Перпендикулярные прямые в пространстве

Две прямые,  лежащие в одной плоскости  образуют четыре неразвёрнутых угла

 острый угол α называется углом между пересекающимися прямыми a и b

На экране изображение  с постепенным появлением отметок углов и обозначением

На фоне рисунка появляется надпись

a^b=α, где 0° <α≤90°

Рассмотри известную нам фигуру параллелепипед

Все его грани являются  прямоугольниками, что доказывает что угол между прямыми  АА₁  и АВ равен 90 градусов.

Такие прямые в пространстве называются перпендикулярными или взаимно перпендикулярными.

На экране изображение

На экране выделяются прямые АА₁ и АВ

На экране определение:

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними 90°.

Таким образом,  на данном рисунке DD₁ и D₁C₁ взаимно перпендикулярные прямые.

Перпендикулярность прямых DD₁ и D₁C₁ обозначается так.

На  экране изображение

На экране изображение

Рассмотрим модель куба. Известно, что его грани это квадраты, следовательно, прямые AA₁ , АD  перпендикулярные прямые.

Справедливы и другие  утверждения:

Прямая DD₁ перпендикулярна прямой АD.

Прямая АА₁ параллельна прямой DD₁.

Совсем не случайно каждая из двух параллельных прямых оказалась перпендикулярна прямой АD.

На экране изображение  (желательно анимировать проговариваемые прямые одновременно):

На экране обновляется изображение с анимацией.

Данная конфигурация рисунка соответствуют известной в геометрии  лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой. Докажем её.

Рассмотрим параллельные прямые а и b  перпендикулярные прямые  а и c.

Докажем, что прямая b перпендикулярна прямой с.

Для доказательства через произвольную точку пространства проведем прямые МА и МС, такие,  что прямая    МА параллельна прямой а и прямая МС параллельна прямой с.

Так как прямые а и с перпендикулярны, то угол АМС равен 90 градусов.

Так как прямая b параллельна прямой а по условию, а прямая а параллельна прямой МА по построению, следовательно, прямая b параллельна прямой МА.

Итак, прямая b параллельна прямой МА, а прямая с параллельна прямой МС.  Прямые МА и МС взаимно перпендикулярные прямые, следовательно, прямая b перпендикулярна  прямой с. Лемма доказана.

На экране текст:

Лемма: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

На экране изображение и текст:

Доказанная лемма упрощает решение задач и доказательство  теорем. Рассмотрим один из примеров.

В тетраэдре МАВС ребра МА и ВС перпендикулярны, Р - точка ребра АВ, причём АР относится к АВ как 2 к 3. Q-точка ребра АС, причём АQ относиться к QC, как 2 к 1.

Доказать, что прямая АМ перпендикулярна прямой PQ.

Для доказательства рассмотрим два треугольника APQ и АВС с общим углом А.

Так как Точка Q делит сторону АC в отношении 2 к 1, то сторона АQ треугольника АРQ составляет     стороны АС треугольника АВС. Таким образом в треугольниках  АРQ и    АВС  сторона АР относиться стороне АВ как 2 к 3, сторона АQ относиться к стороне АС как 2 к 3 и угол А у них общий, значит треугольник APQ  подобен треугольнику АВС .

Из подобия треугольников следует равенство соответственных углов APQ и АВС, АQР и АСВ, это доказывает параллельность прямых РQ и ВС.

Итак прямая АМ перпендикулярна прямой ВС, а прямая PQ параллельна прямой ВС, тогда согласно доказанной лемме АМ перпендикулярна прямой PQ.

На экране изображение и