Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Внеаудиторная самостоятельная работа обучающихся по дисциплине Математика для профессии Повар- кондитер.

Внеаудиторная самостоятельная работа обучающихся по дисциплине Математика для профессии Повар- кондитер.

  • Математика

Название документа ВСР- ПОВАРА,2015-2017 уч.г..docx

Поделитесь материалом с коллегами:


Самостоятельная работа № 1


Тема: Составление опорного конспекта «Четырехугольники».

Цель работы:

  • повторить понятия: параллелограмм, прямоугольник, ромб, трапеция, квадрат, их свойства;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Определение параллелограмма, изображение параллелограмма и его свойства;

  2. Определение прямоугольника, изображение прямоугольника и его свойства;

  3. Определение ромба, изображение ромба и его свойства;

  4. Определение трапеции, изображение трапеции и ее свойства;

  5. Определение квадрата, изображение квадрата и его свойства;

  6. Формулы для вычисления площади четырехугольников;

Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.










Самостоятельная работа № 2

Тема: Составление опорного конспекта «Параллельность прямых и плоскостей».

Цель работы:

  • повторить понятия: параллельные прямые, параллельность прямой и плоскости, параллельные плоскости, их свойства;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Определение параллельных прямых и их свойства( теоремы и лемма);

  2. Взаимное расположение прямой и плоскости(определение и чертежи);

  3. Определение параллельности прямой и плоскости, их свойства;

  4. Взаимное расположение прямых (определение и чертежи);

  5. Определение параллельности плоскостей, их свойства;

Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.














Самостоятельная работа № 3

Тема: Составление опорного конспекта «Перпендикулярность прямых, прямой и плоскости». 

Цель работы:

  • повторить понятия: перпендикулярность прямых, перпендикулярность прямой и плоскости, их свойства;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Определение перпендикулярных прямых, их свойства;

  2. Определение перпендикулярности прямой и плоскости, их свойства(теоремы, чертежи, признак);

  3. Перпендикуляр и наклонные( определение и чертежи ) ;

  4. Теорема о 3 перпендикулярах;

Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.










Тема: Решение теста по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве». 

Цель работы: повторить, закрепить основные понятия по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве».

Методические рекомендации к выполнению теста:

Прочитать вопрос, ответить на его и записать букву , под которой записан правильный ответ.

Задание: тест по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей».

1.Если угол между двумя прямыми равен 90°, то эти прямые: а) пересекаются, б) параллельны, в) скрещиваются, г) перпендикулярны, д) совпадают. 2. Какое из следующих утверждений неверно: а) если прямая перпендикулярна к двум прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и к этой плоскости, б) если прямая перпендикулярна к плоскости, то она ее пересекает, в) если две плоскости перпендикулярны к прямой, то они параллельны, г) если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны, д) если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. 3.Если одна из двух скрещивающихся прямых перпендикулярна к плоскости, то будет ли перпендикулярна к этой плоскости вторая прямая? а) да, б) да, но при определенных условиях, в) определить нельзя, г) нет, д) другой ответ. 4. Прямая а перпендикулярна к прямым с и в, лежащим в плоскости hello_html_6f92222e.gif, прямая а перпендикулярна к плоскости hello_html_6f92222e.gif. Каково взаимное расположение прямых с и в? а) параллельны, б) пересекаются, в) параллельны или пересекаются, г) совпадают, д)определить нельзя. 5.Одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна прямой, тогда: а) другая плоскость параллельна прямой, б) прямая лежит в другой плоскости, в) другая плоскость перпендикулярна прямой, г) прямая не пересекает другую плоскость, д)выполняются все случаи, указанные в пунктах а - г. 6.Точка Е не принадлежит плоскости прямоугольника АВСD, ВЕ hello_html_m5d32ab2b.gifАВ, ВЕ hello_html_m5d32ab2b.gifВС. Тогда прямая и плоскость ВСЕ: а) параллельны, б) перпендикулярны, в) скрещиваются, г) прямая лежит в плоскости,  д) перпендикулярны, но не пересекаются. 7.Какое из следующих утверждений неверно? а) перпендикуляр и наклонная, выходящие из одной точки, имеют равные длины, б) проекцией прямой на плоскость является точка или прямая, в) наклонные разной длины, проведенные к плоскости из одной точки, имеют проекции разных длин, 

г) прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна к ее проекции, д) расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости называется расстоянием между параллельными плоскостями. 8.Расстояния от точки М до сторон прямоугольного треугольника АВС (угол С равен 90°) равны. Какое из следующих утверждений верно? а) плоскости МАВ и АВС перпендикулярны, б) плоскости МВС и АВС перпендикулярны, в) плоскости МАС и АВС перпендикулярны, г) плоскости МАС и МВС перпендикулярны, д) условия в пунктах а - г неверны. 9.Угол между двумя плоскостями равен 80°. Какое из следующих утверждений неверно? а) плоскости пересекаются, б) в одной из плоскостей найдется прямая, перпендикулярная другой плоскости, в) в одной из плоскостей все прямые не перпендикулярны другой плоскости, г) в одной из плоскостей найдется прямая, параллельная другой плоскости, д) плоскости не перпендикулярны. 10.Какое из следующих утверждений верно? а) градусная мера двугранного угла не превосходит 90°, б) двугранным углом называется плоский угол, образованный прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, в) если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны, г) угол между плоскостями всегда тупой,  д) все линейные углы двугранного угла различны. 11.Какое из следующих утверждений верно? а) в прямоугольном параллелепипеде все шесть граней - произвольные параллелограммы, б) все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда - острые, в) прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны, называется кубом, г) квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме трех его измерений, д) параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию. 12.Длины трех ребер, имеющих общую вершину, называются: а) высотами прямоугольного параллелепипеда, б) диагоналями прямоугольного параллелепипеда, в) измерениями прямоугольного параллелепипеда, г) диагоналями основания прямоугольного параллелепипеда, д) смежными ребрами прямоугольного параллелепипеда.



Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-12,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-10,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-6.



Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.



Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.









Самостоятельная работа № 5

Тема: Типовой расчет по теме «Прямоугольный параллелепипед».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Прямоугольный параллелепипед»,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 2.п.24.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Найти площадь основания ABCD прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 если DB1 = см, DB = 5 см, BC1 = 4 см.

Решение: Для нахождения длин сторон ( поскольку параллелепипед в условии задачи прямоугольный, а значит, все ребра пересекаются под прямым углом  )  используем теорему Пифагора. Найдем BB1 в прямоугольном треугольнике  DBB1 :
BB1 =   
BB12 =  (34 - 25) = 9. BB1 =3.Соответственно  СС1 = BB1 = 3 см. Для прямоугольного треугольника BC1C : BC2 =  ( BC12  – C1C2 ) , BC2 =  ( 16 – 9 ) = 7 . BC = В треугольнике BCD найдем CD:  CD2 =  ( BD2 – BC2 ), CD2 =  ( 25 – 7 ) = 18, CD = 3 . Откуда площадь основания параллелепипеда равна: 
S = BC CD =  3 = 3.
Ответ:   площадь основания  прямоугольного параллелепипеда равна 3. Пример 2.Сумма трех измерений прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равна 40, AB : AA1 : AD = 2 : 2 : 4.   Найдите наибольшую из диагоналей граней параллелепипеда. Решение: Обозначим ребра 2х, 2х, 4х. 2х+2х+4х =40, 8х=40,   х=5. Ребра 10,10 и 20. Грани имеют размеры 10х10 или 10х20. Диагональ грани 10х10:   d12= (102+102) = 200, d1= 10, Диагональ грани 10х20:   d22= (102 +202) = 500, d2= 10- наибольшая диагональ . Ответ: d2= 10- наибольшая диагональ . Пример 3. Сумма всех ребер параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равна 120 см. Найти каждое ребро параллелепипеда. если АВ/ВС= 4/5 и ВС/ВВ1 = 5/6. Решение: Пусть АВ = 4х, тогда ВС= 5х,  ВВ1 = 6х. У параллелепипеда по 4 равных ребра, а всего 12 ребер. 4 (4х+5х+6х)=120, 4 15х=120, 60х=120, х=2, АВ = 8,  ВС = 10,  ВВ1 = 12. Ответ:  АВ = 8 см,  ВС = 10 см,  ВВ1 = 12 см. Пример 4. Дано: а = 3, b = 4, с = 12, Найти d. Решение: d2 = а2 + b2 + с2 , d2 = 32 + 42 + 122 = 9 + 16 + 144 = 169, d= 13. Ответ:  d= 13. Пример 5. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, AB = 12 см, BC= 5 см, ÐBDB1 = 45° . Найти BB1. Решение: В треугольнике BАD найдем ВD:  ВD2 =  АD2 + АB2 , ВD2 =   ВС2 + АB2 , ВD2 =  52 + 122 = 25 + 144 = 169, ВD = 13 см. В прямоугольном треугольнике BDB1 найдем BB1: ÐBDB1 = 45°, BB1 = ВD = 13 см. Ответ:  BB1 = 13 см. Пример 6. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, AС1 = 12 см, α = 30°, β = 45°. Найти измерения прямоугольного параллелепипеда а, b, с. Решение: В прямоугольном треугольнике BАD1, α = 30°, AB = а = BD1 : 2 = AС1: 2 = 12: 2 = 6 см. В прямоугольном треугольнике BDD 1, β = 45°, с = DD 1= BD = = 6 . В прямоугольном треугольнике АBD, BD = 6, АВ = 6 см, АD2 =  BD2  – АВ2  , АD2 =  BD2  – АВ2  = 72 – 36 = 36, АD = b = 6 см. Ответ:  а = b = 6 см, с = 6 см.
hello_html_m321ec67f.gif

Задание: 1 Вариант.

  1. Найти площадь основания ABCD прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если DB1 = см, DB = 10 см, BC1 = 7 см.

  2. Сумма трех измерений прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равна 48, AB : AA1 : AD = 2 : 2 : 4.   Найдите наибольшую из диагоналей граней параллелепипеда.

  3. Дано: а = 8, b = 9, с = 12, Найти d.

  4. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, AB = 24 см, BC= 10 см, ÐBDB1 = 45° . Найти BB1.

  5. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, AС1 = 16 см, α = 30°, β = 45°. Найти измерения прямоугольного параллелепипеда а, b, с.

2 Вариант.

  1. Найти площадь основания ABCD прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 если DB1 = см, DB = 6 см, BC1 = 12 см.

  2. Сумма всех ребер параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равна 240 см. Найти каждое ребро параллелепипеда. если АВ/ВС= 4/5 и ВС/ВВ1 = 5/6.

  3. Дано: а = 6, b = 8, с = 24, Найти d.

  4. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, AB = 30 см, BC= 15 см, ÐBDB1 = 45° . Найти BB1.

  5. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, AС1 = 20 см, α = 30°, β = 45°. Найти измерения прямоугольного параллелепипеда а, b, с.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.



Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.







Самостоятельная работа № 6

Тема: Типовой расчет по теме «Пирамида».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Пирамида»,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 3.§ 2.

Решение типовых заданий:

Пример 1. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого 8см, а радиус описанной около него окружности равен 5 см. Основанием высоты этой пирамиды является середина гипотенузы. Высота пирамиды равна 12см. Вычислить боковые ребра пирамиды. 
Решение:
В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на его гипотенузе. Соответственно, AB = 10 см, AO = 5 см.
 
Поскольку высота ON = 12 см, то величина ребер AN и NB равна
 
AN
2 = AO2 + ON2 , AN2 = 52 + 122 , AN = , AN = 13. 
Поскольку нам известна величина AO = OB = 5 см и величина одного из катетов основания (8 см), то высота, опущенная на гипотенузу, будет равна
 
CB
2 = CO2 + OB2 , 64 = CO2 + 25 , CO2 = 39 , CO = .
Соответственно, величина ребра CN будет равна
 :
CN
2 =  CO2 + NO2 , CN2 = 39 + 144 , CN = .
Ответ: 13, 13 , .hello_html_m48fa674b.gif

Пример 2. Боковая грань правильной треугольной пирамиды представляет собой правильный треугольник, площадь которого 16 корней из 3 см2 (16). Вычислить периметр основания пирамиды. 
Решение
:
Правильный треугольник - это равносторонний треугольник. Соответственно, боковая грань пирамиды представляет собой равносторонний треугольник.
 
Площадь равностороннего треугольника равна:
 . 
Соответственно:
 16 = a2 / 4 , 16 = a2 / 4 , a2 = 64 ,a = 8 см .
Основанием правильной треугольной пирамиды является правильный (равносторонний) треугольник. Таким образом, периметр основания пирамиды равен
  Р = 83 = 24 см .
Ответ: 24 см. 

Пример 3. Высота основания правильной треугольной пирамиды равна 3 см. а угол между боковой гранью и основанием пирамиды равен 45 градусов. Надо найти площадь полной поверхности пирамиды .
Решение:  В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник. Поэтому для решения задачи воспользуемся свойствами правильного треугольника: 
hello_html_m33c284ca.gif 
Нам известна высота треугольника, откуда можно найти его площадь.
 
h = /2 a
 , a = h / (/2),  a = 3 / (/2) , a = 6 / .
Откуда площадь основания будет равна:
  S = /4 a2 , S = /4 ( 6 / )2 , S = 3.
Для того, чтобы найти площадь боковой грани, вычислим высоту KM. Угол OKM по условию задачи равен 45 градусам.
 Таким образом:  OK / MK = cos 45°. 
Воспользуемся
 таблицей значений тригонометрических функций и подставим известные значения. OK / MK = /2. Учтем, что OК равен радиусу вписанной окружности. Тогда  OK = /6 a ,OK = /66/= 1. 
Тогда
  OK / MK = /2  ,1 / MK = /2  , MK = 2/ .
Площадь боковой грани тогда равна половине произведения высоты на основание треугольника.
 Sбок = 1/2 (6 / ) (2/) = 6/ .
Таким образом, площадь полной поверхности пирамиды будет равна
 
S = 3+ 36/ , S = 3+ 18/ .
Ответ: 3 + 18/ .hello_html_m3f19bf97.gifhello_html_m3f19bf97.gif

Пример 4. Высота правильной треугольной пирамиды 4 см, а ее апофемы 8 см. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды. 
Решение: 
Исходя из того, что MK = 8, MO = 4, синус угла OKM равен
  MO/MK = 1/2 , откуда угол равен arcsin 1/2 = 30 °. Откуда  KO / MK = cos 30° , KO / 8 = cos 30° , KO = 8 cos 30° .
По таблице тригонометрических функций найдем
 значение косинуса 30 °. KO = 8/2 = 4 .
Учтем, что KO является радиусом вписанной окружности в основание правильной треугольной пирамиды (согласно
 свойствам правильной пирамиды). Тогда по свойству равностороннего треугольника r = a/6.
Подставим в формулу известное нам значение радиуса вписанной окружности, откуда найдем значение стороны равностороннего треугольника
 4 = a /6 , a = 24. 
Теперь, зная размер основания боковой грани и ее апофему, найдем площадь боковой грани как площадь равнобедренного треугольника:
 Sт = 1/224 8 = 96 см2 .
Откуда площадь боковой поверхности пирамиды
 S = 3 Sт = 3 96 = 288 см2 . 
Ответ: 288 см2.

Пример 5. Высота и сторона основания правильной четырехугольной пирамиды соответственно равны 24 и 14. найдите апофему пирамиды. 
Решение: Поскольку пирамида правильная, то в ее основании лежит правильный четырехугольник - квадрат. Кроме того, высота пирамиды проецируется в центр квадрата. Таким образом, катет прямоугольного треугольника, который образован апофемой пирамиды, высотой и отрезком, их соединяющим, равен половине длины основания правильной четырехугольной пирамиды.  Откуда по теореме Пифагора длина апофемы будет найдена из уравнения:  72 + 242 = x2 , x2 = 625,  x = 25.  Ответ: 25 см .hello_html_m678d7f82.png

Задание:

1 вариант.

  1. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого 16 см, а радиус описанной около него окружности равен 10 см. Основанием высоты этой пирамиды является середина гипотенузы. Высота пирамиды равна 24 см. Вычислить боковые ребра пирамиды. 

  2. Боковая грань правильной треугольной пирамиды представляет собой правильный треугольник, площадь которого 64 корней из 3 см2 (64). Вычислить периметр основания пирамиды. 

  3. Высота основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см. а угол между боковой гранью и основанием пирамиды равен 45 градусов. Надо найти площадь полной поверхности пирамиды .

  4. Высота правильной треугольной пирамиды 8 см, а ее апофемы 16 см. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды. 

  5. Высота и сторона основания правильной четырехугольной пирамиды соответственно равны 24 и 20. Найдите апофему пирамиды. 

2 вариант.

  1. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого 9 см, а радиус описанной около него окружности равен 6 см. Основанием высоты этой пирамиды является середина гипотенузы. Высота пирамиды равна 8 см. Вычислить боковые ребра пирамиды. 

  2. Боковая грань правильной треугольной пирамиды представляет собой правильный треугольник, площадь которого 4 корня из 3 см2 (4). Вычислить периметр основания пирамиды. 

  3. Высота основания правильной треугольной пирамиды равна 9 см. а угол между боковой гранью и основанием пирамиды равен 45 градусов. Надо найти площадь полной поверхности пирамиды .

  4. Высота правильной треугольной пирамиды 2 см, а ее апофемы 4 см. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды. 

  5. Высота и сторона основания правильной четырехугольной пирамиды соответственно равны 12 и 18. Найдите апофему пирамиды. 

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5, Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4, Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3. Требования к оформлению самостоятельной работы: Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.








Самостоятельная работа № 7

Тема: Решение теста по теме «Многогранники» .

Цель работы: повторить, закрепить основные понятия по теме «Многогранники».

Методические рекомендации к выполнению теста:

Прочитать вопрос, ответить на его и записать букву , под которой записан правильный ответ.

Задание:

1) тетраэдр -  поверхность, составленная из…

 А) 4 треугольников;            Б ) 3 треугольников;

 В) 5 треугольников;             Г) 4 четырехугольников;

2) параллелепипед – поверхность, составленная из ….

 А) параллелограммов;        Б) 6 параллелограммов;

 В) 4 треугольников;             Г) 6 прямоугольников;

3) любая поверхность ограничивает….., отделяет …… от остальной части……..

А) многогранник, плоскости;  Б) тело, пространство;

В) геометрическое тело, плоскость; 

Г) геометрическое тело, пространство;

4) поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающую геометрическое тело, называют…..

 А) многогранником;           Б) многоугольником;

 В) тетраэдром;                     Г) параллелепипедом;

 5) концы ребер многоугольника называют….

 А) грани;               Б) ребра;            В) вершины;               Г) диагонали;

6) Сколько ребер у тетраэдра?

А) 6; Б) 7; В) 8; Г) 12;

7) Двойственный многогранник это …

А) тетраэдр; Б) октаэдр; В) додекаэдр;

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-7,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-6,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-4.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.








Самостоятельная работа № 8

Тема: Типовой расчет по теме «Цилиндр».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Цилиндр»,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

  1. Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 6. § 1.

  2. Самостоятельная работа № 14.

Решение типовых заданий:

Пример 1. В цилиндре параллельно его оси проведено сечение, диагональ которого равна 17 см, высота цилиндра равна 15 см., а радиус основания 5 см. На каком расстоянии от оси проведено это сечение? 
Решение. 
Сечение цилиндра в плоскости представляет собой прямоугольник. Таким образом, BM также представляет собой высоту цилиндра. Треугольник BMK - прямоугольный. Таким образом, можно найти длину стороны MK = B
C:
BK
2 = BM2 + MK2 , MK2 = BK2  BM2 ,MK2 = 172  152 ,
MK
2 = 64 , MK = 8. 
Таким образом, MK = BC = 8 см.
 
Теперь, проведем сечение через основание цилиндра. Рассмотрим получившуюся плоскость.
 
(
это делать совершенно необязательно, сечение основания цилиндра проведено только для простоты понимания решения задачи). 
AD - диаметр цилиндра, проведенный как сечение, параллельное заданному в условии задачи. BC - прямая, принадлежащая сечению, параллельному оси цилиндра. Поэтому ABCD - трапеция. Если трапеция равнобедренная, то вокруг нее можно описать окружность. Таким образом, ABCD - равнобедренная трапеция. Найдя высоту трапеции, получим расстояние от проведенного по условию задачи сечения до оси цилиндра. Найдем величины некоторых отрезков.
 AD = 2R = 2 5 = 10 см, OC = OD = R = 5 см .
В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой - полуразности оснований. Таким образом,
 
AN = DP = ( 10
8 ) / 2 = 1 см , тогда OP = OD DP = 51 = 4 см .
Треугольник CPO - прямоугольный, так как CP - высота трапеции. Откуда
 
CP
2 + OP2 = OC2 ,CP2 = OC2  OP2, CP2 = 52  42 ,CP2 = 25 16 = 9 ,CP = 3. 
Ответ: Проведенное сечение цилиндра находится на расстоянии 3 см от его оси.hello_html_m1ed0129.gifhello_html_m2050d35.gif

Пример 2. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если диагональ его осевого сечения, равная 8см, составляет с образующей цилиндра угол величиной 30° . Решение: Поскольку AC = 8 см, а угол ACD = 30°, то 
CD = AC cos 30°
 . Пояснение. Треугольник ACD - прямоугольный. Соответственно, CD / AC = cos ACD по свойству тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике. Значение  cos 30 найдем из таблицы значений тригонометрических функций. CD = 8  /2 = 4. Аналогично,  AD = AC sin 30° , AD = 8 1/2 = 4, Откуда радиус основания цилиндра равен R = 4/2 = 2 см. Площадь основания цилиндра, соответственно, равна  S1 = πR2 = 4π. Площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его развертки - произведению длины окружности основания и высоты цилиндра.
То есть:
 S2 = 2πRh = 2π 2 4= 16π. Общая площадь поверхности цилиндра равна:  S =S1 + S2 =  4π +  16π. Ответ:  4π +  16π.
Пример 3. Дано: цилиндр; ABCD - квадрат; АС = 4 см (рис. ). Найти: Sб.п.ц.
Решение: Sб.п.ц. = 2πRH. Пусть АВ = х, тогда х2 + х2 = 42;
2 = 16; х2 = 8; х = 2. = ; Н = 2. Sб.п.ц. = 2π · · 2= 8π (см2). Ответ: 8π см2.
Пример 4. Дано: цилиндр, ABCD - квадрат; Sосн.ц. = 16π см2 (рис.). Найти: Sб.п.ц.
Решение: πR2 = 16π; R2 = 16; R = 4. АВ = ВС = 4 · 2 = 8 (см). Sб.п.ц. = 2πRH, где R = 4; Н = 8.Sб.п.ц. = 2π · 4 · 8 = 64π (см2). Ответ: 64π см2. Пример 5. Дано: цилиндр, АВ1 = 16 см, B1AB = 30° (рис.). Найти: hRосн.  Решение:1) hк. = BB1;
2)Из ΔАВВ1 находим AB: AB = 16 cos 30° = 16 /2 = 8
R = 1/2 AB = 8 : 2 = 4 .
3) Из ΔВ
1АВ находим BB1: BB1 = 16 sin 30 ° = 16 1/2 = 16 : 2 = 8 см. Ответ: = 8 см; R = 4 см. hello_html_40222fab.gifhello_html_m2ae74cee.jpghello_html_m41d996ff.jpg

Задание:hello_html_m5b1a35f0.jpg

1вариант.

1)В цилиндре параллельно его оси проведено сечение, диагональ которого равна 34 см, высота цилиндра равна 30 см., а радиус основания 10 см. На каком расстоянии от оси проведено это сечение?

2)Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если диагональ его осевого сечения, равная 16 см, составляет с образующей цилиндра угол величиной 30 °.

3)Дано: цилиндр; ABCD - квадрат; АС = 16 см (рис. ). Найти: Sб.п.ц.

4) Дано: цилиндр, ABCD - квадрат; Sосн.ц. = 25π см2 (рис.). Найти: Sб.п.ц.

5)Дано: цилиндр, АВ1 = 8 см, B1AB = 30° (рис.). Найти: hRосн.

2 вариант.

1)В цилиндре параллельно его оси проведено сечение, диагональ которого равна 10 см, высота цилиндра равна 6см., а радиус основания 5 см. На каком расстоянии от оси проведено это сечение?

2)Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если диагональ его осевого сечения, равная 4 см, составляет с образующей цилиндра угол величиной 30 °. 

3)Дано: цилиндр; ABCD - квадрат; АС = 8см (рис. ). Найти: Sб.п.ц.

4)Дано: цилиндр, ABCD - квадрат; Sосн.ц. = 36π см2 (рис.). Найти: Sб.п.ц.

5)Дано: цилиндр, АВ1 = 20 см, B1AB = 30° (рис.). Найти: hRосн.

Критерии оценки:
Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,
Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,
Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы: Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1. Самостоятельная работа № 9

Тема: Типовой расчет по теме «Конус».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Конус»,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 6. § 2.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Высота конуса равна 5см, а радиус основания 12см. Найдите площадь полной поверхности конуса. 
Решение
Для нахождения площади поверхности конуса воспользуемся следующими формулами: S
1 = rl - площадь боковой поверхности конуса, где r - радиус конуса, а l - длина образующей, S2 = r2 - площадь круга, то есть основания конуса. Таким образом, площадь поверхности конуса составит  S = S1 + S2 .
Поскольку S
1 = rl , найдем образующую. Поскольку высота конуса, радиус основания конуса и образующая являются сторонами прямоугольного треугольника, то  l2 = h2 + r2 , l2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169 , l = 13.
Тогда
 S = S1 + S2 = + 144 = 156+ 144 = 300 ≈ 942,48 
Ответ: 300 ≈ 942,48 см2 .hello_html_m6d6bd24b.jpg

Пример 2. Дано: конус, ОР = 15 см, ОВ = r = 8 см (рис.). Найти:РВ.  Решение: Из ΔОРВ по теореме Пифагора:PB2= PO2 + OB2,
PB2= 152 + 82 = 225 + 64 = 289, PB = 17.
Ответ: 17 см.

Пример 3. Дано: Конус, ABC = 120°, АВ = 6 (рис.). Найти: R,h.  Решение:1) ΔАВС - равнобедренный, угол при основании 
С = 30°. 2)Из ΔАВО : h = ВО = AB : 2 = 3.
3)
R = AO = AB · cos 30° = 6 ·  : 2 = 3 .
Ответ: H = 3, R = 3.hello_html_m6bcb7613.jpg

Пример 4. Дано: Конус. ΔАВС - равносторонний, АВ = 12, = 10 (рис.). Найти: OK,h. 
Решение:1) Из ΔВОС по теореме Пифагора: h2 = OB2 = BC2OC2,
h2 = 122 – 102 = 144 – 100 = 44, h = = 2
2)
ΔABC - равносторонний, АС = 12, СК = 6. Из ΔСОК по теореме Пифагора ОК2 = ОС2СК2, ОК2 = 102 62 = 100 36 = 64, OK = 8. Ответ: h = 2, ОК = 8.hello_html_m2d0d5103.jpg

Пример 5. Дано: конус, h = OP = 1,2 см, Sосев. = 0,6 см2 (рис.). Найти: Sполн. .
Решение:hello_html_28ad1e01.jpg

  1. Осевое сечение - треугольник: высота 1,2 см и основание 2r.

Sосев. =  · 2r h = r h, r = Sосев. : h = 0,6 : 1,2 = 0,5 см.

  1. Из ΔАОР по теореме Пифагора: l2 = h2 + r2  = OP2 + OA2. l2 = 1,22 + 0,52 = 1,44 + 0,25 = 1,69, l = 1,3 см.

  2. Sполн. = · (r + l) , Sполн. = 0,5 · (0,5 + 1,3) = · 0,5 · 1,8 = 0,9
    Ответ: 0,9π см2.



Задание:

1вариант.

  1. Высота конуса равна 10 см, а радиус основания 24 см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

  2. Дано: конус, ОР = 12 см, ОВ = r = 9 см (рис.). Найти: РВ. 

  3. Дано: Конус, ABC = 120°, АВ = 8 (рис.). Найти: R, h. 

  4. Дано: Конус. ΔАВС - равносторонний, АВ = 24, = 20 (рис.). Найти: OK, h.

  5. Дано: конус, OP = 2,4 см, Sосев. = 2,4 см2 (рис.). Найти: Sполн. 

2 вариант.

  1. Высота конуса равна 6 см, а радиус основания 8 см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

  2. Дано: конус, ОР = 15 см, ОВ = r = 20 см (рис.). Найти: РВ. 

  3. Дано: Конус, ABC = 120°, АВ = 10 (рис.). Найти: R, h. 

  4. Дано: Конус. ΔАВС - равносторонний, АВ = 32, = 20 (рис.). Найти: OK, h.

  5. Дано: конус, OP = 0,9 см, Sосев. = 1,08 см2 (рис.). Найти: Sполн. 

Критерии оценки: Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.






























Самостоятельная работа № 10

Тема: Решение теста по теме «Тела вращения».

Цель работы: повторить, закрепить основные понятия по теме «Тела вращения».

Методические рекомендации к выполнению теста:

  1. Прочитать вопрос, ответить на его и записать букву , под которой записан правильный ответ.

  2. Решив задачу, нужно выбрать правильный ответ и записать номер, под которым он записан.

Задание: Тест: «Тела вращения».

1. Сколько диаметров у сферы?

А.1. Б.3.В.2. Г. бесконечно много.

2. Какой фигурой является сечение шара плоскостью?

А. отрезком. Б. Кругом. В. окружностью. Г. сферой.

3. Если радиус сферы увеличить в 2 раза то объём увеличиться

А. в 2 раза .Б. в 8 раз. В. в 4 раза. Г. в 16 раз.

4. В формуле V=4/3. R 3 ,V-объём

А. шара. Б. Цилиндра. В. конуса .Г. шарового сектора.

5. Конус можно получить, если вращать вокруг стороны

А. равносторонний треугольник .Б. остроугольный треугольник.

В. тупоугольный треугольник .Г. прямоугольный треугольник.

6. Площадь поверхности шара (сферы) уменьшили в 9 раза. Объём уменьшиться в ...

А. 3 раз. Б. 27 раз. В. 9 раз. Г.81 раз.

7.Площадь боковой поверхности конуса равна

А. 2, Б. 4 , В. ;

8.Тело вращения, площадь боковой поверхности которого равна 2 называется

А. цилиндр, Б. Шар, В. конус;

9.У какого тела вращения 2 основания

А. конус, Б. шар, В. цилиндр;

10.В сечении треугольник. В каком теле вращения это возможно?

А. конус, Б. шар, В. цилиндр;

11.В каком теле вращения нет высоты;

А. шар, Б. цилиндр, В. конус, Г. усеченный конус;

12.Какая фигура в осевом сечении у шара

А. квадрат, Б. ромб, В. круг, Г. прямоугольник;


Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-12,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-10,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-6.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.






Самостоятельная работа № 11

Тема: Типовой расчет по теме «Объём прямоугольного параллелепипеда».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Объём прямоугольного параллелепипеда»,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 7. § 1. Решение типовых заданий:

Пример 1. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 12. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 4. Найдите объем параллелепипеда. Решение: Каждая грань прямоугольного параллелепипеда –прямоугольник. Пусть SABCD= a b = 12 , тогда АА1= h = 4, т.к. АА1 АВСD. Используем формулу объема прямоугольного параллелепипеда V = a b h , V = 12 4 = 48. Ответ: 48 см3. Пример 2. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 12. Одно из его ребер равно 3. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру. Решение: Пусть АА1 АВСD, V = 12 , АА1= h = 3. Найдём SABCD. Используем формулу объема прямоугольного параллелепипеда V = a b h, где SABCD= a b, S ABCD 3 = 12,S ABCD = 4. Ответ: 4 см2. Пример 3. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите объем параллелепипеда. Решение: a = 4, b = 2, d = 6. Найдем V. Формула диагонали прямоугольного параллелепипеда: d2 = a2 + b2 + h2 , 16 + 4 + h2 = 36, h2 = 16, h = 4. Формула объема прямоугольного параллелепипеда: V = abh , V = 4 2 4 = 32. Ответ: 32 см3. Пример 4. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 3. Объем параллелепипеда равен 36. Найдите его диагональ и высоту. Решение: a = 3, b = 2. Формула объема прямоугольного параллелепипеда: V = abh , 3 . 2 . h = 36, 6h = 36, h = 6. V = 36.Найдем d. d2 = 9 + 4 + 36, d2 = 49, d = 7. Ответ: 7 и 6 см. Пример 5. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, диагональ D1= 18 составляет угол в 30° с плоскостью боковой грани, и угол в 45° с боковым ребром (рис. ). Найти: V.

 Решение: BC1 - проекция D1на плоскость боковой грани BB1С1С, поэтому D1BC1 = 30°D1BB1= 45°. Рассмотрим ΔD1C1BD1C1= 90° (рис.). ∠В = 30°. => D1C1 = 18 : 2 = 9 см. Рассмотрим ΔD1B1- прямоугольный: BB1= 18 cos 45° = 18 : 2 = 9 см. Диагональ (d) и измерения (а, b, с) прямоугольного параллелепипеда связаны соотношением: d2 = a2 + b2 + h2 , 182 = 92 + (9)2 + B1C12 , (ΔD1B1B: B1B =D1 B1). B1C12 = 182 92 (9)2 = 324 – 8181 2 = 81, B1C1 = 9см. V = 99 9 = 729 см3hello_html_m49e41dc8.jpg

Ответ: V = 729см3.

Пример 6. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда 3 и 4. Найти его объём, если высота равна длине диагонали его основания.
Решение: BD - диагональ основания прямоугольного параллелепипеда. BD2 = АВ2 + АD2, BD2 = 32 +42 = 9 + 16 = 25, BD = 5, h = 5. V = 345 = 60 см3. Ответ: 60 см3.

Пример 7. Найти объём прямоугольного параллелепипеда, если стороны основания 2 и 3, а диагональ параллелепипеда .

Решение: d2 = a2 + b2 + h2 , ()2 = 22 + 32 + h2 , h 2 = 38 – 4 9 = 25, h = 5.

V = 23 5 = 30 см3.

Ответ: 30 см3.

Задание:

1вариант.

  1. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 15. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 6. Найдите объем параллелепипеда.

  2. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 24. Одно из его ребер равно 3. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру.

  3. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3, 4. Диагональ параллелепипеда равна 13. Найдите объем параллелепипеда.

  4. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3, 6. Объем параллелепипеда равен 108. Найдите его диагональ и высоту.

  5. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, диагональ  D1= 12 составляет угол в 30° с плоскостью боковой грани, и угол в 45° с боковым ребром (рис. ). Найти: V.

2 вариант.

  1. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 18. Ребро,перпендикулярное этой грани, равно 5. Найдите объем параллелепипеда.

  2. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3, 4. Объем параллелепипеда равен 144. Найдите его диагональ и высоту.

  3. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, диагональ  D1= 16 составляет угол в 30° с плоскостью боковой грани, и угол в 45° с боковым ребром (рис. ). Найти: V.

  4. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда 6 и 8. Найти его объём, если высота равна длине диагонали его основания.

  5. Найти объём прямоугольного параллелепипеда, если стороны основания 4 и 6, а диагональ параллелепипеда .

Критерии оценки: Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5, Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4, Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.


Требования к оформлению самостоятельной работы: Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.













Самостоятельная работа № 12

Тема: Типовой расчет по теме «Объём цилиндра».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Объём цилиндра»,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 7. § 2.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Дано: цилиндр, r = 2см, h = 3 см. Найти: V.

Решение: V= S0 · h. V= πr2 · h = π()2 3 = π 8 3= 24 π см3.

Ответ: 24π см3.

Пример 2. Дано: цилиндр, r = h= 8π см3. Найти: h.

Решение: V= S0 · h. V= πr2 · h, так как r = h, то V = πh3 => h3 = V / π, h3 = 8 π / π = 8, h = 2 см. Ответ: 2 см.

Пример 3. Дано: цилиндр, ABCD - осевое сечение, ABCD - квадрат, hello_html_2cd2a3a8.jpg

АС = 8см. (рис.). Найдите: Vцил. 

Решение:1) V= S0 · h. 

2)Рассмотрим ΔАВС - прямоугольный, так как ABCD квадрат.

Пусть АВ = ВС = x см(x >0), тогда x2 + x2 = (8)2, 2x2 = 642,x2 = 64, x = 8.

Итак: АВ = ВС = 8 см, т.е. = 8 (см).

3) Найдем радиус основания: = 1/2AD = h / 2 = 4 см, тогда S0 = πr2 , S0 = 16π см2. 

4) V= S0 · h. V= 16 π · 8 = 128 π см3.  

Ответ: 128 π см3.

Пример 4. Дано: цилиндр, ABCD - осевое сечение, ABCD - квадрат, АС = 6см (рис. Пример 3.).

Найдите: Vцил. Решение: 1) V= S0 · h.  2)Рассмотрим ΔАВС - прямоугольный и равнобедренный, так как ABCD – квадрат. Обозначим АВ = ВС = х см (x >0), тогда x2 + x2 = (6)2, 2x2 = 362,x2 = 36, x = 6, т. е. АВ = ВС = 6 см, и так = 6 см. 3) Найдем радиус основания r = AD : 2 = AB : 2 = 6 : 2 = 3см. S0  = πr2 = 9πсм2. 

4) V= S0 · h. V= 9π · 6 = 54πсм3.  

Ответ: 54π см3.

Пример 5. Дано: цилиндр (MNKL) || OO1, ОН =15 см, МК = 20 см, r = 17 см (рис.). Найдите: Vцил. hello_html_60118f26.jpg

Решение:

1) Рассмотрим получившееся сечение: так как плоскость параллельна оси цилиндра, то MN || OO’ иKL || OO’, т.е. MN || KL; ОО1 основанию  MN  основанию и КО  основанию, кроме того NK ||ML - лежат в параллельных плоскостях, таким образом четырехугольник MNKL - прямоугольник.

2)  V= S0 · h. V= πr2 · h = 172πh = 289 πh см3

3) Рассмотрим ΔMOL: проведем ОН  ML; ОН и есть расстояние от плоскости

сечения до оси цилиндра, т. е. ОН = 15 см. ОН - высота, медиана и биссектриса

равнобедренного ΔMOL, HL = ML : 2 , HL2 = OL2OH2 = 172 – 152 = 289 – 225 = 64 , HL = 8см, ML = 16 см.

4) Находим высоту цилиндра из прямоугольного ΔMKL: h2 = KL2 = MK2ML2 = 202 – 162 = 400 – 256 = 144, h = 12см.

5) V =289π 12 = 3468π см3.

Ответ: 3468π см3.



Задание:

1вариант.

  1. Дано: цилиндр, r = 4см, h = 3 см. Найти: V.

  2. Дано: цилиндр, r = h= 27π см3.Найти: h.

  3. Дано: цилиндр, ABCD - осевое сечение, ABCD - квадрат, АС =10см.(рис.). Найдите: Vцил. 

  4. Дано: цилиндр, ABCD - осевое сечение, ABCD - квадрат, АС = 4 см (рис. Пример 3.). Найдите: Vцил.

  5. Дано: цилиндр (MNKL) || OO1, ОН =30 см, МК = 40 см, r = 34 см (рис.). Найдите: Vцил. 

2 вариант.

  1. Дано: цилиндр, r = 6см, h = 3 см. Найти: V.

  2. Дано: цилиндр, r = h= 64π см3.Найти: h.

  3. Дано: цилиндр, ABCD - осевое сечение, ABCD - квадрат, АС =12см.(рис.). Найдите: Vцил. 

  4. Дано: цилиндр, ABCD - осевое сечение, ABCD - квадрат, АС = 14см (рис. Пример 3.). Найдите: Vцил.

  5. Дано: цилиндр (MNKL) || OO1, ОН = 24 см, МК = 25 см, r = 26 см (рис.). Найдите: Vцил.


Критерии оценки: Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5, Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4, Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.


Требования к оформлению самостоятельной работы: Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.
























Самостоятельная работа № 13

Тема: Типовой расчет по теме «Объём конуса».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Объём конуса»,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 7. § 3.

Решение типовых заданий:

Пример 1. a) Вычислите объем конуса, если его высота 6 см, а площадь основания 42 см2.

Решение: V= 1/3S0 · h. V= 1/3· 42 · 6 = 84 см3. Ответ: 84 см3. 

б) Найти объем конуса с радиусом основания 4 м и высотой 6 м .hello_html_22f040f9.jpg

Решение: V= 1/3 πr2 · h. V= 1/3 · π ·42 · 6 = 32 π м3.  Ответ: 32 π м3. 

Пример 2. Образующая конуса равна 60 см, высота 30 см. Найдите Vк (рис.).

Решение: Из ΔАOР (O = 90°): Так как РО = 1/2АР, то

= 30°,  R = AO = 60 · cos 30° = 60 · / 2 = 30 см,

 V= 1/3 πr2 · h. V= 1/3 π(30)2 · 30 = 27000 π см3. Ответ: V = 27000π см3.hello_html_77625222.jpg

Пример 3. Образующая конуса, равна 12 см, наклонена к плоскости основания под углом 30° (рис.). Найдите объем конуса.

Решение: V= 1/3 π ·AO2 · SO. 

Из ΔАSO (= 90°): h = SO = 1/2 AC = 12 : 2 = 6 см.

R = AO = 12 · cos 30° = 12 · / 2 = 6 см.

V= 1/3 π(6)2 · 6 = 2 π · 36 · 3 = 216 π см3.  Ответ: V= 216π см3.hello_html_6c88cf6d.jpg

Пример 4. Образующая конуса 8 см, а угол при вершине

осевого сечения 60°. Найдите объем конуса. 

Решение: (рис.) V= 1/3 πr2 · h. r = 8 : 2 = 4 см.

h = 8 · sin 60° = 8 · / 2 = 4  см. hello_html_20ab41b2.jpg

V= 1/3 π · 42 · 4 = 64 / 3 21,3π см3.Ответ: 21,3π см3.

Пример 5. Дано: конус, АР = см, PAB = 45° (рис. ). Найти: V. 

Решение: V= 1/3 πr2 · h.  AO= РО. Из ΔAОР ((= 90°): APO = 45°, значит, AO = PO = r = h. По теореме Пифагора 2r= 6, r2 = 3, r = h = .

V= 1/3 π()2 ·  = 1/3· π · 3 · = π см3. Ответ: V = π см3.

Задание: 1вариант.1)a)Вычислите объем конуса, если его высота 3 см, а площадь основания 12 см2.б) Найти объем конуса с радиусом основания 5 м и высотой 9 м.

2)Образующая конуса равна 4 см, высота 2 см. Найдите Vк (рис.).

3)Образующая конуса, равна 12 см, наклонена к плоскости основания под углом 30° (рис.).Найдите объем конуса.

4)Образующая конуса 4 см, а угол при вершине осевого сечения 60°. Найдите объем конуса. 

5)Дано: конус, АР = см, PAB = 45° (рис. ).Найти: V. 

2 вариант. 1)a)Вычислите объем конуса, если его высота 9 см, а площадь основания 15 см2.

б) Найти объем конуса с радиусом основания 7 м и высотой 3 м .

2)Образующая конуса равна 8 см, высота 4 см. Найдите Vк (рис.).

3)Образующая конуса, равна 12 см, наклонена к плоскости основания под углом 30° (рис.).Найдите объем конуса.

4)Образующая конуса 6 см, а угол при вершине осевого сечения 60°. Найдите объем конуса. 

5)Дано: конус, АР = см, PAB = 45° (рис. ).Найти: V. 

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.


Самостоятельная работа № 14

Тема: Типовой расчет по теме «Объём сегмента, слоя, сектора шара».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Объём сегмента, слоя, сектора шара»,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 7. § 4.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Какую часть шара составляет объем шарового сегмента, у которого высота равна 0,1 диаметра шара? Решение:

Десятая часть диаметра есть пятая часть радиуса. Значит, высота сегмента

h= R/5 , V сегм. = (R/5)2 (RR /15) = (R2/25) 14R/15 = 14 R3/375, V сегм.: V =( 14/375) : (4/3) = 7/250 = 2,8 % .

Ответ:  2,8%. Пример 2. Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит его на части 3 см и 9 см. На какие части делится объем шара? Решение:

= (3 + 9) : 2 = 6 см. Высота меньшего сегмента h равна 3 см. Его V1 = h2 (Rh / 3) = 32 ( 6 1) = 45 см2. V = 4/3 R3 = 4/3 63 = 4/3 216 = 288 см3.

Значит,  V2 = VV1 = 28845 = 243 см3. hello_html_m4c44f677.jpg

Ответ: 45 , 243 см3. Пример 3. Дано: шар, DС — диаметр секущей плоскости, АМ = 6 см, MB = 12см (рис.). V1 - объем меньшего шарового сегмента,  V2 - объем большего шарового сегмента. Найти: V1V2.  Решение:

СD  АВ, ЛМ = 6 см, MB = 12 см. На рисунке: DС - диаметр круга, который является плоскостью, перпендикулярной к диаметру шара, делящей шар на два шаровых сегмента.

Диаметр шара АВ = АМ + MB = 6 + 12 = 18 (см), R = 9 см.

Объем шарового сегмента вычисляется по формуле: V = h2 (Rh / 3) ,  где h = AM - высота меньшего сегмента.

V1 = AM2 (R – AM / 3) = 62 (9 – 6/3) = 36 7 = 252 см3. Объем шара равен:   Vшара = 4/3 R3 = 4/3 93= 4 81 3 = 972 см3. V2 = VV1 =  972 252 = 720 см3.

Ответ: 252π см3 и 720π см3. Пример 4. Чему равен объем шарового сектора, если радиус окружности основания равен 60 см, а радиус шара - 75 см. hello_html_m45f5722.jpg

Решение:

Пусть R - радиус шара, r - радиус основания сегмента.

Вычислим высоту сегмента Н = РО1, OP = R.

Из прямоугольного ΔОО1М:  

OO12 = OM2O1M2 = R2r2 = 752 602 = 5625 – 3600 = 2025, OO1 = 45 см.
h = PO1 = OPOO1 = 75 45 = 30 см.
V = 2/3 R2h = 2/3 75230 = 20 5625 = 112 500 см3. Ответ: 112 500 см3. Пример 5. Дано: шар, h = 30, R = 45 см. Найти: V1V2, V3. Решение:

Объем шарового сегмента вычисляется по формуле: V1 = h2 (Rh / 3) ,  

V1= 302 (45 – 30:3) = 900 35 = 31500 см3.

V2 = 4/3R3 2 h2 (Rh / 3) = 4/3453 2 302 (45 – 30 / 3) = 121500 63000 = = 58500см3. V3= 2/3 R2h =2/3452 30 = 40500см3. Ответ: 31500 58500 40500см3.

Задание:

1вариант.

  1. Какую часть шара составляет объем шарового сегмента, у которого высота равна 0,2 диаметра шара?

  2. Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит его на части 6 см и 12 см. На какие части делится объем шара?

  3. Дано: шар, DС — диаметр секущей плоскости, АМ = 3 см, MB = 9 см (рис.). V1 - объем меньшего шарового сегмента, V2 - объем большего шарового сегмента. Найти: V1V2. 

  4. Чему равен объем шарового сектора, если радиус окружности основания равен 12см, а радиус шара - 15 см.

  5. Дано: шар, h = 30, R = 42 см. Найти: V1V2, V3.

2 вариант.

  1. Какую часть шара составляет объем шарового сегмента, у которого высота равна 0,4 диаметра шара?

  2. Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит его на части 8 см и 10 см. На какие части делится объем шара?

  3. Дано: шар, DС — диаметр секущей плоскости, АМ = 10 см, MB = 14 см (рис.). V1 - объем меньшего шарового сегмента, V2 - объем большего шарового сегмента. Найти: V1V2. 

  4. Чему равен объем шарового сектора, если радиус окружности основания равен 24 см, а радиус шара - 30 см.

  5. Дано: шар, h = 12, R = 15 см. Найти: V1V2, V3.



Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.



Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.



Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.





















Самостоятельная работа № 15

Тема: Решение теста по теме «Объёмы тел».

Цель работы: повторить, закрепить основные понятия по теме «Объёмы тел».

Методические рекомендации к выполнению теста:

  1. Прочитать вопрос, ответить на его и записать букву , под которой записан правильный ответ.

  2. Решив задачу, нужно выбрать правильный ответ и записать номер, под которым он записан.

Задание: 1 вариант.

1. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами 3 см, 5 см и 8 см.

а) 120 см3; б) 60 см3; в) 32 см3; г) другой ответ.

2. Длина прямоугольной комнаты в 2 раза больше ширины и на 2 м больше высоты. Найдите объем комнаты, если ее длина равна 6 м.

а) 432 м3; б) 144 м3; в) 72 м3; г) другой ответ.

3.. Найдите ребро куба, если его объем равен  512  м3

а) 4 м; б) 8 м; в) 16 м; г) другой ответ.

4. Как изменится объем параллелепипеда, если его длину увеличить в 4 раза, ширину увеличить в 6 раз, а высоту уменьшить в 8 раз?

а) увеличится в 3 раза; б) уменьшится в 12 раз; в) не изменится; г) другой ответ.

5. Выберите неверное утверждение.

а) Объём прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту;

б) Объём правильной треугольной призмы вычисляется по формуле V = a2h, где а – сторона основания , h – высота призмы;

в) Объём прямой призмы равен половине произведения площади основания на высоту.

6. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 2 см, а высота – 5 см. Найдите объём призмы.

а) 15 см3; б) 45 см3; в) 10 см3; г) 12 см3; д) 18 см3.

7.Выпишите формулу для нахождения объёма пирамиды.

а) V=Sоснh; б) V=Sоснh; в) V=Sоснh.

8.Найдите объем пирамиды, высота которой равна 1, а основание — прямоугольник со сторонами 4 и 6. а) 4; б) 8; в) 16.hello_html_37ae8577.jpg

9.Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна hello_html_6f3a9b7f.png. а) 1,25; б) 1; в) 0,25.

10.В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12 м, объем равен 200 м3. Найдите боковое ребро этой пирамиды. а) 10 м; б) 13 м; в) 8 м.

11.Найдите объём правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 3 см, а высота – 4 см. а) 12 см3; б) 42 см3; в) 8 см3.

12.Диагональ квадрата, лежащего в основании правильной пирамиды, равна 8 дм, а её высота равна 12 дм. Найдите объём пирамиды. а) 768 дм3; б) 384 дм3; в) 128 дм3.

13. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если его длина равна 6 см, ширина – 5 см, а диагональ 11 см. а) 60 см3; б) 2 см3; в) 85 см3.

14. Основанием пирамиды МАВС служит треугольник со сторонами АВ = 5 см, ВС = 12 см, АС = 13 см. Найдите объём пирамиды, если МВ (АВС) и МВ = 10 см.

а) 300 см3; б) 260 см3; в)100 см3.

15. а) Найдите объём цилиндра, если r = 4, h = 5. А) 80, В) 80 π, С) 16, Д) 21 π.

б) Найдите высоту цилиндра , если V = 100 π, r = 10 . А) 4, В) 3 π, С) 1, Д) 2 π.

16. а) Найдите объём конуса, если r = 2, h = 6. А) 4 π, В) 4, С) 8 π, Д) 8.

б) Найдите высоту конуса , если V = 144 π, r = . А) 4, В) 8 π, С) 144 π, Д) 4 π,

17. Найдите объём усеченного конуса, если h = 6, r1 = 3, r2 = 4.

А) 74, В) 74 π, С) 37, Д) 37 π.

18. а)Найдите объём шара, если его радиус R = 6. А) 288 π, В) 288, С) 72 π, Д) 72.

б) Найдите диаметр шара, если его объем V = . А) 6, В) 14, С) 7, Д) 12.

2 вариант.

1. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами 6 см, 3 см и 4 см.

а) 72 см3; б) 13 см3; в) 22 см3; г) другой ответ.

2. Длина прямоугольной комнаты в 3 раза больше ширины и на 2 м больше высоты. Найдите объем комнаты, если ее длина равна 6 м.

а) 432 м3; б) 144 м3; в) 48 м3; г) другой ответ.

3. Найдите ребро куба, если его объем равен  729  м3

а) 9 м; б) 8 м; в) 16 м; г) другой ответ.

4. Как изменится объем параллелепипеда, если его длину увеличить в 5 раза, ширину увеличить в 8 раз, а высоту уменьшить в 10 раз?

а) увеличится в 4 раза; б) уменьшится в 12 раз; в) не изменится; г) другой ответ.

5. Выберите верное утверждение.

а) Объём прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту;

б) Объём правильной треугольной призмы вычисляется по формуле V = a2h, где а – сторона основания , h – высота призмы;

в) Объём прямой призмы равен половине произведения площади основания на высоту.

6. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 3см, а высота – 4 см. Найдите объём призмы.

а) 15см3; б) 45 см3; в) 27см3; г) 12 см3; д) 18 см3.

7.Выпишите формулу для нахождения объёма пирамиды.

а) V=Sоснh; б) V=Sоснh; в) V=Sоснh. hello_html_37ae8577.jpg

8.Найдите объем пирамиды, высота которой равна 6, а основание — прямоугольник со сторонами 3 и 4. А) 48; б) 24; в) 12.

9.Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 4, а объем равен hello_html_m3b6e9642.png. а) 1,5; б) 3,5; в) 16.

10.В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6 м, объем равен 200 м3. Найдите боковое ребро этой пирамиды. а) 86 м; б) м; в) м.hello_html_m390fd290.jpg

11.Найдите объём правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 2 см, а высота – 3 см.

а) 8 см3; б) 4 см3; в) 3 см3.

12. Измерения прямоугольного параллелепипеда 25 м, 10 м, 32 м. Определите ребро куба, равновеликого прямоугольному параллелепипеду. а) 1,8 м; б) 3 м; в) 20 м.

13. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если его длина равна 6 см, ширина – 7 см, а диагональ 11 см. а) 252 см3; б) 24 см3; в) 85 см3.

14.Найдите объём треугольной пирамиды, стороны основания которой 5 см, 5 см и 6 см, а высота равна 12 см. а) 144 см3; б) 48 см3; в) 12 см3.

15. а) Найдите объём цилиндра, если r = 6, h = 5. А) 80, В) 180 π, С) 16, Д) 21 π,

б) Найдите радиус основания цилиндра , если V = 100 π, h = 25. А) 2, В) 20 π, С) 4, Д) 4.

16. а) Найдите объём конуса, если r = 4, h = 6. А) 32 π, В) 4, С) 8 π, Д) 8,

б) Найдите высоту конуса , если V = 144 π, r = . А) 4, В) 8 π, С) 144 π, Д) 4 π,

17. Найдите объём усеченного конуса, если h = 3, r1 = 3, r2 = 4. А) 74, В) 74 π, С) 37, Д) 37 π.

18.а) Найдите объём шара, если его диаметр d = 6. А) 36, В) 36 π, С) 216 π, Д) 216,

б) Найдите радиус шара, если V = 112500 π, h = 30. А) 60 π, В) 75 π, С) 60, Д) 75.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-3,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-2.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

Самостоятельная работа № 16

Тема: Типовой расчет по теме «Простейшие задачи в координатах».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Простейшие задачи в координатах»,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 5. §1.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Дано: ΔАВС, А(-2; 0; 1), В(-1; 2; 3), С(8; -4; 9). ВМ - медиана.

Найти: координаты вектора BM . Решение: По определению медианы, М - середина отрезка АС. Следовательно, координаты М найдем по формулам координат середины отрезка  M ((82)/2, (4+0)/2,(9+1)/2), M(3,2,5). BM{3+1,22,53}, BM {4,4,2}.

Ответ: {4; 4; 2}.

Пример 2. Дано: А(1; 5; 3), В(7; -1; 3), С(3;2; 6). Доказать: ΔABC - прямоугольный. Решение: По формуле расстояния между двумя точками найдем
длины отрезков АВ, АС, ВС.
AB2 = (7 + 1)2 + (5 + 1)2 + (33)2, AB2 = 64 + 36 = 100, BC2 = (73)2 + (2 + 1)2 + (6 3)2, BC2 = 16 + 1 + 9 = 26, AC2 = (3 + 1)2 + (5 + 2)2 + (63)2, AC2 = 16 + 49 + 9 = 74. Проверим равенство АВ2 = ВС2 + АС2, 100 = 26 + 74 верно. По теореме обратной теореме Пифагора делаем вывод, что ΔABC - прямоугольный с гипотенузой АВ.
Ответ: ΔABC - прямоугольный с гипотенузой АВ.

Пример 3. Дано: ΔАВС; М, N, К - середины сторон соответственно АВ, ВС, АС. М(3; 2; 5), N(3,5; 1; 6), К(1,5; 1; 2). Найти: координаты А, В, С.
Решение: Пусть A (х1; у1z1), В(х2; у2z2), С(х3; у3z3). По формулам координат середины отрезка составим системы для абсцисс, ординат и аппликат. Пользуясь методом сложения, решим эту систему:

Ответ: А(2; 0; 1), В(8; 4; 9), С(1; 2; 3).

Пример 4. Дано: А(2; 1; 2), B(6; 3; 2), С  оси OZ; АС = ВС. Найти: координаты точки С.

Решение: По условию С  оси OZ, значит она имеет координаты С(0; 0; z) и АС = ВС. Составим уравнение, пользуясь формулой расстояния между двумя точками: 

4 + 1 + (z 2)2 = 36 + 9 + (z + 2)2, 5 + z2 – 4z + 4 = 45 + z2 + 4z + 4, 8z = 40, z = 5. Ответ: (0; 0; 5).

Пример 5. Дано: А(2; 1; 2), B(6; 3; 2), С (0; 0; 5); АС = ВС. Найти: SABC).

Решение: По формуле координат середины отрезка АВ найдем координаты точки М — середины: M ((62)/2, (1 + 3)/2,(22)/2), M(4,2,0).
AB2 = (6 + 2)2 + (31)2 + (2 + 2)2 = 16 + 4 + 16 = 36, AB = 6.

 СМ-высота равнобедренного ΔABC. CM2 = (40)2 + (20)2 + (0 (5))2 = 16 + 4 + 25 = 45, CM = 3 , SABC) = AB · CM : 2 = 6 · 3 : 2 = 9.
Ответ: 9.

Задание: 1вариант.

  1. Дано: ΔАВС; А(1; 2; 3), B(1; 0; 4), С(3; 2; 1). AM - медиана.

Найти: координаты вектора AM .

  1. Дано: А(1; 5; 3), В(1; 3; 9), С(3; 2; 6).Доказать: ΔAВС - прямоугольный.

  2. Дано: ΔАВС, М, N, К - середины сторон соответственно ABBС, AС. М(3; 2; 4), N(6; 4; 10), К(7; 2; 12). Найти: координаты вершин А, В, С.

  3. Дано: A(4; 5; 4), B(2; 3; 4); С  оси  OXAC = ВС. Найти: координаты точки С.

  4. Дано: А(4; 5; 4), B(2; 3; 4), С(1; 0; 0), АС = ВС. Найти: S(ΔABC).

2 вариант.

  1. Дано: ΔАВС; А(1; 4; 3), B(2; 0; 4), С(4; 2; 2). AM - медиана.

Найти: координаты вектора AM .

  1. Дано: А(1; 4; 2), В(7; 2; 2), С(3; 2; 6).Доказать: ΔAВС - прямоугольный.

  2. Дано: ΔАВС, М, N, К - середины сторон соответственно ABBС, AС. М(3; 2; 1), N(3; 2; 2), К(2; 4; 3).Найти: координаты вершин А, В, С.

  3. Дано: A(1; 2; 1), B(3; 2; 1); С  оси  OXAC = ВС. Найти: координаты точки С.

  4. Дано: А(1; 2; 1), B(3; 2; 1), С(0; 0; 1), АС = ВС. Найти: S(ΔABC).

Критерии оценки: Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5, Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4, Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы: Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.







Самостоятельная работа № 17

Тема: Типовой расчет по теме «Скалярное произведение векторов».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Скалярное произведение векторов»,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 5. §2.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Даны векторы hello_html_m411373b9.jpgВычислите hello_html_m255ec84f.jpg

Решение: hello_html_m75aa0817.jpg
Ответ: 6.
Пример 2. Вычислить угол между прямыми AB и CD, если А(; 1; 0), В(0; 0; 2), С(0; 2; 0), D(; 1; 2). Решение:

hello_html_30566bad.jpg
Ответ:
60°.
Пример 3. Найдите скалярное произведение hello_html_mde78fa2.jpgесли hello_html_m3e197e0a.jpg Решение: hello_html_mde78fa2.jpg = 3·  cos 120° = 12· (1/2) = 6.
Ответ: 6.
Пример 4. В кубе ABCDA1B1C1D1 диагонали грани ABCD пересекается в точке N, а точка M ежит на ребреA1D1, причем А1М : MD1 = 1 : 4.Вычислите синус угла между прямой MN и плоскостью грани DD1C1C. Дано: ABCDA1B1C1D1 - куб, AC ∩ BD N A1D1, А1М : MD1 = 1 : 4 (рис.). Найти:  sin(MN,(DD1C1C)).
Решение: Введем систему координат так, чтобы В(0; 0; 0), АВ  ох, ВС  оу, ВВ1  oz, А(а; 0; 0), С(0; а; 0), D(а; а; 0), В1(0; 0; а), А1(а; 0; а), С1(0; aa), D1(а; а; а), М(а; a/5; a), 
N(a/2;a/2; 0).Угол между прямой и плоскостью –это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. hello_html_m1dc61b1.jpg В ΔMFNhello_html_5450a8af.jpg так как hello_html_6c6424dc.jpghello_html_7f82cb27.jpg Значит, hello_html_m399731d3.jpg 
Ответ: hello_html_m249782ba.jpg.hello_html_4ab53b1a.jpg

Пример 5. Дано: прямые АВ и CD; А(8; 2; 3), В(3; 1; 4), С(5; 2; 0), D(7; 0; 2). Найти: hello_html_m7b608a66.jpgРешение: hello_html_m53566d8c.jpg hello_html_17d41745.jpghello_html_m32b98f0.jpg Так как углом между прямыми считают острый угол, то hello_html_m3112ab02.jpg 
Ответ: 5/9.

Задание: 1вариант.

  1. Даны векторы hello_html_13c664e1.jpg Вычислите hello_html_m255ec84f.jpg 

  2. Вычислите угол между прямыми АВ и CD, если А(6; 4; 8), В(8; 2; 4), С(12; 6; 4), D(14; 6; 2).

  3. Найдите скалярное произведение hello_html_47df0bda.jpg если hello_html_4cc243af.jpg

  4. В кубе ABCDA1B1C1D1 диагонали грани ABCD пересекается в точке N, а точка M ежит на ребреA1D1, причем А1М : MD1 = 1 : 4. Вычислите синус угла между прямой MN и плоскостью грани  AA1D1D.

  5. Дано: прямые АВ и CD; А(7; 8; 15), В(8; 7; 13), С(2; 3; 5),  D(1; 0; 4). Найти: hello_html_66809286.jpg

2 вариант.

  1. Вычислите скалярное произведение hello_html_6774ecbf.jpg если hello_html_6f5e66b5.jpg

  2. Вычислите угол между прямыми АВ и CD, если А(3; 2; 4), В(4; 1; 2),
    С(6; 3; 2), 
    D(7; 3; 1).

  3. Найдите скалярное произведение hello_html_47df0bda.jpg если hello_html_4cc243af.jpg120 °.

  4. В кубе ABCDA1B1C1D1 диагонали грани ABCD пересекается в точке N, а точка M ежит на ребреA1D1, причем А1М : MD1 = 1 : 4. Вычислите синус угла между прямой MN и плоскостью грани  ABCD.

  5. Дано: прямые АВ и CD; А(4; 1; 2), В(5; 0; 1), С(3; 1; 0),  D(7; 3; 4). Найти: hello_html_66809286.jpg


Критерии оценки: Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5, Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4, Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы: Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

Самостоятельная работа № 18

Тема: Решение теста по теме «Координаты и векторы».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Координаты и векторы»,

  • развитие вычислительных умений и навыков: вычисления по формулам координат векторов;

Методические рекомендации к выполнению теста:

Решив задачу, нужно выбрать правильный ответ и записать номер, под которым он записан.

Задание: Тест по теме: « Координаты и векторы ».



  1. Найти сумму векторов AB и BC .

  1. AC , B) CA, C) BA , D) CB .

  1. Дано: a{1, 1, 3}, b {0,2; 0}. Найти координаты вектора c = a + b .

  1. c {0, 0, 1}, B) c {1, 1, 3}, C) c {1, 0, 3}, D) c {1; 1,1}.

  1. Дано: a {5, 4, 3}, b {0, 1, 1} . Найти координаты вектора c = ab.

  1. c {4, 3, 2}, B) c {0, 2, 3}, C) c {5, 3, 2}, D) c {5, 4, 2}.

  1. Дано: a {2, -3, 4}, k = 5. Найти координаты вектора c = k · a.

  1. c {10, 15, 20}, B) c {10, 10, 4}, C) c {10, 15, 8}, D) c {10, 0, 8} .

  1. Дано: A (5, 4, 7), B (10, 10, 0). Найти координаты вектора AB.

  1. {5, 0, 3}, B){0, 4, 6}, C) {5, 6, 7}, D) {5, 6, 3}.

  1. Дано: A (10, 4, -3), B (-6, 2, 1). Найти координаты точки M – середины отрезка AB.

  1. M (2, 3, 1), B) M (2, 3, 1), C) M (2, 3, 0), D) M (2, 3, 0).

  1. Дано: a {0, 5, 0} . Найти длину вектора.

  1. 4, B) 0, C) 3, D) 5.

  1. Дано: a {2, 2, 1}. Найти длину вектора.

  1. 3, B) 4, C) 0, D) 5.

  1. Дано: a {0, 1, 1}, b {2, 2, 1}. Найти a · b.

  1. 5, B) 4, C) 3, D) 1.

  1. Дано: a {1, 2, 3}, b {5, х, 1} , a · b = 4, х - ?

  1. 5, B) 10, C) 6, D) 1.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-10,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-8,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-5.



Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.



Тема: Составление опорного конспекта «Основные понятия комбинаторики».

Цель работы:

  • повторить понятия: правило произведения, перестановки, перебор вариантов, размещения, сочетания, треугольник Паскаля, бином Ньютона ;

  • повторить понятия: событие, вероятность события, несовместимые события, независимые события, сложение и умножение вероятностей;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Перестановки, размещения, сочетания, задачи на перебор вариантов;

  2. Треугольник Паскаля, примеры;

  3. Формула бинома Ньютона;

  4. Примеры вычисления вероятности событий с помощью треугольника Паскаля и бинома Ньютона;

  5. Несовместимые события, примеры;

  6. Сумма несовместимых событий, примеры;

  7. Независимые события, примеры;

  8. Умножение вероятностей ;

  9. Произведение вероятностей для независимых событий, примеры ;

Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.


Самостоятельная работа № 20

Тема: Типовой расчет по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей».

Цель работы:

  • повторить понятия: событие, противоположное событие, вероятность события ;

  • формирование умения решать простейшие текстовые задачи на расчет вероятности случайного события;

  • повторить понятия: дискретная случайная величина, ее числовые характеристики, функция распределения;

  • формирование умения решать простейшие текстовые задачи на расчет числовых характеристик дискретной случайной величины ;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс, глава 12-13.

Решение типовых заданий:

Пример 1. a)В партии из 100 деталей имеется 5 бракованных. Определить вероятность того, что, взятая наугад, деталь окажется стандартной.

Решение: А: взятая наугад деталь оказалась стандартной.

Число исходов, благоприятствующих наступлению события А, равно 95.Поэтому вероятность события равна P(A) = m/ n = 95/100 = 0,95 .hello_html_m27618eb7.gif Ответ: 0,95.

б) Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «книга». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы, а затем собрал их в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получится слово «книга».

Решение: А: из рассыпанных букв сложится слово «книга»

Число всех возможных исходов равно n = Pn = 5! = 120.

Число исходов, благоприятствующих событию А равно m =1.

Вероятность события А равна P(A) = m/ n = 1/120 = 0,0083 .hello_html_m27618eb7.gif 

Ответ: 0,0083.

Пример 2.a) В коробке лежат 8 зеленых, 7 синих и 15 красных карандашей. Вычислить вероятность того, что взятый наугад карандаш будет, синим или зеленым.

Решение: А: взяли синий карандаш, В: взяли зеленый карандаш, С: взяли синий или зеленый карандаш. Событие С равно сумме событий А и В: С = А + В

Вероятность события А равна P(A) = m/ n = 7/30. 

Вероятность события В равна P(B) = m/ n = 8/30. 

Вероятность события С равна P(C) = P(A) = 7/30 8/30 = 15/30 = 0,5.

Ответ: 0,5. б) В урне лежат шары, двузначные номера которых составлены из цифр 1,2,3,4,5. Какова вероятность вынуть шар с номером 15? Решение: А: вынут шар с номером 15.

Число всех возможных исходов равно n =

Число исходов, благоприятствующих событию А, m = 1.

Вероятность события А равна P(A) = m/ n = 1/20 = 0,05 .

Ответ: 0,05.

Пример 3.a) Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наугад. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

Решение: А: абонент наугад набрал нужные цифры.

Число всех возможных исходов равно n =

Число исходов, благоприятствующих событию А, m = 1

Вероятность события А равна P(A) = m/ n = 1/90 = 0,011. 

Ответ: 0,011.

б) Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов равны соответственно 0,05 и 0,08. Найти вероятности отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент. 

Решение: Пусть событие А — «устройство не работает», В1 — «отказал первый элемент», 

В2 — « отказал второй элемент». Событие А соответствует тому, что может отказать один из «цементов либо оба элемента. События  В1 и В2  независимы в совокупности, поэтому:

q1 = 10,05 = 0,95,   q2 = 10,08 = 0,92. P(A) = 1 q1q2= 10,950,92 = 10,874 = 0,126.

Ответ:  0,126.

Пример 4. a)Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.

Решение: Пусть p - вероятность попадания в цель при одном выстреле. Введем событие 

X = {при четырех выстрелах есть хотя бы одно попадание} и противоположное ему событие  

= {при четырех выстрелах нет ни одного попадания}.

Вероятность события  равна P(  ) = (1p)4, тогда вероятность события Х равна 

P(X) =1P(  ) = 1 (1p)4. По условию эта вероятность равна 0,9984, откуда получаем уравнение относительно p: 1 (1p)4 = 0,9984, (1p)4 = 0,0016, (1p) = 0,2, p = 0,8.

Таким образом, вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8.

Ответ: 0,8.

б)На полке в случайном порядке расставлено 40 книг, среди которых находится трехтомник Пушкина. Найти вероятность того, что эти тома стоят в порядке возрастания номера слева направо, но не обязательно рядом.

Решение: Используем классическое определение вероятности: P = m/n, где n- число всех равновозможных элементарных исходов, m - число элементарных исходов, благоприятствующих осуществлению события A = (Тома стоят в порядке возрастания номера слева направо, но не обязательно рядом). n=403938=59280, так как первый том можно поставить на любое из 40 мест, второй - на любое из 39 мест и третий - на любое из оставшихся 38 мест.

А число m= 40! / (37! 3!) = (403938) : (123) = 9880.

Тогда искомая вероятность P(A)= m/n = 9880/59280 = 1/6.
Ответ: 1/6.

Пример 5. а)В коробке имеется 250 лампочек, из них 100 по 90Вт, 50 - по 60Вт, 50 - по 25Вт и 50 – по 15Вт. Определить вероятность того, что мощность любой наугад взятой лампочки не превысит 60Вт.

Решение: 1. Рассматриваем следующие события: А = {мощность лампочки равна 90Вт}, вероятность Р(А) = 100/250 = 0,4; В = {мощность лампочки равна 60Вт}; С = {мощность лампочки равна 25Вт}; D = {мощность лампочки равна 15Вт}.

2. События А, В, С, D образуют полную систему, так как все они несовместны и одно из них обязательно наступит в данном опыте (выборе лампочки). Вероятность наступления одного из них есть достоверное событие, тогда Р (А)Р (В)Р (С)Р (D) = 1.

3. События {мощность лампочки не более 60Вт} (т.е. меньше или равна 60Вт), и {мощность лампочки более 60Вт} (в данном случае – 90Вт) являются противоположными. По свойству противоположных чисел Р (В)Р (С)Р (D) = 1Р (А).

4. Учитывая, что Р (В)Р (С)Р (D) = Р (ВСD), получим

Р (В СD) = 1Р (А) = 10,4 = 0,6. Ответ: 0,6. 

б) Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,7, а вторым стрелком – 0,9. Найти вероятность того, что 

1) цель будет поражена только одним стрелком; 2) цель будет поражена хотя бы одним стрелком.

Решение: 1. Рассматриваем следующие события:
А
1 = {первый стрелок поражает цель}, Р (А1) = 0,7 из условия задачи;
А̄
1 = {первый стрелок промахнулся}, при этом Р (А1)Р (А̄1) = 1, поскольку А1 и А̄1 – противоположные события. Отсюда Р (А̄1) = 10,7 = 0,3;
А
2 = {второй стрелок поражает цель}, Р (А2) = 0,9 из условия задачи;
А̄
2 = {второй стрелок промахнулся}, при этом Р (А̄2) = 10,9 = 0,1.

2. Событие А={цель поражена только одним стрелком} означает, что наступило одно из двух несовместных событий: либо А1А̄2, либо А̄1А2.
По правилу сложения вероятностей Р (А) = Р (А1А̄2) + Р (А̄1А2).По правилу умножения вероятностей независимых событий:
Р (А1А̄2) = Р (А1)Р (А̄2) = 0,70,1= 0,07; Р (А̄1А2) = Р (А̄1)Р (А2) = 0,30,9 = 0,27.
Тогда Р (А)= Р (А1А̄2) Р (А̄1А2) = 0,070,27 = 0,34.

3. Событие B ={цель поражена хотя бы одним стрелком} означает, что либо цель поразил первый стрелок, либо цель поразил второй стрелок, либо цель поразили оба стрелка.

Событие B̄ = {цель не поражена ни одним стрелком} является противоположным событию В, а значит Р(В) = 1Р (B̄).
Событие B̄ означает одновременное появление независимых событий Ā1 и Ā2, следовательно Р (B̄) = Р (Ā12) = Р (Ā1)Р (Ā2) = 0,30,1 = 0,03. Тогда Р (В) = 1Р (B̄) = 10,03 = 0,97.

Ответ: 1) 0,34; 2) 0,97.

Пример 6. Выпущено 1000 лотерейных билетов: на 5 из них выпадает выигрыш в сумме 500 рублей, на 10 – выигрыш в 100 рублей, на 20 – выигрыш в 50 рублей, на 50 – выигрыш в 10 рублей. Определить закон распределения вероятностей случайной величины X – выигрыша на один билет.

Решение: По условию задачи возможны следующие значения случайной величины X:

0, 10, 50, 100 и 500.

Число билетов без выигрыша равно 1000 – (5+10+20+50) = 915, тогда P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Аналогично находим все другие вероятности: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X=500) = 5/1000=0,005. Полученный закон представим в виде таблицы:


Пример 7. a)Закон распределения случайной величины X имеет вид:

Вычислить Dx   и Ϭx .

Решение: Найдем вначале математическое ожидание случайной величины X:

Mx = .

Вычислим дисперсию Dx :Dx = .

Тогда среднее квадратическое отклонение: Ϭx = .

Ответ: Dx = 1, Ϭx = 1.

б) Закон распределения случайной величины X имеет вид:

Найти x. Составить функцию распределения. Вычислить: P{X > 0,7} , Mx , Dx и Ϭx .

Решение. Согласно условию нормировки имеем уравнение: 0,1   Отсюда x = 0,7 . Далее, воспользовавшись рядом распределения, найдем:

P{X > 0,7} = P {X = 1}P{X = 2} = 0,2 0,7 = 0, 9; Mx =

Dx = ; Ϭx = .

Ответ: x = 0,7 ; P{X > 0,7} = 0, 9; Mx Dx ; Ϭx

Пример 8. a)Известно, что случайная величина X, принимающая два значения  x1 = 2 и x2 = 3 , имеет математическое ожидание, равное 2,2. Построить ряд распределения случайной величины X, найти дисперсию, среднее квадратическое отклонение и составить функцию распределения.

Решение. Пусть P{X = 2} = p . Тогда, согласно условию нормировки,P{X = 3} = 1  . Используя определение математического ожидания, получим Mx = 2p . Имеем уравнение 3 , откуда находим p = 0,8 . Ряд распределения имеет вид:

Теперь вычислим дисперсию и среднее квадратическое отклонение:

Dx = ; Ϭx =  .

Согласно определению функция распределения имеет вид

Fx(x) =

Ответ: Dx ; Ϭx =   Fx(x) =

б) Возможные значения случайной величины X таковы: x1 = 2 , x2 = 3, x3 = 3 . Известно, что Mx = 2,3 ,α2 = 5,9 . Найти вероятности, соответствующие возможным значениям X, и записать ряд распределения.

Решение. Ряд распределения, с учетом возможных значений случайной величины X, будет выглядеть следующим образом:

Найдем вероятности p1 , p2 и p3, соответствующие возможным значениям X.

По условию Mx = 2,3 , поэтому имеем первое уравнение, связывающее p1p2 и p3 :

 . Аналогично из условия α2 = 5,9   получим второе уравнение:

 . Третье уравнение возникает из условия нормировки:

p1 p2 p3 = 1. Итак, имеем систему:


Ответ: ряд распределения имеет вид

Пример 9. Имеется боезапас 4 патрона. Ведётся независимая стрельба по мишени с вероятностью попадания при каждом выстреле 0.2. Построить ряд распределения с.в. --- числа выстрелов, если стрельба ведётся: 1) до 1-го попадания или окончания боезапаса;2) до 2 попаданий (не обязательно подряд) или окончания боезапаса.

Решение: 1). Возможные значения с.в. : 1,2,3, 4; попадание --- успех (У); промах --- неудача (Н);

;

(мы записали, какие элементарные исходы соответствуют каждому знач. с.в.)

; = 0,16; = 0,128;

= 0,512. Ряд распределения с.в. будет выглядеть с.о.

2). Возможные значения с.в. : 2,3, 4; попадание --- успех (У); промах --- неудача (Н);

;

(мы записали какие элементарные исходы соответствуют каждому знач. с.в.)

;

. Ряд распределения с.в. будет выглядеть с.о.

Пример 10. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте, построить многоугольник распределения. Найти функцию распределения F(x) и построить ее график. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины.

Решение. 1. Дискретная случайная величина X={число отказавших элементов в одном опыте} имеет следующие возможные значения: х1= 0 (ни один из элементов устройства не отказал), х2= 1 (отказал один элемент), х3= 2 (отказало два элемента) и х4= 3 (отказали три элемента).

Отказы элементов независимы друг от друга, вероятности отказа каждого элемента равны между собой, поэтому применима формула Бернулли. Учитывая, что, по условию, n = 3, р = 0,1,

q = 1р = 0,9, определим вероятности значений:
P
3(0) = С30 p0 q3-0 = q3 = 0,93 = 0,729; P3(1) = С31 p1 q3-1 = 30,10,92 = 0,243; P3(2) = С32 p2 q3-2 = 30,120,9 = 0,027; P3(3) = С33 p3 q3-3 = р3= 0,13 = 0,001;
Проверка: ∑p
i = 0,7290,2430,0270,001=1.
hello_html_7b85caba.jpg

Таким образом, искомый биномиальный закон распределения Х имеет вид:

2. Для построения многоугольника распределения строим прямоугольную систему координат.

По оси абсцисс откладываем возможные значения хi, а по оси ординат – соответствующие им вероятности рi. Построим точки М1(0; 0,729), М2(1; 0,243), М3(2; 0,027), М4(3; 0,001). Соединив эти точки отрезками прямых, получаем искомый многоугольник распределения.

3. Найдем функцию распределения F(x) = Р(Х<х):hello_html_261ad08e.jpg

Для x ≤ 0 имеем F(x) = Р(Х<0) = 0;
для 0 < x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
для 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) Р(Х=1) =0,729 0,243 = 0,972;
для 2 < x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) Р(Х = 1) Р(Х = 2) = 0,9720,027 = 0,999;
для х > 3 будет F(x) = 1, т.к. событие достоверно.
4. Для биномиального распределения Х:
- математическое ожидание М(X) = np = 30,1 = 0,3;
- дисперсия D(X) = npq = 3∙ 0,10,9 = 0,27;
 
- среднее квадратическое отклонение σ(X) = = ≈ 0,52.


Задание:

1 вариант.


  1. a)В партии из 100 деталей имеется 3 бракованных. Определить вероятность того, что, взятая наугад, деталь окажется стандартной.

б) Из 4 букв разрезной азбуки составлено слово «мама». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы, а затем собрал их в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получится слово «мама».

  1. a)В коробке лежат 5 зеленых, 3 синих и 12 красных карандашей. Вычислить вероятность того, что взятый наугад карандаш будет, синим или зеленым.

б) В урне лежат шары, двузначные номера которых составлены из цифр 1,2,3,4. Какова вероятность вынуть шар с номером 123?

  1. a)Набирая номер телефона, абонент забыл последние 3 цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наугад. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

б) Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов равны соответственно 0,04 и 0,09. Найти вероятности отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент. 

  1. a)Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна 0,9919. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.

б)На полке в случайном порядке расставлено 21 книга, среди которых находится трехтомник Пушкина. Найти вероятность того, что эти тома стоят в порядке возрастания номера слева направо, но не обязательно рядом.

  1. a)В коробке имеется 200 лампочек, из них 60 по 90Вт, 60 - по 60Вт, 40 - по 25Вт и 40 – по 15Вт. Определить вероятность того, что мощность любой наугад взятой лампочки не превысит 60Вт.

б) Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,4, а вторым стрелком – 0,7. Найти вероятность того, что 

1) цель будет поражена только одним стрелком;

2) цель будет поражена хотя бы одним стрелком.

  1. Выпущено 200 лотерейных билетов: на 5 из них выпадает выигрыш в сумме 500 рублей, на 10 – выигрыш в 100 рублей, на 20 – выигрыш в 50 рублей, на 40 – выигрыш в 10 рублей. Определить закон распределения вероятностей случайной величины X – выигрыша на один билет.

  2. a)Закон распределения случайной величины X имеет вид:

X

1

0

1

2

P

0,1

0,15

0,3

0,45

Вычислить Dx и Ϭx . б) Закон распределения случайной величины X имеет вид:

X

0

1

2

P

0,2

0,3

x

Найти x. Составить функцию распределения. Вычислить: P{X > 0,7} , Mx , Dx и Ϭx .

  1. a)Известно, что случайная величина X, принимающая два значения  x1 = 2 и x2 = 3 , имеет математическое ожидание, равное 2,4. Построить ряд распределения случайной величины X, найти дисперсию, среднее квадратическое отклонение и составить функцию распределения.

б) Возможные значения случайной величины X таковы: x1 = 2 , x2 = 3, x3 = 3 . Известно, что Mx = 2,5 ,α2 = 6,7 . Найти вероятности, соответствующие возможным значениям X, и записать ряд распределения.

  1. Имеется боезапас 4 патрона. Ведётся независимая стрельба по мишени с вероятностью попадания при каждом выстреле 0.2. Построить ряд распределения с.в. --- числа выстрелов, если стрельба ведётся: до двух попаданий подряд или окончания боезапаса.

  2. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,2. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте, построить многоугольник распределения. Найти функцию распределения F(x) и построить ее график. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины.


2 вариант.

  1. a)В партии из 100 деталей имеется 6 бракованных. Определить вероятность того, что, взятая наугад, деталь окажется стандартной.

б) Из 3 букв разрезной азбуки составлено слово «сон». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы, а затем собрал их в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получится слово «сон».


  1. a)В коробке лежат 7 зеленых, 2 синих и 11 красных карандашей. Вычислить вероятность того, что взятый наугад карандаш будет, синим или зеленым.

б) В урне лежат шары, двузначные номера которых составлены из цифр 1,2,3,4. Какова вероятность вынуть шар с номером 42?

  1. a)Набирая номер телефона, абонент забыл последние 4 цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наугад. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

б) Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов равны соответственно 0,03 и 0,07. Найти вероятности отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент. 

  1. a)Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна 0,9744. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.

б)На полке в случайном порядке расставлено 34 книга, среди которых находится трехтомник Пушкина. Найти вероятность того, что эти тома стоят в порядке возрастания номера слева направо, но не обязательно рядом.

  1. a)В коробке имеется 400 лампочек, из них 280 по 90Вт,40 - по 60Вт, 40 - по 25Вт и 40 – по 15Вт. Определить вероятность того, что мощность любой наугад взятой лампочки не превысит 60Вт.

б) Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,5, а вторым стрелком – 0,8. Найти вероятность того, что 

1) цель будет поражена только одним стрелком;

2) цель будет поражена хотя бы одним стрелком.

  1. Выпущено 200 лотерейных билетов: на 5 из них выпадает выигрыш в сумме 500 рублей, на 15 – выигрыш в 100 рублей, на 30 – выигрыш в 50 рублей, на 60 – выигрыш в 10 рублей. Определить закон распределения вероятностей случайной величины X – выигрыша на один билет.

  1. a)Закон распределения случайной величины X имеет вид:

X

1

0

1

2

P

0,1

0,25

0,3

0,35

Вычислить Dx и Ϭx . б) Закон распределения случайной величины X имеет вид:

X

0

1

2

P

0,1

0,3

x

Найти x. Составить функцию распределения. Вычислить: P{X > 0,7} , Mx , Dx и Ϭx .

  1. a)Известно, что случайная величина X, принимающая два значения  x1 = 2 и x2 = 3 , имеет математическое ожидание, равное 2,3. Построить ряд распределения случайной величины X, найти дисперсию, среднее квадратическое отклонение и составить функцию распределения.

б) Возможные значения случайной величины X таковы: x1 = 2 , x2 = 3, x3 = 3 . Известно, что Mx = 2,6 ,α2 = 7,2 . Найти вероятности, соответствующие возможным значениям X, и записать ряд распределения.

  1. Имеется боезапас 4 патрона. Ведётся независимая стрельба по мишени с вероятностью попадания при каждом выстреле 0.2. Построить ряд распределения с.в. --- числа выстрелов, если стрельба ведётся: до 2 попаданий подряд или пока есть возможность такого исхода.

  2. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,3. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте, построить многоугольник распределения. Найти функцию распределения F(x) и построить ее график. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5, Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4, Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №












Самостоятельная работа № 21

Тема: Решение теста по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей».

Цель работы: повторить, закрепить основные понятия по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей».

Методические рекомендации к выполнению теста: Решив задачу, нужно выбрать правильный ответ и записать номер, под которым он записан.

Задание:

1 вариант.

1. Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных уроков?

1) 30; 2) 100; 3) 120; 4) 5 ;

2.В денежно-вещевой лотерее на 1000000 билетов разыгрывается 1200 вещевых и 800 денежных выигрышей. Какова вероятность выигрыша?

1) 0,02; 2) 0,00012 ; 3) 0,0008; 4) 0,002;

3. В футбольной команде 11 человек. Необходимо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

1) 22; 2) 11; 3) 150; 4) 110;

4.Завод выпускает 15% продукции высшего сорта, 25% - первого сорта, 40% - второго сорта, а все остальное – брак. Найти вероятность того, что выбранное изделие не будет бракованным.

1) 0,8; 2) 0,1; 3) 0,015; 4) 0,35;

5. Аня решила сварить компот из фруктов 2-ух видов. Сколько различных вариантов (по сочетанию фруктов) компотов может сварить Аня, если у нее имеется 7 видов фруктов?

1) 14; 2) 10; 3) 21; 4) 30;

6. Каждый из трех стрелков стреляет в мишень по одному разу, причем вероятность попадания 1 стрелка составляет 80%, второго – 70%, третьего – 60%. Найдите вероятность того, что двое из трех стрелков попадет в мишень.

1) 0,336; 2) 0,452; 3) 0,224; 4) 0,144;

7. Вычислите: . 1) 48; 2) 94; 3) 56; 4) 96;

8. Дана выборка: 3; 8; 5; 3; 6; 8; 9; 2; 8. Найти моду. 1) 3; 2) 8; 3) 5; 4) 6;

9.Дана выборка: 7; 4; 5; 3; 6; 8; 7; 2; 7. Найти медиану. 1) 7 ; 2) 8 ; 3) 5 ; 4) 6 ;

10. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 30% этих стекол, вторая  — 70%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 4%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло, окажется бракованным.

1) 0,03; 2) 0,009; 3) 0,037; 4) 0,028;

2 вариант.

1. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

1) 100; 2) 30; 3) 5; 4) 120;

2. В ящике лежат карточки с буквами, из которых можно составить слово «электрификация». Какова вероятность того, что наугад выбранная буква окажется буквой к?

1) ; 2) 7; 3) ; 4) ;

3. В теннисном турнире участвуют 10 спортсменов. Сколькими способами теннисисты могут завоевать золото, серебро и бронзу?

1) 600; 2) 100; 3) 300; 4)720;

4. Музыкальная школа проводит набор учащихся. Вероятность быть не зачисленным во время проверки музыкального слуха составляет 40%, а чувство ритма – 10%. Какова вероятность положительного тестирования?

1) 0,5; 2) 0,4; 3) 0,6; 4) 0,04;

5. На полке стоят 12 книг. Наде надо взять 5 книг. Сколькими способами она может это сделать?

1) 792; 2) 17; 3) 60; 4) 300;

6. Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие, окажется высшего сорта равна 0,8. Найдите вероятность того, что из трех проверенных изделий только два высшего сорта.

1) 0,384; 2) 0,5; 3) 0,3; 4) 0,4;

7. Вычислите: . 1) 1; 2) 13; 3) 12; 4) 32;

8. Дана выборка: 5; 8; 5; 4; 6; 2; 5; 2; 4. Найти моду. 1) 4 ; 2) 8 ; 3) 5 ; 4) 6 ;

9. Дана выборка: 4; 7; 9; 3; 2; 5; 6; 7; 3. Найти медиану. 1) 7 ; 2) 5; 3) 6 ; 4) 2 ;

10. На сборочное предприятие поступили однотипные комплектующие с трех заводов в количестве: 35 с первого завода, 15 со второго и 50 с третьего. Вероятность качественного изготовления изделий на первом заводе 0,8, на втором 0,7, на третьем 0,8. Какова вероятность того, что взятое случайным образом изделие окажется качественным?

1) 0,280; 2) 0,175; 3) 0,495; 4) 0,855.


Критерии оценки:


Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-10,с записью решения, даже с недочетами.


Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-8, с записью решения, даже с недочетами.


Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-5.


Требования к оформлению самостоятельной работы: Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.



































Самостоятельная работа № 22

Тема: Составление опорного конспекта « Степень числа и ее свойства».

Цель работы:

  • повторить понятия: степень числа , основание и показатель степени, свойства степени;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом .

План работы:

  1. Определение понятия «Степень числа»;

  2. Определение основания и показателя степени;

  3. Свойства степени числа;

  4. Примеры на вычисление степени числа ;

  5. Составить таблицу степеней от 1 до 10 чисел от 2 до 9;

Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.











Самостоятельная работа № 23

Тема: Составление опорного конспекта «Пропорция».

Цель работы:

  • повторить понятия: отношения величин, пропорции, свойство пропорции, виды пропорций;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Определение отношения величин;

  2. Составить таблицу перехода от одних величин к другим (единицы измерения массы, времени);

  3. Примеры на вычисление отношения величин;

  4. Определение понятия пропорции;

  5. Виды пропорций;

  6. Свойство пропорции;

  7. Примеры на вычисление пропорций;

  8. Примеры на вычисление пропорций профессионального характера.

Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.








Тема: Решение криптограмм по теме «Уравнения».

Цель работы:

  • повторить решение линейных уравнений;

  • расширение кругозора обучающихся;

  • развитие творческого интереса к математике;

  • воспитание стойкости, находчивости, любознательности;



Методические рекомендации :

Криптограммы- это зашифрованное письмо, где с помощью цифр можно найти ответ на вопрос или составить цитату, используя таблицу «цифра-буква».

В этой работе надо решить линейные уравнения, найти их корни, а затем по таблице найти ответ на вопрос или составить цитату.

Пример: (из к-2)

Решив уравнения, найти ответ на вопрос: «Что есть у каждого слова, растения и уравнения?»

1)2х -15 =5, 2) х + 6 = 20, 3) 12 – х = - 4, 4) 3х -8 = 10,5) 15 – х = 2, 6) х - 15 = 10 ,

Решение: решив данные уравнения, получим числа 10, 14, 16, 6, 13,25 ,

по таблице найдем буквы к, о, р, е, н, ь. Ответ: корень.

Задание: К-1. Составить цитату:

  1. 22 6 11 14 3 6 10 *15 14 5 14 2 6 13 *5 16 14 2 9,22 9 17 11 9 18 6 11 25*6 6*18 14, 22 18 14*14 13* 6 17 18 25, 1* 8 13 1 12 6 13 1 18 6 11 25*18 14, 22 18 14* 14 13* 14* 17 6 2 6* 5 19 12 1 6 18. 22 6 12* 2 14 11 25 23 6*8 13 1 12 6 13 1 18 6 11 25, 18 6 12* 12 6 13 25 23 6*5 16 14 2 25. ( 11.13. 18 14 11 17 18 14 9 ).

  2. 13 6 * 5 19 12 1 9,22 18 14*4 14 3 14 16 9 18 25* 9* 5 6 11 1 18 25* 15 16 1 3 5 19* 13 19 7 13 14* 18 14 11 25 10 14 * 3 * 5 6 11 1 21* 3 1 7 13 30 21.

( 11.13. 18 14 11 17 18 14 9 ).

  1. 4 14 3 14 16 9 18 25* 9* 5 6 11 1 18 25* 15 16 1 3 5 19* 13 19 7 13 14* 3 17 6 4 5 1 , 5 1 7 6 *3* 17 1 12 30 21 * 13 6 * 15 14 8 3 14 11 28 18 25* 17 6 2 6*11 7 9. (11.13. 18 14 11 17 18 14 9).

  2. 3 9 5 6 18 25*13 6 17 15 16 1 3 6 5 11 9 3 14 17 18 25*9* 12 14 11 22 1 18 25*14* 13 6 9*--26 18 14 *8 13 1 22 9 18*17 1 12 14 12 19* 5 6 11 1 18 25* 18 1 10 19 27*7 6 * 13 6 17 15 16 1 36 5 11 9 3 14 17 18 25.(1.16. 19 17 17 14).

  3. 5 6 11 1 9 1 9 23 28 18 14, 22 18 14 3 15 14 17 11 6 5 17 18 3 9 9 13 6 14 4 14 16 22 9 18 18 6 2 28 9 13 6 15 16 9 13 19 5 9 18

16 1 17 10 1 9 3 1 18 25 17 28 . ( 15 9 20 1 4 14 16) .

  1. 13 6 5 6 11 1 9 13 9 10 14 4 5 1 18 14 4 14, 22 6 4 14 13 6 8 13 16 2325.

13 14 13 1 19 22 9 17 25 3 17 6 12 19, 22 18 14 17 11 6 5 19 6 18 8 13 1 18 25. ( 15 9 20 1 4 14 16).

  1. 13 6 15 16 6 13 6 2 16 6 4 1 9 8 5 14 16 14 3 25 6 12 17 3 14 6 4 14 18 6 11 1. ( 15 9 20 1 4 14 16).

  2. 15 16 9 19 22 1 9 17 28 7 9 18 25 15 16 14 17 18 14 9 2 6 8 16 14 17 10 14 23 9. ( 15 9 20 1 4 14 16).



К-2. Найти ответ на вопрос

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос: «Что означает слово канитель»

1) 2х – 16 = 0, 2) 5х = 4х + 14, 3) 3х = 33, 4) 7х = 5х + 28,

5) 6х = 5х + 18, 6) 14в = 14, 7) 5а – 28 = 4а,

8) 2а – 26 = 0, 9) 5х – 45 = 0, 10) 6х – 18 = 5х, 11) 7у – 25 = 6у.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос:

«Как в мифологии называется богиня утренней зари»

  1. 15в – 15 = 0, 2) 12х = 36, 3) 7у = 6у + 16, 4) 7а – 14 = 6а, 5)6у – 96=0,6)17а – 17=0.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос:

«Какое растение оказало неоценимую услугу биологии в установлении законов генетики»

  1. 5к – 20 = 0,2) 6а = 5а + 14, 3) 7к = 6к + 16, 4) 2у = у + 14, 5) 9а = 8а + 21.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос: «Что означает слово Адам»

1) 2к = к + 22, 2) 7а = 42, 3) 4к = 44, 4) 7к = 6к + 14, 5) 12к = 36, 6) 8а – 48 = 0, 7) 7к – 70 = 0.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос: «Какой древний символ мудрости?»

  1. 7к = 56,2) 2х = х + 12, 3) 4а – 24 = 0, 4) 7к = 6к + 28.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос:

«В каком городе сначала убивают, а потом арестовывают?»

  1. 14х = 28, 2) 7х = 6х + 14, 3) 9у – 21 = 8у, 4) 17а = 17, 5) 5х = 4х + 16, 6) 8к = 48, 7) 3х = 2х + 17, 8) 4а = 3а + 17.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос: «Какая самая высокая трава?»

  1. 2х = х + 15, 2) 14к = 14, 3) 7а = 77, 4) 2а = 50, 5) 4к = 48, 6) 13х – 13 = 0.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос: «Кто всегда работает с огоньком?»

  1. 2х = 30, 2) 2к = к + 14, 3) 4к – 28 = 0, 4) 13а – 13 = 0, 5) 4к = 3к + 16, 6) 2х – 26 = 0, 7) 7к – 63 = 0, 8) 5к – 50 = 0.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос: «Какой самый дорогой металл?»

  1. 2х – 30 = 0, 2) 2у = у + 11, 3) 13к – 13 = 0, 4) 4а = 3а + 18,5) 3х = 27, 6) 6к = 5к + 13, 7) 15х – 15 = 0.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос: «Какой самый высокий злак?»

  1. 4х = 8, 2) 11к = 11, 3) 4х = 3х + 12, 4) 4у = 8, 5) 6к = 5к + 19, 6) 8х = 80.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос:

«Какое священное растение в Индии и Китае?»

  1. 2х = 22, 2) 2к = к + 14, 3) 7х = 6х + 18, 4) 2х = 28, 5) 5х = 4х + 17.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос: «Какое древнее название Ирака?»

  1. 4к = 3к + 15, 2) 4х – 24 = 0, 3) 7к – 16 = 6к, 4) 8х – 17 = 7х, 5) 10у – 90 = 0, 6) 5у – 28 = 4у.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос:

«Как называется всякий чужестранец у древних римлян и греков?»

1) 7х – 21 = 0,2) 12к – 12 = 0, 3) 4к = 3к + 16, 4) 5х – 25 = 0,

5) 14х = 14, 6) 3к = 48.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос:

«Как называется место впадения реки?»

  1. 2х = 38, 2) 2у = у + 17, 3) 4к – 72 = 0, 4) 3х = 75, 5) 7у – 42 = 0.



Таблица «цифра-буква».



цифра-буква

цифра-буква

цифра-буква

цифра-буква

цифра-буква

1) А

7) Ж

13) Н

19) У

25) Ь

2) Б

8) З

14) О

20) Ф

26) Э

3) В

9) И

15) П

21) Х

27) Ю

4) Г

10) К

16) Р

22) Ч

28) Я

5) Д

11) Л

17) С

23) Ш

29) Ц

6) Е

12) М

18) Т

24) Щ

30) Ы



Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнена работа полностью (к-1,к-2), с подробным решением уравнений;

Оценка «4» выставляется если : выполнена работа не полностью ( 70-80 % ) из к-1,к-2, с подробным решением уравнений;

Оценка «3» выставляется если : выполнена работа не полностью ( 50 %), уравнения решены кратко.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.







Самостоятельная работа № 25

Тема: Типовой расчет по теме «Решение систем уравнений и неравенств».

Цель работы:

  • повторить понятия: решение систем уравнений разными способами;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

Ш.А. Алимов. Алгебра 7-9 класс.

Решение типовых заданий:

Пример 1.а) Решить систему уравнений .

Решение: Значения х и у можно рассматривать как корни квадратного уравнения

z ² 5 z + 4 = 0.

Имеем: z ₁ =1, z  = 4. Оба уравнения системы симметричны относительно х и у , поэтому получаем две пары решений: если одно решение х  = 1, y  = 4, то второе будет, наоборот: х  = 4, y  = 1.

Ответ: (1;4),(4;1).

б) Решить систему уравнений .

Решение: Здесь коэффициенты при у по абсолютному значению равны между собой, но противоположны по знаку. Для получения уравнения с одним неизвестным уравнения системы почленно складываем:


___________

5х = 20;

х = 4.

Полученное значение х = 4 подставляем в какое-нибудь уравнение системы (например, в первое) и находим значение у : 2 · 4 + у = 11, y = 11 8, y = 3.

Следовательно, система имеет решение: х = 4, у = 3. Ответ: (4;3).

Пример 2. Решить систему уравнений .

Решение: .

Составляем уравнение

t ²41 t  400 = 0.

Откуда t  = 25, t  = 16. Значит х ² = 25, у ² = 16 и, наоборот, у ² = 25; x ² = 16.

1, 2 = ±5; x 3, 4 = ±4;

1, 2 = ±4; y 3, 4 = ±5.

Учитывая, что ху > 0, получаем всего четыре решения данной системы.

= 5, у  = 4; х  = -5, y  = -4; x  = 4, y  = 5; x  = -4, y  = -5.

Ответ:(5;4),(),(4;5),().

Пример 3. Решить систему уравнений .

Решение: Умножим обе части второго уравнения на 2 и прибавим к первому:

х ² у ² 2 ху  2( x y ) = 24.

Положим х  у = z , тогда z ² 2 z  24 = 0, откуда z  = 6, z  = 4. Получается две системы:

,

которые имеют два действительных решения: = 1, y  = 3 и x  = 3, y  = 1. Ответ: (1;3),(3;1).

Пример 4. Решить систему .

Решение: Пусть  , тогда  . Имеем:

z ; 15z234z 15 = 0, D = b2 – 4ас = – 4 · 15 · 15 = 1156 900 = 256,

Значит, получаем две системы уравнений:


Решим 1 систему, для этого из 2 уравнения выразим х и подставим в 1 уравнение :

x = 0,6y,

Решим 2 систему, для этого из 2 уравнения выразим у и подставим в 1 уравнение :

у = 0,6х,

Откуда находим четыре решения: x  = 3, у  = 5; х  = 3, y  = 5; x  = 5, y  = 3;

= 5, y  = 3. Ответ: (3;5),(),(5;3),().

Пример 5. Решить систему неравенств:

а) , б) , в)

Решение: а) ; Ответ: (0,5; 5].

б) . Ответ: (–1,25; 0,25].

в)

Решим 1 неравенство: , , х  = , х  = 16.

hello_html_5bd89a69.pngх


Получаем, что .
Решим 2 неравенство:х  = , х  = 4.

hello_html_5bd89a69.pngх

Получаем, что .Общее решение системы будет являться пересечением полученных промежутков, то есть . Ответ:.

Задание:

1 вариант. Решить систему уравнений :

1)а) .б) . 2) . 3) . 4) .

Решить систему неравенств: 5) а) , б) , в)

2 вариант. Решить систему уравнений :

1)а) .б) . 2). 3).4).

Решить систему неравенств: 5) а) , б) , в)

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

Самостоятельная работа № 26


Тема: Составление опорного конспекта «Функция, график и её свойства».

Цель работы:

  • повторить понятия: функция, виды функций и их свойства, область определения и множество значений функции, график функции, виды функций и их графики;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:



  1. Определение понятия «Функция»;

  2. Виды функций и их свойства;

  3. Область определения и множество значений функции;

  4. Примеры на вычисление области определения и множество значений функции;

  5. Определение понятия «График функции»;

  6. Виды функций и их графики;

  7. Примеры на построение функций;


Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.


Критерии оценки:


Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;


Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;


Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.



Самостоятельная работа № 27


Тема: Составление опорного конспекта по теме «Действия над комплексными числами».

Цель работы:

  • повторить понятия: алгебраическую, тригонометрическую и показательную форму комплексного числа; действия с комплексными числами: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Понятие комплексного числа.

  2. Алгебраическая форма комплексного числа. Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел.

  3. Возведение комплексных чисел в степень.

  4. Извлечение корней из комплексных чисел. Квадратное уравнение с комплексными корнями.

  5. Действия над комплексными числами (примеры).

Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение № 1.






Самостоятельная работа № 28


Тема: Составление опорного конспекта «Синус, косинус, тангенс числового аргумента, их знаки».

Цель работы:

  • повторить понятия: синус, косинус, тангенс числового аргумента, их знаки, их вычисление для углов в радианной мере ;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом .



План работы:



  1. Определение понятия синус, косинус, тангенс числового аргумента;

  2. Знаки тригонометрических функций ;

  3. Формулы для вычисления синуса, косинуса, тангенса , их преобразование;

  4. Примеры вычисления тригонометрических функции.


Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.


Критерии оценки:


Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;


Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;


Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.



Самостоятельная работа № 29

Тема: Типовой расчет по теме «Формулы сложения».

Цель работы:

  • повторить понятия: формулы сложения, преобразования с помощью формул сложения;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

  1. Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс, глава 5, §28.

  2. Формулы:

sin(α β) = sin α cos β cos α sin β; sin(α β) = sin α cos βcos α sin β;

cos(α β) = cos α cos β sin α sin β; cos(α β) = cos α cos β sin α sin β;

, .

Решение типовых заданий:

Пример 1.Вычислить :
а) cos 18° cos 12° sin 18° sin 12°; б) cos 107° cos 17°sin 107° sin 17°;

в) sin 17° cos 13° sin 13° cos 17°; г) sin 43° cos 13° sin 13° cos 43°;

д) , е) .

Решение: а) cos 18° cos 12° sin 18° sin 12° = cos(18°12°) = cos 30° = ;

б) cos 107° cos 17° sin 107° sin 17° = cos(107°17°) = cos 90° = 0;

в) sin 17° cos 13° sin 13° cos 17° = sin(18°12°) = sin 30° = 0,5;

г) sin 43° cos 13° sin 13° cos 43° = sin(43°13°) = sin 30° = 0,5;

д) = tg (9°51°) = tg 60° = ;

е) = tg (65°20°) = tg 45° = 1 .

Ответ: а); б) 0; в) 0,5; г) 0,5; д) ; е) 1.

Пример 2.Вычислить : а) cos π /7 cos /21 sin π/ 7sin /21; б) sin π /3 cos π /12  cos π /3sin π /12; в) .
Решение:
а)
cos π /7 cos /21 sin π /7sin /21 = cos /7 4π /21) = cos (3π /21 4π /21) =

= cos /21 = cos π /3 = 0,5.

б) sin π /3 cosπ /12 cos π /3 sin π /12 = sin /3 π /12) = sin (4π /12π /12) = sin /12 =

= sin π /4 = /2;

в) = tg (π /7 4π /21) = tg π /3 = .

Ответ: а) 0,5; б) /2; в).

Пример 3. Упростить: а) cos α cos 3α sinα sin3α; б) sin 2α cos α cos 2α sin α;

в) sin α cos 3α cos α sin 3α; г) .

Решение: а) cos α cos 3α sinα sin3α = cos (α 3α) = cos 4α;

б) sin 2α cos α cos 2α sin α = sin (2α α) = sin α;

в) sin α cos 3α cos α sin 3α = sin (αα) = sin 4α; г) = tg (x 3x) = tg 4x.

Ответ: а) cos 4α; б) sin α; в) sin 4α; г) tg 4x.

Пример 4. Упростить : а) cos α cos β sin α sin β, если α = 42 °, β = 18 °;

б) cos(x y) cos(x + y) + sin(x y) sin(x + y).

Решение: а) cos α cos β sin α sin β = cos (α β) = cos (42 ° 18 °) = cos 60 ° = 0,5.

б) cos(x y) cos(x + y) + sin(x y) sin(x + y) = cos ((x  y) – (x + y)) = cos (–2y) = cos 2y.

Ответ: а) 0,5; б) cos 2y .

Пример 5. Докажите справедливость равенства 
sin 2α ( sin 2α sin 2β ) cos 2α ( cos 2α cos 2β ) = 2 cos 
2 ( α β ) . Доказательство: sin 2α ( sin 2α sin 2β ) cos 2α ( cos 2α cos 2β ) = 
=
sin 2 2α sin 2α sin 2β cos 2 2α cos 2α cos 2β =  1 cos ( 2α 2β ) = 2 cos 2 ( αβ ) , что и требовалось доказать.

Задание:

1 вариант.

  1. Вычислить : а) cos 38° cos 22° sin 38° sin 22°; б) cos 55° cos 10°sin 55° sin 10°;

в) sin 47° cos 13° sin 13° cos 47°; г) sin 103° cos 13° sin 13° cos 103°;

д) , е) .

  1. Вычислить : а) cos  π /5 cos π /20 sin π/ 5sin π /20;

б) sin π /4 cos π /12  cos π /4sin π /12; в) .

  1. Упростить: а) cos 2α cos 6α sin 2α sin 6α; б) sin 3α cos α cos 3α sin α;

в) sin 2α cos 3α cos 2α sin 3α; г) .

  1. Упростить : а) cos α cos β sin α sin β, если α = 42 °, β = 48 °;

б) cos(2x y) cos(2x + 3y) + sin(2x y) sin(2x + 3y).

  1. Докажите справедливость равенства 
    sin 2
    α ( sin 2α sin 2β ) cos 2α ( cos 2α cos 2β ) = 2 sin 2 ( α β ) .

2 вариант.

  1. Вычислить : а) cos 95° cos 35° sin 95° sin 35°; б) cos 125° cos 35°sin 125° sin 35°;

в) sin 35° cos 25° sin 25° cos 35°; г) sin 123° cos 33° sin 33° cos 123°;

д) , е) .

  1. Вычислить : а) cos  π /5 cos 2π /15 sin π/ 5sin 2π /15;

б) sin 4π /7 cos π /14  cos 4π /7sin π /14; в) .

  1. Упростить: а) cos 4α cos 3α sin 4α sin 3α; б) sin 5α cos 3α cos 5α sin 3α;

в) sin 2α cos 7α cos 2α sin 7α; г) .

  1. Упростить : а) cos α cos β sin α sin β, если α = 12 °, β = 18 °;

б) cos(3x y) cos(3x + 2y) + sin(3x y) sin(3x + 2y).

  1. Докажите справедливость равенства 
    sin 2
    α ( sin 2α sin 2β ) cos 2α ( cos 2α cos 2β ) = 2 sin 2 ( α β ) .

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.








Самостоятельная работа № 30

Тема: Типовой расчет по теме «Решение простейших тригонометрических уравнений». 

Цель работы:

  • повторить понятия: простейшие тригонометрические уравнения, их способы решения;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс, глава 6,§33-35.

Решение типовых заданий:

Пример 1.Решите уравнение sin6xcos3x = 0.

Решение: sin6x – co3x = 0 , 2sin3x cos3x – cos3 x = 0 , сos3x(2sin3x – 1) = 0 ,

сos3x=0 или sin3x=1/2 .

3x= π/2 + π k, k , 3x = (–1)n π/6 + π n, n Z .

х1= π/6+ π k/3 , k Z, x2= ( –1)n π/18+ π n/3 , n Z .

Ответ: х1= π/6+ π k/3 , k Z; x2 = ( –1)n π/18+ π n/3 , n Z .

Пример 2. Решите уравнение (2 sin x – 1) (tg x – ) = 0.

Решение: ( 2 sin x – 1) (tg x – ) = 0,

2 sin x – 1= 0 или tg x = 0,

sin x = 1/2 tg x = ,

х1= (-1) n π/6 + π n, n Z , х2 = π/3 + π k, k .

Ответ: х1= (-1) n π/6 + π n, n Z , х2 = π/3 + π k, k .

Пример 3. Решите уравнение ( ctg x – 1) (2sin + 1) = 0.

Решение:

( ctg x – 1) (2sin + 1) = 0,

ctg x – 1 = 0 или 2sin + 1 = 0,

ctg x = 1 sin = – 1/2, х/2 = (–1) n +1 π/6 + π n, n Z,

х1 = π/4 + π k, k , х2 = (–1) n +1 π/3 + 2π n, n Z.

Ответ: х1 = π/4 + π k, k , х2 = (–1) n +1 π/3 + 2π n, n Z.

Пример 4. Решите уравнение . Решение: ,
cos (3x – 2x) = ,
cos x = ,
x =
Ответ: x =

Пример 5. Решите уравнение 2cos( х + π/3) = .

Решение:

2cos( х + π/3) = ,

cos( х + π/3) = ,

х + π/3 = ± 5π/6+2πn, nZ,

x = π/3 ± 5π/6+2πn, nZ.

x1 = π/3 + 5π/6+2πn, nZ, x1 = π/2 +2πn, nZ,

x2 = π/3 5π/6+2πn, nZ, x2 = 7π/6 +2πn, nZ.

Ответ: x1 = π/2 +2πn, nZ, x2 = –7π/6 +2πn, nZ.

Задание:

1 вариант.

  1. Решите уравнение sin4xcos2x = 0.

  2. Решите уравнение (2 sin x – )(tg x – ) = 0.

  3. Решите уравнение ( ctg x – )(2sin + ) = 0.

  4. Решите уравнение cos 4xcos3x + sin4xsin3x = / 2.

  5. Решите уравнение 2cos(х + π/4) = .

2 вариант.


  1. Решите уравнение sin2xcosx = 0.

  2. Решите уравнение (2 cos x – 1)(ctg x – ) = 0.

  3. Решите уравнение ( tg x – 1)(2sin – ) = 0.

  4. Решите уравнение cos 4xcosxsin4xsinx = / 2.

  5. Решите уравнение 2cos(х + π/6) = .


Критерии оценки:


Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,



Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,



Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.



Требования к оформлению самостоятельной работы:



Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.



Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.













































Самостоятельная работа № 31

Тема: Типовой расчет по теме «Решение тригонометрических уравнений».

Цель работы:

  • повторить понятия: виды тригонометрических уравнений, их способы решения;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

  1. Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс, глава 6,§36.

  2. Решение тригонометрических уравнений с помощью замены одной из тригонометрических функций и сведением к квадратному уравнению.

Выделим признаки, по которым произвольное тригонометрическое уравнение может быть классифицировано, как уравнение, сводящееся к квадратному.

Первым действием нужно убедиться, что все тригонометрические функции, входящие в уравнение, имеют единый аргумент. Если это не так, то их нужно свести к единому аргументу. Для этого используются формулы блока: “формулы двойного аргумента”

Вторым действием нужно пытаться привести уравнение к виду: Af 2(x) + B f(x) + C = 0 , где A,B,C – некоторые числа, f(x) – одна из тригонометрических функций. Для этого используется основное тригонометрическое тождество или взаимосвязь между тангенсом и котангенсом.

Третьим действием общая тригонометрическая функция заменяется буквой t, при этом учитывается область значений обозначаемой функции.

Таким образом, некоторые тригонометрические уравнений могут быть сведены к видам из таблицы

Решение типовых заданий:

Пример 1. a)Решите уравнение sin2 x + 5sin x – 6 = 0.

Решение: sin2 x + 5sin x – 6 = 0.

Данное уравнение соответствует (1) таблицы, поэтому делаем замену  sin x = t, t ,

получаем квадратное уравнение: t2 + 5t – 6 = 0,  находим корни  t1 = 1,t2 = – 6,

замечаем, что t2 = – 6 посторонний корень, поскольку t  ,

делаем обратную замену, т.е. решаем уравнение sin x = 1 , у которого корнями

будут числа x = π/2 +2πn, nZ . Ответ: x = π/2 +2πn, nZ.

б) Решите уравнение tg2 x – 3tg x + 2 = 0.

Решение: Данное уравнение соответствует (5) таблицы, поэтому делаем замену  tg x = t,

получаем квадратное уравнение: t2 – 3t + 2 = 0, находим корни  t1 = 1,t2 = 2, делаем обратную замену: tg x = 1, x1 = π/4 + πn, nZ  или tg x = 2, x 2= arctg 2 + πk, kZ .

 Ответ: x1 = π/4 + πn, nZ  , x 2= arctg 2 + πk, kZ .

Пример 2. Решите уравнение 2sin2 x + 3cos x – 3 = 0.

Решение: 2sin2 x + 3cos x – 3 = 0.

Данное уравнение соответствует (3) таблицы, поэтому cделаем замену cos x = t, t . Из основного тригонометрического тождества следует, что sin2x = 1 –cos2x, sin2x = 1 – t2 ,  получим квадратное уравнение: 2t2 – 3t + 1 = 0 , находим корни:

D = (3)2 42 1 = 9 8 = 1, t1= (3 + 1) : 4 = 1, t2 = (3 1) : 4 = .

делаем обратную замену: cos x = 1, x 1= n, nZ или cos x = 1 / 2, x2 =

Ответ: x 1= 2πn, nZ  , x2 =  .

Пример 3. Решите уравнение cos 2x = 4cos x – 1.

Решение: cos 2x = 4cos x – 1.

Данное уравнение непосредственно не имеет вид, описанный в таблице. Как правило, легко классифицировать уравнения, если привести тригонометрические функции в него входящие к одному аргументу. Поскольку cos 2x = cos2xsin2 x = 2 cos2x –1 , то уравнение 2 cos2x = 4 cos x сведено к (2) виду таблицы. Поэтому делаем замену cos x = t, t  и получаем неполное квадратное уравнение t2 – 2t = 0, откуда t1 = 0, t2 = 2. ( t2 = 2 посторонний корень, поскольку t  .

Делаем обратную замену: cos x = 0, x = 2πn, nZ .

Ответ: x = 2πn, nZ .

Пример 4. Решить уравнение 4 – cos2x = 4 sin x.

Решение: Вместо cos2x подставим тождественное ему выражение 1 – sin2x . Тогда исходное уравнение примет вид

4 – (1 –sin2x) = 4 sin x, 3 + sin2x = 4 sin x, sin2– 4 sin x + 3 = 0.

Если положить y = sin x, получим квадратное уравнение y2 – 4y + 3 = 0. Оно имеет корни y1= 1 и y2 = 3. Значит, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

sin x = 1 или  sin x = 3.

Уравнение sin x = 1 имеет решение . Уравнение sin x = 3 решений не имеет. Ответ: .

Пример 5. Решите уравнение 6 sin2 x+7 cos x-1= 0 .

Решение: 6 sin2 x + 7 cos x – 1= 0 .

Вместо sin2x подставим тождественное ему выражение  1 – cos2x . Тогда исходное уравнение примет вид 6(1 – cos2 x) + 7 cosx – 1=0;

6 cos2 x + 7 cos x + 5=0; 6 cos2 x – 7 cos x – 5=0;

Замена cos x = t, |t|≤1, 6t2 – 7t – 5 = 0;

D = (7)2 46 () = 49 + 120 = 169, t1= (7 13) : 12 = , t2 = (7 13) : 12 = .

t1 = ,t2 = -не удовлетворяет условию |t|≤1;

Делаем обратную замену cos x = ;

x = ±arccos() + 2πk, kZ , x = ± (π – π/3) + 2πk , kZ, x = ± 2π/3 + 2πk , kZ .

Ответ: x = ± 2π/3 + 2πk , kZ .

Пример 6. Решить уравнение .

Решение: .

Поделим обе части уравнения на cos x или sin x. Но предварительно надо доказать, что это выражение никогда не обращается в нуль. Предположим, что cos x= 0. Тогда 5sin x2∙0 = 0 , sin x = 0. Получается, что если sin x = 0, то и cos x = 0 , чего быть не может ввиду равенства . Значит можно поделить уравнение на cos x:

. Получим уравнение 5tg x 2 = 0, tg x = 2/5= 0,4.

Отсюда .

Ответ: . Пример 7. Решить уравнение : а) ; б) .

Решение: a) , , , ,

, ,

б) ,,

, можно поделить уравнение на , , , a = 3, c = 1 , k = – 2, D1 = k2ac = 4 – 3 = 1, , ,

, , .

, , .

Ответ: ,.

Пример 8. Решить уравнение 4 sin x cos x - cos2 x = 0.

Решение: 4 sin x cos x - cos2 x = 0, обе части уравнения можно поделить на .

Получим 4tg x – 1 = 0, tg x = 1/4, tg x = 0,25; x = arctg 0,25 + πn, n Z.

Ответ: x = arctg 0,25 + πn, n Z.

Пример 9. Решить уравнение .

Решение: Данное уравнение не является однородным. Но его можно превратить в однородное, заменив 3sin2x на 6sin x cos x и число 2 на .

Приведя подобные слагаемые, получим уравнение . Тогда можно обе части уравнения поделить на . Получим , a = 10, c = – 4 , k = 3, D1 = k2ac = 9 – (– 40) = 49, ,

или .

Отсюда .

Ответ: .

Пример 10. Решите уравнение 2 sin2 х –3 sinх cos х –5 cos2 х = 0 .

Решение: 2 sin2 х –3 sinх cos х –5 cos2 х = 0 .

2 sin2 х – 3 sinх cos х –5 cos2х = 0 | : cos2х ≠ 0,

2 tg 2x – 3 tg x – 5 = 0, замена tg x = t.

2 t2 – 3t – 5 = 0,

D = (3)2 42 (– 5) = 9 + 40 = 49, t1= (3 7) : 4 = 1, t2 = (3 7) : 4 = .

t1 = -1; t2 = 2,5.

Решением уравнения tg х = – 1 являются числа вида х1 = – π/2 + πk , k Z.

Решением уравнение tg х = 2,5 являются числа вида х2 = arctg 2,5+ πn, n Z.

Ответ: х1 = – π/2 + πk , k Z, х2 = arctg 2,5+ πn, n Z.



Задание:

1 вариант.

  1. a)Решите уравнение 5sin2 x +21sin x + 4 = 0 ,

б) Решите уравнение 2tg2 x – 11tg x + 5 = 0.

  1. Решите уравнение 5sin2 x – 7cos x + 1= 0.

  2. Решите уравнение cos 2x = 6cos x – 1.

  3. Решить уравнение 3 – cos2x = 3 sin x.

  4. Решите уравнение 6 sin2 x + 5 cos x– 7=0 .

  5. Решить уравнение .

  6. Решить уравнение : а) ; б) .

  7. Решить уравнение 5 sin x cos x – 3cos2 x = 0.

  8. Решить уравнение 3.

  9. Решите уравнение hello_html_5b73cee4.gif .



2 вариант.

  1. a)Решите уравнение 6cos2 x – 19cos x +3 = 0,

б) Решите уравнение 8tg2 x +10tg x + 3 = 0.

  1. Решите уравнение 8sin2 x + 10cos x – 5 = 0.

  2. Решите уравнение cos 2x = 8cos x – 1.

  3. Решить уравнение 5 – cos2x = 5 sin x.

  4. Решите уравнение 4 sin2 x + 3 cos x– 3 = 0 .

  5. Решить уравнение .

  6. Решить уравнение : а) ; б) .

  7. Решить уравнение 4 sin x cos x– 3cos2 x = 0.

  8. Решить уравнение .

  9. Решите уравнение sin2 x - 5 sin x cos x + 6 cos2 x = 0.

Критерии оценки:



Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-10,



Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-8,



Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-5.



Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

















Самостоятельная работа № 32

Тема: Решение теста по теме «Решение тригонометрических неравенств».

Цель работы: повторить, закрепить основные понятия по теме «Решение показательных и логарифмических неравенств». Методические рекомендации к выполнению теста: Решив задачу, нужно выбрать правильный ответ и записать номер, под которым он записан. Задание:

  1. Выберите нужно неравенство, решение которого изображено рисунке (цифра - буква).

hello_html_761d7a7.jpg

А) cos x ≤ - , В) sin x > - , С) cos x < , D) sin x ≥ .

2) Решите неравенство: sin x ≥ .

А) x [ + 2πn, + 2πn ] , В) x ( - + 2πn, + 2πn ) ,

С) x ( + 2πn, + 2πn ) , D) x [ - + 2πn, ] , n.

3) Решите неравенство: cos x ≤ - .

А) x ( + 2πn, + 2πn ) , В) x [ + 2πn, + 2πn ],

С) x ( + 2πn, + 2πn ) , D) x [ + 2πn, + 2πn ] , n Z .

4) Решите неравенство: sin x > - .

А) x ( + 2πn, + 2πn ) , В) x [ + 2πn, + 2πn ] ,

С) x ( - + 2πn, + 2πn ) , D) x [ - + 2πn, + 2πn ], n Z .

5) Решите неравенство: cos x < .

А) x (- + 2πn, + 2πn ) , В) x [- + 2πn, + 2πn ] ,

С) x [ + 2πn, + 2πn ] , D) x ( + 2πn, + 2πn ) , n Z.

6) Выберите нужное неравенство, решение которого изображено на рисунке hello_html_542cd5c1.jpg

(цифра - буква).

А) ctg x < - , В) tg x > 1, С) tg x ≤ 1, Д) ctg x- .

7) Решите неравенство: tg x ≤ 1.

А) x [ πn; ] , В) x (πn; ) ,

С) x (; ) , Д) x [; ], n Z .

8) Решите неравенство: ctg x < - .

А) x [ + πn, + πn ] , В) x ( + πn, + πn ) ,

С) x ( + πn, π + πn ) , Д) x [ + πn, π + πn ] , n Z .

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1- 8,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1- 6,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1- 4.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

Самостоятельная работа № 33



Тема: Составление опорного конспекта «Понятие о корне n-й степени».

Цель работы:

  • повторить понятия: арифметический корень, его свойства, корень n-й степени, применение в вычислениях;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом .



План работы:

  1. Определение понятия «Арифметический корень» и его свойства;

  2. Примеры на вычисление арифметического корня;

  3. Корень n-й степени и его свойства.


Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.
































Самостоятельная работа № 34

Тема: Типовой расчет по теме «Понятие о корне n-й степени».

Цель работы:

  • повторить понятия: арифметический корень, его свойства, корень n-й степени, применение в вычислениях;

  • развитие умений и навыков работы с таблицами степеней,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

  1. Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс, глава 1, §4-5.

  2. Самостоятельная работа № 40.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Вычислите: . Решение: . Ответ: 1.

Пример 2. Вычислите: .

Решение: .

Ответ: - 0,2.

Пример 3. Упростите выражение: .

Решение: . Ответ: 3.

Пример 4. а) = 2 3 = 6. б) 2 = 2 (-3) = - 6. в) 5 = 50,7 = 3,5.

г) = 225 = 45 = 20. д) = = 2. е) = = 3 2 = 6.

ж) = 5 : 22 = 5 : 4 = 1,25. з) = = 9 22 = 9 4 = 36.

Пример 5. Выполнить действия: Решение: Ответ: 28 - .

Пример 6. Решите уравнения: а) х4= 81 ,б) х5=32. Решение: а) х4= 81 , х = 3. б) х5=32, х = 2.

Ответ: а) х = 3, б) х = 2.

Пример 7. а) Вынести множитель из-под знака корня: .

= = 10 .

внесите множитель под знак корня: .

Задание:

1 вариант.

1. Вычислите: а) , б) , в) , г) ,

д) , е) , ж) , з) .

2. Решите уравнения: а) , б) , в) , г)

3.Упростите выражение: .

4. Вычислите: а) , б) , в) .

5. а) внесите множитель под знак корня: 4.

б) вынести множитель из-под знака корня:

, , , .

2 вариант.

1. Вычислите: а) , б) , в) , г) ,

д) , е) , ж) , з) .

2. Решите уравнения: а), б) , в) , г)

3. Упростите выражение: .

4. Вычислите: а) , б) , в) .

5. а) внесите множитель под знак корня: 5.

б) вынести множитель из-под знака корня:

, , ,



Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-6,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

































































Самостоятельная работа № 35

Тема: Решение теста по теме «Степень с рациональным, действительным показателем, ее свойства».

Цель работы: повторить, закрепить основные понятия по теме «Степень с рациональным, действительным показателем, ее свойства».

Методические рекомендации к выполнению теста: Решив задачу, нужно выбрать правильный ответ и записать номер, под которым он записан.

Задание: 1 вариант.

А1. Вычислите .

1) 2; 2) 3; 3) 9; 4) .

А2. Вычислите .

1) 2; 2) 4; 3) 2; 4) 4.

А3. Упростите выражение

1) ; 2) ; 3) а; 4) .

А4. Вычислите

1) 0,25; 2) 0,5; 3) 0,15; 4) 5.

А5. Найдите значения выражения при у = 18.

1) 9(4+3); 2) ; 3) 4+3; 4) 9.

А.6. Упростите выражение

1) 2) 3) 4)

А7. Найдите значение выражения: .



1) 12; 2) 6; 3) 3; 4) –3.



А8. Найдите значение выражения: .

1) ; 2) 1,2; 3) ; 4) .

А9. Найдите значение выражения:

1) 4; 2) 9; 3) 5; 4) 5.



А10. Сократите дробь:

1) а; 2) ; 3) ; 4) а+1.




2 вариант.

А1. Вычислите .

1) 5; 2) 4; 3) 25; 4) .

А2. Вычислите .

1) 2; 2) 4; 3)2; 4) 4.

А3. Упростите выражение

1) ; 2) ; 3) а; 4) .

А4. Вычислите

1) 0,09; 2) 0,03; 3) 0,3; 4) 3.

А5. Найдите значения выражения при а = 4, b = 5.

1) ; 2) 2; 3) 0; 4) .

А.6. Упростите выражение .

1) 2) 3) 4)

А7. Найдите значение выражения: .



1) 45; 2) 5; 3) 3; 4) –45.

А8. Найдите значение выражения: .

1) 5,5; 2) 2; 3) ; 4) .

А9. Найдите значение выражения:

1) 4; 2) 25; 3) 9; 4) 16.

А10. Найдите значение выражения при р = 49.

1) 49; 2) ; 3) ; 4) 7.



Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-10,с записью решения, даже с недочетами. Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-8, с записью решения, даже с недочетами. Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-5. Требования к оформлению самостоятельной работы: Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2. Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.







Самостоятельная работа № 36



Тема: Составление опорного конспекта «Область определения и множество значений тригонометрических функций» .

Цель работы:

  • повторить понятия: область определения и множество значений тригонометрических функций, их обозначение и нахождение;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом .



План работы:



  1. Область определения тригонометрических функций;

  2. Множество значений тригонометрических функций;

  3. Примеры нахождения области определения и множества значений тригонометрических функций с помощью формул .


Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.















Самостоятельная работа № 37

Тема: Типовой расчет по теме «Область определения и множество значений тригонометрических функций».

Цель работы:

  • повторить понятия: область определения и множество значений тригонометрических функций;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс, глава 7, §38.

Решение типовых заданий:

Пример 1.Найти область определения D(y) тригонометрических функций: а) y = sin 2x , б) y = cos , в) y = sin , г) y = cos , д) y = sin , е) y = cos . Решение: а) y = sin 2x , D(y) = R , б) y = cos , D(y) = R , в) y = sin , D(y) : x , г) y = cos , D(y) : x , д) y = sin , x1, x , D(y) : x , е) y = cos , x, D(y) : x .

Ответ: а), б) D(y) = R, в), г) D(y) : x , д) D(y) : x , е) D(y) : x .

Пример 2. Найти область определения функции  f(x) = tg 2x.
Решение: в данном случае   в область определения не войдут следующие точки:

Скинем «двойку» левой части в знаменатель правой части:

В результате  :
hello_html_m644d540.jpg
Ответ: область определения:
D(f) = R \ { } .

Пример 3. Найти множество значений E(y) тригонометрической функции

y = 2sin2x cos2x.

Решение: y = 2sin2x cos2x = a , 2sin2x (1 2 sin2x) = 4 sin2x 1 = a, 4 sin2x = a 1,

2(1cos 2x) = a 1, 2 2cos 2x = a 1, 2 cos 2x = a 1, cos 2x = (a) : (),

cos 2x = (1) : ,

E(y) = [ 1; 3]. Ответ: E(y) = [ 1; 3].

Пример 4. Найти множество значений E(y) тригонометрической функции

y = 3 cos 2x 4sin2x.

Решение: y = 3 cos 2x 4sin2x = g, a = 3, b = , k2 = a2 b2 = 32 ()2 = 9 16 = 25, k = 5, 3/5∙ cos 2x 4/5∙ sin 2x = g /5, sin(φ) = g/5, E(y) = [ 5; 5]. Ответ: E(y) = [ 5; 5].

Пример 5. Найти множество значений E(y) тригонометрической функции

y = 10cos2x 6sin x cos x 2sin2x.

Решение: y = 10cos2x 6sin x cos x 2sin2x = a.

Oбе части уравнения поделим на cos2x. Получим, 10 6 tg x 2tg2x = a∙ (1 tg2x),

10 6 tg x 2tg2 x a tg2x = 0, (2) ∙ tg2 xtg x (10) = 0, tg x = t, (2) ∙ t2t (10) = 0, D = ()2 4∙ (2)∙ (10) = 36 4∙ (20 2) = =3680 48a 2 = 48a 2 = 4∙ (2 , 2

2 a1 = 11, a2 = 1.

hello_html_5bd89a69.png



E(y) = [1; 11]. Ответ: E(y) = [1; 11].

Задание:

1 вариант.

  1. Найти область определения D(y) тригонометрических функций: а) y = sin 4x , б) y = cos , в) y = sin , г) y = cos , д) y = cos , е) y = sin .

  2. Найти область определения функции  f(x) = tg 4x.

  3. Найти множество значений E(y) тригонометрической функции y = 4sin2x cos2x.

  4. Найти множество значений E(y) тригонометрической функции y = 6 cos 2x 8sin2x.

  5. Найти множество значений E(y) тригонометрической функции

y = 5cos2x 2sin x cos xsin2x.

2 вариант.

  1. Найти область определения D(y) тригонометрических функций: а) y = sin 6x , б) y = cos , в) y = sin , г) y = cos , д) y = cos , е) y = sin .

  2. Найти область определения функции  f(x) = tg 3x.

  3. Найти множество значений E(y) тригонометрической функции y = 6sin2x cos2x.

  4. Найти множество значений E(y) тригонометрической функции y = 9 cos 2x 12sin2x.

  5. Найти множество значений E(y) тригонометрической функции

y = 6cos2x 8sin x cos x 6sin2x.

Критерии оценки:



Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,



Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,



Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.



Требования к оформлению самостоятельной работы:



Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.



Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.






Самостоятельная работа № 38

Тема: Типовой расчет по теме «Экстремумы функции». 

Цель работы:

  • повторить понятия: точки минимума, точки максимума, точки экстремума, стационарные точки, критические точки ;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс, глава 9, §49-50.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Найти точку максимума функции

hello_html_m1f99d07c.gif

Решение: Требуется найти критическую точку, в которой знак производной меняется с плюса на минус. Область определения функции: hello_html_4fb18fd6.gif

Найдем критические точки функции:

hello_html_m7ccf63b9.pngКритические точки.

Исследуем знак производной на интервалах, разделенных критическими точками:

х

- 4 2

max min

Ответ: x = 4.

Пример 2. Найти точку минимума функции hello_html_1ad34ebd.gif

Указание. Не забывайте, что критическими точками функции являются не только точки, в которых производная равна нулю, но и точки, в которых производная не существует (если сама функция определена в этой точке). Решение: