

 

C 6 Найдите все простые числа p, для каждого из которых существует такое целое

число k, что число p является общим делителем чисел .

                 

1.

 

B 1 Поезд Новосибирск-Красноярск отправляется в 15:20, а прибывает в 4:20 на следующий день (время московское). Сколько часов поезд находится в пути? B 2 В обменном пункте 1 гривна стоит 3 рубля 70 копеек. Отдыхающие обменяли рубли на гривны и купили 3 кг помидоров по цене 4 гривны за 1 кг. Во сколько рублей обошлась им эта покупка? Ответ округлите до целого числа.

B 3 На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку разность между наибольшей и наименьшей температурами воздуха 16 октября. Ответ дайте в градусах Цельсия.

  

B 4 В таблице даны тарифы на услуги трех фирм такси. Предполагается поездка длительностью 70 минут. Нужно выбрать фирму, в которой заказ будет стоить дешевле всего. Сколько рублей будет стоить этот заказ?

 

 

Фирма такси	Подача машины	Продолжительность и стоимость  минимальной поездки *	Стоимость 1 минуты  сверх продолжительности  минимальной поезд- ки
А	350	Нет	13
Б	Бесплатно	20 мин. — 300 руб.	19
В	180	10 мин — 150 руб.	15

*Если поездка продолжается меньше указанного времени, она оплачивается по стоимости минимальной поездки.

B 5 Точки O(0; 0), A(10; 8), B(8; 2) и C являются вершинами параллелограмма. Найдите абсциссу точки C.

 

B 6  В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что выпадет хотя бы две решки.  B 7 Найдите корень уравнения

.

B 8  Углы треугольника относятся как в градусах.

B 9  На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = −2x−11 или совпадает с ней.

 

 

B 10 Найдите квадрат расстояния между вершинами C и A1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA₁=3.

 

 

 

 

Часть2

 

 

 B 11  Найдите значение выражения .

 B 12  Небольшой мячик бросают под острым углом к плоской горизонтальной поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик, вычисляется по формуле

(м), где                    м/с – начальная скорость мячика, а – ускорение сво-

бодного падения (считайте м/с ). При каком наименьшем значении угла (в градусах) мячик перелетит реку шириной 20 м?

 

13.                B 13 № 27111. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 3. Найдите объем пирамиды.

 

 

14.                B 14 № 99595. Два пешехода отправляются одновременно в одном направлении из одного и того же места на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 1,5 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 300 метрам?

 

 

B  15 Найдите точку максимума функции .

 

 

 

 

 

 

C 1  а) Решите уравнение  

C 2 Дана правильная четырехугольная пирамида сторона основания равна — середина ребра

 

C 3  Решите неравенство  

 

 

C 4 Угол C треугольника ABC равен 30°, D — отличная от A точка пересечения окружностей, построенных на сторонах AB и AC как на диаметрах. Известно, что BD:DC = 1:6. Найдите синус угла A.

 

 

 C 5  Найдите все значения параметра a, при которых уравнение

имеет единственное решение.

 

 

C 6 Натуральные числа от 1 до 12 разбивают на четыре группы, в каждой из которых есть по крайней мере два числа. Для каждой группы находят сумму чисел этой группы. Для каждой пары групп находят модуль разности найденных сумм и полученные 6 чисел складывают.

а) Может ли в результате получиться 0?

б) Может ли в результате получиться 1?

в) Каково наименьшее возможное значение полученного результата?

                 

2.

 

 B 1  В университетскую библиотеку привезли новые учебники по геометрии для 2—3 курсов, по 280 штук для каждого курса. Все книги одинаковы по размеру. В книжном шкафу 7 полок, на каждой полке помещается 30 учебников. Сколько шкафов можно полностью заполнить новыми учебниками?

 

B 2 Среди 40 000 жителей города 60% не интересуется футболом.

Среди футбольных болельщиков 80% смотрело по телевизору финал Лиги чемпионов. Сколько жителей города смотрело этот матч по телевизору?

 

 B 3  На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Санкт-Петербурге за каждый месяц 1999 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наименьшую среднемесячную температуру во второй половине 1999 года. Ответ дайте в градусах Цельсия.

 

B 4 Клиент хочет арендовать автомобиль на сутки для поездки протяженностью 500 км. В таблице приведены характеристики трех автомобилей и стоимость их аренды. Помимо аренды клиент обязан оплатить топливо для автомобиля на всю поездку. Какую сумму в рублях заплатит клиент за аренду и топливо, если выберет самый дешевый вариант?

 

 

Автомобиль	Топливо	Расход топлива (л на 100 км)	Арендная плата (руб. за 1 сутки)
А	Дизельное	7	3700
Б	Бензин	10	3200
В	Газ	14	3200

Цена дизельного топлива — 19 рублей за литр, бензина — 22 рублей за литр, газа — 14 рублей за литр.

B 5  Найдите сумму координат вектора . 

 

B 6  На экзамен вынесено 60 вопросов, Андрей не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный вопрос.

 

B 7  Найдите корень уравнения:

имеет более одного корня, укажите меньший из них. 

 

B 8  В треугольнике

. Найдите синус внешнего угла при вершине .

 

B 9 Материальная точка движется прямолинейно по закону

(где x — расстояние от точки отсчета в метрах,

t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?

 

 

10 Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки прямоугольного параллелепипеда

, у которого

.

 

                                               Часть2

 

B 11 Найдите , если .

 B 12 После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле , где – расстояние в метрах,

– время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 0,6 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,2 с? Ответ выразите в метрах.

B 13 В правильной шестиугольной призме

все ребра равны 1. . Ответ дайте в градусах.

 

B 14 Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 10 километров. Определите, сколько километров прошел турист за третий день, если весь путь он прошел за 6 дней, а расстояние между городами составляет 120 километров.

B  15 Найдите точку минимума функции .

 

 

 

C  1 а) Решите уравнение  

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

 

C 2 В правильной четырехугольной призме высота равна 1, а сторона основания равна . Точка  — середина ребра

. Найдите расстояние от точки     до плоскости            .

C 3 Решите систему неравенств 

 

C 4  Дана окружность радиуса 4 с центром в точке О, расположенной на биссектрисе угла, равного . Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающейся данной окружности внешним образом, если известно, что расстояние от точки О до вершины угла равно 10. C 5  Найдите все значения a, при которых уравнение

имеет на промежутке

единственный корень.

C 6  Каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5 , 7, −8, 9 по одному записывают на 8 карточках. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5 , 7, −8, 9. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают.

а) Может ли в результате получиться 0?

б) Может ли в результате получиться 1?

в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?

             

3.

 B 1  Для приготовления маринада для огурцов на 1 литр воды требуется 12 г лимонной кислоты. Лимонная кислота продается в пакетиках по 10 г. Какое наименьшее число пачек нужно купить хозяйке для приготовления 6 литров маринада?

B 2 Цена на электрический чайник была повышена на 16% и составила 3480 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены? B 3  На рисунке изображен график осадков в г. Калининграде с 4 по 10 февраля 1974 г. На оси абсцисс откладываются дни, на оси ординат — осадки в мм. Определите по рисунку, сколько дней из данного периода выпадало от 2 до 8 мм осадков.

 

 B 4 При строительстве сельского дома можно использовать один из двух типов фундамента: каменный или бетонный. Для каменного фундамента необходимо 9 тонн природного камня и 9 мешков цемента. Для бетонного фундамента необходимо 7 тонн щебня и 50 мешков цемента. Тонна камня стоит 1 600 рублей, щебень стоит 780 рублей за тонну, а мешок цемента стоит 230 рублей. Сколько рублей будет стоить материал для фундамента, если выбрать наиболее дешевый вариант?  B 5 № Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

B 6  На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 8 прыгунов из России и 9 прыгунов из Парагвая. Порядок выступлений определяется жеребьѐвкой. Найдите вероятность того, что шестым будет выступать прыгун из Парагвая. B 7  Найдите корень уравнения .

B 8 В треугольнике         угол    равен 90°,       – высота,

                ,                 . Найдите       .

 B 9 Материальная точка движется прямолинейно по зако-

ну (где x —расстояние от точки

отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 3 с.

B 10  Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки    ,           , , правильной треугольной призмы             , площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 3.

 

 

 

                                               Часть2

 

B 11 Найдите значение выражения .

B 12 Некоторая компания продает свою продукцию по цене руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют руб., постоянные расходы предприятия руб. месяц. Месячная операцион-

ная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле .

Определите наименьший месячный объeм производства (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет не меньше 300000 руб.       13 В правильной шестиугольной призме все

ребра равны 1. Найдите расстояние между точками и B 14 Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

B  15 Найдите наибольшее значение функции на отрезке

.

 

                                               

 

 

 

C  1  а) Решите уравнение . 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

 

C 2  В правильной треугольной пирамиде с основанием известны ребра Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер   C 3  Решите систему неравенств

  

C 4  В треугольник ABC известны стороны: AB = 6, BC = 8, AC = 9.

Окружность, проходящая через точки A и C, пересекает прямые BA и BC соответственно в точках K и L, отличных от вершин треугольника. Отрезок KL касается окружности, вписанной в треугольник ABC. Найдите длину отрезка KL.

C 5 Найдите все положительные значения а, при каждом из которых система

 имеет единственное решение.

C 6  Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более от общего числа учащихся

группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более от общего числа учащихся группы, посетивших кино.

а) Могло ли быть в группе 10 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?

б) Какое наибольшее количество мальчиков МОГЛО быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?

в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б?

             

4.

B 1  В доме, в котором живет Петя, один подъезд. На каждом этаже находится по 6 квартир. Петя живет в квартире № 50. На каком этаже живет Петя?

B 2 Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. Заработная плата Ивана Кузьмича равна 12 500 рублей. Сколько рублей он получит после вычета налога на доходы?

B 3 На диаграмме показано количество посетителей сайта РИА Новости во все дни с 10 по 29 ноября 2009 года. По горизонтали указываются дни месяца, по вертикали — количество посетителей сайта за данный день. Определите по диаграмме, какого числа количество посетителей сайта РИА Новости впервые приняло наибольшее значение.

 

 

B 4 Для строительства гаража можно использовать один из двух типов фундамента: бетонный или фундамент из пеноблоков. Для фундамента из пеноблоков необходимо 4 кубометра пеноблоков и 2 мешка цемента. Для бетонного фундамента необходимо 4 тонны щебня и 40 мешков цемента. Кубометр пеноблоков стоит 2550 рублей, щебень стоит 580 рублей за тонну, а мешок цемента стоит 210 рублей. Сколько рублей будет стоить материал, если выбрать наиболее дешевый вариант? B 5  Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 6 и 10.

B 6 Вася, Петя, Коля и Лѐша бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Петя. 

B 7 Найдите корень уравнения: Если

уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них. 

B 8 В треугольнике угол равен 90°, , . Найдите высоту .

 

B 9 На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 11). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [−10; 10].

 

 

            10 Диаметр основания конуса равен 6, а длина образующей — 5. Найдите высоту конуса.

                                               Часть2

B 11 Найдите значение выражения .

 

 B 12  После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле      , где – расстояние в метрах, – время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 0,6 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,2 с? Ответ выразите в метрах.

 

B 13  Объем шара равен 288 . Найдите площадь его поверхности, деленную на .

 

 

B 14  Первый велосипедист выехал из поселка по шоссе со скоростью 15 км/ч. Через час после него со скоростью 10 км/ч из того же поселка в том же направлении выехал второй велосипедист, а еще через час после этого – третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 2 часа 20 минут после этого догнал первого. Ответ дайте в км/ч.

