Решение типичных задач по теории вероятности. Задача 13

Задача 1

Вспомним, что вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к числу всевозможных исходов

Задача. Брошена игральная кость. Какова вероятность того, что выпадет четное число очков?

1,3,5 – нечетные числа, 2,4,6 – четные. Число возможных исходов при бросании игральной кости – 6, число благоприятных исходов – 3 (т.е. выпадение двойки, четверки или шестерки). Таким образом, вероятность выпадения четного числа очков равна 3:6 = 1/2 или 0,5.

Ответ: 0,5.

 

Задача 2

Задача. Брошена игральная кость. Какова вероятность того, что выпадет число меньше 4?

Другими словами – какова вероятность того, что выпадете либо 1, либо 2, либо 3.

Число возможных исходов – 6, число благоприятных исходов – 3 (т.е. выпадение 1,2 или 3). Таким образом, вероятность выпадения числа меньше 4 равна 3:6 = 0,5.

Ответ: 0,5.

 

Задача 3

Задача. В ящике 6 белых и 4 черных шара. Какова вероятность того, что первый наудачу выбранный шар окажется белым?

Всего 10 шаров, значит число возможных исходов – 10. Число благоприятных исходов – 6, потому что в ящике 6 белых шаров. Вероятность того, что первый выбранный шар окажется белым – 6:10 = 0,6.

Ответ: 0,6.

 

 

Задача 4

Задача: Набирая номер телефона, абонент забыл последнюю цифру. Какова вероятность того, что он правильно дозвонится, набрав последнюю цифру наугад?

Итак, абоненту нужно выбрать одну цифру из 10, т.е. число возможных исходов – 10. Число благоприятных исходов – 1, потому что верной может быть только одна цифра. Вероятность того, что абонент правильно дозвонится, равна 1:10=0,1.

Ответ: 0,1.

 

Задача 5

Задача: Ученика попросили назвать число от 1 до 100. Какова вероятность того, что он назовет число 56?

Число возможных исходов – 100, т.е. 100 чисел. Верно названное число – одно, это 56. Значит, благоприятный исход один. Вероятность того, что ученик назовет число 56, будет 1:100=0,01.

Ответ: 0,01.

 

Задача 6

Задача: Ученика попросили назвать число от 1 до 100. Какова вероятность того, что он назовет число, кратное пяти?

Число возможных исходов – 100. Чисел, кратных пяти – 20 (5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,70,75,80,85,90,95,100), т.е. число благоприятных исходов – 20. Вероятность, что ученик назовет число, кратное пяти равна 20:100=0,2.

Ответ: 0,2.

 

Задача 7

Задача: Ученика попросили назвать число от 1 до 100. Какова вероятность того, что он назовет число, принадлежащее промежутку от 5 до 20 включительно?

Число возможных исходов – 100. Число благоприятных исходов – 16, это числа от 5 до 20. Т.е. если от 1 до 20 – 20 чисел, отнимаем первые 4 – остается 16. Поэтому число благоприятных исходов – 16. Вероятность того, что ученик назовет число, принадлежащее промежутку от 5 до 20 включительно: 16:100 = 0,16.

Ответ: 0,16.

 

Задача 8

Задача: В фирме такси в данный момент свободно 10 машин: 5 черных, 1 желтая и 4 зеленых. На вызов выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет желтое такси.

Возможное число исходов – 10, потому что всего 10 машин. Число благоприятных исходов – 1, потому что желтая машина одна. Искомая вероятность 1:10=0,1.

Ответ: 0,1.

 

Задача 9

Задача: Валя выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 51.

Число возможных исходов – это количество трехзначных чисел, их существует от 100 до 999. Быстрее всего их можно посчитать так: 1000 – 1 – 99 = 900, т.е. исключаем 1000 и числа от 1 до 99. Число всевозможных исходов – 900.

Найдем, сколько трехзначных чисел делится на 51. Если мы поделим 999 (самое большое трехзначное число) на 51, то получим приблизительно 19,58, т.е. в 999 вмещается 19 чисел, кратных 51. Но среди них есть и само число 51, которое не является трехзначным, а значит трехзначных чисел, делящихся на 51 – 18. Поэтому число благоприятных исходов – 18.

Вероятность того, что выбранное число делится на 51 - 18:900=0,02

Ответ: 0,02.

 

Задача 10

Задача: При двукратном бросании игрального кубика в сумме выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что первый раз выпало меньше 3 очков.

Сумму в 6 очков можно получить следующими способами:

1+5, 2+4, 3+3, 4+2, 5+1,

т.е. всего их 5. Это и есть число возможных исходов. Из представленных вариантов видно, что менее 3 очков при первом броске может выпасть только в двух случаях: 1+5 и 2+4. Поэтому число благоприятных исходов – 2. Искомая вероятность – 2:5=0,4.

Ответ: 0,4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 11

Задача: Монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что первые два броска окончатся одинаково.

Найдем число возможных исходов, для этого переберем все варианты бросков. В подобных задачах лучше всего составлять таблицу – так считать гораздо удобнее.

	1-й бросок	2-й бросок	3-й бросок
1	орел	орел	орел
2	орел	орел	решка
3	орел	решка	решка
4	орел	решка	орел
5	решка	решка	решка
6	решка	решка	орел
7	решка	орел	орел
8	решка	орел	решка

 

Итак, в данной таблице отражены все возможные варианты бросков. Всего их 8, поэтому возможных исходов 8. Первые два броска одинаково могут окончиться в 4 случаях: это случаи 1,2 и 5,6, т.е. благоприятных исходов 4. Поэтому искомая вероятность равна 4:8 = 0,5.

Ответ: 0,5.

Задача 12

Задача: В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.

В данной задаче составляется таблица всех возможных вариантов бросков:

	1-й бросок	2-й бросок	3-й бросок
1	орел	орел	орел
2	орел	орел	решка
3	орел	решка	решка
4	орел	решка	орел
5	решка	решка	решка
6	решка	решка	орел
7	решка	орел	орел
8	решка	орел	решка

 

По данной таблице видно, что орел не выпадет ни разу только в одном варианте из восьми – это пятый вариант. Поэтому возможных исходов 8, благоприятных исходов – 1. Искомая вероятность 1:8 = 0,125.

 Ответ: 0,125.

 

 

Задача 13

Задача: В среднем на 150 карманных фонариков приходится три неисправных. Какова вероятность того, что Вы купите исправный фонарик?

Количество возможных исходов – 150. Количество благоприятных исходов: 150-3=147, т.е. на 150 приходится 147 исправных фонариков. Вероятность купить исправный фонарик – 147:150=0,98.

Ответ: 0,98.

 

Задача 14

Задача: В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

В подобных задачах для удобства следует составить таблицу сумм для двух костей, т.е. все варианты сумм, которые могут выпасть. Вот данная таблица:

	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

 

По ней мы видим, что при первом броске может выпасть 1 и при втором 1, в сумме – 2; при первом, например, 5, при втором – 4, в сумме – 9, и т.д. Таким образом, всего исходов 36 (6х6=36), благоприятных исходов – 5, вот они 5 восьмерок. Вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков, равна 5:36 0,14.

Ответ: 0,14.

 

Задача 15

Задача: В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные – из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

Давайте представим, что все спортсменки одновременно подошли к шляпе, и вытянули из нее бумажки с номерами. Кому-то из них достанется первый номер. Вероятность того, что его вытянет китайская спортсменка, равна 5 к 20. Т.е. всего спортсменок 20, спортсменок из Китая 5, потому что 8 из России, 7 из США – в сумме 15, 20-15=5. Поэтому вероятность того, что первый номер вытянет китайская спортсменка, равна 5:20=0,25.

Ответ: 0,25.

Задача 16

Задача: Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений – по одному от каждой страны. В первый день 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Какова вероятность того, что представителя России состоится в третий день конкурса?

Выясним, как распределятся выступления по дням. Первый день – 8 выступлений, оставшиеся 4 дня – по 18 выступлений в день (потому что всего 80, в первый – 8, остается 72. 72 делим на оставшиеся 4 дня – получаем 18). Это значит, что возможных исходов 80, а благоприятных исходов – 18. Т.е. выступление представителя России состоится в третий день конкурса с вероятностью 18:80=0,225.

Ответ: 0,225.

 

Задача 17

Задача: На семинар приехали 3 ученых из Норвегии, 3 из России и 4 из Испании. Порядок докладов определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России.

Восьмым может оказаться любой ученый, значит возможных исходов 10, потому что всего ученых 10. Из России приехало трое, значит благоприятных исходов 3. Вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России 3:10=0,3.

 Ответ: 0,3.

 

Задача 18

Задача: Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России.

В данном случае нужно поставить себя на место Руслана Орлова. Он будет играть с кем-то из 25 спортсменов. На чемпионат приехал Руслан и еще 25 спортсменов, значит возможных исходов 25. Из них осталось 9 спортсменов из России, т.е. всего 10, за исключением Руслана – 9. Поэтому 9 – это и есть число благоприятных исходов. Вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России 9:25=0,36.

Ответ: 0,36.