1000

«Вычисление площадей многоугольников различными способами»

Предпросмотр материала:

Министерство образования и науки РБ

Кижингинский районный отдел образования

МБОУ «Могсохонская средняя общеобразовательная школа

им. Дамдинжапова Ц-Д.Ж.»

 

 

 

 

 

 

Научно-практическая конференция «Шаг в будущее»

Секция «Геометрия»

Научно-исследовательская работа

на тему:

«Вычисление площадей многоугольников различными способами»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил: ученик 9 класса

Санданов Иван

Научный руководитель: учитель математики Батомункуева В.С.

 

 

 

 

 

2019 г.

Оглавление

Введение. 3

Основная часть. 4

1. Теоретическая часть. 4

1.1. Из истории возникновения понятия "Площадь". 4

1.2. Способы вычисления площади фигуры на клетчатой бумаге. 4

2. Практическая часть. 5

2.1. Три способа вычисления площади выпуклого многоугольника. 5

2.2. Три способа вычисления площади невыпуклого многоугольника. 6

2.3. Результаты эксперимента, проведенного в 9 классе. 7

Заключение. 8

Список литературы.. 9

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

В повседневной жизни мы часто встречаемся с понятием площади. Мы говорим: площадь квартиры, площадь садового участка и т.д. На уроках математики мы научились вычислять площади различных многоугольников, мы знаем формулы для вычисления площади квадратов, прямоугольников, параллелограммов, ромбов, трапеций, треугольников.

Так как на уроке мы обычно выполняем решение в тетради, то я обратил внимание, что вычислить площадь многоугольников помогают клетки, изображенные в тетради. Просматривая различную информацию в интернете,  я натолкнулся на формулу, которая позволяет вычислить площадь фигуры, изображённой на клетчатой бумаге по её узлам. Впоследствии мне захотелось изучить различные способы для вычисления площадей многоугольников на клетчатой бумаге и сравнить их.

Гипотеза: формула Пика удобна и менее затратна по времени для вычисления площади геометрической фигуры, изображенной на клетчатой бумаге.

Актуальность выбранной темы: использование различных способов вычисления площади фигур на клетчатой бумаге усиливает интерес учащихся к математике и содействует развитию математических способностей школьников.

Цель работы: исследовать различные способы вычисления площадей фигур на клетчатой бумаге, сравнить полученные результаты.

Задачи исследования:

1.    изучить  теоретический материал по исследуемой теме;

2.    вычислить площади различных многоугольников на клетчатой бумаге различными способами и сравнить их;

3.    провести эксперимент в 9 классе, показывающий каким из предложенных способов учащиеся лучше вычисляют площадь многоугольников, какой способ им больше нравится;

4.    проанализировать и систематизировать полученную информацию.

Объект исследования: задачи  на вычисление площади различных фигур на клетчатой бумаге.

Предмет исследования: способы вычисления площади фигур на клетчатой бумаге.

Методы и исследования:  моделирование, сравнение, обобщение, аналогии, анализ и классификация информации.

Практическая значимость исследования: результаты исследования могут быть использованы на уроках геометрии, в жизни при вычислении различных площадей (здания, участка земли т.д.), а также при подготовке к ОГЭ.

Основная часть

1. Теоретическая часть

1.1. Из истории возникновения понятия "Площадь"

Измерение площадей является одним из самых древних разделов геометрии. В частности, название “геометрия” означает “землемерие”, т.е. связано именно с измерением площадей. Основы этой науки были заложены в Древнем Египте, где после каждого разлива Нила приходилось заново производить разметку участков, покрытых плодоносным илом, т. е. вычислять их площади.

Вавилоняне, так же как и египтяне измеряли большей частью простейшие фигуры, встречающиеся при межевании земель, возведении стен и насыпей, строительстве плотин и каналов и т.п.

Сохранилось немало планов земельных угодий, разделенных на прямоугольники, трапеции и треугольники, а также планов различных строений, свидетельствующих, что вавилонский землемер или архитектор должен был хорошо чертить и проводить геометрические расчеты.