 

B  15 Найдите точку минимума функции .

                                               

                                               

 

C  1  а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

.

C 2  Точка  — середина ребра      куба    . Найдите площадь сечения куба плоскостью       , если ребра куба равны 2.

 

C 3 Решите систему неравенств

  

 C 4 Дан треугольник со сторонами 26, 26 и 20. Внутри него расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей.

C 5  Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство выполняется для всех .

C 6 Натуральные числа от 1 до 12 разбивают на четыре группы, в каждой из которых есть по крайней мере два числа. Для каждой группы находят сумму чисел этой группы. Для каждой пары групп находят модуль разности найденных сумм и полученные 6 чисел складывают.

а) Может ли в результате получиться 0?

б) Может ли в результате получиться 1?

в) Каково наименьшее возможное значение полученного результата?

             

Вариант 15.

Часть1

B 1 Сырок стоит 7 рублей 20 копеек. Какое наибольшее число сырков можно купить на 60 рублей?

B 2 На бензоколонке один литр бензина стоит 32 руб. 60 коп. Водитель залил в бак 30 литров бензина и купил бутылку воды за 48 рублей.

Сколько рублей сдачи он получит с 1500 рублей?

B 3  На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Казани с 3 по 15 февраля 1909 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней из данного периода не выпадало осадков.

 

B 4 В магазине одежды объявлена акция: если покупатель приобретает товар на сумму свыше 10 000 руб., он получает сертификат на 1000 рублей, который можно обменять в том же магазине на любой товар ценой не выше 1000 руб. Если покупатель участвует в акции, он теряет право возвратить товар в магазин. Покупатель И. хочет приобрести пиджак ценой 9500 руб., рубашку ценой 800 руб. и галстук ценой 600 руб. В каком случае И. заплатит за покупку меньше всего:

1)  И. купит все три товара сразу.

2)  И. купит сначала пиджак и рубашку, галстук получит за сертификат.

3)  И. купит сначала пиджак и галстук, получит рубашку за сертификат. В ответ запишите, сколько рублей заплатит И. за покупку в этом случае.

B 5 Площадь параллелограмма             равна 189. Точка  — середина

стороны . Найдите площадь трапеции              

B 6 На рок-фестивале выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Дании будет выступать после группы из Швеции и после группы из Норвегии? Результат округлите до сотых.

 

B 7  Решите уравнение. 

 

B 8  В треугольнике         угол     равен 90°, высота  

 равна 4, .

B 9 На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 3). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

10 В правильной треугольной пирамиде медианы основания пересекают-

ся в точке       . Площадь треугольника равна 4; объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка .

 

 

 

Часть2

 

B 11 Найдите значение выражения .

B 12 При температуре рельс имеет длину  м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону , где

 — коэффициент теплового расширения, — тем-

пература (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 3 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

 

B 13  Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите площадь поверхности параллелепипеда. 

 

 

B 14 Расстояние между городами и равно 470 км. Из города в город выехал первый автомобиль, а через 3 часа после этого навстречу ему из города выехал со скоростью 60 км/ч второй автомобиль. Найдите скорость первого автомобиля, если автомобили встретились на расстоянии 350 км от города . Ответ дайте в км/ч.

B  15 Найдите наибольшее значение функции на отрезке

.

 

 

C  1 а) Решите уравнение  

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

 

 C 2  Дана правильная четырѐхугольная пирамида               с вершиной

Ребро основания пирамиды равно высота —       Найдите расстояние от середины ребра до прямой где точки        и  — середины ребер соответственно.

 C 3 Решите неравенство

  

C 4 В параллелограмме ABCD биссектрисы углов при стороне AD делят

сторону BC точками M и N так, что                             . Найдите BC если

.

C 5  Найдите все значения при каждом из которых наименьшее значение функции   на множестве не менее

6.

C 6 Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 1512 и а) пять;

б) четыре;

в) три из них образуют геометрическую прогрессию?