Векторно-координатный метод в алгебре и геометрии.

の刀ーー

                    ーX       

 りー2X5 = Yx+3C —Axィ先2 Yう乙,〇

ー多ルq乃な2

0

n.B. MBOY COW Ne 114, e. Bap„ayn

                                                Pacc^rromune Mem€AY CKpe11ÅHBa}011ÅHMHCH nP%Mb1MH               

IIycTb npmvraq Il HMeeT HanpaBJ1%kOUIHä BeKTOP a a •a •a M TOHKH A, PI — TOMKH 9Toii npmoii, nycTb npmag 12 HMeeT HanpaBJ1%10111H1i BeKTOP b {bc,b ;b3} , H TOHKH B, P2 — TOMKH

                                                                          3T0ü npmqeM PIP2 — 06111HM neprreHAHKynqp HP%Mb1X.

Torna PIP2 MO)KHO npenc^rraBHTb KaK CYMMY BekTopoB PIP. = PIA+AB+B% .

cymecTByeT eÅHHCTBeHHOe HHCJIO x*0, TaKoe, HTO PIA = xa , Il b , TO BP2 = Yb . 3HaqMT PIP2 = xa+ AB+yb .

           Torna               xa xal',xa ; xa3}

H3 3T0ii CHCTeMb1 HaineM qmcna x H y, a MOTOM [IOACTaBHM ux B (*). Torna 6yneM 3HaTb KOOPÅHHaTb1 BeKTopa PIP2 , 3Ha^LIHT CMO)ICM HaVfTU ero ,UJIHHY, KOTopaq H 6yneT qmcneHHO paBHa paCCTOHHHK) rlPHMb1MH.

nppnmep 1.

TPH 60KOBb1e pe6pa Tpeyr0J1bHoV1 nupaMHAb1 SABC 11011apH0 nepneHÅHKYJ1%PHb1 H Ka)KAoe H?) HHX paBH0 1. N — cepeAHHa AB, M— cepenvma BS HaMÅHTe  flP%Mb1MH SN CM.

l)emerme:

c

                                                                                                                 МБОУСОШМ

Основные формулы векторно-координатного метода:

Векторы

Пусть а

Взаимное расположение прямых

Уравнение плоскости

Пусть п а , Мо — данная (фиксированная) точка пространства, тогда произвольная точка пространства М лежит в плоскости и, если ММо • п = 0

           Пусть п{А; В; С} , Мо               — данная (фиксированная) точка пространства, тогда про-

извольная точка пространства М (x;y;z) лежит в плоскости и, если

                                                          А(х хо) + В(у уо) +           — а) = 0

Тогда уравнение плоскости АВС по-

лучим из условия

                                                                                   2                                МБОУ СОШМ        г, Барн

Пусть А ХА ; , прямая [с направляющим вектором а аг,а ; а , тогда уравнение плоскости, проходящей через точки А и В параллельно прямой I получим из х — Х      У¯ УА      z—za хв—хн Ув ¯У.4 ZB —zq —

Пусть даны точка А хА , две прямые: I с направляющим вектором а ир с направляющим вектором Ь Ь ;b , тогда уравнение плоскости, проходящей через точку А па-

раллельно прямым I и р получим из условия х—хч у— у 4

Взаимное расположение плоскостей

Пусть плоскости и (12 заданы уравнениями: 14 lX + Щу + Ср + Dl = 0 и А2Х + Во + Су + D2 = 0, тогда

Взаимное расположение прямой и плоскости

Пусть дана прямая I с направляющим вектором а а] ; а ; а и плоскость и с уравнением

Ах + Ву+ Cz + D = 0, тогда l lla а ш п qA+a2B+a С = О

sin l;a — cos а;п

Расстояния:

1. Между двумя точками.

Пусть А ХА ; УА;ЕА

2. От точки до плоскости.

Пусть А , плоскость и имеет уравнение Ах+ Ву+ Cz + D 0, тогда

                                                                                  З                               МБОУСОШМ

ь, Между параллельными плоскостями.

Пусть плоскости (11 и (12 заданы уравнениями: Ах + Ву + Cz + = 0 и Ах + Ву + Cz + D2 — 0, тогда

lDl - д)

4. Между скрещивающимися прямыми.

Пусть прямая ll имеет направляющий вектор а ; а и А, Р: — точки этой прямой, пусть прямая l2 имеет направляющий вектор Ь Ь ;b , и В, 1⁰2 — точки этой прямой, причем

PlP2 — общий перпендикуляр прямых. Тогда PlP2 можно представить как сумму векторов

=                                   . Но так как PlAl l l а , А2Р2 , то PlP2 = ха + AlA2 +yb . Числах иу най-

дем из условий                         Тогда

Объемы:

1. Объем треугольной пирамиды МАВС, если М (Хм; УмРЛ4 '

Ум — ув

— ус.

И. В., лљоу Бар Векторно-координатный метод

1. Применение неравенства треугольника.

Если заданы три точки, не лежащие на одной прямой, то задан треугольник с вершинами в этих точках. На сторонах этого треугольника можно задать векторы. Возможны только две ситуации: Если из одной вершины А выходят два вектора, то вектор, соединяющий концы первых двух, либо направлен как на рис. 1, либо направлен как на рис. 2.

в

                                 с                       с                  

В первом случае векторы связаны равенством а +Ь = с , а во втором а

Тогда по неравенству треугольника а — Ь < с < а + Ь , то есть

а — Ь < a±b < a + b

Для трех точек на прямой возможны случаи: точка В лежит между точками А и С, точка

В лежит вне отрезка АС:                                                                      а

в

В      с          с с

В первом случае а + Ь = си а + Ь = с , то есть а + Ь = a+b . Во втором случае а—Ь тогда а — Ь = с , то есть а — Ь = а—Ь . Чтобы учесть оба варианта расположения точки В относительно отрезка АС запишем а — Ь = а—Ь

Объединяя все случаи, получим следующее утверждение, что для любых векторов а и Ь справедливо неравенство а — Ь a±b а + Ь причем равенство достигается только в случае коллинеарности векторов.

Пример 1. Докажите, что для любых чисел а, Ь, с, d имеет место неравенство

Решение:

              Рассмотрим векторы m(a;b).                тогда т —                                  +d ² , их вектор-

сумма будет иметь координаты т + п (а + +d) , а длина вектора-суммы будет

МБОУ СОШМД114

(6—х)2 +4,

Тогда по неравенству треугольника а + Ь 2 с , То есть (6—х) +4+ (х— 2) +1 25.

Значит исходя из вида первоначального неравенства получаем, что

(6—х) +4+ (х— 2) +1 = 5 , то есть а + Ь = с . А это возможно, только когда векторы а,

Ь и с коллинеарны. Тогда коллинеарны и а, Ь , значит их координаты пропорциональны и

6 ² х

Ответ:

2. Применение скалярного произведения векторов.

Здесь используется координатная форма скалярного произведения векторов и условие а • Ь , где знак равенства тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны.

. Их скалярное произведение равно

2+6 + 7 = л, ф +•Г6+Џ5 < , т.к.

Решение: одз       l < x s 3.

Рассмотрим ВСКТОРЫ а (х; 1) и Ь 1 + х; 3—х

Их скалярное щэоизведение равно а • Ь = х 1 + х + 3—х , а длины

Получили, что а •Ь = а • Ь , значит векторы коллинеарны, то есть

х откуда х — 3х + х + 0. Сумма коэффициентов многочлена в левой части этого уравнения равна 0, значит один из его корней . (Гјродолжите самостоятельно.)

Ответ:

 2

Гриценко ИВ., МБОУ 14 х y—l+y х— 1 =2 х + у— 2, Пример 5. Решить систему уравнений

Решение:

                                                                             одз:у      их? 1.

у— 1; х— 1 . Левая часть уравнения (1) является

скалярным произведением векторов а и b . Определим длины этих векторов а =

из уравнения (2),х + у— 2 и их произведение а b = 2 х + у— 2 . Тогда векторы

коллинеарны, а исходная система равносильна                                   (Продолжите самостоятельно.)

Ответ:

Пример 6. Найдите наибольшее значение выражения 7sin х— 24cosx .

Решение:

Рассмотрим векторы а (7; —24) , b(sin x;cosx) . Тогла данное выражение является скалярным произведснием векторов а и b . Определим длины этих векторов

 — 25,                 sin X+cos х = l . Так как              а • b , то наибольшее значение

скалярного произведения равно произведению длин векторов, то есть 25. Ответ: 25.

                                                            1 Гриценко             ЛЉОУ СОШ М] 14

Координаты вершин и некоторых точек многогранников

Задача 1.

Рассмотрим куб ABCDAlBlClDl с ребром 1.

Введем декартову прямоугольную систему координат так, что ее начало находится в точке В, а ортонормированный базис задан векторами ВА = , ВС=ј , ВЦ Тогда точки имеют координаты :

Задача 2.

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDAlBlClDl с ребрамЮАћ±а, вс ^а Ь, вц с.

Введем )Екартчу координат так, что ее начале. находктсяв точке В, ВА

                                           Тогда Очки            координаты:

Задача З.

Рассмотрим правильную треугольную призму АВСА С, с С] ребрами АВ = ВЦ .

Введем декартову прямоутольную систему координат так, что ее начало находится в середине АВ — точке 2, ось абсцисс сонаправлена вектору QA , ось ординат сонаправлена вектору QC , ось аппликат сонаправлена вектору QQl , где Q1 — середина 141В1 . 2 Гриценко И.В., МБОУ СОШМП4г. Барнаул

Задача 4,

Рассмотрим правильную шестиугольную призму ABCDEFAlBlClDl с ребрамИ, равными 1.

Введем дерртову прямоугольную систему координат так, что ее начало находится »њ.вересечения диагоналей А С и ВГ нижйејф $исе.

вектору ДА , ось ординат сонаправлена вектору QE , ось аппликат сонаправлена вектору QQl ,где Ql =AlCoBlEl. Тогда точки имеют координаты:

01 (

Задача 5.

Рассмотрим прав—ш$тетраэдр DABC с ребрами, равными 1.

Введем декартову:прямоутольную систему координат так, что ее начало находится в середине АВ — точке 2, ось абсцисс сонаправлена вектору QA , ось ординат сонаправлена векшру QC ,

ось аппликат сонаправлена вектору 0D , где О — центроид ДАВС. Тогда точки имеют координаты:

Задача 6.

Рассмотрим правильную треугольную пирамиду ABCDAlBIClDfc ребрами основания, равными а и боковыми ребрами, равными Ь.

                                                             З Гриценко И.В., МБОУ                           г. Барнаул

Задача 7,

Рассмотрим правильную четырехугольную пирамиду MABCD с ребрами, раными 1.

Введем декартову прямоугольную систему координат так, что ее начаЛо находится в ^дочке В, ось абсцисс сонаправлена вектору ВА , ось ординат сонаправлена вектору ВС , ось аппликат сонаправлена вектору ОМ , где О = АС П BD.

Тогда точки имеют координаты;

Задача 8.

Рассмотрим чегырежуЁоЈьЁую пирамиду MABCD, в основании которой лежит.вр—ънще дорнами АВ = З, ВС = 4, вершина проектируется в центр О прямоугольника и МВ = 6,5.

Введем декартову прймоугольную систему коордтт тая утр—учало Находится в точке В, ось абеуссуона—ена EXtopy ВА , ось ординат со-

апш:икат сонаправлена вектору ОМ , где О п BD.

Тогда точки имеют координаты :

Задача 9.

Рассмотрим правильную шестиугольную пирамиду MABCDEF с ребрами основания, равными 1 и боковыми ребрами, равными 2.

Введем декартову прямоугольную систему. координат так, что ее начало находится в точке Q пересечения диагоналей АС и

ВЕ основания, ось абсцисс сонаправлена вектору ДА , ось ординат сонаправлена вектору QE , ось аппликат сонаправлена вектору ОМ , где О — точка пересечения диагоналей AD и ВЕ основания.

4 Гриценко И.В., ЛВОУ                        г, Барнаул
ПростейШие задаф.коордцивтах 1. Координаты середины отрезка.
Пусть в некоторой декартовой прямоугольной системе—диют точка М — середина отрезка АВ. Выведем формуду ддя		,
Рассмотрим ДОАВ, где О — начало координат, триа ОМ;	и
ОМ = —ОА + —ОВ . Найдем координаты каждого вео*                              аналогично                                                     Тогда	—0}, t.e.
-ов —хв; ¯Ув;                           То есть получиЛи, что	УА+ћ.

ом

2. Деление отрезка в данном отношении.

Если точка М делит отрезок АВ в отношении т:п, считая от точки А, то для проювольной

точки О справедливо векторное равенство ОМ = ОВ , значит в системе координат rn+n с началом в точке О и координатами точек

т+п

УА +

т+п

т+п

З. Координаты центроида треугольника.

Пусть в некоторой декартовой прямоугольной системе координат С , точка М — центроид МВС. Выведем формулу для координат точки М.

Пусть О — начало координат, не совпадает ни с одной из вершин ЛАВС. Тогда вектор ОМ имеет разложение

ОМ = -ОА+-ОВ+-ОС .

Найдем координаты каждого вектора.

                                              Тогда не трудно получить ОМ ХА Хв + Хо. . УА + ус ZA + ZB + Zc

отсюда и точка М имеет аналогичные координаты.

4. Расстояние между двумя точками.

           Пусть                                                     тогда lABl= АВ = (хв —ХА) +(ув —т'А

レー、らんロ!死当ーを+イ= 0

 らcらんめ TんAPらんDー

「。の、C んの0 =ゝ

ら十の2 0             らし一P

C 0こ0                                んら:ーg、2十イ=つ

Краткое описание документа:

Использование векторно-координатного метода при решении задач стереометрии даёт шанс учащимся со слабо развитым пространственным мышлением и хорошей алгебраической подготовкой получить баллы на ЕГЭ при решении заданий С2. Однако нужно учитывать, что этот метод не даёт право на ошибку, только верное решение будет зачтено в 2 балла, любая ошибка приведет к результату 0. Некоторые задания С5 также можно решать данным методом, если вы увидете скалярное произведение. В данной разработке приведены примеры решения задач векторно-координатным методом. Честно говоря, применение этого метода в алгебре стало для меня открытием. Теория не моя, спасибо Гриценко И.В.