Сфера. Уравнение сферы

Продолжаем изучение сферы.

На прошлых занятиях вы познакомились с определением сферы и шара.

Вспомним, что сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Данная точка — центр сферы.

Заданное расстояние — радиус сферы.

О- центр сферы.

ОС- радиус сферы R.

DC-диаметр сферы D.

D=2R

Прежде чем вывести уравнение сферы, познакомимся с понятием уравнения поверхности в пространстве.

Зададим прямоугольную систему координат О_xyz и некоторую поверхность F.

Уравнением поверхности F называется уравнение с тремя переменными  x, y, z, если этому уравнению удовлетворяют координаты всех точек поверхности F и не удовлетворяют координаты точки, не принадлежащей этой поверхности.

Уравнением поверхности F называется уравнение с тремя переменными  x, y, z, если этому уравнению удовлетворяют координаты всех точек поверхности F и не удовлетворяют координаты точки, не принадлежащей этой поверхности.

1.Рассмотрим сферу радиуса R  и с центром С(x₀; y₀; z₀).

2.Найдём расстояние от произвольной точки М(x; y; z) до центра С( x₀ ; y₀ ; z₀) по формуле для вычисления расстояния между двумя точками с заданными координатами.

МС=√(x-x₀)²+(y-y₀)²+(z-z₀)².

3. Если точка М лежит на сфере, то отрезок МС равен радиусу R, то есть

R=√(x-x₀)²+(y-y₀)²+(z-z₀)²  или

R²=(x-x₀)²+(y-y₀)²+(z-z₀)² .

4.В случае если точка М не принадлежит данной сфере, то R≠МС, значит,  координаты точки М не удовлетворяют уравнению R²=(x-x₀)²+(y-y₀)²+(z-z₀)².

5. Таким образом, в прямоугольной системе координат О_xyz уравнение сферы с центром

С (x₀ ; y₀ ; z₀) и радиусом R имеет вид:

(x-x₀)²+(y-y₀)²+(z-z₀)² = R²

Применим полученные знания при решении задач.

Задача 1.

Записать уравнение сферы с центром в точке А, которая проходит через точку N, если А(-2;2;0) и N(5;0;-1).

Решение:

1.Запишем уравнение сферы с центром

А (x₀ ; y₀ ; z₀) и радиусом R:

(x-x₀)²+(y-y₀)²+(z-z₀)² = R²

2.Подставим соответствующие координаты центра сферы А в  данное уравнение:

(x+2)²+(y-2)²+(z-0)² = R²

Уравнение сферы с центром в точке А с координатами (-2;2;0) примет вид:

(x+2)²+(y-2)²+z² = R²

3.Так как сфера проходит через точку N с координатами (5;0;-1), то её координаты удовлетворяют уравнению сферы, подставим координаты этой точки в полученное уравнение:

R²=(5+2)²+(0-2)²+(-1)² =49+4+1=54

Таким образом, уравнение сферы с центром в точке А, которая проходит через точку N имеет вид:

(x+2)²+(y-2)²+z² = 54

Дано: сфера, А-центр сферы, Nсфере,

А(-2;2;0),  N(5;0;-1).

Найти: уравнение сферы с центром А.

Решение:

1. Уравнение сферы с центром

А( x₀ ; y₀ ; z₀) и радиусом R:

(x-x₀)²+(y-y₀)²+(z-z₀)² = R²

2. А(-2;2;0) 

(x+2)²+(y-2)²+(z-0)² = R²

Уравнение сферы с центром в точке А (-2;2;0):

(x+2)²+(y-2)²+z² = R²

3. N∈сфере; N(5;0;-1)

R²=(5+2)²+(0-2)²+(-1)² =49+4+1=54

Ответ: (x+2)²+(y-2)²+z² = 54

Задача 2.

Сфера задана уравнением:

x²+ y²+ z²+2y-4z=4

1) Найти координаты центра и радиус сферы;

2) Найти значение m, при котором точки

А (0; m;2) и В (1;1; m-2) принадлежат данной сфере.

Решение:

1. Уравнение данной сферы имеет вид:

x²+ y²+ z²+2y-4z=4 или x²+ y²+2y + z²-4z=4

Выделим полный квадрат для переменных y и z, для этого прибавим и одновременно вычтем 1 и 4 в левой части уравнения:

x²+ y²+2y+1-1 + z²-4z+4-4=4

Уравнение примет вид:

x²+( y+1)²+( z-2)²-5=4 или

x²+( y+1)²+( z-2)²=9

Таким образом, центр сферы имеет координаты:

О (0;-1;2), радиус равен R=√9=3

2.Уравнение сферы с центром в точке О (0;-1;2) и радиусом R=3 имеет вид:

x²+( y+1)²+( z-2)²=9

Точки А (0; m;2) и В (1;1; m-2) принадлежат данной сфере, значит их координаты удовлетворяют уравнению сферы. Подставим координаты этих точек в уравнение сферы и решим систему уравнений:

                      0²+( m+1)²+(2-2)²=9

                      1²+(1+1)²+( m-2-2)²=9

Упростим полученные уравнения, раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые:

( m+1)²=9

( m-4)²=4

            m+1= 3

            m-4= 2

Таким образом, мы получили 4 значения m:

m=-4;   m=2;  m=6;  m=2.

Несложно проверить, что при  m=-4 и  m=6 координаты точек А и В не удовлетворяют уравнению сферы. Проверьте самостоятельно.

Итак, при m=2 точки А (0; m;2) и В (1;1; m-2) принадлежат сфере, заданной уравнением

x²+ y²+ z²+2y-4z=4 с центром в точке

О (0;-1;2) и радиусом R=3.

Дано: уравнение сферы

x²+ y²+ z²+2y-4z=4

Найти: 1) О( x₀ ; y₀ ; z₀), R.

2) m, при котором точки

А(0; m;2) и В(1;1; m-2) принадлежат сфере.

Решение:

1. x²+ y²+ z²+2y-4z=4

x²+ y²+2y + z²-4z=4

x²+ y²+2y+1-1 + z²-4z+4-4=4

x²+( y+1)²+( z-2)²-5=4

x²+( y+1)²+( z-2)²=9-уравнение сферы.

Центр сферы  О(0;-1;2),

радиус R=√9=3

2. x²+( y+1)²+( z-2)²=9

А и Всфере

А(0; m;2)    В(1;1; m-2)

0²+( m+1)²+(2-2)²=9        

 1²+(1+1)²+( m-2-2)²=9

( m+1)²=9

( m-4)²=4

m+1= 3

m-4= 2

m=-4;   m=2;  m=6;  m=2.

При  m=-4 и  m=6 координаты точек А и В не удовлетворяют уравнению сферы. Проверьте самостоятельно.  m=2

Ответ:  О(0;-1;2) , R=3.

при m=2 точки А(0; m;2)

и В(1;1; m-2) принадлежат сфере.