Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Векторы и матрицы в Excel

Векторы и матрицы в Excel



57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:


Векторы и матрицы в Excel


Cовокупность n чисел hello_html_m41162a9d.gif, заданных в определенном по­рядке, называется n-мерным вектором. Числа ai – компонентs или координатs вектора, n —размерностью вектора.

Два n-мерных вектора hello_html_m4e7aa322.gif и hello_html_76669928.gif называются равными, если все их соответствующие компоненты равны: hello_html_m544b083e.gif.

Суммой двух n-мерных векторов hello_html_m41162a9d.gifи называется n-мерный вектор

hello_html_m50eed563.gif.

Операция сложения векторов обладает свойствами коммутативности hello_html_3016498c.gif и ассоциативности hello_html_245e8196.gif.

Вектор hello_html_10b9e5c7.gif, все компоненты которого равны нулю, называется нуль-вектором. Нуль-вектор ведет себя при сложения векторов аналогично числу нуль в арифметике.

Вектор hello_html_m47c15b03.gif называется противоположным вектору hello_html_729b69e3.gif. Очевидно, hello_html_4a1169a.gif

Операция вычитания векторов определяется как сложение с противоположным вектором hello_html_65d8d9c.gif.

Под произведением вектора hello_html_56d749fd.gif на число понимают вектор hello_html_m2006ed10.gif.

Умножение вектора на число обладает свойством ассоциативности hello_html_10dc04de.gif и свойством дистрибутивности относительно векторного и числового сомножителей hello_html_759e1e26.gif.

Модуль (норма, длина) вектора hello_html_3558ee1b.gif.

Пример вычисления модуля вектора hello_html_m7983d1e2.gif(2, 5, 3, -4) приведен на рисунке 1.

Рhello_html_68f31a9c.png
исунок 1 – Вычисление длины вектора

Здесь применены функция =КОРЕНЬ(число), где аргументом функции может быть либо конкретное число, либо адрес ячейки, в которой оно записано, и функция =СУММКВ(число1;число2;…), где аргументами функции являются адреса ячеек (адрес массива) с координатами вектора.

В общем случае скалярное произведение двух векторов hello_html_m7c7e7ae5.gif, где hello_html_m4ef7215e.gif - угол между векторами. Скалярным произведение двух n-мерных векторов hello_html_56d749fd.gif и hello_html_2f85431e.gif может быть определено как сумма произведений одноименных координат данных векторов:

hello_html_29b7354e.gif.

Операция скалярного умножения векторов обладает следующими свойствами:

hello_html_6f892bf3.gif.

В Excel скалярное произведение векторов вычисляется с помощью функции =СУММПРОИЗВ(массив1;массив2;…), где массив1;массив2;…- от 2 до 30 массивов, чьи компонент нужно перемножить, а затем сложить полученные произведения. Все массивы должны иметь одну и то же размерность (пример на рисунке 2).

Векторным произведением вектора hello_html_m4e7aa322.gif на вектор hello_html_76669928.gifназывается вектор hello_html_137764b3.gif, длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах hello_html_m4e7aa322.gif и hello_html_76669928.gif, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтоб наименьшее вращение hello_html_m4e7aa322.gif от к hello_html_76669928.gif вокруг вектора c осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора hello_html_29c084c0.gif (рисунок 3).

Треугольник, стороны которого есть стороны параллелограмма и его диагонали имеет площадь, равную половине величины векторного произвhello_html_1ab80d4a.gif
едения двух векторов.

Рhello_html_m5ecdd33f.gif
исунок 2 – Определение скалярного произведения двух векторов

Значение векторного произведения определяется следующим образом: hello_html_1be8e1b3.gif

На рисунке 4 приведен пример вычисления векторного произведения векторов, площади параллелограмма, треугольника. Проверка правильности вычисления векторного произведения заключается в проверке соответствия нулю величины скалярных произведений векторов hello_html_3178fae6.gif и hello_html_m2e5553f7.gif

Рhello_html_7b48e959.png
исунок 4 – Вычисление векторного произведения векторов

Перейдем к рассмотрению основных операций матричного исчисления.

