Понятие корня n-й степени из действительного числа
Материалы к уроку
Конспект урока
Понятие корня n-ой степени из действительного числа
Решим графически уравнение икс в шестой степени равно единице, для этого построим в одной системе координат следующие графики функций: ( игрек равен икс в шестой степени)
х |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
у |
64 |
1 |
0 |
1 |
64 |
и ( игрек равен единице). Как мы видим, они пересекаются в двух точках М и Н, где абсциссы точек пересечения являются корнями уравнения (икс в шестой степени равно единице), (рис.1)
Найдем корни уравнения.
Икс в четвертой степени равен восемьдесят один
х |
-3 |
-1 |
0 |
1 |
3 |
у |
81 |
1 |
0 |
1 |
81 |
Как мы видим, они пересекаются в двух точках А и С, где абсциссы точек пересечения являются корнями уравнения
Из решения двух уравнениий мы видим, что каждое из них имеет два корня, причем эти числа взаимно противоположны.
В этих двух уравнениях корни находятся достаточно легко.
Рассмотрим уравнение икс в шестой степени равен семи
х |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
у |
64 |
1 |
0 |
1 |
64 |
По чертежу видно, что уравнение имеет два корня икс один и икс два, но точные их значения указать нельзя, а только приближенные: они располагаются на оси х, один корень чуть левее точки -1, а второй — чуть правее точки 1.
Для того, чтобы разрешить аналогичные ситуации, математики ввели новый символ корень шестой степени. И с помощью этого символа корни данного уравнения можно записать так: икс один равен корень шестой степени из семи и икс два равен минус корень шестой степени из семи.
Рассмотрим решение уравнений с нечетной степенью
х |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
у |
-8 |
-1 |
0 |
1 |
8 |
х |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
у |
-32 |
-1 |
0 |
1 |
32 |
Как видно из чертежей, каждое из уравнений имеет один корень, но в первом уравнении корнем является целое число два, а во втором точно указать значение нельзя, следовательно, для него введем обозначение корень пятой степени из шести.
(если а неотрицательное число, n — натуральное число, большее единицы, то корень энной степени из числа а есть неотрицательное число и если корень энной степени из числа а возвести в энную степень, то получим число а, то есть подкоренное число).
Другими словами, определение можно перефразировать следующим образом: корнем энной степени из числа а называется число бэ, энная степень которого равна а.
Под термином извлечение из под корня понимают нахождение корня из неотрицательного числа. Другими словами, нужно выполнить обратное действие к возведению в соответствующую степень. Рассмотрим таблицу:
Будьте внимательны, согласно определению корня энной степени, в таблице рассматриваются только положительные числа.
Определение: Корнем нечетной степени n из отрицательного числа а (n=3,5,7,…)называют такое отрицательное число m, которое, будучи возведено в степень n, дает в результате число а.
(если а — отрицательное число,n — натуральное нечетное число, большее единицы, то корень энной степени из числа а есть отрицательное число, и если корень энной степени из числа а возвести в энную степень, то получим число а, то есть подкоренное число).
Проанализировав определения и свойства корня энной степени из числа, сделаем вывод:
- Корень четной степени имеет смысл (то есть определен) только для неотрицательного подкоренного выражения;
- корень нечетной степени имеет смысл для любого подкоренного выражения
Рассмотрим примеры решения уравнения:
Остались вопросы по теме? Наши педагоги готовы помочь!
Подготовим к ЕГЭ, ОГЭ и другим экзаменам
Найдём слабые места по предмету и разберём ошибки
Повысим успеваемость по школьным предметам
Поможем подготовиться к поступлению в любой ВУЗ