Неравенства с параметрами

На этом уроке мы изучим алгоритм решения неравенств с параметрами и научимся применять его при решении такого типа заданий.

Текст

Тема урока «Неравенства с параметром»

Определение первое.

Решить неравенство с параметром — значит для каждого значения параметра найти множество всех решений данного неравенства или доказать, что решений нет.

Рассмотрим линейные неравенства.

Текст.

Определение 1.

Решить неравенство с параметром- значит для каждого значения параметра найти множество всех решений данного неравенства или доказать, что решений нет.

Определение второе.

Неравенства вида а икс плюс бэ больше нуля, больше либо равно нулю, меньше нуля, меньше либо равно нулю, где a и бэ — действительные числа, икс — переменная, называются неравенствами первой степени (линейными неравенствами).

Текст.

Рассмотрим линейные неравенства.

Определение 2.

Неравенства вида

ax + b > 0,   ax + b ≥ 0,   ax + b < 0,  

 ax + b ≤ 0, где a, b Î R,   x - переменная, называются неравенствами первой степени (линейными неравенствами).

Алгоритм решения линейного неравенства с параметром, например, неравенства а икс плюс бэ больше нуля, где a и бэ — действительные числа, икс — переменная. Рассмотрим следующие случаи:

Первый случай:  a больше нуля, тогда икс больше минус бэ деленное на а. 

Следовательно, множество решений неравенства есть открытый числовой луч от минус бэ деленное на а до плюс бесконечности.

Второй случай: a меньше нуля, тогда икс меньше минус бэ деленное на а

и, следовательно, множество решений неравенства есть открытый числовой луч от минус бесконечности до минус бэ деленное на а.

Третий случай: a равно нулю, тогда неравенство примет вид: ноль умноженное на икс плюс бэ больше нуля и для бэ больше нуля любое действительное число есть решение неравенства, а при бэ меньшем либо равным нулю неравенство не имеет решений.

Остальные неравенства решаются аналогично.

Текст.

Алгоритм решения линейного неравенства с параметром, например, ax + b > 0,

 где a, b ÎR,   x – переменная.

Рассмотрим следующие случаи:

1) a > 0, тогда ax + b > 0 Û ax > -b Û  

 x > -^b/_a 

и, следовательно, множество решений неравенства ax + b > 0   (a > 0) есть

 (-^b/_a ;+∞);

2)a < 0, тогда ax + b > 0 Û  ax > -bÛ

   x < -^b/_a

и, следовательно, множество решений неравенства ax + b > 0   (a < 0) есть (-∞;-^b/_a);

3) a = 0, тогда неравенство примет вид

0·x + b > 0 и для b > 0 любое действительное число есть решение неравенства, а

при b ≤ 0 неравенство не имеет решений.

Рассмотрим примеры.

Задание 1

Решить неравенство а икс меньше либо равно единице.

Решение

В зависимости от знака a рассмотрим три случая.

Первый случай: если a больше нуля, то икс меньше либо равно один деленное на а;

Второй случай: если a меньше нуля, то икс больше либо равно один деленное на а;

Третий случай: если a равно нулю, то неравенство примет вид: ноль умноженное на икс меньше, либо равно единице и, следовательно, любое действительное число является решением исходного неравенства.

Таким образом, если а больше нуля, то икс принадлежит лучу от минус бесконечности до единицы, деленной на а.

Если a меньше нуля, то икс принадлежит лучу от единицы, деленной на а, до плюс бесконечности, и если a равно нулю,

то x принадлежит множеству действительных чисел.

Ответ: если а больше нуля, то икс принадлежит лучу от минус бесконечности до единицы, деленной на а;

если a меньше нуля, то икс принадлежит лучу от единицы, деленной на а, до плюс бесконечности, и если a равно нулю,

то x икс принадлежит множеству действительных чисел.

Текст.

Рассмотрим примеры.

Пример 1.

Решить неравенство ах≤ 1;

Решение.

В зависимости от знака a рассмотрим три случая:

1)если a > 0, то x ≤ ¹/_a;

2)если a < 0, то x ≥ ¹/_a;

3)если a = 0, то неравенство примет вид

0·x ≤ 1 и, следовательно, любое действительное число является решением исходного неравенства.

Таким образом, если a > 0, то x Î (-∞;¹/_a], если a < 0, то x Î [¹/_a;+∞), и если a = 0,

то x Î R.

Ответ: если a > 0, то x Î (-∞;¹/_a], если a < 0, то x Î [¹/_a;+∞), и если a = 0,

то x Î R.

Задание 2

Решить неравенство модуль икс минус два больше минус квадрата разности а и единицы.

Решение

Заметим, что модуль икс минус два больше либо равно нулю для любого действительного икс и минус квадрат разности а и единицы меньше либо равно нулю для любого значения параметра a. Следовательно, если a равно единице, то любое икс — действительное число, отличное от двух, является решением неравенства, а если a не равно одному, то любое действительное число является решением неравенства.

Ответ: если a равно одному, то икс принадлежит объединению двух открытых числовых лучей от минус бесконечности до двух и от двух до плюс бесконечности,

а если a принадлежит объединению двух открытых числовых лучей от минус бесконечности до единицы и от одного до плюс бесконечности, то икс принадлежит множеству действительных чисел.

Текст.

Пример2.

Решить неравенство |x - 2| > -(a - 1)².

Решение.

Заметим, что |x - 2| ≥ 0 для любого действительного x и -(a-1)² ≤ 0 для любого значения параметра a. Следовательно, если a = 1, то любое x действительное число, отличное от 2, является решением неравенства,

а если a ≠ 1, то любое действительное число является решением неравенства.

 Ответ: если a = 1, то x Î (-∞;2) È(2;+∞),

а если a Î(-∞;1) È(1;+∞),то x Î R.

Задание 3

Решить неравенство три умноженное на разность четырех а и икса меньше двух а икс плюс три.

Решение

После элементарных преобразований данного неравенства, получим неравенство: икс умноженное на сумму двух а и трех больше три умноженное на разность четырех а и одного.

Далее рассмотрим три случая:

Первый случай: если два а плюс три больше нуля, то есть a больше минус трех вторых, то икс больше дроби, числитель которой — три умноженное на разность четырех а и единицы, а знаменатель — два а плюс три.

Второй случай: если два а плюс три меньше нуля, то есть a меньше минус трех вторых, то икс меньше дроби, числитель которой — три умноженное на разность четырех а и одного, а знаменатель два а плюс три.

Третий случай: если два а плюс три равно нулю, то есть a равно минус три вторых,

любое действительное число является решением исходного неравенства.

Следовательно, если а принадлежит окрытому числовому лучу от минус трех вторых до плюс бесконечности, то икс

принадлежит открытому числовому лучу от дроби, числитель которой — три умноженное на разность четырех а и одного, а знаменатель — два а плюс три, до плюс бесконечности.

Если а принадлежит открытому числовому лучу от минус бесконечности до минус трех вторых, то икс принадлежит открытому числовому лучу от минус бесконечности до дроби, числитель которой — три умноженное на разность четырех а и единицы, а знаменатель — два а плюс три;

если a равно минус трем вторых, то икс принадлежит множеству действительных чисел.

Ответ: если а принадлежит окрытому числовому лучу от минус трех вторых до плюс бесконечности, то икс

принадлежит открытому числовому лучу от дроби, числитель которой — три умноженное на разность четырех а и единицы, а знаменатель — два а плюс три до плюс бесконечности;

если а принадлежит открытому числовому лучу от минус бесконечности до минус трех вторых, то икс принадлежит открытому числовому лучу от минус бесконечности до дроби, числитель которой — три умноженное на разность четырех а и единицы, а знаменатель два а плюс три;

если a равно минус трем вторых, то икс принадлежит множеству действительных чисел.

Текст.

Пример 3.

Решить неравенство 3(4a - x) < 2ax + 3.

Решение.

После элементарных преобразований получим

3(4a - x) < 2ax + 3 или

 12a - 3x < 2ax + 3 или 12a - 3 < 2ax + 3x или x(2a + 3) > 3(4a - 1).

Задание 4

Для всех допустимых значений параметра а  решить неравенство квадратный корень из икс минус а плюс квадратный корень из двух а минус икс плюс квадратный корень из а минус один плюс квадратный корень из трех минус а больше нуля.

Решение

Найдем область определения параметра а. Она определяется системой неравенств, решив которую находим, что а принадлежит отрезку от одного до трех.

Данное неравенство равносильно системе неравенств, решая которую находим, что икс принадлежит отрезку от а до двух а.

Если а принадлежит отрезку от единицы до трех, то решением исходного неравенства является отрезок от а до двух а.

Ответ: если а принадлежит отрезку от одного до трех, то икс принадлежит отрезку  от а до двух а.

Текст.

Пример 4.

Для всех допустимых значений параметра  а  решить неравенство

квадратный корень из икс минус а плюс квадратный корень из двух а минус икс плюс квадратный корень из а минус один плюс квадратный корень из трех минус а больше нуля.

.

Решение.

Найдем область определения параметра а. Она определяется системой неравенств:

    а-1≥0,

     3-а≥0;

   а≥1,

   а≤3.

аÎ[1; 3]

Данное неравенство равносильно системе неравенств

   х- а≥0,

   2 а-х≥0;

    х≥ а,

    х≤ 2 а.

хÎ[ а ; 2 а ]

Если аÎ[1; 3], то решения исходного неравенства является отрезок  [ а ; 2 а ].

Ответ: если аÎ[1; 3], то, хÎ[ а ; 2 а ].

Задание 5

Найти все а, при которых неравенство

квадратный корень из икс в квадрате минус икс минус два плюс квадратный корень из дроби, числитель которой — два минус икс, а знаменатель — икс плюс четыре больше либо равно а икс плюс два минус квадратный корень из дроби, числитель которой — икс плюс один, а знаменатель — пять минус икс не имеет решения.

Решение

Первое. Вычислим область определения данного неравенства. Она определяется системой неравенств, решением которой являются два числа: икс равен минус единице и икс равен двум.

Второе. Найдем все значения а, при которых данное неравенство имеет решения. Для этого найдем все а, при которых икс равен минус единице и икс равен двум — это решение данного неравенства. Рассмотрим и решим совокупность двух систем. Решением является объединение двух числовых лучей  от минус бесконечности до минус одной второй, и от единицы до плюс бесконечности.

Значит, данное неравенство имеет решение, если а принадлежит объединению двух числовых лучей от минус

бесконечности до минус одной второй, и от единицы до плюс бесконечности.

Третье. Следовательно, данное неравенство не имеет решения, если а принадлежит интервалу от минус одной второй до единицы.

Ответ: неравенство не имеет решения, если а принадлежит  интервалу от минус одной второй до единицы.

Текст.

Пример 6.