Числа, расположенные в виде прямоугольной таблицы, состоящей из m строк и n столбцов, образуют матрицу размера m х n:

hello_html_m15194901.png

или

hello_html_4bc4ee8f.png


Две матрицы A и B одного и того же размера m × n являются равными, если равны все их соответствующие элементы:

hello_html_7f0c930b.png

Матрица, состоящая из одного столбца (т. е. если n = 1) или из од- ной строки (т. е. если m = 1), называется вектором — столбцом или, соответственно, вектором — строкой.

Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны нулю. Нулевая матрица обозначается

hello_html_m7d54911e.png

При n=m матрица называется квадратной, а число ее строк (столбцов) – порядком матрицы. Элементы hello_html_92cbfa6.gif квадратной матрицы образуют ее главную диагональ.

Квадратная матрица называется треугольной, если все ее элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю:

hello_html_m20a452d1.png

Квадратная матрица называется единичной, если все элементы ее главной диагонали равны единице, а остальные — нулю:

hello_html_m53a0c58f.png

Если в матрице А заменить строки столбцами, сохранив их порядок, то получится новая матрица

hello_html_56bb393d.png

называемая транспонированной по отношению к матрице А.

Если А=АТ, то такая матрица называется симметричной.

В Excel для транспонирования матриц используется функция =ТРАНСП(массив) – рисунок 5.


Рhello_html_65f87e2a.gif
исунок 5 – Вызов функции ТРАНСП

Пример. Имеем исходную матрицу

hello_html_5c327072.gif.

Из определения ясно, что транспонированной будет матрица АТ:

hello_html_32201685.gif.

Решение задачи в Excel представлено на рисунке 6

hello_html_m16a40d8f.png

Рисунок 6 – Транспонирование матрицы

Порядок решения следующий:

- определить место для транспонированной матриц (в рассматриваемом примере это G2:I4);

- в ячейку размещения первого элемента транспонированной матрицы ввести формулу =ТРАНС(С2:E5);

- выделить массив ячеек, в которых будут размещаться все элементы транспонированной матрицы;

- нажать F2;

- нажать Shit+Ctrl+Enter.

Суммой матриц Аhello_html_m786c7fa.gif и Вhello_html_7886fc8e.gif одинакового размера является матрица Сhello_html_5b271de5.gif, элементы которой равны сумме соответствующих элементов суммируемых матриц:

hello_html_18f5b743.gif

Произведение матрицы на число - то матрица, элементы которой получаются умножением всех элементов исходной матрицы на данное число:

hello_html_6b88668b.png

Умножение матрицы на матрицу определяется только при условии, что число столбцов первого сомножителя А равно числу строк второго сомножителя В. Под произведением матрицы hello_html_3083b9df.gif размером mxk на матрицу hello_html_54ede3d3.gifразмером kxn понимают матрицу hello_html_5e1c8c1d.gif размером mxn, элемент hello_html_m3fe6ae8e.gif которой равен скалярному произведению i-й строки матрицы hello_html_3083b9df.gif на j-й столбец матрицы hello_html_54ede3d3.gif:

hello_html_m4986f70a.pnghello_html_m4a1ca51.png

В Excel для вычисления произведения матриц используется функция

=МУМНОЖ(массив1;массив2), где массивы – совокупности элементов перемножаемых матриц (рисунок 7).

Рhello_html_m20f5439c.gif
исунок 7 – Умножение матриц

Формула для расчета произведения матриц должна быть введена как формула массива!

Пусть даны матрицы

hello_html_6eceeead.png

Вычислим их произведение в Excel (рисунок 8).

- шаг1 – определение области размещения результата (на рисунке 8 выделена пункитом);

-hello_html_m678c2d07.png шаг 2 – ввод в начальную ячейку результирующего массива формулы умножения матриц;

-hello_html_m63a8feb8.png
шаг 3 – выделить результирующий массив и нажать F2;

-hello_html_m2f63e366.png
шаг 3 – нажать Shift+Ctrl+Enter.

Рисунок 8 – Вычисление произведения матриц

Действие умножения матрицы на матрицу обладает свойствами:

hello_html_m4e1d061f.png

Отметим, что в общем случае

hello_html_m63ba6870.png

Если условие равенства произведения матриц при изменении их последовательности выполняется, то матрицы называются перестановочными между собой.

При умножении квадратной матрицы саму на себя получаем квадратную матрицу второй степени, при n-кратном умножении получим квадратную матрицу n-го порядка (n-й степени).

Определитель (или детерминант) матрицы – одно из основных понятий линейной алгебры. Это многочлен, комбинирующий элементы квадратной матрицы таким образом, что его значение сохраняется при транспонировании и линейных комбинациях строк или столбцов. Определитель характеризует содержание матрицы. В частности, если в матрице есть линейно-зависимые строки или столбцы, – определитель равен нулю.

Для матрицы первого порядка значение определителя равно единственному элементу этой матрицы.

Для матрицы 2х2 определитель вычисляется как

hello_html_73250de1.gif

Для матриц более высоких порядков nxn определитель можно вычислить, применив следующую рекурсивную формулу:

hello_html_m64e92e7c.gif, где hello_html_6dfcf838.gif – дополнительный минор к элементу hello_html_531380a1.gif.

Возможно разложение как по строкам, так и по столбцам.

Вhello_html_m771a5c29.png
Excel определитель вычисляется с помощью функции =
МОПРЕД(массив), где массив есть совокупность элементов матрицы (рисунок 9).

Рисунок 9 – Расчет определителя матрицы

Квадратная матрица называется неособенной (невырожденной), если ее определитель не равен нулю. В противном случае она называется особенной (вырожденной) или сингулярной.

Детерминант треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов

Обратной матрицей к матрице называют такую матрицу, для которой
А А-1=E

Обратную матрицу можно найти по следующей формуле:

hello_html_m77b92fac.gif, где hello_html_4a5aa6b2.gif – определитель матрицы, hello_html_72f844e1.gif – транспонированная матрица.

Нhello_html_m4ecaea1a.png
а рисунке 10 приведен пример определения обратной матрицы с помощью функции Excel =
МОБР(массив).

Рисунок 10 – Расчет обратной матрицы

Заметим, что функция применяется к массиву как в ранее приведенных примерах.

Проверим выполнение условия А А-1=E (рисунок 11)

Рhello_html_52156fed.png
исунок 11- Произведение матрицы на обратную матрицу

Собственным числом квадратной матрицы

hello_html_4046c31d.gif

называется такое число hello_html_32bcfcbd.gif, которое обращает определитель матрицы в 0: hello_html_m1780dc59.gif.

Или, по-другому, собственными числами матрицы А являются корни уравнения hello_html_m183c5b3d.gif и только они.

Матрица hello_html_m734580b2.gif называется характеристической матрицей матрицы А, многочлен hello_html_m183c5b3d.gif называется характеристическим многочленом матрицы А, уравнение hello_html_mcd6c06e.gif называется характеристическим уравнением матрицы А.

Для вычисления собственных чисел существуют классические приемы, сводящиеся к решению полиномиальных уравнений. Собственные числа определяют системы компьютерной математики. Найдем все собственные числа произвольной квадратной матрицы с помощью Excel на примере квадратной матрицы размерностью 3х3:

hello_html_m3d1d8abc.gif

Необходимо найти такие значения , при котором

hello_html_m19ece0ef.gifhello_html_60316cf5.png

Оформим лист Excel следующим образом (рисунок 12):

Рисунок 12 – Вычисление собственного числа матрицы

В ячейку B2 введено =2-F2; в ячейку С3 - =-6-F2; в ячейку D4 - =1-F2.

Из рисунка 12 видно, что при =0 определитель также равен 0, т.е. =0 есть первое собственное число матрицы.

Дhello_html_305437f7.png
hello_html_mdfeee6a.png
ля определения других собственных числе воспользуемся поиском (Меню
Сервис-Поск решения…) – рисунок 13, установив целевую ячейку $E$2, в которой вычисляется значение определителя матрицы. Требуемое значение определителя – 0. Поиск осуществляется путем подбора значения , отображаемом в ячейке $F$2.

Рисунок 13 – Вычисление собственного числа матрицы

О щелчку на кнопке Выполнить, появляется окно Результат поиска решения (рисунок 14).

Рисунок 14 – Результат поиска решения

Выбираем Сохранить найденное решение и Тип отчета – Результаты. Щелкаем на Ок. Получаем ожидаемый результат =0.

Пhello_html_m1f6798dd.png
овторим выполненные действия, введя в окне
Поиск решения ограничение $F$2>=1 (рисунок 15):

hello_html_m7629efda.png

Рисунок 15 – Ввод ограничения

В результате поиска получаем второе значение собственного числа: =3.

Повторим поиск при ограничении.

Если установить в ограничениях >=4, то поиск не находит решения. Ищем отрицательное собственное число и устанавливаем в ограничениях <=-1. Поиск не справляется с задачей (определитель не равен 0).

Пhello_html_6b297afe.png
ри добавлении в систему ограничений Е1>=-10 (рисунок 16) поиск нашел третье собственное число, равное -6 (рисунок 17)

Рhello_html_m5755dabf.png
исунок 16 – Поиск собственного числа при двухстороннем ограничении


Рисунок 17 - Результат поиска третьего собственного числа

Собственным вектором соответствующим собственному числу λ называют такой вектор hello_html_m5b239d36.gif, который удовлетворяет матричному равенству:

hello_html_m130b4b77.gif

Найдем собственный вектор матрицы

hello_html_60f7a9da.gif

Данная матрица имеет собственные числа: λ1 = 0 λ2 = 3 λ3 = -6.

1. Заносим содержимое ячеек матрицы в ячейки таблицы (B2:D4).

2. В ячейку (B6) вводим λ для которого необходимо найти собственный вектор. Пусть λ = 3.

3. В ячейки (F2:F4) поместим любые числа: F2 = 1; F3 = 1; F4 = 1.

4. В ячейки (G2:G4) заносим произведение матрицы (ячейки В2:В4) на вектор hello_html_m5b239d36.gif (ячейки F2:F4).

5. В ячейки (H2:H4) заносим умножение столбца hello_html_m5b239d36.gif на собственное число λ находящийся в ячейки (B6).

6. В ячейки (I2:I4) заносим разность столбцов (F2:F4) и (H2:H4).

7. В главном меню открываем Сервис - Поиск решения. Вводим следующие данные: Целевая ячейка $I$2, Равной значению (0); Изменяя ячейки $F$2:$F$4; Ограничения $I$3=0; $I$4=0.

Нажать кнопку «Выполнить».

Вhello_html_7a305d9.png
ячейках (F2:F4) появятся числа, эти это и есть собственный вектор для данного собственного числа (рисунок 18).

Рисунок 18 – Определение собственного вектора матрицы

Последовательно выполнить операции п.п. 2, 3, 7 при остальных значениях собственных чисел матрицы.



Задания для самостоятельной работы


Повторить решение всех примеров, приведенных в Лекции №5.

Сформировать случайным образом два вектора, состоящих из 5 элементов. Элементы векторов должны быть в диапазоне -5…+15

Определить длину векторов.

Вычислить сумму и разность векторов.

Определить скалярное произведение этих векторов.

Определить угол между векторами.

Определить векторное произведение двух векторов.

Проверить правильность вычисления векторного произведения путем определения скалярного произведения каждого из исходных векторов с результатом вычисления векторного произведения.

Сформировать случайным образом матрицу размером 4х4 и матрицу 4х3. Элементы матрицы должны быть в диапазоне -10…+20.

Получить транспонированные матрицы исходных матриц.

Проверить правильность решения путем умножения исходной матрицы на транспонированную.

Определить произведение исходных матриц.

Найти матрицу 3-го порядка для исходной квадратной матрицы.

Определить детерминант исходной квадратной матрицы.









17




57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Автор
Дата добавления 11.06.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров235
Номер материала ДБ-119116
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх