Инфоурок Геометрия Другие методич. материалыВекторный метод решения геометрических задач

Векторный метод решения геометрических задач

Скачать материал

Векторный метод решения

геометрических задач.

 

    Понятие вектора (направленного отрезка) неоднократно встречается в геометрии, физике, механике и других прикладных дисциплинах (например, сила, скорость, ускорение – величины векторные).  

    Основные понятия: вектор (направленный отрезок), нулевой вектор, длина (модуль или абсолютная величина) вектора, коллинеарные и компланарные векторы, равные векторы; линейные операции над векторами (произведение вектора на число, сумма и разность векторов) и их свойства.

    При решении задач векторной алгебры часто используются следующие утверждения:

  1.  Пусть   дан  не  нулевой вектор. Вектор  коллинеарен

       вектору  тогда и только тогда,  когда  существует  такое    

       число, что выполняется условие =  (необходимое  

       и достаточное условие коллинеарности  векторов).

             Значит, единичный вектор , имеющий направление

             вектора  , равен , где , и поэтому  =.

2.         Пусть даны  два   неколлинеарных вектора   и  . Любой компланарный с ними вектор  представляется в виде линейной комбинации этих векторов: , где  - некоторые числа. Такое представление единственно.

3.         Пусть даны три некомпланарных вектора. Любой вектор  можно представить, причем единственным образом, в виде линейной комбинации векторов , где   - некоторые числа. Это представление называется разложением вектора  по трем некомпланарным векторам .

4.         Базисом в пространстве называют три некомпланарных вектора, взятых в определенном порядке. Если   -  базис и  , то числа   называются координатами вектора  в данном базисе. При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число. При сложении векторов складываются их соответствующие координаты.

    Далее следует определить следующие понятия: декартова система координат: начало и оси координат, координатные плоскости; координаты точки и вектора; координаты точки, делящей отрезок в некотором отношении; ортонормированный базис, декартова прямоугольная система координат, орты, разложение вектора по ортам; скалярное произведение векторов и его свойства, проекция вектора, условие коллинеарности в координатах, угол между векторами.

 

Задача 1: В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD разделены в отношении 1:2 и 2:3 соответственно точками  и . Разложить вектор  по векторами. (Рис.1.)

Решение:

    Используя правило сложение векторов, выразим векторы   и через векторы  и   следующим образом:  

;.

    Векторы  и  коллинеарны векторам  и  соответственно, поэтому 

,   .

В четырехугольнике ABQP можно записать следующее соотношение: 

.

  Ответ: .

 

Задача 2: Даны три последовательные вершины параллелограмма А(1;-2;3), В(3;2;1), С(6;4;4). Найти координаты четвертой вершины D. (Рис. 2.)

Решение:

    Запишем вектор    и найдем координаты       векторов  = (-2;-4;2), = (3;2;3) и = (1;-2;5). Зная координаты точки В(3;2;1) – начала вектора , находим координаты точки  D(4;0;6).

  Ответ: (4;0;6).

 

Задача 3: Векторы  компланарны. Найти координаты вектора , длина которого равна, если он перпендикулярен вектору  и.

Решение:

    Вектор  компланарен неколлинеарным векторам  и  тогда и только тогда, когда существуют такие числа , что . В координатной форме это равенство имеет вид . Условие перпендикулярности векторов  и  запишем в виде , откуда

Т. к. длина вектора  =  равна  и  , поэтому   и 

  Ответ:

 

Задача 4: Доказать, что точки А(-2;-2), В(-3;1), С(7;7), D(3;1) служат вершинами трапеции. Найти длину средней линии этой трапеции.

Решение:

    По известным координатам точек А(-2;-2), В(-3;1), С(7;7) и D(3;1) вычисляем  координаты  векторов , . Замечаем, что одноименные координаты векторов   и   пропорциональны, а координаты векторов   и   непропорциональны. Таким образом, точки А, В, С, D служат вершинами трапеции, а отрезки ВС и AD являются вершинами трапеции ABCD.

    Вычислим  длину средней линии трапеции. Средняя линия трапеции параллельна  основаниям, а  длина ее равна полусумме

оснований. Значит,      ,

,   ,  откуда   .

  Ответ: .

 

Задача 5: На координатной плоскости точки А(0;0) и В(1;2) являются вершинами правильного треугольника. Вычислить координаты вектора, образующего тупой угол с осью абсцисс, если С – третья вершина треугольника. (Рис. 3.)

   

Решение:

    По условию задачи ˚. Запишем скалярное произведение векторов   и   в виде .

     С другой стороны, ˚ = . Значит, . Т. к. , то получаем уравнение:

Находим, что .  Т. к. вектор  образует с осью абсцисс тупой угол, то х < 0 и  y > 0. Тогда  имеет координаты.   

  Ответ: .

Задача 6: На стороне ВС треугольника АВС взята точка М так, что ВМ = 2СМ. Точки K и L выбраны на сторонах АС и АВ соответственно так, что  AK = 2CK и BL = 3AL. В каком отношении прямая  KL делит отрезок AM? (Рис. 4.)

Решение:

    Обозначим   .

    Пусть   (в силу коллинеарности векторов). Т. к. . Тогда . С другой стороны, .  Таким образом , . В силу единственности разложения вектора по двум неколлинеарным       векторам, получаем систему уравнений:

  Ответ: 3:4.

Задача 7: В окружность радиуса R вписан равносторонний треугольник АВС. Пусть М – произвольная точка окружности. Чему равна сумма ? (Рис. 5.)

   

Решение:

    Пусть О – центр описанной окружности.

==

    Покажем, что. В самом деле:

.

    Таким образом,   =.

  Ответ: .

 

Задача 8: Все ребра правильной четырехугольной пирамиды  SABCD имеют длину а, точка М – середина ребра CD. На ребрах SA и BC взяты соответственно точки E и F так, что AE:AS =       = BF:BC. Найти наименьшую возможную длину отрезка EF и при этом условии найти угол между прямыми EF и SM. (Рис. 6.) 

Решение:

    Обозначим .

    Выразим  через векторы :

 

   Получили, что  . Находим скалярный квадрат вектора, используя, что

    Видим, что  имеет наименьшую длину тогда, когда выражение х2 – х + 1 принимает наименьшее значение, т. е. в вершине параболы: . Тогда . В этом случае E и F - середины AS и BC соответственно.

    Найдем  

;  

  Ответ:

 

Задача 9: Все ребра правильной треугольной призмы АВСА1В1С1 имеют длину , М – центр грани АВВ1А1. На прямой ВС1 взята точка N так, что отрезок MN перпендикулярен прямой СА1. Найти длину MN. (Рис. 7.)

Решение:

    Обозначим за Р середину АС;       

 

    

Выразим вектора  через :

;

.

=+=

.

    По условию задачи , где :

    Получаем, что . Найдем скалярный квадрат вектор , используя, что , , :   . Таким образом,  .

  Ответ: .

Задача 10: Дана замкнутая ломаная ABCDEFA. Точки M, N, P, Q, R, S – соответственно середины звеньев AB, BC, CD, DE, EF, FA. Доказать, что векторы MQ, RN и PS компланарны. (Рис. 8.)

 

Решение:

    Выберем произвольную точку О. Тогда получим,

,,,,,;

,,.

    Видим, что , т. е. выполняется условие компланарности векторов.

 

Задача 11: Даны четыре прямые AB, BC, CD и DA, не лежащие в одной плоскости. На этих прямых даны соответственно по две точки P1 и P2, Q1 и Q2, R1 и R2, S1 и S2, такие, что

.

    Доказать, что .

Решение:

    Из условия задачи:

Умножим второе уравнение системы на  (- n) и сложим с первым, получим  . Но по условию задачи точки A, B, C, D не лежат на одной плоскости, поэтому векторы  некомпланарны, вследствие чего

.

 

Задача12: В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 грань ABCD –квадрат со стороной а; ребро АА1 также равно а и образует с ребрами АВ и АD углы, равные . Найти длину диагонали BD1 и угол между прямыми ВD1 и AC. (Рис. 9.)

 

Решение:

    Обозначим . Выразим векторы  и  через :

;

;

 

;

;

.

  Ответ: ; .

Задача 13: Даны три луча DA, DB, DC, не лежащие в одной плоскости. Известно, что  . Докажите, что луч DВ перпендикулярен биссектрисе  DD1 угла ADC. (Рис.10)

Решение:

    Отложим от точки D на данных лучах единичные векторы ,  и . Тогда  . Из условия, что , следует:

,

то есть .  Так как DD1– биссектриса угла АDC, то DD1 коллинеарен   

и, следовательно, .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Векторный метод решения геометрических задач"

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 2 месяца

Социальный педагог

Получите профессию

Технолог-калькулятор общественного питания

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Краткое описание документа:

Данное методическое пособие направленно на более углубленное изучение векторного метода решения задач в 9 и 11 классах.

В пособии присутствуют основные теоретические моменты и разобраны 7 задач на плоские фигуры и 6 задач на многогранники. Следует заметить, что некоторые геометрические задачи могут быть достаточно сложно решены поэтапно-вычислительным способом, а могут быть легко решены именно с помощью векторов.

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 702 441 материал в базе

Материал подходит для УМК

Скачать материал

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 24.12.2018 11226
    • DOCX 1.2 мбайт
    • 151 скачивание
    • Рейтинг: 5 из 5
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Максименко Светлана Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    • На сайте: 7 лет и 10 месяцев
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 57715
    • Всего материалов: 29

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Интернет-маркетолог

Интернет-маркетолог

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 21 человек из 14 регионов

Курс повышения квалификации

Организация учебно-исследовательской деятельности учащихся как средство развития познавательной активности при обучении математике в условиях реализации ФГОС ООО и ФГОС СОО

36 ч. — 144 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 26 человек из 18 регионов
  • Этот курс уже прошли 123 человека

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

72 ч. — 180 ч.

от 2200 руб. от 1100 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 470 человек из 73 регионов
  • Этот курс уже прошли 5 612 человек

Курс повышения квалификации

Формирование умений и навыков самостоятельной работы у обучающихся 5-9 классов на уроках математики в соответствии с требованиями ФГОС

36 ч. — 144 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 96 человек из 41 региона
  • Этот курс уже прошли 463 человека

Мини-курс

Концептосфера русской народной культуры

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Психосоматика детей и взрослых: психологические аспекты различных заболеваний

3 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Развитие мотивации к обучению

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 186 человек из 53 регионов
  • Этот курс уже прошли 218 человек