Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Украинский язык / Другие методич. материалы / Выступление по теме " Метод наименьших квадратов"

Выступление по теме " Метод наименьших квадратов"


  • Украинский язык

Поделитесь материалом с коллегами:

Метод наименьших квадратов



Метод наименьших квадратов (МНК, англ. Ordinary Least Squares, OLS) — математический метод, применяемый для решения различных задач, основанный на минимизации суммы квадратов некоторых функций от искомых переменных. Он может использоваться для «решения» переопределенных систем уравнений (когда количество уравнений превышает количество неизвестных), для поиска решения в случае обычных (не переопределенных) нелинейных систем уравнений, для аппроксимации точечных значений некоторой функцией. МНК является одним из базовых методов регрессионного анализа для оценки неизвестных параметров регрессионных моделей по выборочным данным.



Метод наименьших квадратов (МНК).



Пример.



Экспериментальные данные о значениях переменных х и у приведены в таблице.

hello_html_m74807471.png



В результате их выравнивания получена функция hello_html_m4660e261.png



Используя метод наименьших квадратов , аппроксимировать эти данные линейной зависимостью y=ax+b (найти параметры а и b). Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле метода наименьших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.

Суть метода наименьших квадратов (МНК).



Задача заключается в нахождении коэффициентов линейной зависимости, при которых функция двух переменных а и b hello_html_40e97b09.png принимает наименьшее значение. То есть, при данных а и b сумма квадратов отклонений экспериментальных данных от найденной прямой будет наименьшей. В этом вся суть метода наименьших квадратов.



Таким образом, решение примера сводится к нахождению экстремума функции двух переменных.

Вывод формул для нахождения коэффициентов.



Составляется и решается система из двух уравнений с двумя неизвестными. Находим частные производные функции hello_html_40e97b09.png по переменным а и b, приравниваем эти производные к нулю.

hello_html_3cba4ce4.png



Решаем полученную систему уравнений любым методом (например методом подстановки или методом Крамера) и получаем формулы для нахождения коэффициентов по методу наименьших квадратов (МНК).

hello_html_18313c4f.png

При данных а и b hello_html_40e97b09.png функция принимает наименьшее значение. Доказательство этого факта приведено ниже по тексту в конце страницы .



Вот и весь метод наименьших квадратов. Формула для нахождения параметра a содержит суммыhello_html_m59334071.png hello_html_4b2bf071.pnghello_html_m44488047.pnghello_html_4dc92663.png

, , , и параметр n - количество экспериментальных данных. Значения этих сумм рекомендуем вычислять отдельно. Коэффициент b находится после вычисления a.



Пришло время вспомнить про исходый пример.



Решение.

hello_html_4fd112d4.png

В нашем примере n=5 . Заполняем таблицу для удобства вычисления сумм, которые входят в формулы искомых коэффициентов.



Значения в четвертой строке таблицы получены умножением значений 2-ой строки на значения 3-ей строки для каждого номера i .



Значения в пятой строке таблицы получены возведением в квадрат значений 2-ой строки для каждого номера i .



Значения последнего столбца таблицы – это суммы значений по строкам.



Используем формулы метода наименьших квадратов для нахождения коэффициентов а и b. Подставляем в них соответствующие значения из последнего столбца таблицы:

hello_html_1524df8d.png



Следовательно, y = 0.165x+2.184 - искомая аппроксимирующая прямая.



Осталось выяснить какая из линий y = 0.165x+2.184 или hello_html_m4660e261.png лучше аппроксимирует исходные данные, то есть произвести оценку методом наименьших квадратов


Автор
Дата добавления 07.10.2016
Раздел Украинский язык
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров61
Номер материала ДБ-243733
Получить свидетельство о публикации

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх