Упрощение тригонометрических выражений

14. Упрощение тригонометрических выражений

Равенства

Часто они используются при упрощении  и доказательстве тригонометрических  выражений.

 Рассмотрим примеры использования этих формул при упрощении тригонометрических выражений.

( вынесем за скобку общий множитель косинус квадрат тэ, в скобках получим разность единицы и квадрата косинуса тэ, что равно  по первому тождеству квадрату синуса тэ.  Получим  сумму синус четвертой степени тэ произведения косинус квадрат тэ и синус квадрат тэ.  общий множитель синус квадрат тэ вынесем за скобки, в скобках получим сумму квадратов косинуса и синуса, что по основному тригонометрическому  тождеству равно единице. В итоге получим квадрат  синуса тэ).

( Вынесем общий множитель косинус тэ за скобки, а в скобках приведем к общему знаменателю, который представляет собой произведение один минус синус тэ на один плюс синус тэ.

В числителе получим:  единица плюс синус тэ плюс единица минус синус тэ, приводим подобные, числитель равен  двум после приведения подобных.

В знаменателе можно применить формулу сокращенного умножения (разность квадратов) и получить разность единицы и квадрата синуса тэ, что по основному тригонометрическому тождеству 

 равно квадрату косинуса тэ. После сокращения на косинус тэ получим конечный ответ : два деленное на косинус тэ).

 

Рассмотрим примеры использования этих формул при доказательстве тригонометрических выражений.

ПРИМЕР 4.Найти значение выражения tg ² t + ctg ² t ,если  tg t + ctg t = 6.

( сумма квадратов тангенса тэ и котангенса тэ, если сумма тангенса и котангенса равна шести).

Решение. (tg t + ctg t)² = 6²

tg ² t + 2 ∙ tg t ∙ctg t + ctg ² t = 36

tg ² t + 2 + ctg ² t = 36

tg ² t + ctg ² t = 36-2

tg ² t + ctg ² t = 34

Возведем обе части исходного равенства в квадрат:

(tg t + ctg t)² = 6² ( квадрат суммы тангенса тэ и котангенса тэ равна шести в квадрате).  Вспомним формулу сокращённого умножения: Квадрат суммы двух величин равен квадрату первой плюс удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй. (a+b)²=a²+2ab+b²    Получим tg ² t + 2 ∙ tg t ∙ctg t + ctg ² t = 36 (тангенс квадрат тэ плюс удвоенное произведение тангенса тэ на котангенс тэ плюс котангенс квадрат тэ равно тридцати шести).

Так как произведение тангенса тэ на котангенс тэ равно единице, то  tg ² t + 2 + ctg ² t = 36 ( сумма квадратов тангенса тэ и котангенса тэ и двух равна тридцати шести),

 значит  tg ² t + ctg ² t = 34 (сумма квадратов тангенса тэ и котангенса тэ равна тридцати четырем).  Ответ: 34.