• 

  
  の刀ーー

  

  

  

                      ーX       

   りー2X5 = Yx+3C —Axィ先2 Yう乙,〇

  

  ー多ルq乃な2

  0

  

• n.B. MBOY COW Ne 114, e. Bap„ayn

                                                  Pacc^rromune Mem€AY CKpe11ÅHBa}011ÅHMHCH nP%Mb1MH               

  IIycTb npmvraq Il HMeeT HanpaBJ1%kOUIHä BeKTOP a a •a •a M TOHKH A, PI — TOMKH 9Toii npmoii, nycTb npmag 12 HMeeT HanpaBJ1%10111H1i BeKTOP b {bc,b ;b3} , H TOHKH B, P2 — TOMKH

                                                                            3T0ü npmqeM PIP2 — 06111HM neprreHAHKynqp HP%Mb1X.

  Torna PIP2 MO)KHO npenc^rraBHTb KaK CYMMY BekTopoB PIP. = PIA+AB+B% .

  cymecTByeT eÅHHCTBeHHOe HHCJIO x*0, TaKoe, HTO PIA = xa , Il b , TO BP2 = Yb . 3HaqMT PIP2 = xa+ AB+yb .

  
  
             Torna               xa xal',xa ; xa3}

  

  H3 3T0ii CHCTeMb1 HaineM qmcna x H y, a MOTOM [IOACTaBHM ux B (*). Torna 6yneM 3HaTb KOOPÅHHaTb1 BeKTopa PIP2 , 3Ha^LIHT CMO)ICM HaVfTU ero ,UJIHHY, KOTopaq H 6yneT qmcneHHO paBHa paCCTOHHHK) rlPHMb1MH.

  nppnmep 1.

  TPH 60KOBb1e pe6pa Tpeyr0J1bHoV1 nupaMHAb1 SABC 11011apH0 nepneHÅHKYJ1%PHb1 H Ka)KAoe H?) HHX paBH0 1. N — cepeAHHa AB, M— cepenvma BS HaMÅHTe  flP%Mb1MH SN CM.

  l)emerme:

  c

  

                                                                                                                   МБОУСОШМ

  Основные формулы векторно-координатного метода:

  Векторы

  Пусть а

  
  Взаимное расположение прямых

  

  Уравнение плоскости

  
  

  Пусть п а , Мо — данная (фиксированная) точка пространства, тогда произвольная точка пространства М лежит в плоскости и, если ММо • п = 0

             Пусть п{А; В; С} , Мо               — данная (фиксированная) точка пространства, тогда про-

  извольная точка пространства М (x;y;z) лежит в плоскости и, если

                                                            А(х хо) + В(у уо) +           — а) = 0

  Тогда уравнение плоскости АВС по-

  лучим из условия

  

                                                                                     2                                МБОУ СОШМ        г, Барн

  Пусть А ХА ; , прямая [с направляющим вектором а аг,а ; а , тогда уравнение плоскости, проходящей через точки А и В параллельно прямой I получим из х — Х      У¯ УА      z—za хв—хн Ув ¯У.4 ZB —zq —

  Пусть даны точка А хА , две прямые: I с направляющим вектором а ир с направляющим вектором Ь Ь ;b , тогда уравнение плоскости, проходящей через точку А па-

  раллельно прямым I и р получим из условия х—хч у— у 4

  Взаимное расположение плоскостей

  

  
  Пусть плоскости и (12 заданы уравнениями: 14 lX + Щу + Ср + Dl = 0 и А2Х + Во + Су + D2 = 0, тогда

  

  Взаимное расположение прямой и плоскости

  Пусть дана прямая I с направляющим вектором а а] ; а ; а и плоскость и с уравнением

  Ах + Ву+ Cz + D = 0, тогда l lla а ш п qA+a2B+a С = О

  sin l;a — cos а;п

  Расстояния:

  1. Между двумя точками.

  Пусть А ХА ; УА;ЕА

  2. От точки до плоскости.

  Пусть А , плоскость и имеет уравнение Ах+ Ву+ Cz + D 0, тогда

                                                                                    З                               МБОУСОШМ

  ь, Между параллельными плоскостями.

  Пусть плоскости (11 и (12 заданы уравнениями: Ах + Ву + Cz + = 0 и Ах + Ву + Cz + D2 — 0, тогда

  lDl - д)

  4. Между скрещивающимися прямыми.

  Пусть прямая ll имеет направляющий вектор а ; а и А, Р: — точки этой прямой, пусть прямая l2 имеет направляющий вектор Ь Ь ;b , и В, 1⁰2 — точки этой прямой, причем

  PlP2 — общий перпендикуляр прямых. Тогда PlP2 можно представить как сумму векторов

  =                                   . Но так как PlAl l l а , А2Р2 , то PlP2 = ха + AlA2 +yb . Числах иу най-

  дем из условий                         Тогда

  Объемы:

  1. Объем треугольной пирамиды МАВС, если М (Хм; УмРЛ4 '

  Ум — ув

  — ус.

  
  

  И. В., лљоу Бар Векторно-координатный метод

  1. Применение неравенства треугольника.

  Если заданы три точки, не лежащие на одной прямой, то задан треугольник с вершинами в этих точках. На сторонах этого треугольника можно задать векторы. Возможны только две ситуации: Если из одной вершины А выходят два вектора, то вектор, соединяющий концы первых двух, либо направлен как на рис. 1, либо направлен как на рис. 2.

  в

                                   с                       с                  

  В первом случае векторы связаны равенством а +Ь = с , а во втором а

  Тогда по неравенству треугольника а — Ь < с < а + Ь , то есть

  а — Ь < a±b < a + b

  Для трех точек на прямой возможны случаи: точка В лежит между точками А и С, точка

  

  
  В лежит вне отрезка АС:                                                                      а

  в

  В      с          с с

  В первом случае а + Ь = си а + Ь = с , то есть а + Ь = a+b . Во втором случае а—Ь тогда а — Ь = с , то есть а — Ь = а—Ь . Чтобы учесть оба варианта расположения точки В относительно отрезка АС запишем а — Ь = а—Ь

  Объединяя все случаи, получим следующее утверждение, что для любых векторов а и Ь справедливо неравенство а — Ь a±b а + Ь причем равенство достигается только в случае коллинеарности векторов.

  Пример 1. Докажите, что для любых чисел а, Ь, с, d имеет место неравенство

  

  Решение:

                Рассмотрим векторы m(a;b).                тогда т —                                  +d ² , их вектор-

  сумма будет иметь координаты т + п (а + +d) , а длина вектора-суммы будет

  

  МБОУ СОШМД114

  (6—х)2 +4,

  Тогда по неравенству треугольника а + Ь 2 с , То есть (6—х) +4+ (х— 2) +1 25.

  Значит исходя из вида первоначального неравенства получаем, что

  (6—х) +4+ (х— 2) +1 = 5 , то есть а + Ь = с . А это возможно, только когда векторы а,

  Ь и с коллинеарны. Тогда коллинеарны и а, Ь , значит их координаты пропорциональны и

  6 ² х

  Ответ:

  2. Применение скалярного произведения векторов.

  Здесь используется координатная форма скалярного произведения векторов и условие а • Ь , где знак равенства тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны.

  . Их скалярное произведение равно

  2+6 + 7 = л, ф +•Г6+Џ5 < , т.к.

  Решение: одз       l < x s 3.

  Рассмотрим ВСКТОРЫ а (х; 1) и Ь 1 + х; 3—х

  Их скалярное щэоизведение равно а • Ь = х 1 + х + 3—х , а длины

  

  Получили, что а •Ь = а • Ь , значит векторы коллинеарны, то есть

  х откуда х — 3х + х + 0. Сумма коэффициентов многочлена в левой части этого уравнения равна 0, значит один из его корней . (Гјродолжите самостоятельно.)

  Ответ:

   2

  Гриценко ИВ., МБОУ 14 х y—l+y х— 1 =2 х + у— 2, Пример 5. Решить систему уравнений

  Решение:

                                                                               одз:у      их? 1.

  у— 1; х— 1 . Левая часть уравнения (1) является

  скалярным произведением векторов а и b . Определим длины этих векторов а =

  из уравнения (2),х + у— 2 и их произведение а b = 2 х + у— 2 . Тогда векторы

  коллинеарны, а исходная система равносильна                                   (Продолжите самостоятельно.)

  Ответ:

  Пример 6. Найдите наибольшее значение выражения 7sin х— 24cosx .

  Решение:

  Рассмотрим векторы а (7; —24) , b(sin x;cosx) . Тогла данное выражение является скалярным произведснием векторов а и b . Определим длины этих векторов

   — 25,                 sin X+cos х = l . Так как              а • b , то наибольшее значение

  скалярного произведения равно произведению длин векторов, то есть 25. Ответ: 25.

  
  

                                                              1 Гриценко             ЛЉОУ СОШ М] 14

  Координаты вершин и некоторых точек многогранников

  Задача 1.

  Рассмотрим куб ABCDAlBlClDl с ребром 1.

  Введем декартову прямоугольную систему координат так, что ее начало находится в точке В, а ортонормированный базис задан векторами ВА = , ВС=ј , ВЦ Тогда точки имеют координаты :

  Задача 2.

  Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDAlBlClDl с ребрамЮАћ±а, вс ^а Ь, вц с.

  Введем )Екартчу координат так, что ее начале. находктсяв точке В, ВА

                                             Тогда Очки            координаты:

  Задача З.

  Рассмотрим правильную треугольную призму АВСА С, с С] ребрами АВ = ВЦ .

  Введем декартову прямоутольную систему координат так, что ее начало находится в середине АВ — точке 2, ось абсцисс сонаправлена вектору QA , ось ординат сонаправлена вектору QC , ось аппликат сонаправлена вектору QQl , где Q1 — середина 141В1 . 2 Гриценко И.В., МБОУ СОШМП4г. Барнаул

  Задача 4,

  Рассмотрим правильную шестиугольную призму ABCDEFAlBlClDl с ребрамИ, равными 1.

  Введем дерртову прямоугольную систему координат так, что ее начало находится »њ.вересечения диагоналей А С и ВГ нижйејф $исе.

  вектору ДА , ось ординат сонаправлена вектору QE , ось аппликат сонаправлена вектору QQl ,где Ql =AlCoBlEl. Тогда точки имеют координаты:

  01 (

  Задача 5.

  Рассмотрим прав—ш$тетраэдр DABC с ребрами, равными 1.

  Введем декартову:прямоутольную систему координат так, что ее начало находится в середине АВ — точке 2, ось абсцисс сонаправлена вектору QA , ось ординат сонаправлена векшру QC ,

  ось аппликат сонаправлена вектору 0D , где О — центроид ДАВС. Тогда точки имеют координаты:

  Задача 6.

  Рассмотрим правильную треугольную пирамиду ABCDAlBIClDfc ребрами основания, равными а и боковыми ребрами, равными Ь.

                                                               З Гриценко И.В., МБОУ                           г. Барнаул

  Задача 7,

  
  

  Рассмотрим правильную четырехугольную пирамиду MABCD с ребрами, раными 1.

  Введем декартову прямоугольную систему координат так, что ее начаЛо находится в ^дочке В, ось абсцисс сонаправлена вектору ВА , ось ординат сонаправлена вектору ВС , ось аппликат сонаправлена вектору ОМ , где О = АС П BD.

  Тогда точки имеют координаты;

  Задача 8.

  Рассмотрим чегырежуЁоЈьЁую пирамиду MABCD, в основании которой лежит.вр—ънще дорнами АВ = З, ВС = 4, вершина проектируется в центр О прямоугольника и МВ = 6,5.

  Введем декартову прймоугольную систему коордтт тая утр—учало Находится в точке В, ось абеуссуона—ена EXtopy ВА , ось ординат со-

  апш:икат сонаправлена вектору ОМ , где О п BD.

  Тогда точки имеют координаты :

  Задача 9.

  Рассмотрим правильную шестиугольную пирамиду MABCDEF с ребрами основания, равными 1 и боковыми ребрами, равными 2.

  Введем декартову прямоугольную систему. координат так, что ее начало находится в точке Q пересечения диагоналей АС и

  ВЕ основания, ось абсцисс сонаправлена вектору ДА , ось ординат сонаправлена вектору QE , ось аппликат сонаправлена вектору ОМ , где О — точка пересечения диагоналей AD и ВЕ основания.

  
  

  4 Гриценко И.В., ЛВОУ                        г, Барнаул
  ПростейШие задаф.коордцивтах 1. Координаты середины отрезка.
  Пусть в некоторой декартовой прямоугольной системе—диют точка М — середина отрезка АВ. Выведем формуду ддя		,
  Рассмотрим ДОАВ, где О — начало координат, триа ОМ;	и
  ОМ = —ОА + —ОВ . Найдем координаты каждого вео*                              аналогично                                                     Тогда	—0}, t.e.
  -ов —хв; ¯Ув;                           То есть получиЛи, что	УА+ћ.

  ом

  2. Деление отрезка в данном отношении.

  Если точка М делит отрезок АВ в отношении т:п, считая от точки А, то для проювольной

  точки О справедливо векторное равенство ОМ = ОВ , значит в системе координат rn+n с началом в точке О и координатами точек

  т+п

  УА +

  т+п

  т+п

  З. Координаты центроида треугольника.

  Пусть в некоторой декартовой прямоугольной системе координат С , точка М — центроид МВС. Выведем формулу для координат точки М.

  Пусть О — начало координат, не совпадает ни с одной из вершин ЛАВС. Тогда вектор ОМ имеет разложение

  ОМ = -ОА+-ОВ+-ОС .

  Найдем координаты каждого вектора.

                                                Тогда не трудно получить ОМ ХА Хв + Хо. . УА + ус ZA + ZB + Zc

  отсюда и точка М имеет аналогичные координаты.

  4. Расстояние между двумя точками.

             Пусть                                                     тогда lABl= АВ = (хв —ХА) +(ув —т'А

• 
  
  

  
  

  
  

  

  

  レー、らんロ!死当ーを+イ= 0

  

  
  

   らcらんめ TんAPらんDー

  「。の、C んの0 =ゝ

  

  ら十の2 0             らし一P

  C 0こ0                                んら:ーg、2十イ=つ

  

  

Краткое описание материала