Инфоурок Математика Другие методич. материалыВЛИЯНИЕ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ НА ПРОЦЕСС РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ВЛИЯНИЕ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ НА ПРОЦЕСС РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Скачать материал

ВЛИЯНИЕ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ НА ПРОЦЕСС РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

 

Хасаншина Любовь Алексеевна – учитель математики НОУ СОШ АЛЬФА г. Уфа РБ

 

              Мы помогаем детям решить задачу с помощью различного рода подсказок. Какими они должны быть? Ведь оформляются «наводящие вопросы» пусть разными, но всего лишь двумя-тремя выска­зываниями. Их могут принять и понять дети толь­ко с адекватным подсказке мышлением. А что де­лать остальным? Вот и попадают они в разряд бес­таланных, неспособных, вызывающих раздражение. Проиллюстрируем сказанное двумя наблюдениями.

На уроке дети решали задачу:

«Бабушка с внучкой принесли на огород мешок лука. Бабушка посадила 70 луковиц, а внучка в два раза меньше. Сколько лука было в мешке»?

Вызывает ли у вас эта формулировка какое-либо напряжение? У большинства детей нет, и они без особых проблем справляются с решением. Но на описываемом уроке один мальчик возразил: «А кто вам сказал, что был высажен весь лук, находящий­ся в мешке»? Учитель отмахнулся от него. А разве этот вопрос не закономерен?

Следующая ситуация вызвала смех и негодование. На конкретном примере молодая практикантка

пыталась объяснить ученику, что  . В качестве контроля она предложила ту же ситуацию, но в числитель вместо 8 поставила число 7.  Школьник незамедлительно прореагировал

  . Ответить на вопрос, кто из двоих «виноват» больше, и обвинить школьника  в полном отсутствии логики не так-то просто!  ( Понятно, что, несмотря на объяснение учителя, ученик установил для себя иную закономерность: выражение в чис­лителе поворачивается на 90°. Именно по этому правилу, в этой логике он действовал).

Сколько подобного рода неожиданностей гото­вит нам каждый урок?! Можно ли их предусмот­реть? Всегда ли мы способны не столько оценить, сколько понять действия ребенка? Для решения этих педагогических проблем необходимо знать структуру математического мышления и учитывать в преподавании ее индивидуальные особенности.

Согласно психологическим исследованиям струк­туру математического мышления можно рассматри­вать как пересечение пяти подструктур, или класте­ров. Любой из них может занимать доми­нантное место и тем самым обуславливать особен­ности математического мышления ребенка. Выра­жается это в том, что, опираясь на него, разные люди в одном и том же математическом объекте вычленя­ют различные характеристики и свойства.

Школьники с доминирующим  топологическим кластером  в первую очередь замечают и легче оперируют такими характеристиками, как непрерыв­но — разрывно, связно — несвязно, компактно — некомпактно, принадлежит — не принадлежит, внутри - вне. Каждое действие они осуществляют очень подробно, стараясь не пропустить в нем ни одной операции.  ( Этот кластер появляется  в мышлении ребенка самым пер­вым   (в три года) и является наиболее доступным для большин­ства людей.  Вспомним, что когда другой нас не понимает, то просит, чтобы рассказывали ему поподробнее, связно, без про­пусков, т.е. топологично).

Те, у кого доминирует проективный кластер, предпочитают рассматривать и изучать предмет с различ­ных точек зрения, устанавливать соответствие меж­ду объектом и его изображением и, наоборот (изоб­ражением и объектом), искать и находить различ­ные применения изучаемого объекта в практике.

Сравнивать,  классифицировать и оценивать в общем,  качественном виде  (больше — меньше, бли­же — дальше, выше — ниже, до — после, за, рань­ше потом) предпочитают те, у кого доминирую­щим является порядковый кластер. Вместе с тем им очень важна форма объектов, их соотношение, на­правление движения  (по — против часовой стрел­ки, вверх — вниз). Действуют эти люди логично, последовательно, по порядку. Работа по алгоритму для них - любимое занятие.

Люди с доминирующим метрическим кластером акцентируют свое внимание на количественных характеристиках. Главный вопрос для них - «сколь­ко»?: какова длина, площадь, расстояние, величи­на в числовом выражении.

Наконец, люди с доминирующим  алгебраическим  кластером постоянно стремятся к всевозможным комбинациям и манипуляциям, вычленению час­тей и их сбору в единое целое, к сокращению и замене нескольких преобразований одним. Это те самые «торопыги», которые в противоположность «топологам», лишь огромными усилиями заставляют себя подробно


прослеживать, записывать, объ­яснять все шаги решения или обосновывать собст­венные действия. Эти Остапы Бендеры («великие комбинаторы») думают и делают быстро, но при этом часто и ошибаются.

Сформировать структуру математического мыш­ления — значит сформировать каждый из указан­ных кластеров.

В зависимости от доминирующего кластера в математическом мышлении ребенка дети по-раз­ному запоминают и овладевают математическими понятиями, строят умозаключения, думают. С этой позиции понятно, что ребенок, задавший вполне логичный вопрос о том, весь ли лук из мешка был высажен бабушкой и внучкой, — «тополог» (уж он-то не упустит никакой мелочи, логической тонко­сти). А ученик, повернувший цифру 7 на бок, - «порядковец», так как действовал по собственному жесткому правилу.

Или вот, например, что, по нашим наблюдени­ям, усваивается школьниками с различными доми­нантными кластерами в понятии «алгебраическое выражение».

«Тополог» считает:

 «Алгебраическим называется выражение, включающее в себя числа и буквы, связанные знаками действий».

 «Проективист» заявляет»:

«Алгебраическим называется выражение подобное, например, предложению в русском языке: как в языке задаются соответствующие слова, знаки препинания, так и в алгебраическом выражении заданы числа, бук­вы и знаки действия между ними».

 Точка зрения «порядковца» такова:  «Алгебраическим можно назвать выражение, в кото­ром числа и буквы взаимодействуют друг с другом по конкретным правилам, строго определяемым законами, зафиксированными знаками математических действий».

«Метрист «выражает свое мнение следующим об­разом:

«Алгебраическое выражение представляет собою оп­ределенное количество букв, чисел и знаков действий  (то, что можно записать с помощью одной или нескольких букв, чисел и знаков действий). При этом, заменяя бук­вы числами, всегда можно найти его конкретное число­вое значение».

Наиболее лаконичны «алгебраисты»:
«Алгебраическое выражение состоит из чисел, букв и знаков действий».       

Кто из них ближе к истине? Согласимся, что каждое из этих определений имеет смысл и ближе (понятнее) представителю определенного кластера.

Поэтому возникает резонный вопрос о целесооб­разности заучивания детьми определений и фор­мулировок, предложенных автором учебника, что еще порой, к сожалению, бывает в школе. В связи с этим понятным становится утверждение Ф.М.До­стоевского: «Сколько человеку ни говорить, как должно делать, всё равно он сделает по-своему». Альтернатива такова: предоставить возможность ученику осмыслить понятие, а затем самостоятель­но сформулировать его и при необходимости от­корректировать.

В связи с вышеизложенным возникает проблема психологически грамотного построения урока, ко­торый строился бы дифференцированно в зависи­мости от индивидуальных особенностей математи­ческого мышления детей. В качестве иллюстрации этих возможностей и интерпретации высказанных теоретических положений приведем пример одно­го из них.

Урок по теме «Соотношение между сторонами и углами треугольника»

 Урок построен на основе учебника Л. С. Атанасяна и других «Геометрия 7—9».

Подготовка к новому материалу - устная работа

Задача 1. В равнобедренном треугольнике (АВ = АС) величина угла В равна 55° (рис. 1). Найдите величину угла А.

                                       Рис. 1

В случае затруднения при решении этой задачи последовательно можно использовать следующие во­просы-подсказки. (Совсем не обязательно предла­гать полный перечень подсказок. Его следует пре­рвать сразу, как только ученик «увидит» решение.)

«Топологу».  Перечислите все стороны треуголь­ника. Назовите равные стороны в этом треуголь­нике. К какому виду принадлежит треугольник с двумя равными сторонами? Следовательно, что можно сказать о внутренних углах  В и С этого треугольника?

«Проективисту».  Можно ли, глядя на рис. 1, определить вид треугольника по его сторонам?

Какие свойства равнобедренного треугольника мог­ли бы помочь решить задачу? Какую сторону в этом треугольнике можно было бы считать основанием? Если треугольник АВС равнобедренный, то что известно про его углы при основании?

«Порядковцу».  Сравним стороны АВ и АС. К какому виду можно отнести треугольник АВС? Можно ли сравнить углы при вершинах  В и С?  Какой теоремой можно воспользоваться для реше­ния этой задачи?

«Метристу».  Какие величины известны в тре­угольнике АВС?  Длины, каких сторон равны в дан­ном треугольнике?  Можно ли найти градусную меру угла  С?  Зная сумму трех углов треугольника и величины двух углов, можно найти третий угол?

«Алгебраисту». Из каких отрезков составлен тре­угольник АВС? Что известно про отрезки АВ и АС? Об углах В и С? Какой вывод можно сделать на основании предыдущих положений?

 

Задача 2. Сравнить по рис. 2 величины углов 1 и 2.

По этой задаче учащиеся должны вспомнить свойство внешнего угла треугольника.

Учитель задает вопрос: «Что изображено на рис.2»?

Возможные ответы учащихся в зависимости от доминантного кластера.

«Тополог». Всевозможные внутренние и внешние углы треугольника.

«Проективист». Лучи, выходящие из вершин треугольника.

«Порядковец». Смежные и вертикальные углы.

«Метрист». Три пересекающиеся прямые и два угла при них.

«Алгебраист». Треугольник, множество углов, среди которых выделены его внешний и внутрен­ний углы.

Учитель поощряет все верные ответы, но в кон­це акцентирует внимание на том, в котором речь идет о треугольнике и его внешнем угле

Рис.2                                                                                     Рис. З

 

 

Задача 3. Длины каких отрезков можно и нельзя найти на рис. 3?

Разбирая эту задачу, класс повторяет признаки равенства треугольников. Для повторения полезна серия подсказок для детей с различными кластера­ми и, таким образом, каждый из них обязательно получит подходящую ему подсказку.

 - Кто увидел равные углы? («Порядковец»: ∟МОК= ∟LON как вертикальные.)

- Можно ли утверждать, что треугольники рав­ны? («Алгебраист», да, по признаку равенства тре­угольников - по двум сторонам и углу между ними.)

- Длины каких сторон можем найти? («Мет­рист»: КМ = LN = 8 см,

МО = ОN = 7 см.)

- Почему не можем найти ОК? («Тополог»: не хватает данных.)

- Какие данные необходимо добавить, чтобы можно было найти длину КО? («Проективист»: с одной стороны, нужно указать длину третьей сто­роны ОL. Но, с другой стороны, можно поступить иначе: сделать угол N прямым.)

Аналогичным образом класс вспоминает еще два признака равенства треугольников.

Введение нового материала

Объяснение начинается работой с моделью. Опи­сание модели: к плотному листу картона прикреп­лен треугольник таким образом, что сторона АС зафиксирована, а стороны АВ и ВС нарисованы на картоне и сделаны из эластичного материала (например, из бельевой резинки). Точка В1 обозначена так, чтобы длины отрезков ВС и В1С были равны (рис. 4, а).

На месте точки В1 вкручен шуруп таким образом, чтобы за него можно было заце­пить резинку. Во время демонстрации модели из треугольника АВС получаем АВ1С, вытягивая сторону АВ, при этом контур треугольника АВС остается. Глядя на модель (рис. 4, б), ученики срав­нивают стороны и углы фигур АВС и АВ1С.

Задания по модели: сравнить стороны АВ и ВС, сравнить углы А и С по рис. 4а)

Вытянем сторону АВ на модели (рис. 4, б). По­лучим треугольник АВ1С. Что изменилось на моде­ли? (Здесь учитель должен внимательно выслушать ответы учеников, не навязывая им своего мнения.)

На следующем этапе объяснения рассматриваем решения задач на доказательство. 

Задача 4. На рис.5 МN = KN.  Сравнить: а) вели­чины углов 1 и 2; б) длины отрезков РN и КN.

Решая задачу, ребята с помощью учителя выст­раивают наиболее доступную всем топологическую цепочку рассуждений:

а) МN = NК, следовательно, треугольник МNК равнобедренный, а угол М равен углу К. Но угол 2 меньше угла К, значит, угол 2 меньше угла M, а угол M меньше угла I, так как угол 1 внешний угол треугольника МРК.

Итак,  ∟2< ∟K, ∟K = ∟M, ∟M <∟1 ∟2 <∟1;

б) MN = NK,   МN > РN   РN < NК.

                                    

            Рис. 5                                                  Рис. 6

 

Задача 5. Используя рис. 6, ответить на вопросы учителя.

Учитель задает вопросы, сообразуясь с класте­ром учащегося.

«Топологу». Есть ли на рис. 6 треугольники, вклю­чающие в себя другие треугольники?

«Метристу». Сколько на рис. 6 треугольников?

«Порядковцу». Есть ли равные среди треуголь­ников на рис. 6?

«Проективисту». Совпадут ли при наложении углы FАL и 2?

«Алгебраисту». Можно ли сравнить углы 1 и 2, стороны FВ и ВС?

Итак, сравнивая стороны и углы, в классе делают вывод о том, против какой стороны в треугольнике лежит больший угол, а против какой — меньший.

Проверяем полученный вывод в процессе мате­матического диктанта. Его вопросы перечислены в том же порядке кластеров, которого мы придержи­вались при перечислении ответов к задаче 5,

Математический диктант

Нарисуйте произвольный треугольник.

Измерьте длины сторон треугольника, результат запишите.

Выберите самую большую сторону и самую ма­ленькую.

Выскажите предположение о том, какими ока­жутся углы, лежащие против большей и меньшей стороны треугольника.

Выпишите все возможные комбинации соотно­шений между сторонами и углами треугольника,

Сделайте вывод.

Доказательство теоремы

Теорема. В треугольнике против большей сторо­ны лежит больший угол.

Учитель предлагает учащимся доказать утверж­дение самостоятельно, используя предыдущие за­дания. Тем самым каждому ученику дается возмож­ность поразмышлять в своем кластере. Вероятно, что некоторым школьникам это окажется не под силу, тогда они могут обратиться к рассуждениям, предложенным авторами учебника. Если после это­го не требовать от детей точного воспроизведения доказательства из книги, то это предоставит им, хотя и меньшую, чем у группы, доказывающей те­орему самостоятельно, потом не менее определен­ную степень свободы.

Обобщение

 «Мы доказали, — говорит учитель, что в угольнике против большей стороны лежит больший угол. А кто попробует сформулировать обратное утверждение»?

«Алгебраисты»  мгновенно выдают ответ: «Против большего угла лежит большая сторона». Доказательство проходит методом «от противного». И тут «алгебраисты» опять на высоте.

Следствия из теорем формулируются  в соответ­ствии с доминирующим кластером ребенка по­сле решения следующих задач.

Задачи учащимся с разными кластерами по рис. 7.

                                                                    Рис. 7

«Топологу». Рассмотреть соотношение длин: а) ка­тетов и гипотенузы в треугольнике АВС;

б) в тре­угольнике MNК.

«Метристу». Сколько равных строи может иметь прямоугольный треугольник (ΔABС)? Тре­угольник с двумя равными углами (ΔMNK)?

«Порядковцу». Найти самую большую сторону прямоугольного треугольника (ΔАВС), треугольник с двумя равными углами (ΔMNK).

«Проективисту». Что можно будет сказать о со­отношении длин сторон, если треугольник окажет­ся прямоугольным (ΔABC); с двумя равными угла­ми (ΔMNK)?

«Алгебраисту». Может ли в прямоугольном тре­угольнике (ΔAВС] длина гипотенузы быть не боль­ше длины одного из катетов; может ли треугольник с двумя равными углами (ΔMNK) не иметь одина­ковых сторон?

Задание всему классу. Доказательства следствий из теоремы записать самостоятельно дома.

Закрепление - решение задач

Задача 6   (№ 236 из учебника). Сравните углы тре­угольника AВС и выясните, может ли быть угол А тупым, если А В > ВС > АС.

Подсказка. Как узнать, какой угол лежит против стороны AB?

Решение, ∟С > ∟А > ∟В. Если угол А — тупой, то угол С тоже тупой, а в треугольнике не может быть два тупых угла.

Задача 7.  Задание: сформулировать условие по рис. 8.

 

                                                 Вопросы-подсказки

«Метристу». Можно ли найти конкретные чис­ловые значения углов треугольника А ВС?

«Проективисту». Какие стороны лежат в тре­угольнике против равных углов?

«Порядковцу». Что можно сказан, про вид тре­угольника А ВС?

«Топологу». Какие интересующие нас элементы расположены вне и внутри треугольника?

«Алгебраисту». Как доказать, что треугольник АВС равнобедренный?


                        рис.8                                                                                            рис.9                            

 Задача 8. Доказать по рис. 9, что сторона   АВ больше стороны АК.

Решение. Угол 1 - острый, так как ∟С = 90°; угол 2 – тупой, смежный с острым; угол 3 острый, поскольку  угол 2 – тупой; угол 4 тупой как смеж­ный с острым.

Треугольник АКВ: ∟4 — тупой  больший в ΔАКВ  АВ > АК.

Итоги

На уроке было  обнаружено три важных факта.

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол и, наоборот, против большего угла лежит большая сторона.

В прямоугольном треугольнике самая большая сторон а — гипотенуза.

Если в треугольнике два угла равны, то треуголь­ник равнобедренный.

Заключение.

Очевидно, что сама тема урока в большей степе­ни предполагает работу и опору на порядковый кластер (сравнение, больше — меньше — равно), но работа на уроке построена таким образом, что в нее включены все подструктуры математического мыш­ления, причем каждая вносит определенные допол­нения в ходе рассуждения и при решении задач.

Вопросы-подсказки делаются только в том слу­чае, если задача вызывает затруднения. Они направ­лены конкретному ученику (метристу — метричес­кие подсказки, топологу - топологические и т.д.),

На уроке каждый ученик получает возможность решать любую задачу с опорой на свой доминант­ный кластер.

После того как ученик осмыслил задачу в рамках своего кластера, он способен понять рассуждения, сделанные другими учащимися в рамках другого кластера. Таким образом, детям удается овладеть не только тем типом отношений, которые диктует содержание урока (преимущественно порядковые: больше — меньше), но и другими.

Учитель получает возможность действовать не вслепую, а целенаправленно; оказывать помощь и реализовывать развивающий эффект обучения не столько интуитивно, сколько психологически обос­нованно, оперативно и методически грамотно.

В этом и заключается суть изложенного подхода.

  Литература  

1. Возрастные и индивидуальные особенности образ­ного мышления учащихся. - М.: Педагогика, 1989.

2. Каплунович И Я., Верзилова И.И.. Урок одной задачи // Математика в школе, - 2003. - № 2.

3. Каплунович И.Я., Петухова Т.А. Пять подструктур математического мышления: как их выявить и использо­вать в преподавании // Математика в школе. - 1998. — № 5.

4. Крутецкий В.А, Психология математических спо­собностей школьников / Пол ред. Н.И.Чуприковой. — М. - Воронеж. 1998.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "ВЛИЯНИЕ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ НА ПРОЦЕСС РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ"

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 3 месяца

Системный аналитик

Получите профессию

Экскурсовод (гид)

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 610 123 материала в базе

Скачать материал

Другие материалы

Урок - игра по математике.6 класс. " Действия с обыкновенными дробями"
  • Учебник: «Математика (в 2 частях)», Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И.
  • Тема: 11. Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
  • 08.11.2015
  • 1065
  • 3
«Математика (в 2 частях)», Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И.

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 08.11.2015 916
    • DOCX 72.6 кбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Хасаншина Любовь Алексеевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Хасаншина Любовь Алексеевна
    Хасаншина Любовь Алексеевна
    • На сайте: 8 лет и 5 месяцев
    • Подписчики: 2
    • Всего просмотров: 7963
    • Всего материалов: 8

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

HR-менеджер

Специалист по управлению персоналом (HR- менеджер)

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс повышения квалификации

Реализация межпредметных связей при обучении математике в системе основного и среднего общего образования

36 ч. — 144 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 23 человека из 15 регионов

Курс повышения квалификации

Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения

36/72 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 84 человека из 35 регионов

Курс повышения квалификации

Система работы учителя математики по подготовке учащихся основной школы к математическим конкурсам и олимпиадам в рамках обновленного ФГОС ООО

36/72 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 91 человек из 39 регионов

Мини-курс

Технологии и автоматизация в машиностроении

6 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Цифровые компетенции и навыки: работа с презентациями

6 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 51 человек из 27 регионов

Мини-курс

Основы игровой деятельности дошкольников: роль игр в развитии детей

3 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе