Викторина по истории математики "Математический звездопад"

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №59»

Дзержинского района города Новосибирска

Работу выполнил:

учитель математики Шахов Денис Эдуардович

Викторина по истории математики «Математический звездопад»

Часть 1. По страницам истории математики

1) Инструмент, служивший в древности для наблюдения за движением Солнца. Как им пользовались? Развитию какой науки способствовало его использование?

Инструмент назывался гномон (солнечные часы). Он представлял собой вертикальный шест, установленный на ровной горизонтальной площадке. С его помощью определяли угловую высоту Солнца над горизонтом, зная высоту гномона и длину отбрасываемой им тени, то есть фактически древние с его помощью определяли тангенс искомого угла. Именно поэтому использование гномона было одним из источников развития тригонометрии. Развитию математики вообще способствовало не только использование, но и конструирование гномона – по мнению О. Нейгебауера, именно это повлияло на интерес к теории конических сечений, а также к одной из неразрешимых задач древности – о трисекции угла. Принято считать, что изобретателем гномона является древнегреческий философ Анаксимандр Милетский (ок. 610-546 до н.э.).

2) В чём суть задачи о квадратуре круга? Кто и в каком году доказал её неразрешимость? Какой забавный случай с этим связан?

Это одна из трёх классических неразрешимых задач древности. Суть: необходимо с помощью циркуля и линейки построить квадрат, равновеликий (то есть, имеющий ту же площадь) данному кругу. Задача сводится к построению отрезка длиной . Невозможность решения задачи с помощью циркуля и линейки обусловлена тем, что  не является алгебраическим числом (оно трансцендентно). Трансцендентность этого числа была доказана только в 1882 году немецким математиком Ф. Линдеманом. Когда его попросили провести в университете семинар по этому вопросу, рядом с местом его выступления повесили карикатуру с надписью «Бедные квадратуристы», заметив которую, математик неожиданно засмеялся и похвалил выдумку студентов.

3) Опишите метод, которым древние вавилоняне извлекали квадратные корни. Приведите пример заимствования этого метода греческими учёными.

Метод, которым пользовались вавилоняне для извлечения квадратного корня можно описать приближённой формулой:

Таким образом, сначала число, корень из которого нужно извлечь, необходимо было представить в виде суммы целого квадрата  и ещё одного числа , которое должно быть достаточно малым по сравнению с . Пример извлечения корня из числа 1700 был найден на одной из клинописных табличек во время раскопок. Вавилонский метод извлечения квадратных корней был использован, например, Героном Александрийским. В его трудах был обнаружен пример извлечения корня из 160:

4) Имя какого вычислителя долгое время носило знаменитое число π? С чем это было связано?

Число  долгое время называли числом Лудольфа. Лудольф ван Кёлен (1540-1610) – нидерландский вычислитель, который методом Архимеда верно вычислил первые 35 (по другим данным, 32) десятичных знаков числа π после запятой. Эти знаки были для него столь дороги, что их высекли на его надгробном камне. Название «число Лудольфа» было знаком уважения к памяти этого вычислителя.

5) Узбекский математик IX века, создавший трактат по алгебре, посвящённый, в основном, уравнениям первой и второй степеней. Знаете ли вы, откуда берут начало слова «алгебра» и «алгоритм»?

Мухаммед ибн Муса аль Хорезми (ок. 787-850). Его трактат «Краткая книга об исчислении ал-джабра и ал-мукабалы» вышел в 820 году. Ал-джабр (восстановление) – перенесение слагаемых из одной части уравнения в другую. Ал-мукабала (противопоставление) – приведение подобных слагаемых. Современное слово «алгебра» произошло от названия операции «ал-джабр». Слово «алгоритм» произошло от фамилии учёного (латинизированная форма его фамилии - Алгоризми).

6) Приведите примеры формул для «генерирования» простых чисел. Кто их авторы?

Математики многих поколений пытались найти формулу, генерирующую простые числа. Например, французский математик Пьер Ферма (1601-1665) предложил формулу:

Он считал, что все числа этого вида (впоследствии знаменитые числа Ферма) будут простыми. Однако это не так: швейцарский математик Леонард Эйлер (1707-1783) в 1739 году показал, что при   число Ферма делится на 641. Сам Л. Эйлер предлагал следующие формулы:

Очевидно, что при всех  эти многочлены не могут принимать только простые значения.

7) Французский математик, создатель (наряду с Р. Декартом) аналитической геометрии. Какова особенность его математического творчества? Какие достижения этого учёного вы можете назвать?

Пьер Ферма (1601-1665). Родился в Тулузе, по образованию юрист (говоря современным языком, математика была его хобби). Свободное от работы время он посвящал занятиям математикой. Особенность его математического творчества заключалась в том, что практически все открытые им утверждения он оставлял без доказательства (ему принадлежит высказывание «Я установил много исключительно красивых теорем»). Доказывать эти утверждения брались многие математики будущих поколений (среди них были Л. Эйлер, Ж. Лагранж и многие другие), причём при попытках (не всегда успешных) доказательств, учёные создавали и разрабатывали новые области в математике. Читая «Арифметику» Диофанта Александрийского (III в.), Ферма часто делал на полях этой книги заметки карандашом. Именно с этой книгой связано самое знаменитое его открытие: «Великая теорема Ферма». Формулировка её весьма проста и доступна: при натуральном  уравнение

не имеет решений в натуральных числах. Над доказательством этой теоремы бились лучшие математические умы мира на протяжении более чем 350 лет. Окончательно эта теорема была доказана английским математиком Эндрю Уайлсом в 1995 году. Сам Ферма утверждал, что ему известно «поистине чудесное доказательство» этой теоремы (но «поля книги слишком узки, чтобы его записать»), однако в его бумагах оно обнаружено не было. Было найдено его доказательство для частного случая . Это даёт основание полагать, что Ферма либо вообще не владел этим доказательством, либо оно содержало ошибку. П. Ферма является создателем теории чисел и аналитической геометрии, разработчиком основ теории вероятностей (независимо от Б. Паскаля), методов дифференциального исчисления (проведение касательных, нахождение максимумов и минимумов, необходимое условие экстремума).

8) Учёный, в честь которого назван треугольник биномиальных коэффициентов. Какие биографические черты и какие достижения этого учёного вам известны?

Французский математик Блёз Паскаль (1623-1662). Родился в семье любителя математики Этьена Паскаля (именно в честь него названа кривая «улитка Паскаля»). В их семье часто проходили встречи, на которых разгорались споры на научные темы. Именно они и пробудили в маленьком Паскале любознательность и интерес к науке. Мальчик постоянно задавал отцу (мать умерла, когда Паскалю было 3 года) всевозможные вопросы научного характера, особенно по математике. Однако, отец, зная слабое здоровье сына, счёл, что ранние занятия математикой отрицательно могут сказаться на здоровье ребёнка и всё время уходил от ответа. Математические книги были заперты в шкафу. Тогда двенадцатилетний Паскаль решил «создать» математику (более точно, геометрию) самостоятельно. И ему это действительно удалось! Фигуры он вычерчивал на полу – мелом или углём. Прямую он называл «палка», круг – «колесо», параллелограмм – «длинный квадрат» и т.д. И когда отец застал Паскаля за этим занятием и узнал, каких успехов он сам сумел достичь в геометрии, было ясно, что Паскаль – будущий учёный-математик. Плодотворное математическое творчество Паскаля продолжалось до 31 года, когда он чуть не лишился жизни, двигаясь по мосту в карете, запряжённой лошадьми. С этого момента, оправившись от глубокого шока, Паскаль уже ничего не сделал в науке (чему была несказанно рада Католическая церковь). Научные достижения: Паскаль одним из первых сформулировал принцип математической индукции, заложил основы теории вероятностей, дал свой способ нахождения биномиальных коэффициентов, способствовал развитию анализа бесконечно малых, открыл основной закон гидростатики, изучил свойства циклоиды, нашёл общий признак делимости на степени двойки.

9) От какого греческого слова произошло слово «конус»? Какие сведения о конусе содержатся в «Началах» Евклида?

Конус, по-гречески, означает «затычка, втулка, сосновая шишка». В XI книге «Начал» Евклид определяет конус как тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг вертикального (неподвижного) катета. Неподвижный катет он называет осью конуса, а круг, получающийся в результате вращения горизонтального катета – основанием конуса. Евклид рассматривал только прямые конусы (косые, то есть, наклонные, конусы появятся только у Аполлония Пергского (262-190 до н.э.)). В XII книге Евклид приводит несколько теорем о конусе: объём конуса равен одной трети объёма цилиндра с равным основанием и равной высотой (доказано это было Евдоксом Книдским (ок. 408-355 до н.э.)); отношение объёмов двух конусов с равными основаниями равно отношению соответствующих высот; если два конуса равновелики, то площади их оснований обратно пропорциональны соответствующим высотам и наоборот.

10) «Король» математиков. Какой интересный случай был связан с его вычислительными способностями? Что выгравировано на его могиле?

Немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777-1855). Когда ему было три года, он указал своему отцу на ошибку в его расчётах – отец хотел рассчитаться с рабочими и устно проводил вычисления. В итоге маленький Гаусс, лёжа в кроватке, сказал ему, что это неверно, а верно будет так-то. Отец проверил вычисления, и оказалось, что Гаусс действительно был прав. Все окружающие были потрясены этим обстоятельством. О своих вычислительных способностях Гаусс в шутку говорил: «Я считать научился раньше, чем говорить». На его могиле выгравирован правильный семнадцатиугольник – когда Гауссу было 19 лет (30 марта 1796 года), он доказал, что правильный семнадцатиугольник может быть построен с помощью циркуля и линейки.

11) От какого греческого слова произошло слово «шар»? Кому принадлежит вывод  формул объёма шара и площади сферы? Что вам известно об этом учёном?

Слова шар и сфера произошли от одного и того же греческого слова «сфайра», по-гречески это означает «мяч». В древности сфера была в большом почёте, что было связано с большим интересом к небесной сфере и с её активным изучением. Вывод формул площади сферы и объёма шара принадлежит великому древнегреческому математику, физику и инженеру Архимеду (287-212 до н.э.). Ему принадлежат сочинения: «Об измерении круга», «О квадратуре параболы», «О шаре и цилиндре», «О равновесии плоскости», «О плавающих телах», «О коноидах и сфероидах», «Псаммит (исчисление песчинок)», «О спиралях», «Послание Эратосфену о некоторых теоремах механики». Пользуясь своими оригинальными методами, Архимед вычислял длины кривых, площади поверхностей вращения, площади плоских фигур, объёмы тел, то есть, фактически, предвосхитил идеи современного математического анализа. Он изобрёл машину для орошения полей (архимедов винт), для поднятия тяжестей впервые стал применять систему рычагов и блоков, дал способ определения состава сплавов путём взвешивания в воде и т.д. Ему принадлежит слово «Эврика» (по-гречески, нашёл) – слово, которое он прокричал, выскочив из ванны и побежав голым по улице (открытие знаменитого закона Архимеда), а также высказывание  «Дайте мне точку опоры, и я сдвину Землю». На его могиле выгравирован цилиндр, в который вписан шар – Архимед доказал, что объём такого шара занимает две трети объёма цилиндра.

12) Как называлась первая печатная работа по интегральному исчислению? Кто её автор? Каково содержание этой работы?

Это сочинение немецкого математика Г. Лейбница (1646-1716) «О глубокой геометрии и анализе неделимых, а также бесконечных», вышедшее в 1686 году, через два года после появления его мемуара о дифференциальном исчислении. В этой работе Лейбниц устанавливает связь между дифференциальным и интегральным исчислением. Основным понятием была сумма актуально бесконечно малых треугольников , на которые разбивается криволинейная фигура, то есть фактически понятие определённого интеграла. Лейбниц впервые вводит современный знак интеграла, а также запись подынтегрального выражения . Отсюда же пошло его высказывание: «Предупреждаю, чтобы остерегались отбрасывать . Ошибка, которую часто допускают, и которая препятствует продвижению вперёд». Исходя из понятия определённого интеграла (с помощью составления дифференциальных и суммирующих уравнений), Лейбниц приходит к понятию первообразной и устанавливает, что операции дифференцирования и интегрирования являются взаимно обратными.

13) Какое сочинение считается первым печатным руководством по аналитической геометрии? Кто автор этого труда и каковы его научные достижения?

Это второй том сочинения швейцарского математика Леонарда Эйлера (1707-1783) «Введение в анализ бесконечных», вышедшего в 1748 году. Как пишет сам учёный, это книга «… содержащая теорию кривых линий, а также добавление о поверхностях». Первый том этого труда содержит учение о функциях (виды, преобразования, разложение в бесконечные произведения и ряды), учение о тригонометрических функциях и логарифмах. В области математики XVIII век часто называют веком Эйлера, ибо им были сделаны первостепенные открытия практически во всех областях математики.  Л. Эйлеру принадлежат более 850 печатных работ (среди которых ряд больших монографий): по математическому анализу (теория функций комплексной переменной, теория дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, методы интегрирования), теории чисел, теории вероятностей, дифференциальной геометрии, вариационному исчислению, небесной механике, оптике, баллистике, теории музыки, морской науке и многим другим областям. Современные учебные пособия по аналитической геометрии, дифференциальному и интегральному исчислению, тригонометрии и т.д. восходят к трактатам великого учёного. Кстати сказать, Эйлер доказал многие утверждения, высказанные Ферма в виде гипотез. Логарифмы и тригонометрия почти полностью сохранили обозначения, введённые Эйлером. Французский математик Пьер Симон Лаплас (1749-1827) говорил своим ученикам: «Читайте, читайте Эйлера – это наш общий учитель». Следует отметить, что помимо всего прочего Эйлер был непревзойдённым вычислителем. Когда он умер, французский философ и математик М. Кондорсе (1743-1790) сказал о нём: «Эйлер перестал жить и вычислять». Научное наследие Эйлера и поныне изучено далеко не полностью, труды его до сих пор побуждают математиков к многочисленным исследованиям.

14) «Тебе сказано: раздели 10 мер хлеба на 10 человек, если разность между каждым человеком и следующим за ним составляет  меры». Из какого источника взята эта задача? Что вы о нём знаете?

Это одна из задач, найденных в папирусе Ринда (который также называют папирусом Райнда или папирусом Ахмеса). Для всех задач этого папируса характерно то, что даётся готовый «рецепт» решения, без всякого обоснования, а уж тем более без доказательства. Приведём характерный пример. В этом папирусе есть задача №26: «Количество и его четверть дают вместе 15. Найти это количество». Очевидно, это задача на составление простейшего уравнения  В папирусе даётся такое решение: «Считай с 4, возьми четверть, получишь 1, вместе 5». Далее проводятся вычисления: «. Искомое число равно 12». Папирус Ринда (первоначальное название) это древнеегипетское учебное руководство по арифметике и геометрии, переписанное писцом Ахмесом (отсюда второе название папируса) около 1650 г. до н.э. Размеры папируса 199,5см32см. Данный папирус – наиболее полный древнеегипетский задачник, содержащий 84 задачи (условие и готовый «рецепт» решения). Следует отметить, что все эти задачи носили практико-ориентированный характер. Это было характерно для египетской математики вообще – египтяне не терпели абстракций, все теоретические вопросы обязательно рассматривались на фоне их практического использования (например, египтянин не думает о числе 5 – он может думать о 5 хлебах, о 5 овцах и т.д.).

15) Что вам известно о проблеме выражения корней алгебраических уравнений через их коэффициенты? Какими учёными была решена эта проблема?

Линейные и квадратные уравнения умели решать (то есть, выражать корни через коэффициенты) уже древние вавилоняне. Естественно, они не записывали формул, дающих корни уравнения, но те шаги, которые описывались (наподобие «рецептов» в папирусе Ринда), соответствовали известным формулам решения. Затем в течение двух тысячелетий математики пытались найти аналогичные формулы для нахождения корней кубических уравнений.  В 1535 году итальянский математик Никколо Тарталья (1500-1557) получил формулу одного из корней кубического уравнения, однако метод решения держал в тайне. Эти формулы теперь называют формулами Кардано, так как они были опубликованы в книге «Великое искусство, или об алгебраических правилах» математика Джироламо Кардано (1501-1556). В этой же книге была опубликована формула Феррари для решения уравнений 4 степени (Луиджи Феррари (1522-1565) – ученик и секретарь Кардано). Формула Кардано чрезвычайно громоздка и на практике почти не применяется. По аналогии математики пытались найти формулы (пусть даже громоздкие) для уравнений пятой степени и выше. Однако эти попытки были тщетными. И только французский математик Жозеф Луи Лагранж (1736-1813) в трактате «Размышление об алгебраическом решении уравнений» в 1770 году доказал, что методы, которые «срабатывали» раньше, для уравнений степени выше четвёртой неприменимы. В 1826 году норвежский математик Нильс Хенрик Абель (1802-1829) доказал теорему о неразрешимости в радикалах уравнений степени выше четвёртой.

Часть 2. Чьё это высказывание?

 1) Идите, идите вперёд, уверенность придёт к вам позже. Французский математик Жан Лерон Даламбер (1717-1783).

2) Геометрия приближает разум к истине. Древнегреческий философ Платон (ок. 427-347 до н.э.).

3) Я глубоко почитаю математику, потому что знакомые с нею видят в ней средство к пониманию всего существующего. Индийский математик и астроном Бхаскара (ок. 600-680)

4) Для царей нет особого пути в изучении геометрии. Древнегреческий математик Евклид (III в. до н.э.)

5) Если хотите научиться решать задачи, то решайте их. Венгерский математик Дьёрдь Пойа (1887-1985).

6) И чем труднее доказательство, тем больше будет удовольствие тому, кто доказательство найдёт. Французский математик и философ Рене Декарт              (1596-1650).

7) Математиком нельзя стать, математиком надо родиться. Французский математик Анри Пуанкаре (1854-1912).

8) Математика, вероятно, никогда не достигла бы такой высокой степени совершенства, если бы древние не приложили столько усилий для изучения вопросов, которыми сегодня многие пренебрегают из-за их мнимой бесплодности. Швейцарский математик Леонард Эйлер (1707-1783).

9) Легче найти доказательство, приобретя сначала некоторое понятие о том, что мы ищем, чем искать такое доказательство без всякого предварительного знания. Древнегреческий математик, физик и инженер Архимед (ок. 287-212 до н.э.).

10) Вычислительная машина ценна ровно настолько, насколько ценен использующий её человек. Американский математик Норберт Винер (1894-1964).

Часть 3. Исторические задачи

1) Задача Л. Эйлера

Доказать равенство

Решение

2) Формула Ф. Виета

Доказать, что

Указание к решению

Перепишем исходное равенство в виде

Применяя в левой части формулу для разности синусов, а именно:

получим требуемое.

3) Задача Г. Лейбница

Доказать, что если  – целое число, то  кратно 5.

Указание к решению

Сначала преобразуем число

Воспользуемся тем, что если хотя бы один множитель кратен 5, то и произведение кратно 5. Имеют место пять случаев (так как остатков всего может быть 5: 0, 1, 2, 3 и 4). Если при деление на 5 число :

1) даёт остаток 0 (иначе говоря, делится на 5), то произведение делится на 5.

2) даёт остаток 1, то множитель  делится на 5, а значит, произведение делится на 5.

3) даёт остаток 2, то множитель  делится на 5, а значит, произведение делится на 5.

4) даёт остаток 3, то множитель  делится на 5, а значит, произведение делится на 5.

5) даёт остаток 4, то множитель  делится на 5, а значит, произведение делится на 5.

4) Задача из «Начал» Евклида

Найти центр данного круга.

Указание к решению

Можно провести произвольную хорду в окружности и восстановить к ней серединный перпендикуляр (концы которого лежат на окружности). Как известно, этот перпендикуляр является диаметром окружности, а следовательно, отметив его середину, мы получим центр круга.

5) Задача из «Начал» Евклида

Рассечь данную дугу пополам.

Указание к решению

Провести отрезок с граничными точками в концах хорды и восстановить к этому отрезку серединный перпендикуляр. Доказательство того, что этот перпендикуляр разделит дугу пополам, предоставляется читателю в виде упражнения.

6) Задача Я.Штейнера

Доказать, что если соединить точку пересечения диагоналей трапеции с точкой пересечения её боковых сторон (их продолжений), то большее основание трапеции разделится полученной прямой пополам.

Указание к решению

Так как  - медиана, то и   тоже является медианой (используется подобие треугольников  и ;  и ). Следовательно, точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований трапеции лежат на одной прямой. Диагональ  пересекается с прямой  в точке . Докажем, что диагональ  проходит через точку . Для этого достаточно доказать равенство углов  и , а оно вытекает из подобия треугольников  и .

Литература

1) Белл Э.Т. Творцы математики: пособие для учителей –М.: Просвещение,     1979 – 256 с.

2) Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия –М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960 – 468 с.

3) Каган В.Ф, Архимед. Краткий очерк о жизни и творчестве  –М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы,1949 –  52 с., илл.

4) Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии –М.: Наука, 1989 – 482 с.

5) Лиман М.М. Школьникам о математике и математиках: Пособие для учащихся 4-8 кл. сред. школы / Сост. М.М. Лиман.– М.: Просвещение, 1981 – 80 с.

6) Матвиевская Г.П. Очерки истории тригонометрии – М.: URSS, 2012 – 160 с., илл.

7) Никифоровский В.А., Фрейман Л.С. Рождение новой математики –М.: Наука, 1976 – 198 с.

• 1 слайд

  МатематическИЙ ЗВЕЗДОПАД
  
  

• 2 слайд

  
  По страницам истории математики
  

• 3 слайд

  Вопрос 1
  Инструмент, служивший в древности для наблюдения за движением Солнца. Как им пользовались? Развитию какой науки способствовало его использование?
  

• 4 слайд

  Вопрос 2
  В чём суть задачи о квадратуре круга? Кто и в каком году доказал её неразрешимость? Какой забавный случай с этим связан?
  

• 5 слайд

  Вопрос 3
  Опишите метод, которым древние вавилоняне извлекали квадратные корни. Приведите пример заимствования этого метода греческими учёными.
  
  

• 6 слайд

  Вопрос 4
  Имя какого вычислителя долгое время носило знаменитое число π? С чем это было связано?
  
  

• 7 слайд

  Вопрос 5
  Узбекский математик IX века, создавший трактат по алгебре, посвящённый, в основном, уравнениям первой и второй степеней. Знаете ли вы, откуда берут начало слова «алгебра» и «алгоритм»?
  
  

• 8 слайд

  Вопрос 6
  Приведите примеры формул для «генерирования» простых чисел. Кто их авторы?
  
  

• 9 слайд

  Вопрос 7
  Французский математик, создатель (наряду с Р. Декартом) аналитической геометрии. Какова особенность его математического творчества? Какие достижения этого учёного вы можете назвать?
  
  

• 10 слайд

  Вопрос 8
  Учёный, в честь которого назван треугольник биномиальных коэффициентов. Какие биографические черты и какие достижения этого учёного вам известны?
  
  

• 11 слайд

  Вопрос 9
  От какого греческого слова произошло слово «конус»? Какие сведения о конусе содержатся в «Началах» Евклида?
  
  

• 12 слайд

  Вопрос 10
  «Король» математиков. Какой интересный случай был связан с его вычислительными способностями? Что выгравировано на его могиле?
  
  

• 13 слайд

  Вопрос 11
  От какого греческого слова произошло слово «шар»? Кому принадлежит вывод формул объёма шара и площади сферы? Что вам известно об этом учёном?
  
  

• 14 слайд

  Вопрос 12
  Как называлась первая печатная работа по интегральному исчислению? Кто её автор? Каково содержание этой работы?
  
  

• 15 слайд

  Вопрос 13
  Какое сочинение считается первым печатным руководством по аналитической геометрии? Кто автор этого труда и каковы его научные достижения?
  
  

• 16 слайд

  Вопрос 14
  «Тебе сказано: раздели 10 мер хлеба на 10 человек, если разность между каждым человеком и следующим за ним составляет меры». Из какого источника взята эта задача? Что вы о нём знаете?
  
  

• 17 слайд

  Вопрос 15
  Что вам известно о проблеме выражения корней алгебраических уравнений через их коэффициенты? Какими учёными была решена эта проблема?
  
  

• 18 слайд

  
  Чьё это высказывание?
  

• 19 слайд

  Высказывание 1
  Идите, идите вперёд, уверенность придёт к вам позже.
  

• 20 слайд

  Высказывание 2
  Геометрия приближает разум к истине.
  

• 21 слайд

  Высказывание 3
  Я глубоко почитаю математику, потому что знакомые с нею видят в ней средство к пониманию всего существующего.
  

• 22 слайд

  Высказывание 4
  Для царей нет особого пути в изучении геометрии.
  

• 23 слайд

  Высказывание 5
  Если хотите научиться решать задачи, то решайте их.
  

• 24 слайд

  Высказывание 6
  И чем труднее доказательство, тем больше будет удовольствие тому, кто доказательство найдёт.
  

• 25 слайд

  Высказывание 7
  Математиком нельзя стать, математиком надо родиться.
  

• 26 слайд

  Высказывание 8
  Математика, вероятно, никогда не достигла бы такой высокой степени совершенства, если бы древние не приложили столько усилий для изучения вопросов, которыми сегодня многие пренебрегают из-за их мнимой бесплодности.
  

• 27 слайд

  Высказывание 9
  Легче найти доказательство, приобретя сначала некоторое понятие о том, что мы ищем, чем искать такое доказательство без всякого предварительного знания.
  

• 28 слайд

  Высказывание 10
  Вычислительная машина ценна ровно настолько, насколько ценен использующий её человек.
  

• 29 слайд

  
  Исторические задачи
  

• 30 слайд

  Задача 1
  Задача Л. Эйлера
  Доказать равенство
  
  

• 31 слайд

  Задача 2
  Формула Ф. Виета
  Доказать, что
  
  

• 32 слайд

  Задача 3
  Задача Г. Лейбница
  Доказать, что если – целое число, то кратно 5.
  
  
  

• 33 слайд

  Задача 4
  Задача из «Начал» Евклида
  Найти центр данного круга.
  
  
  

• 34 слайд

  Задача 5
  Задача из «Начал» Евклида
  Рассечь данную дугу пополам.
  
  
  

• 35 слайд

  Задача 6
  Задача Я.Штейнера
  Доказать, что если соединить точку пересечения диагоналей трапеции с точкой пересечения её боковых сторон (их продолжений), то большее основание трапеции разделится полученной прямой пополам.
  
  
  

• 36 слайд

  МатематическИЙ ЗВЕЗДОПАД