Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Научные работы / Выпускная квалификационная работа по теме Уравнения

Выпускная квалификационная работа по теме Уравнения

Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Содержание



Введение

Глава 1. Уравнения в систематическом курсе алгебры основной школы

1.1 История развития уравнений .................................................................6

1.2 Линейные и сводящиеся к ним уравнения .8

1.3 Квадратные и сводящиеся к ним уравнения

1.3.1 Понятие квадратного уравнения ……………………………..11

1.3.2. Неполные квадратные уравнения 15

1.3.3. Приведенные квадратные уравнения 18

1.3.4. Теорема Виета 20

1.4. Рациональные и дробно-рациональные уравнения, распадающиеся уравнения 23

Глава II. Методика решения уравнений в курсе алгебры основной школы

2.1. Методика решения линейных и сводящихся к ним уравнений ……..25

2.2. Методика решения квадратных и сводящихся к ним уравнений …. 28

2.3. Методика решения дробно -рациональных и рациональных уравнений…………………………………………………………………………..32

2.4.Практическое применение теории и методики решения уравнений в систематическом курсе алгебры основной школы

2.4.1 Решение наиболее интересных уравнений в курсе алгебры основной школы………………………………………………………………………………34

2.4.2 Решение текстовых задач с использованием уравнений …………40

Заключение

Литература

Приложение



































Введение



Линия развития алгебры упрочила положение уравнения как ведущего понятия, которое связалось с тремя главными областями своего возникновения и функционирования:

- уравнение как средство решения текстовых задач;

-уравнения как особого рода формула, служащая в алгебре объектом изучения;

-уравнение как формула, которой косвенно определяются числа или координаты точек, служащие его решением.

Каждое из этих представлений оказалось в том или ином отношении полезным.

Таким образом, уравнения, как общематематические понятия, многоаспектны при чем, ни один из аспектов нельзя исключить из рассмотрения, особенно если идет речь о проблемах школьного математического образования.

Ввиду важности и обширности материала, связанного с понятием уравнения, его изучения в современной методике математики организовано в содержательно-методическую линию- линию уравнений. Здесь рассматриваются вопросы формирования понятий уравнений, общих и частных методов их решения.

Несмотря на то, что уравнениям уделяется большое внимание на уроках и при подготовке к ГИА, в их решении допускают много ошибок.

Поэтому, тема требует дальнейшей разработки.

Значит, выбранная проблема актуальна.

Объект исследования: алгебраические уравнения в систематическом курсе алгебры основной школы.

Предмет исследования: методика изучения алгебраических уравнений в систематическом курсе алгебры основной школы.

Цель исследования: глубоко изучить теорию и методику решения линейных, квадратных уравнений и сводящихся к ним.

Задачи исследования:

-глубоко изучить теорию алгебраических уравнений;

-рассмотреть оптимальное использование формул решения уравнений;

-рассмотреть различные методы и приемы решения уравнений.

Данные методы послужили инструментом в добывании фактического материала, являясь необходимым условием достижения поставленной работе целей. Уравнения дают прекрасный материал для настоящей учебно-исследовательской работы. Это послужило основанием для гипотезы выпускной квалификационной работы.

Гипотеза: оптимальное изучение уравнений будет способствовать развитию аналитического, логического мышления учащихся, математической зоркости, осознанному решению текстовых и нетекстовых задач.

В ходе исследовательской деятельности были использованы следующие методы:

-эмпирические;

-экспериментально-теоретические;

-теоретические.

Выдвинутое предположение будет проверенно и подтверждено в ходе исследовательской деятельности квалификационной работы.



    1. История уравнений



Среди задач, которые с давних пор приходилось решать людям, много было похожих: вычисление площадей, деление доходов, вычисления стоимости товара, измерение массы с помощью различных единиц и др.

Для однотипных задач в разное время, в разных странах пытались отыскать общие способы, правила решения. В этих правилах раскрывалось, как найти неизвестную величину через данные числа для группы похожих задач. Так возникла алгебра –один из разделов математики, в котором вначале в основном рассматривалось решение различных уравнений.

Некоторые алгебраические понятия и общие приемы решения задач знали уже в Древнем Вавилоне и Египте более 4000лет назад. Большой вклад в создание алгебры внес выдающийся древнегреческий математик Диофант, которого по праву называют «отцом алгебры». Диофант умел решать очень сложные уравнения, применял для неизвестных буквенные обозначения, ввел специальный символ для вычитания, использовал сокращение слов.

В 825г. Арабский ученый аль - Хорезми написал книгу « Китаб аль-джебр валь-мукабала», что означает «книга о восстановлении и противопоставлении». Это был первый в мире учебник алгебры. С этого момента алгебра становится самостоятельной наукой. В дальнейшем большой вклад в развитие алгебры внесли европейские ученые Франсуа Виет и Рене Декарт, которые ввели в алгебру буквы и разработали правила действия с буквенными выражениями.

Квадратные уравнения умели решать еще вавилоняне. Это было связано с решением задач о нахождении площадей земельных участков, а также с развитием астрономии.

Однако у вавилонян еще не было понятия отрицательного числа, и поэтому корни квадратного уравнения могли быть только положительными.

В «Арифметике» греческого математика из Александрии Диофанта (III в.) нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится ряд задач, решаемых при помощи составления уравнений. Есть в ней и такая задача.

Найти два числа по их сумме 20 и произведению 96.

Если обозначим одно из неизвестных через у, то придем к квадратному уравнению

у (20 — у) = 96.

Чтобы избежать решения квадратного уравнения общего вида, Диофант обозначил неизвестные числа 10+x и 10-х. Их сумма равна:

10+x +( 10-х) = 20.


Составим уравнение и решим его:

(10 +х)(10-х) = 96,

100 —х2= 96,

х2= 4.

Во времена Диофанта еще не знали отрицательных чисел, поэтому Диофант указал лишь один корень х = 2. Тогда неизвестные числа равны 10+2 = 12 и 10 — 2 = 8.

Только в XVI в. благодаря главным образом исследованиям французского математика Ф. Виета (1540—1603) впервые уравнения 2-й степени, впрочем, как 3-й и 4-й степени, стали рассматривать в буквенных обозначениях. Именно Виет ввел буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для данных, т. е. коэффициентов уравнений. Особенно ценил Виет открытые им формулы, которые теперь называются формулами Виета. Однако сам Виет признавал только положительные корни.






1.2. Линейные и сводящиеся к ним уравнения



Линейным уравнением с одним неизвестным называют уравнением, левая и правая часть которого есть многочлены первой степени относительно.

Члены многочленов, находящиеся в левой и правой частях уравнения, называют членами уравнения.

Можно сказать, что уравнения первой степени с одним неизвестным х называют уравнение, левая часть которого есть многочлен стандартного вида первой степени относительно х, а правая – нуль.

Общий вид уравнения первой степени с одним неизвестным х таков:

k x + b=0 ( k ≠ 0 )

где k и b- заданные числа. Число k называют коэффициентом при неизвестном в этом уравнении. А число b –свободным членом этого уравнения.

Так в уравнении

5х-3 = 0

5-коэффициент при неизвестном , а (-3) –свободный член, в уравнении

3х = 0

3-коэффициент при неизвестном. А 0 свободный член.

Корнем (или решением ) уравнения называют такое число, при подстановке которого в уравнении вместо х получается верное равенство.

Решить уравнения- значит найти все его корни или установить , что их нет.

Чтобы решить общее уравнение первой степени kx + b =0 (khello_html_47f4e8d2.gif)

будем рассуждать так.

Предположим, что число hello_html_m7d3a4839.gif есть корень уравнения(1).

Подставляя его в это уравнение, получим верное числовое равенство.

Итак, линейное уравнение (1):

1 .при k≠0 имеет единственный корень hello_html_m7d3a4839.gif=-hello_html_m234e4078.gif,

2. при k=0 и b≠0 не имеет корней,

3. при k=0 и b=0 имеет бесконечное много корней- любое действительное число является его корнем.

К решению линейных уравнений сводится решение и некоторых других уравнений.

Поясним это на примере уравнения

hello_html_m6ea4cec4.gif(1)

где m и n — заданные числа, а х — неизвестная величина. Это уравнение нельзя назвать линейным, поскольку его левая часть не является линейной функцией относительно х. Но такое уравнение легко сводится к линейному. Прежде всего заметим, что nhello_html_m2bc03806.gif0, иначе правая часть данного уравнения не имела бы смысла.

Теперь воспользуемся свойством пропорций: если hello_html_m651e9556.gif = hello_html_6c64b5b8.gif то ad = bc. Применяя это свойство пропорций к равенству(1) , получаем

(m + x) n = (n + x) m,

откуда

mn+nx=nm+mx ,или

(m-n) х = 0. (2)

Итак, исходя из нелинейного уравнения (1), мы пришли к линейному уравнению (2). Из него получаем: если mn , то х=0, если же m = n, то х — любое число.

Не будем торопиться с ответом. Переход от уравнения (1) к уравнению (2) фактически свелся к тому, что обе части уравнения (1) мы умножили на выражение n (n + х). Но в таком случае уравнение (2) может оказаться и неравносильным уравнением (1). Но как знать, может быть, мы получили посторонние корни? Вот почему теперь необходимо сделать проверку полученных корней.

Сначала проверим корень х = 0, который получен из уравнения (2) в предположении, что mn. Если в уравнении (1) положить х = 0, то получим hello_html_4b823660.gif=hello_html_4b823660.gif, Следовательно, при mn и n ≠ 0 x = 0 — действительно корень уравнения (1). Теперь проверим, будет ли любое число при m= n ≠ 0 корнем уравнения (1). При m = n это уравнение принимает вид.

hello_html_m8e1aa30.gif(3)

Любое число, кроме - n, удовлетворяет уравнению (3) и, следовательно, является его корнем. Но х = — n нельзя считать корнем этого уравнения, поскольку при х = — n левая часть равенства (3) не определена. Таким образом, при m = n ≠ 0 корнем уравнения (1) является не любое число, как это было для уравнения (2), а лишь любое число, отличное от — n.

Теперь можно дать ответ:

1) если n ≠ 0 и mn, то уравнение (1) имеет единственный корень х =0;

2)если же m = n ≠ 0, то корнем его является любое число, кроме — n.



1.3 Квадратные и сводящиеся к ним уравнения

1.3.1 Понятие квадратного уравнения



Если левая часть уравнения - есть квадратный трехчлен, а правая -число нуль. Такие уравнения называют квадратными уравнениями.

Определение. Квадратным уравнением называется уравнение вида ах2 + bх + с = 0, где х - переменная, а, b и с - некоторые числа, причем а ≠ 0.

Уравнения 2х2 + bх + 1 = 0; х2 - х + 9 = 0; Зх2 - 7х = 0;

hello_html_34ca72f4.gif-0,5х2=0 являются квадратными уравнениями,

так как каждое из них имеет вид ах2 + bх + с = 0. В первом из этих уравнений а = 2, b= 5 и с = 1; во втором а = 1, b = -1 и

с = 9; в третьем а = 3, b = -7 и с = 0; в четвертом а =hello_html_195e3951.gif , b= 0 и

с = 1; в пятом а = -0,5, b = с = 0.

Числа а, b и с называют коэффициентами квадратного уравнения. Число а называют первым коэффициентом, число b — вторым коэффициентом, число с — свободным членом.

Заметим, что квадратное уравнение относится к уравнениям второй степени, так как его левая часть представляет многочлен второй степени.

Решим квадратное уравнение

ах2 + bх + с = 0. (1)

Разделим правую и левую части уравнения (1) на а, получим равносильное ему уравнение

hello_html_m5e37f730.gif

Выделим из квадратного трехчлена hello_html_123749d9.gif квадрат суммы:

hello_html_m45884460.gif

Отсюда

hello_html_m319c64fc.gif,

hello_html_6ed65067.gif

Числитель дробиhello_html_m19af8fc9.gif, т. е. выражение b2- 4ас, называют дискриминантом квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 (от лат. discriminare, что означает различать). Его обозначают буквой D. Значит,

D = b2- 4ас.

Используя обозначение дискриминанта, уравнение (2) можно записать в виде

hello_html_m309ef415.gif (3)

Знаменатель дроби hello_html_604b778c.gif положителен, так как по определению квадратного уравнения а ≠ 0. Поэтому лишь от D зависит, какие значения (положительные, нуль или отрицательные) принимает эта дробь. Рассмотрим отдельно каждый случай.

1) Если D > 0, то hello_html_604b778c.gif > 0. В этом случае при решении неполного квадратного уравнения (3) относительно х + hello_html_m1d1015af.gifполучаем:

hello_html_7522e19c.gifили hello_html_72cf87a8.gif.

Отсюда

hello_html_5411c9ec.gifили hello_html_79d233fc.gif,

hello_html_m668814e4.gifили hello_html_m3ea3f127.gif

hello_html_m7a1bdea3.gifили hello_html_1a0d1287.gif

Следовательно, уравнение (1) в этом случае имеет два корня:

hello_html_m7a1bdea3.gifиhello_html_1a0d1287.gif

Применяется краткая запись: hello_html_21b8d139.gif

Равенство

hello_html_4fa42e16.gif , где D=b2-4ac,

называют основной формулой корней квадратного уравнения.

2) Если D = 0, то hello_html_604b778c.gif= 0. В этом случае при решении неполного квадратного уравнения (3) относительно х +hello_html_m16bc04a9.gif получаем:

х +hello_html_m16bc04a9.gif=0.

Отсюда

х =-hello_html_m7c91344.gif

Следовательно, уравнение (1) в этом случае имеет один корень-hello_html_m7c91344.gif . Этот корень можно получить по основной формуле корней квадратного уравнения. При D = 0 она дает:

hello_html_m17206c53.gif

х=-hello_html_m7c91344.gif.

3) Если D < 0, то hello_html_604b778c.gif< 0. В этом случае как уравнение (3),

так и уравнение (1) не имеют корней.

По дискриминанту квадратного уравнения определяют, сколько оно имеет корней:

если D > 0, то уравнение имеет два корня;

если D = 0, то уравнение имеет два равных корня;

если D < 0, то уравнение не имеет корней.

Итак, чтобы решить квадратное уравнение, надо:

1) вычислить дискриминант и сравнить его с нулем;

2) если дискриминант больше нуля или равен нулю, то произвести вычисления по формуле и написать ответ;

3) если дискриминант меньше нуля, то написать ответ.



1.3.2 Неполные квадратные уравнения



Квадратное уравнение ах2+bx+c=0 (a≠0)

называют неполным, если у него b = 0 или с = 0, или одновременно b=0 и c =0.

Рассмотрим решение неполных квадратных уравнений.

Пример 1. Решим уравнение

х2=0. (1)

Существует только одно число 0, квадрат которого равен 0. Следовательно, уравнение (1) имеет единственный корень х0 = 0.

Неполное квадратное уравнение, у которого .b = с = 0, т. е. уравнение

aх2 = 0 (a≠0)

равносильно уравнению (1) и, следовательно, также имеет единственный корень x0 = 0.

Пример 2. Решим уравнение

x2-5 = 0. (2)

Это уравнение равносильно уравнению

x2= 5.

Следовательно, нам надо найти все числа, квадраты которых равны числу 5. Таких чисел только два:hello_html_19a96b96.gif и -hello_html_19a96b96.gif.

Таким образом, уравнение (2) имеет два корня:

х1=hello_html_19a96b96.gifи х2=-hello_html_19a96b96.gif

и других корней не имеет.

Но можно рассуждать иначе. Уравнение (2) можно записать в виде

х2-(hello_html_19a96b96.gif)2=0

или в виде

(х-hello_html_19a96b96.gif)(х+hello_html_19a96b96.gif)= 0,

откуда видно, что числа х1=hello_html_19a96b96.gifи х2=-hello_html_19a96b96.gifявляются корнями уравнения (2). Других корней уравнение (2) не имеет, так как если в него вместо х подставить любое число, отличное отhello_html_19a96b96.gif и -hello_html_19a96b96.gif, то левая часть уравнения (2) будет отлична от 0.

Пример 3. Решим уравнение

x2+7 = 0. (3)

Очевидно, что это уравнение не имеет корней. Ведь квадрат любого действительного числа х0 неотрицателен, и, следовательно, hello_html_73e14b1b.gif + 7 есть положительное число. Другими словами, никакое действительное число х0 не может быть корнем уравнения (3). Мы решили уравнение (3), а именно показали, что оно не имеет действительных корней.

Неполное квадратное уравнение, у которого b = 0, имеет виду

aх2 + с = 0 (а≠0). (4)

Это уравнение равносильно уравнению

hello_html_m103d2a4a.gif (5)

Ясно, что если — есть число положительное, то, как и в примере 3, уравнение (5), а значит, и уравнение (4) не имеют корней.

Пусть теперь hello_html_m1027e08.gif есть число отрицательное. Уравнение (5) равносильно уравнению

hello_html_m69828bf0.gif (6)

Так как числоhello_html_m6c764065.gif положительно, то уравнение (6), а значит, и уравнение (4) равносильны уравнению

hello_html_79a543aa.gif

которое имеет два корня:

x1= hello_html_190fec99.gif и x2= - hello_html_190fec99.gif других корней не имеет.

При с = 0 уравнение (4), как мы знаем, имеет единственный корень х = 0.

Неполное квадратное уравнение, у которого с = 0 ,b≠0, имеет вид

ах2 +bх = 0 (а≠0,b≠0). (9)

Это уравнение равносильно уравнению

hello_html_2051fee1.gif (10)

Так же как и в примере 4, показывается, что уравнение (10), а значит, и уравнение (9) имеют два корня:

x1 =0 и x2=- hello_html_2740b15c.gif

Ответ: x1 =0 , x2=- hello_html_2740b15c.gif

Приведенные примеры показывают, что квадратное уравнение может иметь один или два корня, а может и не иметь корней.




1.3.3. Приведенные квадратные уравнения


Квадратное уравнение с коэффициентом 1 при х2 называют приведенным квадратным уравнением.

Приведенное квадратное уравнение в общем виде обычно записывают так:

х2 + px + q = 0, (1)

где р и q - данные числа. Число р — второй коэффициент, а q — свободный член.

