26. Формула суммы первых эн членов арифметической прогрессии

 

Пусть требуется найти сумму первых ста натуральных чисел. Покажем, как можно решить эту задачу, не выполняя непосредственного сложения чисел.

Обозначим искомую сумму через эс и запишем ее дважды, расположив в первом случае слагаемые в порядке возрастания, а во втором – в порядке убывания..

Каждая пара чисел, расположенных друг с другом, дает в сумме сто один. Всего таких пар сто. Поэтому, сложив равенства почленно, получим два эс равно сто один умноженное на сто. Тогда сумма будет равна пяти тысячам пятидесяти.

С рассмотренной задачей связана история, которую рассказывают об известном немецком математике Карле Гауссе. Когда учитель предложил ученикам третьего класса сложить все числа от единицы до ста включительно, рассчитывая при этом надолго занять их работой, маленький Карл моментально подошел с готовым ответом. Возможно, он заметил, что каждая из сумм: один плюс сто, два плюс девяносто девять и так далее, равна ста одному, а таких сумм пятьдесят.

С помощь рассуждений, аналогично тем, которые мы провели при вычислении суммы первых ста натуральных чисел, можно найти сумму первых эн членов любой арифметической прогрессии.

Обозначим сумму первых эн членов арифметической прогрессии а энное через эс энное и запишем эту сумму дважды, расположив в первом случае слагаемые в порядке возрастания их номеров, а во втором случае – в порядке убывания..

Сумма каждой пары членов прогрессии, расположенных друг под другом, равна а первое плюс а энное.….

Число таких пар равно эн. Поэтому, сложив почленно равенства, получим два эс энное равно произведению суммы первого и последнего членов на эн. Разделив обе части последнего равенства на два, получим формулу суммы первых эн членов арифметической прогрессии…

Заметим, что если заданы первый член и разность арифметической прогрессии, то удобно пользоваться формулой суммы, представленной в другом виде. Подставив в формулу суммы первых эн членов арифметической прогрессии вместо а энного выражение а первое плюс произведение дэ на разность эн и один, получим, что сумма первых эн членов арифметической прогрессии задается следующей формулой…

Приведем примеры на вычисление суммы членов арифметической прогрессии.

Пример первый. Найдем сумму первых сорока членов арифметической прогрессии шесть, шесть с половиной..

В данной арифметической прогрессии первый член равен шесть, разность равна пяти десятым. Сороковой член прогрессии найдем по формуле энного члена. Он будет равен двадцать пять с половиной.

Теперь вычислим сумму первых сорока членов, воспользовавшись первой формулой для нахождения суммы. Получим, что сумма сорока членов прогрессии равна шестистам тридцати.

Можно воспользоваться и второй формулой для нахождения суммы. Вычисления будут выглядеть так…

Второй пример. Найдем сумму первых тридцати членов последовательности а энное, заданной формулой а энное равно три эн минус два.

Последовательность а энное является арифметической прогрессией, так как она задана формулой вида а энное равно ка эн плюс бэ, где ка равно трем, бэ равно минус двум. Найдем первый и тридцатый члены этой арифметической прогрессии: первый член равен одному, тридцатый член равен восьмидесяти восьми. Теперь по первой формуле суммы вычислим сумму тридцати первых членов прогрессии….. Она будет равна одной тысячи тремстам тридцати пяти.

Третий пример. Найдем сумму всех натуральных чисел, кратных восьми и не превосходящих сто пятьдесят.

Натуральные числа, кратные восьми, образуют арифметическую прогрессию, которую можно задать формулой а энное равно восьми эн. Чтобы определить, сколько членов этой прогрессии не превосходят сто пятьдесят, решим неравенство восемь эн меньше либо равно ста пятидесяти. Получим, эн меньше либо равно восемнадцати целым трем четвертым.

Значит, число членов прогрессии, сумму которых надо найти, равно восемнадцати.

Имеем: а первое равно восьми, а восемнадцатое равно восьми умноженное на восемнадцать и равно ста сорока четырем.

Сумма восемнадцати членов арифметической прогрессии будет равна одной тысячи тремстам шестидесяти восьми.

Четвертый пример. Пифагор и его ученики рассматривали последовательности, связанные с геометрическими фигурами. Подсчитывая число кружков в треугольниках, квадратах, пятиугольниках, они получали:

• Последовательность треугольных чисел: один, три, шесть, десять…
• Последовательность квадратных чисел: один, четыре, девять, шестнадцать…
• Последовательность пятиугольных чисел: один, пять, двенадцать, двадцать два….

Зададим каждую из этих последовательностей формулой энного члена.

Последовательность треугольных чисел получается из последовательности натуральных чисел один, два, три  и так далее, то есть из арифметической прогрессии, в которой первый член и разность равны единице, следующим образом:

А первое равно единице, а второе равно один плюс два, а третье равно один плюс два плюс три, а энное равно один плюс два плюс три и так далее плюс эн.

Значит, а энное равно полусумме единицы и эн, умноженной на эн.

Последовательность квадратных чисел аналогичным способом получается из последовательности нечетных чисел один, три, пять, и так далее, то есть из арифметической прогрессии, первый член которой равен единице и разность равна двум….

Следовательно, бэ энное равно полусумме единицы, два эн и минус один, умноженной на эн, бэ энное равно эн квадрат. Мы пришли к формуле, очевидной для последовательности квадратных чисел.

Последовательность пятиугольных чисел таким же способом можно получить из арифметической прогрессии один, четыре, семь и так далее, в которой первый член равен единице и разность равна трем…..

Значит, це энное задается произведением полусуммы трех эн и минус один на эн.