n.B. MBOY COW Ne 114, e. Bap„ayn
Paccrromune
Mem€AY CKpe11ÅHBa}011ÅHMHCH nP%Mb1MH 
IIycTb
npmvraq Il HMeeT HanpaBJ1%kOUIHä BeKTOP a a •a •a M TOHKH A, PI — TOMKH 9Toii
npmoii, nycTb npmag 12 HMeeT HanpaBJ1%10111H1i BeKTOP b {bc,b ;b3} , H TOHKH B,
P2 — TOMKH
3T0ü
npmqeM PIP2 — 06111HM neprreHAHKynqp
HP%Mb1X.
Torna PIP2 MO)KHO npencrraBHTb
KaK CYMMY BekTopoB PIP. = PIA+AB+B% .
cymecTByeT
eÅHHCTBeHHOe HHCJIO x*0, TaKoe, HTO PIA = xa , Il b , TO BP2 = Yb . 3HaqMT PIP2
= xa+ AB+yb .








Torna xa
xal',xa ; xa3}

H3 3T0ii CHCTeMb1 HaineM qmcna x H y, a MOTOM [IOACTaBHM ux B (*). Torna
6yneM 3HaTb KOOPÅHHaTb1 BeKTopa PIP2 , 3HaLIHT CMO)ICM HaVfTU ero
,UJIHHY, KOTopaq H 6yneT qmcneHHO paBHa paCCTOHHHK) rlPHMb1MH.
nppnmep 1.
TPH 60KOBb1e pe6pa Tpeyr0J1bHoV1 nupaMHAb1 SABC 11011apH0
nepneHÅHKYJ1%PHb1 H Ka)KAoe H?)
HHX
paBH0 1. N — cepeAHHa AB, M— cepenvma BS HaMÅHTe
flP%Mb1MH SN CM.
l)emerme:
c

МБОУСОШМ
Основные формулы векторно-координатного метода:
Векторы

Пусть
а

Взаимное
расположение прямых

Уравнение плоскости
Пусть
п а , Мо — данная (фиксированная) точка пространства, тогда произвольная точка
пространства М лежит в плоскости и, если ММо • п = 0
Пусть п{А; В; С} , Мо —
данная (фиксированная) точка пространства, тогда про-
извольная
точка пространства М (x;y;z) лежит в плоскости и, если
А(х
хо) + В(у уо) + — а) = 0
Тогда уравнение плоскости АВС по-
лучим
из условия

2
МБОУ СОШМ г, Барн
Пусть А ХА ;
, прямая [с направляющим вектором а
аг,а ; а , тогда уравнение плоскости, проходящей через точки А и В параллельно
прямой I получим из х — Х У¯ УА z—za хв—хн Ув ¯У.4 ZB —zq —
Пусть
даны точка А хА , две прямые: I с направляющим вектором
а ир с направляющим вектором Ь Ь ;b ,
тогда уравнение плоскости, проходящей через точку А па-
раллельно прямым I и р получим из условия
х—хч у— у 4
Взаимное расположение плоскостей
Пусть плоскости и (12 заданы
уравнениями: 14 lX + Щу + Ср + Dl = 0 и А2Х + Во + Су + D2 = 0, тогда

Взаимное расположение прямой и
плоскости
Пусть дана
прямая I с направляющим вектором а а] ; а ; а и плоскость и с уравнением
Ах + Ву+ Cz + D = 0, тогда
l lla а ш п qA+a2B+a С = О
sin l;a — cos а;п
Расстояния:
1. Между двумя точками.
Пусть А ХА ; УА;ЕА
2. От точки до плоскости.
Пусть А
, плоскость и имеет уравнение Ах+ Ву+
Cz + D 0, тогда
З МБОУСОШМ
ь, Между параллельными плоскостями.
Пусть
плоскости (11 и (12 заданы уравнениями: Ах + Ву + Cz + = 0 и Ах + Ву + Cz + D2
— 0, тогда
lDl - д)
4. Между скрещивающимися прямыми.
Пусть
прямая ll имеет направляющий вектор а ; а и А, Р: — точки этой прямой, пусть
прямая l2 имеет направляющий вектор Ь Ь ;b , и В, 102 — точки этой
прямой, причем
PlP2 —
общий перпендикуляр прямых. Тогда PlP2 можно представить как сумму векторов





= .
Но так как PlAl l l а , А2Р2 , то PlP2 = ха + AlA2 +yb . Числах иу най-
дем из условий Тогда
Объемы:
1.
Объем треугольной пирамиды МАВС, если М (Хм; УмРЛ4 '

