Многогранники. Понятие правильного многогранника

Сегодня мы продолжаем изучение многогранников. На прошлом занятии вы познакомились с понятием симметрии и её элементами.

Вспомним, симметрию относительно точки(центра) называют центральной;

симметрию относительно прямой(оси)-осевой;

симметрию относительно плоскости называют зеркальной.

Вы уже знаете, что многоугольник называется правильным, если все его углы равны и все его стороны равны.

А какой многогранник называется правильным?

Многогранник называется правильным, если в каждой его вершине сходится одинаковое число рёбер и все его грани- правильные многоугольники.

Одним из примеров правильного многогранника является куб, так как все его грани-равные квадраты, а к каждой вершине сходится три ребра.

http://ru.wikipedia.org/wiki/%CF%F0%E0%E2%E8%EB%FC%ED%FB%E9_%EC%ED%EE%E3%EE%E3%F0%E0%ED%ED%E8%EA

Картинки лучше взять с сайта википедия там они анимированные

Пример правильного многогранника:

Куб.

Все  грани куба -равные квадраты, а к каждой вершине сходится три ребра.

Очевидно, что в правильном многограннике равны все двугранные углы, содержащие две грани с общим ребром, а также все грани равны.

В правильном многограннике равны:

1.Все двугранные углы, содержащие две грани с общим ребром.

2.Все рёбра .

Попробуем доказать, что не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные n-угольники при n≥6.

Доказательство.

1.Пусть при одной вершине правильного многогранника сходится n рёбер, тогда плоских углов при этой вершине будет тоже  n, причём эти углы равны между собой.

2. Пусть один из этих углов равен α, тогда сумма плоских углов при вершине равна n*α и по свойству плоских углов многогранного угла мы получим n*α<360⁰, откуда найдём альфа: α< 360/n

3.Известно, что угол правильного n-угольника равен

 β= 180(n-2)/n.   Начиная с n=7 плоский угол станет  меньше 60⁰, а такого правильного многоугольника не существует.

Таким образом, мы доказали, что не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные n-угольники при n≥6.

Рассмотрим виды правильных многогранников:

1. Грани правильного многогранника- правильные треугольники, тогда β=60⁰

а) 60⁰*3=180⁰<360⁰. В этом случае правильный многогранник имеет 4 грани и называется правильным тетраэдром.

Правильный тетраэдр составлен из четырёх равносторонних треугольников

б) 60⁰*4=240⁰<360⁰. В этом случае правильный многогранник имеет 8 граней и называется правильным октаэдром. Правильный октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников.

в) 60⁰*5=300⁰<360⁰. В этом случае правильный многогранник имеет 20 граней и называется правильным икосаэдром. Правильный икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников

г) 60⁰*6=360⁰-это противоречит свойству о сумме плоских углов многогранного угла. Значит, других правильных многогранников, грани которых- правильные треугольники не, существует.

1) Грани правильного многогранника- правильные треугольники, тогда β=60⁰

а) 60⁰*3=180⁰<360⁰

Правильный тетраэдр составлен из четырёх равносторонних треугольников.

б) 60⁰*4=240⁰<360⁰

Правильный октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников.

в) 60⁰*5=300⁰<360⁰

Правильный икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников

г) 60⁰*6=360⁰-это противоречит свойству о сумме плоских углов многогранного угла.

Других правильных многогранников, грани которых- правильные треугольники, не существует.

2) Грани правильного многогранника- правильные четырёхугольники(квадраты), тогда β=90⁰

а) 90⁰*3=270⁰<360⁰. В этом случае правильный многогранник имеет 6 граней и называется правильным гексаэдром(кубом).

б) 90⁰*4=360⁰, следовательно, больше других правильных многогранников, грани которых квадраты не существует.

2) Грани правильного многогранника- правильные четырёхугольники(квадраты), тогда β=90⁰.

а) 90⁰*3=270⁰<360⁰.

Правильный гексаэдр(куб) составлен из шести квадратов.

б) 90⁰*4=360⁰, следовательно других правильных многогранников, грани которых квадраты не существует.

3) Грани правильного многогранника -правильные пятиугольники, β=108⁰

а) 108⁰*3=324⁰<360⁰. В этом случае правильный многогранник имеет 12 граней и называется правильным додекаэдром.

Правильный додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников.

б) 108⁰*4=432⁰>360⁰, значит, других правильных многогранников, грани которых правильные пятиугольники, не существует.

3) Грани правильного многогранника -правильные пятиугольники. β=108⁰

а) 108⁰*3=324⁰<360⁰

Правильный додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников.

б) 108⁰*4=432⁰>360⁰, значит других правильных многогранников, грани которых правильные пятиугольники , не существует.

Таким образом, мы убедились, что каждая вершина правильного многогранника может быть вершиной или трёх, четырёх или пяти равносторонних треугольников; или трёх квадратов или трёх правильных пятиугольников.

Поэтому других видов правильных многогранников кроме тетраэдра, октаэдра, куба (гексаэдра), икосаэдра и додекаэдра не существует.

Правильные многогранники характерны для философии Платона, в честь которого и получили название «платоновы тела»

Здесь необходимо фото Платона, в окружении пяти правильных многогранников

Разберём несколько задач, применяя полученные знания.

Задача 1.

Найти угол между двумя диагоналями граней куба, имеющими общий конец.

Решение:

1. Пусть а-это ребро куба.

Вы уже знаете, что все грани куба- это равные квадраты.

Предположим длинна ребра куба равна а и по теореме Пифагора: из треугольника АА₁В можем вычислить диагональ каждой грани куба, тогда получаем :

A₁В= A₁C₁=ВС₁=aкорней из 2

2. Поскольку A₁В= A₁C₁=ВС₁, можно сделать вывод, что треугольник A₁C₁В-равносторонний, все углы которого равны 60 градусов.

Итак, угол между двумя диагоналями граней куба, имеющими общий конец, равен 60 градусов.

Задача 2

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁  из вершины D₁ проведены диагонали граней D₁А, D₁С и   D₁В₁, а их концы соединены отрезками.

Доказать, что многогранник D₁АВ₁С-правильный тетраэдр.

Найти отношение площадей поверхностей куба и тетраэдра.

I) Докажем, что многогранник D₁АВ₁С-правильный тетраэдр.

Вы уже знаете, что все грани куба- это равные квадраты.

Диагонали этих квадратов так же будут равными.

А так как эти равные диагонали являются рёбрами многогранника D₁АВ₁С, следовательно данный многогранник D₁АВ₁С-правильный тетраэдр.

Что и требовалось доказать.

II) Найдем отношение площадей куба и тетраэдра.

1)Пусть а –ребро куба.

Из равнобедренного прямоугольного треугольника АВС найдем АС по теореме Пифагора:

АС=a корней из 2ух-ребро тетраэдра.

2)Найдем площадь куба, которая составлена из площади 6 равных квадратов.

S_куба=6а²

3) Найдём площадь тетраэдра, которая состоит из четырёх равных треугольников АВ₁С.

 В свою очередь, треугольник АВ₁С –равносторонний, сторона которого равна диагонали квадрата и равна a корней из 2, а каждый его угол равен 60 градусов. Тогда площадь треугольника равна:

S_AB1C = корень из 3ех/2  · a квадрат

Значит, площадь боковой поверхности тетраэдра D₁ АВ₁С равна:

S_тетр=2а² умноженное на корень из 3ех

4) Найдем отношение площадей куба и тетраэдра

Таким образом, отношение площадей куба и тетраэдра равно √3.

Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁-куб,

D₁А, D₁С и   D₁В₁-диагонали граней

Доказать: D₁АВ₁С-правильный тетраэдр

Найти:  S_куба

                S_{тетраэдра}

I) Доказательство:

Грани куба-  равные квадраты.

Диагонали равных квадратов  равны.

Данные диагонали –рёбра D₁АВ₁С→

D₁АВ₁С-правильный тетраэдр.

Ч.т.д.