Вероятность равновозможных событий

Чтобы определить вероятность интересующего нас события путем статистического исследования, необходимо провести большое число опытов или наблюдений. Только после этого можно приближенно определить вероятность этого события. В то же время в ряде случаев вероятность события можно оценить непосредственно из условий самого опыта или наблюдения путем рассуждений, не прибегая к испытаниям.

Вернемся к опыту с бросанием игрального кубика. Если кубик имеет правильную форму и сделан из однородного материала, то при бросании шансы выпадения каждого из шести очков одинаковы. Тогда говорят, что существует шесть равновозможных исходов опыта с бросанием кубика.

Исходы в определенном опыте считают равновозможными, если шансы этих исходов одинаковы.

Исходы, при которых происходит некоторое событие, называют благоприятными исходами этого события.

Рассмотрим событие Бэ, которое означает выпадение на кубике числа очков, кратных двум. Это событие происходит при трех исходах: когда выпало два очка, когда выпало четыре очка и когда выпало шесть очков, то есть для данного события благоприятными являются три исхода из шести равновозможных исходов.

Отношение числа благоприятных исходов к числу всех равновозможных исходов в рассматриваемом примере равно трем шестым. Это отношение считается вероятностью события Бэ и обозначается пэ от бэ равно трем шестым.

Если исходы какого-либо испытания равновозможны, то вероятность события в этом испытании равна отношению числа благоприятных для него исходов к числу всех равновозможных исходов.

Такой подход называется классическим.

Что означает на практике, что вероятность рассмотренного события бэ равна трем шестым? Это не означает, что число очков кратное двум выпадет ровно три раза. Возможно, оно выпадет один раз или три раза, а может и не выпасть вообще. Но если провести большое количество испытаний, то относительная частота появления события Бэ будет мало отличаться от трех шестых, то есть от одной второй. Вообще при увеличении числа испытаний со случайными исходами относительная частота появления случайного события приближается к его вероятности.

Сопоставляя статистический и классический подходы к вычислению вероятностей, можно сделать вывод, что статистический подход предполагает фактическое проведение испытания, а при классическом подходе не обязательно проводить испытание.

Для того чтобы найти вероятность некоторого события при классическом подходе, надо правильно определить число равновозможных исходов испытания и число благоприятных для этого события исходов.

Задача. Найдем вероятность того, что при подбрасывании двух монет на обеих сторонах выпадет решка.

При одновременном бросании двух монет равновозможными являются следующие исходы:

• на обеих монетах выпадет орел;
• на первой монете выпадет орел, на второй – решка;
• на первой монете выпадет решка, а на второй – орел;
• на обеих монетах выпадет решка.

Благоприятными для события А, состоящего в том, что на обеих монетах выпадет решка, является один из четырех возможных, то есть одна четвертая.

При решении этой задачи было бы ошибкой считать, что в данном опыте имеются три равновозможных исхода:

• на обеих монетах выпадет орел;
• на одной монете выпадет орел, а на другой – решка;
• на обеих монетах выпадет решка.

Отсюда следовал бы неверный вывод, что вероятность равна одной третьей.

Приведем примеры вычисления вероятностей.

Пример первый. Из двадцати пяти экзаменационных билетов ученик успел подготовить десять первых и девять последних билетов. Какова вероятность того, что на экзамене ему достанется билет, который он не подготовил?

Решение. Общее число равновозможных исходов при выборе билетов на экзамене равно двадцать тять. Пусть эм – событие, заключающееся в том, что ученику достанется билет, который он не подготовил. Число благоприятных для события эм исходов равно двадцать пять минус сумма десяти и девяти, то есть шесть. Значит, вероятность этого события равна двадцати четырем сотым.

Андрей и Иван бросают белый и черный игральные кубики и подсчитывают сумму выпавших очков. Они договорились, что если при очереднОм бросании в сумме выпадет восемь очков, то выигрывает Андрей, а если в сумме выпадет семь очков, то выигрывает Иван. Можно ли считать, что у мальчиков одинаковые шансы выиграть?

При бросании кубиков на белом кубике может выпасть от одного до шести очков. Каждому числу очков на белом кубике соответствует шесть вариантов числа очков на черном кубике. Все исходы этого испытания приведены в таблице…

В каждой паре на первом месте записано число очков, выпавших на белом кубике, на втором месте, число очков, выпавших на черном кубике. Указанные исходы испытания равновозможны, их количество равно тридцати шести. Пусть событие А обозначает, что при бросании кубиков в сумме выпало восемь очков, а событие бэ обозначает, что при бросании кубиков выпало семь очков.

Для события А благоприятными являются 5 исходов: два-шесть, три-пять, четыре-четыре, пять-три, шесть-два.

Для события Бэ благоприятными являются 6 исходов: один-шесть, два-пять, три-четыре, четыре-три, пять-два, шесть-один.

Отсюда вероятность события А равна пяти тридцати шестым, вероятность события бэ равна шести тридцати шестым.

Поэтому шансов выиграть у Ивана больше, чем у Андрея.