Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифметической прогрессии.

Рассмотрим последовательность натуральных чисел, которые при делении на четыре дают в остатке один: числа один, пять, девять, тринадцать, семнадцать…

Каждый ее член, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему члену числа четыре. Эта последовательность является примером арифметической прогрессии.

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

Иначе говоря, последовательность а энное – арифметическая прогрессия, если для любого натурального эн выполняется условие а с индексом эн плюс один равно а энное плюс дэ, где дэ – некоторое число.

Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым ее членом, начиная со второго, и предыдущим членом равна дэ, то есть при любом натуральном эн верно равенство а с индексом эн плюс один минус а энное равно дэ.

Число дэ называют разностью арифметической прогрессии.

Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать первый ее член и разность.

Приведем примеры.

Если а первое равно единице.. и дэ равно двум, то получим арифметическую прогрессию: один, три, пять, семь, девять…, члены которой являются последовательностью положительных нечетных чисел.

Если а первое равно двум и разность равна двум, то получим арифметическую последовательность: два, четыре, шесть, восемь…, члены которой являются последовательностью положительных четных чисел.

Если а первое равно минус один и разность равна минус один, то получим последовательность отрицательных чисел.

Если а первое равно пяти и разность равна нулю, то имеем арифметическую прогрессию пять, пять, пять, пять…, члены которой равны между собой.

Зная первый член и разность арифметической прогрессии, можно найти любой ее член, вычисляя последовательно второй, третий, четвертый и так далее члены. Однако для нахождения члена прогрессии с большим номером такой способ неудобен. Покажем способ, требующий меньшей вычислительной работы.

По определению арифметической прогрессии:

• второй член арифметической прогрессии равен сумме первого члена арифметической прогрессии и разности арифметической прогрессии;
• третий член прогрессии равен сумме второго члена прогрессии и ее разности, или подставив значение второго члена прогрессии, получим сумму первого члена и удвоенной разности прогрессии.

Точно также находим, остальные члены прогрессии.

Вообще, чтобы найти энный член арифметической прогрессии, нужно к первому ее члену прибавить произведение разности арифметической прогрессии на разность эн и один.

Мы получим формулу энного члена арифметической прогрессии.

Приведем примеры решения задач с использованием этой формулы.

Пример первый. Последовательность це энное – арифметическая прогрессия, в которой це первое равно две десятые и разность равна четыре десятые. Найдем сороковой член этой прогрессии.

Имеем, це сороковое равно две десятые плюс произведение четырех десятых и разности сорока и единицы равно пятнадцать целых восемь десятых.

Второй пример. Является ли число минус сто сорок четыре членом арифметической прогрессии: двадцать два, восемнадцать, четырнадцать, десять…

В данной арифметической прогрессии первый член равен двадцать два и разность равна восемнадцать минус двадцать два, то есть минус четыре. Запишем формулу энного члена прогрессии: икс энное равно двадцать два минус четыре умноженное на разность эн и один, то есть, икс энное равно двадцать шесть минус четыре эн.

Число минус сто сорок четыре является членом арифметической прогрессии, если существует такое натуральное число эн, при котором значение выражения двадцать шесть  минус четыре эн равно минус сто сорок четыре.

Решим уравнение двадцать шесть минус четыре эн равно минус сто сорок четыре.

Получим, что эн равно сорока двум целым пяти десятым, то есть получили не натуральное число. Значит, число минус сто сорок четыре не является членом арифметической прогрессии.

Отметим важное свойство арифметической прогрессии:

Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов.

Действительно, если последовательность а энное является арифметической прогрессией, то а энное минус а с индексом эн минус один равно а с индексом эн плюс один минус а энное, то есть, преобразовав, получим что а энное равно полу сумме а с индексом эн минус один и а с индексом эн плюс один.

Верно и обратное утверждение:

Если в последовательности а энное каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов, то эта последовательность является арифметической прогрессией.

Действительно, из равенства: а энное равно полусумме а с индексом эн минус один и а с индексом эн плюс один, где эн больше либо равно двум, следует, что разность а энного и а с индексом эн минус один равна разности а с индексом эн плюс один и а энного, а это означает, что разность между последующим и предыдущим членами последовательности остается постоянной. Значит, последовательность а энное – арифметическая прогрессия.

Заметим, что формулу энного члена арифметической прогрессии можно записать иначе: а энное равно дэ эн плюс разность а первого и дэ.

Отсюда ясно, что любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой вида а энное равно ка эн плюс бэ, где ка и бэ некоторые числа.

Верно и обратное: последовательность а энное, заданная формулой вида а энное равно ка эн плюс бэ, где ка и бэ – некоторые числа, является арифметической прогрессией.

Действительно, найдем разность эн плюс первого и энного членов последовательности а энное:…….. Она будет равна ка.

Значит, при любом эн справедливо равенство: а с индексом эн плюс один равно а энное плюс ка, и по определению последовательность а энное является арифметической прогрессией, причем ее разность равна ка.