Таким образом, уравнение (1) можно рассматривать как частный случай квадратного уравнения общего вида

ах2 +bx + c = 0 , (2)

где a= 1, b = p, c = q.

Дискриминант уравнения (1) равен:

D = b2— 4 ас = р2 — 4q. (3), значит, hello_html_m463d0ca.gif

Пусть D>0, тогда, как мы знаем, уравнение (1) имеет два корня, вычисляемые по формуле

hello_html_6cc0930a.gif (4)


hello_html_m62a00377.gif Пусть теперь D = О, тогда уравнение (1) имеет единственный корень, или, как говорят, два совпадающих корня:

х12= -hello_html_m5a677f23.gif. (5)

Если же D<0, то, как мы знаем, уравнение (1) не имеет действительных корней.

Обычно в случае приведенного уравнения (1) вместо дискриминанта D рассматривается выражение hello_html_70e7b7ae.gif

имеющее тот же знак, что и D. При этом формулу корней приведенного квадратного уравнения (4) записывают так:

hello_html_m1f8e8a16.gif (6)

Мы показали, что:

1) если hello_html_46b8e9fe.gif то уравнение (1) имеет два корня, вычисляемые по формуле (6);

2) если hello_html_4d505f85.gif= О, то уравнение (1) имеет два совпадающих

корня, вычисляемые по той же формуле (6) или, что все равно, по формуле (5);

3) если hello_html_m335c330e.gif q<0, то уравнение (1) не имеет корней.

Формулу (6) удобно применять, если р- четное, если р- нечетное лучше пользоваться формулой общего вида.


1.3.4. Теорема Виета



Теорема. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Доказательство. Рассмотрим приведенное квадратное уравнение

х2 + рх + q = 0.

Если дискриминант этого уравнения больше нуля, то уравнение имеет два корня:

hello_html_733e6069.gifи hello_html_m333d449c.gif

Найдем сумму корней:

hello_html_56fc5c89.gif

Сумма корней равна -р, т. е. второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком:

х12= -р.

Найдем произведение корней:

hello_html_m73237b6a.gif

Произведение корней равно q, т. e. свободному члену:

х1 х2=q.

Если дискриминант квадратного уравнения равен нулю, то уравнение имеет один корень. Его можно найти по формуле корней

hello_html_m36a607fa.gif

В дальнейшем в некоторых случаях целесообразно считать, что такое уравнение имеет не один, а два равных корня:

hello_html_m26520c4c.gif

Тогда и в этом случае теорема Виета останется верной. Сложив х1 и х2, получим -р:

hello_html_m62a00377.gifhello_html_39050652.gif

Перемножив х1 и х2, получим hello_html_5521d0a6.gif . Но так как D = р2 - 4q = О, то р2 = 4q, а поэтому

hello_html_7435162f.gif

Пусть корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 равны х1 и х2. Разделив обе части этого уравнения на а (a≠0), получим равносильное ему приведенное квадратное уравнение

hello_html_2c69087.gifимеющее те же корни.

По теореме Виета:

hello_html_51bdefb.gif

Для приведенного квадратного уравнения справедлива теорема, обратная теореме Виета:

если два числа таковы, что их сумма равна -р, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения х2 + рх + q = 0.

Доказательство. Пусть х2 + рх + q = 0 — приведенное квадратное уравнение, а числа m и n такие, что m + n = -р и mn = q. Подставив в это уравнение вместо р равное ему число -(m+n) вместо q, равное ему число ,(mn), получим равносильное ему уравнение

x2-(m+n)x + mn =0.



Преобразуем левую часть получившегося уравнения:

x2-mx-nx + mn =0,

x(x-m)-n(x – m)n=0,

(x-m)(x-n)=0.


Отсюда получаем:

х - m = 0 или х - n = 0,

х1= m, х2=n.

Значит, числа m и n являются корнями уравнения

x2+ рх + q = 0.

Для не приведенного квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 теорема, обратная теореме Виета, формулируется так: если числа m и n таковы, что m+n=-hello_html_m5db11c3a.gif и mn=hello_html_m1027e08.gif, то эти числа являются корнями уравнения ах2 + bх + с = 0.

Пример 1. Найдем сумму и произведение корней уравнения

hello_html_77d71e81.gif hello_html_1ac681a3.gifhello_html_m62a00377.gifhello_html_m700f8492.gif

Уравнение hello_html_2b69765.gif имеет корни, так как

D = (-7)2-4hello_html_m73ddb814.gif > 0.

Те же корни имеет и равносильное ему приведенное квадратное уравнение х2 - 14х -8 = 0, полученное при умножении

обеих частей уравнения hello_html_2b69765.gif= 0 на 2.

По теореме Виета:

x1+x2 =14, х1 х2=-8.



1.4. Рациональные и дробно-рациональные и распадающиеся уравнения



К целым уравнениям относятся линейные и квадратные уравнения.

Если одна часть уравнения — целое выражение, а другая —

дробно- рациональное или обе части - дробно-рациональные выражения, то уравнение называют дробно-рациональным

уравнением.

Уравнение, левая и правая части которого есть рациональные выражения относительно х, называют рациональным уравнением с неизвестным х.


Уравнение вида А (х)∙В (х) = 0, где А(х) и В (х) — многочлены относительно х, называют распадающимся уравнением. Множество всех корней распадающегося уравнения есть объединение множеств всех корней двух уравнений А (х) = 0 и В(х) = 0.



Уравнение, левая и правая части которого представляют собой рациональные выражения, называют, как известно, рациональным уравнением. Если обе части рационального уравнения или хотя бы одна из них являются дробными выражениями, то такое уравнение называется дробно-рациональным уравнением. Примерами дробно-рациональных уравнений могут служить уравнения:


hello_html_m4ab3a175.gif

Любое дробно-рациональное уравнение можно заменить равносильным уравнением вида

hello_html_m7c23eac8.gif(1)


где Р(х) и Q(x) — многочлены.


Уравнению (1) удовлетворяют те и только те значения х, при которых Р(х) = 0 и Q(x) ≠ 0, т. е. уравнение (1) равносильно системе

hello_html_28196951.gif























Глава II. Методика решения уравнений в курсе алгебры основной школы

2.1. Методика решения линейных и сводящихся к ним уравнений



К моменту изучения систематического курса алгебры у учащихся уже сформированы общие представления о понятии уравнения первой степени, его корне и выработан навык решения уравнения.

В 7 классе определение линейных уравнений, методы их решения ставятся на научно-теоретическую основу.

Дается следующее определение линейного уравнения.

Линейным уравнением называется уравнение вида ах-b=0, где х- неизвестное число, а- коэффициент (а≠0),b-любое число, называемое свободным членом .

Теоретической основой решения линейных уравнений с одним неизвестным являются свойства верных равенств.

Чтобы учащиеся твердо усвоили каждый этап решения линейного уравнения, целесообразно некоторое время активно использовать комментирование решения, при этом будет развиваться математическая речь, и все действия по решению уравнения станут осмысленными. Стоит рассмотреть и общий случай решения линейных уравнений.

Такие задания можно предлагать, когда учащиеся уже будут иметь опыт решения уравнений и знать формулы сокращенного умножения. Линейные уравнения в основной школе решаются аналитическим или графическим методом.

При графическом методе линейное уравнение рассматривается, как равенство двух линейных функций. Решать его- значит найти такое значение х, при котором обе функции численно равны. На первом же этапе знакомства учащихся с графическим способом решения линейных уравнений нужно представить два способа решения:

1способ

1) Преобразуем уравнение к виду ах+b=0;

2) Строим график функции у= ах+b;

3) Находим абсциссу точки пересечения графика с осью ОХ;

4) записываем ответ.

2 способ

1)Представим уравнение в виде ах= -b;

2) Строим график функций, представляющих левую и правую части у=ах , у=-b;

3) находим абсциссу точки пересечения графиков функций;

4) Записываем ответ.

В 7 классах учащимся дают решать линейные и уравнения и уравнения сводящиеся к линейным. В одних учебниках линейным уравнением называют уравнения вида kx + b = 0, если k≠0. В других учебниках линейным уравнением называют уравнение вида kx = b. Есть еще такое определение:

«Линейное уравнение с одним неизвестным называется уравнение левая и правая часть которого есть многочлены первой степени относительно х».

Учитель дает определение согласно учебнику, по которому работают ученики.

Итак, в 7 классе дается определение уравнения, а так же даются понятия: левая часть уравнения, правая часть уравнения, коэффициент при неизвестном, свободный член, члены уравнения.

По учебнику Никольского теория линейного уравнения дается с исследованием доступным учащимся 7 класса

kx +b = 0

Используя свойство получим:

kx=-b.

Решим это уравнения при любых значениях k и b.

  1. k=0, b≠0.

0х=b,так, как ох=0 ,то ох=b- неверное числовое равенство. Значит, действительных корней уравнения нет. Следовательно ,

  1. k=0, b=0.

0х=0.

Верное равенство при любых значениях х. Значит, уравнение имеет бесконечно много корней, то есть х- любое число.

  1. k≠0, b-любое .

х=hello_html_m234e4078.gif- один корень.

Одной из главных целей изучения курса алгебры является усвоение учащимися аппарата уравнений, как основного средства математического моделирования прикладных задач.





2.2. Методика решения квадратных и сводящихся к ним уравнений



Изучение темы « Квадратные уравнения » начинается с определения, которое можно дать после решения задачи или же начать с определения уравнения в виде:

Уравнение вида: ax2+bx+c=0, где а≠0, b и с какие-то числа, х- переменная, называется квадратным.

Например: 2х2-3х+7=0

-7х2+х-1=0

х2+17х-3=0.

На этом же уроке ученики учатся приводить свои примеры квадратных уравнений. Распознавать квадратные уравнения среди данных уравнений, называть коэффициенты уравнения

  1. первый или старший коэффициент

  2. второй

  3. свободный член

Например: среди перечисленных уравнений найди квадратное.

x2+7x+3=0, 5x2=0, hello_html_m26cac1b0.gif

х2-5=0, 15х2+х-1=0, х2+7х=0.

По возможности на этом уроке рассматриваются полные и неполные квадратные уравнения.

На следующем уроке как правило рассматривается решение неполных квадратных уравнений.

Уравнение: ax2+bx+c=0

Если b=0, или с=0 или же b=0 и с=0, то уравнение называется неполным квадратным.

  1. b=0, с=0, а≠0, значит х2=0.

Отсюда х=0

Таким образом, уравнение вида ax2=0, имеет один корень х=0( или говорят, что данное уравнение имеет два одинаковых корня х1=0, х2=0 )

  1. b=0, с≠0, а≠0, ax2+с=0

ax2=-с, х2=-hello_html_m130bcc06.gif

а) если -hello_html_m130bcc06.gif> 0, то hello_html_2d7f6728.gif

б) если -hello_html_m130bcc06.gif< 0, то действительных корней нет.

Задача 1. Решить уравнение: 4х2+1=0

2=-1, х2=hello_html_4a1956c0.gif- корней нет.

2-1=0, 4х2=1, х2=hello_html_54d485f4.gif, х1,2=hello_html_19662b3a.gif

Итак данная задача подтверждает. Что уравнения ах2+с=0 имеет два корня, если -hello_html_m130bcc06.gif> 0, и не имеет корней если -hello_html_m130bcc06.gif< 0.

  1. с=0, а≠0, ах2+bx=0, х(ах+ b) = 0

x1=0 или ax+b=0, x=hello_html_457e8825.gif

Решение приведенных выше уравнений способствует развитию исследовательских навыков учеников, приучает их мыслить логически, анализировать и обоснованно выполнять действия.

Затем на следующем уроке рассматриваются полные квадратные уравнения общего вида. Можно сначала рассматривать частные примеры, а затем общие, можно сначала рассмотреть решение уравнений в общем виде, а затем по формуле или исследуя дискриминант, найти корни. Рассмотрим дедуктивно-индуктивный подход к их изучению.

Задача 2. Решить уравнение: ax2+bx+c=0,

a≠0, b≠0, c≠0, hello_html_me7619e4.gif

hello_html_7729eca3.gif

Так как a≠0, то 4а2≠0, b2-4ac- любое действительное число.

  1. Если b2-4ac > 0, то hello_html_m405ed4c9.gif

hello_html_m1f8dd5be.gif

hello_html_m5c19fbb1.gif

hello_html_m6111aee7.gif (1)

2.Если b2-4ac = 0,то х1,2=-hello_html_m16bc04a9.gif

3. Если b2-4ac < 0, то действительных корней нет.

Таким образом решение квадратных уравнений , способствует осознанному изучению данной темы, так как ученики анализируя, решая, делая определенные умозаключения сами выводят формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

Затем идет закрепление формул на конкретных примерах.

На следующем уроке повторяется вывод формулы и получают формулу

ax2+bx+c=0

b= 2m, m Z

hello_html_m1a902001.gif=hello_html_412760d0.gif

где m=hello_html_m5351bed7.gif hello_html_62c07384.gif (2)

Показывается на примере преимущественно этой формулы.

Обязательно нужно заставлять учеников писать формулу и читать её.

Последней изучается формула корней приведенного квадратного уравнения, тоже как закрепление общей формулы

х2 +px+q=0, где p≠0, q≠0.

В ходе решения квадратных уравнений развивается аналитическое, логическое и критическое мышление, а так же их математическая зоркость.

Например, решая простейшие квадратные уравнения вида:

hello_html_m10d9d3e1.gif

Ученик вынужден логически мыслить, анализировать , критически подходить к своим действиям, чтобы быстро и рационально решить уравнения.



2.3. Методика решения дробно-рациональных уравнений

В 8 классе ученики впервые встречаемся с дробно-рациональными уравнениями и знакомятся с этим понятием.

1)Рациональное уравнение, в котором левая и правая части являются целыми выражениями, называется целым рациональным уравнением.

2)Рациональное уравнение, в котором хотя бы одна из частей уравнения содержит переменную в знаменатели дроби, называется дробно-рациональным уравнением.

Можно рассмотреть решение таких уравнений на следующем примере:

hello_html_fc65d6b.gif

hello_html_3e29e30b.gif ОДЗ: (у+2)(у2-2у+4)≠0

hello_html_55f5603f.gif у≠-2

2-6у+12-4у-8=2, 3у2-10у+2=0,

D1=25-3∙2=19 hello_html_4ebbc92e.gif

Ответ: hello_html_5f1d6482.gif

Затем записывают алгоритм решения дробно-рациональных уравнений:



I способ

  1. Найди общий знаменатель всех дробей.

  2. Заменить данное уравнение целым, умножая обе его части на общий знаменатель.

3. Решить полученное целое уравнение.

4. Исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

5. Записывают ответ.


II способ

  1. Все члены собираются в одной части уравнения.

  2. Выражения заменяются одной дробью.

  3. От равенства дроби нулю переходят к смешанной системе и решают ее.

  4. Записывают ответ.

Например, решение уравнения будет следующим:

hello_html_m7a74672.gifотсюда

hello_html_47a15002.gifhello_html_51fd0786.gif

hello_html_m4cc7765.gif

Ответ: hello_html_m425f48b.gif

Так же, как и в предыдущих классах применяют уравнения при решении задач, тождественных преобразованиях выражений, еще раз показывают, что уравнения есть средство для решения более сложных задач.



2.4.Практическое применение теории и методики решения уравнений в систематическом курсе алгебры основной школы.

2.4.1.Решение наиболее интересных уравнений в курсе алгебры основной школы



Желательно решать с учащимися 9класса более сложные уравнения, которые сводятся к квадратным различными способами. Рассмотрим наиболее интересные.

Пример 1. Решить уравнение

hello_html_meec034d.gif

Решение.

Если уравнение имеет корни, то они содержаться среди делителей свободного члена. Однако, это уравнение допускает более простое и изящное решение.

Запишем исходное уравнение в виде:

х4-10х3+25х2+10х2-50х+24=0,

( х2 - 5х )2 + 10( х2 - 5х ) + 24=0,

откуда, по теореме , обратной теореме Виета находим:

х2 - 5х=-4 или х2 - 5х=-6.

Если х2 - 5х=-4 , то х2 - 5х+4=0, откуда находим х1=1, х2=4;

если х2 - 5х=-6, находим х2 - 5х+6=0, х3=2, х4=3.

Итак, исходное уравнение имеет 4 корня.

Ответ: х1=1, х2=4, х3=2, х4=3.

Пример 2. Решить уравнение

х (х - 1)(х + 1)(х + 2) = 24.

Решение .

Заметим, что (х - 1)(х + 2)= х2+х-2 и х(х + 1)= х2+х.

2+х-2)( х2+х)=24

Тогда, полагая х2+х-1=t, получим уравнение (t-1)(t+1)=24, или t2-1=24, t2=25, откуда t1,2=hello_html_156614ae.gif

Если t=-5, то х2+х+4=0- нет действительных корней, т.к. D<0; если t=5,

то х2+х-6=0, откуда находим х1=-3, х2=2.

Ответ: х1=-3, х2=2.



Пример 3. Решить уравнение

hello_html_7c0a5f56.gif

Решение.

Заметим, что х=0 не является корнем уравнения, тогда, разделив числитель и знаменатель каждой дроби на х≠0, получим уравнение



hello_html_m203e2e27.gif (1)

Пусть 3х+hello_html_25b9a709.gif=y, тогда уравнение (1) примет вид hello_html_75e23feb.gif, где у≠5, у≠-1, следовательно,

13(у+1)-12(у-5)=5(у-5)(у+1), или

13у+13-12у+60=5у2-20у-25,

2-21у-98=0,D=441+1960=2401=492>0,

у1,2=hello_html_1cbfd920.gif, у1=-hello_html_m66671e24.gif, у2=7.

Если у=-hello_html_m66671e24.gif, то учитывая подстановку, получим 3х+hello_html_25b9a709.gif=-hello_html_m66671e24.gif,

или 15х2+14х+10=0- нет корней, так как hello_html_m604fd92e.gif

Если у=7, то 3х+hello_html_25b9a709.gif=7, или 3х2-7х+2=0, D=49-24=52>0,

х1,2=hello_html_168e6d94.gif, х1=hello_html_m5f640c3e.gif, х2=2.

Оба корня удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ: х1=hello_html_m5f640c3e.gif, х2=2.

Пример 4. Решить уравнение

hello_html_227d7981.gif

Решение.

Так как х≠0, то уравнение можно записывать в виде hello_html_18c7cea5.gif (2)

Заменой hello_html_32f28b9.gif уравнение (2) приводится к виду hello_html_14f92b7e.gif

Или у+18+(у+6)2=14(у+6), у≠-6. (3)
после упрощения получим:

у2-у-30=0, откуда у1=6, у2=-5.

Оба корня удовлетворяют условию (3).

Если у=6,то hello_html_7e501f58.gif, или х2-6х-7=0, откуда х1 =7, х2=-1.

Эти значения знаменатели дробей в нуль не обращают.

Если у=-5, то х-hello_html_m69d1b2bd.gif=-5, или

hello_html_m1c969cb2.gif

Эти значения знаменатели дробей в нуль не обращают.

Итак, исходное уравнение имеет всего 4 корня.

Ответ: hello_html_46344b9e.gif,hello_html_c3399c7.gif



Пример 5. Решить уравнение.

2(х-1)2=4(2х2-2х+5).

Решение.

Запишем уравнение в виде:



2(х-1)2=4(2 (х2-х)+5), или

9(х(х-1)2=4(2(х2-х)+5)

9(х2- х)2 = 4(2 (х2-х) +5), (5)

Пусть х2- х = у, тогда уравнение (5) запишется в виде

2= 4(2у+5), или 9у2-8у-20=0,

hello_html_m198b3ba2.gif

Учитывая подстановку, получим два квадратных уравнения:

  1. х2 -х=-hello_html_me1a90e3.gifили 9х2-9х+10=0,

D=81-360=-279<0-нет действительных корней.

  1. х2-х=2, или х2-х-2=0, откуда находим

hello_html_m472e3977.gif

Ответ: hello_html_m472e3977.gif

Пример 6. Решить уравнение

х3+х+4hello_html_59305994.gif=0.

Решение.

Применение формулы для решения кубического уравнения (формул Кардано) приводит к сложным вычислениям, связанными с иррациональностями.

Решение упростится, если сделать замену в виде х=уhello_html_59305994.gif, тогда данное уравнение примет вид:

3hello_html_m413ecabb.gif3+hello_html_m413ecabb.gif+4hello_html_59305994.gif=0,

3+у+4=0 (6)

Легко заметить, что у=-1- корень уравнения (6), тогда левую часть можно разделить на (у+1) без остатка.

(у+1)(3у2-3у+4)=0, откуда у=-1- единственный корень, т.к. уравнение 3у3+у+4=0 не имеет действительных корней (D<0).

Если у=-1, то х= уhello_html_59305994.gif=-hello_html_59305994.gif

Ответ: х=-hello_html_59305994.gif.

Пример 7.Решим уравнение:

x2(x+2)2-x(x+2)(2x-1)-6(2x-1)2=2

Решение.

Очевидно, что х=hello_html_m1b704854.gifне является корнем уравнения, значит 2х-1≠0.

Разделим обе части уравнения на (2х-1)2≠0 и получим

hello_html_41a638c4.gif

Пусть, hello_html_e6c66be.gif, тогда t2-t-6=0

t1=3, t2=-2



Вернемся к прежней переменной

hello_html_m6935b4fb.gif; hello_html_m71167bde.gif



х2 + 2х= 6х - 3 х2+2х=-4х+2

х2 - 4х + 3 =0 х2+6х-2=0

х1=1, х2=3 hello_html_m5e4ff683.gif

hello_html_7d0863ae.gif

Ответ: х1=1, х2=3, hello_html_m3df91712.gif.

Рассмотренные уравнения с большим интересом решают ученики. Решение всех приведенных в работе уравнений способствует развитию аналитического, логического, конструктивного мышления, а так же развивают математическую зоркость учащихся.





2.4.2. Решение текстовых задач с использованием уравнений

Рассмотрим решение старинной задачи.

Задача 1.Летела стая гусей, а навстречу им летит один гусь и говорит: «Здравствуйте, сто гусей!» А вожак ему и отвечает: «Нет, нас не сто гусей! Вот если бы нас было еще столько, да еще полстолько, да еще четверть столько, да ты, гусь, то было бы сто гусей. Вот и рассчитай-ка, сколько нас»

Решение: В задаче надо узнать, сколько гусей в стае. Обозначим это количество через х. Вожак скачал, что если бы гусей было:

Еще столько же, т.е еще х;

Еще полстолько же, т.е hello_html_2dd250fd.gif;

Еще четверть столько же, т.е hello_html_m76a97f11.gif

Да еще один гусь т.е вожак сказал, что если бы гусей было:

х+ х+hello_html_6eec8aff.gif х+hello_html_685d8d49.gif х +1, то их было бы сто.

Следовательно, х+ х+hello_html_6eec8aff.gif х+hello_html_685d8d49.gif х +1=100.

Получилось линейное уравнение с одним неизвестным. Решив это уравнение, получим единственный корень: hello_html_m7d3a4839.gif=36, а это означает, что в стае было 36 гусей.

Вот еще одна задача. Задача 2.

Отцу 50лет, а сыну 20. Сколько лет тому назад отец был в 3 раза старше сына?

Решение : обозначим искомое количество лет через х, тогда х лет назад отцу было ( 50-х) лет, а сыну ( 20-х) лет.

Так как в то время отец был в 3 раза старше сына, то 50-х=3( 20-х)

Получилось линейное уравнения с одним неизвестным. Решив его, мы найдем единственный корень : х=5.

Следовательно, пять лет назад отец был старше сына в 3 раза.

Таким образом мы можем сказать, что решение задач с помощью линейных уравнений оказывает положительное влияние на учащихся, т.к способствует развитию аналитического, альтернативного, логического, алгоритмического мышления, математической зоркости.



Задача 3. Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел больше произведения этих чисел на 57. Найдите эти числа.


Решение. Обозначим меньшее из искомых чисел через х, тогда большее будет (х+1). По условию задачи


Х2 + (х+1)2-х(х+1) = 57. (1)


Таким образом, искомое число х должно быть корнем уравнения (1). Перенеся все члены уравнения (1) в левую часть, после преобразований получим уравнение


х2+х —56 = 0, (2)


равносильное уравнению (1). Так как дискриминант уравнения D= 1 —4∙( —56) = 225>0, то корни квадратного уравнения (2) вычисляются по формуле


hello_html_7cdd3d9d.gif

Следовательно, уравнение (2) и равносильное ему уравнение (1) имеют корни

х1 = 7, х2= —8. (3)


Так как нам надо найти натуральное число *, удовлетворяющее уравнению (1), то из этих двух корней условию задачи удовлетворяет лишь х1= 7. Итак, х2= 7, х+1=8.

Ответ: 7 и 8.



Таким образом, мы можем сделать вывод, что решение задач с помощью уравнений способствуют развитию исследовательских навыков учеников, формированию аналитического, логического и альтернативного мышления.



































Заключение



В ходе написания работы изучены объект и предмет исследования. Установлено, что одной из главных целей изучения курса алгебры является усвоение учащимися аппарата уравнений как основного средства математического моделирования прикладных задач.

Уравнение - ведущее алгебраическое понятие и оно связано с тремя главными областями своего возникновения и функционирования, воспринимаясь как:

а) средство решения текстовых задач

б) особого рода формула, служащая в алгебре объектом изучения;

в) формула, по которой косвенно определяются числа или координаты точек плоскости, служащие его решением.

Материал школьной математики, касающийся уравнений, обширен и составляет целую содержательно- математическую линию-линию уравнений. Поэтому данному понятию соответствует три основные направления развертывания линии уравнений в школьном курсе математики:

1. Прикладная направленность линии уравнений раскрывается при

изучении алгебраического метода решения текстовых задач;

2.Теоретико-математическая направленность линии уравнений

прослеживается при изучении различных классов уравнений, а также обобщенных понятий и методов решения уравнений;

3. Направленность на установление следующих связей с остальным содержанием курса математики:

- связь с числовой линией, идея которой проявляется в последовательном расширении числовой системы;

- связь с функциональной линией, в частности, функциональные представления служат основой графической интерпретации решения и исследования уравнений.

- связь с линией тождественных преобразований, без которых невозможно решение уравнений.

Образовательный стандарт основного общего образования предполагает овладение умениями решать аналитически и интерпретировать графически следующие виды уравнений:

- линейные и сводящиеся к ним;

- квадратные и сводящиеся к ним;

-рациональные и дробно-рациональные.

Выяснено, что стандарт основного общего образования по математике предусматривает обязательную отработку прочных знаний и навыков решения уравнений в систематическом курсе алгебры.

Установлено, что образовательное и развивающее значение линии уравнений в основной школе очень велико.

В ходе исследовательской деятельности квалификационной работы подтвердилась выдвинутая гипотеза : изучение уравнений будет способствовать развитию аналитического, логического мышления учащихся, математической зоркости, осознанному решению текстовых и нетекстовых задач.

Цель выпускной квалификационной работы достигнута, задачи решены.

\

Литература



1.Алимов Ш.А. Алгебра 8кл.-М: Просвещение ,2008.-93с.

2.Балаян Э.Ф. «Практикум по решению задач». – М.: Дрофа, 2008. – 56с.

3.Виноградова Л.В. Методика преподавания математики в средней школе. – Ростов н/Д.: Феникс, 2009. -61с.

4.Галиева С.А. Методика преподавания математики в восьмилетней школе.-М.: Академия,2008.-102с.

5. Галицкий  М.Л. «Сборник задач по алгебре 7кл.» М.: Академия,2011.-107с.

6.Глейзер Г. И. «История математики в средней школе».-М.:Просвещение,2009.-189с.

7.Дорофеев Г.В. Математика 7кл.-М.: Дрофа, 2010. -107с..Демидова Т.Е. Теория и практика решения текстовых задач. -М.: Академия, 2012.-228с.

8.Зубарева И.И. математика 5кл.- М.: Мнемозина,2010.-117с.

9.Ляпин С.Е. Методика преподавания математики. -М.: Просвещение, 2010.49с.

10.Макарычев Ю.Н. Алгебра 7кл.-М.: Просвещение,2010.-148с.

11.Мишин В.И. Методика преподавания математики в средней школе.- М.: Просвещение, 2010.-21с.



12. Никольская И.Л. «Учимся рассуждать и доказывать».-М.: Просвещение,2009.-11с.

13.Никольский С.М. Алгебра 7кл.- М.: Просвещение,2010.-210с.

14.Никольский С.М. Алгебра 8кл.- М.: Просвещение,2010.-193с.

15.Оганесян В.А. «Методика преподавания математики в средней школе». – М.: Просвещение, 2010. – 14с.

16.Сканави М.С. «Полный сборник решений задач для поступающих в вузы».

17. http://e-lib.gasu.ru/eposobia/temerbekova2/html/lection/1.htm

18.www.vevivi.ru/best/Lineinye-diofantovy-uravneniya-ref43073.html

19.http://festival.com1september.ru/articles/586102/ghalgebra\metodika\032.ru/info/mathwebs.htm

20.http://www.proza.ru/2008/02/03/240

21.http://www.twirpx.com/files/pedagogics/methodics/math/

22.http://www.chat.ru/system_missing.html

23.http://greatp.ru/pedagogic/uchebnoe_posobie_theory_i_methodic.html

24.http://do.gendocs.ru/docs/index-79892.html

25.http://eqworld.ipmnet.ru/ru/info/mathwebs.htm

26.https:// alleng.gjmatem.ru.

27. https:// allmatematika/87mate-mka/russ.ru.

28. https:// mathprofi.ru.

29. https:// nsportal.ru.

30. http://eqworld.ipmnet.ru/ru/info3417/сmath/8796r/webs.htm

49


Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy

Автор
Дата добавления 24.03.2016
Раздел Математика
Подраздел Научные работы
Просмотров408
Номер материала ДВ-553567
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх