1140226
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 1.410 руб.;
- курсы повышения квалификации от 430 руб.
Московские документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ ДО 90%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО до конца апреля!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности №038767 выдана ООО "Столичный учебный центр", г.Москва)

ИнфоурокУкраинский языкДругие методич. материалыВыступление по теме " Метод наименьших квадратов"

Выступление по теме " Метод наименьших квадратов"

библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.

Метод наименьших квадратов



Метод наименьших квадратов (МНК, англ. Ordinary Least Squares, OLS) — математический метод, применяемый для решения различных задач, основанный на минимизации суммы квадратов некоторых функций от искомых переменных. Он может использоваться для «решения» переопределенных систем уравнений (когда количество уравнений превышает количество неизвестных), для поиска решения в случае обычных (не переопределенных) нелинейных систем уравнений, для аппроксимации точечных значений некоторой функцией. МНК является одним из базовых методов регрессионного анализа для оценки неизвестных параметров регрессионных моделей по выборочным данным.



Метод наименьших квадратов (МНК).



Пример.



Экспериментальные данные о значениях переменных х и у приведены в таблице.

hello_html_m74807471.png



В результате их выравнивания получена функция hello_html_m4660e261.png



Используя метод наименьших квадратов , аппроксимировать эти данные линейной зависимостью y=ax+b (найти параметры а и b). Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле метода наименьших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.

Суть метода наименьших квадратов (МНК).



Задача заключается в нахождении коэффициентов линейной зависимости, при которых функция двух переменных а и b hello_html_40e97b09.png принимает наименьшее значение. То есть, при данных а и b сумма квадратов отклонений экспериментальных данных от найденной прямой будет наименьшей. В этом вся суть метода наименьших квадратов.



Таким образом, решение примера сводится к нахождению экстремума функции двух переменных.

Вывод формул для нахождения коэффициентов.



Составляется и решается система из двух уравнений с двумя неизвестными. Находим частные производные функции hello_html_40e97b09.png по переменным а и b, приравниваем эти производные к нулю.

hello_html_3cba4ce4.png



Решаем полученную систему уравнений любым методом (например методом подстановки или методом Крамера) и получаем формулы для нахождения коэффициентов по методу наименьших квадратов (МНК).

hello_html_18313c4f.png

При данных а и b hello_html_40e97b09.png функция принимает наименьшее значение. Доказательство этого факта приведено ниже по тексту в конце страницы .



Вот и весь метод наименьших квадратов. Формула для нахождения параметра a содержит суммыhello_html_m59334071.png hello_html_4b2bf071.pnghello_html_m44488047.pnghello_html_4dc92663.png

, , , и параметр n - количество экспериментальных данных. Значения этих сумм рекомендуем вычислять отдельно. Коэффициент b находится после вычисления a.



Пришло время вспомнить про исходый пример.



Решение.

hello_html_4fd112d4.png

В нашем примере n=5 . Заполняем таблицу для удобства вычисления сумм, которые входят в формулы искомых коэффициентов.



Значения в четвертой строке таблицы получены умножением значений 2-ой строки на значения 3-ей строки для каждого номера i .



Значения в пятой строке таблицы получены возведением в квадрат значений 2-ой строки для каждого номера i .



Значения последнего столбца таблицы – это суммы значений по строкам.



Используем формулы метода наименьших квадратов для нахождения коэффициентов а и b. Подставляем в них соответствующие значения из последнего столбца таблицы:

hello_html_1524df8d.png



Следовательно, y = 0.165x+2.184 - искомая аппроксимирующая прямая.



Осталось выяснить какая из линий y = 0.165x+2.184 или hello_html_m4660e261.png лучше аппроксимирует исходные данные, то есть произвести оценку методом наименьших квадратов

Общая информация

Номер материала: ДБ-243733

Вам будут интересны эти курсы:

Курс «Бухгалтерский учет»
Курс «Правовое обеспечение деятельности коммерческой организации и индивидуальных предпринимателей»
Курс повышения квалификации «Организация научно-исследовательской работы студентов в соответствии с требованиями ФГОС»
Курс профессиональной переподготовки «Клиническая психология: организация реабилитационной работы в социальной сфере»
Курс повышения квалификации «Основы построения коммуникаций в организации»
Курс повышения квалификации «Финансы: управление структурой капитала»
Курс повышения квалификации «Использование активных методов обучения в ВУЗе в условиях реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Методы и инструменты современного моделирования»
Курс повышения квалификации «Мировая экономика и международные экономические отношения»
Курс профессиональной переподготовки «Управление информационной средой на основе инноваций»
Курс профессиональной переподготовки «Метрология, стандартизация и сертификация»
Курс профессиональной переподготовки «Организация и управление службой рекламы и PR»
Курс профессиональной переподготовки «Организация и управление процессом по предоставлению услуг по кредитному брокериджу»
Курс профессиональной переподготовки «Стандартизация и метрология»
Курс профессиональной переподготовки «Управление корпоративной информационной безопасностью: Администрирование и эксплуатация аппаратно-программных средств защиты информации в компьютерных системах»

Благодарность за вклад в развитие крупнейшей онлайн-библиотеки методических разработок для учителей

Опубликуйте минимум 3 материала, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную благодарность

Сертификат о создании сайта

Добавьте минимум пять материалов, чтобы получить сертификат о создании сайта

Грамота за использование ИКТ в работе педагога

Опубликуйте минимум 10 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Свидетельство о представлении обобщённого педагогического опыта на Всероссийском уровне

Опубликуйте минимум 15 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данное cвидетельство

Грамота за высокий профессионализм, проявленный в процессе создания и развития собственного учительского сайта в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 20 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Грамота за активное участие в работе над повышением качества образования совместно с проектом "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 25 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Почётная грамота за научно-просветительскую и образовательную деятельность в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 40 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную почётную грамоту

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.