Многие ученые решали проблему вычисления площади фигуры. В историю с понятием площади вошли имена Евклида, Архимеда, Пифагора, Герона Александрийского, Рене Декарта, Пьера Ферма, Георга Пика и др. Ими открыто большое количество различных формул и способов для вычисления площади фигуры.

1.2. Способы вычисления площади фигуры на клетчатой бумаге

При изучении вычисления площадей многоугольников на клетчатой бумаге я заметил, что все задачи строятся на понятии узла. Узел напоминает узел в рыболовной сетке - пересечение горизонтальных и вертикальных линий.

Рисунок 1 – Рыболовная сеть

Рассмотрим вычисление площади одной и той же фигуры тремя способами  и сравним результат вычисления.

 

 

 

 

2. Практическая часть

2.1. Три способа вычисления площади выпуклого многоугольника

Разбиение. Смысл данного способа состоит в том, что многоугольник разрезается на прямоугольники и (или) прямоугольные треугольники с вершинами в узлах сетки.

Рисунок 2 – вычисление площади выпуклого многоугольника методом разбиения

 

Тогда площадь фигуры можно сосчитать по формуле:

Sф = S1 + S2 + S3 + S4= 4 + 1,5 + 1+1 = 7,5.

Рисунок 3 – Вычисление площади выпуклого  многоугольника методом дополнения до прямоугольника

 

Дополнение до прямоугольника. Смысл данного способа – это дополнение многоугольника до прямоугольника так, чтобы его стороны проходили через вершины четырехугольника, а затем вычитание лишних частей. Получим, что площадь фигуры равна:

Sф = Sпр  - (S1 + S2+S3) = 12 - (1,5 + 1+2) = 7,5.

 

Формула Пика. Любая фигура изображенная на листе бумаги делит его на внутреннюю область  и внешнюю, а еще есть граничные точки многоугольника. Нас интересуют внутренние узлы и узлы, которые лежат на границе многоугольника. Тогда формула выглядит так  

где В - количество внутренних узлов;

Г - количество узлов на границе многоугольника.    

Эта формула получила название формула Пика в честь австрийского математика Георга Пика которая появилась в его восьмистраничной работе 1899 года, опубликованной в Праге.

Используя рисунок  В= 5, Г = 7, получаем

Вычисляя площадь выпуклого многоугольника тремя способами, я получил один и тот же результат.                                                                                                        

2.2. Три способа вычисления площади невыпуклого многоугольника

Далее я вычислил площадь невыпуклого многоугольника этими тремя способами.

Рисунок 5 – Вычисление площади невыпуклого многоугольника методом разбиения

По способу разбиения площадь фигуры можно сосчитать по формуле:

Sф = S1 + S2= 2+2=4

 

Рисунок 6 – Вычисление площади невыпуклого многоугольника методом дополнения до прямоугольника

 

Достраивая многоугольник до прямоугольника, и отсекая лишние части,  найдем площадь фигуры

Sф = S - (S1 + S2 + S3) = 12 - (2 + 3 + 3) = 12 - 8 = 4.

 

 

Рисунок 7 – Вычисление площади невыпуклого многоугольника по формуле Пика

 

При подсчете внутренних узлов многоугольника и узлов, лежащих на границе получим, что

В = 3; Г = 4; S = 3 + 4/2 - 1 = 4.

И опять я получил один и тот же результат.

Сравнив результаты я сделал вывод, что вычисление площади по формуле Пика более удобно и менее затратно по времени.

 

2.3. Результаты эксперимента, проведенного в 9 классе

Сделав сравнительный анализ, я провел эксперимент в  своем  классе с целью развития познавательной активности на уроках геометрии и выявления математических знаний у учащихся при вычислении площади фигур. Мной был проведен элемент урока в 9 классе. Я предложил своим одноклассникам вычислить площадь многоугольника двумя способами: по формуле площадей многоугольников и по формуле Пика (Приложение 2).

Ребята с интересом отнеслись к моему заданию, но не у всех получились одинаковые результаты. Хотя формула Пика и легка при вычислении площади, у многих сложность возникла при нахождении узлов на границе фигуры и внутри нее.

 

 

 

 

 

Заключение

Изучив различные источники, выяснилось, что существует различные способы вычисления фигур по клеткам, но для меня были интересны и понятны три: разбиение, дополнение до прямоугольника  и вычисления по формуле Пика.

Моя гипотеза – о том, что если геометрическая фигура изображена на клетчатой бумаге, то ее площадь можно вычислить различными способами и убедиться, что результаты вычислений будут одинаковыми,  подтвердилась. Рассмотрев все три способа, я пришел к выводу, что формула Пика интересна своей простотой. Формулу Пика изучают по школьной программе во многих странах Европы.

Проведя эксперимент в 9  классе я обратил внимание, что вычислять площадь многоугольников по клеткам  ребятам интересно, но не хватает практики, одного занятия недостаточно. Нужно закреплять навык вычисления площадей.

 Задачи на клетчатой бумаге встречаются в заданиях ОГЭ, поэтому я считаю, что такие задания нужно включать в элемент урока, так как это  поможет им при подготовке к экзаменам.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

1.                  Атанасян Л. С. Геометрия 7-9, учебник. – М.Просвещение,2009.

2.                  Жарковская Н. М., Рисс Е. А. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика // Математика, 2009, № 17, с. 24-25.

3.                   История математики с древнейших времен до начала XIX столетия, под редакцией Ю.П. Юшкевича., издательство Наука., М., 1970г

4. Смирнова И. М., Смирнов В. А. Геометрия на клетчатой бумаге. – М.: Чистые пруды, 2009.

Интернет ресурсы:

http://www.pppa.ru/additional/01geodesy/06/02topo.php

http://ru.wikihow.com http://knowledge.allbest.ru/mathematics/3c0b65635b3bd68b4c43b89521306d27_0.html

http://argonavt.narod.ru/Kenpark.html

http://infourok.ru/issledovatelskaya-rabota-vichislenie-ploschadi-mnogougolnika-na-kletchatoy-bumage-910671.html

https://docviewer.yandex.ru

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение 1.

В 6 из 10 заданий учащиеся лучше справились по формуле Пика,

В 1 задании результаты оказались одинаковыми.

80 % учащихся ответили, что им больше понравилось вычислять площадь по формуле Пика.

Всего: 10 учащихся

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0%

Краткое описание материала

«Вычисление площадей многоугольников различными способами»

    DOCX

03.04.2019

3054

21

Файл будет скачан в формате:

    DOCX

Краткое описание материала

Автор материала

Батомункуева Валентина Солбоновна

Батомункуева Валентина Солбоновна

учитель математики и информатики

  • На сайте: 9 лет и 2 месяца
  • Всего просмотров: 12862
  • Подписчики: 0
  • Всего материалов: 9
  • 12862
    просмотров
  • 9
    материалов
  • 0
    подписчиков

Настоящий материал опубликован пользователем Батомункуева Валентина Солбоновна.
Инфоурок является информационным посредником. Всю ответственность за опубликованные материалы несут пользователи, загрузившие материал на сайт. Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете на материал.

ИИ для создания материалов

Создавайте материалы с ИИ

Если готовые материалы не подошли — помогут нейросети

Конспекты, тесты, презентации, рабочие листы и другие материалы по ФГОС — под ваш урок, класс и цели занятия за пару минут.

Попробовать бесплатно

Выберите инструмент

~170

Нейросети могут ошибаться. Обязательно проверяйте ответы.

Курсы по теме

Перейти в каталог курсов

Мини-курсы по теме

Перейти в каталог мини-курсов

Найдите подходящий для Вас курс

Найдите подходящий для Вас курс

В каталоге 7 495 курсов по разным направлениям

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы: