Виды аналогии и их использование

УДК

Виды аналогии и их использование в процессе обучения математике

Ю.Е. ЗОННЕНБЕРГ

Омский государственный педагогический университет

Научный руководитель ‒ доктор пед. наук, профессор каф. математики методики обучения математике В.А.Далингер

Аннотация

      В статье рассматривается метод аналогии, как один из эффективных путей, направленных на развитие творческого мышления учащихся.

Практика показывает, что наибольшие трудности испытывают учащиеся при решении стереометрических задач, ибо для их решения, кроме прочих знаний по планиметрии и стереометрии, необходимо уметь рационально выбирать нужные теоретические знания, уметь применять большое разнообразие различные математические методы.  Эффективным методом для решения стереометрических задач является метод аналогии, так как именно аналогия чаще всего лежит в начале поиска решения многих задач стереометрии. Формирование у учащихся умения применять метод аналогии следует рассматривать как один из эффективных путей развития творческой активности школьников.

Различные аспекты использования метода аналогии в обучении рассматривали в своих исследованиях отечественных и зарубежных ученых: В.Г.Болтянский, В.А.Далингер, Ю.М.Колягин, Р.Ю.Костюченко, А.А.Столяр, А.И.Уемов, Б.З.Хынг и др. Термин «аналогия» происходит от греческого слова «anologia», что означает «соответствие».

Отметим, что имеются различные подходы к классификации аналогии. В литературе выделяют следующие типы аналогии: аналогия применения, аналогия обобщения, аналогия контакта, предельная аналогия, аналогия преобразований, тривиальная аналогия. Рассмотрим характеристики этих видов аналогии и приведем соответствующие примеры.

Пусть заданы внешние разнородные системы объектов произвольной природы. Если в них глубоко заложено сходство и есть возможность применить к ним один и тот же математический аппарат, то говорят об аналогии применения. Приведем классический пример этого вида аналогии: аппарат дифференциальных уравнений, применяемый к различным объектам действительности. К.Максвелл получил систему дифференциальных уравнений, описывающих электромагнитное поле. Для электромагнитного поля в вакууме из этих уравнений можно получить важное следствие:

   , напряженность электрического поля;

, где  , напряженность магнитного поля.

К.Максвелл о аналогии распространил волновую характеристику для упругой среды по аналогии и на электромагнитное поле.

Аналогией обобщения называют тождество математических объектов, имеющее место в широком смысле. Рассмотрим пример.

(сл.5) Школьникам предлагается для решения уравнения:

а) 

а) 

а)

а)

Решив каждое из них, учащиеся получают: для первого уравнения корни 3 и 1/3, для второго (-2) и -(1/2), для третьего (5  и 1/5) для четвертого (-4 и –(1/4)).

На основе установления сходства между предложенными уравнениями (закономерность между найденными корнями и коэффициентами уравнений) учащиеся должны заметить, что каждое из уравнений имеет вид

     и корнями уравнения служат соответственно числа (-а) и (-1/а) или числа а и 1/а.

Аналогия контакта состоит в том, что устанавливается связь между двумя и более классами математических объектов, причем установление связей происходит на основе совпадения соответствующих свойств систем, принадлежащих данным классам. Независимо от числа классов установление связей вначале происходит для двух классов, а затем уже аналогия контакта устанавливается между всеми классами. Приведем пример.

В качестве одного из класса возьмем всевозможные треугольники, а другой класс будет состоять из произвольных тетраэдров. Эти два класса обладают многими схожими свойствами :

·        треугольник (тетраэдр) ‒ простейший многоугольник (многогранник).

·        около треугольника (тетраэдра) можно описать единственную окружность (сферу).

·        высота равнобедренного треугольника (правильной треугольной пирамиды) проходит через центр основания.

·        площади (объемы) подобных треугольников (тетраэдров) относятся как квадраты (кубы) соответствующих сторон и др.

Если предельное преобразование математического объекта приводит к возникновению у него системы свойств, совпадающей с соответствующей системой свойств какого-либо другого математического объекта, то мы имеем дело с предельной аналогией. Эта аналогия подразделяется на несколько видов. Рассмотрим некоторые виды предельной аналогии и приведем примеры, раскрывающие их суть.

а) Предельная аналогия в чистом виде возникает между исходным объектом и тем же самым объектом, но после применения к нему предельного преобразования. Рассмотрим пример:

Пусть нужно вычислить предел

Применяя правило Лопиталя, мы будем иметь:

Теперь, использовав предельную аналогию к исходному объекту и к тому, который получился после применения правила Лопиталя, даем ответ.

б) Предельная аналогия между двумя объектами возникает после того, когда над каждым из них было совершено предельное преобразование. Рассмотрим пример.

Выводятся формулы площади круга и длины окружности. Известно, что для этого вписываются в окружность правильные многоугольники и рассматриваются соответственно две последовательности: последовательность площадей правильных многогранников ( и последовательность периметров правильных многогранников(. Взяв пределы: , мы видим, что эти два  предела дают требуемую характеристику кругу и окружности и они, эти пределы, сходны (аналогичны) в известном смысле.

Суть аналогии преобразования состоит в том, что у математических объектов устанавливается система совпадающих свойств после того, как над ними (или над одним из них) было совершено некоторое математическое преобразование.

Тривиальная аналогия применяется к объектам с достаточно широким совпадением системы их свойств и ее суть заключается в том, что один и тот же прием, метод, правило используется одинаковым образом к каждому рассматриваемому объекту. Как правило, тривиальная аналогия применяется к однородным объектам из одного класса.

Как показал эксперимент, явное знакомство учащихся со всеми видами аналогий не является целесообразным, ибо это загружает их понятийный аппарат, поэтому здесь целесообразно знакомить школьников лишь с более простыми видами аналогий, которыми являются аналогия свойств и аналогия отношений.

1.      Ясиновский Э.А. Задачи, составленные по аналогии с другими задачами // Математика в школе. ‒ №1. ‒ 1974. ‒ С. 56-58.

2.      .Костюченко Р.Ю. Метод аналогии как средство реализации внутрипредметных связей при обучении стереометрии: Учебное пособие / Под ред. В.А. Далингера. ‒ Омск: Издательство ОмГПУ, 1999. ‒ 78с.

3.      Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике: часть 1: математические задачи как средство обучения и развития учащихся. ‒ М.: Просвещение, 1977. ‒ 110с.

4.      Далингер В.А. Об аналогиях в планиметрии и стереометрии // Математика в школе. ‒№6. ‒ 1995. ‒ С. 16-21