Усеченный конус

Сегодня мы познакомимся еще с одной геометрической фигурой — усеченным конусом.

Возьмем произвольный конус и проведем секущую плоскость  bперпендикулярную его оси. Эта плоскость пересекается с конусом по кругу и разбивает конус на две части. Одна из частей представляет собой конус, а другая называется усеченным конусом.

Основание исходного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью, называются основаниями усеченного конуса, а отрезок, соединяющий их центры,— высотой усеченного конуса (ОО₁).

Часть конической поверхности, ограничивающая усеченный конус, называется его боковой поверхностью (ABCD).

Отрезки образующих конической поверхности, заключенные между основаниями, называются образующими усеченного конуса (АВ).

Все образующие усеченного конуса равны друг другу.

Усеченный конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны, перпендикулярной основанию.

На рисунке показано вращение прямоугольной трапеции АА₁О₁О.

Прямая ОО₁, соединяющая центры оснований, называется осью усеченного конуса. Сечение, проходящее через ось, называется осевым.

Осевое сечение является равнобедренной трапецией.

АА₁В₁В — равнобедренная трапеция и осевое сечение усеченного конуса.

34

АА₁В₁В- равнобедренная трапеция - осевое сечение усеченного конуса..

Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую.

Докажем это:

Пусть Р — вершина конуса, из которого получен усеченный конус, АА₁ — одна из образующих усеченного конуса, радиус большего основания конуса больше радиуса меньшего основания,

точки О и  О ₁ — центры оснований.

Используя формулу  площади боковой поверхности конуса: площадь боковой поверхности конуса равна произведению числа пи, радиуса основания и его образующей, получаем формулу:  площадь боковой поверхности равна разности произведений числа пи на радиусы оснований и  на  образующую  PA.

Заменим образующую РА на сумму

 PA ₁ + AA₁  и получим такую формулу:

Отсюда, учитывая, что AA₁ – образующая усеченного конуса, находим, что площадь боковой поверхности равна …

Выразим PA ₁ через образующую конуса и радиусы большего и меньшего оснований.

Прямоугольные треугольники РО₁А₁ и РОА подобны, так как имеют общий острый угол Р, поэтому получим равенство двух отношений: образующая меньшего конуса так относится к образующей большего конуса как радиус меньшего основания относится к радиусу большего основания.

Отсюда получаем, что образующую меньшего конуса можно представить как отношение произведения образующей усеченного конуса на радиус меньшего основания на разность радиусов оснований.

Подставив это выражение в формулу площади боковой поверхности,

получаем формулу: площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую.

Дано: Р — вершина конуса, АА₁ —образующая  усеченного конуса, R > r_,

О и  О ₁ — центры оснований.

Доказать: S_бок = π(R+r)l

Доказательство:

S=πRl 

S _бок = π R ·PA – π r ∙ PA₁ =

  =  π R (PA ₁ + AA₁ ) – π r  · PA ₁

AA₁ =l

S_бок = πRl + π(R - r ) PA ₁ 

Выразим PA ₁ через l, R  и r.

∆РО₁А₁  ∆РОА, т.к.  Р– общий, поэтому

Отсюда получаем:

 =

S_бок = πRl + π(R - r) PA₁= πRl + π(R - r)· ₌ πRl + π rl

 получаем

S_бок = π(R+r)l

Площадь боковой поверхности усеченного конуса можно рассматривать как разность между площадями боковых поверхностей двух конусов. Поэтому развертка усеченного конуса – это часть круглого кольца.

Переходим к решению задач.

Задача

Радиусы оснований усеченного конуса равны 5 см и 11 см, а образующая равна 10 см.

Найдите: а) высоту усеченного конуса; б) площадь осевого сечения.

Решение

а) Рассмотрим прямоугольную трапецию  АА₁О₁О.

По условию задачи А₁О₁ равно 5 см, АО равно 11 см.

Проведем  высоту А₁P, равную  ОО_1, получим прямоугольный треугольник А₁PА, угол P равен 90 градусов.

Найдем АP:

АP= АО – PО=АО - А₁О₁,

АP= 11 – 5 = 6 см.

Получили, АP= 6 см, А₁А= 10 см.

По теореме Пифагора можем найти А₁P:

Квадратный корень из разности квадрата гипотенузы А₁А и квадрата катета АP=8cм

б) Осевое сечение представляет собой  трапецию, площадь которой равна произведению полусуммы оснований на высоту.

ОО_1, = А₁В=6 см,

А₁В₁= 2 А₁О₁=10 см,

АВ=2 АО= 22 см.

Подставим данные в формулу площади трапеции и найдем ее:

Дано: усеченный конус,

          r=5см, R=11см, l=10см

Найти: а) h; б)  S_сеч.

Решение

а) Рассмотрим прямоугольную трапецию  АА₁О₁О.

А₁О₁ = 5 см, АО = 11 см. (по усл)

А₁P =  ОО_1, =h–высота,

 ΔА₁PА–прямоугольный  P = 90°.

Найдем АP:

АP= АО – PО=АО–А₁О₁,

АP= 11 – 5 = 6 см.

АP= 6см, А₁А= 10 см.

По т. Пифагора:А₁P =8 см

трапеция АА₁В₁В–равноб.,

ОО_1, = А₁В=6 см,

А₁В₁= 2 А₁О₁=10 см,

АВ=2 АО= 22 см.

S_тр= 122см в квадрате