Инфоурок Математика Другие методич. материалыВекторно-координатный метод в алгебре и геометрии.

Рабочий лист по геометрии 11 класса Координатно-векторный метод при решении геометрических задач

Файл будет скачан в формате:

  • pdf
1585
42
17.03.2024

Материал разработан автором:

Разработок в маркетплейсе: 452
Покупателей: 12 877

Об авторе

Категория/ученая степень: Высшая категория
Место работы: МБОУ "Щеколдинская СОШ"
Я преподаватель математики и физики высшей категории. В 1995 года закончила Погорельскую среднюю школу. В 1998 окончила Старицкое педагогическое училище с красным дипломом. Но в начальных классах преподавала только на практике. В 2004 году окончила ТГУ математический факультет. Преподаю в сельской школе математику и физику уже более 25 лет. Люблю детей и свой предмет. Имею высшую категорию, являюсь завучем в школе. Имею отраслевые награды, являюсь членом жюри педагогических конкурсов различных уровней, участник конкурса "Учитель года". Горжусь своими статьями в журналах "Всё о физике" и "Физика в школе. 1 сентября". Мой девиз: "Уча других, мы учимся и сами". Увлекаюсь фотографией и компьютерной графикой. Люблю жизнь, стараюсь радоваться мелочам. Замужем. Имею сына, воспитываю двоих племянников. У меня родилась внучка!!! Семья не большая, но очень дружная.
Подробнее об авторе

Настоящая методическая разработка опубликована пользователем Новикова Ольга Александровна. Инфоурок является информационным посредником

Рабочий лист по геометрии 11 класса "Координатно-векторный метод при решении геометрических задач". Данная тема рабочего листа соответствует ФОП. Рабочий лист можно применять для проверки знаний по теме, для отработки решения задач, для подготовки к ЕГЭ по математике (задание № 14 профильный уровень ЕГЭ по математике). Задания рабочего листа расположены на двух листах, что удобно для двусторонней печати. Зачеркни неверный тип задачи Запиши правильную последовательность пунктов алгоритма применения координатно-векторного метода решения задач Реши задачу, используя данный метод Найди косинус угла между двумя прямыми Определи квадрат тангенса угла между прямыми Вычисли расстояние от точки до прямой На двух листах даны подробные решения всех заданий рабочего листа.

Краткое описание методической разработки

Рабочий лист по геометрии 11 класса "Координатно-векторный метод при решении геометрических задач".

 

Данная тема рабочего листа соответствует ФОП. Рабочий лист можно применять для проверки знаний по теме, для отработки решения задач, для подготовки к ЕГЭ по математике (задание № 14 профильный уровень ЕГЭ по математике).

 

Задания рабочего листа расположены на двух листах, что удобно для двусторонней печати.

  1. Зачеркни неверный тип задачи
  2. Запиши правильную последовательность пунктов алгоритма применения координатно-векторного метода решения задач
  3. Реши задачу, используя данный метод
  4. Найди косинус угла между двумя прямыми
  5. Определи квадрат тангенса угла между прямыми
  6. Вычисли расстояние от точки до прямой

На двух листах даны подробные решения всех заданий рабочего листа.

Развернуть описание

Векторно-координатный метод в алгебре и геометрии.

Скачать материал

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Векторно-координатный метод@SEP@алгебра-вект001.pdf


の刀

                    ーX       

 りー2X5 = Yx+3C —Axィ先2 Yう乙,〇

ー多ルq乃な2

0

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Векторно-координатный метод в алгебре и геометрии." Смотреть ещё 5 764 курса

Методические разработки к Вашему уроку:

Выбранный для просмотра документ Векторно-координатный метод@SEP@векторнметодтеория001.pdf

n.B. MBOY COW Ne 114, e. Bap„ayn

                                                Paccrromune Mem€AY CKpe11ÅHBa}011ÅHMHCH nP%Mb1MH               

IIycTb npmvraq Il HMeeT HanpaBJ1%kOUIHä BeKTOP a a •a •a M TOHKH A, PI — TOMKH 9Toii npmoii, nycTb npmag 12 HMeeT HanpaBJ1%10111H1i BeKTOP b {bc,b ;b3} , H TOHKH B, P2 — TOMKH

                                                                          3T0ü npmqeM PIP2 — 06111HM neprreHAHKynqp HP%Mb1X.

Torna PIP2 MO)KHO npencrraBHTb KaK CYMMY BekTopoB PIP. = PIA+AB+B% .

cymecTByeT eÅHHCTBeHHOe HHCJIO x*0, TaKoe, HTO PIA = xa , Il b , TO BP2 = Yb . 3HaqMT PIP2 = xa+ AB+yb .



           Torna               xa xal',xa ; xa3}

H3 3T0ii CHCTeMb1 HaineM qmcna x H y, a MOTOM [IOACTaBHM ux B (*). Torna 6yneM 3HaTb KOOPÅHHaTb1 BeKTopa PIP2 , 3HaLIHT CMO)ICM HaVfTU ero ,UJIHHY, KOTopaq H 6yneT qmcneHHO paBHa paCCTOHHHK) rlPHMb1MH.

nppnmep 1.

TPH 60KOBb1e pe6pa Tpeyr0J1bHoV1 nupaMHAb1 SABC 11011apH0 nepneHÅHKYJ1%PHb1 H Ka)KAoe H?) HHX paBH0 1. N — cepeAHHa AB, M— cepenvma BS HaMÅHTe  flP%Mb1MH SN CM.

l)emerme:

c

                                                                                                                 МБОУСОШМ

Основные формулы векторно-координатного метода:

Векторы

Пусть а


Взаимное расположение прямых

Уравнение плоскости


Пусть п а , Мо — данная (фиксированная) точка пространства, тогда произвольная точка пространства М лежит в плоскости и, если ММо • п = 0

           Пусть п{А; В; С} , Мо               — данная (фиксированная) точка пространства, тогда про-

извольная точка пространства М (x;y;z) лежит в плоскости и, если

                                                          А(х хо) + В(у уо) +           — а) = 0

Тогда уравнение плоскости АВС по-

лучим из условия

                                                                                   2                                МБОУ СОШМ        г, Барн

Пусть А ХА ; , прямая [с направляющим вектором а аг,а ; а , тогда уравнение плоскости, проходящей через точки А и В параллельно прямой I получим из х — Х      У¯ УА      z—za хв—хн Ув ¯У.4 ZB —zq —

Пусть даны точка А хА , две прямые: I с направляющим вектором а ир с направляющим вектором Ь Ь ;b , тогда уравнение плоскости, проходящей через точку А па-

раллельно прямым I и р получим из условия х—хч у— у 4

Взаимное расположение плоскостей


Пусть плоскости и (12 заданы уравнениями: 14 lX + Щу + Ср + Dl = 0 и А2Х + Во + Су + D2 = 0, тогда

Взаимное расположение прямой и плоскости

Пусть дана прямая I с направляющим вектором а а] ; а ; а и плоскость и с уравнением

Ах + Ву+ Cz + D = 0, тогда l lla а ш п qA+a2B+a С = О

sin l;a — cos а;п

Расстояния:

1. Между двумя точками.

Пусть А ХА ; УА;ЕА

2. От точки до плоскости.

Пусть А , плоскость и имеет уравнение Ах+ Ву+ Cz + D 0, тогда

                                                                                  З                               МБОУСОШМ

ь, Между параллельными плоскостями.

Пусть плоскости (11 и (12 заданы уравнениями: Ах + Ву + Cz + = 0 и Ах + Ву + Cz + D2 — 0, тогда

lDl - д)

4. Между скрещивающимися прямыми.

Пусть прямая ll имеет направляющий вектор а ; а и А, Р: — точки этой прямой, пусть прямая l2 имеет направляющий вектор Ь Ь ;b , и В, 102 — точки этой прямой, причем

PlP2 — общий перпендикуляр прямых. Тогда PlP2 можно представить как сумму векторов

=                                   . Но так как PlAl l l а , А2Р2 , то PlP2 = ха + AlA2 +yb . Числах иу най-

дем из условий                         Тогда

Объемы:

1. Объем треугольной пирамиды МАВС, если М (Хм; УмРЛ4 '

Ум — ув

— ус.


И. В., лљоу Бар Векторно-координатный метод

1. Применение неравенства треугольника.

Если заданы три точки, не лежащие на одной прямой, то задан треугольник с вершинами в этих точках. На сторонах этого треугольника можно задать векторы. Возможны только две ситуации: Если из одной вершины А выходят два вектора, то вектор, соединяющий концы первых двух, либо направлен как на рис. 1, либо направлен как на рис. 2.

в

                                 с                       с                  

В первом случае векторы связаны равенством а +Ь = с , а во втором а

Тогда по неравенству треугольника а — Ь < с < а + Ь , то есть

а — Ь < a±b < a + b

Для трех точек на прямой возможны случаи: точка В лежит между точками А и С, точка


В лежит вне отрезка АС:                                                                      а

в

В      с          с с

В первом случае а + Ь = си а + Ь = с , то есть а + Ь = a+b . Во втором случае а—Ь тогда а — Ь = с , то есть а — Ь = а—Ь . Чтобы учесть оба варианта расположения точки В относительно отрезка АС запишем а — Ь = а—Ь

Объединяя все случаи, получим следующее утверждение, что для любых векторов а и Ь справедливо неравенство а — Ь a±b а + Ь причем равенство достигается только в случае коллинеарности векторов.

Пример 1. Докажите, что для любых чисел а, Ь, с, d имеет место неравенство

Решение:

              Рассмотрим векторы m(a;b).                тогда т —                                  +d 2 , их вектор-

сумма будет иметь координаты т + п (а + +d) , а длина вектора-суммы будет

МБОУ СОШМД114

(6—х)2 +4,

Тогда по неравенству треугольника а + Ь 2 с , То есть (6—х) +4+ (х— 2) +1 25.

Значит исходя из вида первоначального неравенства получаем, что

(6—х) +4+ (х— 2) +1 = 5 , то есть а + Ь = с . А это возможно, только когда векторы а,

Ь и с коллинеарны. Тогда коллинеарны и а, Ь , значит их координаты пропорциональны и

6 2 х

Ответ:

2. Применение скалярного произведения векторов.

Здесь используется координатная форма скалярного произведения векторов и условие а • Ь , где знак равенства тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны.

. Их скалярное произведение равно

2+6 + 7 = л, ф +•Г6+Џ5 < , т.к.

Решение: одз       l < x s 3.

Рассмотрим ВСКТОРЫ а (х; 1) и Ь 1 + х; 3—х

Их скалярное щэоизведение равно а • Ь = х 1 + х + 3—х , а длины

Получили, что а •Ь = а • Ь , значит векторы коллинеарны, то есть

х откуда х — 3х + х + 0. Сумма коэффициентов многочлена в левой части этого уравнения равна 0, значит один из его корней . (Гјродолжите самостоятельно.)

Ответ:

 2

Гриценко ИВ., МБОУ 14 х y—l+y х— 1 =2 х + у— 2, Пример 5. Решить систему уравнений

Решение:

                                                                             одз:у      их? 1.

у— 1; х— 1 . Левая часть уравнения (1) является

скалярным произведением векторов а и b . Определим длины этих векторов а =

из уравнения (2),х + у— 2 и их произведение а b = 2 х + у— 2 . Тогда векторы

коллинеарны, а исходная система равносильна                                   (Продолжите самостоятельно.)

Ответ:

Пример 6. Найдите наибольшее значение выражения 7sin х— 24cosx .

Решение:

Рассмотрим векторы а (7; —24) , b(sin x;cosx) . Тогла данное выражение является скалярным произведснием векторов а и b . Определим длины этих векторов

 — 25,                 sin X+cos х = l . Так как              а • b , то наибольшее значение

скалярного произведения равно произведению длин векторов, то есть 25. Ответ: 25.


                                                            1 Гриценко             ЛЉОУ СОШ М] 14

Координаты вершин и некоторых точек многогранников

Задача 1.

Рассмотрим куб ABCDAlBlClDl с ребром 1.

Введем декартову прямоугольную систему координат так, что ее начало находится в точке В, а ортонормированный базис задан векторами ВА = , ВС=ј , ВЦ Тогда точки имеют координаты :

Задача 2.

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDAlBlClDl с ребрамЮАћ±а, вс а Ь, вц с.

Введем )Екартчу координат так, что ее начале. находктсяв точке В, ВА

                                           Тогда Очки            координаты:

Задача З.

Рассмотрим правильную треугольную призму АВСА С, с С] ребрами АВ = ВЦ .

Введем декартову прямоутольную систему координат так, что ее начало находится в середине АВ — точке 2, ось абсцисс сонаправлена вектору QA , ось ординат сонаправлена вектору QC , ось аппликат сонаправлена вектору QQl , где Q1 — середина 141В1 . 2 Гриценко И.В., МБОУ СОШМП4г. Барнаул

Задача 4,

Рассмотрим правильную шестиугольную призму ABCDEFAlBlClDl с ребрамИ, равными 1.

Введем дерртову прямоугольную систему координат так, что ее начало находится »њ.вересечения диагоналей А С и ВГ нижйејф $исе.

вектору ДА , ось ординат сонаправлена вектору QE , ось аппликат сонаправлена вектору QQl ,где Ql =AlCoBlEl. Тогда точки имеют координаты:

01 (

Задача 5.

Рассмотрим прав—ш$тетраэдр DABC с ребрами, равными 1.

Введем декартову:прямоутольную систему координат так, что ее начало находится в середине АВ — точке 2, ось абсцисс сонаправлена вектору QA , ось ординат сонаправлена векшру QC ,

ось аппликат сонаправлена вектору 0D , где О — центроид ДАВС. Тогда точки имеют координаты:

Задача 6.

Рассмотрим правильную треугольную пирамиду ABCDAlBIClDfc ребрами основания, равными а и боковыми ребрами, равными Ь.

                                                             З Гриценко И.В., МБОУ                           г. Барнаул

Задача 7,


Рассмотрим правильную четырехугольную пирамиду MABCD с ребрами, раными 1.

Введем декартову прямоугольную систему координат так, что ее начаЛо находится в дочке В, ось абсцисс сонаправлена вектору ВА , ось ординат сонаправлена вектору ВС , ось аппликат сонаправлена вектору ОМ , где О = АС П BD.

Тогда точки имеют координаты;

Задача 8.

Рассмотрим чегырежуЁоЈьЁую пирамиду MABCD, в основании которой лежит.вр—ънще дорнами АВ = З, ВС = 4, вершина проектируется в центр О прямоугольника и МВ = 6,5.

Введем декартову прймоугольную систему коордтт тая утр—учало Находится в точке В, ось абеуссуона—ена EXtopy ВА , ось ординат со-

апш:икат сонаправлена вектору ОМ , где О п BD.

Тогда точки имеют координаты :

Задача 9.

Рассмотрим правильную шестиугольную пирамиду MABCDEF с ребрами основания, равными 1 и боковыми ребрами, равными 2.

Введем декартову прямоугольную систему. координат так, что ее начало находится в точке Q пересечения диагоналей АС и

ВЕ основания, ось абсцисс сонаправлена вектору ДА , ось ординат сонаправлена вектору QE , ось аппликат сонаправлена вектору ОМ , где О — точка пересечения диагоналей AD и ВЕ основания.


                                                                                    4 Гриценко И.В., ЛВОУ                        г, Барнаул

ПростейШие задаф.коордцивтах

1. Координаты середины отрезка.

 

 

Пусть в некоторой декартовой прямоугольной системе—диют точка М — середина отрезка АВ. Выведем формуду ддя

 

,

Рассмотрим ДОАВ, где О — начало координат, триа ОМ;

и

 

ОМ = —ОА + —ОВ . Найдем координаты каждого вео*

                             аналогично                                                     Тогда

—0}, t.e.

 

                          -ов —хв; ¯Ув;                           То есть получиЛи, что

УА+ћ.

 

ом

2. Деление отрезка в данном отношении.

Если точка М делит отрезок АВ в отношении т:п, считая от точки А, то для проювольной

точки О справедливо векторное равенство ОМ = ОВ , значит в системе координат rn+n с началом в точке О и координатами точек

т+п

УА +

т+п

т+п

З. Координаты центроида треугольника.

Пусть в некоторой декартовой прямоугольной системе координат С , точка М — центроид МВС. Выведем формулу для координат точки М.

Пусть О — начало координат, не совпадает ни с одной из вершин ЛАВС. Тогда вектор ОМ имеет разложение

ОМ = -ОА+-ОВ+-ОС .

Найдем координаты каждого вектора.

                                              Тогда не трудно получить ОМ ХА Хв + Хо. . УА + ус ZA + ZB + Zc

отсюда и точка М имеет аналогичные координаты.

4. Расстояние между двумя точками.

           Пусть                                                     тогда lABl= АВ = (хв —ХА) +(ув —т'А

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Векторно-координатный метод в алгебре и геометрии."

Выбранный для просмотра документ Векторно-координатный метод@SEP@стереометрия-вект002.pdf





レー、らんロ!死当ーを+イ= 0


 らcらんめ TんAPらんDー

「。の、C んの0 =ゝ

ら十の2 0             らし一P

C 0こ0                                んら:ーg、2十イ=つ

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Векторно-координатный метод в алгебре и геометрии."

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Краткое описание документа:

Использование векторно-координатного метода при решении задач стереометрии даёт шанс учащимся со слабо развитым пространственным мышлением и хорошей алгебраической подготовкой получить баллы на ЕГЭ при решении заданий С2. Однако нужно учитывать, что этот метод не даёт право на ошибку, только верное решение будет зачтено в 2 балла, любая ошибка приведет к результату 0. Некоторые задания С5 также можно решать данным методом, если вы увидете скалярное произведение. В данной разработке приведены примеры решения задач векторно-координатным методом. Честно говоря, применение этого метода в алгебре стало для меня открытием. Теория не моя, спасибо Гриценко И.В.

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

7 294 062 материала в базе

Скачать материал

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Скачать материал
    • 08.01.2015 583
    • RAR 935.6 кбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Кардакова Юлия Ивановна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Кардакова Юлия Ивановна
    Кардакова Юлия Ивановна

    учитель математики

    • На сайте: 9 лет и 10 месяцев
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 12070
    • Всего материалов: 12

    Об авторе

    Категория/ученая степень: Первая категория
    Место работы: МБОУ "Сорочелоговская СОШ"
    Работаю в рамках методической темы "Формирование критического мышления на уроках математики". Являюсь классным руководителем 10 класса. Воспитание высоко-нравственных и социально-адаптивных учеников вижу целью своей работы. Занимаюсь со школьниками научно-исследовательской и проектной деятельностью в различных направлениях. В свободное от работы время занимаюсь спортом и участвую в художественной самодеятельности.

Оформите подписку «Инфоурок.Маркетплейс»

Вам будут доступны для скачивания все 271 002 материалы из нашего маркетплейса.

Мини-курс

Основы классической механики

3 ч.

699 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Эффективное управление персоналом в современной организации

4 ч.

699 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Фундаментальные основы психологической устойчивости

4 ч.

699 руб.
Подать заявку О курсе
Смотреть ещё 5 764 курса