Вычисление площади многоугольников изображённых на клетчатой бумаге.

                             1 способ:   Площадь фигур по формулам.

рис1 S= Рис2                                                                         рис3                     S =                                                                  S =

       2 способ:      Площадь фигуры как сумма площадей её частей

     Задача 1. Найдём площадь фигуры АВСD (см.рис.4). Если клетки размером 1х1см.

Разобьем фигуру АВСD на части (1, 2, 3 и 4).

1

По свойству площадей:

2

3

 S = S1  + S2  + S3 + S4  =

= (1∙4):2 + (1∙3):2 + 1∙1 + (1∙2):2  =

4

= 2 + 1,5 + 1 + 1 = 5,5 см²

                                   Ответ: 5,5 см²  

                  Рис.4                 

  3 способ:   Площадь фигуры как часть площади прямоугольника

Конечно, есть ещё способы нахождения фигур на клеточной бумаге. Например, можно просто считать количество целых клеток внутри фигуры, а из оставшихся кусочков «складывать» целые клетки, но это довольно долго и трудно, особенно если фигура сложной формы.

Задача 2. Найдём площадь фигуры АВСD (см.рис.5). Если клетки размером 1х1см.

Опишем около фигуры АВСD прямоугольник.

4

1

Из площади прямоугольника (в данном случае это квадрат) вычтем площади полученных простых фигур (1, 2, 3 и 4):

S = Sпр  – S1 – S2 – S3 – S4  =

2

3

= 4∙4 – (3∙1):2 – (3∙1):2 – (3∙1):2 – (3∙1):2 = 16 – 1,5 – 1,5 – 1,5 – 1,5 = 10 см²

Ответ: 10 см²

                 Рис.5                                                                                    

                                        4 способ  :Формула Пика

         Есть такие фигуры на клеточной бумаге, для которых эти формулы применить очень трудно, да и эта работа занимает много времени. А на экзамене по математике в 9-м и в 11-м классе каждая минута дорога! Площади многоугольников, вершины которых расположены в узлах решетки, можно вычислять очень быстро.Есть интересная формула, которая связывает их площадь с количеством узлов, лежащих внутри и на границе данного многоугольника. Эта замечательная и простая формула называется формулой Пика. Знакомство с формулой Пика особенно актуально накануне сдачи ЕГЭ и ОГЭ. С помощью этой формулы можно без проблем решать большой класс задач, предлагаемых на экзаменах,—это задачи на нахождение площади многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге. Маленькая формула Пика заменит целый комплект формул, необходимых для решения таких задач. Формула Пика будет работать «одна за всех…»!

рис.6

Пусть В – число узлов решетки, расположенных строго внутри многоугольника,

Г – число узлов решетки, расположенных на его границе, включая вершины,

 S — его площадь. Тогда справедлива формула Пика:   S = В +  – 1.

 Эта формула не является секретной. Об этой формуле обычно рассказывается применительно к нахождению площади треугольника.   Автор этой формулы австрийский математик Георг Пик (приложение 1). [8]  

 Формула Пика верна для всех рассмотренных выше примеров. Теперь мы знаем, что если многоугольник можно разрезать на треугольники с вершинами в узлах сетки, то для него верна формула Пика.

Рассмотрим применение формулы Пика на примерах:

Задача 3.

Найдем площадь треугольника (см.рис.7. Отметим узлы (пересечение линий) на границе треугольника и внутри треугольника:

В = 34 (обозначены синим), Г = 15 (обозначены оранжевым).

                                               Рис.7

                       S= 34 + 15/2 – 1 = 40,5 ед²

                                                                                                 Ответ: 40,5

Понятно, что находить площадь трапеции, параллелограмма, треугольника проще и быстрее по соответствующим формулам площадей этих фигур. А вот когда дан многоугольник, у которого пять и более углов эта формула работает хорошо. [9]

Задача 4. Найдем площадь пятиугольника  

Отметим узлы (пересечение линий) на границе пятиугольника и внутри пятиугольника:

В = 43 (обозначены синим),

Г = 14 (обозначены оранжевым).                                           

S= 43 + 14/2 – 1 = 49 ед²                                           

  Ответ: 49

Рис.8

Кто же такой Георг Александер Пик?

Австрийский математик Георг Александер Пик родился 10 августа 1859 году в Вене. Его отец, будучи руководителем частного института, предпочел до 11 лет обучать мальчика на дому, а потом отдал его сразу в четвертый класс гимназии, которую он окончил в 1875 году.

В 16 лет Георг поступил в Венский университет. В 20 лет получил право преподавать физику и математику.  Преподавательская деятельность в Немецком университете в Праге в 1888 г. Пик получил место экстраординарного профессора математики, затем в 1892г. стал ординарным профессором. В 1910 г. Георг Пик был в комитете, созданном Немецким университетом Праги для рассмотрения вопроса о принятии Альберта Эйнштейна профессором в университет. Пик и физик  Антон Лампа были главными инициаторами этого назначения, и благодаря их усилиям Эйнштейн, с которым Пик впоследствии сдружился, в 1911г. возглавил кафедру теоретической физики в Немецком университете в Праге. Круг математических интересов Пика был чрезвычайно широк. [8]  

       Среди всего многообразия достижений австрийского математика выделяется формула для вычисления площадей многоугольников с вершинами в узлах клетки открытая им в 1899 году. Она стала широко известна только в 1969 году, после того, как Гуго Штейнгауз включил ее в свою знаменитую книгу «Математический калейдоскоп». В Германии эта теорема включена в школьные учебники.

После выхода в 1927 году на пенсию Пик вернулся в свой родной город Вену. Однако после аншлюса (присоединение) 12 марта 1938 года Австрии с Германией ему снова пришлось перебраться в Прагу. В сентябре 1938 года фашистская Германия вторглась на территорию Чехословакии. Г.А. Пик был брошен в концентрационный лагерь в Терзинштадте, где и умер две недели спустя.

Задачи с практическим содержанием

Поможет нам формула Пика и для решения геометрических задач с практическим содержанием, когда объект изображен на клетчатой бумаге в масштабе. [4]

Задача  5.  Найдите площадь лесного массива (в м²), изображённого на плане с квадратной сеткой 1 × 1см в масштабе 1 см – 200 м (рис. 9).

Найдём S площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге по формуле Пика:  S = В +  – 1

В = 8,  Г = 7.     

S = 8 + 7/2 – 1 = 10,5 см²

Т.к. 1 см² - 200² м²,  то

Sмассива = 40000 · 10,5 = 420 000 м²                          

                 Рис. 9                                                                       Ответ: 420

Задача 6. Найдите площадь поля (в м²), изображённого на плане с квадратной сеткой  1 × 1см  в масштабе 1 см – 100 м (рис. 10).

Рис.10

Найдём S площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге по формуле Пика:  S = В +  – 1.       В = 7,  Г = 4.     

S = 7 + 4/2 – 1 = 8 см²,  т.к. 1 см² - 100² м²,  то   

 Sполя = 10000 · 8 = 80 000 м²

Ответ: 80 000 м²      

Из всех задач по геометрии у нас вызывают интерес задачи на решётках. И это не случайно. Такие задачи в учебниках по геометрии не встречаются, а на экзаменах и в олимпиадных заданиях они есть. Вот такие задачки надо научиться решать. Существует достаточное количество способов нахождения площадей фигур на клетчатой бумаге.

Мы рассмотрели основные из них. Задачи, поставленные в самом начале нашей работой, выполнили. Все предложенные  способы, нахождения площадей плоских фигур, на клетчатой бумаге нам очень интересны, но самым результативным оказался способ решения по формуле Пика.

Формула Пика — это настоящий клад для тех ребят, которые не могут выучить все формулы для вычисления площадей фигур, для тех, кто так и не уяснил до конца, как разбить фигуру на части или выполнить дополнительное построение. С другой стороны, для тех, кто площадь многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге умеет находить с помощью вышеперечисленных приёмов, а формула Пика нужна, чтобы решить задачу ещё и этим способом , тем самым проверить правильность своего предыдущего решения, сверив полученные ответы.

Анализ решений показал, что применение формулы Пика даёт возможность решать задачи на нахождение площади многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге очень быстро и легко. Это позволяет экономить время на экзамене Эта работа была нам интересна, и мы надеемся, что результаты наших исследований, помогут учащимся при сдаче экзамена по математике.

Приложение 1

Георг Александр Пик  (нем. Georg Alexander Pick; 10 августа 1859 г. – 13 июля 1942 г.) – австрийский математик.       В 16 лет Георг окончил школу и поступил в Венский университет. В 20 лет получил право преподавать физику и математику.         16 апреля 1880 года под руководством Лео Кёнигсберга  Пик защитил докторскую диссертацию «О классе абелевых интегралов». В 1881 году он получил место ассистента у Эрнста Маха, который занял кафедру физики в Пражском университете. Чтобы получить право чтения лекций, Георгу необходимо было пройти  хабилитацию.  Для этого он написал работу «Об интеграции гиперэллиптических дифференциалов логарифмами». Это произошло в 1882 году, вскоре после разделения Пражского университета на чешский (Карлов университет) и немецкий (Университет Карла-Фердинанда). Пик остался в Немецком университете. В 1884 году Пик уехал в Лейпцигский университет к Феликсу Клейну. Там он познакомился с другим учеником Клейна, Давидом Гильбертом. Позже, в 1885 г., он вернулся в Прагу, где и прошла оставшаяся часть его научной карьеры. Преподавательская деятельность в Немецком университете в Праге в 1888 г. Пик получил место экстраординарного профессора математики, затем в 1892г. стал ординарным профессором. В 1910 г. Георг Пик был в комитете, созданном Немецким университетом Праги для рассмотрения вопроса о принятии Альберта Эйнштейна профессором в университет. Пик и физик  Антон Лампа были главными инициаторами этого назначения, и благодаря их усилиям Эйнштейн, с которым Пик впоследствии сдружился, в 1911г. возглавил кафедру теоретической физики в Немецком университете в Праге. Круг математических интересов Пика был чрезвычайно широк. В частности, им написаны работы в области функционального анализа  и  дифференциальный геометрии, эллиптических и абелевых функций, теории  дифференциальных уравнений  и комплексного анализа, всего более 50 тем. С его именем связаны матрица Пика, интерполяция Пика - Неванлинны,  лемма Шварца-Пика. Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника. В Германии эта теорема включена в школьные учебники. [8]

Приложение 2

Исследование площадей многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге.

Найдите площадь окрашенной фигуры, изображенной на чертеже. Размер каждой клетки равен 1см * 1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Задача 1.

Дано:                 

Г=10, В=27.

Решение: S=27+10:2-1=31(кв. ед.)

Ответ: 31 кв.ед.

Задача 2.

Дано:

Г=3, В=0.

Решение: S=0+3:2-1=1 (кв. ед)

Ответ: 1 кв. ед.

Задача 3.

Дано:

Г=4, В=0.

Решение:  S=0+4:2-1=1 (кв.ед.)

Ответ: 1 кв.ед.

Задача 4.

 

Дано:

Г=6, В=3.

Решение: S=3+6:2-1=5 (кв.ед.)

Ответ: 5 кв.ед.

Задача 5.

Дано:

Г=6, В=16.

Решение: S=16+6:2-1=17(кв.ед.)

Ответ: 17 кв.ед.

  Задача 6: Найти площадь «ракеты».

Дано:

Г=20, В=25.

Решение: S=25+20:2-1=34 (кв.ед.)

Ответ: 34 кв.ед.

Задача 7: Найти площадь  кувшина.

Дано:

Г=6, В=14.

Решение: S=14+6:2-1=16 (кв.ед.)

Ответ: 16 кв.ед.

Задача 8: Найти площадь «плачущего сердца».

Дано:

Г=10, В=4.

Решение: S=4+10:2-1=8 (кв.ед.)

Ответ: 8 кв.ед.

Задача 9.

Дано:

Г-9, В=11.

Решение: S= 11+9:2-1=14,5 (кв.ед.)

Ответ: 14,5 кв.ед.

  Задача 10.

Дано:

Г=26, В=32.

Решение: S=32+26:2-1=44 (кв.ед.)

Ответ: 44 кв.ед.

Задача 11.

Дано:

Г=16, В=27.

Решение: S=27+16:2-1=34 (кв.ед.)

Ответ: 34 кв.ед.

Приложение 3                                                                    Задача 1.

Найдём площадь фигуры АВСD (см.рис.6). Если клетки размером 1х1см.

4

Опишем около фигуры АВСD  прямоугольник.

1

Из площади прямоугольника вычтем площади полученных простых фигур (1, 2, 3 и 4):

S = Sпр  – S1 – S2 – S3 – S4  =

3

= 3∙6 – (4∙1):2 – (2∙2):2 – (4∙1):2  – (2∙2):2 =

2

= 18 – 2 – 2 – 2 – 2 = 10 см²

              

                     Рис.6                                                                               Ответ: 10 см²

Задача 2. Найдём площадь фигуры АВСD (см.рис.1). Если клетки размером 1х1см.

Разобьем фигуру АВСD на части (1 и 2).

По свойству площадей:

 S = S1  + S2  =

1

2

= (2∙3):2 + 3∙2  =

= 3 + 6 = 9 см²

                                     Ответ: 9 см² 

                Рис.1 

Задача 3. Найдём площадь фигуры АВСD (см.рис.5). Если клетки размером 1х1см.

Опишем около фигуры АВСD прямоугольник.

2

3

1

Из площади прямоугольника (в данном случае это квадрат) вычтем площади полученных простых фигур (1, 2 и 3):

S = Sпр  – S1 – S2 – S3 =  

= 4∙4 – (4∙4):2 – (2∙1):2 – (2∙1):2  = 16 – 8 – 1 – 1 =

= 6 см²

               Рис.5                                                                                       Ответ: 6 см²  

                                                                                   Приложение 4

1.                 Найдите площадь трапеции ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

2.                 Найдите площадь трапеции ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

3.                 Найдите площадь четырехугольника ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

4.                 Найдите площадь четырехугольника ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1. 

5.   Найдите площадь параллелограмма ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

6.   Найдите площадь треугольника ABC, считая стороны квадратных клеток равными 1.

7.       Найдите площадь трапеции ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

8.       Найдите площадь четырехугольника ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

9.                 Найдите площадь параллелограмма ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

10.            Найдите площадь треугольника ABC, считая стороны квадратных клеток равными 1.

11.            Найдите площадь трапеции ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

12.            Найдите площадь четырехугольника ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.