Решение неравенств с одной переменной. Системы и совокупности неравенств

Сегодня на уроке мы обобщим наши знания при решении систем неравенств и изучим решение совокупности систем неравенств.

Текст.

Тема «Системы и совокупности неравенств»

Определение первое.

Говорят, что несколько неравенств с одной переменной образуют систему неравенств, если ставится задача найти все общие решения заданных неравенств.

Значение переменной, при котором каждое из неравенств системы обращается в верное числовое неравенство, называют частным решением системы неравенств.

Множество всех частных решений системы неравенств представляет собой общее решение системы неравенств (чаще говорят просто — решение системы неравенств).

Решить систему неравенств – значит найти все ее частные решения, либо доказать, что у данной системы решений нет.

Текст.

Определение 1.

несколько неравенств с одной переменной образуют систему неравенств, если ставится задача найти все общие решения заданных неравенств.

Значение переменной, при котором каждое из неравенств системы обращается в верное числовое неравенство, называют частным решением системы неравенств.

Множество всех частных решений системы неравенств представляет собой общее решение системы неравенств (чаще говорят просто решение системы неравенств).

Решить систему неравенств – значит найти все ее частные решения, либо доказать, что у данной системы решений нет.

Запомните! Решение системы неравенств – это пересечение решений неравенств, входящих в систему.

Неравенства, входящие в систему, объединяются фигурной скобкой.

Текст.

Запомните! Решение системы неравенств – это пересечение решений неравенств, входящих в систему.

Неравенства, входящие в систему, объединяются фигурной скобкой.

Алгоритм решения системы неравенств с одной переменной:

Перовое — отдельно решить каждое неравенство.

Второе — найти пересечение найденных решений.

Это пересечение и является множеством решений системы неравенств

Текст.

Алгоритм решения системы неравенств с одной переменной:

1) отдельно решить каждое неравенство;

2) найти пересечение найденных решений.

Это пересечение и является множеством решений системы неравенств

Задание 1

Решить систему неравенств семь икс минус сорок два меньше либо равно нулю и два икс минус семь больше нуля.

Решение первого неравенства — икс меньше либо равно шести, второго неравенства – икс больше семи вторых. Отметим эти промежутки на координатной прямой. Решение первого неравенства помечено штриховкой снизу, второго неравенства – штриховкой сверху. Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств, то есть промежуток, на котором обе штриховки совпали. В итоге получаем полуинтервал  от семи вторых до шести, включая шесть.

Задание 2

Решить систему неравенств: икс квадрат плюс икс минус шесть больше нуля и икс квадрат плюс икс плюс шесть больше нуля.

Решение

Решим первое неравенство — икс квадрат плюс икс минус шесть больше нуля.

Рассмотрим функцию игрек равен икс квадрат плюс икс минус шесть. Нули функции: икс первое равно минус трем, икс второе равно двум. Изображая схематически параболу, найдем, что решением первого неравенства является объединение открытых числовых лучей от минус бесконечности до минус трех и от двух до плюс бесконечности.

Решим второе неравенство системы икс квадрат плюс икс плюс шесть больше нуля.

Рассмотрим функцию игрек равен икс квадрат плюс икс плюс шесть. Дискриминант равен минус двадцати трем меньше нуля, значит, функция не имеет нулей. Парабола не имеет общих точек с осью Ох. Изображая схематически параболу, найдем, что решением неравенства является множество всех чисел.

Изобразим на координатной прямой решения неравенств системы.

Из рисунка видно, что решением системы является объединение открытых числовых лучей от минус бесконечности до минус трех и от двух до плюс бесконечности.

Ответ: объединение открытых числовых лучей от минуса бесконечности до минус трех и от двух до плюс бесконечности.

Текст.

Пример2.

Решить систему неравенств

х²+х-6>0;

х²+х+6>0.

Решение.

Решим первое неравенство х²+х-6>0.

Рассмотрим функцию у= х²+х-6. Нули функции:х₁= -3, х₂=2. Изображая схематически параболу

Найдем, что у>0 при х ∈(-∞;-3) U(2;+∞).

Решим второе неравенство системы х²+х+6>0. Рассмотрим функцию у= х²+х+6. D= -23<0, то функция не имеет нулей. Значит, парабола не имеет общих точек с осью Ох. Изображая схематически параболу

Найдем, что х²+х+6>0 при всех значениях х.

Изобразим на координатной прямой решения неравенств системы

Таким образом  решением системы является (-∞;-3) U(2;+∞).

Ответ: (-∞;-3) U(2;+∞).

Запомните! Если в системе из нескольких неравенств одно является следствием другого (или других), то неравенство-следствие можно отбросить.

Текст.

Запомните! Если в системе из нескольких неравенств одно является следствием другого (или других), то неравенство-следствие можно отбросить.

Рассмотрим пример решения неравенства системой.

Задание 3

Решить неравенство логарифм выражения икс квадрат минус тринадцать икс плюс сорок два по основанию два больше либо равно единице.

Решение

ОДЗ неравенства задается условием икс квадрат минус тринадцать икс плюс сорок два больше нуля. Представим число один как логарифм двух по основанию два и получим неравенство — логарифм выражения икс квадрат минус тринадцать икс плюс сорок два по основанию два больше либо равно логарифму двух по основанию два.

Видим, что основание логарифма равно  двум больше одного, то приходим к равносильному неравенству икс квадрат  минус тринадцать икс плюс сорок два больше либо равно двум. Следовательно, решение данного логарифмического неравенства сводится к решению системы двух квадратных неравенств.

Причем легко заметить, если выполнено второе неравенство, то тем более выполняется первое неравенство. Поэтому первое неравенство – следствие второго, и его можно отбросить. Второе неравенство преобразуем и запишем в виде: икс квадрат  минус тринадцать икс плюс сорок больше нуля. Решением его является объединение двух числовых лучей от минус бесконечности до пяти и от восьми до плюс бесконечности.

Ответ: объединение двух числовых лучей от минус бесконечности до пяти и от восьми до плюс бесконечности.

открытых числовых лучей

Текст.

Пример 3.

Решить неравенство log₂(х² -13х +42)≥1.

Решение.

ОДЗ : х² -13х +42>0.

1= log₂2, 

log₂(х² -13х +42)≥ log₂2

Т.к. 2>1, то получим

х² -13х +42≥ 2.

Имеем:

  х² -13х +42>0,

  х² -13х +42≥ 2.

х² -13х +40>0

х∈(-∞;5] U[8;+∞)

Ответ: (-∞;5] U[8;+∞)

Определение  второе.

Говорят, что несколько неравенств с одной переменной образуют совокупность  неравенств, если ставится задача найти все такие значения переменной, каждое из которых является решением, хотя бы одного из заданных неравенств.

Каждое такое значение переменной называют частным решением совокупности неравенств.

Множество всех частных решений совокупности  неравенств представляет собой общее решение совокупности неравенств.

Текст.

Определение 2.

Говорят, что несколько неравенств с одной переменной образуют совокупность  неравенств, если ставится задача найти все такие значения переменной, каждое из которых является решением, хотя бы одного из заданных неравенств.

Каждое такое значение переменной называют частным решением совокупности неравенств.

Множество всех частных решений совокупности  неравенств представляет собой общее решение совокупности неравенств.

Запомните! Решение совокупности неравенств – объединение решений неравенств, входящих в совокупность.

Неравенства, входящие в совокупность, объединяются квадратной скобкой.

Текст.

Запомните! Решение совокупности неравенств – объединение  решений неравенств, входящих в совокупность.

Неравенства, входящие в совокупность, объединяются квадратной скобкой.

Алгоритм решения совокупности неравенств:

Первое — отдельно решить каждое неравенство.

Второе — найти объединение найденных решений.

Это объединение и является решением совокупности неравенств.

Текст.

Алгоритм решения совокупности неравенств:

1)отдельно решить каждое неравенство;

2) найти объединение найденных решений.

Это объединение и является решением совокупности неравенств.

Задание 4      

Решить совокупность неравенств:

ноль целых две десятых умноженное на разность двух икс и трех меньше икс минус два;

пять икс минус семь больше икс минус шесть.

Решение

Преобразуем каждое из неравенств. Получим равносильную совокупность

икс больше семи третьих;

икс больше одной четвертой.

Для первого неравенства множеством решений служит промежуток от семи третьих до плюс бесконечности, а для второго – промежуток от одной четвертой до плюс бесконечности.

Изобразим на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих неравенствам икс больше семи третьих и икс больше одной четвертой.

Находим, что объединением этих множеств, т.е. решением данной совокупности неравенств, является открытый числовой луч от одной четвертой до плюс бесконечности.

Ответ: открытый числовой луч от одной четвертой до плюс бесконечности.

Текст.

Задание 5

Решить совокупность неравенств:

два икс минус один меньше трех и три икс минус два больше либо равно десяти.

Решение

Преобразуем каждое из неравенств. Получим равносильную совокупность неравенств: икс больше двух и икс больше либо равно четырем.

Изобразим на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих этим неравенствам.

Находим, что объединением этих множеств, т.е. решением данной совокупности неравенств, является открытый числовой луч от двух до плюс бесконечности.

Ответ: открытый числовой луч от двух до плюс бесконечности.

Текст.

Пример5.

Решить совокупность неравенств

    2х-1>3,

    3х-2≥10.

Решение.

    х>2,

    х≥4.

(2;+∞) U [4;+∞)=( 2;+∞)

Ответ: (2;+∞).