Ум — ув
— ус.
И. В., лљоу
Бар
Векторно-координатный метод
1. Применение неравенства треугольника.
Если
заданы три точки, не лежащие на одной прямой, то задан треугольник с вершинами
в этих точках. На сторонах этого треугольника можно задать векторы. Возможны
только две ситуации: Если из одной вершины А выходят два вектора, то вектор,
соединяющий концы первых двух, либо направлен как на рис. 1, либо направлен как
на рис. 2.
в
с с 
В
первом случае векторы связаны равенством а +Ь = с , а во втором а
Тогда
по неравенству треугольника а — Ь < с < а + Ь , то есть
а — Ь < a±b < a + b
Для
трех точек на прямой возможны случаи: точка В лежит между точками А и С, точка


В лежит вне отрезка АС: а
в
В с с с
В
первом случае а + Ь = си а + Ь = с , то есть а + Ь = a+b . Во втором случае а—Ь
тогда а — Ь = с , то есть а — Ь = а—Ь
. Чтобы учесть оба варианта расположения точки В относительно отрезка АС
запишем а — Ь = а—Ь 
Объединяя
все случаи, получим следующее утверждение, что для любых векторов а и Ь
справедливо неравенство а — Ь a±b а + Ь причем равенство достигается только в
случае коллинеарности векторов.
Пример
1. Докажите, что для любых чисел а, Ь, с, d имеет место неравенство

Решение:
Рассмотрим векторы
m(a;b). тогда т — +d 2 ,
их вектор-
сумма
будет иметь координаты т + п (а + +d) , а длина вектора-суммы будет

МБОУ СОШМД114
(6—х)2 +4,
Тогда
по неравенству треугольника а + Ь 2 с , То есть (6—х) +4+ (х— 2) +1 25.
Значит
исходя из вида первоначального неравенства получаем, что
(6—х) +4+ (х—
2) +1 = 5 , то есть а + Ь = с . А это возможно, только когда векторы а,
Ь и с
коллинеарны. Тогда коллинеарны и а, Ь , значит их координаты пропорциональны и
6 2 х 
Ответ:
2. Применение скалярного произведения векторов.
Здесь используется координатная форма скалярного произведения
векторов и условие а • Ь , где знак равенства тогда и только тогда, когда
векторы коллинеарны.
. Их
скалярное произведение равно



2+6 + 7 = л, ф +•Г6+Џ5 <
, т.к.
Решение: одз l < x s 3.
Рассмотрим
ВСКТОРЫ а (х; 1) и Ь 1 + х; 3—х
Их скалярное щэоизведение равно а • Ь
= х 1 + х + 3—х , а длины

Получили,
что а •Ь = а • Ь , значит векторы коллинеарны, то есть
х откуда х — 3х + х + 0. Сумма коэффициентов многочлена в левой части
этого уравнения равна 0, значит один из его корней . (Гјродолжите
самостоятельно.)
Ответ:
2
Гриценко
ИВ., МБОУ
14
х y—l+y х— 1 =2 х + у— 2, Пример 5. Решить систему уравнений
Решение:
одз:у
их? 1.
у— 1; х— 1 . Левая часть уравнения
(1) является
скалярным
произведением векторов а и b . Определим длины этих векторов а =

из
уравнения (2),
х
+ у— 2 и их произведение а b = 2 х + у— 2 . Тогда векторы
коллинеарны, а исходная система
равносильна (Продолжите самостоятельно.)
Ответ:
Пример
6. Найдите наибольшее значение выражения 7sin х— 24cosx .
Решение:
Рассмотрим
векторы а (7; —24) , b(sin x;cosx) . Тогла данное выражение является скалярным
произведснием векторов а и b . Определим длины этих векторов
— 25, sin X+cos х = l . Так как а
• b , то наибольшее значение
скалярного произведения равно произведению длин векторов, то есть 25.
Ответ: 25.
1
Гриценко ЛЉОУ СОШ М] 14
Координаты вершин и некоторых точек многогранников
Задача
1.
Рассмотрим куб ABCDAlBlClDl с ребром 1.
Введем декартову прямоугольную систему координат так, что ее начало
находится в точке В, а ортонормированный базис задан векторами ВА = , ВС=ј , ВЦ
Тогда точки имеют координаты :
Задача
2.
Рассмотрим прямоугольный параллелепипед
ABCDAlBlClDl с ребрамЮАћ±а, вс а Ь, вц с.
Введем
)Екартчу координат так, что ее начале. находктсяв точке В, ВА
Тогда
Очки координаты:
Задача
З.
Рассмотрим правильную треугольную призму
АВСА С, с С] ребрами АВ = ВЦ .
Введем декартову прямоутольную систему
координат так, что ее начало находится в середине АВ — точке 2, ось абсцисс
сонаправлена вектору QA , ось ординат сонаправлена вектору QC , ось аппликат
сонаправлена вектору QQl , где Q1 — середина 141В1 . 2 Гриценко И.В., МБОУ
СОШМП4г. Барнаул
Задача 4,
Рассмотрим правильную шестиугольную призму
ABCDEFAlBlClDl с ребрамИ, равными 1.
Введем
дерртову прямоугольную систему координат так, что ее начало находится
»њ.вересечения диагоналей А С и ВГ нижйејф $исе.
вектору
ДА , ось ординат сонаправлена вектору QE , ось аппликат сонаправлена вектору
QQl ,где Ql =AlCoBlEl. Тогда точки имеют координаты:
01 (
Задача
5.
Рассмотрим прав—ш$тетраэдр DABC с ребрами, равными 1.
Введем
декартову:прямоутольную систему координат так, что ее начало находится в
середине АВ — точке 2, ось абсцисс сонаправлена вектору QA , ось ординат
сонаправлена векшру QC ,
ось аппликат сонаправлена вектору 0D , где О — центроид ДАВС. Тогда точки
имеют координаты:
Задача 6.
Рассмотрим правильную треугольную пирамиду ABCDAlBIClDfc ребрами
основания, равными а и боковыми ребрами, равными Ь.
З
Гриценко И.В., МБОУ г. Барнаул
Задача
7,
Рассмотрим правильную четырехугольную
пирамиду MABCD с ребрами, раными 1.
Введем
декартову прямоугольную систему координат так, что ее начаЛо находится в дочке
В, ось абсцисс сонаправлена вектору ВА , ось ординат сонаправлена вектору ВС ,
ось аппликат сонаправлена вектору ОМ , где О = АС П BD.
Тогда
точки имеют координаты;
Задача
8.
Рассмотрим чегырежуЁоЈьЁую пирамиду MABCD, в основании
которой лежит.вр—ънще дорнами АВ = З, ВС = 4, вершина проектируется в центр О
прямоугольника и МВ = 6,5.
Введем декартову прймоугольную систему
коордтт тая утр—учало Находится в точке В, ось абеуссуона—ена EXtopy ВА , ось
ординат со-
апш:икат
сонаправлена вектору ОМ , где О п BD.
Тогда точки
имеют координаты :
Задача
9.
Рассмотрим правильную шестиугольную
пирамиду MABCDEF с ребрами основания, равными 1 и боковыми ребрами, равными 2.
Введем декартову прямоугольную систему.
координат так, что ее начало находится в точке Q пересечения диагоналей АС и
ВЕ
основания, ось абсцисс сонаправлена вектору ДА , ось ординат сонаправлена
вектору QE , ось аппликат сонаправлена вектору ОМ , где О — точка пересечения
диагоналей AD и ВЕ основания.
4
Гриценко И.В., ЛВОУ г, Барнаул
|
ПростейШие
задаф.коордцивтах
1.
Координаты середины отрезка.
|
|
|
Пусть в некоторой декартовой прямоугольной системе—диют
точка М — середина отрезка АВ. Выведем формуду ддя
|
|
,
|
Рассмотрим ДОАВ, где О — начало
координат, триа ОМ;
|
и
|
|
ОМ = —ОА +
—ОВ . Найдем координаты каждого вео*
аналогично Тогда
|
—0}, t.e.
|
|
-ов —хв; ¯Ув; То
есть получиЛи, что
|
УА+ћ.
|
|
ом
2. Деление отрезка в данном отношении.
Если точка М делит отрезок АВ в отношении т:п, считая
от точки А, то для проювольной
точки О справедливо векторное равенство ОМ = ОВ , значит
в системе координат rn+n с началом в точке О и координатами точек
т+п
УА +
т+п
т+п
З. Координаты центроида треугольника.
Пусть в некоторой декартовой
прямоугольной системе координат С , точка М — центроид МВС. Выведем формулу для
координат точки М.
Пусть О — начало координат, не
совпадает ни с одной из вершин ЛАВС. Тогда вектор ОМ имеет разложение
ОМ = -ОА+-ОВ+-ОС .
Найдем координаты
каждого вектора.
Тогда не трудно
получить ОМ ХА Хв + Хо. . УА + ус ZA + ZB + Zc
отсюда и точка М имеет аналогичные
координаты.
4. Расстояние между двумя точками.
Пусть тогда
lABl= АВ = (хв —ХА) +(ув —т'А
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.