Инфоурок Математика Другие методич. материалыВнеаудиторная самостоятельная работа обучающихся по дисциплине Математика для специальности Технология машиностроения.

Внеаудиторная самостоятельная работа обучающихся по дисциплине Математика для специальности Технология машиностроения.

Скачать материал

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ ВСР- ТЕХМАШ,1 КУРС.docx

Самостоятельная работа № 1

Тема: Составление опорного конспекта «Треугольники».

Цель работы:

  • повторить понятия: треугольники и их виды, признаки равенства треугольников, признаки подобия треугольников, теорема Пифагора, теорема синусов, теорема косинусов, решение треугольников;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Определение треугольника и виды треугольников;

  2. Признаки равенства треугольников, признаки подобия треугольников;

  3. Теорема Пифагора, теорема синусов, теорема косинусов;

  4. Примеры на вычисления по теореме Пифагора, теореме синусов, теореме косинусов;

  5. Решение треугольников;

  6. Примеры на вычисление элементов треугольника;

Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.











Самостоятельная работа № 2

Тема: Типовой расчет по теме «Решение треугольников».

Цель работы:

  • повторить теорему Пифагора, теорему синусов, теорему косинусов, решение треугольников;

  • развитие умений и навыков работы с таблицами Брадиса,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

  1. использовать материал : Самостоятельная работа № 1,

  2. использовать формулы:

а2+b2 = с2 , а2 = с2b2 , b 2 = с2а2,

, а = , b = , с = ,

с2 = а2 + b2 – 2 а b cos C , а2 = b2 + с2 -2 b с cos А, b2 = а2 + с2 – 2ас cos В,

cos А = (b2 + с2 а2) : (2 b с), cos В = (а2 + с2b2) : (2ас), cos C = (а2 + b2 –с2) : (2 а b),

А+ В + С = 180°.

Решение типовых заданий:

Пример 1. а = 5, b = 12, найти с. Решение: с2 = а2+b2 = 52 + 122= 25 + 144=169, с = 13; Ответ: 13.

Пример 2. с = 41, а = 40, найти b. Решение: b 2 = с2 - а2 = 412-402=1681-1600 = 81, b = 9; Ответ: 9.

Пример 3. а = 10, b = , найти с. Решение: с2 = а2+b2 = 102 + 2 = 100 + 44 = 144,с = 12; Ответ: 12.

Пример 4. а = 10, b = 10, с = 12, найти h1, h2, h3.

Решение: p = (а + b + с) : 2 = (10 + 10 + 12) : 2 = 16, S = =

= = = 642 = 48,

h1 = 2S : a = 2 48: 10 = 9,6, h2 = 2S : b = 2 48:10 = 9,6, h3 = 2S : с = 2 48 : 12 = 8; Ответ: 8.

Пример 5. а = 12, b = 18, С = 50°, найти с, А, В.

Решение: с2 = а2 + b2 – 2 а b cos C = 122 +182 -2 12 18 cos 50° = = 144 + 324 - 2 12 18 0,6428 = 144 +3 24 – 278 = 190, с ≈ 14,

cos А = (b2 + с2 а2) : (2 b с) = (182 + 142 – 122) : (21814) = 0,7460, А = 41°45 / ,

В = 180° – (50° + 41°45 /) = 180° – 91°45 / = 89° - 45 / = 88°15 /; Ответ: 14, 41°45 / , 88°15 / .



Пример 6. а =24,6, В = 45°,С = 70°, найти А, b, с.

Решение: А = 180° – (45° + 70°) = 65°,

b = = 24,6 = 24,6 = 19,2;

с = = 24,6 = 24,6 = 25,6; Ответ: 65°,19,2; 25,6 .

Пример 7. а = 14, b = 18, с = 20, найти А, В, С .

Решение: cos А = (b2 + с2 а2) : (2 b с) = (182 + 202 142) : (2 18 20) = 0,7333;

А = 42°50 / ≈ 43°, cos В = (а2 + с2b2) : (2ас) = (142 + 202 – 182) : (21420) = 0,4857;

В = 60°56 / ≈ 61°, С = 180° – (43° + 61°) = 76°; Ответ: 43°,61°,76°.

Задание:

а = 10, b = 10, с = 16,

найти h1, h2, h3.

а = 20, b = 20, с = 32,

найти h1, h2, h3.

а = 6, b = 8, с = 10,

найти h1, h2, h3.

4.

а = 6,3, b = 6,3, <С = 54°, найти с, А, В.

а = 10, b = 7, <С = 60°, найти с, А, В.

а = 16, b = 10, <С = 80°, найти с, А, В.

5.

а =14, <В = 40°,<С = 60°, найти А, b, с.

а =4,5, <В = 30°,<С = 75°, найтиА, b, с.

а =32, <В = 45°,<С = 87°, найти А, b, с.

6.

а = 6, b = 7,3, с = 4,8, найти А, В, С .

а = 7, b = 9, с = 10, найти А, В, С .

а = 12, b = 14,6, с = 9,6, найтиА, В, С .



Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-6,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.







Самостоятельная работа № 3


Тема: Составление опорного конспекта «Четырехугольники».

Цель работы:

  • повторить понятия: параллелограмм, прямоугольник, ромб, трапеция, квадрат, их свойства;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Определение параллелограмма, изображение параллелограмма и его свойства;

  2. Определение прямоугольника, изображение прямоугольника и его свойства;

  3. Определение ромба, изображение ромба и его свойства;

  4. Определение трапеции, изображение трапеции и ее свойства;

  5. Определение квадрата, изображение квадрата и его свойства;

  6. Формулы для вычисления площади четырехугольников;

Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.












Самостоятельная работа № 4

Тема: Решение теста по теме «Планиметрия».

Цель работы: повторить, закрепить основные понятия планиметрии.

Методические рекомендации к выполнению теста: Решив задачу, нужно выбрать правильный ответ и записать номер, под которым он записан.

Задание:

hello_html_6a76ff4a.pnghello_html_5f7da47a.png

hello_html_49969193.png

hello_html_d25e025.png

hello_html_340838f4.pnghello_html_m1cf7c3c4.png

hello_html_5b10e420.pnghello_html_7b6af9ff.png



hello_html_m7fb89045.png

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-18,с записью решения, даже с недочетами.

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-15, с записью решения,даже с недочетами.

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-10.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.






Самостоятельная работа № 5

Тема: Составление опорного конспекта «Параллельность прямых и плоскостей».

Цель работы:

  • повторить понятия: параллельные прямые, параллельность прямой и плоскости, параллельные плоскости, их свойства;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Определение параллельных прямых и их свойства( теоремы и лемма);

  2. Взаимное расположение прямой и плоскости(определение и чертежи);

  3. Определение параллельности прямой и плоскости, их свойства;

  4. Взаимное расположение прямых (определение и чертежи);

  5. Определение параллельности плоскостей, их свойства;

Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.












Самостоятельная работа № 6

Тема: Типовой расчет по теме «Параллельность плоскостей».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Параллельность плоскостей».

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 1.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Два отрезка длин а и b упираются концами в две параллельные плоскости. Проекция первого отрезка (длины а) на плоскость равна с. Найдите проекцию второго отрезка, если а = 17 , b = 10, с = 15 см.

Дано: α || β, а = 17 , b = 10, с = 15 см

Найти: х

Решение: а2 – с2 = b2 – х2, х2 = b2а2 + с2 , х2 = 102 – 172 + 152 =

= 100 – 289 + 225 = 36, х = 6 см. Ответ: х = 6 см.


Пример 2. Две параллельные плоскости расстояние между

которыми 2 дм, пересечены прямой, составляющей с каждой из

плоскости угол в 300. Найти длину отрезка этой прямой, заключенной

между плоскостями.

Дано: α || β, АВα = А, АВβ = В, АВС = 30°, АС = 2 дм.

Найти: АВ

Решение: Δ АСВ – прямоугольный, АВС = 30°, АС = 2 дм.

АВ = 2 АС = 2 2 = 4 дм. Ответ: АB = 4 дм.


Пример 3. Расстояние между параллельными плоскостями равно 8 см. Отрезок прямой длина которого 17 см расположен между ними так, что его конец принадлежит плоскости. Найти проекцию этого отрезка на другую плоскость.

Дано: α || β, АВα = А, АВβ = В, АВ = 17 см, АС = 8 см.

Найти: ВС

Решение: Δ АСВ – прямоугольный, ВС2 = АВ2 – АС2 = 172 – 82 = 289 – 64 = 225, ВС = 15 см.

Ответ: BС = 15 см.

Пример 4. На параллельных плоскостях α и β, выбрано по паре точек А12 и В12 соответственно так, что прямые А1В1 и А2В2 пересекаются в точке S Вычислите SА1 и SВ2, если А1В1= 6см; SА2 = 2,5см; SВ2 : SА2 = 3 : 1 . S

Дано: α || β, А1 А2В1 В2 = S, А1, А2 α, В12 β,

А1В1= 6см; SА2 = 2,5см; SВ2 : SА2 = 3 : 1

Найти: 1, SВ2

Решение: Δ SА1 А2 ~ Δ SВ1В2 , (α || β), SВ2 : SА2 = 3 : 1, SА2 = 2,5см,

2 = 3 2,5 = 7,5 см. 1 : SА1 = 3 : 1, А1В1= 6см, SА1 = х ,

( х + 6 ) : х = 3 : 1, 3х = х + 6 , 2х = 6, х = 3, SА1 = 3 см.

Ответ:1 = 3 см, SВ2 = 7,5 см .





Пример 5.hello_html_m40fa69e3.jpg

Дано: α || β, а α, b β, а || b, с - секущая, 1 = 150°,

Найти: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Решение: 3 = 1 = 150°(верт.), 3 = 5 = 150°(н.леж.),

5 = 7 = 150°(верт.), 1 + 2 = 180°(смежные),

2 = 180° - 1 = 180° - 150° = 30°,

2 = 4 = 30°(верт.), 4 = 6 = 30°(н.леж.), 6 = 8 = 30°(верт.).

Ответ: 3 = 5 = 7 = 150°, 2 = 4 = 6 = 8 = 30°.

Задание:

1 вариант.

  1. Два отрезка длин а и b упираются концами в две параллельные плоскости. Проекция первого отрезка (длины а) на плоскость равна с. Найдите проекцию второго отрезка, если а = 13 , b = 15, с = 5 см.

  2. Две параллельные плоскости расстояние между которыми 6 дм, пересечены прямой, составляющей с каждой из плоскости угол в 300. Найти длину отрезка этой прямой, заключенной между плоскостями.

  3. Расстояние между параллельными плоскостями равно 10 см. Отрезок прямой длина которого 26 см расположен между ними так, что его конец принадлежит плоскости. Найти проекцию этого отрезка на другую плоскость.

  4. На параллельных плоскостях α и β, выбрано по паре точек А12 и В12 соответственно так, что прямые А1В1 и А2В2 пересекаются в точке S Вычислите SА1 и SВ2, если А1В1= 12см; SА2 = 4,5см; SВ2 : SА2 = 3 : 1.

  5. Дано: α || β, а α, b β, а || b, с - секущая, 1 = 140°,

Найти: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

2 вариант.

  1. Два отрезка длин а и b упираются концами в две параллельные плоскости. Проекция первого отрезка (длины а) на плоскость равна с. Найдите проекцию второго отрезка, если а = 25 , b = 17, с = 20 см.

  2. Две параллельные плоскости расстояние между которыми 8 дм, пересечены прямой, составляющей с каждой из плоскости угол в 300. Найти длину отрезка этой прямой, заключенной между плоскостями.

  3. Расстояние между параллельными плоскостями равно 9 см. Отрезок прямой длина которого 15 см расположен между ними так, что его конец принадлежит плоскости. Найти проекцию этого отрезка на другую плоскость.

  4. На параллельных плоскостях α и β, выбрано по паре точек А12 и В12 соответственно так, что прямые А1В1 и А2В2 пересекаются в точке S Вычислите SА1 и SВ2, если А1В1= 18см; SА2 = 6,5см; SВ2 : SА2 = 3 : 1.

  5. Дано: α || β, а α, b β, а || b, с - секущая, 1 = 110°,

Найти: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

Самостоятельная работа № 7

Тема: Типовой расчет по теме «Параллельность прямых и плоскостей».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Параллельность прямых и плоскостей»,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 1.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Через основание AD трапеции ABCD проведена плоскость α. ВС α. Докажите, что прямая, проходящая через середины сторон АВ и CD, параллельна плоскости α. рис. 1

hello_html_m20ed3981.jpg

Дано: ABCD - трапеция; AD α, СВ α; АК = КВ, CN = ND (рис.1).

Доказать: KN || α.

Доказательство:1. KN - средняя линия трапеции, значит KN || AD.

2. KN || AD , AD α, KN || α (по теореме о параллельности прямой и плоскости).

Пример 2. Дан ΔВСЕ. Плоскость, параллельная прямой СЕ, пересекает BE в точке Е1,а ВС - в точке С1. Найдите ВС1, если С1Е1 : СЕ = 3 : 8, ВС = 28 см.

Дано: ΔВСЕ, α || СЕ , BE ∩ α = Е1, ВС∩ α = С1, С1Е1 : СЕ = 3 : 8, ВС = 28 см  (рис. 2).

Найти: ВС1. 

Решение:1. С1Е1 α, СЕ || αС1Е1||СЕ.hello_html_6b28556a.jpg

2. ΔВС1Е1 ~ ΔВСЕ (по двум углам);

 см.

Ответ: 10,5 см.

Пример 3. Дано: А, В, С, D; В (ACD). Е, F, М, К- середины сторон АВ, ВС, CD, AD; AC = 6 см, BD = 8 см (рис. 3). hello_html_m1a1d6694.jpg

Доказать: EFMK - параллелограмм. Найти: P(EFMK).   рис.3

Решение: 1) Δ АВС, АЕ = ЕВ, ВF = FС EF - средняя линия,

EF || АС, EF =1/2 АС,

2) Δ АСD, АK = KD, СM = MD КМ  - средняя линия, МК || АС, КМ = 1/2АС. EF || AC (значит EF || (ACD)), АС || КМ EF || КМ

по теореме о параллельности прямой и плоскости.

3) Аналогично ЕК || FM.

4) EFMK - параллелограмм, то есть EF || КМ, ЕК || FM.

5) Учитывая свойства параллелограмма EF = KM, ЕK = FM Р(EFMK) = 2(EF + ЕK).

рис. 4

  1. Из п. 1 и 2 следует, что KM = EF = 1/2АС, EF =1/2 6 = 6 : 2 = 3,

  2. ЕK = FM = 1/2 ВD, ЕK = 1/2 8 = 8 : 2 = 4, hello_html_m4507016a.jpg

  3. Р(EFMK) = 2(EF + ЕK) = 2 (4 + 3) = 14 см.

Ответ: 14 см.

Пример 4. Дано: ΔАВК, М (АВК); E.D- точки пересечения медиан

ΔМВК и ΔАВМ; АК = 14 см (рис. 4).

Доказать: ADEK - трапеция. Найти: DE

Решение:

1) Δ АВK, KO = OВ, ВN = NА ON - средняя линия ON || AK, ON = 1/2AK.

2) Рассмотрим (MNO). ΔMON (MNO). Точки Е и  D - точки пересечения медиан:

по свойству медиан ,

3) ΔMED ~ ΔMON, M – общий, ,  значит, MED = МОN, то есть ED || ON.

4) ON (АВK) , ED || ON ED || (АВK) ,(по теореме о параллельности прямой и плоскости).

5) Из п. 1,3 ON || АK, ON || ED АK || ED по признаку, значит, KEDA – трапеция, ED и AK - основания.

6) ON = 1/2AK = 1/2 14 = 14 : 2 = 7 см.(из п. 1),

7) Рассмотрим ΔMED и ΔMON, ΔMED ~ ΔMON (из п. 3), значит,

 Ответ:.

Пример 5. Дано: AC || BD, AC ∩ α = A; BD ∩ α = B. AC = 8 cm, BD = 6 см, AB = 4 см (рис. 5). Доказать: CD ∩ α = E.Найти: BE. hello_html_4fbb0191.jpg

Решение: 1) Проведем плоскость (ACDB), если CD || АВ, то ACDB - параллелограмм, то есть АС = BD, но это противоречит условию, значит, CDAB = Е.

  1. Рассмотрим ΔАСЕ и ΔBDE. CAE = DBE, АСЕ = BDE - как соответственные при параллельных прямых, значит, ΔEDB ~ ΔЕСА (по 3 углам) следовательно,

= , то есть ,  BE = 12 (см).

Ответ: BE = 12 см. рис. 6

Задание:hello_html_m41773e40.jpg

1 вариант.

  1. Дано: ABCD - трапеция; AD α, АЕ = ЕВ, CF = FD (рис. 6). Доказать: EF || α.  

  2. Дан ΔВСЕ. Плоскость, параллельная прямой СЕ, пересекает BE в точке Е1, а ВС - в точке С1. Найдите ВС1, если С1Е1 : СЕ = 3 : 7, ВС = 21 см.

  3. Дано: А, В, С, D; В (ACD). Е, F, М, К- середины сторон АВ, ВС, CD, AD; AC = 10 см, BD = 16 см. Доказать: EFMK - параллелограмм. Найти: P(EFMK).  

  4. Дано: ΔАВК, М (АВК); E.D- точки пересечения медиан ΔМВК и ΔАВМ; АК = 18 см.

Доказать: ADEK - трапеция. Найти: DE

  1. Дано: AC || BD, AC ∩ α = A; BD ∩ α = B. AC = 10 см, BD = 8 см, AB = 2 см.

Доказать: CD ∩ α = E.Найти: BE

2 вариант.

  1. Дано: ΔABC, AC α, AD = DB, BE = EC. Доказать: DE || α. (рис. 7) рис. 7  hello_html_m7f9b8754.jpg

  2. Дан ΔВСЕ. Плоскость, параллельная прямой СЕ, пересекает BE в точке Е1, а ВС - в точке С1. Найдите ВС1, если С1Е1 : СЕ = 3 : 5, ВС = 30 см.

  3. Дано: А, В, С, D; В (ACD). Е, F, М, К- середины сторон АВ, ВС, CD, AD; AC = 8 см, BD = 14 см. Доказать: EFMK - параллелограмм. Найти: P(EFMK).  

  4. Дано: ΔАВК, М (АВК); E.D- точки пересечения медиан ΔМВК и ΔАВМ; АК = 24 см.

Доказать: ADEK - трапеция. Найти: DE

  1. Дано: AC || BD, AC ∩ α = A; BD ∩ α = B. AC = 12 см, BD = 10 см, AB = 3 см.

Доказать: CD ∩ α = E.Найти: BE

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.


Самостоятельная работа №8

Тема: Составление опорного конспекта «Перпендикулярность прямых, прямой и плоскости». 

Цель работы:

  • повторить понятия: перпендикулярность прямых, перпендикулярность прямой и плоскости, их свойства;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Определение перпендикулярных прямых, их свойства;

  2. Определение перпендикулярности прямой и плоскости, их свойства(теоремы, чертежи, признак);

  3. Перпендикуляр и наклонные( определение и чертежи ) ;

  4. Теорема о 3 перпендикулярах;

Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.












Самостоятельная работа № 9

Тема: Типовой расчет по теме «Перпендикуляр и наклонная».

Цель работы: повторить, закрепить основные понятия:

  • перпендикуляра и наклонной, проведенных из точки к плоскости, проекции наклонной на плоскость;

  • расстояния от точки до плоскости;

  • проекции точки и произвольной фигуры на данную плоскость;

  • угла между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярную к ней;

Основной теоретический материал: Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 2.

(рис.1)

АС - перпендикуляр, АВ - наклонная, СВ – проекция наклонной, АВ2 = ВС2 + АС2.

φ - угол между наклонной и плоскостью α.




Рис.1 рис.2

Решение типовых заданий:

Пример 1. Из точки, не принадлежащей данной плоскости , проведены к ней две наклонные, равные 10см и 18см. Сумма длин их проекций на плоскость равна 16см. Найти проекцию каждой наклонной.(рис.2)

Дано: ОС - перпендикуляр, АС и ВС - наклонные, АО и ОВ – их проекции,

АС = 10 см, СВ = 18 см, АО + ОВ = 16 см,

Найти: АО, ОВ

Решение: АС = 10, СВ = 18, АО + ОВ = 16, АО = х, ОВ = 16 – х,

АС2 – АО2 = ВС2 – ОВ2 , 102–х2 = 182 – (16 – х)2, 100 – х2 = 324 – 256 + 32 х – х2 ,

32 х = 32, х = 1, АО = 1, ОВ = 16 – 1 = 15.

Ответ: 1 и 15 см.

Пример 2. Из точки к плоскости проведены две наклонные. Одна из них длиной 12см наклонена к плоскости под углом 60°, проекция другой на эту плоскость равна 6 см.

Найти длину этой наклонной.

Дано: ОС - перпендикуляр, АС и ВС - наклонные, АО и ОВ – их проекции,

СА = 12 см , САО = 60°, ОВ = 6 см ,

Найти: СВ

Решение: Δ АОС- прямоугольный, АСО = 90 °–60 ° = 30°, АО = СА : 2 = 12: 2 = 6,

СО2 = СА2 –АО2 = 122 – 62 = 144 – 36 = 108,

СВ2 = СО2 + ОВ2 = 108 + (6 )2 = 108 + 36 6 = 108 + 216 = 324, СВ = 18 см

Ответ: 18 см.


Пример 3. Из точки С к данной плоскости проведены перпендикуляр СО = 6см и две наклонные. Каждая из наклонных образует с плоскостью угол 60°. Угол между наклонными 120°. Найти расстояние между основаниями наклонных.

Дано: ОС - перпендикуляр, АС и ВС - наклонные, АО и ОВ – их проекции,

СО = 6см, САО = СВО = 60°, АСВ = 120°,

Найти: АВ

Решение: sin САО = СО : АС, АС = ВС = СО : sin САО = 6: sin60 ° = 6 : = 12 : = 4 ,

Δ АВС – равнобедренный, АВ2 = АС2 + ВС2 – 2АС ВС cos АСВ =

= (4)2 + (4)2 – 24 cos 120° = 16 3 + 16 3 – 216 3( – ) = 48 + 48 + 48 = 144,

АВ = 12 см.

Ответ: АВ = 12 см.

Пример 4. Из точки С к данной плоскости проведены перпендикуляр СО и две наклонные СВ и АС. ОВ= 4,САО = 30°, СВО = 60°, а угол между наклонными 90°. Найти расстояние между основаниями наклонных.

Дано: ОС - перпендикуляр, АС и ВС - наклонные, АО и ОВ – их проекции,

ОВ= 4,САО = 30°, СВО = 60°, АСВ = 90°,

Найти: АВ

Решение: ΔСОВ – прямоугольный, СВО = 60°, ОСВ = 90 ° – 60 ° = 30 °,

ВС= 2 ОВ = 24 = 8, СО2 = ВС2 – ОВ2 = 82 – 42 = 64 – 16 = 48, СО = = 4,

АС = 2 СО = 24 = 8 , АСВ - прямоугольный, АВ2 = АС2 + ВС2 = (8)2 + 82 =

= 64 3 + 64 = 256, АВ = 16 см.

Ответ: АВ = 16 см.

Пример 5. Диагонали квадрата АВСD пересекаются в точке О. Из точки О проведён к плоскости квадрата перпендикуляр ОМ. Найти расстояние от точки М до стороны ВС, если AD = 6см, ОМ = 4см. (рис.3)

Дано: АВСD - квадрат, ОМ - перпендикуляр, О - точка пересечения диагоналей квадрата,

МК - расстояние от точки М до стороны ВС, AD = 6см, ОМ = 4см.

Найти: МК

Решение: ОК = АВ : 2 = AD : 2 = 6 : 2 = 3, МОК - прямоугольный,

МК2 = ОМ2 + ОК2 = 42 + 32 = 16 + 9 = 25, МК = 5.

Ответ: МК = 5 см.

Рис.3








А В









Задание: Задачи № 1-4 по рис.2., задача № 5 по рис.3.

1 вариант.

  1. Из точки, не принадлежащей данной плоскости , проведены к ней две наклонные, равные 20 см и 36 см. Сумма длин их проекций на плоскость равна 32 см. Найти проекцию каждой наклонной.

  2. Из точки к плоскости проведены две наклонные. Одна из них длиной 24 см наклонена к плоскости под углом 60°, проекция другой на эту плоскость равна 12 см. Найти длину этой наклонной.

  3. Из точки С к данной плоскости проведены перпендикуляр СО = 12 см и две наклонные. Каждая из наклонных образует с плоскостью угол 60°. Угол между наклонными 120°. Найти расстояние между основаниями наклонных.

  4. Из точки С к данной плоскости проведены перпендикуляр СО и две наклонные СВ и АС. ОВ= 8,САО = 30°, СВО = 60°, а угол между наклонными 90°. Найти расстояние между основаниями наклонных.

  5. Диагонали квадрата АВСD пересекаются в точке О. Из точки О проведён к плоскости квадрата перпендикуляр ОМ. Найти расстояние от точки М до стороны ВС, если AD = 12 см, ОМ = 8 см.

2 вариант.

  1. Из точки, не принадлежащей данной плоскости , проведены к ней две наклонные, равные 5см и 9см. Сумма длин их проекций на плоскость равна 8 см. Найти проекцию каждой наклонной.

  2. Из точки к плоскости проведены две наклонные. Одна из них длиной 6 см наклонена к плоскости под углом 60°, проекция другой на эту плоскость равна 3 см. Найти длину этой наклонной.

  3. Из точки С к данной плоскости проведены перпендикуляр СО = 3см и две наклонные. Каждая из наклонных образует с плоскостью угол 60°. Угол между наклонными 120°. Найти расстояние между основаниями наклонных.

  4. Из точки С к данной плоскости проведены перпендикуляр СО и две наклонные СВ и АС. ОВ= 12,САО = 30°, СВО = 60°, а угол между наклонными 90°. Найти расстояние между основаниями наклонных.

  5. Диагонали квадрата АВСD пересекаются в точке О. Из точки О проведён к плоскости квадрата перпендикуляр ОМ. Найти расстояние от точки М до стороны ВС, если AD = 10 см, ОМ = 12 см.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

Самостоятельная работа № 10

Тема: Составление опорного конспекта «Перпендикулярность плоскостей».

Цель работы:

  • закрепить понятия: перпендикулярность прямых, перпендикулярность прямой и плоскости, перпендикуляр и наклонная, теорема о 3-х перпендикулярах, перпендикулярность плоскостей, их свойства ;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Двугранный угол, линейные углы двугранного угла, их виды ,свойство (определение и чертежи);

  2. Определение перпендикулярных плоскостей;

  3. Перпендикулярность плоскостей: изображение и свойства;

  4. Примеры на вычисление линейного угла двугранного угла.

Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.










Самостоятельная работа № 11

Тема: Решение теста по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве». 

Цель работы: повторить, закрепить основные понятия по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве».

Методические рекомендации к выполнению теста:

Прочитать вопрос, ответить на его и записать букву , под которой записан правильный ответ.

Задание: тест по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей».

1.Если угол между двумя прямыми равен 90°, то эти прямые: а) пересекаются, б) параллельны, в) скрещиваются, г) перпендикулярны, д) совпадают. 2. Какое из следующих утверждений неверно: а) если прямая перпендикулярна к двум прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и к этой плоскости, б) если прямая перпендикулярна к плоскости, то она ее пересекает, в) если две плоскости перпендикулярны к прямой, то они параллельны, г) если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны, д) если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. 3.Если одна из двух скрещивающихся прямых перпендикулярна к плоскости, то будет ли перпендикулярна к этой плоскости вторая прямая? а) да, б) да, но при определенных условиях, в) определить нельзя, г) нет, д) другой ответ. 4. Прямая а перпендикулярна к прямым с и в, лежащим в плоскости hello_html_6f92222e.gif, прямая а перпендикулярна к плоскости hello_html_6f92222e.gif. Каково взаимное расположение прямых с и в? а) параллельны, б) пересекаются, в) параллельны или пересекаются, г) совпадают, д)определить нельзя. 5.Одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна прямой, тогда: а) другая плоскость параллельна прямой, б) прямая лежит в другой плоскости, в) другая плоскость перпендикулярна прямой, г) прямая не пересекает другую плоскость, д)выполняются все случаи, указанные в пунктах а - г. 6.Точка Е не принадлежит плоскости прямоугольника АВСD, ВЕ hello_html_m5d32ab2b.gifАВ, ВЕ hello_html_m5d32ab2b.gifВС. Тогда прямая и плоскость ВСЕ: а) параллельны, б) перпендикулярны, в) скрещиваются, г) прямая лежит в плоскости,  д) перпендикулярны, но не пересекаются. 7.Какое из следующих утверждений неверно? а) перпендикуляр и наклонная, выходящие из одной точки, имеют равные длины, б) проекцией прямой на плоскость является точка или прямая, в) наклонные разной длины, проведенные к плоскости из одной точки, имеют проекции разных длин, 

г) прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна к ее проекции, д) расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости называется расстоянием между параллельными плоскостями. 8.Расстояния от точки М до сторон прямоугольного треугольника АВС (угол С равен 90°) равны. Какое из следующих утверждений верно? а) плоскости МАВ и АВС перпендикулярны, б) плоскости МВС и АВС перпендикулярны, в) плоскости МАС и АВС перпендикулярны, г) плоскости МАС и МВС перпендикулярны, д) условия в пунктах а - г неверны. 9.Угол между двумя плоскостями равен 80°. Какое из следующих утверждений неверно? а) плоскости пересекаются, б) в одной из плоскостей найдется прямая, перпендикулярная другой плоскости, в) в одной из плоскостей все прямые не перпендикулярны другой плоскости, г) в одной из плоскостей найдется прямая, параллельная другой плоскости, д) плоскости не перпендикулярны.




10.Какое из следующих утверждений верно? а) градусная мера двугранного угла не превосходит 90°, б) двугранным углом называется плоский угол, образованный прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, в) если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны, г) угол между плоскостями всегда тупой,  д) все линейные углы двугранного угла различны. 11.Какое из следующих утверждений верно? а) в прямоугольном параллелепипеде все шесть граней - произвольные параллелограммы, б) все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда - острые, в) прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны, называется кубом, г) квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме трех его измерений, д) параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию. 12.Длины трех ребер, имеющих общую вершину, называются: а) высотами прямоугольного параллелепипеда, б) диагоналями прямоугольного параллелепипеда, в) измерениями прямоугольного параллелепипеда, г) диагоналями основания прямоугольного параллелепипеда, д) смежными ребрами прямоугольного параллелепипеда.


Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-12,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-10,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-6.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.



























Самостоятельная работа № 12

Тема: Типовой расчет по теме «Прямоугольный параллелепипед».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Прямоугольный параллелепипед»,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 2.п.24.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Найти площадь основания ABCD прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 если DB1 = см, DB = 5 см, BC1 = 4 см.

Решение: Для нахождения длин сторон ( поскольку параллелепипед в условии задачи прямоугольный, а значит, все ребра пересекаются под прямым углом  )  используем теорему Пифагора. Найдем BB1 в прямоугольном треугольнике  DBB1 :
BB1 =   
BB12 =  (34 – 25) = 9. BB1 =3.Соответственно  СС1 = BB1 = 3 см. Для прямоугольного треугольника BC1C : BC2 =  ( BC12  – C1C2 ) , BC2 =  ( 16 – 9 ) = 7 . BC = В треугольнике BCD найдем CD:  CD2 =  ( BD2 – BC2 ), CD2 =  ( 25 – 7 ) = 18, CD = 3 . Откуда площадь основания параллелепипеда равна: 
S = BC CD =  3 = 3.
Ответ:   площадь основания  прямоугольного параллелепипеда равна 3. Пример 2.Сумма трех измерений прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равна 40, AB : AA1 : AD = 2 : 2 : 4.   Найдите наибольшую из диагоналей граней параллелепипеда. Решение: Обозначим ребра 2х, 2х, 4х. 2х+2х+4х =40, 8х=40,   х=5. Ребра 10,10 и 20. Грани имеют размеры 10х10 или 10х20. Диагональ грани 10х10:   d12= (102+102) = 200, d1= 10, Диагональ грани 10х20:   d22= (102 +202) = 500, d2= 10- наибольшая диагональ . Ответ: d2= 10- наибольшая диагональ . Пример 3. Сумма всех ребер параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равна 120 см. Найти каждое ребро параллелепипеда. если АВ/ВС= 4/5 и ВС/ВВ1 = 5/6. Решение: Пусть АВ = 4х, тогда ВС= 5х,  ВВ1 = 6х. У параллелепипеда по 4 равных ребра, а всего 12 ребер. 4 (4х+5х+6х)=120, 4 15х=120, 60х=120, х=2, АВ = 8,  ВС = 10,  ВВ1 = 12. Ответ:  АВ = 8 см,  ВС = 10 см,  ВВ1 = 12 см. Пример 4. Дано: а = 3, b = 4, с = 12, Найти d. Решение: d2 = а2 + b2 + с2 , d2 = 32 + 42 + 122 = 9 + 16 + 144 = 169, d= 13. Ответ:  d= 13. Пример 5. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, AB = 12 см, BC= 5 см, ÐBDB1 = 45° . Найти BB1. Решение: В треугольнике BАD найдем ВD:  ВD2 =  АD2 + АB2 , ВD2 = =  ВС2 + АB2 , ВD2 =  52 + 122 = 25 + 144 = 169, ВD = 13 см. В прямоугольном треугольнике BDB1 найдем BB1: ÐBDB1 = 45°, BB1 = ВD = 13 см. Ответ:  BB1 = 13 см. Пример 6. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, AС1 = 12 см, α = 30°, β = 45°. Найти измерения прямоугольного параллелепипеда а, b, с. Решение: В прямоугольном треугольнике BАD1, α = 30°, AB = а = BD1 : 2 = AС1: 2 = 12: 2 = 6 см. В прямоугольном треугольнике BDD 1, β = 45°, с = DD 1= BD = = 6 . В прямоугольном треугольнике АBD, BD = 6, АВ = 6 см, АD2 =  BD2 –АВ2  , АD2 = 72 – 36 = 36, АD = b = 6 см.
hello_html_m321ec67f.gif

Ответ:  а = b = 6 см, с = 6 см.




Задание: 1 Вариант.

  1. Найти площадь основания ABCD прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если DB1 = см, DB = 10 см, BC1 = 7 см.

  2. Сумма трех измерений прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равна 48, AB : AA1 : AD = 2 : 2 : 4.   Найдите наибольшую из диагоналей граней параллелепипеда.

  3. Дано: а = 8, b = 9, с = 12, Найти d.

  4. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, AB = 24 см, BC= 10 см, ÐBDB1 = 45° . Найти BB1.

  5. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, AС1 = 16 см, α = 30°, β = 45°. Найти измерения прямоугольного параллелепипеда а, b, с.

2 Вариант.

  1. Найти площадь основания ABCD прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 если DB1 = см, DB = 6 см, BC1 = 12 см.

  2. Сумма всех ребер параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равна 240 см. Найти каждое ребро параллелепипеда. если АВ/ВС= 4/5 и ВС/ВВ1 = 5/6.

  3. Дано: а = 6, b = 8, с = 24, Найти d.

  4. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, AB = 30 см, BC= 15 см, ÐBDB1 = 45° . Найти BB1.

  5. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, AС1 = 20 см, α = 30°, β = 45°. Найти измерения прямоугольного параллелепипеда а, b, с.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

























Самостоятельная работа № 13

Тема: Типовой расчет по теме «Пирамида. Усеченная пирамида».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Пирамида. Усеченная пирамида»,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 3.§ 2.

Решение типовых заданий: 1 ЧАСТЬ. ПИРАМИДА.

Пример 1. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого 8см, а радиус описанной около него окружности равен 5 см. Основанием высоты этой пирамиды является середина гипотенузы. Высота пирамиды равна 12см. Вычислить боковые ребра пирамиды. 
Решение: В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на его гипотенузе. Соответственно, AB = 10 см, AO = 5 см. 
Поскольку высота ON = 12 см, то величина ребер AN и NB равна
 
AN
2 = AO2 + ON2 , AN2 = 52 + 122 , AN = , AN = 13. 
Поскольку нам известна величина AO = OB = 5 см и величина одного из катетов основания (8 см), то высота, опущенная на гипотенузу, будет равна
  CB2 = CO2 + OB2 , 64 = CO2 + 25 , CO2 = 39 , CO = .
Соответственно, величина ребра CN будет равна
 :CN2 =  CO2 + NO2 , CN2 = 39 + 144 ,
CN = .
Ответ: 13, 13 , .hello_html_m48fa674b.gif

Пример 2. Боковая грань правильной треугольной пирамиды представляет собой правильный треугольник, площадь которого 16 корней из 3 см2 (16). Вычислить периметр основания пирамиды. 
Решение
: Правильный треугольник - это равносторонний треугольник. Соответственно, боковая грань пирамиды представляет собой равносторонний треугольник. 
Площадь равностороннего треугольника равна:
 . 
Соответственно:
 16 = a2 / 4 , 16 = a2 / 4 , a2 = 64 ,a = 8 см .
Основанием правильной треугольной пирамиды является правильный (равносторонний) треугольник. Таким образом, периметр основания пирамиды равен
  Р = 83 = 24 см .
Ответ: 24 см. 
Пример 3. Высота правильной треугольной пирамиды 4 см, а ее апофемы 8см. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды. 
Решение:  Исходя из того, что MK = 8, MO = 4, синус угла OKM равен  MO/MK = 1/2 , откуда угол равен arcsin 1/2 = 30 °. 
Откуда  KO / MK = cos 30° , KO / 8 = cos 30° , KO = 8 cos 30° .
KO = 8/2 = 4
 . KO является радиусом вписанной окружности в основании правильной треугольной пирамиды. Тогда по свойству равностороннего треугольника КО= r = a/6. 4 = a /6 , a = 24. 
Теперь, зная размер основания боковой грани и ее апофему, найдем площадь боковой грани как площадь равнобедренного треугольника:
 Sт = 1/224 8 = 96 см2 .
Откуда площадь боковой поверхности пирамиды
 S = 3 Sт = 3 96 = 288 см2 . 
Ответ: 288 см2. hello_html_m3f19bf97.gif

Пример 4. Высота и сторона основания правильной четырехугольной пирамиды соответственно равны 24 и 14. Найдите апофему пирамиды. 
Решение: Поскольку пирамида правильная, то в ее основании лежит правильный четырехугольник - квадрат. Кроме того, высота пирамиды проецируется в центр квадрата. Таким образом, катет прямоугольного треугольника, который образован апофемой пирамиды, высотой и отрезком, их соединяющим, равен половине длины основания правильной четырехугольной пирамиды.  Откуда по теореме Пифагора длина апофемы будет найдена из уравнения:  72 + 242 = x2 , x2 = 625,  x = 25. 
Ответ: 25 см .hello_html_m678d7f82.png

2 ЧАСТЬ. УСЕЧЕННАЯ ПИРАМИДА.

Пример 1. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 3, h = 4, a1= 16 , a2= 10 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

Решение: r1= a1 / 2  = 16  : 2  = 8, r2= a2 / 2  = 10  : 2  = 5,

l2 = h2 + (r2 r1)2, l2 = 42 + (5 8)2 = 16 + 9 = 25, l = 5.

Sn =  /4 (a12 + a22) + 1,5 l(a1 + a2) .

Sn =  /4 ((16 )2 + (10 )2) + 1,5 5(16  + 10 ) =  /4 (768 + 300) + 1,5 5 = =267 + 195  = 462  .

Ответ: 462 

Пример 2. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 4, h = 3, a1= 16, a2= 8 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

Решение: r1= a1 / 2= 16: 2= 8, r2= a2 / 2= 8  : 2  = 4,

l2 = h2 + (r2 r1)2, l2 = 32 + (4 8)2 = 9 + 16 = 25, l = 5.

Sn = (a12 + a22) + 2 l(a1 + a2) .Sn = (162 + 82) + 2 5(16 + 8) = 320 + 240 = 560 .

Ответ: 560

Пример 3. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 6, h = 2, a1= 2 , a2= 6 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

Решение: r1= a1 / 2  = 2  : 2  =  , r2= a2 / 2  = 6  : 2  = 3 ,

l2 = h2 + (r2 r1)2, l2 = 22 + ( )2 = 4 + 12 = 16, l = 4.

Sn =3  /2 (a12 + a22) + 3 l(a1 + a2) .Sn =3  /2 (22 + 62) + 3 4(2 + 6) = 60   + 96 .

Ответ: 60   + 96

Пример 4. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 4, h = 3, r1=2, r2= 6 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

Решение: l2 = h2 + (r2 r1)2, l2 = 32 + (6 2)2 = 9 + 16 = 25, l = 5.

Sn = 4 (r12 + r22) + 4 l(r1 + r2) . Sn = 4 (22 + 62) + 2 5(2 + 6) = 160 + 80 = 240 .

Ответ: 240.


Задание: 1 вариант.

1 ЧАСТЬ. ПИРАМИДА.


  1. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого 16 см, а радиус описанной около него окружности равен 10 см. Основанием высоты этой пирамиды является середина гипотенузы. Высота пирамиды равна 24 см. Вычислить боковые ребра пирамиды. 

  2. Боковая грань правильной треугольной пирамиды представляет собой правильный треугольник, площадь которого 64 корней из 3 см2 (64). Вычислить периметр основания пирамиды. 

  3. Высота правильной треугольной пирамиды 8 см, а ее апофемы 16 см. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды. 

  4. Высота и сторона основания правильной четырехугольной пирамиды соответственно равны 24 и 20. Найдите апофему пирамиды. 

2 ЧАСТЬ. УСЕЧЕННАЯ ПИРАМИДА.


  1. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 3, h = 8, a1= 14 , a2= 2 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

  2. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 4, h = 8, a1= 16, a2= 4 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

  3. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 6, h = 2, a1= 4 , a2= 8 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

  4. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 4, h = 3, r1=5, r2= 9 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .


2 вариант.


1 ЧАСТЬ. ПИРАМИДА.


  1. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого 9 см, а радиус описанной около него окружности равен 6 см. Основанием высоты этой пирамиды является середина гипотенузы. Высота пирамиды равна 8 см. Вычислить боковые ребра пирамиды. 

  2. Боковая грань правильной треугольной пирамиды представляет собой правильный треугольник, площадь которого 4 корня из 3 см2 (4). Вычислить периметр основания пирамиды. 

  3. Высота правильной треугольной пирамиды 2 см, а ее апофемы 4 см. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды. 

  4. Высота и сторона основания правильной четырехугольной пирамиды соответственно равны 12 и 18. Найдите апофему пирамиды. 


2 ЧАСТЬ. УСЕЧЕННАЯ ПИРАМИДА.


  1. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 3, h = 6, a1= 18 , a2= 2 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

  2. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 4, h = 6, a1= 18, a2= 2 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

  3. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 6, h = 2, a1= 6 , a2= 10 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

  4. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 4, h = 4, r1=5, r2= 8 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .


Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-4 (1 и 2 часть), Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-3(1 и 2 часть), Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-2(1 и 2 часть). Требования к оформлению самостоятельной работы: Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.


















Самостоятельная работа № 14

Тема: Составление опорного конспекта «Правильные многогранники».

Цель работы:

  • закрепить понятия: правильных многогранников, их виды, элементы симметрии правильных многогранников ;

  • развитие графических и вычислительных умений и навыков: построение чертежей, вычисление элементов правильных многогранников;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Определение правильного многогранника;

  2. Виды правильных многогранников и их описание, изображения;

  3. Расчет элементов правильных многогранников по теореме Эйлера;

  4. Элементы симметрии правильных многогранников: центр, ось, плоскость;

Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.









Самостоятельная работа № 15

Тема: Решение теста по теме «Многогранники» .

Цель работы: повторить, закрепить основные понятия по теме «Многогранники».

Методические рекомендации к выполнению теста:

Прочитать вопрос, ответить на его и записать букву , под которой записан правильный ответ.

Задание:

1) тетраэдр -  поверхность, составленная из…

 А) 4 треугольников;            Б ) 3 треугольников;

 В) 5 треугольников;             Г) 4 четырехугольников;

2) параллелепипед – поверхность, составленная из ….

 А) параллелограммов;        Б) 6 параллелограммов;

 В) 4 треугольников;             Г) 6 прямоугольников;

3) любая поверхность ограничивает….., отделяет …… от остальной части……..

А) многогранник, плоскости;  Б) тело, пространство;

В) геометрическое тело, плоскость; 

Г) геометрическое тело, пространство;

4) поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающую геометрическое тело, называют…..

 А) многогранником;           Б) многоугольником;

 В) тетраэдром;                     Г) параллелепипедом;

 5) концы ребер многоугольника называют….

 А) грани;               Б) ребра;            В) вершины;               Г) диагонали;

6) Сколько ребер у тетраэдра?

А) 6; Б) 7; В) 8; Г) 12;

7) Двойственный многогранник это …

А) тетраэдр; Б) октаэдр; В) додекаэдр;

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-7,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-6,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-4.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.









Самостоятельная работа № 16

Тема: Составление опорного конспекта «Цилиндр» .

Цель работы:

  • закрепить понятия: цилиндра и его элементов, сечения цилиндра различными плоскостями, развертка боковой поверхности цилиндра;

  • развитие графических и вычислительных умений и навыков: построение чертежей, вычисления по формулам площади цилиндра;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Определение цилиндра и его элементов: основания, ось, радиус, высота, образующая;

  2. Сечения цилиндра различными плоскостями;

  3. Развертка боковой поверхности цилиндра;

  4. Формулы для вычисления площади полной поверхности и площади боковой поверхности цилиндра;

Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

Самостоятельная работа № 17

Тема: Типовой расчет по теме «Цилиндр».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Цилиндр»,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

  1. Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 6. § 1.

  2. Самостоятельная работа № 16.

Решение типовых заданий:

Пример 1. В цилиндре параллельно его оси проведено сечение, диагональ которого равна 17 см, высота цилиндра равна 15 см., а радиус основания 5 см. На каком расстоянии от оси проведено это сечение? 
Решение. 
Сечение цилиндра в плоскости представляет собой прямоугольник. Таким образом, BM также представляет собой высоту цилиндра. Треугольник BMK - прямоугольный. Таким образом, можно найти длину стороны MK = B
C:
BK
2 = BM2 + MK2 , MK2 = BK2 - BM2 ,MK2 = 172 - 152 ,
MK
2 = 64 , MK = 8. 
Таким образом, MK = BC = 8 см.
 
Теперь, проведем сечение через основание цилиндра. Рассмотрим получившуюся плоскость.
 
(
это делать совершенно необязательно, сечение основания цилиндра проведено только для простоты понимания решения задачи). 
AD - диаметр цилиндра, проведенный как сечение, параллельное заданному в условии задачи. BC - прямая, принадлежащая сечению, параллельному оси цилиндра. Поэтому ABCD - трапеция. Если трапеция равнобедренная, то вокруг нее можно описать окружность. Таким образом, ABCD - равнобедренная трапеция. Найдя высоту трапеции, получим расстояние от проведенного по условию задачи сечения до оси цилиндра. Найдем величины некоторых отрезков.
 AD = 2R = 2 5 = 10 см, OC = OD = R = 5 см .
В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой - полуразности оснований. Таким образом,
 
AN = DP = ( 10 -8 ) / 2 = 1 см
 , тогда OP = OD -DP = 5 - 1 = 4 см .
Треугольник CPO - прямоугольный, так как CP - высота трапеции. Откуда
 
CP
2 + OP2 = OC2 ,CP2 = OC2 OP2, CP2 = 52  42 ,CP2 = 25 16= 9 ,CP = 3. 
Ответ: Проведенное сечение цилиндра находится на расстоянии 3 см от его оси. hello_html_m1ed0129.gifhello_html_m2050d35.gif

Пример 2. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если диагональ его осевого сечения, равная 8см, составляет с образующей цилиндра угол величиной 30° . Решение: Поскольку AC = 8 см, а угол ACD = 30°, то 
CD = AC cos 30°  . Пояснение. Треугольник ACD - прямоугольный. Соответственно, CD / AC = cos ACD по свойству тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике. Значение  cos 30 найдем из таблицы значений тригонометрических функций. CD = 8  /2 = 4. Аналогично,  AD = AC sin 30° , AD = 8 1/2 = 4, Откуда радиус основания цилиндра равен R = 4/2 = 2 см. Площадь основания цилиндра, соответственно, равна  S1 = πR2 = 4π. Площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его развертки - произведению длины окружности основания и высоты цилиндра. То есть: S2 = 2πRh = 2π 2 4= 16π. Общая площадь поверхности цилиндра равна:  S =S1 + S2 =   4π +  16π. Ответ:  4π +  16π. Пример 3. Дано: цилиндр; ABCD - квадрат; АС = 4 см (рис. ). Найти: Sб.п.ц. Решение: Sб.п.ц. = 2πRH. Пусть АВ = х, тогда х2 + х2 = 42; 2х2 = 16; х2 = 8; х = 2. = ; Н = 2. . Sб.п.ц. = 2π · · 2= 8π (см2). Ответ: 8π см2. Пример 4. Дано: цилиндр, ABCD - квадрат; Sосн.ц. = 16π см2 (рис.). Найти: Sб.п.ц. Решение: πR2 = 16π; R2 = 16; R = 4. АВ = ВС = 4 · 2 = 8 (см). Sб.п.ц. = 2πRH, где R = 4; Н = 8.Sб.п.ц. = 2π · 4 · 8 = 64π (см2). Ответ: 64π см2. Пример 5. Дано: цилиндр, АВ1 = 16 см, B1AB = 30° (рис.). Найти: hRосн.  Решение:1) hк. = BB1; 2)Из ΔАВВ1 находим AB: AB = 16 cos 30° = 16 /2 = 8 R = 1/2 AB = 8 : 2 = 4 . 3) Из ΔВ1АВ находим BB1: BB1 = 16 sin 30 ° = 16 1/2 = 16 : 2 = 8 см. Ответ: = 8 см; R = 4 см.
hello_html_m2ae74cee.jpghello_html_40222fab.gif

Задание:hello_html_m5b1a35f0.jpghello_html_m41d996ff.jpg

1вариант.

1)В цилиндре параллельно его оси проведено сечение, диагональ которого равна 34 см, высота цилиндра равна 30 см., а радиус основания 10 см. На каком расстоянии от оси проведено это сечение?

2)Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если диагональ его осевого сечения, равная 16 см, составляет с образующей цилиндра угол величиной 30 °.

3)Дано: цилиндр; ABCD - квадрат; АС = 16 см (рис. ). Найти: Sб.п.ц.

4) Дано: цилиндр, ABCD - квадрат; Sосн.ц. = 25π см2 (рис.). Найти: Sб.п.ц.

5)Дано: цилиндр, АВ1 = 8 см, B1AB = 30° (рис.). Найти: hRосн.

2 вариант.

1)В цилиндре параллельно его оси проведено сечение, диагональ которого равна 10 см, высота цилиндра равна 6см., а радиус основания 5 см. На каком расстоянии от оси проведено это сечение?

2)Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если диагональ его осевого сечения, равная 4 см, составляет с образующей цилиндра угол величиной 30 °. 

3)Дано: цилиндр; ABCD - квадрат; АС = 8см (рис. ). Найти: Sб.п.ц.

4)Дано: цилиндр, ABCD - квадрат; Sосн.ц. = 36π см2 (рис.). Найти: Sб.п.ц.

5)Дано: цилиндр, АВ1 = 20 см, B1AB = 30° (рис.). Найти: hRосн.

Критерии оценки: Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5, Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4, Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы: Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

























Самостоятельная работа № 18

Тема: Типовой расчет по теме «Конус».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Конус»,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 6. § 2.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Высота конуса равна 5см, а радиус основания 12см. Найдите площадь полной поверхности конуса. 
Решение
Для нахождения площади поверхности конуса воспользуемся следующими формулами: S
1 = rl - площадь боковой поверхности конуса, где r - радиус конуса, а l - длина образующей, S2 = r2 - площадь круга, то есть основания конуса. Таким образом, площадь поверхности конуса составит  S = S1 + S2 .
Поскольку S
1 = rl , найдем образующую. Поскольку высота конуса, радиус основания конуса и образующая являются сторонами прямоугольного треугольника, то  l2 = h2 + r2 , l2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169 , l = 13.
Тогда
 S = S1 + S2 = + 144 = 156+ 144 = 300 ≈ 942,48 
Ответ: 300 ≈ 942,48 см2 .hello_html_m6d6bd24b.jpg

Пример 2. Дано: конус, ОР = 15 см, ОВ = r = 8 см (рис.). Найти:РВ.  Решение: Из ΔОРВ по теореме Пифагора:PB2= PO2 + OB2, PB2= 152 + 82 = 225 + 64 = 289, PB = 17. Ответ: 17 см.

Пример 3. Дано: Конус, ABC = 120°, АВ = 6 (рис.). Найти: R,h.  Решение:1) ΔАВС - равнобедренный, угол при основании  С = 30°. 2)Из ΔАВО : h = ВО = AB : 2 = 3. 3)R = AO = AB · cos 30° = 6 ·  : 2 = 3 . Ответ: H = 3, R = 3.hello_html_m6bcb7613.jpg

Пример 4. Дано: Конус. ΔАВС - равносторонний, АВ = 12, = 10 (рис.). Найти: OK,h.  Решение:1) Из ΔВОС по теореме Пифагора: h2 = OB2 = BC2OC2, h2 = 122 – 102 = =144 – 100 = 44, h = = 2 2)ΔABC - равносторонний, АС = 12, СК = 6. Из ΔСОК по теореме Пифагора ОК2 = ОС2СК2, ОК2 = 102 62 = 100 36 = 64, OK = 8. Ответ: h = 2, ОК = 8.hello_html_m2d0d5103.jpg

Пример 5. Дано: конус, h = OP = 1,2 см, Sосев. = 0,6 см2 (рис.). Найти: Sполн. . Решение:hello_html_28ad1e01.jpg

  1. Осевое сечение - треугольник: высота 1,2 см и основание 2r.

Sосев. =  · 2r h = r h, r = Sосев. : h = 0,6 : 1,2 = 0,5 см.

  1. Из ΔАОР по теореме Пифагора: l2 = h2 + r2  = OP2 + OA2. l2 = 1,22 + 0,52 = 1,44 + 0,25 = 1,69, l = 1,3 см.

  2. Sполн. = · (r + l) , Sполн. = 0,5 · (0,5 + 1,3) = · 0,5 · 1,8 = 0,9 Ответ: 0,9π см2.


Задание: 1вариант.

  1. Высота конуса равна 10 см, а радиус основания 24 см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

  2. Дано: конус, ОР = 12 см, ОВ = r = 9 см (рис.). Найти: РВ. 

  3. Дано: Конус, ABC = 120°, АВ = 8 (рис.). Найти: R, h. 

  4. Дано: Конус. ΔАВС - равносторонний, АВ = 24, = 20 (рис.). Найти: OK, h.

  5. Дано: конус, OP = 2,4 см, Sосев. = 2,4 см2 (рис.). Найти: Sполн. 

2 вариант.

  1. Высота конуса равна 6 см, а радиус основания 8 см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

  2. Дано: конус, ОР = 15 см, ОВ = r = 20 см (рис.). Найти: РВ. 

  3. Дано: Конус, ABC = 120°, АВ = 10 (рис.). Найти: R, h. 

  4. Дано: Конус. ΔАВС - равносторонний, АВ = 32, = 20 (рис.). Найти: OK, h.

  5. Дано: конус, OP = 0,9 см, Sосев. = 1,08 см2 (рис.). Найти: Sполн. 

Критерии оценки: Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5, Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4, Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.



Требования к оформлению самостоятельной работы: Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.



Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.






Самостоятельная работа № 19

Тема: Решение теста по теме «Тела вращения».

Цель работы: повторить, закрепить основные понятия по теме «Тела вращения».

Методические рекомендации к выполнению теста:

  1. Прочитать вопрос, ответить на его и записать букву , под которой записан правильный ответ.

  2. Решив задачу, нужно выбрать правильный ответ и записать номер, под которым он записан.

Задание: Тест: «Тела вращения».

1. Сколько диаметров у сферы? А.1. Б.3.В.2. Г. бесконечно много.

2. Какой фигурой является сечение шара плоскостью?

А. отрезком. Б. Кругом. В. окружностью. Г. сферой.

3. Если радиус сферы увеличить в 2 раза то объём увеличиться

А. в 2 раза .Б. в 8 раз. В. в 4 раза. Г. в 16 раз.

4. В формуле V=4/3. R 3 ,V-объём

А. шара. Б. Цилиндра. В. конуса .Г. шарового сектора.

5. Конус можно получить, если вращать вокруг стороны

А. равносторонний треугольник .Б. остроугольный треугольник.

В. тупоугольный треугольник .Г. прямоугольный треугольник.

6. Площадь поверхности шара (сферы) уменьшили в 9 раза. Объём уменьшиться в ...

А. 3 раз. Б. 27 раз. В. 9 раз. Г.81 раз.

7.Площадь боковой поверхности конуса равна

А. 2, Б. 4 , В. ;

8.Тело вращения, площадь боковой поверхности которого равна 2 называется

А. цилиндр, Б. Шар, В. конус;

9.У какого тела вращения 2 основания

А. конус, Б. шар, В. цилиндр;

10.В сечении треугольник. В каком теле вращения это возможно?

А. конус, Б. шар, В. цилиндр;

11.В каком теле вращения нет высоты;

А. шар, Б. цилиндр, В. конус, Г. усеченный конус;

12.Какая фигура в осевом сечении у шара

А. квадрат, Б. ромб, В. круг, Г. прямоугольник;


Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-12,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-10,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-6.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.








Самостоятельная работа № 20

Тема: Типовой расчет по теме «Объём прямоугольного параллелепипеда».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Объём прямоугольного параллелепипеда»,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 7. § 1. Решение типовых заданий:

Пример 1. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 12. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 4. Найдите объем параллелепипеда. Решение: Каждая грань прямоугольного параллелепипеда –прямоугольник. Пусть SABCD= a b = 12 , тогда АА1= h = 4, т.к. АА1 АВСD. Используем формулу объема прямоугольного параллелепипеда V = a b h , V = 12 4 = 48. Ответ: 48 см3. Пример 2. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 12. Одно из его ребер равно 3. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру. Решение: Пусть АА1 АВСD, V = 12 , АА1= h = 3. Найдём SABCD. Используем формулу объема прямоугольного параллелепипеда V = a b h, где SABCD= a b, S ABCD 3 = 12,S ABCD = 4. Ответ: 4 см2. Пример 3. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите объем параллелепипеда. Решение: a = 4, b = 2, d = 6. Найдем V. Формула диагонали прямоугольного параллелепипеда: d2 = a2 + b2 + h2 , 16 + 4 + h2 = 36, h2 = 16, h = 4. Формула объема прямоугольного параллелепипеда: V = abh , V = 4 2 4 = 32. Ответ: 32 см3. Пример 4. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 3. Объем параллелепипеда равен 36. Найдите его диагональ и высоту. Решение: a = 3, b = 2. Формула объема прямоугольного параллелепипеда: V = abh , 3 . 2 . h = 36, 6h = 36, h = 6. V = 36.Найдем d. d2 = 9 + 4 + 36, d2 = 49, d = 7. Ответ: 7 и 6 см. Пример 5. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, диагональ D1= 18 составляет угол в 30° с плоскостью боковой грани, и угол в 45° с боковым ребром (рис. ). Найти: V.

 Решение: BC1 - проекция D1на плоскость боковой грани BB1С1С, поэтому D1BC1 = 30°D1BB1= 45°. Рассмотрим ΔD1C1BD1C1= 90° (рис.). ∠В = 30°. => D1C1 = 18 : 2 = 9 см. Рассмотрим ΔD1B1- прямоугольный: BB1= 18 cos 45° = 18 : 2 = 9 см. Диагональ (d) и измерения (а, b, с) прямоугольного параллелепипеда связаны соотношением: d2 = a2 + b2 + h2 , 182 = 92 + (9)2 + B1C12 , (ΔD1B1B: B1B =D1 B1). B1C12 = 182 92 (9)2 = 324 – 8181 2 = 81, B1C1 = 9см. V = 99 9 = 729 см3hello_html_m49e41dc8.jpg

Ответ: V = 729см3.

Пример 6. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда 3 и 4. Найти его объём, если высота равна длине диагонали его основания.

Решение: BD - диагональ основания прямоугольного параллелепипеда. BD2 = АВ2 + АD2, BD2 = 32 +42 = 9 + 16 = 25, BD = 5, h = 5. V = 345 = 60 см3. Ответ: 60 см3.

Пример 7. Найти объём прямоугольного параллелепипеда, если стороны основания 2 и 3, а диагональ параллелепипеда .

Решение: d2 = a2 + b2 + h2 , ()2 = 22 + 32 + h2 , h 2 = 38 – 4 9 = 25, h = 5.

V = 23 5 = 30 см3. Ответ: 30 см3.

Задание: 1вариант.

  1. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 15. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 6. Найдите объем параллелепипеда.

  2. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 24. Одно из его ребер равно 3. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру.

  3. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3, 4. Диагональ параллелепипеда равна 13. Найдите объем параллелепипеда.

  4. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3, 6. Объем параллелепипеда равен 108. Найдите его диагональ и высоту.

  5. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, диагональ  D1= 12 составляет угол в 30° с плоскостью боковой грани, и угол в 45° с боковым ребром (рис. ). Найти: V.

2 вариант.

  1. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 18. Ребро,перпендикулярное этой грани, равно 5. Найдите объем параллелепипеда.

  2. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3, 4. Объем параллелепипеда равен 144. Найдите его диагональ и высоту.

  3. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, диагональ  D1= 16 составляет угол в 30° с плоскостью боковой грани, и угол в 45° с боковым ребром (рис. ). Найти: V.

  4. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда 6 и 8. Найти его объём, если высота равна длине диагонали его основания.

  5. Найти объём прямоугольного параллелепипеда, если стороны основания 4 и 6, а диагональ параллелепипеда .

Критерии оценки: Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5, Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4, Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы: Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

Самостоятельная работа № 21

Тема: Типовой расчет по теме «Расчет объёма прямой и наклонной призмы».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Объём прямой и наклонной призмы»,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 7. § 2-3. Решение типовых заданий: 1 ЧАСТЬ. Объём прямой призмы.hello_html_m3970c1fc.jpg

Пример 1. Дано: АВСА1В1С1 - прямая призма, АС = ВС, ACB = 90°BN NACNC1 = 45°CC1 = 6 (рис.). Найти: V. Решение: V = Sh , S = BC2 : 2, BC2 = BN2 + CN2 , BN =CN (ΔABC – прямоугольный,AC =BC), ΔC1CN – прямоугольный,CNC1 = 45°CC1 = CN= 6, BC2 =2CN2 = 2 62 = 236 = 72, BC =6 , V = (62 6 : 2 = 216 см3.    
Ответ:216см3.     Пример 2. Дано: ABCDА1В1С1D1 - прямая призма,  ABCD - ромб, BAD = 60° (рис.). ВВ1 = 2, B1DB = 45°. Найти: V. РешениеSp = AB AD sin 60°. ΔABD – равносторонний( AB = AD,BAD = 60° ). AB = BD = AD. ΔB1DB –прямоугольный , B1DB = 45°. => ΔB1DB – равнобедренный, ВВ1 = ВD = 2, V = AB AD sin 60° BB1= BB13 sin 60° = = 23 / 2 = 4 см3.hello_html_6c1a9bbb.jpg

Ответ: 4 см3hello_html_72355ff0.jpg

Пример 3. Дано: ABCDFM...M1 - правильная шестиугольная призма. AD1 = 8 см - наибольшая диагональ.AD1= 30°(рис.). Найти: V.  Решение: V= S0 · h. h = DD1 в ΔADD1, = 90°. D1 = 30°, DD1 = AD1 · cos 30°. DD1 = 8 / 2 = 4 , AD = AD1 : 2 = 4 см, OD = OC = CD = AD : 2 = 2 см, S0 = 6S ΔOCD = 6 / 4) a2 = 6 / 4) 22 = 6 см.
V
= 6 = 72 см3.    

Ответ: 72 см3.     hello_html_m47ca6280.jpg

Пример 4. Дано: АВСА1В1С1 - прямая призма, АВ = ВС = 10 см, АС = 12 см, К - середина ребра,  KDB =60° (рис.). Найти: Vпр. Решение:1) Рассмотрим получившееся сечение: ΔАКС и определим угол между плоскостью (АКС) и плоскостью основания. В ΔАВС проведем BD AC, тогда AC  KD (теорема о трех перпендикулярах).KDB и есть линейный угол двугранного угла между плоскостью (АКС) и плоскостью основания;KDB = 60°. 2) V= S0 · h. 3) Найдем площадь основания. S0 = ah : 2 . Рассмотрим AВС: равнобедренный, поэтому BD - высота, медиана и биссектриса треугольника, т. е.AD DC = 6 см. Далее из BDC по теореме Пифагора находим высоту треугольника ABC: h2 = BD2 = BC2DC2 = 102 62 = 100 36 = 64, h = BD = 8 см. a = AC = 12 см,S0 = 128 : 2 = 48 см2. 4) Найдем высоту призмы ВВ1. Рассмотрим ΔBDK - прямоугольный, BDK =60°, BK = BD tg 60° = 8 = 8см. h = BB1 = 2BK = 16 см. 5) V= S0 · h. V= 48 · 16 = 768 см3.  Ответ: 768 см3.    

Пример 5. a) трапеция, S(BB1C1C) = 8 см2, S(AA1D1D) = 12см2, BH = 5 см (рис.).Найти: Vnp.  Решение:1)Расстояние между параллельными плоскостями ВВ1С1 и AA1D1 есть длина перпендикуляра ВН, который является высотой трапеции ABCD. hello_html_m62762a7f.jpg

2) Обозначим верхнее основание трапеции - а, нижнее - b, высоту призмы h, тогда S(BB1C1C) = ah, 8 = ah, a = 8 / h, S(AA1D1D) = bh , 12 = bh, b = 12 / h,

3) S0 = (AD + BC)BH : 2 = ( a + b ) BH : 2 = (8 / h + 12 / h) 5 : 2 = 50 / h,

4) V= S0 · h. V= 50 / · h = 50 см3.  Ответ: 50 см3.

б) Дано: АВСDА1В1С1D1 — прямая призма,  ABCD - трапеция. 

V np. = 40 см3, S(BB1C1C) = 6 см2, S(AA1D1D )= 14 см 2. Найдите: BH. Решение:1) Расстояние между параллельными плоскостями ВВ1С1 и AA1D1 есть длина перпендикуляра ВН, который является также высотой трапеции ABCD. 2) Обозначим: а - верхнее основание трапеции, b - нижнее основание, h - высота призмы, тогда S(BB1C1C) = ah, 6 = ah, a = 6 / h, S(AA1D1D) = bh , 14 = bh, b = 14 / h, S0 = (AD + BC)BH : 2 = ( a + b ) BH : 2= (6 / h + 14 / h) BH : 2 = 10 BH / h. 3) V= S0 · h.  40 = 10 BH / h h = 10 BH, BH = 40 : 10 = 4 см. Oтвет: 4 см.

2ЧАСТЬ. Объём наклонной призмы.

Пример 1. В наклонной призме боковое ребро равно 7 см, перпендикулярное сечение - прямоугольный треугольник с катетами: 4 см и 3 см. найдите объем призмы. Решение: V= Sперп.сеч. · а. Sперп.сеч – площадь перпендикулярного сечения, а – боковое ребро. Sперп.сеч = b·с : 2 = 4·3 : 2 = 6, V= Sперп.сеч. · а = 6 ·7 = 42 см3. Ответ: 42 см3. Пример 2. Дано: АВСА1В1С1 - наклонная призма, АВ = 10 см, ВС = 10 см, АС = 12 см, ВВ1 = 8 см,  B1BK = 60° (рис.).Найти: Vnp. Решение:1) V= S0 · h.  p = (a + b + c) : 2= (10 + 12 +10) : 2 = 16,hello_html_m2de4b194.jpg

S0 = (ф-ла Герона).

S0 = см2.

2) ΔBB1- прямоугольный, так как В1Н - высота. В1Н = ВВ1 · sin60°; В1Н = h = 8 · / 2 = 4 см.

3) V= S0 · h = · 48 = 192 см3

Ответ: Vnp. = 192 см3.

Пример 3. Дано: АВСА1В1С1 - наклонная призма, ВВ1С1С - ромб, B1С  (ABC), В1С = 3, ΔАВС - равносторонний, ВВ1 = 5 (рис.).hello_html_67079322.jpg

Найти: Vnp. Решение:1) V= S0 · h. BB1 = BC  (по условию).

2) S0 = 1/2 AB · BC · sin 60° = 1/2· 5· 5 · sin 60° = 1/2 · 25 · / 2 = 6,25

3) B1CK = 90° (по определению угла между прямой и плоскостью);

В1С = 3. V= 6,25 = 18,75  см3. Ответ: 18,75  см3

Пример 4. Дано: АВСА1В1С1 - наклонная призма, АВ = АС = 3 см; ВС = 2 см; АА1 = 4 см;  А1АН = 45°Vnp. = Vкуба. (рис.).hello_html_54f588cc.jpg

Найти: а - ребро куба. Решение:

1) Vnp.= S0 · h.  p = (a + b + c) : 2= (2 + 3 + 3) : 2 = 4,

S0 = по формуле Герона; 

S0 = см2.

2) AK  BС;  АК; ΔАА1Н - прямоугольный, A1H = A1A · sinА1АН, A1H = h = 4 · sin45° = 4 · / 2 = 2 см. 3) Vnp.= S0 · h =  2 = 8 см3. 4) Vк = Vnp. Vк = a3 = 8 , a = 2 см.

Ответ: а = 2 см.

Пример 5. Дано: ABCDA1B1C1D1 - наклонная призма;

ABCD - прямоугольник; АВ = 6 см; AD = 8 см,

AA1B1B - квадрат; KHF = 60° (рис.).

Найти: Vnp.

Решение:hello_html_m5492efc4.jpg

1. Vnp.= S0 · h. S0 = AB · AD, S0 = 6 · 8 = 48см2.

2. КО - высота призмы; ΔКОН - прямоугольный, KO = h = KH · sinKHF,

 KO = 6 · sin 60° = 6 · / 2 = 3 KH = AA1 = AB = 6 см.

3. Vnp.= S0 · h = 48 · 3 = 144 см3.

Ответ: 144 см3.

Задание: 1 ЧАСТЬ.

1вариант.

  1. Дано: АВСА1В1С1 - прямая призма, АС = ВС, ACB =90°BN NACNC1 = 45°CC= 8 (рис.). Найти: V.

  2. Дано: ABCDА1В1С1D1 - прямая призма,  ABCD - ромб, BAD = 60° (рис.). ВВ1 = 4B1DB = 45°. Найти: V.

  3. Дано: ABCDFM...M1 - правильная шестиугольная призма. AD1 = 16 см - наибольшая диагональ.AD1= 30° (рис.). Найти: V. 

  4. Дано: АВСА1В1С1 - прямая призма, АВ = ВС = 20 см, АС = 24 см, К - середина ребра,  KDB =60° (рис.). Найти: Vпр.

  5. a)трапеция, S(BB1C1C) = 10 см2, S(AA1D1D) = 14см2, BH = 10 см (рис.). Найти: Vnp.  б)Дано: АВСDА1В1С1D1 — прямая призма,  ABCD - трапеция. 

V np. = 35 см3, S(BB1C1C) = 4 см2, S(AA1D1D )= 10 см 2 .Найдите: BH.

2 вариант.

  1. Дано: АВСА1В1С1 - прямая призма, АС = ВС, ACB =90°BN NACNC1 = 45°CC= 10 (рис.). Найти: V.

  2. Дано: ABCDА1В1С1D1 - прямая призма,  ABCD - ромб, BAD = 60° (рис.). ВВ1 = 6B1DB = 45°. Найти: V.

  3. Дано: ABCDFM...M1 - правильная шестиугольная призма. AD1 = 4 см - наибольшая диагональ.AD1= 30° (рис.). Найти: V. 

  4. Дано: АВСА1В1С1 - прямая призма, АВ = ВС = 5 см, АС = 6 см, К - середина ребра,  KDB =60° (рис.). Найти: Vпр.

  5. a)трапеция, S(BB1C1C) = 6 см2, S(AA1D1D) = 10см2, BH = 8 см (рис.). Найти: Vnp.  б)Дано: АВСDА1В1С1D1 — прямая призма,  ABCD - трапеция. 

V np. = 80 см3, S(BB1C1C) = 8 см2, S(AA1D1D )= 12 см 2 .Найдите: BH.

2 ЧАСТЬ.

1вариант.

  1. В наклонной призме боковое ребро равно 5 см, перпендикулярное сечение - прямоугольный треугольник с катетами: 6 см и 8 см. найдите объем призмы.

  2. Дано: АВСА1В1С1 - наклонная призма, АВ = 5 см, ВС = 5 см, АС = 6 см, ВВ1 = 12 см,  B1BK = 60° (рис.). Найти: Vnp.

  3. Дано: АВСА1В1С1 - наклонная призма, ВВ1С1С - ромб, B1С  (ABC), В1С = 5, ΔАВС - равносторонний, ВВ1 = 6 (рис.). Найти: Vnp.

  4. Дано: АВСА1В1С1 - наклонная призма, АВ = АС = 6 см; ВС = 4 см; АА1 = 8 см; А1АН = 45°Vnp. = Vкуба. (рис.).Найти: а - ребро куба.

  5. Дано: ABCDA1B1C1D1 - наклонная призма; ABCD - прямоугольник; 

АВ = 8 см; AD = 10 см, AA1B1B - квадрат; KHF = 60° (рис.). Найти: Vnp.

2 вариант.

  1. В наклонной призме боковое ребро равно 10 см, перпендикулярное сечение - прямоугольный треугольник с катетами: 5 см и 8 см. найдите объем призмы.

  2. Дано: АВСА1В1С1 - наклонная призма, АВ = 15 см, ВС = 15 см, АС = 18 см, ВВ1 = 14 см,  B1BK = 60° (рис.). Найти: Vnp.

  3. Дано: АВСА1В1С1 - наклонная призма, ВВ1С1С - ромб, B1С  (ABC), В1С = 9, ΔАВС - равносторонний, ВВ1 = 4 (рис.). Найти: Vnp.

  4. Дано: АВСА1В1С1 - наклонная призма, АВ = АС = 9 см; ВС = 6 см; АА1 = 10 см; А1АН = 45°Vnp. = Vкуба. (рис.).Найти: а - ребро куба.

  5. Дано: ABCDA1B1C1D1 - наклонная призма; ABCD - прямоугольник; 

АВ = 4 см; AD = 10 см, AA1B1B - квадрат; KHF = 60° (рис.). Найти: Vnp.

Критерии оценки: Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5, обе части, Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4, обе части, Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3, обе части.

Требования к оформлению самостоятельной работы: Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2. Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

Самостоятельная работа № 22

Тема: Типовой расчет по теме «Объём цилиндра».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Объём цилиндра»,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 7. § 2.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Дано: цилиндр, r = 2см, h = 3 см.

Найти: V.

Решение: V= S0 · h. V= πr2 · h = π()2 3 = π 8 3= 24 π см3.

Ответ: 24π см3.

Пример 2. Дано: цилиндр, r = h= 8π см3.

Найти: h.

Решение: V= S0 · h. V= πr2 · h, так как r = h, то V = πh3 => h3 = V / π, h3 = 8 π / π = 8, h = 2 см. Ответ: 2 см.hello_html_2cd2a3a8.jpg

Пример 3. Дано: цилиндр, ABCD - осевое сечение, ABCD - квадрат, 

АС = 8см. (рис.). Найдите: Vцил. 

Решение:1) V= S0 · h. 

2)Рассмотрим ΔАВС - прямоугольный, так как ABCD квадрат. Пусть АВ = ВС = x см(x >0), тогда

x2 + x2 = (8)2, 2x2 = 642,x2 = 64, x = 8. Итак: АВ = ВС = 8 см, т.е. = 8 (см).

3) Найдем радиус основания: = 1/2AD = h / 2 = 4 см, тогда S0 = πr2 , S0 = 16π см2. 

4) V= S0 · h. V= 16 π · 8 = 128 π см3.  

Ответ: 128 π см3.

Пример 4. Дано: цилиндр, ABCD - осевое сечение, ABCD - квадрат, АС = 6см (рис. Пример 3.).

Найдите: Vцил. Решение: 1) V= S0 · h.  2)Рассмотрим ΔАВС - прямоугольный и равнобедренный, так как ABCD – квадрат. Обозначим АВ = ВС = х см (x >0), тогда x2 + x2 = (6)2, 2x2 = 362,x2 = 36, x = 6, т. е. АВ = ВС = 6 см, и так = 6 см. 3) Найдем радиус основания r = AD : 2 = AB : 2 = 6 : 2 = 3см. S0  = πr2 = 9πсм2. 

4) V= S0 · h. V=  · 6 = 54πсм3.   Ответ: 54π см3.

Пример 5. Дано: цилиндр (MNKL) || OO1, ОН =15 см, МК = 20 см, r = 17 см (рис.). Найдите: Vцил. hello_html_60118f26.jpg

Решение:

1) Рассмотрим получившееся сечение: так как плоскость параллельна оси цилиндра, то MN || OO’ иKL || OO’, т.е. MN || KL; ОО1 основанию  MN  основанию и КО  основанию, кроме того NK ||ML - лежат в параллельных плоскостях, таким образом четырехугольник MNKL - прямоугольник.

2)  V= S0 · h. V= πr2 · h = 172πh = 289 πh см3

3) Рассмотрим ΔMOL: проведем ОН  ML; ОН и есть расстояние от плоскости сечения до оси цилиндра, т. е. ОН = 15 см. ОН - высота, медиана и биссектриса равнобедренного ΔMOL, HL = ML : 2 , HL2 = OL2OH2 = 172 – 152 = 289 – 225 = 64 , HL = 8см, ML = 16 см.

4) Находим высоту цилиндра из прямоугольного ΔMKL: h2 = KL2 = MK2ML2 = 202 – 162 = 400 – 256 = 144, h = 12см.

5) V =289π 12 = 3468π см3.

Ответ: 3468π см3.

Задание: 1вариант.

  1. Дано: цилиндр, r = 4см, h = 3 см.Найти: V.

  2. Дано: цилиндр, r = h= 27π см3.Найти: h.

  3. Дано: цилиндр, ABCD - осевое сечение, ABCD - квадрат, АС =10см.(рис.). Найдите: Vцил. 

  4. Дано: цилиндр, ABCD - осевое сечение, ABCD - квадрат, АС = 4 см (рис. Пример 3.). Найдите: Vцил.

  5. Дано: цилиндр (MNKL) || OO1, ОН =30 см, МК = 40 см, r = 34 см (рис.). Найдите: Vцил. 

2 вариант.

  1. Дано: цилиндр, r = 6см, h = 3 см.Найти: V.

  2. Дано: цилиндр, r = h= 64π см3.Найти: h.

  3. Дано: цилиндр, ABCD - осевое сечение, ABCD - квадрат, АС =12см.(рис.). Найдите: Vцил. 

  4. Дано: цилиндр, ABCD - осевое сечение, ABCD - квадрат, АС = 14см (рис. Пример 3.). Найдите: Vцил.

  5. Дано: цилиндр (MNKL) || OO1, ОН = 24 см, МК = 25 см, r = 26 см (рис.). Найдите: Vцил.

Критерии оценки: Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5, Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4, Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы: Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.



Самостоятельная работа № 23

Тема: Типовой расчет по теме «Объём конуса».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Объём конуса»,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 7. § 3.

Решение типовых заданий:

Пример 1. a) Вычислите объем конуса, если его высота 6 см, а площадь основания 42 см2.

Решение: V= 1/3S0 · h. V= 1/3· 42 · 6 = 84 см3.

Ответ: 84 см3. 

б) Найти объем конуса с радиусом основания 4 м и высотой 6 м .

Решение: V= 1/3 πr2 · h. V= 1/3 · π ·42 · 6 = 32 π м3. 

Ответ: 32 π м3. 

Пример 2. Образующая конуса равна 60 см, высота 30 см. Найдите Vк (рис.).hello_html_22f040f9.jpg

Решение: Из ΔАOР (O = 90°): Так как РО = 1/2АР, то

= 30°,  R = AO = 60 · cos 30° = 60 · / 2 = 30 см,

 V= 1/3 πr2 · h. V= 1/3 π(30)2 · 30 = 27000 π см3.

Ответ: V = 27000π см3.

Пример 3. Образующая конуса, равна 12 см, наклонена к плоскости основания под углом 30° (рис.).hello_html_77625222.jpg

Найдите объем конуса.

Решение: V= 1/3 π ·AO2 · SO. 

Из ΔАSO (O = 90°): h = SO = 1/2 AC = 12 : 2 = 6 см.

R = AO = 12 · cos 30° = 12 · / 2 = 6 см.

V= 1/3 π(6)2 · 6 = 2 π · 36 · 3 = 216 π см3.

Ответ: V= 216π см3.

Пример 4. Образующая конуса 8 см, а угол при вершине осевого сечения 60°.

Найдите объем конуса. hello_html_6c88cf6d.jpg

Решение: (рис.) V= 1/3 πr2 · h. r = 8 : 2 = 4 см.

h = 8 · sin 60° = 8 · / 2 = 4  см.

V= 1/3 π · 42 · 4 = 64 / 3 21,3π см3.

Ответ: 21,3π см3.


Пример 5. Дано: конус, АР = см, PAB = 45° (рис. ).

Найти: V. hello_html_20ab41b2.jpg

Решение: V= 1/3 πr2 · h. 

 AO= РО. Из ΔAОР ((= 90°): APO = 45°, значит, AO = PO = r = h.

По теореме Пифагора 2r= 6, r2 = 3, r = h = .

V= 1/3 π()2 ·  = 1/3· π · 3 · = π см3.

Ответ: V = π см3.






Задание:

1вариант.

  1. a)Вычислите объем конуса, если его высота 3 см, а площадь основания 12 см2.

б) Найти объем конуса с радиусом основания 5 м и высотой 9 м .

  1. Образующая конуса равна 4 см, высота 2 см. Найдите Vк (рис.).

  2. Образующая конуса, равна 12 см, наклонена к плоскости основания под углом 30° (рис.).Найдите объем конуса.

  3. Образующая конуса 4 см, а угол при вершине осевого сечения 60°.

Найдите объем конуса. 

  1. Дано: конус, АР = см, PAB = 45° (рис. ).Найти: V. 


2 вариант.

  1. a)Вычислите объем конуса, если его высота 9 см, а площадь основания 15 см2.

б) Найти объем конуса с радиусом основания 7 м и высотой 3 м .

  1. Образующая конуса равна 8 см, высота 4 см. Найдите Vк (рис.).

  2. Образующая конуса, равна 12 см, наклонена к плоскости основания под углом 30° (рис.).Найдите объем конуса.

  3. Образующая конуса 6 см, а угол при вершине осевого сечения 60°.

Найдите объем конуса. 

  1. Дано: конус, АР = см, PAB = 45° (рис. ).Найти: V. 


Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.





















Самостоятельная работа № 24

Тема: Типовой расчет по теме «Объём сегмента, слоя, сектора шара».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Объём сегмента, слоя, сектора шара»,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 7. § 4.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Какую часть шара составляет объем шарового сегмента, у которого высота равна 0,1 диаметра шара? Решение: Десятая часть диаметра есть пятая часть радиуса. Значит, высота сегмента h= R/5 , V сегм. = (R/5)2 (RR /15) = (R2/25) 14R/15 = 14 R3/375, V сегм.: V =( 14/375) : (4/3) = 7/250 = 2,8 % . Ответ:  2,8%. Пример 2. Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит его на части 3 см и 9 см. На какие части делится объем шара? Решение: = (3 + 9) : 2 = 6 см. Высота меньшего сегмента h равна 3 см. Его V1 = h2 (Rh / 3) = 32 ( 6 1) = 45 см2. V = 4/3 R3 = 4/3 63 = 4/3 216 = 288 см3. Значит,  V2 = VV1 = 28845 = 243 см3. Ответ: 45 , 243 см3. Пример 3. Дано: шар, DС — диаметр секущей плоскости, АМ = 6 см, MB = 12см (рис.). V1 - объем меньшего шарового сегмента,  V2 - объем большего шарового сегмента. Найти: V1V2.  Решение: СD  АВ, ЛМ = 6 см, MB = 12 см. На рисунке: DС - диаметр круга, который является плоскостью, перпендикулярной к диаметру шара, делящей шар на два шаровых сегмента. Диаметр шара АВ = АМ + MB = 6 + 12 = 18 (см), R = 9 см. Объем шарового сегмента вычисляется по формуле: V = h2 (Rh / 3) ,  где h = AM - высота меньшего сегмента. V1 = AM2 (RAM / 3) = 62 (9 – 6/3) = 36 7 = 252 см3. Объем шара равен:   Vшара = 4/3 R3 = 4/3 93= 4 81 3 = 972 см3. V2 = VV1 =  972 252 = 720 см3.
Ответ: 252π см3 и 720π см3. Пример 4. Чему равен объем шарового сектора, если радиус окружности основания равен 60 см, а радиус шара - 75 см. Решение: Пусть R - радиус шара, r - радиус основания сегмента. Вычислим высоту сегмента Н = РО1OP = R. Из прямоугольного ΔОО1М:  OO12 = OM2O1M2 = = R2r2 = 752 602 = 5625 – 3600 = 2025, OO1 = 45 см.
h = PO1 = OPOO1 = 75 – 45 = 30 см.
V = 2/3 R2h = 2/3 75230 = 20 5625 = 112 500 см3. Ответ: 112 500 см3. Пример 5. Дано: шар, h = 30, R = 45 см. Найти: V1V2, V3. Решение: Объем шарового сегмента вычисляется по формуле: V1 = h2 (Rh / 3) ,  V1= 302 (45 – 30:3) = 900 35 = 31500 см3. V2 = 4/3R3 2 h2 (Rh / 3) = 4/3453 2 302 (45 – 30 / 3) = 121500 63000 = = 58500см3. V3= 2/3 R2h =2/3452 30 = 40500см3. Ответ: 31500 58500 40500см3.
hello_html_m45f5722.jpghello_html_m4c44f677.jpg





Задание:

1вариант.

  1. Какую часть шара составляет объем шарового сегмента, у которого высота равна 0,2 диаметра шара?

  2. Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит его на части 6 см и 12 см. На какие части делится объем шара?

  3. Дано: шар, DС — диаметр секущей плоскости, АМ = 3 см, MB = 9 см (рис.). V1 - объем меньшего шарового сегмента, V2 - объем большего шарового сегмента. Найти: V1V2. 

  4. Чему равен объем шарового сектора, если радиус окружности основания равен 12см, а радиус шара - 15 см.

  5. Дано: шар, h = 30, R = 42 см. Найти: V1V2, V3.

2 вариант.

  1. Какую часть шара составляет объем шарового сегмента, у которого высота равна 0,4 диаметра шара?

  2. Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит его на части 8 см и 10 см. На какие части делится объем шара?

  3. Дано: шар, DС — диаметр секущей плоскости, АМ = 10 см, MB = 14 см (рис.). V1 - объем меньшего шарового сегмента, V2 - объем большего шарового сегмента. Найти: V1V2. 

  4. Чему равен объем шарового сектора, если радиус окружности основания равен 24 см, а радиус шара - 30 см.

  5. Дано: шар, h = 12, R = 15 см. Найти: V1V2, V3.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

















Самостоятельная работа № 25

Тема: Решение теста по теме «Объёмы тел».

Цель работы: повторить, закрепить основные понятия по теме «Объёмы тел».

Методические рекомендации к выполнению теста:

  1. Прочитать вопрос, ответить на его и записать букву , под которой записан правильный ответ.

  2. Решив задачу, нужно выбрать правильный ответ и записать номер, под которым он записан.



Задание: 1 вариант.

1. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами 3 см, 5 см и 8 см.

а) 120 см3; б) 60 см3; в) 32 см3; г) другой ответ.

2. Длина прямоугольной комнаты в 2 раза больше ширины и на 2 м больше высоты. Найдите объем комнаты, если ее длина равна 6 м.

а) 432 м3; б) 144 м3; в) 72 м3; г) другой ответ.

3.. Найдите ребро куба, если его объем равен  512  м3

а) 4 м; б) 8 м; в) 16 м; г) другой ответ.

4. Как изменится объем параллелепипеда, если его длину увеличить в 4 раза, ширину увеличить в 6 раз, а высоту уменьшить в 8 раз?

а) увеличится в 3 раза; б) уменьшится в 12 раз; в) не изменится; г) другой ответ.

5. Выберите неверное утверждение.

а) Объём прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту;

б) Объём правильной треугольной призмы вычисляется по формуле V = a2h, где а – сторона основания , h – высота призмы;

в) Объём прямой призмы равен половине произведения площади основания на высоту.

6. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 2 см, а высота – 5 см. Найдите объём призмы.

а) 15 см3; б) 45 см3; в) 10 см3; г) 12 см3; д) 18 см3.

7.Выпишите формулу для нахождения объёма пирамиды.

а) V=Sоснh; б) V=Sоснh; в) V=Sоснh.

8.Найдите объем пирамиды, высота которой равна 1, а основание — прямоугольник со сторонами 4 и 6. а) 4; б) 8; в) 16.hello_html_37ae8577.jpg

9.Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна hello_html_6f3a9b7f.png. а) 1,25; б) 1; в) 0,25.

10.В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12 м, объем равен 200 м3. Найдите боковое ребро этой пирамиды. а) 10 м; б) 13 м; в) 8 м.

11.Найдите объём правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 3 см, а высота – 4 см. а) 12 см3; б) 42 см3; в) 8 см3.

12.Диагональ квадрата, лежащего в основании правильной пирамиды, равна 8 дм, а её высота равна 12 дм. Найдите объём пирамиды. а) 768 дм3; б) 384 дм3; в) 128 дм3.

13. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если его длина равна 6 см, ширина – 5 см, а диагональ 11 см. а) 60 см3; б) 2 см3; в) 85 см3.

14. Основанием пирамиды МАВС служит треугольник со сторонами АВ = 5 см, ВС = 12 см, АС = 13 см. Найдите объём пирамиды, если МВ (АВС) и МВ = 10 см.

а) 300 см3; б) 260 см3; в)100 см3.

15. а) Найдите объём цилиндра, если r = 4, h = 5. А) 80, В) 80 π, С) 16, Д) 21 π.

б) Найдите высоту цилиндра , если V = 100 π, r = 10 . А) 4, В) 3 π, С) 1, Д) 2 π.

16. а) Найдите объём конуса, если r = 2, h = 6. А) 4 π, В) 4, С) 8 π, Д) 8.

б) Найдите высоту конуса , если V = 144 π, r = . А) 4, В) 8 π, С) 144 π, Д) 4 π,

17. Найдите объём усеченного конуса, если h = 6, r1 = 3, r2 = 4.

А) 74, В) 74 π, С) 37, Д) 37 π.

18. а)Найдите объём шара, если его радиус R = 6. А) 288 π, В) 288, С) 72 π, Д) 72.

б) Найдите диаметр шара, если его объем V = . А) 6, В) 14, С) 7, Д) 12.

2 вариант.

1. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами 6 см, 3 см и 4 см.

а) 72 см3; б) 13 см3; в) 22 см3; г) другой ответ.

2. Длина прямоугольной комнаты в 3 раза больше ширины и на 2 м больше высоты. Найдите объем комнаты, если ее длина равна 6 м.

а) 432 м3; б) 144 м3; в) 48 м3; г) другой ответ.

3. Найдите ребро куба, если его объем равен  729  м3

а) 9 м; б) 8 м; в) 16 м; г) другой ответ.

4. Как изменится объем параллелепипеда, если его длину увеличить в 5 раза, ширину увеличить в 8 раз, а высоту уменьшить в 10 раз?

а) увеличится в 4 раза; б) уменьшится в 12 раз; в) не изменится; г) другой ответ.

5. Выберите верное утверждение.

а) Объём прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту;

б) Объём правильной треугольной призмы вычисляется по формуле V = a2h, где а – сторона основания , h – высота призмы;

в) Объём прямой призмы равен половине произведения площади основания на высоту.

6. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 3см, а высота – 4 см. Найдите объём призмы.

а) 15см3; б) 45 см3; в) 27см3; г) 12 см3; д) 18 см3.

7.Выпишите формулу для нахождения объёма пирамиды.

а) V=Sоснh; б) V=Sоснh; в) V=Sоснh. hello_html_37ae8577.jpg

8.Найдите объем пирамиды, высота которой равна 6, а основание — прямоугольник со сторонами 3 и 4. А) 48; б) 24; в) 12.

9.Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 4, а объем равен hello_html_m3b6e9642.png. а) 1,5; б) 3,5; в) 16.

10.В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6 м, объем равен 200 м3. Найдите боковое ребро этой пирамиды. а) 86 м; б) м; в) м.hello_html_m390fd290.jpg

11.Найдите объём правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 2 см, а высота – 3 см.

а) 8 см3; б) 4 см3; в) 3 см3.

12. Измерения прямоугольного параллелепипеда 25 м, 10 м, 32 м. Определите ребро куба, равновеликого прямоугольному параллелепипеду. а) 1,8 м; б) 3 м; в) 20 м.

13. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если его длина равна 6 см, ширина – 7 см, а диагональ 11 см. а) 252 см3; б) 24 см3; в) 85 см3.

14.Найдите объём треугольной пирамиды, стороны основания которой 5 см, 5 см и 6 см, а высота равна 12 см. а) 144 см3; б) 48 см3; в) 12 см3.

15. а) Найдите объём цилиндра, если r = 6, h = 5. А) 80, В) 180 π, С) 16, Д) 21 π,

б) Найдите радиус основания цилиндра , если V = 100 π, h = 25. А) 2, В) 20 π, С) 4, Д) 4.

16. а) Найдите объём конуса, если r = 4, h = 6. А) 32 π, В) 4, С) 8 π, Д) 8,

б) Найдите высоту конуса , если V = 144 π, r = . А) 4, В) 8 π, С) 144 π, Д) 4 π,

17. Найдите объём усеченного конуса, если h = 3, r1 = 3, r2 = 4. А) 74, В) 74 π, С) 37, Д) 37 π.

18.а) Найдите объём шара, если его диаметр d = 6. А) 36, В) 36 π, С) 216 π, Д) 216,

б) Найдите радиус шара, если V = 112500 π, h = 30. А) 60 π, В) 75 π, С) 60, Д) 75.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-3,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-2.



Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.



Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

























Самостоятельная работа № 26

Тема: Составление кроссворда по теме «Тела вращения».

Цель работы: повторение и закрепление знаний, в части правильности написания терминов и определений к ним; формирование умений поиска информации.

Методические рекомендации к составлению кроссвордов

  1. Повторите теоретический материал, соответствующий теме кроссворда, воспользовавшись материалом учебника, справочной литературой, конспектом лекции..

  2. Запишите ответы по определениям.

  3. Проведите анализ, проверьте орфографию.

  4. Оформите пустую и заполненную сетку кроссворда.

Задание:

1) Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами называется ….

2) Круги называются ….

3) Длина образующей называется ….

4) За площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь ее ….

5) r - …. цилиндра.

6) Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом называются ….

7) Точка, в которой сходятся образующие называется ….

8) Отрезок, соединяющий вершину конуса с любой точкой основания называется ….

9) Если у конуса отсечена верхняя часть, то оставшаяся часть называется …. конусом.

10) Цилиндр, получается при вращении ….

11) Конус получается при вращении ….

12) Усеченный конус получается при вращении ….

13) Поверхность, составленная из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки называется ….

14) Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее цилиндр,

называется ….

15) Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется ….

16) Тело, ограниченное сферой, называется ….

(таблица ниже)

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : отгаданы все слова верно и построена таблица с ответами,

Оценка «4» выставляется , если : отгаданы все слова верно, но не построена таблица с ответами,

Оценка «3» выставляется, если : отгаданы не все слова верно, не построена таблица с ответами,.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.












Кроссворд по теме «Тела вращения».







3




12




9





7


16




















13















14








































































15






8

















5
































































1













10




2


































11



























































4







6























































































































Самостоятельная работа № 27

Тема: Составление опорного конспекта «Прямоугольная система координат в пространстве».

Цель работы:

  • закрепить понятия: прямоугольная система координат в пространстве, координатные плоскости, координаты точки, координаты вектора и их свойства;

  • развитие графических умений и навыков: построение чертежей;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Прямоугольная система координат в пространстве: оси, начало координат, координатные плоскости, координаты точки;

  2. Координаты вектора и их свойства;

  3. Примеры задач;



Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.





Самостоятельная работа № 28

Тема: Типовой расчет по теме «Простейшие задачи в координатах».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Простейшие задачи в координатах»,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 5. §1.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Дано: ΔАВС, А(-2; 0; 1), В(-1; 2; 3), С(8; -4; 9). ВМ - медиана.

Найти: координаты вектора BM . Решение: По определению медианы, М - середина отрезка АС. Следовательно, координаты М найдем по формулам координат середины отрезка  M ((82)/2, (4+0)/2,(9+1)/2), M(3,2,5). BM{3+1,22,53}, BM {4,4,2}. Ответ: {4; 4; 2}.

Пример 2. Дано: А(1; 5; 3), В(7; -1; 3), С(3;2; 6). Доказать: ΔABC - прямоугольный. Решение: По формуле расстояния между двумя точками найдем длины отрезков АВ, АС, ВС. AB2 = (7 + 1)2 + (5 + 1)2 + (33)2, AB2 = 64 + 36 = 100, BC2 = (73)2 + (2 + 1)2 + (6 3)2, BC2 = 16 + 1 + 9 = 26, AC2 = (3 + 1)2 + (5 + 2)2 + (63)2, AC2 = 16 + 49 + 9 = 74. Проверим равенство АВ2 = ВС2 + АС2, 100 = 26 + 74 верно. По теореме обратной теореме Пифагора делаем вывод, что ΔABC - прямоугольный с гипотенузой АВ.

Пример 3. Дано: ΔАВС; М, N, К - середины сторон соответственно АВ, ВС, АС. М(3; 2; 5), N(3,5; 1; 6), К(1,5; 1; 2). Найти: координаты А, В, С. Решение: Пусть A (х1; у1z1), В(х2; у2z2), С(х3; у3z3). По формулам координат середины отрезка составим системы для абсцисс, ординат и аппликат. Пользуясь методом сложения, решим эту систему:

Ответ: А(2; 0; 1), В(8; 4; 9), С(1; 2; 3).

Пример 4. Дано: А(2; 1; 2), B(6; 3; 2), С  оси OZ; АС = ВС. Найти: координаты точки С.

Решение: По условию С  оси OZ, значит она имеет координаты С(0; 0; z) и АС = ВС. Составим уравнение, пользуясь формулой расстояния между двумя точками: 

4 + 1 + (z 2)2 = 36 + 9 + (z + 2)2, 5 + z2 – 4z + 4 = 45 + z2 + 4z + 4, 8z = 40, z = 5. Ответ: (0; 0; 5).

Пример 5. Дано: А(2; 1; 2), B(6; 3; 2), С (0; 0; 5); АС = ВС. Найти: SABC).

Решение: По формуле координат середины отрезка АВ найдем координаты точки М — середины: M ((62)/2, (1 + 3)/2,(22)/2), M(4,2,0). AB2 = (6 + 2)2 + (31)2 + (2 + 2)2 = 16 + 4 + 16 = 36, AB = 6.

 СМ-высота равнобедренного ΔABC. CM2 = (40)2 + (20)2 + (0 (5))2 = 16 + 4 + 25 = 45, CM = 3 , SABC) = AB · CM : 2 = 6 · 3 : 2 = 9. Ответ: 9.

Задание: 1вариант.

  1. Дано: ΔАВС; А(1; 2; 3), B(1; 0; 4), С(3; 2; 1). AM - медиана.

Найти: координаты вектора AM .

  1. Дано: А(1; 5; 3), В(1; 3; 9), С(3; 2; 6).Доказать: ΔAВС - прямоугольный.

  2. Дано: ΔАВС, М, N, К - середины сторон соответственно ABBС, AС. М(3; 2; 4), N(6; 4; 10), К(7; 2; 12). Найти: координаты вершин А, В, С.

  3. Дано: A(4; 5; 4), B(2; 3; 4); С  оси  OXAC = ВС. Найти: координаты точки С.

  4. Дано: А(4; 5; 4), B(2; 3; 4), С(1; 0; 0), АС = ВС. Найти: S(ΔABC).

2 вариант.


  1. Дано: ΔАВС; А(1; 4; 3), B(2; 0; 4), С(4; 2; 2). AM - медиана.

Найти: координаты вектора AM .

  1. Дано: А(1; 4; 2), В(7; 2; 2), С(3; 2; 6).Доказать: ΔAВС - прямоугольный.

  2. Дано: ΔАВС, М, N, К - середины сторон соответственно ABBС, AС. М(3; 2; 1), N(3; 2; 2), К(2; 4; 3).Найти: координаты вершин А, В, С.

  3. Дано: A(1; 2; 1), B(3; 2; 1); С  оси  OXAC = ВС. Найти: координаты точки С.

  4. Дано: А(1; 2; 1), B(3; 2; 1), С(0; 0; 1), АС = ВС. Найти: S(ΔABC).

Критерии оценки: Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5, Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4, Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы: Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.







Самостоятельная работа № 29

Тема: Составление опорного конспекта «Умножение вектора на число». 

Цель работы:

  • закрепить понятия: умножения вектора на число и его свойства, законы;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Определение умножения вектора на число;

  2. Свойства умножения вектора на число;

  3. Законы умножения вектора на число;

  4. Примеры задач;



Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.









Самостоятельная работа № 30

Тема: Типовой расчет по теме «Скалярное произведение векторов».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Скалярное произведение векторов»,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 5. §2.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Даны векторы hello_html_m411373b9.jpgВычислите hello_html_m255ec84f.jpg

Решение: hello_html_m75aa0817.jpgОтвет: 6. Пример 2. Вычислить угол между прямыми AB и CD, если А(; 1; 0), В(0; 0; 2), С(0; 2; 0), D(; 1; 2). Решение:

hello_html_30566bad.jpgОтвет: 60°. Пример 3. Найдите скалярное произведение hello_html_mde78fa2.jpgесли hello_html_m3e197e0a.jpg Решение: hello_html_mde78fa2.jpg = 3·  cos 120° = 12· (1/2) = 6. Ответ: 6. Пример 4. В кубе ABCDA1B1C1D1 диагонали грани ABCD пересекается в точке N, а точка M ежит на ребреA1D1, причем А1М : MD1 = 1 : 4.Вычислите синус угла между прямой MN и плоскостью грани DD1C1C. Дано: ABCDA1B1C1D1 - куб, AC ∩ BD N A1D1, А1М : MD1 = 1 : 4 (рис.). Найти:  sin(MN,(DD1C1C)). Решение: Введем систему координат так, чтобы В(0; 0; 0), АВ  ох, ВС  оу, ВВ1  oz, А(а; 0; 0), С(0; а; 0), D(а; а; 0), В1(0; 0; а), А1(а; 0; а), С1(0; aa), D1(а; а; а), М(а; a/5; a), N(a/2;a/2; 0).Угол между прямой и плоскостью –это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. hello_html_m1dc61b1.jpg В ΔMFNhello_html_5450a8af.jpg так как hello_html_6c6424dc.jpghello_html_7f82cb27.jpg Значит, hello_html_m399731d3.jpg  Ответ: hello_html_m249782ba.jpg.hello_html_4ab53b1a.jpg



Пример 5. Дано: прямые АВ и CD; А(8; 2; 3), В(3; 1; 4), С(5; 2; 0), D(7; 0; 2). Найти: hello_html_m7b608a66.jpgРешение: hello_html_m53566d8c.jpg hello_html_17d41745.jpghello_html_m32b98f0.jpg Так как углом между прямыми считают острый угол, то hello_html_m3112ab02.jpg Ответ: 5/9.

Задание: 1вариант.

  1. Даны векторы hello_html_13c664e1.jpg Вычислите hello_html_m255ec84f.jpg 

  2. Вычислите угол между прямыми АВ и CD, если А(6; 4; 8), В(8; 2; 4), С(12; 6; 4), D(14; 6; 2).

  3. Найдите скалярное произведение hello_html_47df0bda.jpg если hello_html_4cc243af.jpg

  4. В кубе ABCDA1B1C1D1 диагонали грани ABCD пересекается в точке N, а точка M ежит на ребреA1D1, причем А1М : MD1 = 1 : 4. Вычислите синус угла между прямой MN и плоскостью грани  AA1D1D.

  5. Дано: прямые АВ и CD; А(7; 8; 15), В(8; 7; 13), С(2; 3; 5),  D(1; 0; 4). Найти: hello_html_66809286.jpg

2 вариант.

  1. Вычислите скалярное произведение hello_html_6774ecbf.jpg если hello_html_6f5e66b5.jpg

  2. Вычислите угол между прямыми АВ и CD, если А(3; 2; 4), В(4; 1; 2), С(6; 3; 2), D(7; 3; 1).

  3. Найдите скалярное произведение hello_html_47df0bda.jpg если hello_html_4cc243af.jpg120 °.

  4. В кубе ABCDA1B1C1D1 диагонали грани ABCD пересекается в точке N, а точка M ежит на ребреA1D1, причем А1М : MD1 = 1 : 4. Вычислите синус угла между прямой MN и плоскостью грани  ABCD.

  5. Дано: прямые АВ и CD; А(4; 1; 2), В(5; 0; 1), С(3; 1; 0),  D(7; 3; 4). Найти: hello_html_66809286.jpg


Критерии оценки: Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5, Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4, Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы: Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.





Самостоятельная работа № 31

Тема: Составление кроссворда по теме «Стереометрия».

Цель работы: повторение и закрепление знаний, в части правильности написания терминов и определений к ним; формирование умений поиска информации.

Методические рекомендации к составлению кроссвордов

  1. Ознакомьтесь со списком рекомендуемой литературы и источников.

  2. Повторите теоретический материал, соответствующий теме кроссворда, воспользовавшись материалом учебника, справочной литературой, конспектом лекции..

  3. Запишите ответы по определениям по горизонтали и вертикали.

  4. Проведите анализ, проверьте орфографию.

  5. Оформите второй вариант кроссворда с заполненной сеткой.

Задание:

hello_html_53682ddb.jpg





Кроссворд по теме «Стереометрия».



hello_html_m175650b9.png

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : отгаданы все слова верно и построена таблица с ответами,

Оценка «4» выставляется , если : отгаданы все слова верно, но не построена таблица с ответами,

Оценка «3» выставляется, если : отгаданы не все слова верно, не построена таблица с ответами.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.
Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

Самостоятельная работа № 32

Тема: Составление опорного конспекта « Степень числа и ее свойства».

Цель работы:

  • повторить понятия: степень числа , основание и показатель степени, свойства степени;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом .

План работы:

  1. Определение понятия «Степень числа»;

  2. Определение основания и показателя степени;

  3. Свойства степени числа;

  4. Примеры на вычисление степени числа ;

  5. Составить таблицу степеней от 1 до 10 чисел от 2 до 9;

Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.











Самостоятельная работа № 33

Тема: Составление опорного конспекта «Пропорция».

Цель работы:

  • повторить понятия: отношения величин, пропорции, свойство пропорции, виды пропорций;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Определение отношения величин;

  2. Составить таблицу перехода от одних величин к другим (единицы измерения массы, времени);

  3. Примеры на вычисление отношения величин;

  4. Определение понятия пропорции;

  5. Виды пропорций;

  6. Свойство пропорции;

  7. Примеры на вычисление пропорций;

  8. Примеры на вычисление пропорций профессионального характера.

Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.






Самостоятельная работа №34

Тема: Решение криптограмм по теме «Уравнения».

Цель работы:

  • повторить решение линейных уравнений;

  • расширение кругозора обучающихся;

  • развитие творческого интереса к математике;

  • воспитание стойкости, находчивости, любознательности;



Методические рекомендации :

Криптограммы- это зашифрованное письмо, где с помощью цифр можно найти ответ на вопрос или составить цитату, используя таблицу «цифра-буква».

В этой работе надо решить линейные уравнения, найти их корни, а затем по таблице найти ответ на вопрос или составить цитату.

Пример: (из к-2)

Решив уравнения, найти ответ на вопрос: «Что есть у каждого слова, растения и уравнения?»

1)2х -15 =5, 2) х + 6 = 20, 3) 12 – х = - 4, 4) 3х -8 = 10,5) 15 – х = 2, 6) х - 15 = 10 ,

Решение: решив данные уравнения, получим числа 10, 14, 16, 6, 13,25 ,

по таблице найдем буквы к, о, р, е, н, ь. Ответ: корень.

Задание: К-1. Составить цитату:

  1. 22 6 11 14 3 6 10 *15 14 5 14 2 6 13 *5 16 14 2 9,22 9 17 11 9 18 6 11 25*6 6*18 14, 22 18 14*14 13* 6 17 18 25, 1* 8 13 1 12 6 13 1 18 6 11 25*18 14, 22 18 14* 14 13* 14* 17 6 2 6* 5 19 12 1 6 18. 22 6 12* 2 14 11 25 23 6*8 13 1 12 6 13 1 18 6 11 25, 18 6 12* 12 6 13 25 23 6*5 16 14 2 25. ( 11.13. 18 14 11 17 18 14 9 ).

  2. 13 6 * 5 19 12 1 9,22 18 14*4 14 3 14 16 9 18 25* 9* 5 6 11 1 18 25* 15 16 1 3 5 19* 13 19 7 13 14* 18 14 11 25 10 14 * 3 * 5 6 11 1 21* 3 1 7 13 30 21.

( 11.13. 18 14 11 17 18 14 9 ).

  1. 4 14 3 14 16 9 18 25* 9* 5 6 11 1 18 25* 15 16 1 3 5 19* 13 19 7 13 14* 3 17 6 4 5 1 , 5 1 7 6 *3* 17 1 12 30 21 * 13 6 * 15 14 8 3 14 11 28 18 25* 17 6 2 6*11 7 9. (11.13. 18 14 11 17 18 14 9).

  2. 3 9 5 6 18 25*13 6 17 15 16 1 3 6 5 11 9 3 14 17 18 25*9* 12 14 11 22 1 18 25*14* 13 6 9*--26 18 14 *8 13 1 22 9 18*17 1 12 14 12 19* 5 6 11 1 18 25* 18 1 10 19 27*7 6 * 13 6 17 15 16 1 36 5 11 9 3 14 17 18 25.(1.16. 19 17 17 14).

  3. 5 6 11 1 9 1 9 23 28 18 14, 22 18 14 3 15 14 17 11 6 5 17 18 3 9 9 13 6 14 4 14 16 22 9 18 18 6 2 28 9 13 6 15 16 9 13 19 5 9 18

16 1 17 10 1 9 3 1 18 25 17 28 . ( 15 9 20 1 4 14 16) .

  1. 13 6 5 6 11 1 9 13 9 10 14 4 5 1 18 14 4 14, 22 6 4 14 13 6 8 13 16 2325.

13 14 13 1 19 22 9 17 25 3 17 6 12 19, 22 18 14 17 11 6 5 19 6 18 8 13 1 18 25. ( 15 9 20 1 4 14 16).

  1. 13 6 15 16 6 13 6 2 16 6 4 1 9 8 5 14 16 14 3 25 6 12 17 3 14 6 4 14 18 6 11 1. ( 15 9 20 1 4 14 16).

  2. 15 16 9 19 22 1 9 17 28 7 9 18 25 15 16 14 17 18 14 9 2 6 8 16 14 17 10 14 23 9. ( 15 9 20 1 4 14 16).

К-2. Найти ответ на вопрос:

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос: «Что означает слово канитель»

1) 2х – 16 = 0, 2) 5х = 4х + 14, 3) 3х = 33, 4) 7х = 5х + 28,

5) 6х = 5х + 18, 6) 14в = 14, 7) 5а – 28 = 4а,

8) 2а – 26 = 0, 9) 5х – 45 = 0, 10) 6х – 18 = 5х, 11) 7у – 25 = 6у.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос:

«Как в мифологии называется богиня утренней зари»

  1. 15в – 15 = 0, 2) 12х = 36, 3) 7у = 6у + 16, 4) 7а – 14 = 6а, 5)6у – 96=0,6)17а – 17=0.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос:

«Какое растение оказало неоценимую услугу биологии в установлении законов генетики»

1) 5к – 20 = 0,2) 6а = 5а + 14, 3) 7к = 6к + 16, 4) 2у = у + 14, 5) 9а = 8а + 21.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос: «Что означает слово Адам»

1) 2к = к + 22, 2) 7а = 42, 3) 4к = 44, 4) 7к = 6к + 14, 5) 12к = 36, 6) 8а – 48 = 0, 7) 7к – 70 = 0.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос: «Какой древний символ мудрости?»

  1. 7к = 56,2) 2х = х + 12, 3) 4а – 24 = 0, 4) 7к = 6к + 28.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос:

«В каком городе сначала убивают, а потом арестовывают?»

  1. 14х = 28, 2) 7х = 6х + 14, 3) 9у – 21 = 8у, 4) 17а = 17, 5) 5х = 4х + 16, 6) 8к = 48, 7) 3х = 2х + 17, 8) 4а = 3а + 17.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос: «Какая самая высокая трава?»

  1. 2х = х + 15, 2) 14к = 14, 3) 7а = 77, 4) 2а = 50, 5) 4к = 48, 6) 13х – 13 = 0.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос: «Кто всегда работает с огоньком?»

  1. 2х = 30, 2) 2к = к + 14, 3) 4к – 28 = 0, 4) 13а – 13 = 0, 5) 4к = 3к + 16, 6) 2х – 26 = 0, 7) 7к – 63 = 0, 8) 5к – 50 = 0.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос: «Какой самый дорогой металл?»

  1. 2х – 30 = 0, 2) 2у = у + 11, 3) 13к – 13 = 0, 4) 4а = 3а + 18,5) 3х = 27, 6) 6к = 5к + 13, 7) 15х – 15 = 0.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос: «Какой самый высокий злак?»

  1. 4х = 8, 2) 11к = 11, 3) 4х = 3х + 12, 4) 4у = 8, 5) 6к = 5к + 19, 6) 8х = 80.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос:

«Какое священное растение в Индии и Китае?»

  1. 2х = 22, 2) 2к = к + 14, 3) 7х = 6х + 18, 4) 2х = 28, 5) 5х = 4х + 17.


  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос: «Какое древнее название Ирака?»

  1. 4к = 3к + 15, 2) 4х – 24 = 0, 3) 7к – 16 = 6к, 4) 8х – 17 = 7х, 5) 10у – 90 = 0, 6) 5у – 28 = 4у.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос:

«Как называется всякий чужестранец у древних римлян и греков?»

1) 7х – 21 = 0,2) 12к – 12 = 0, 3) 4к = 3к + 16, 4) 5х – 25 = 0,

5) 14х = 14, 6) 3к = 48.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос:

«Как называется место впадения реки?»

  1. 2х = 38, 2) 2у = у + 17, 3) 4к – 72 = 0, 4) 3х = 75, 5) 7у – 42 = 0.



Таблица «цифра-буква».



цифра-буква

цифра-буква

цифра-буква

цифра-буква

цифра-буква

1) А

7) Ж

13) Н

19) У

25) Ь

2) Б

8) З

14) О

20) Ф

26) Э

3) В

9) И

15) П

21) Х

27) Ю

4) Г

10) К

16) Р

22) Ч

28) Я

5) Д

11) Л

17) С

23) Ш

29) Ц

6) Е

12) М

18) Т

24) Щ

30) Ы



Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнена работа полностью (к-1,к-2), с подробным решением уравнений;

Оценка «4» выставляется если : выполнена работа не полностью ( 70-80 % ) из к-1,к-2, с подробным решением уравнений;

Оценка «3» выставляется если : выполнена работа не полностью ( 50 %), уравнения решены кратко.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.





Самостоятельная работа №35

Тема: Типовой расчет по теме «Решение систем уравнений и неравенств».

Цель работы:

  • повторить понятия: решение систем уравнений разными способами;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

Ш.А. Алимов. Алгебра 7-9 класс.

Решение типовых заданий:

Пример 1.а) Решить систему уравнений .

Решение: Значения х и у можно рассматривать как корни квадратного уравнения

z ² 5 z + 4 = 0.

Имеем: z ₁ =1, z  = 4. Оба уравнения системы симметричны относительно х и у , поэтому получаем две пары решений: если одно решение х  = 1, y  = 4, то второе будет, наоборот: х  = 4, y  = 1.

Ответ: (1;4),(4;1).

б) Решить систему уравнений .

Решение: Здесь коэффициенты при у по абсолютному значению равны между собой, но противоположны по знаку. Для получения уравнения с одним неизвестным уравнения системы почленно складываем:


___________

5х = 20;

х = 4.

Полученное значение х = 4 подставляем в какое-нибудь уравнение системы (например, в первое) и находим значение у :

2 · 4 + у = 11, y = 11 8, y = 3.

Следовательно, система имеет решение: х = 4, у = 3.

Ответ: (4;3).

Пример 2. Решить систему уравнений .

Решение: .

Составляем уравнение

t ²41 t  400 = 0.

Откуда t  = 25, t  = 16. Значит х ² = 25, у ² = 16 и, наоборот, у ² = 25; x ² = 16.

1, 2 = ±5; x 3, 4 = ±4;

1, 2 = ±4; y 3, 4 = ±5.

Учитывая, что ху > 0, получаем всего четыре решения данной системы.

= 5, у  = 4; х  = -5, y  = -4; x  = 4, y  = 5; x  = -4, y  = -5.

Ответ:(5;4),(),(4;5),().


Пример 3. Решить систему уравнений .


Решение: Умножим обе части второго уравнения на 2 и прибавим к первому:

х ² у ² 2 ху  2( x y ) = 24.

Положим х  у = z , тогда z ² 2 z  24 = 0, откуда z  = 6, z  = 4. Получается две системы:

,

которые имеют два действительных решения:

= 1, y  = 3 и x  = 3, y  = 1

Ответ: (1;3),(3;1).

Пример 4. Решить систему .

Решение: Пусть  , тогда  .

Имеем:

z ; 15z234z 15 = 0, D = b2 – 4ас = – 4 · 15 · 15 = 1156 900 = 256,

Значит, получаем две системы уравнений:


Решим 1 систему, для этого из 2 уравнения выразим х и подставим в 1 уравнение :

x = 0,6y,

Решим 2 систему, для этого из 2 уравнения выразим у и подставим в 1 уравнение :

у = 0,6х,

Откуда находим четыре решения: x  = 3, у  = 5; х  = 3, y  = 5; x  = 5, y  = 3; x  = 5, 

= 3.

Ответ: (3;5),(),(5;3),().

Пример 5. Решить систему неравенств: а) , б), в)

Решение: а) ; Ответ: (0,5; 5].

б) . Ответ: (–1,25; 0,25].

в)

Решим 1 неравенство: , , х  = , х  = 16.

hello_html_5bd89a69.png


Получаем, что .Решим 2 неравенство:х  = , х  = 4.

hello_html_5bd89a69.png

Получаем, что .

Общее решение системы будет являться пересечением полученных промежутков, то есть .

Ответ:.


Задание:

1 вариант.

  1. а) Решить систему уравнений .


б) Решить систему уравнений
.

  1. Решить систему уравнений .


  1. Решить систему уравнений .


  1. Решить систему уравнений .


  1. Решить систему неравенств:


а) , б) , в)


2 вариант.

  1. а) Решить систему уравнений .


б) Решить систему уравнений
.


  1. Решить систему уравнений .


  1. Решить систему уравнений .


  1. Решить систему .


  1. Решить систему неравенств:


а)
, б) , в)


Критерии оценки:


Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,


Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,


Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.










Самостоятельная работа № 36

Тема: Составление опорного конспекта «Формулы сокращенного умножения». 

Цель работы:

  • Повторить формулы сокращенного умножения, виды преобразований с помощью формул сокращенного умножения;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Формулы сокращенного умножения;

  2. Виды преобразований с помощью формул сокращенного умножения;

  3. Примеры преобразований с помощью формул сокращенного умножения;

Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.











Самостоятельная работа № 37

Тема: Составление опорного конспекта «Функция, график и её свойства».



Цель работы:

  • повторить понятия: функция, виды функций и их свойства, область определения и множество значений функции, график функции, виды функций и их графики;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:



  1. Определение понятия «Функция»;

  2. Виды функций и их свойства;

  3. Область определения и множество значений функции;

  4. Примеры на вычисление области определения и множество значений функции;

  5. Определение понятия «График функции»;

  6. Виды функций и их графики;

  7. Примеры на построение функций;


Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.


Критерии оценки:


Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;


Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;


Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

Самостоятельная работа №38

Тема: Составление опорного конспекта по теме «Действия над комплексными числами».

Цель работы:

  • повторить понятия: алгебраическую, тригонометрическую и показательную форму комплексного числа; действия с комплексными числами: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Понятие комплексного числа.

  2. Алгебраическая форма комплексного числа. Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел.

  3. Возведение комплексных чисел в степень.

  4. Извлечение корней из комплексных чисел. Квадратное уравнение с комплексными корнями.

  5. Действия над комплексными числами (примеры).

Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение № 1.






Самостоятельная работа № 39

Тема: Типовой расчет по теме «Понятие о корне n-й степени».

Цель работы:

  • повторить понятия: арифметический корень, его свойства, корень n-й степени, применение в вычислениях;

  • развитие умений и навыков работы с таблицами степеней,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс, глава 1, §4-5.

Решение типовых заданий:


Пример 1. Вычислите: . Решение: . Ответ: 1.

Пример 2. Вычислите: .

Решение: .

Ответ: - 0,2.

Пример 3. Упростите выражение: .

Решение: . Ответ: 3.

Пример 4. а) = 2 3 = 6. б) 2 = 2 (-3) = - 6. в) 5 = 50,7 = 3,5.

г) = 225 = 45 = 20. д) = = 2. е) = = 3 2 = 6.

ж) = 5 : 22 = 5 : 4 = 1,25. з) = = 9 22 = 9 4 = 36.

Пример 5. Выполнить действия: Решение: Ответ: 28 - .

Пример 6. Решите уравнения: а) х4= 81 ,б) х5=32. Решение: а) х4= 81 , х = 3. б) х5=32, х = 2.

Ответ: а) х = 3, б) х = 2.

Пример 7. а) Вынести множитель из-под знака корня: .

= = 10 .

внесите множитель под знак корня: .



Задание:



1 вариант.

1. Вычислите: а) , б) , в) , г) ,

д) , е) , ж) , з) .

2. Решите уравнения: а) , б) , в) , г)

3.Упростите выражение: .

4. Вычислите: а) , б) , в) .

5. а) внесите множитель под знак корня: 4.

б) вынести множитель из-под знака корня:

, , , .

2 вариант.

1. Вычислите: а) , б) , в) , г) ,

д) , е) , ж) , з) .

2. Решите уравнения: а), б) , в) , г)

3. Упростите выражение: .

4. Вычислите: а) , б) , в) .

5. а) внесите множитель под знак корня: 5.

б) вынести множитель из-под знака корня:

, , ,



Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-6,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

Самостоятельная работа № 40

Тема: Решение теста по теме «Степень с рациональным, действительным показателем, ее свойства».

Цель работы: повторить, закрепить основные понятия по теме «Степень с рациональным, действительным показателем, ее свойства».

Методические рекомендации к выполнению теста: Решив задачу, нужно выбрать правильный ответ и записать номер, под которым он записан.

Задание: 1 вариант.

А1. Вычислите .

1) 2; 2) 3; 3) 9; 4) .

А2. Вычислите .

1) 2; 2) 4; 3) 2; 4) 4.

А3. Упростите выражение

1) ; 2) ; 3) а; 4) .

А4. Вычислите

1) 0,25; 2) 0,5; 3) 0,15; 4) 5.

А5. Найдите значения выражения при у = 18.

1) 9(4+3); 2) ; 3) 4+3; 4) 9.

А.6. Упростите выражение

1) 2) 3) 4)

А7. Найдите значение выражения: .


1) 12; 2) 6; 3) 3; 4) –3.


А8. Найдите значение выражения: .

1) ; 2) 1,2; 3) ; 4) .

А9. Найдите значение выражения:

1) 4; 2) 9; 3) 5; 4) 5.


А10. Сократите дробь:

1) а; 2) ; 3) ; 4) а+1.


2 вариант.

А1. Вычислите .

1) 5; 2) 4; 3) 25; 4) .

А2. Вычислите .

1) 2; 2) 4; 3)2; 4) 4.

А3. Упростите выражение

1) ; 2) ; 3) а; 4) .

А4. Вычислите

1) 0,09; 2) 0,03; 3) 0,3; 4) 3.

А5. Найдите значения выражения при а = 4, b = 5.

1) ; 2) 2; 3) 0; 4) .

А.6. Упростите выражение .

1) 2) 3) 4)

А7. Найдите значение выражения: .


1) 45; 2) 5; 3) 3; 4) –45.

А8. Найдите значение выражения: .

1) 5,5; 2) 2; 3) ; 4) .

А9. Найдите значение выражения:

1) 4; 2) 25; 3) 9; 4) 16.

А10. Найдите значение выражения при р = 49.

1) 49; 2) ; 3) ; 4) 7.


Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-10,с записью решения, даже с недочетами. Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-8, с записью решения, даже с недочетами. Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-5. Требования к оформлению самостоятельной работы: Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2. Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.


Самостоятельная работа № 41

Тема: Типовой расчет по теме «Вычисление логарифмов».

Цель работы: Проверить знания и практические умения по преобразованию показательных и логарифмических выражений, используя свойства степени и логарифмов.

Основной теоретический материал:

  1. Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс, глава 1, §4-5.

  2. КОНСПЕКТ: Определение логарифма

Логарифм положительного числа hello_html_m2bb7c253.png по основанию hello_html_m6a5903ae.png (обозначается hello_html_m4e112d45.png) — это показатель степени, в которую надо возвести hello_html_m6a5903ae.png, чтобы получить hello_html_m2bb7c253.pngb > 0a > 0а≠ 1.

hello_html_31d4e4e1.png,hello_html_47b89344.png

Пример:

hello_html_m3538fa08.png

Десятичный логарифм — логарифм с основанием 10, который обозначается как hello_html_mcfec4cd.png.

hello_html_148f7858.pnghello_html_m4a295e74.png, так как hello_html_58063524.png

Натуральный логарифм — логарифм с основанием hello_html_74a85552.png, обозначается hello_html_2135e28.png

Свойства логарифма

hello_html_m2d09f31d.jpg


hello_html_63f83bd4.jpg

hello_html_m2c6c867f.jpg

hello_html_m67f8df12.jpg

hello_html_m3de2e483.jpg

hello_html_1c757088.jpg

hello_html_6cbcd636.jpg

Основное логарифмическое тождество

hello_html_2cd4117a.png

hello_html_1f62cf0f.png

Логарифм произведения — это сумма логарифмов

hello_html_m1156f08e.png

hello_html_m456882bb.png

Логарифм частного — это разность логарифмов

hello_html_4474dc35.png

hello_html_m3943a6c3.png

Свойства степени логарифмируемого числа и основания логарифма

Показатель степени логарифмируемого числа hello_html_m2d09f31d.jpg

Показатель степени основания логарифмаhello_html_m2c6c867f.jpghello_html_3a695cbf.jpg

,

в частности если m = n, мы получаем формулу:hello_html_1c757088.jpg,

например:hello_html_14d8aec3.png


Переход к новому основанию

hello_html_m67f8df12.jpg, частности, если c = b, то hello_html_131007ff.png, и тогда:

hello_html_6cbcd636.jpg

hello_html_m4cb88145.jpg

Логарифмирование – это нахождение логарифмов заданных чисел или выражений.

                                                              b
Пример: Найдем логарифм x = a2 · — .
                                                             c

Решение.

Последовательно воспользуемся сразу всеми тремя основными свойствами логарифмов, которые изложены выше (логарифм произведения, логарифм частного и логарифм степени):
                      
b
lg 
x = lg (a2 · —) = lg a2 + lg b – lg c = 2lg a + lg b – lg c.
                      
c

Потенцирование – это нахождение чисел или выражений по данному логарифму числа (выражения).

Потенцировать – значит освобождаться от значков логарифмов в процессе решения логарифмического выражения.

Например, надо решить уравнение log2 3x = log2 9.

Убираем значки логарифмов – то есть потенцируем:

3х = 9.В результате получаем простое уравнение, которое решается за несколько секунд:

х = 9 : 3 = 3.

Но потенцирование не сводится к простому и произвольному убиранию значков логарифмов. Для этого в обоих частях уравнения как минимум должно быть одинаковое значение основания (в нашем случае это число 2).

Решение типовых заданий:

1.1) ;

1.2) ;

1.3) ;

1.4)

;

2.1) ;

3.1) ;

3.2) ;

3.3) ;

3.4)

hello_html_48f51e60.gif.

Задание:

Вариант – 1

  1. Вычислить:

а) ; б) ; в) ; г) . д)

  1. Найдите x, если .

  2. Известно, что , найдите .

  3. Упростите выражение, пользуясь основным логарифмическим тождеством

, , .

  1. Прологарифмируйте по основанию 4 (c>0, b>0)


Вариант – 2

  1. Вычислить:

а) ; б) ; в) ; г) . д)

  1. Найдите x, если .

  2. Известно, что , найдите .

  3. Упростите выражение, пользуясь основным логарифмическим тождеством

, , .

  1. Прологарифмируйте по основанию 10 (a>0, b>0)


Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

Самостоятельная работа №42

Тема: Составление опорного конспекта «Синус, косинус, тангенс числового аргумента, их знаки».

Цель работы:

  • повторить понятия: синус, косинус, тангенс числового аргумента, их знаки, их вычисление для углов в радианной мере ;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом .



План работы:



  1. Определение понятия синус, косинус, тангенс числового аргумента;

  2. Знаки тригонометрических функций ;

  3. Формулы для вычисления синуса, косинуса, тангенса , их преобразование;

  4. Примеры вычисления тригонометрических функции.


Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.


Критерии оценки:


Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;


Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;


Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.






















Самостоятельная работа № 43

Тема: Составление опорного конспекта «Преобразование тригонометрических выражений».

Цель работы:

  • повторить понятия: cинус, косинус и тангенс двойного и половинного угла, формулы сложения и приведения ;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом .



План работы:



  1. Формулы сложения;

  2. Формулы для вычисления синуса, косинуса и тангенса двойного угла ;

  3. Формулы для вычисления синуса, косинуса и тангенса половинного угла;

  4. Формулы приведения;

  5. Преобразование тригонометрических выражений с помощью формул(примеры).


Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.


Критерии оценки:


Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;


Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;


Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.


















Самостоятельная работа № 44


Тема: Типовой расчет по теме «Формулы сложения».

Цель работы:

  • повторить понятия: формулы сложения, преобразования с помощью формул сложения;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

  1. Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс, глава 5, §28.

  2. Самостоятельная работа № 43.

  3. Формулы:

sin(α β) = sin α cos β cos α sin β; sin(α β) = sin α cos βcos α sin β;


cos(α β) = cos α cos β sin α sin β; cos(α β) = cos α cos β sin α sin β;




Решение типовых заданий:

Пример 1.Вычислить : а) cos 18° cos 12° sin 18° sin 12°; б) cos 107° cos 17°sin 107° sin 17°;

в) sin 17° cos 13° sin 13° cos 17°; г) sin 43° cos 13° sin 13° cos 43°;

д) , е) .

Решение: а) cos 18° cos 12° sin 18° sin 12° = cos(18°12°) = cos 30° = ;

б) cos 107° cos 17° sin 107° sin 17° = cos(107°17°) = cos 90° = 0;

в) sin 17° cos 13° sin 13° cos 17° = sin(18°12°) = sin 30° = 0,5;

г) sin 43° cos 13° sin 13° cos 43° = sin(43°13°) = sin 30° = 0,5;

д) = tg (9°51°) = tg 60° = ;

е) = tg (65°20°) = tg 45° = 1 .

Ответ: а); б) 0; в) 0,5; г) 0,5; д) ; е) 1.

Пример 2.Вычислить : а) cos π /7 cos /21 sin π/ 7sin /21; б) sin π /3 cos π /12  cos π /3sin π /12; в) .

Решение: а) cos π /7 cos /21 sin π /7sin /21 = cos /7 4π /21) = cos (3π /21 4π /21) =

= cos /21 = cos π /3 = 0,5.

б) sin π /3 cosπ /12 cos π /3 sin π /12 = sin /3 π /12) = sin (4π /12π /12) = sin /12 =

= sin π /4 = /2;

в) = tg (π /7 4π /21) = tg π /3 = .

Ответ: а) 0,5; б) /2; в).

Пример 3. Упростить: а) cos α cos 3α sinα sin3α; б) sin 2α cos α cos 2α sin α;

в) sin α cos 3α cos α sin 3α; г) .

Решение: а) cos α cos 3α sinα sin3α = cos (α 3α) = cos 4α;

б) sin 2α cos α cos 2α sin α = sin (2α α) = sin α;

в) sin α cos 3α cos α sin 3α = sin (αα) = sin 4α; г) = tg (x 3x) = tg 4x.

Ответ: а) cos 4α; б) sin α; в) sin 4α; г) tg 4x.

Пример 4. Упростить : а) cos α cos β sin α sin β, если α = 42 °, β = 18 °;

б) cos(x y) cos(x + y) + sin(x y) sin(x + y).

Решение: а) cos α cos β sin α sin β = cos (α β) = cos (42 ° 18 °) = cos 60 ° = 0,5.

б) cos(x y) cos(x + y) + sin(x y) sin(x + y) = cos ((x  y) – (x + y)) = cos (–2y) = cos 2y.

Ответ: а) 0,5; б) cos 2y .

Пример 5. Докажите справедливость равенства 
sin 2α ( sin 2α sin 2β ) cos 2α ( cos 2α cos 2β ) = 2 cos 
2 ( α β ) . Доказательство: sin 2α ( sin 2α sin 2β ) cos 2α ( cos 2α cos 2β ) = 
=
sin 2 2α sin 2α sin 2β cos 2 2α cos 2α cos 2β =  1 cos ( 2α 2β ) = 2 cos 2 ( αβ ) , что и требовалось доказать.

Задание:

1 вариант.

  1. Вычислить : а) cos 38° cos 22° sin 38° sin 22°; б) cos 55° cos 10°sin 55° sin 10°;

в) sin 47° cos 13° sin 13° cos 47°; г) sin 103° cos 13° sin 13° cos 103°;

д) , е) .

  1. Вычислить : а) cos  π /5 cos π /20 sin π/ 5sin π /20;

б) sin π /4 cos π /12  cos π /4sin π /12; в) .

  1. Упростить: а) cos 2α cos 6α sin 2α sin 6α; б) sin 3α cos α cos 3α sin α;

в) sin 2α cos 3α cos 2α sin 3α; г) .

  1. Упростить : а) cos α cos β sin α sin β, если α = 42 °, β = 48 °;

б) cos(2x y) cos(2x + 3y) + sin(2x y) sin(2x + 3y).

  1. Докажите справедливость равенства 
    sin 2
    α ( sin 2α sin 2β ) cos 2α ( cos 2α cos 2β ) = 2 sin 2 ( α β ) .

2 вариант.

  1. Вычислить : а) cos 95° cos 35° sin 95° sin 35°; б) cos 125° cos 35°sin 125° sin 35°;

в) sin 35° cos 25° sin 25° cos 35°; г) sin 123° cos 33° sin 33° cos 123°;

д) , е) .

  1. Вычислить : а) cos  π /5 cos 2π /15 sin π/ 5sin 2π /15;

б) sin 4π /7 cos π /14  cos 4π /7sin π /14; в) .

  1. Упростить: а) cos 4α cos 3α sin 4α sin 3α; б) sin 5α cos 3α cos 5α sin 3α;

в) sin 2α cos 7α cos 2α sin 7α; г) .

  1. Упростить : а) cos α cos β sin α sin β, если α = 12 °, β = 18 °;

б) cos(3x y) cos(3x + 2y) + sin(3x y) sin(3x + 2y).

  1. Докажите справедливость равенства 
    sin 2
    α ( sin 2α sin 2β ) cos 2α ( cos 2α cos 2β ) = 2 sin 2 ( α β ) .

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.


Самостоятельная работа № 45

Тема: Типовой расчет по теме «Синус, косинус и тангенс двойного и половинного угла».

Цель работы:

  • повторить понятия: cинус, косинус и тангенс двойного и половинного угла, их способы нахождения;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

  1. Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс, глава 5, §29-30.

  2. Самостоятельная работа № 43.

  3. Формулы:

Формулы половинного аргумента:

sin2 α/2 = ( 1 cosα) / 2, cos2α/2 = ( 1cosα) / 2, tg2α/2 = ( 1 cosα) / ( 1 cosα) , ctg2α/2 = ( 1cosα) / ( 1 cosα),











Формулы двойного аргумента

sin2x = 2sinx cosx , cos2x = cos2х  sin2x = 2cos2x  1 = 1 2sin2x.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Вычислить

Решение: .

Ответ: .

Пример 2. Вычислить

Решение:

Ответ: .

Пример 3. Вычислить sin2α, если sinαcosα = 1/3.

Решение: Возведем обе части равенства в квадрат: (sinαcosα)2 = ,

sin2α – 2sinαcosα + cos2α = , 2sinαcosα = – 1, 2sinαcosα = ,

sin2α = .

Ответ: .



Пример 4. Вычислить sin2α, если sinα = –0,6,

Решение: sin2α = 2sinα cosα . Т.к. ,то cosα < 0,

cos α =

sin2α = 2() () = 0,96.

Ответ: 0,96.

Пример 5. Вычислить sinα/2, cosα/2, tgα/2, ctgα/2, если cosα = 0,8,.

Решение: cos2 α/2 = (1 + cosα) : 2 = 1,8 : 2 = 0,9, cosα/2 = .

sin2 α/2 = (1 cosα) : 2 = 0,2 : 2 = 0,1, sinα/2 = .

tgα/2 = sinα/2 : cosα/2 = 0,33 : 0,95 = 33/95, ctgα/2 = cosα/2 : sinα/2 = 0,95 : 0,33 = 95/33.

Ответ:

33/95; 95/33.





Задание:



1 вариант.

  1. Вычислить .

  2. Вычислить .

  3. Вычислить sin2α, если sinαcosα = 1/4.

  4. Вычислить cos 2α, если sinα = 0,8,

  5. Вычислить sinα/2, cosα/2, tgα/2, ctgα/2, если sinα = 0,8,.



2 вариант.



  1. Вычислить .

  2. Вычислить .

  3. Вычислить sin2α, если sinαcosα = 1/5.

  4. Вычислить cos 2α, если sinα = 0,6,

  5. Вычислить sinα/2, cosα/2, tgα/2, ctgα/2, если cosα = 0,6,.



Критерии оценки:



Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,



Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,



Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.



Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.



































Самостоятельная работа № 46

Тема: Типовой расчет по теме «Решение простейших тригонометрических уравнений». 

Цель работы:

  • повторить понятия: простейшие тригонометрические уравнения, их способы решения;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс, глава 6,§33-35.

Решение типовых заданий:

Пример 1.Решите уравнение sin6xcos3x = 0.

Решение: sin6x – co3x = 0 , 2sin3x cos3x – cos3 x = 0 , сos3x(2sin3x – 1) = 0 ,

сos3x=0 или sin3x=1/2 .

3x= π/2 + π k, k , 3x = (–1)n π/6 + π n, n Z .

х1= π/6+ π k/3 , k Z, x2=(–1)n π/18+ π n/3 , n Z .

Ответ: х1= π/6+ π k/3 , k Z; x2=(–1)n π/18+ π n/3 , n Z .

Пример 2. Решите уравнение (2 sin x – 1) (tg x - ) = 0.

Решение: ( 2 sin x – 1) (tg x – ) = 0,

2 sin x – 1= 0 или tg x = 0,

sin x = 1/2 tg x = ,

х1= (-1) n π/6 + π n, n Z , х2 = π/3 + π k, k .

Ответ: х1= (-1) n π/6 + π n, n Z , х2 = π/3 + π k, k .

Пример 3. Решите уравнение ( ctg x – 1) (2sin + 1) = 0.

Решение: ( ctg x – 1) (2sin + 1) = 0,

ctg x – 1 = 0 или 2sin + 1 = 0,

ctg x = 1 sin = – 1/2, х/2 = (–1) n +1 π/6 + π n, n Z,

х1 = π/4 + π k, k , х2 = (–1) n +1 π/3 + 2π n, n Z.

Ответ: х1 = π/4 + π k, k , х2 = (–1) n +1 π/3 + 2π n, n Z.

Пример 4. Решите уравнение . Решение: , cos (3x – 2x) = , cos x = , x = Ответ: x =

Пример 5. Решите уравнение 2cos( х + π/3) = .

Решение: 2cos( х + π/3) = , cos( х + π/3) = , х + π/3 = ± 5π/6+2πn, nZ, x = π/3 ± 5π/6+2πn, nZ. x1 = π/3 + 5π/6+2πn, nZ, x1 = π/2 +2πn, nZ,

x2 = π/3 5π/6+2πn, nZ, x2 = 7π/6 +2πn, nZ.

Ответ: x1 = π/2 +2πn, nZ, x2 = –7π/6 +2πn, nZ.

Задание: 1 вариант. Решите уравнения:

1) sin4xcos2x = 0. 2) (2 sin x – )(tg x – ) = 0. 3) ( ctg x – )(2sin + ) = 0.

4) cos 4xcos3x + sin4xsin3x = / 2. 5) 2cos(х + π/4) = – .

2 вариант. Решите уравнения:

1) sin2x – cosx = 0. 2) (2 cos x – 1)(ctg x – ) = 0. 3) ( tg x – 1)(2sin – ) = 0.

4) cos 4xcosx – sin4xsinx = / 2. 5) 2cos(х + π/6) = – .

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.


Самостоятельная работа № 47

Тема: Типовой расчет по теме «Решение тригонометрических уравнений».



Цель работы:

  • повторить понятия: виды тригонометрических уравнений, их способы решения;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

  1. Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс, глава 6,§36.

  2. Решение тригонометрических уравнений с помощью замены одной из тригонометрических функций и сведением к квадратному уравнению.

Выделим признаки, по которым произвольное тригонометрическое уравнение может быть классифицировано, как уравнение, сводящееся к квадратному.

Первым действием нужно убедиться, что все тригонометрические функции, входящие в уравнение, имеют единый аргумент. Если это не так, то их нужно свести к единому аргументу. Для этого используются формулы блока: “формулы двойного аргумента”

Вторым действием нужно пытаться привести уравнение виду: Af 2(x) + B f(x) + C = 0 , где A,B,C – некоторые числа, f(x) – одна из тригонометрических функций. Для этого используется основное тригонометрическое тождество или взаимосвязь между тангенсом и котангенсом.

Третьим действием общая тригонометрическая функция заменяется буквой t, при этом учитывается область значений обозначаемой функции.

Таким образом, некоторые тригонометрические уравнений могут быть сведены к видам из таблицы

Решение типовых заданий:

Пример 1. a)Решите уравнение sin2 x + 5sin x – 6 = 0.

Решение: sin2 x + 5sin x – 6 = 0.

Данное уравнение соответствует (1) таблицы, поэтому делаем замену  sin x = t, t ,

получаем квадратное уравнение: t2 + 5t – 6 = 0, находим корни  t1 = 1,t2 = – 6,

замечаем, что t2 = – 6 посторонний корень, поскольку t  ,

делаем обратную замену, т.е. решаем уравнение sin x = 1 , у которого корнями

будут числа x = π/2 +2πn, nZ .

Ответ: x = π/2 +2πn, nZ.

б) Решите уравнение tg2 x – 3tg x + 2 = 0.

Решение: Данное уравнение соответствует (5) таблицы, поэтому делаем замену  tg x = t,

получаем квадратное уравнение: t2 – 3t + 2 = 0, находим корни  t1 = 1,t2 = 2, делаем обратную замену: tg x = 1, x1 = π/4 + πn, nZ  или tg x = 2, x 2= arctg 2 + πk, kZ .

 Ответ: x1 = π/4 + πn, nZ  , x 2= arctg 2 + πk, kZ .

Пример 2. Решите уравнение 2sin2 x + 3cos x – 3 = 0.

Решение: 2sin2 x + 3cos x – 3 = 0.

Данное уравнение соответствует (3) таблицы, поэтому cделаем замену cos x = t, t . Из основного тригонометрического тождества следует, что sin2x = 1 –cos2x, sin2x = 1 – t2 ,  получим квадратное уравнение: 2t2 – 3t + 1 = 0 , находим корни:

D = (3)2 42 1 = 9 8 = 1, t1= (3 + 1) : 4 = 1, t2 = (3 1) : 4 = .

делаем обратную замену: cos x = 1, x 1= n, nZ или cos x = 1 / 2, x2 =

Ответ: x 1= 2πn, nZ  , x2 =  .

Пример 3. Решите уравнение cos 2x = 4cos x – 1.

Решение: cos 2x = 4cos x – 1.

Данное уравнение непосредственно не имеет вид, описанный в таблице. Как правило, легко классифицировать уравнения, если привести тригонометрические функции в него входящие к одному аргументу. Поскольку cos 2x = cos2xsin2 x = 2 cos2x –1 , то уравнение 2 cos2x = 4 cos x сведено к (2) виду таблицы. Поэтому делаем замену cos x = t, t  и получаем неполное квадратное уравнение t2 – 2t = 0, откуда t1 = 0, t2 = 2. ( t2 = 2 посторонний корень, поскольку t  .

Делаем обратную замену: cos x = 0, x = 2πn, nZ .

Ответ: x = 2πn, nZ .

Пример 4. Решить уравнение 4 – cos2x = 4 sin x.

Решение: Вместо cos2x подставим тождественное ему выражение 1 – sin2x . Тогда исходное уравнение примет вид

4 – (1 –sin2x) = 4 sin x, 3 + sin2x = 4 sin x, sin2– 4 sin x + 3 = 0.

Если положить y = sin x, получим квадратное уравнение y2 – 4y + 3 = 0. Оно имеет корни y1= 1 и y2 = 3. Значит, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

sin x = 1 или  sin x = 3.

Уравнение sin x = 1 имеет решение . Уравнение sin x = 3 решений не имеет. Ответ: .

Пример 5. Решите уравнение 6 sin2 x+7 cos x-1= 0 .

Решение: 6 sin2 x + 7 cos x – 1= 0 .

Вместо sin2x подставим тождественное ему выражение  1 – cos2x . Тогда исходное уравнение примет вид 6(1 – cos2 x) + 7 cosx – 1=0;

6 cos2 x + 7 cos x + 5= 0; 6 cos2 x – 7 cos x – 5=0;

Замена cos x = t, |t|≤1

6t2 – 7t – 5 = 0;

D = (7)2 46 () = 49 + 120 = 169, t1= (7 13) : 12 = , t2 = (7 13) : 12 = .

t1 = ,t2 = -не удовлетворяет условию |t|≤1;

Делаем обратную замену cos x = ;

x = ±arccos() + 2πk, kZ ,

x = ± (ππ/3) + 2πk , kZ, x = ± 2π/3 + 2πk , kZ .

Ответ: x = ± 2π/3 + 2πk , kZ .



Пример 6. Решить уравнение .

Решение: .

Поделим обе части уравнения на cos x или sin x. Но предварительно надо доказать, что это выражение никогда не обращается в нуль. Предположим, что cos x= 0. Тогда 5sin x2∙0 = 0 , sin x = 0. Получается, что если sin x = 0, то и cos x = 0 , чего быть не может ввиду равенства . Значит можно поделить уравнение на cos x:

. Получим уравнение 5tg x 2 = 0, tg x = 2/5= 0,4.

Отсюда .

Ответ: . Пример 7. Решить уравнение : а) ; б) .

Решение: a) , , , , ,

,

б) ,,

, можно поделить уравнение на , , , a = 3, c = 1 , k = – 2, D1 = k2ac = 4 – 3 = 1, , ,

, , .

, , .

Ответ: ,.

Пример 8. Решить уравнение 4 sin x cos xcos2 x = 0.

Решение: 4 sin x cos xcos2 x = 0, обе части уравнения можно поделить на .

Получим 4tg x – 1 = 0, tg x = 1/4, tg x = 0,25; x = arctg 0,25 + πn, n Z.

Ответ: x = arctg 0,25 + πn, n Z.

Пример 9. Решить уравнение .

Решение: Данное уравнение не является однородным. Но его можно превратить в однородное, заменив 3sin2x на 6sin x cos x и число 2 на .

Приведя подобные слагаемые, получим уравнение . Тогда можно обе части уравнения поделить на . Получим , a = 10, c = – 4 , k = 3, D1 = k2ac = 9 – (– 40) = 49, ,

или . Отсюда .

Ответ: .

Пример 10. Решите уравнение 2 sin2 х –3 sinх cos х –5 cos2 х = 0 .

Решение: 2 sin2 х –3 sinх cos х –5 cos2 х = 0 .

2 sin2 х – 3 sinх cos х –5 cos2х = 0 | : cos2х ≠ 0,

2 tg 2x – 3 tg x – 5 = 0, замена tg x = t.

2 t2 – 3t – 5 = 0,

D = (3)2 42 (– 5) = 9 + 40 = 49, t1= (3 7) : 4 = 1, t2 = (3 7) : 4 = .

t1 = -1; t2 = 2,5.

Решением уравнения tg х = – 1 являются числа вида х1 = – π/2 + πk , k Z.

Решением уравнение tg х = 2,5 являются числа вида х2 = arctg 2,5+ πn, n Z.

Ответ: х1 = – π/2 + πk , k Z, х2 = arctg 2,5+ πn, n Z.



Задание:

1 вариант.

  1. a)Решите уравнение 5sin2 x +21sin x + 4 = 0 , б) Решите уравнение 2tg2 x – 11tg x + 5 = 0.

  2. Решите уравнение 5sin2 x – 7cos x + 1= 0.

  3. Решите уравнение cos 2x = 6cos x – 1.

  4. Решить уравнение 3 – cos2x = 3 sin x.

  5. Решите уравнение 6 sin2 x + 5 cos x– 7=0 .

  6. Решить уравнение .

  7. Решить уравнение : а) ; б) .

  8. Решить уравнение 5 sin x cos x – 3cos2 x = 0.

  9. Решить уравнение 3.

  10. Решите уравнение hello_html_5b73cee4.gif .



2 вариант.

  1. a)Решите уравнение 6cos2 x – 19cos x +3 = 0, б) Решите уравнение 8tg2 x +10tg x + 3 = 0.

  2. Решите уравнение 8sin2 x + 10cos x – 5 = 0.

  3. Решите уравнение cos 2x = 8cos x – 1.

  4. Решить уравнение 5 – cos2x = 5 sin x.

  5. Решите уравнение 4 sin2 x + 3 cos x– 3 = 0 .

  6. Решить уравнение .

  7. Решить уравнение : а) ; б) .

  8. Решить уравнение 4 sin x cos x– 3cos2 x = 0.

  9. Решить уравнение .

  10. Решите уравнение sin2 x 5 sin x cos x + 6 cos2 x = 0.



Критерии оценки:



Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-10,



Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-8,



Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-5.



Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.











Самостоятельная работа № 48

Тема: Решение теста по теме «Решение тригонометрических неравенств».

Цель работы: повторить, закрепить основные понятия по теме «Решение показательных и логарифмических неравенств». Методические рекомендации к выполнению теста: Решив задачу, нужно выбрать правильный ответ и записать номер, под которым он записан. Задание:

  1. Выберите нужно неравенство, решение которого изображено рисунке (цифра - буква).

hello_html_761d7a7.jpg

А) cos x ≤ - , В) sin x > - , С) cos x < , D) sin x ≥ .

2) Решите неравенство: sin x ≥ .

А) x [ + 2πn, + 2πn ] , В) x ( - + 2πn, + 2πn ) ,

С) x ( + 2πn, + 2πn ) , D) x [ - + 2πn, ] , n.

3) Решите неравенство: cos x ≤ - .

А) x ( + 2πn, + 2πn ) , В) x [ + 2πn, + 2πn ],

С) x ( + 2πn, + 2πn ) , D) x [ + 2πn, + 2πn ] , n Z .

4) Решите неравенство: sin x > - .

А) x ( + 2πn, + 2πn ) , В) x [ + 2πn, + 2πn ] ,

С) x ( - + 2πn, + 2πn ) , D) x [ - + 2πn, + 2πn ], n Z .

5) Решите неравенство: cos x < .

А) x (- + 2πn, + 2πn ) , В) x [- + 2πn, + 2πn ] ,

С) x [ + 2πn, + 2πn ] , D) x ( + 2πn, + 2πn ) , n Z.

6) Выберите нужное неравенство, решение которого изображено на рисунке hello_html_542cd5c1.jpg

(цифра - буква).

А) ctg x < - , В) tg x > 1, С) tg x ≤ 1, Д) ctg x- .

7) Решите неравенство: tg x ≤ 1.

А) x [ πn; ] , В) x (πn; ) ,

С) x (; ) , Д) x [; ], n Z .

8) Решите неравенство: ctg x < - .

А) x [ + πn, + πn ] , В) x ( + πn, + πn ) ,

С) x ( + πn, π + πn ) , Д) x [ + πn, π + πn ] , n Z .

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1- 8,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1- 6,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1- 4.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

Самостоятельная работа № 49

Тема: Типовой расчет по теме «Область определения и множество значений тригонометрических функций».

Цель работы:

  • повторить понятия: область определения и множество значений тригонометрических функций;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс, глава 7, §38.

Решение типовых заданий:

Пример 1.Найти область определения D(y) тригонометрических функций: а) y = sin 2x , б) y = cos , в) y = sin , г) y = cos , д) y = sin , е) y = cos . Решение: а) y = sin 2x , D(y) = R , б) y = cos , D(y) = R , в) y = sin , D(y) : x ,
г)
y = cos , D(y) : x , д) y = sin , x1, x , D(y) : x , е) y = cos , x, D(y) : x .

Ответ: а), б) D(y) = R, в), г) D(y) : x , д) D(y) : x , е) D(y) : x .

Пример 2. Найти область определения функции  f(x) = tg 2x.
Решение: в данном случае   в область определения не войдут следующие точки:

Скинем «двойку» левой части в знаменатель правой части:

В результате  :
hello_html_m644d540.jpg
Ответ: область определения:D(f) = R \ { } .

Пример 3. Найти множество значений E(y) тригонометрической функции

y = 2sin2x cos2x.

Решение: y = 2sin2x cos2x = a , 2sin2x (1 2 sin2x) = 4 sin2x 1 = a,
4 sin
2x = a 1, 2(1cos 2x) = a 1, 2 2cos 2x = a 1, 2 cos 2x = a 1, cos 2x = (a) : (),
cos 2x = (1) : ,

E(y) = [ 1; 3]. Ответ: E(y) = [ 1; 3].

Пример 4. Найти множество значений E(y) тригонометрической функции

y = 3 cos 2x 4sin2x.

Решение: y = 3 cos 2x 4sin2x = g, a = 3, b = , k2 = a2 b2 = 32 ()2 = 9 16 = 25, k = 5, 3/5∙ cos 2x 4/5∙ sin 2x = g /5, sin( ) = g/5, E(y) = [ 5; 5]. Ответ: E(y) = [ 5; 5].

Пример 5. Найти множество значений E(y) тригонометрической функции

y = 10cos2x 6sin x cos x 2sin2x.

Решение: y = 10cos2x 6sin x cos x 2sin2x = a.

Oбе части уравнения поделим на cos2x. Получим, 10 6 tg x 2tg2x = a∙ (1 tg2x),

10 6 tg x 2tg2 x a tg2x = 0, (2) ∙ tg2 xtg x (10) = 0, tg x = t, (2) ∙ t2t (10) = 0, D = ()2 4∙ (2)∙ (10) = 36 4∙ (20 2) = =3680 48a 2 = 48a 2 = 4∙ (2 , 2

2 a1 = 11, a2 = 1.

hello_html_5bd89a69.png


E(y) = [1; 11]. Ответ: E(y) = [1; 11].

Задание:

1 вариант.

  1. Найти область определения D(y) тригонометрических функций: а) y = sin 4x , б) y = cos , в) y = sin , г) y = cos , д) y = cos , е) y = sin .

  2. Найти область определения функции  f(x) = tg 4x.

  3. Найти множество значений E(y) тригонометрической функции y = 4sin2x cos2x.

  4. Найти множество значений E(y) тригонометрической функции y = 6 cos 2x 8sin2x.

  5. Найти множество значений E(y) тригонометрической функции

y = 5cos2x 2sin x cos xsin2x.

2 вариант.

  1. Найти область определения D(y) тригонометрических функций: а) y = sin 6x , б) y = cos , в) y = sin , г) y = cos , д) y = cos , е) y = sin .

  2. Найти область определения функции  f(x) = tg 3x.

  3. Найти множество значений E(y) тригонометрической функции y = 6sin2x cos2x.

  4. Найти множество значений E(y) тригонометрической функции y = 9 cos 2x 12sin2x.

  5. Найти множество значений E(y) тригонометрической функции

y = 6cos2x 8sin x cos x 6sin2x.



Критерии оценки:


Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,


Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,


Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.


Требования к оформлению самостоятельной работы:


Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.





















Самостоятельная работа № 50

Тема: Типовой расчет по теме «Экстремумы функции». 

Цель работы:

  • повторить понятия: точки минимума, точки максимума, точки экстремума, стационарные точки, критические точки ;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс, глава 9, §49-50.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Найти точку максимума функции

hello_html_m1f99d07c.gif

Решение:

Требуется найти критическую точку, в которой знак производной меняется с плюса на минус. Область определения функции: hello_html_4fb18fd6.gif

Найдем критические точки функции:

hello_html_m7ccf63b9.pngКритические точки.

Исследуем знак производной на интервалах, разделенных критическими точками:



х

- 4 2

max min

Ответ: x = 4.

Пример 2. Найти точку минимума функции hello_html_1ad34ebd.gif

Указание.

Не забывайте, что критическими точками функции являются не только точки, в которых производная равна нулю, но и точки, в которых производная не существует (если сама функция определена в этой точке). Решение:

Область определения функции: hello_html_4fb18fd6.gif

hello_html_m5c8d472b.png

Функция имеет две критические точки: hello_html_m1501d35d.png

Исследуем знак производной на интервалах, разделенных критическими точками:

х

- 8/27 0

max min

При этом график функции имеет вид: (рис. справа).hello_html_4a259404.jpg

Ответ: x = 0.

Пример 3. Найдите точки экстремума функции и определите их характер. y= x 4 8x2.

Решение: y = x 4 8x2 , D(y) = R , y = (x 4 8x2) = 4x 3 – 16x, y = 0,

4x 3 – 16x = 0, 4x(x2 4) = 0, 4x(x2) (x2) = 0,

x1= 0 или х2=0 или х2=0

х2 = 2 х3 =2

х1= 0, х2 = 2, х3 = 2 – это стационарные точки.





-2 0 2 х

Функция убывает на (-;2, на 0; 2. Функция возрастает на -2; 0, на 2; +).

х3 = 2, х2 = 2 – это точки минимума. х1= 0 – это точка максимума.

Ответ: х3 = 2, х2 = 2– это точки минимума, х1= 0 – это точка максимума.

Пример 4. Найдите точки экстремума функции и определите их характер.

y= x2 6x1.

Решение: y = x2 6x1, D(y) =R,

y = ( x3 x2 6x1) = x25x6 = (х3)(х2) , y = 0, x 2 5x6 = 0,

x1 = 3, x2 = 2

x1 = 3, x2 = 2 – это стационарные точки.

х

2 3

Функция возрастает на (-; 2, на 3; +).

Функция убывает на 2; 3.

x2 = 2 – это точка максимума,

х1 = 3 – это точка минимума.

Ответ: х2 = 2 – это точка максимума, х1 = 3 – это точка минимума.

Пример 5. Найдите точки экстремума функции и определите их характер.

y= 2x5 5x4 10x3 3.

Решение: y = 2x5 5x4 10x3 3, D(y) = R,

y = (2x5 5x4 10x3 3) = 10x4 20x3 30x2 = 10х2 (х1)(х3), y = 0 ,

10x4 20x3 30x2 = 0, 10x2 (x2 + 2x 3) = 0,

x 2 = 0 или х2 2х3=0,

х1= 0 х2 = 1, х3 =3.

х1 = 0, х2 = 1, х3 = 3 – это стационарные точки.





-3 0 1 х



Функция возрастает на ( ; 3, на 1; ).

Функция убывает на 3; 1.

х3 = 3 – это точка максимума.

х2 = 1 – это точка минимума.

Ответ: х3 = 3 – это точка максимума, х2 = 1 – это точка минимума.



Задание:



1 вариант.



  1. Найти точку максимума функции y = x3 6x2 15x 3.



  1. Найти точку минимума функции y = 2x .





  1. Найдите точки экстремума функции y = x 4 2x2 и определите их характер.

  2. Найдите точки экстремума функции y = x2 4x3 и определите их характер.



  1. Найдите точки экстремума функции y = 2x5 10x4 40x3 5 и определите их характер.



2 вариант.

  1. Найти точку максимума функции y = x3 9x2 48x 7.



  1. Найти точку минимума функции y = 4x .



  1. Найдите точки экстремума функции y = x 4 18x2 и определите их характер.

  1. Найдите точки экстремума функции y = x2 5 и определите их характер.



  1. Найдите точки экстремума функции y = 2x5 15x4 90x3 7 и определите их характер.





Критерии оценки:



Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,



Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,



Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.



Требования к оформлению самостоятельной работы:



Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.





























Самостоятельная работа № 51

Тема: Типовой расчет по теме «Нахождения наибольшего и наименьшего значения функции ». 

Цель работы:

  • повторить понятия: правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке, в задачах;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс, глава 9, §52.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = 2x3 12x2 18x  3  на отрезке [– 1;2] .

Решение: 1) Вычислим значения функции в критических точках, принадлежащих данному отрезку:
hello_html_m7adea545.png 

Полученное квадратное уравнение имеет два действительных корня: х1= 1, х2 = 3
 – критические точки.

Ещё раз подчёркиваю, что нас не интересует, есть в них максимумы/минимумы или нет.

Первая критическая точка принадлежит данному отрезку: х1= 1 .
А вот вторая – нет: hello_html_1b55cb85.png, поэтому про неё сразу забываем.

Вычислим значение функции в нужной точке:
hello_html_11ef2813.png

2) Вычислим значения функции  на концах отрезка:
hello_html_m60be06fd.png

3) Дело сделано, среди «жирных» чисел выбираем наибольшее и наименьшее.

Ответ: hello_html_m1fe94605.png

Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = 3x4 12x2  5

на заданном отрезке [– 2;1] .

Решение: 1) Вычислим значения функции в критических точках, принадлежащих данному отрезку:
hello_html_7b7f6017.png .

Да, критических точек тут и правда целая команда: hello_html_2b14852a.png.

Первые две точки принадлежат нашему отрезку: 
hello_html_m53d3bbb4.png

Но третья оказывается вне игры: hello_html_m4493ad4c.png

(надеюсь, все сумели сосчитать hello_html_17c20f10.png)

Вычислим значения функции в подходящих точках:
hello_html_m4a5ceb45.png

Чтобы не заблудиться в трёх соснах, не забываем выделять результаты,

2) Вычислим значения функции на концах отрезка:
hello_html_m7eec4422.png

Среди «жирных» чисел выбираем наибольшее и наименьшее значения. Максимальное значение («пятёрка») достигается сразу в двух точках, и это необходимо указать в завершающей записи:

Ответ: hello_html_32e82365.png

Пример 3. Число 24 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы сумма квадратов этих чисел была наименьшей.

Решение: Пусть х – первое слагаемое, тогда (24-х) – второе слагаемое. Сумма квадратов этих чисел По условию задачи Рассмотрим функцию Она на интервале (0;24) непрерывна и дифференцируема. Найдем критические точки.

Это значение единственное, поэтому первое число – 12, второе – 12. Ответ: 24=12+12. Пример 4. Найти максимальное и минимальное значения функции f(x) = на отрезке [– 8;0] .

Решение:  1) Найдём критические точки. Предварительно можно раскрыть скобки, но не особо сложнее использовать и правило дифференцирования произведения:
hello_html_m13e5c9.png

hello_html_m70c6c9b8.png – критические точки.

Обратите внимание, что точка hello_html_4021cfb.gif обращает знаменатель производной в ноль, но её следует отнести к критическим значениям, поскольку САМА ФУНКЦИЯ определена в данной точке. Кроме того, данная точка совпала с правым концом отрезка, а значит, в следующем пункте будет меньше расчётов. В следующем, но не сейчас:
hello_html_2bd5b529.gif

2) Вычислим значения функции на концах отрезка:
hello_html_7e0e47f.gif,hello_html_64afaeed.gif уже известно.

Ответ: hello_html_3c137c07.gif. Пример 5. Найдите размеры участка прямоугольной формы, имеющего наибольшую площадь, если его периметр равен 200 м.

Решение: A B

x

D C

b

Так как функция S(x) непрерывная на всей числовой прямой, то будем искать ее наибольшее значение на отрезке .

Значит, наибольшей будет площадь участка 2500 м2, а стороны участка равны 50 м и 50 м. Ответ: 50 м и 50 м.

Задание:

1 вариант.

  1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x3 3x2 – 72x  90 на отрезке [– 4;5] .

  2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = 2x4 8x2  5на отрезке [– 2;1] .

  3. Число 12 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы сумма квадратов этих чисел была наименьшей.

  4. Найти максимальное и минимальное значения функции f(x) = на отрезке [– 8;0] .

  5. Найдите размеры участка прямоугольной формы, имеющего наибольшую площадь, если его периметр равен 120 м.

2 вариант.

  1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = 2x312x2 – 30x 9 на отрезке [– 4;2] .

  2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x4 4x2  8 на отрезке [– 1;2] .

  3. Число 12 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы сумма квадратов этих чисел была наименьшей.

  4. Найти максимальное и минимальное значения функции f(x) = на отрезке [– 8;0] .

  5. Найдите размеры участка прямоугольной формы, имеющего наибольшую площадь, если его периметр равен 160 м.


Критерии оценки:



Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,



Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,



Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.



Требования к оформлению самостоятельной работы:



Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.



















Самостоятельная работа № 52

Тема: Решение теста по теме «Показательная и логарифмическая функции».

Цель работы: повторить, закрепить основные понятия по теме «Показательная и логарифмическая функции».

Методические рекомендации к выполнению теста: Решив задачу, нужно выбрать правильный ответ и записать номер, под которым он записан.

Задание:

Часть А.

  1. Записать соответствие между графиком функции и ее формулой ( буква - цифра):



hello_html_a25cd71.jpg



1)у = 2х , 2) у = 3х , 3) у = , 4) у = .



  1. Найти число больше единицы: А) 0,32; В) 1,64; С) 0,79; D) 1,5- 3.

  2. Найти число меньше единицы: А) 1,32; В) 1,64; С) 0,79; D) 0,5- 3.

  3. Выяснить какая функция является возрастающей :



А) ; В) ; С) у = 1,7; D) у = 0,4- х.



  1. Выяснить какая функция является убывающей :



А) ; В) ; С) у = 0,7; D) у = 0,4- х.



  1. Записать соответствие между графиком функции и ее формулой ( буква - цифра):





hello_html_m55eede16.jpg



  1. ; 2) ; 3); 4) .



  1. Найти число больше единицы: А) ; В) ; С) ; D) .



  1. Найти число меньше единицы: А) ; В) ; С) ; D) .



  1. Выяснить какая функция является возрастающей : А) ; В) ; С) ; D) .



  1. Выяснить какая функция является убывающей :

А) ; В) ; С) ; D) .





Часть В.







hello_html_m5ae09131.png

hello_html_m67583fb8.png









hello_html_m5fca5a59.png

hello_html_m1d63210d.png

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание : часть А № 1-10, часть В № 1-8,с записью решения, даже с недочетами. Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание : часть А № 1-10, часть В № 1-6, с записью решения, даже с недочетами. Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание : часть А № 1-10.



Требования к оформлению самостоятельной работы: Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.



Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.



Самостоятельная работа № 53

Тема: Решение теста по теме «Свойства и график тригонометрических функций» .

Цель работы: повторить, закрепить основные понятия по теме «Свойства и график тригонометрических функций».

Методические рекомендации к выполнению теста: Решив задачу, нужно выбрать правильный ответ и записать номер, под которым он записан.

Задание:

1 вариант.

  1. Укажите четные функции. А) cos x; B) sin x ; C) tg x; D) ctg x.

  2. Определите на каком промежутке функция y = cos x возрастает: А) [ 0; π ], В) [ π; 2π ], С) [ 2π; 3π ], D) [ ].

  3. Определите на каком промежутке функция y = sin x убывает:

А) [ 0; ], В) [ ; π ], С) [ ; 2π ], D) [- ; 0 ].

  1. a) Укажите область определения функции y = cos x.
    A) [- ; ] ;B) (); C) [π; π ]; D) [ 0; 2π ]. б) Укажите область определения функции y = tg x.
    A) [- ; ] ; B) (); C) D)

  2. Периодом функции f(x) = cos x является: A) B) π ; C) ; D) 2π .

  3. Периодом функции f(x) = tg x является: A) B) π ; C) ; D) 2π .

  4. Найдите наименьший положительный период функции y = sin 3t .
    A) B) ; C) ; D) .

  5. Найдите наименьший положительный период функции y = tg (3t.
    A) B) ; C) ; D) 4π .

  1. Определите, на каком из рисунков изображен график четной тригонометрической функции.

А)

hello_html_57d177f5.png

B)



hello_html_m1bba5779.png

C)

hello_html_7fbeda10.png

1) А и С; 2) В ; 3) С; 4) В и С.



  1. Найдите множество значений функции y= -1/3 cos 3x.

A) (-1/3;1/3); B) [-3; 3]; C) [-1/3;0]; D) [-1/3;1/3].





2 вариант.

  1. Укажите нечетные функции. А) cos x; B) tg x, cos x ; C) tg x, sin x; D) ctg x, cos x.

  2. Определите на каком промежутке функция y = cos x убывает: А) [ -π; 0 ], В) [ π; 2π ], С) [ 0; π ], D) [ - ; 0 ].

  3. Определите на каком промежутке функция y = sin x возрастает: А) [ - ; ;], В) [ ; π ], С) [ π; ], D) [ -π; 0 ].

  4. a)Укажите область определения функции y = sin x. A) [- ; ] ;B) (); C) [π; π ]; D) [ 0; 2π ]. б) Укажите область определения функции y = ctg x. A)[- ; ] ; B) (); C) D)

  5. Периодом функции f(x) = sin x является: A) B) π ; C) ; D) 2π .

  6. Периодом функции f(x) = ctg x является: A) B) π ; C) ; D) 2π .

  7. Найдите наименьший положительный период функции y = cos( ). A) B) ; C) ; D) 4π .

  8. Найдите наименьший положительный период функции y = tg (2t. A) B) ; C) ; D) .

  9. Определите, на каком из рисунков изображен график четной тригонометрической функции.

А) B)

hello_html_57d177f5.pnghello_html_m1bba5779.png

C) 1) А и С; 2) В ; 3) С; 4) В и С.

hello_html_7fbeda10.png

  1. Найдите множество значений функции y = sin x3.

A) [-4; 0];B) [-4; -2]; C) [-3; 3]; D) [-3; -2];


Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-10,с записью решения, даже с недочетами.

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-8, с записью решения, даже с недочетами.

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-5.



Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.



Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.






Самостоятельная работа № 54

Тема: Типовой расчет по теме «Иррациональные уравнения». 

Цель работы:

  • повторить понятия: равносильные уравнения, их свойства, потеря корней, посторонние корни, иррациональные уравнения;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

1) Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс, глава 2, §8-9.

2) Способы решения:

Уединение радикала и возведение в степень.

Смысл таких преобразований в сведении данного иррационального уравнения к равносильному ему рациональному уравнению.

Уравнения, содержащие кубические радикалы.

Основным методом решения уравнений является последовательное возведение в куб обеих частей уравнения, используя формулы

hello_html_m19ab484b.gif, hello_html_7ce27d0.gif.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Решить уравнениеhello_html_m31703e1.gif Решение: Уединим радикал hello_html_727bbaac.gif Это уравнение равносильно системе hello_html_mbbe3903.gif Решим уравнение (1): hello_html_m2e992f18.gif hello_html_m562ce331.gif hello_html_m11152785.gif hello_html_fa2cdec.gif hello_html_2baaa782.gif Найденное значение hello_html_m42749eb7.gif удовлетворяет условиям (2) и (3).

Ответ: – 1. Пример 2. а) Найдите корень уравнения = 3 . Решение: Возведем в квадрат правую и левую части уравнения: )2 = 32, 15 – 2х = 9, –2х = 9 –15, –2х = – 6, х = 3. Сделаем проверку. Для этого подставим число 3 в исходное уравнение: = 3, 3 = 3 – верно. Ответ: 3. б) Решить уравнение = . Решение: = => => => => х = – 1.

Ответ: –1. Пример 3. Решить уравнение = х -7 . Решение: = х -7 => => => => => х = 14. Ответ: 14.

Пример 4. Решите уравнение   = .

Решение:  = . => 7 х + х 2 2 = 2х 5 , =>

5 – х = , => 25 – 10х + х2 = х2 + 9х – 14 => 2 19х + 39 = 0,

D = (19)2 42 39= 361 – 312 = 49, х1= (19 + 7) : 4 = 6,5, х2 = (197) : 4 = 3,

Проверка:  а)  х1= 6,5,   – = ,   = –  неверное равенство.

б) х2 = 3,   – = ,   = , –  верное равенство.

Ответ: 3.

Пример 5. Решить уравнение hello_html_m1160f3de.gif

Решение: Возводим в куб обе части уравнения hello_html_598c15c7.gif получим hello_html_m497b4a68.gif Учитывая, что выражение в скобках равно 1 (см. условие), получаем hello_html_625fcde.gif hello_html_52925630.gif hello_html_mdabf98.gif Возводим в куб: hello_html_30511dcf.gif hello_html_5282e7df.gif hello_html_33e13c73.gif Проверкой убеждаемся, что hello_html_m19405068.gif и hello_html_a6221c5.gif корни уравнения.

Ответ: 80, – 109.

Задание:

1 вариант.


  1. Решить уравнение   = 4.

  2. а) Найдите корень уравнения = 5. б)Решить уравнение = .

  3. Решить уравнение = х 7 .

  4. Решите уравнение   = .

  5. Решить уравнение


2 вариант.


  1. Решить уравнение   = 5.

  2. а) Найдите корень уравнения = 5. б)Решить уравнение = .

  3. Решить уравнение = х 3 .

  4. Решите уравнение   = .

  5. Решить уравнение


Критерии оценки:


Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,


Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,


Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.


Требования к оформлению самостоятельной работы:


Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

















Самостоятельная работа № 55

Тема: Решение теста по теме «Решение иррациональных уравнений».
Цель работы: повторить, закрепить основные понятия по теме «Решение иррациональных уравнений».
Методические рекомендации к выполнению теста: Решив задачу, нужно выбрать правильный ответ и записать номер, под которым он записан.
Задание: Тест «Решение иррациональных уравнений».
1 вариант.

1. Найдите корни уравнения .

1) 2 ; 2) –6 ; 3) 14 ; 4)корней нет ;

2. Решите уравнение .

  1. 3; 2) 4 ; 3) 9 ; 4) корней нет;

3. Найдите корни уравнения .

1) 0; 10 ; 2) 0; –9 ; 3) 0 ; 4) корней нет;

4. Решите уравнение .

1) –3 ; 2) 3 ; 3) 0; 3 ; 4) корней нет;

5. Найдите корни уравнения .

1) 5; 2) –3; 5 ; 3) –5; 3 ; 4) корней нет;

6. Решите уравнение 3.

  1. 0; –1; 2) 0; –1; 3) –1 ; 4) корней нет;

7. Найдите корни уравнения .

1) 8 ; 2); 3) ; 4) –8;

8. Решите уравнение .

1) –2 ; 2) –2; –1; 3) –1 ; 4) ;

9. Найдите корни уравнения .

1) –10;2) –10; 10 ; 3) ; 4) –10;

10. Решите уравнение .

1) –16; –2; 0 ; 2) –16 ; 3) 0; –2 ; 4) –-16; –2;



2 вариант.

1. Найдите корни уравнения .

1) 5 ; 2) 96; 3) –6 ; 4) корней нет ;

2. Решите уравнение .

1) 1,5 ; 2) 4 ; 3) 2 ; 4) корней нет;

3. Найдите корни уравнения .

1) 0; 2) 0; 9 ; 3) 9 ; 4) корней нет;

4. Решите уравнение .

1) –3 ; 2) 3 ; 3) 1 ; 4) корней нет;

5. Найдите корни уравнения .

1) 5 ; 2) –3; 5 ; 3) –5; 3; 4) корней нет;

6. Решите уравнение .

1) 0; 3 ; 2) 0; –3 ; 3) корней нет ; 4) 3;

7. Найдите корни уравнения .

1) 15; 2) ; 3) ; 4) корней нет;

8. Решите уравнение .

1) 36; 2)24; 36 ; 3)24 ; 4);

9. Найдите корни уравнения .

1) 11;2) 11; –11 ; 3) –11 ; 4) –11;

10. Решите уравнение .

  1. 7 ; 2) 0 ; 3) –7; 0 ; 4) корней нет;

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-10,с записью решения, даже с недочетами. Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-8, с записью решения, даже с недочетами. Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-5. Требования к оформлению самостоятельной работы: Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2. Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

Самостоятельная работа №56

Тема: Типовой расчет по теме «Решение показательных и логарифмических уравнений».

Цель работы:

  • повторить понятия: показательные уравнения, логарифмические уравнения , их способы решения;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс, глава 3, §12, глава 4, §19.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Решить уравнение:

Решение: Ответ: 3.

Пример 2. Решите уравнение 

Решение: , Ответ: 1.

Пример 3. Решите уравнение.

Решение: Ответ: 4.

Пример 4. Решите уравнение Решение: Используем метод - решение логарифмических уравнений заменой.

ОДЗ: х > 0. Введем замену , чтобы записать исходное уравнение в виде стандартного квадратного уравнения. Тогда уравнение примет вид:

у2 – 4у + 4 = 0, ( у – 2)2 = 0, у – 2 = 0, у = 2.

Вернемся к  х : . Тогда по определению логарифма получаем, что х = 32, х = 9 - уд.ОДЗ. Ответ: 9.

Пример 5. Решите уравнение:.  

Решение: Вновь начнем решение с определения области допустимых значений уравнения. Она определяется следующей системой неравенств:

  hello_html_5a081809.png

Воспользовавшись правилом сложения логарифмов, переходим к равносильному в области допустимых значений уравнению:

Основания логарифмов одинаковы, поэтому в области допустимых значений можно перейти к следующему квадратному уравнению:

(х + 2) (х + 3) = 1 х , х2 + 6х + 5 = 0, D = (6)2 41 5= 36 – 20 = 16,

х1= ( 6 4) : 2 = , х2 = ( 4) : 2 = 1.  

Первый корень не входит в область допустимых значений уравнения, второй — входит.

Ответ: x = -1.

Задание: 1 вариант. Решить уравнения:

1)2)3)4)

5)

2 вариант. Решить уравнения:

1) 2), 3) , 4)

5).

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.



Самостоятельная работа № 57

Тема: Типовой расчет по теме «Решение логарифмических уравнений и неравенств» .

Цель работы:

  • повторить понятия: логарифмические уравнения и неравенства , их способы решения;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс, глава 4, §19-20.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Решите уравнение:

Решение: В область допустимых значений входят только те x, при которых выражение, находящееся под знаком логарифма, больше нуля. Эти значения определяются следующей системой неравенств:


С учетом того, что получаем промежуток, определяющий область допустимых значений данного логарифмического уравнения:.

На основании теоремы 1, все условия которой здесь выполнены, переходим к следующему равносильному квадратичному уравнению:

  D = (5)2 41 () = 25 + 56 = 81, х1= (5 + 9) : 2 = 7, х2 = (5 9) : 2 = .

В область допустимых значений входит только первый корень. Ответ: x = 7.

Пример 2. Решите уравнение:

Решение: Найдем ОДЗ по определению логарифма. ОДЗ:

.

Перепишем исходное уравнение, используя свойства суммы логарифмов и логарифма степени. Получим следующее уравнение:

Приравняем подлогарифмические выражения:

(3х ) (х) = ,

Найдем корни полученного квадратного уравнения:

D = (92)2 41 () = 8464 + 8436 = 16900,

х1= (92 + 130) : 6 = 37, х2 = (92 130) : 6 = .

Учитывая ОДЗ, корнем исходного логарифмического уравнения будет только х = 37.

Ответ: х = 37.

Пример 3. Решите уравнение:

Решение: Используем метод - решение логарифмических уравнений, переходя к одному основанию. ОДЗ: 

К логарифму по основанию x (второе слагаемое) вначале применим свойство логарифма степени, а затем по формуле замены основания логарифма приведем его к основанию 2:



Так как  то


Введем замену  тогда уравнение примет вид: у2 – 5у + 4 = 0.

Найдем корни полученного квадратного уравнения:

D = (5)2 41 = 25 = 9, y1= (5 + 3) : 2 = 4, y2 = (5 3) : 2 =1.

Вернемся к x, используя определения логарифма:

x = x = 16, x = , x = 2, Оба значения принадлежат ОДЗ.

Ответ: 16 и 2.

Пример 4. Решите уравнение:

Решение: Область допустимых значений уравнения определяется здесь легко: x > 0.

Используем подстановку: Уравнение принимает вид: 3у2 + 5у = 0,

D = (5)2 43 () = 25 + 24 = 49, у1= (5 + 7) : 6 = 1/3, у2 = (5 7) : 6 = .

Вернемся к x, используя определения логарифма:

x = , x = , x = 4. Оба ответа входят в область допустимых значений уравнения, поскольку являются положительными числами.

Ответ: и 4.

Пример 5. Решить неравенство

Решение: По определению логарифма, область допустимых значений:

Решение данного неравенства найдем с помощью метода интервалов, для этого левую часть разложим на множители. Решим квадратное уравнение 

D = ()2 41 3 = 1612 = 4, х1= ( + 2) : 2 = , х2 = ( 2) : 2 = .

Значит, левую часть неравенства можно представить в виде:

Отметим нули каждого множителя на числовой прямой и определим знаки неравенства в полученных интервалах:

hello_html_4cd8b7a7.pngх

Учитывая знак неравенства, определим ОДЗ:

ОДЗ определили, теперь приступим к решению исходного логарифмического неравенства:


Представим правую часть неравенства как логарифм по основанию 2:


Перейдем от неравенства относительно логарифмов к неравенству для подлогарифмических функций: так как основание логарифма больше единицы ( 2 > 1 ), то знак неравенства не изменится:

Приравняем к нулю левую часть неравенства и решим полученное квадратное уравнение 

D = (4)2 41 () = 16 + 20 = 36, х1= (4 + 6) : 2 = 1, х2 = (4 6) : 2 = .

Таким образом, получили корни х1= 1, х2 = . Отметим точки на числовой оси и определим знаки неравенства в полученных интервалах.

hello_html_1bc4d945.pngх

Учитывая, что нас интересуют все значения х, при которых данное неравенство принимает положительные значения, то получаем следующие интервалы:  Это ответ, так как данные интервалы полностью принадлежат ОДЗ.

Ответ: 

Пример 6. Решить неравенство

Решение: Находим ОДЗ по определению логарифма.


Перейдем в неравенства от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, при этом, так как основание логарифма меньше единицы ( 0,5 < 1 ), знак неравенства поменяем на противоположный:

С учетом ОДЗ, окончательно имеем, что   Ответ: 

Пример 7. Решить неравенство

Решение: ОДЗ: х > 0. Логарифмируем левую и правую часть неравенства:

.

По свойству логарифма степени получаем:


Ведем замену  Тогда наше неравенство принимает вид:

Решаем данное неравенство методом интервалов. Для этого левую часть надо разложить на множители. Приравняем ее к нулю и  решаем полученное квадратное уравнение

  D = (1)2 41 () = 1 + 8 = 9, y1= (1 + 3) : 2 = 2, y2 = (1 3) : 2 = .

Неравенство примет вид: Отметим точки на числовой оси и определим знаки неравенства в полученных интервалах.

hello_html_5bd89a69.pngх

Решением будет отрезок  Перейдем обратно к x:

.

В пересечении с ОДЗ получаем этот же промежуток  Ответ:

Пример 8. Решить неравенство

Решение: По определению логарифма, находим ОДЗ:

Используя свойство логарифма степени и формулы замены основания, приведем второй логарифм к основанию 3:

Введем замену   y + Перенесем 2 в левую часть и приводим к общему знаменателю:


Данное неравенство равносильно следующему: y(y2) > 0.

Для решение полученного неравенства применим метод интервалов, для этого трехчлен y2 разложим на множители. Приравняем его к нулю и решим полученное квадратное уравнение y2 D = (2)2 41 2 = 4 .

Дискриминант меньше нуля, и старший коэффициент a = 1 > 0, следовательно, при любом значении y выражение y2 > 0. А тогда произведение y(y2) положительно, когда y > 0. Перейдем к x, для этого делаем обратную замену:

Пересекая с ОДЗ, окончательно имеем промежуток :  Ответ: 

Задание:

1 вариант.

  1. Решите уравнение:

  2. Решите уравнение:

  3. Решите уравнение:

  4. Решите уравнение:

  5. Решить неравенство

  6. Решить неравенство

  7. Решить неравенство

  8. Решить неравенство

2 вариант.

  1. Решите уравнение:

  2. Решите уравнение:

  3. Решите уравнение:

  4. Решите уравнение:

  5. Решить неравенство

  6. Решить неравенство

  7. Решить неравенство

  8. Решить неравенство


Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-8,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-3,5-7,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-2,5-6.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

Самостоятельная работа № 58

Тема:  Решение теста по теме «Решение показательных и логарифмических неравенств». 

Цель работы: повторить, закрепить основные понятия по теме «Решение показательных и логарифмических неравенств». Методические рекомендации к выполнению теста: Решив задачу, нужно выбрать правильный ответ и записать номер, под которым он записан.

Задание: 1часть - показательные неравенства.

hello_html_m35ca6730.jpghello_html_m705fe75d.jpghello_html_2d5f3207.jpghello_html_36957471.jpg



2часть - логарифмические неравенства.

1 вариант.

1)Найти сумму целых решений неравенства hello_html_m5481e694.gif.


а) 9;

б) 10;

в) 6;

г) 3;



2)Найдите наименьшее целое решение неравенства hello_html_m5fc2fe41.gif.

а) 0;

б) 5;

в) 6;

г) 1;


3)Найдите число целых решений неравенства hello_html_mbcaf721.gif.

а) 3;

б) 2;

в) 1;

г) 4;


4)Решение неравенства hello_html_71742088.gif имеет вид:


а) hello_html_26fe0df8.gif;

б) hello_html_54f4aef2.gif;

в) hello_html_5e67c39b.gif;

г) hello_html_m287f7270.gif;

2 вариант.

1 ) Найти сумму целых решений неравенства . а) 35;

б) 36;

в) 45;

г) 15;


2) Найдите наименьшее целое решение неравенства.

а) 1;

б) 0;

в) 2;

г) –1 ;


3)Найдите число целых решений неравенства.

а) 6;

б) 5;

в) 4;

г) 3;


4)Решение неравенства имеет вид:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено все задание 1 и 2 части, с записью решения, даже с недочетами.

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание 1 и 2 части (80%), с записью решения, даже с недочетами.

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание 1 и 2 части (50%) .

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради № 2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.








Самостоятельная работа № 59

Тема: Составление опорного конспекта «Метод интервалов».

Цель работы:

  • повторить понятия: метод интервалов, применение для различных функций;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Решение простейших неравенств, представленных в виде произведения линейных множителей , методом интервалов;

  2. Решение простейших неравенств, разлагающихся на произведения линейных множителей , методом интервалов;

  3. Решение простейших дробно – рациональных неравенств без кратных корней методом интервалов;

  4. Решение неравенств с множителями , не имеющих критических точек , методом интервалов;

  5. Решение простейших неравенств с кратными корнями методом интервалов( метод лепестков);

Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.


Критерии оценки:


Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.



Самостоятельная работа № 60

Тема: Типовой расчет по теме «Метод интервалов». 

Цель работы:

  • повторить понятия: метод интервалов при решении неравенств, применение метода интервалов при решении неравенств различной сложности ;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: Самостоятельная работа № 59.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Решите неравенства: а) (х ) (х) ( х , б) (х ) (х) ( х

Решение: а) (х ) (х) ( х , х = 0, х = 0, х х1 = 3, х2 = 2, х3 = 4.




Ответ:

б) (х ) (х) ( х х = 0, х = 0, х х1 = 2, х2 = 5, х3 = 3.






Ответ: .

Пример 2. Решите неравенства: а) x3 x < 0, б) (.

Решение: а) x3 x < 0, x(x2 1) < 0, x(x2 1 ) = 0, х1 = 0, x2 1 = 0, х2 = 1, х3 = 1.






Ответ: .

б) (, () = 0, 0,

D = (6)2 41 8 = 36 32 = 4, x1= (6 2) : 2 = 4, x2 = (6 2) : 2 = . x 1 = 0, x = 1.






Ответ: .

Пример 3. Решите неравенства: а) б)

Решение: а) ,


hello_html_6f29e869.png

Ответ: .

б) ,


hello_html_6f29e869.png


Ответ: .

Пример 4. Решите неравенства: а) , б) ,

Решение: а) , H < 0, D < 0, a > 0 => P = . Ответ: P = .

б) , H ≥ 0, D < 0, a > 0 => P = . Ответ: P = R.

Пример 5. Решите неравенства: а)

б) .

Решение: а)

х = 0, х = 0, х

х1 = 2, х2 = 4, х3 = 5.

n = 2,1петля n = 3,2петли






, x . Ответ: .


б) ,

,

x1 = 0, n = 4, 3 петли, х = 0, х2 = 4, n = 3, 2петли,

х = 0, х3 = , n = 2, 1петля , х х4 = 3.






Ответ: .

Задание:

1 вариант.

  1. Решите неравенства: а) (х ) (х) ( х , б) (х ) (х) ( х

  2. Решите неравенства: а) x3 4x < 0, б) (.

  3. Решите неравенства: а) б)

  4. Решите неравенства: а) , б) ,

  5. Решите неравенства: а) б) .

2 вариант.

  1. Решите неравенства: а) (х ) (х) ( х , б) (х ) (х) ( х

  2. Решите неравенства: а) x3 x < 0, б) (.

  3. Решите неравенства: а) б)

  4. Решите неравенства: а) , б) ,

  5. Решите неравенства: а) б) .


Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5, Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4, Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.





Самостоятельная работа №61

Тема: Типовой расчет по теме «Производная».

Цель работы:

  • повторить понятия: производная степенной функции, правила вычисления производных суммы, разности, произведения, частного, сложных функций, правила вычисления производных элементарных функций;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс, глава 8-9.

Решение типовых заданий: конспект.

Задание:

1 вариант. ЧастьА.

А1. Найдите производную функции y = ex - x7 . А2. Найдите производную функции у = ехsinx.

1) = ех + cosx; 2) = ех - cosx; 3) = ½ е2x - cosx; 4) = е2x - cosx.

А3. Вычислите значение производной функции у=3ех+cos2x в точке хо=0. 1) 3; 2) -1; 3) 1; 4)2. А4. Вычислите значение производной функции у= в точке хо=2.

1) 11,5; 2)10,5; 3) 11; 4) 9,5.

А5. Вычислить значение производной функции у=ех sinx + x2 в точке xo=0. 1) 0; 2) 1; 3) 2; 4) 3. А6. Вычислите значение производной функции у = cos2x + 4x в точке хо=. 1) 2; 2) -2; 3) 4;4) 0. А7. Вычислите значение производной функции у= ln2x в точке хо = 2. 1) 3; 2) 4; 3) 2; 4) 1. А8. Вычислите значение производной функции у= 3+ 25x2 – 24x +23 в точке хо = 1. 1) 15; 2)11; 3) 17; 4) 9. А9. Найдите производную функции . 1) ; 2) ; 3) ; 4) . А10. Вычислите значение производной функции в точке хо= . 1) 2; 2) 4; 3) -2; 4)1/2.

Часть В.

В1.Найдите производную функции:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

В2. а) К графику функции проведена касательная через точку с абсциссой . Вычислите тангенс угла наклона этой касательной к оси абсцисс.

б) Напишите уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой .

В3. а) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

б) Площадь прямоугольника равна 81 см2. Найдите наименьший возможный периметр этого прямоугольника.

В4.Найдите область определения, промежутки монотонности, точки экстремума, экстремумы функции:

В5.Найдите корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения f ' (x) = 0, если f(x) = 4x + 8/x.

2 вариант. ЧастьА.

А1. Найдите производную функции y = e -x -2x7 . 1) y´= e-x -14x6; 2) y´= e-x –; 3) y´= e-x –2x6; 4) y´= e-x 14x6.

А2. Найдите производную функции у=4х3+ е .

1) у´=12х2 ; 2) у´=12х2 – е ; 3) у´=х4 е ; 4) у´=12х2 – хе -х-1.


А3. Найдите производную функции у = x2 + sinx в точке х0 =.

1) 2 1; 2) 2 + 1; 3) 2 -1; 4) 2. А4. Вычислите значение производной функции в точке хо=2. 1) 10; 2) 12; 3) 8; 4) 6.

А5. Найдите производную функции у = sinх ex – 9x3 в точке xo=0. 1) 0; 2) -1; 3) 1; 4) -9.

А6. Найдите значение производной функции у = 5cos x – 7x в точке хо = 0 . 1) -14; 2) -7;3) -9; 4) -2.

А7. Найдите производную функции .

1) 4х – 6+; 2) (2х 3)2+; 3) 8х – 12 +; 4) 4х – 6 . А8. Вычислите значение производной функции в точке хо= 4.

1) 21; 2) 24; 3) 0; 4) 3,5.

А9. Вычислите значение производной функции y = ln(2x+11)+ 5x в точке хо= -5. 1) 7; 2) -25; 3) 6; 4) 1. А10. Вычислите значение производной функции в точке хо= .

1) 1; 2) 2; 3) 0; 4) 4.

Часть В.

В1.Найдите производную функции:

1) ; 2) ;3) ; 4) ;

В2. а) К графику функции проведена касательная через точку с абсциссой . Вычислите тангенс угла наклона этой касательной к оси абсцисс.

б)Напишите уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой .

В3. а) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке .

б )Площадь прямоугольника равна 25 см2. Найдите наименьший возможный периметр этого прямоугольника.

В4.Найдите область определения, промежутки монотонности, точки экстремума, экстремумы функции:

В5.Найдите корень (или произведение корней, если их несколько) уравнения f ' (x) = 0,

если f(x) = 3x + 9/x.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется, если : выполнено задание : часть А № 1-10, часть В № 1-5.

Оценка «4» выставляется, если : выполнено задание : часть А № 1-8, часть В № 1-4.

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание : часть А № 1-10.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

Самостоятельная работа №62

Тема: Составление опорного конспекта «Геометрический смысл производной».

Цель работы:

  • повторить понятия: геометрический смысл производной, уравнение касательной, способ построения касательной к параболе, признак возрастания и убывания функций, экстремумы функции ;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Геометрический смысл производной, формула, примеры;

  2. Уравнение касательной, формула, примеры ;

  3. Способ построения касательной к параболе;

  4. Признак возрастания и убывания функций, примеры;

  5. Экстремумы функции, примеры.


Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.


Критерии оценки:


Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;


Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;


Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.



Самостоятельная работа № 63

Тема: Составление опорного конспекта «Правила дифференцирования».

Цель работы:

  • повторить понятия: правила вычисления производных суммы, разности, произведения, частного, сложных функций ;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Правила вычисления производных суммы и разности функций, примеры;

  2. Правила вычисления производных произведения функций, примеры;

  3. Правила вычисления производных частного функций, примеры;

  4. Правила вычисления производных сложных функций, примеры;.


Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.


Критерии оценки:


Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан

глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;


Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;


Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.




Самостоятельная работа № 64

Тема: Типовой расчет по теме «Правила дифференцирования».

Цель работы:

  • повторить понятия: правила дифференцирования, производная показательной ,степенной функции ;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

  1. Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс, глава 8, §46-47.

  2. Самостоятельная работа № 63.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Найти производную функции  y = .

Решение: По свойству дифференцирования произведения,

hello_html_m667262fc.png.

Используя формулу для нахождения производной показательной и степенной функций, получим: hello_html_m33ce9c10.png , hello_html_m7a155e45.png

Для нахождения производной использовались правила дифференцирования и таблица производных функций. Ответ: hello_html_m7259a439.png .

Пример 2. Найти производную функции  y = .

Решение: Воспользуемся правилом дифференцирования частного:

hello_html_m6c0be978.png.

Производная суммы/разности равна сумме/разности производных и константу можно выносить за знак производной, поэтому имеем:

hello_html_m6d9e2531.png,

hello_html_m4661b9f4.png,

hello_html_5aeb11a1.png, hello_html_303e1e97.png , hello_html_47c000ce.png .

Ответ: hello_html_6873cbb0.png .

Пример 3. Найти производную функции y =   .

Решение: По правилу дифференцирования частного:

hello_html_m2652334c.png ,

Далее воспользуемся формулами из таблицы производных - формулам для производных степенной и тригонометрических функций, а также учитываем тот факт, что производная суммы равна сумме производных:

hello_html_6bfbb3b0.png ,

hello_html_4f5a6440.png ,

hello_html_345a5152.png , hello_html_3dd92d7d.png .

Ответ: hello_html_5f22ddde.png .

Пример 4. Найти производную функции  hello_html_mb62401c.png .

Решение: По свойству дифференцирования частного получаем:

hello_html_m1bbacdfd.png ,

Далее пользуясь формулами для производных логарифмической и степенной функции, получим:

hello_html_m7e5e4019.png , hello_html_7fc6a7d9.png , hello_html_m68b092d7.png .

Ответ: hello_html_ecc0376.png . Пример 5. а) Найти производную функции  .

Решение:

Примените таблицу основных производных и формулы производных линейной комбинации и отношения функций.







Ответ:  .

б) Вычислить производную функции y = cos ln ().

Решение: Примените таблицу основных производных и формулу производной сложной функции.

y / = sin ln (3x2 ) (ln (3x2)) / = sin ln (3x2 ) / =

= sin ln (3x2 ) .

Ответ:  sin ln (3x2 ) .

Задание:

1 вариант. Найти производную функции: 



1) y = . 2) y = . 3) y = . 4) .5) а) . б) y = cos ln (2x2).


2 вариант. Найти производную функции:


1) y = . 2) y = . 3) y = . 4)   .5) а) , б) y = cos ln (4x2).


Критерии оценки:



Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,



Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,



Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.



Требования к оформлению самостоятельной работы:



Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.


Самостоятельная работа № 65

Тема: Составление опорного конспекта «Первообразная».



Цель работы:

  • повторить понятия: первообразная, формулы и правила для нахождения первообразных ;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом .

План работы:

  1. Определение понятия «первообразная»;

  2. Примеры на вычисление первообразных;

  3. Таблица первообразных;

  4. Правила для нахождения первообразных;

  5. Примеры нахождения первообразных по формулам и правилам;

  6. Определение понятия криволинейная трапеция, интеграл;

  7. Формулы для вычисления площадей с помощью интегралов ;



Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.





























Самостоятельная работа № 66

Тема: Типовой расчет по теме «Правила нахождения первообразных».  

Цель работы:

  • повторить понятия: правила нахождения первообразных;

  • выработка умений находить первообразную, график которой проходит через данную точку ;

  • выработка умений находить первообразные функции в случаях, непосредственно сводящиеся к применению таблицы первообразных и трех правил нахождения первообразных;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

  1. Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс, глава 10, §54-55.

  2. Самостоятельная работа № 65.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Найти общий вид первообразных данных функций :

1) f(x) = x2  cosx;   2) f(x) = 3; 3) f(x) = 10 sinx;  4) f(x) = 2sin4x; 5) f(x) = 5x4x2  ; 6) f(x) = (3x – 1)2; 7) f(x) =. .

Решение: 1) F(x) = x3/3 – sinx  C; 2) F(x) =3x  C; 3) F(x) = 10cosx  C; 

4) F(x) = 1/2 cos4x + C;5) F(x) = x5  x3/3 – 2;  6) F(x) = (3x – 1)3/9 + C; 7) F(x) = /3 + C.

Ответ: 1) F(x) = x3/3 – sinx  C; 2) F(x) =3x  C; 3) F(x) = 10cosx  C; 

4) F(x) = 1/2 cos4x + C;5) F(x) = x5  x3/3 – 2;  6) F(x) = (3x – 1)3/9 + C; 7) F(x) = /3 + C.

Пример 2. Для функции  f(x) = 4x + 1/x2 найти первообразную, график которой проходит через точку M(-1; 4).

Решение: F(x) = 2x2– 1/x + C. , F(x) = 2()2– 1/() + C =2 C = 4, 4 = 3 + C, C = 1

Ответ: F(x) = 2х2 – 1/х + 1.

Пример 3. Докажите , что функция F(x) является первообразной для функции f(x).

a) f(x) = 2x; F(x) = x2 , б) f(x) = – sin x; F(x) = сos x , в) f(x) = 6x2 + 4; F(x) = 2x3 + 4x, г) f(x) = 1/cos2 x; F(x) = tg x .

Решение: a) f(x) = 2x; F(x) = x2 , F (x)= (x2) = 2x = f(x);

б) f(x) = – sin x; F(x) = сos x , F (x)= (cos x) = – sin x = f(x);

в) f(x) = 6x2 4; F(x) = 2x3 4x, F (x)= (2x3 4x) = 6x2 4 = f(x);

г) f(x) = 1/cos2 x; F(x) = tg x , F (x)= (tg x) = 1/cos2 x= f(x).

Ответ: F(x) является первообразной для f(x). Пример 4. Найдите первообразные функций: a) f(x) = x4 x2 x ; б) g(u) = ; в) h(x) = (x3 + 1)2 ; г) v(x) = cos (5x ). Решение: Для нахождения первообразных функций воспользуемся таблицей первообразных. а) x5/5 - одна из первообразных функции х4; x3/3 - одна из первообразных функции х2; x2/2 - одна из первообразных функции х; х - одна из первообразных функции 1. По правилу 1 нахождения первообразных F(x) =   - первообразная функции f(х);

б) функцию g(u) запишем в виде g(u) =  u - 1/3u3/2.

3/2u2/3 - одна из первообразных функции u-1/3; 2/5u5/2 - одна из первообразных функции u3/2;  G(x) = 3/2u2/3  2/5u5/2  - первообразная функции g(u);

в) h(x) = (x3 + 1)2 = x6 2x3 .

x7/7 - одна из первообразных функции х6x4/4 - одна из первообразных функции х3; х - одна из первообразных функции 1.

По правилам 1 и 2 нахождения первообразных H(x) = 1/7x7  1/2x4xC - первообразная функции h(х);

г) v(x) = cos (5x ) , sinu - одна из первообразных функции cosu; V(x) = 1/5 sin(5x)  C - первообразная функции v(х).

Ответ: a) F(x) =   ; б) G(x) = 3/2u2/3  2/5u5/2  в) H(x) = 1/7x7  1/2x4xC; г) V(x) = 1/5 sin(5x)  C.

Пример 5. Найдите первообразную: a) g(x)= (4-7x)5 ; б) g(x)= x- 2; в) t(x) = (5+2x)3.

Решение: a) G (x) = ; б) G(x) = ; в) T(x) = .

Ответ: a) G (x) = ; б) G(x) = ; в) T(x) = .

Задание:

1 вариант.

  1. Найти общий вид первообразных данных функций :1) f(x) = 4x3  2cosx;   2) f(x) = 5; 3) f(x) = 5 sinx;  4) f(x) = 3sin4x; 5) f(x) = 6x5x4  ; 6) f(x) = (4x – 1)2; 7) f(x) =. .

  2. Для функции  f(x) = 6x + 1/x2 найти первообразную, график которой проходит через точку M(-1; 8).

  3. Докажите , что функция F(x) является первообразной для функции f(x).

a) f(x) = 4x; F(x) = 2x2 , б) f(x) = – 2sin x; F(x) = 2сos x ,

в) f(x) = 6x2 7; F(x) = 2x3 7x, г) f(x) = 1/sin2 x; F(x) = ctg x .

  1. Найдите первообразные функций: a) f(x) = 10x4 4x2 2x ; б) g(u) = ; в) h(x) = (x3 3)2 ; г) v(x) = cos (7x ).

  2. Найдите первообразную: a) g(x)= (45x)5 ; б) g(x)= 2x- 2; в) t(x) = (54x)5.

2 вариант.

  1. Найти общий вид первообразных данных функций :1) f(x) = 8x3  3cosx;   2) f(x) = 7; 3) f(x) = 4 sinx;  4) f(x) = 2sin4x; 5) f(x) = 6x5x4  ; 6) f(x) = (7x – 1)3; 7) f(x) =. .

  2. Для функции  f(x) = 8x  1/x2 найти первообразную, график которой проходит через точку M(-1; 8).

  3. Докажите , что функция F(x) является первообразной для функции f(x).

a) f(x) = 6x; F(x) = 3x2 , б) f(x) = – 4sin x; F(x) = 4сos x ,

в) f(x) = 12x2 5; F(x) = 4x3 5x, г) f(x) = /cos2 x; F(x) = 2tg x .

  1. Найдите первообразные функций: a) f(x) = 5x4 6x2 4x ; б) g(u) = ; в) h(x) = (x3 4)2 ; г) v(x) = cos (8x ).

  2. Найдите первообразную: a) g(x)= (43x)5 ; б) g(x)= 4x- 2; в) t(x) = (56x)5.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5, Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4, Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

















Самостоятельная работа № 67

Тема: Типовой расчет по теме «Вычисление площадей с помощью интегралов».

 Цель работы:

  • повторить понятия: первообразная, интеграл, правила нахождения первообразных;

  • навык вычисления интегралов, нахождение площади криволинейной трапеции;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

  1. Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс, глава 10, §56-58.

  2. Самостоятельная работа № 65.

Решение типовых заданий:

Пример 1. а)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2 2, у = 0, х = 2, х = 1.

Решение: Это типовая формулировка задания. Первый и важнейший момент решения – построение чертежа. Причем, чертеж необходимо построить правильно. 

При построении чертежа я рекомендую следующий порядок: сначала лучше построить все прямые (если они есть) и только потом – параболы, гиперболы, графики других функций. Графики функций выгоднее строить поточечно. Выполним чертеж (обратите внимание, что уравнение у = 0  задает ось  ОХ): Штриховать криволинейную трапецию я не буду, здесь очевидно, о какой площади идет речь. Решение продолжается так:hello_html_m6ea081fc.png

На отрезке [– 2;1]  график функции у = х2 2  расположен над осью ОХ, поэтому:


Ответ: S = 9 eд2.

б)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у =  , х = 1  и координатными осями.

Решение: Выполним чертеж: Если криволинейная трапеция расположена под осью OX (или, по крайней мере, не выше данной оси), то её площадь можно найти по формуле: S =  .
В данном случае:
hello_html_m521974c9.png

Ответ: 

Пример 2.а)Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями  у = 2х , у =  .hello_html_m34e0aa0e.png

Решение: Сначала нужно выполнить чертеж. Вообще говоря, при построении чертежа в задачах на площадь нас больше всего интересуют точки пересечения линий. Найдем точки пересечения параболы у = 2х   и прямой у =   . Это можно сделать двумя способами.

Первый способ – аналитический. Решаем уравнение:

2х =  , 3х = 0, х(3) = 0, х1 = 0, х2 = 3.

Значит, нижний предел интегрирования а = 0, верхний предел интегрирования b = 3 . Этим способом лучше, по возможности, не пользоваться. Гораздо выгоднее и быстрее построить линии поточечно, при этом пределы интегрирования выясняются как бы «сами собой». Тем не менее, аналитический способ нахождения пределов все-таки приходится иногда применять, если, например, график достаточно большой, или поточенное построение не выявило пределов интегрирования (они могут быть дробными или иррациональными). Возвращаемся к нашей задаче: рациональнее сначала построить прямую и только потом параболу. Выполним чертеж: Повторюсь, что при поточечном построении пределы интегрирования чаще всего выясняются «автоматом».

А теперь рабочая формула: Если на отрезке[a;b]   некоторая непрерывная функция f(xбольше либо равна некоторой непрерывной функции g(x), то площадь фигуры, ограниченной графиками данных функций и прямыми x = a ,x = b , можно найти по формуле:

S = .

Здесь уже не надо думать, где расположена фигура – над осью или под осью, и, грубо говоря, важно, какой график ВЫШЕ (относительно другого графика), а какой – НИЖЕ.

В рассматриваемом примере очевидно, что на отрезке [0;3]   парабола располагается выше прямой, а поэтому из 2х   необходимо вычесть .

Завершение решения может выглядеть так:

Искомая фигура ограничена параболой y = 2х   сверху и прямой у =    снизу.
На отрезке[0;3]  2х  , по соответствующей формуле:

Ответ: S = 4,5 eд2.   б)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , y = x  , y = 0  , x = 3 .

Решение: Сначала выполним чертеж: Площадь фигуры считается с помощью двух определенных интегралов. Действительно:hello_html_m6cf9f122.jpg

1) На отрезке [– 1;1]  над осью OX расположен график прямой

y = x   ;

2) На отрезке [1;3]   над осью OX  расположен график гиперболы

 

Совершенно очевидно, что площади можно (и нужно) приплюсовать, поэтому:

Ответ: 

Пример 3.a) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиямиhello_html_dfee4aa.png

 ,2x  .
Решение: Представим уравнения в виде  и выполним поточечный чертеж:
Из чертежа видно, что верхний предел у нас «хороший»:  b = 1.
Но чему равен нижний предел?! Понятно, что это не целое число, но какое? В таких случаях приходиться уточнять пределы интегрирования аналитически.

Найдем точки пересечения прямой    и параболы  .
Для этого решаем уравнение 3x2 = 2x 3x2 2x D = 4 12 = 16, = 4, , x1 = , x2 = 1. Действительно, a = .

На отрезке по соответствующей формуле:

Ответ: 

б)Найти площадь фигуры, ограниченной линиямиhello_html_3f5273e5.png

y =  , y = 2x  .

Решение: Выполним чертеж:
На отрезке , по соответствующей формуле:

Ответ: S = 10 eд2.
hello_html_m2e7c3126.png

Пример 4.a) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями x , xy = 3 .

Решение: Выполним чертеж . На отрезке, по соответствующей формуле:

Ответ: 

б) В каком отношении парабола у = х2 + 2 делит площадь четырёхугольника, вершины которого находятся в точках с координатами (0;0); (2;0); (0;6); (2;6)? 

Решение:



Ответ: 4:5 или 5:4.

Пример 5.a) Найти площадь фигуры, ограниченной параболой

у = х2 +10 и касательными к этой параболе, проведёнными из точки (0;1). 

Решение: Неизвестна абсцисса точки касания х = а. Чтобы её найти, составим уравнение касательной:  y = f (x0) .

Имеем f(x) = x2 f (x) = 2x;значит, f(a) = a2

f (a) = 2a; уравнение касательной имеет вид:

y = a2 2 a(x ) = a2 2 ax ;

Уравнение касательной y = (1)

По условию касательная должна проходить через точку (0;1), то есть координаты точки (0;1) должны удовлетворять уравнению (1):

1 = 2a0 ; , a1 = a2 = 3.

Подставим найденные значения в уравнение (1):hello_html_m1a016af7.jpghello_html_m59ee8dfd.jpg

Если a =  то y = 9 10 Если a = 3 , то y =  .

Получили два уравнения касательных y =  . 

Параболы y = х2 + 10 они касаются в точках А(– 3;19) и В(3;19).

Найдём площадь фигуры DACB: SDACB = 2SDCB ,





SDACB = 2 9 = 18.

Ответ: 18.

б) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

у = 4/xy = х, х = 4.

Решение:

SABC = SMBAD SMBCD; SMBAD = 1/2(MB )MD = = 1/2 (2 ) 2 = 6;



hello_html_m4ddcefe6.jpg



Ответ: 6 – 4ln2.

Задание:

1 вариант.

  1. а)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2 2, у = 0, х = 3, х = 3.

б)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у =  , х = 2  и координатными осями.

  1. а)Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями  у = 4х , у =  .

б)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , y = x  , y = 0  , x = 4 .

  1. a) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  , 5x  .

б)Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y =  , y = 2x  .

  1. a)Найти площадь фигуры, ограниченной линиями x , xy = 5 .

б) В каком отношении парабола у = х2 3 делит площадь четырёхугольника, вершины которого находятся в точках с координатами (0;0); (2;0); (0;6); (2;6)? 

  1. a)Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = 3х2 4 и касательными к этой параболе, проведёнными из точки (0;1). 

б) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = 4/xy = х, х = 6.

2 вариант.

  1. a)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = 3х2 4, у = 0, х = 1, х = 1.

б)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у =  , х = 3  и координатными осями.

  1. а)Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями  у = 6х , у =  .

б)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , y = x  , y = 0  , x = 4 .

  1. a)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  , 4x  .

б)Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y =  , y = 2x  .

  1. a)Найти площадь фигуры, ограниченной линиями x , xy = 7 .

б) В каком отношении парабола у = х2 4 делит площадь четырёхугольника, вершины которого находятся в точках с координатами (0;0); (2;0); (0;6); (2;6)? 

  1. a)Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = 3х2 13 и касательными к этой параболе, проведёнными из точки (0;1). 

б) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = 4/xy = х, х = 8.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5, Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.















Самостоятельная работа № 68

Тема: Решение теста по теме «Первообразная».

Цель работы: повторить, закрепить основные понятия по теме «Первообразная».

Методические рекомендации к выполнению теста: Решив задачу, нужно выбрать правильный ответ и записать номер, под которым он записан.

Задание:

1 вариант.

  1. Найдите первообразную функции f(x) = 4x3– 3x2 , график которой проходит через

точку M(–1; 2).

а) 0,5x4 x3 + 5; б) x4 x3; в) x4 x3 – 4; г) таких нет.

  1. Для функции f(х) = еx найти первообразную, график которой проходит через точку М(0; 2).

а) F(х) = е х+ 3; б) F(х) = еx; в) F(х) = ex +1; г) F{х) =ex 1.

  1. Какая из данных функций является первообразной для функции y = 2x3 – 3x2?

а) 3x2 – 6x; б) 0,5x4 x3 + 5; в) x4 x3; г) таких нет.

  1. Какая из данных функций является первообразной для функции y = sin2x?

а) cos2x; б) –cos2x; в) sin2x; г) –sin2x.

  1. На каком из указанных промежутков функция F(x) = cos2x – 2 + 1 является первообразной для функции f(x) = – 2sin2x – ?

а) ; б) ; в) ; г) .

  1. Для функции y = –1–2x2 найдите первообразную, график которой проходит через

точку М(–3; 12). а) y = –xx3 – 2; б) y = –xx3 – 9; в) y = –xx3 + 7; г) свой ответ.

  1. Известно, что F1, F2, F3– первообразные для f(x) = 4x3 –3x2 на R, графики которых проходят через точки M(–1; 2), N(1; 4), K(2; 5) соответственно. Перечислите, в каком порядке (сверху вниз) графики этих функций пересекают ось ординат?

а) F1, F2 ,F3; б) F1, F3, F2; в) F2, F1, F3; г) свой ответ.

  1. Материальная точка движется прямолинейно со скоростью v(t) = 12t + 4. Найдите закон движения точки, если в момент времени t = 1c пройденный путь составил 12 м.

а) s(t) = 6t2 + 4t + 3; б) s(t) = 3t2 + 4t; в) s(t) = 6t2 + 2t – 2; г) свой ответ.

  1. Какое расстояние пройдет материальная точка (см. задание 8) за первые 3 секунды своего движения?

а) 69 м; б) 60 м; в) 39 м; г) свой ответ.

  1. Найдите наименьшее значение первообразной функции y = 2x + 4, проходящей через

точку (2; 8) . а) –8; б) –5; в) –6; г) свой ответ.



2 вариант.

  1. Найдите первообразную функции f(x) = 4x–3x2 ,график которой проходит через точку M(1; 0),.

а) x3+2x–6; б) –x3+2x2–6; в) –x3+2x2–1; г) таких нет.

  1. Для функции f(х) = найти первообразную, график которой проходит через точку М(1;3).

а) F(х) = 4 +; б) F(х) = – 5; в) F(х) =+ 4; г) F{х) = x3 4.

  1. Какая из данных функций является первообразной для функции y = 6x3 – 3x5?

а) 2x3 – 0,5x6 – 4; б) 12x – 15x4; в) x5 + x3 + 1; г) таких нет.

  1. Какая из данных функций является первообразной для функции y = 2sin2x – 1?

а) sin3xx; б) xsin3x; в) sin2x + 5; г) 1 – sin2x.

  1. На каком из указанных промежутков функция F(x) = 2sinx – –3 является первообразной для функции f(x)= 2cosx – ? а) ; б) ; в) ; г) .

  2. Для функции y=3x2+2 найдите первообразную, график которой проходит через

точку М(–2; –6).

а) y = x3 + 2x + 6; б) y = x3 + 2x – 6; в) y = 3x3 + 8; г) свой ответ.

  1. Известно, что F1, F2, F3– первообразные для f(x)= 4x–3x2 на R, графики которых проходят через точки M(1; 0), N(–2; 1), K(0; –3) соответственно. Перечислите, в каком порядке (сверху вниз) графики этих функций пересекают ось ординат?

а) F1, F2 ,F3; б) F3, F2, F1; в) F2, F1, F3; г) таких нет.

  1. Материальная точка движется прямолинейно со скоростью v(t) = 3t – 2. Найдите закон движения точки, если в момент времени t = 2c пройденный путь составил 3 м.

а) s(t) = 3t2 – 2t – 5; б) s(t) = 1,5t2 – 2 + 1t; в) s(t) = t2 – 2t3 + 1; г) свой ответ.

  1. Какое расстояние пройдет материальная точка (см. задание 8) за первую 1 секунду своего движения?

а) 4 м; б) 5 м; в) 3 м; г) свой ответ

  1. Найдите наибольшее значение первообразной функции y = –1 – 2x, проходящей через

точку (1; 2).

а) 1,75; б) –1,75; в) –1; г) свой ответ



Критерии оценки:



Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-10,с записью решения, даже с недочетами.



Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-8, с записью решения, даже с недочетами.



Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-5.



Требования к оформлению самостоятельной работы: Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.



Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

















































Самостоятельная работа № 69



Тема: Составление кроссворда по теме «Алгебра и начала анализа».

Цель работы: повторение и закрепление знаний, в части правильности написания терминов и определений к ним; формирование умений поиска информации.

Методические рекомендации к составлению кроссвордов

  1. Ознакомьтесь со списком рекомендуемой литературы и источников.

  2. Повторите теоретический материал, соответствующий теме кроссворда, воспользовавшись материалом учебника, справочной литературой, конспектом лекции..

  3. Запишите ответы по определениям по горизонтали и вертикали.

  4. Проведите анализ, проверьте орфографию.

  5. Оформите второй вариант кроссворда с заполненной сеткой.

Задание:

По горизонтали:

1) Одна из координат точки в пространстве.

5) Закон умножения ab = ba.

8) Математическое действие, обозначенное точкой.

10) Арифметическое действие.

11) Действие, заключающееся в нахождении числа по данному логарифму.

По вертикали:

2) Из определения логарифма следует основное логарифмическое …

3) Как называется равенство с переменными.

4) Одна из тригонометрических функций.

6) Логарифм по основанию е называется …

7) Равенство двух отношений.

9) Разность F(b) – F(a) называется …

12 ) Логарифм по основанию 10 называется …

13) Если F / (x) = f (x), то F(x) называется …

14) Основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции.

15) Точное предписание, которое задает вычислительный процесс.





Кроссворд по теме «Алгебра и начала анализа».



10






9















































































8


6



















13



































































































5 7







2











14



































12
































15










3


































4


























1










































11



























































































































































Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : отгаданы все слова верно и построена таблица с ответами,

Оценка «4» выставляется , если : отгаданы все слова верно, но не построена таблица с ответами,

Оценка «3» выставляется, если : отгаданы не все слова верно, не построена таблица с ответами,.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.








Тема: Составление опорного конспекта «Основные понятия комбинаторики».

Цель работы:

  • повторить понятия: правило произведения, перестановки, перебор вариантов, размещения, сочетания, треугольник Паскаля, бином Ньютона ;

  • повторить понятия: событие, вероятность события, несовместимые события, независимые события, сложение и умножение вероятностей;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Перестановки, размещения, сочетания, задачи на перебор вариантов;

  2. Треугольник Паскаля, примеры;

  3. Формула бинома Ньютона;

  4. Примеры вычисления вероятности событий с помощью треугольника Паскаля и бинома Ньютона;

  5. Несовместимые события, примеры;

  6. Сумма несовместимых событий, примеры;

  7. Независимые события, примеры;

  8. Умножение вероятностей ;

  9. Произведение вероятностей для независимых событий, примеры ;

Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.
Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.







Самостоятельная работа № 71

Тема: Типовой расчет по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей».

Цель работы:

  • повторить понятия: событие, противоположное событие, вероятность события ;

  • формирование умения решать простейшие текстовые задачи на расчет вероятности случайного события;

  • повторить понятия: дискретная случайная величина, ее числовые характеристики, функция распределения;

  • формирование умения решать простейшие текстовые задачи на расчет числовых характеристик дискретной случайной величины ;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс, глава 12-13.

Решение типовых заданий:

Пример 1. a)В партии из 100 деталей имеется 5 бракованных. Определить вероятность того, что, взятая наугад, деталь окажется стандартной.

Решение: А: взятая наугад деталь оказалась стандартной.

Число исходов, благоприятствующих наступлению события А, равно 95.Поэтому вероятность события равна P(A) = m/ n = 95/100 = 0,95 .hello_html_m27618eb7.gif Ответ: 0,95.

б) Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «книга». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы, а затем собрал их в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получится слово «книга».

Решение: А: из рассыпанных букв сложится слово «книга»

Число всех возможных исходов равно n = Pn = 5! = 120.

Число исходов, благоприятствующих событию А равно m =1.

Вероятность события А равна P(A) = m/ n = 1/120 = 0,0083 .hello_html_m27618eb7.gif 

Ответ: 0,0083.

Пример 2.a) В коробке лежат 8 зеленых, 7 синих и 15 красных карандашей. Вычислить вероятность того, что взятый наугад карандаш будет, синим или зеленым.

Решение: А: взяли синий карандаш, В: взяли зеленый карандаш, С: взяли синий или зеленый карандаш. Событие С равно сумме событий А и В: С = А + В

Вероятность события А равна P(A) = m/ n = 7/30. 

Вероятность события В равна P(B) = m/ n = 8/30. 

Вероятность события С равна P(C) = P(A) = 7/30 8/30 = 15/30 = 0,5.

Ответ: 0,5. б) В урне лежат шары, двузначные номера которых составлены из цифр 1,2,3,4,5. Какова вероятность вынуть шар с номером 15? Решение: А: вынут шар с номером 15.

Число всех возможных исходов равно n =

Число исходов, благоприятствующих событию А, m = 1.

Вероятность события А равна P(A) = m/ n = 1/20 = 0,05 .

Ответ: 0,05.

Пример 3.a) Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наугад. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

Решение: А: абонент наугад набрал нужные цифры.

Число всех возможных исходов равно n =

Число исходов, благоприятствующих событию А, m = 1

Вероятность события А равна P(A) = m/ n = 1/90 = 0,011. 

Ответ: 0,011.

б) Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов равны соответственно 0,05 и 0,08. Найти вероятности отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент. 

Решение: Пусть событие А — «устройство не работает», В1 — «отказал первый элемент», 

В2 — « отказал второй элемент». Событие А соответствует тому, что может отказать один из «цементов либо оба элемента. События  В1 и В2  независимы в совокупности, поэтому:

q1 = 10,05 = 0,95,   q2 = 10,08 = 0,92. P(A) = 1 q1q2= 10,950,92 = 10,874 = 0,126.

Ответ:  0,126.

Пример 4. a)Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.

Решение: Пусть p - вероятность попадания в цель при одном выстреле. Введем событие 

X = {при четырех выстрелах есть хотя бы одно попадание} и противоположное ему событие  

= {при четырех выстрелах нет ни одного попадания}.

Вероятность события  равна P(  ) = (1p)4, тогда вероятность события Х равна 

P(X) =1P(  ) = 1 (1p)4. По условию эта вероятность равна 0,9984, откуда получаем уравнение относительно p: 1 (1p)4 = 0,9984, (1p)4 = 0,0016, (1p) = 0,2, p = 0,8.

Таким образом, вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8.

Ответ: 0,8.

б)На полке в случайном порядке расставлено 40 книг, среди которых находится трехтомник Пушкина. Найти вероятность того, что эти тома стоят в порядке возрастания номера слева направо, но не обязательно рядом.

Решение: Используем классическое определение вероятности: P = m/n, где n- число всех равновозможных элементарных исходов, m - число элементарных исходов, благоприятствующих осуществлению события A = (Тома стоят в порядке возрастания номера слева направо, но не обязательно рядом). n=403938=59280, так как первый том можно поставить на любое из 40 мест, второй - на любое из 39 мест и третий - на любое из оставшихся 38 мест.

А число m= 40! / (37! 3!) = (403938) : (123) = 9880.

Тогда искомая вероятность P(A)= m/n = 9880/59280 = 1/6.
Ответ: 1/6.

Пример 5. а)В коробке имеется 250 лампочек, из них 100 по 90Вт, 50 - по 60Вт, 50 - по 25Вт и 50 – по 15Вт. Определить вероятность того, что мощность любой наугад взятой лампочки не превысит 60Вт.

Решение: 1. Рассматриваем следующие события: А = {мощность лампочки равна 90Вт}, вероятность Р(А) = 100/250 = 0,4; В = {мощность лампочки равна 60Вт}; С = {мощность лампочки равна 25Вт}; D = {мощность лампочки равна 15Вт}.

2. События А, В, С, D образуют полную систему, так как все они несовместны и одно из них обязательно наступит в данном опыте (выборе лампочки). Вероятность наступления одного из них есть достоверное событие, тогда Р (А)Р (В)Р (С)Р (D) = 1.

3. События {мощность лампочки не более 60Вт} (т.е. меньше или равна 60Вт), и {мощность лампочки более 60Вт} (в данном случае – 90Вт) являются противоположными. По свойству противоположных чисел Р (В)Р (С)Р (D) = 1Р (А).

4. Учитывая, что Р (В)Р (С)Р (D) = Р (ВСD), получим

Р (В СD) = 1Р (А) = 10,4 = 0,6. Ответ: 0,6. 

б) Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,7, а вторым стрелком – 0,9. Найти вероятность того, что 

1) цель будет поражена только одним стрелком; 2) цель будет поражена хотя бы одним стрелком.

Решение: 1. Рассматриваем следующие события:
А
1 = {первый стрелок поражает цель}, Р (А1) = 0,7 из условия задачи;
А̄
1 = {первый стрелок промахнулся}, при этом Р (А1)Р (А̄1) = 1, поскольку А1 и А̄1 – противоположные события. Отсюда Р (А̄1) = 10,7 = 0,3;
А
2 = {второй стрелок поражает цель}, Р (А2) = 0,9 из условия задачи;
А̄
2 = {второй стрелок промахнулся}, при этом Р (А̄2) = 10,9 = 0,1.

2. Событие А={цель поражена только одним стрелком} означает, что наступило одно из двух несовместных событий: либо А1А̄2, либо А̄1А2.
По правилу сложения вероятностей Р (А) = Р (А1А̄2) + Р (А̄1А2).По правилу умножения вероятностей независимых событий:
Р (А1А̄2) = Р (А1)Р (А̄2) = 0,70,1= 0,07; Р (А̄1А2) = Р (А̄1)Р (А2) = 0,30,9 = 0,27.
Тогда Р (А)= Р (А1А̄2) Р (А̄1А2) = 0,070,27 = 0,34.

3. Событие B ={цель поражена хотя бы одним стрелком} означает, что либо цель поразил первый стрелок, либо цель поразил второй стрелок, либо цель поразили оба стрелка.

Событие B̄ = {цель не поражена ни одним стрелком} является противоположным событию В, а значит Р(В) = 1Р (B̄).
Событие B̄ означает одновременное появление независимых событий Ā1 и Ā2, следовательно Р (B̄) = Р (Ā12) = Р (Ā1)Р (Ā2) = 0,30,1 = 0,03. Тогда Р (В) = 1Р (B̄) = 10,03 = 0,97.

Ответ: 1) 0,34; 2) 0,97.

Пример 6. Выпущено 1000 лотерейных билетов: на 5 из них выпадает выигрыш в сумме 500 рублей, на 10 – выигрыш в 100 рублей, на 20 – выигрыш в 50 рублей, на 50 – выигрыш в 10 рублей. Определить закон распределения вероятностей случайной величины X – выигрыша на один билет.

Решение: По условию задачи возможны следующие значения случайной величины X:

0, 10, 50, 100 и 500.

Число билетов без выигрыша равно 1000 – (5+10+20+50) = 915, тогда P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Аналогично находим все другие вероятности: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X=500) = 5/1000=0,005. Полученный закон представим в виде таблицы:


Пример 7. a)Закон распределения случайной величины X имеет вид:

Вычислить Dx   и Ϭx .

Решение: Найдем вначале математическое ожидание случайной величины X:

Mx = .

Вычислим дисперсию Dx :Dx = .

Тогда среднее квадратическое отклонение: Ϭx = .

Ответ: Dx = 1, Ϭx = 1.

б) Закон распределения случайной величины X имеет вид:

Найти x. Составить функцию распределения. Вычислить: P{X > 0,7} , Mx , Dx и Ϭx .

Решение. Согласно условию нормировки имеем уравнение: 0,1   Отсюда x = 0,7 . Далее, воспользовавшись рядом распределения, найдем:

P{X > 0,7} = P {X = 1}P{X = 2} = 0,2 0,7 = 0, 9; Mx =

Dx = ; Ϭx = .

Ответ: x = 0,7 ; P{X > 0,7} = 0, 9; Mx Dx ; Ϭx

Пример 8. a)Известно, что случайная величина X, принимающая два значения  x1 = 2 и x2 = 3 , имеет математическое ожидание, равное 2,2. Построить ряд распределения случайной величины X, найти дисперсию, среднее квадратическое отклонение и составить функцию распределения.

Решение. Пусть P{X = 2} = p . Тогда, согласно условию нормировки,P{X = 3} = 1  . Используя определение математического ожидания, получим Mx = 2p . Имеем уравнение 3 , откуда находим p = 0,8 . Ряд распределения имеет вид:

Теперь вычислим дисперсию и среднее квадратическое отклонение:

Dx = ; Ϭx =  .

Согласно определению функция распределения имеет вид

Fx(x) =

Ответ: Dx ; Ϭx =   Fx(x) =

б) Возможные значения случайной величины X таковы: x1 = 2 , x2 = 3, x3 = 3 . Известно, что Mx = 2,3 ,α2 = 5,9 . Найти вероятности, соответствующие возможным значениям X, и записать ряд распределения.

Решение. Ряд распределения, с учетом возможных значений случайной величины X, будет выглядеть следующим образом:

Найдем вероятности p1 , p2 и p3, соответствующие возможным значениям X.

По условию Mx = 2,3 , поэтому имеем первое уравнение, связывающее p1p2 и p3 :

 . Аналогично из условия α2 = 5,9   получим второе уравнение:

 . Третье уравнение возникает из условия нормировки:

p1 p2 p3 = 1. Итак, имеем систему:


Ответ: ряд распределения имеет вид

Пример 9. Имеется боезапас 4 патрона. Ведётся независимая стрельба по мишени с вероятностью попадания при каждом выстреле 0.2. Построить ряд распределения с.в. --- числа выстрелов, если стрельба ведётся: 1) до 1-го попадания или окончания боезапаса;2) до 2 попаданий (не обязательно подряд) или окончания боезапаса.

Решение: 1). Возможные значения с.в. : 1,2,3, 4; попадание --- успех (У); промах --- неудача (Н);

;

(мы записали, какие элементарные исходы соответствуют каждому знач. с.в.)

; = 0,16; = 0,128;

= 0,512. Ряд распределения с.в. будет выглядеть с.о.

2). Возможные значения с.в. : 2,3, 4; попадание --- успех (У); промах --- неудача (Н);

;

(мы записали какие элементарные исходы соответствуют каждому знач. с.в.)

;

. Ряд распределения с.в. будет выглядеть с.о.

Пример 10. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте, построить многоугольник распределения. Найти функцию распределения F(x) и построить ее график. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины.

Решение. 1. Дискретная случайная величина X={число отказавших элементов в одном опыте} имеет следующие возможные значения: х1= 0 (ни один из элементов устройства не отказал), х2= 1 (отказал один элемент), х3= 2 (отказало два элемента) и х4= 3 (отказали три элемента).

Отказы элементов независимы друг от друга, вероятности отказа каждого элемента равны между собой, поэтому применима формула Бернулли. Учитывая, что, по условию, n = 3, р = 0,1,

q = 1р = 0,9, определим вероятности значений:
P3(0) = С30 p0 q3-0 = q3 = 0,93 = 0,729; P3(1) = С31 p1 q3-1 = 30,10,92 = 0,243; P3(2) = С32 p2 q3-2 = 30,120,9 = 0,027; P3(3) = С33 p3 q3-3 = р3= 0,13 = 0,001;
Проверка: ∑pi = 0,7290,2430,0270,001=1.
hello_html_7b85caba.jpg

Таким образом, искомый биномиальный закон распределения Х имеет вид:

2. Для построения многоугольника распределения строим прямоугольную систему координат.

По оси абсцисс откладываем возможные значения хi, а по оси ординат – соответствующие им вероятности рi. Построим точки М1(0; 0,729), М2(1; 0,243), М3(2; 0,027), М4(3; 0,001). Соединив эти точки отрезками прямых, получаем искомый многоугольник распределения.

3. Найдем функцию распределения F(x) = Р(Х<х):hello_html_261ad08e.jpg

Для x ≤ 0 имеем F(x) = Р(Х<0) = 0;
для 0 < x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
для 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) Р(Х=1) =0,729 0,243 = 0,972;
для 2 < x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) Р(Х = 1) Р(Х = 2) = 0,9720,027 = 0,999;
для х > 3 будет F(x) = 1, т.к. событие достоверно.
4. Для биномиального распределения Х:
- математическое ожидание М(X) = np = 30,1 = 0,3;
- дисперсия D(X) = npq = 3∙ 0,10,9 = 0,27; 
- среднее квадратическое отклонение σ(X) = = ≈ 0,52.


Задание:

1 вариант.


  1. a)В партии из 100 деталей имеется 3 бракованных. Определить вероятность того, что, взятая наугад, деталь окажется стандартной.

б) Из 4 букв разрезной азбуки составлено слово «мама». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы, а затем собрал их в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получится слово «мама».

  1. a)В коробке лежат 5 зеленых, 3 синих и 12 красных карандашей. Вычислить вероятность того, что взятый наугад карандаш будет, синим или зеленым.

б) В урне лежат шары, двузначные номера которых составлены из цифр 1,2,3,4. Какова вероятность вынуть шар с номером 123?

  1. a)Набирая номер телефона, абонент забыл последние 3 цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наугад. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

б) Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов равны соответственно 0,04 и 0,09. Найти вероятности отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент. 

  1. a)Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна 0,9919. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.

б)На полке в случайном порядке расставлено 21 книга, среди которых находится трехтомник Пушкина. Найти вероятность того, что эти тома стоят в порядке возрастания номера слева направо, но не обязательно рядом.

  1. a)В коробке имеется 200 лампочек, из них 60 по 90Вт, 60 - по 60Вт, 40 - по 25Вт и 40 – по 15Вт. Определить вероятность того, что мощность любой наугад взятой лампочки не превысит 60Вт.

б) Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,4, а вторым стрелком – 0,7. Найти вероятность того, что 

1) цель будет поражена только одним стрелком;

2) цель будет поражена хотя бы одним стрелком.

  1. Выпущено 200 лотерейных билетов: на 5 из них выпадает выигрыш в сумме 500 рублей, на 10 – выигрыш в 100 рублей, на 20 – выигрыш в 50 рублей, на 40 – выигрыш в 10 рублей. Определить закон распределения вероятностей случайной величины X – выигрыша на один билет.

  2. a)Закон распределения случайной величины X имеет вид:

X

1

0

1

2

P

0,1

0,15

0,3

0,45

Вычислить Dx и Ϭx . б) Закон распределения случайной величины X имеет вид:

X

0

1

2

P

0,2

0,3

x

Найти x. Составить функцию распределения. Вычислить: P{X > 0,7} , Mx , Dx и Ϭx .

  1. a)Известно, что случайная величина X, принимающая два значения  x1 = 2 и x2 = 3 , имеет математическое ожидание, равное 2,4. Построить ряд распределения случайной величины X, найти дисперсию, среднее квадратическое отклонение и составить функцию распределения.

б) Возможные значения случайной величины X таковы: x1 = 2 , x2 = 3, x3 = 3 . Известно, что Mx = 2,5 ,α2 = 6,7 . Найти вероятности, соответствующие возможным значениям X, и записать ряд распределения.

  1. Имеется боезапас 4 патрона. Ведётся независимая стрельба по мишени с вероятностью попадания при каждом выстреле 0.2. Построить ряд распределения с.в. --- числа выстрелов, если стрельба ведётся: до двух попаданий подряд или окончания боезапаса.

  2. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,2. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте, построить многоугольник распределения. Найти функцию распределения F(x) и построить ее график. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины.


2 вариант.

  1. a)В партии из 100 деталей имеется 6 бракованных. Определить вероятность того, что, взятая наугад, деталь окажется стандартной.

б) Из 3 букв разрезной азбуки составлено слово «сон». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы, а затем собрал их в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получится слово «сон».

  1. a)В коробке лежат 7 зеленых, 2 синих и 11 красных карандашей. Вычислить вероятность того, что взятый наугад карандаш будет, синим или зеленым.

б) В урне лежат шары, двузначные номера которых составлены из цифр 1,2,3,4. Какова вероятность вынуть шар с номером 42?

  1. a)Набирая номер телефона, абонент забыл последние 4 цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наугад. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

б) Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов равны соответственно 0,03 и 0,07. Найти вероятности отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент. 

  1. a)Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна 0,9744. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.

б)На полке в случайном порядке расставлено 34 книга, среди которых находится трехтомник Пушкина. Найти вероятность того, что эти тома стоят в порядке возрастания номера слева направо, но не обязательно рядом.

  1. a)В коробке имеется 400 лампочек, из них 280 по 90Вт,40 - по 60Вт, 40 - по 25Вт и 40 – по 15Вт. Определить вероятность того, что мощность любой наугад взятой лампочки не превысит 60Вт.

б) Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,5, а вторым стрелком – 0,8. Найти вероятность того, что 

1) цель будет поражена только одним стрелком;

2) цель будет поражена хотя бы одним стрелком.

  1. Выпущено 200 лотерейных билетов: на 5 из них выпадает выигрыш в сумме 500 рублей, на 15 – выигрыш в 100 рублей, на 30 – выигрыш в 50 рублей, на 60 – выигрыш в 10 рублей. Определить закон распределения вероятностей случайной величины X – выигрыша на один билет.

  1. a)Закон распределения случайной величины X имеет вид:

X

1

0

1

2

P

0,1

0,25

0,3

0,35

Вычислить Dx и Ϭx . б) Закон распределения случайной величины X имеет вид:

X

0

1

2

P

0,1

0,3

x

Найти x. Составить функцию распределения. Вычислить: P{X > 0,7} , Mx , Dx и Ϭx .

  1. a)Известно, что случайная величина X, принимающая два значения  x1 = 2 и x2 = 3 , имеет математическое ожидание, равное 2,3. Построить ряд распределения случайной величины X, найти дисперсию, среднее квадратическое отклонение и составить функцию распределения.

б) Возможные значения случайной величины X таковы: x1 = 2 , x2 = 3, x3 = 3 . Известно, что Mx = 2,6 ,α2 = 7,2 . Найти вероятности, соответствующие возможным значениям X, и записать ряд распределения.

  1. Имеется боезапас 4 патрона. Ведётся независимая стрельба по мишени с вероятностью попадания при каждом выстреле 0.2. Построить ряд распределения с.в. --- числа выстрелов, если стрельба ведётся: до 2 попаданий подряд или пока есть возможность такого исхода.

  2. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,3. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте, построить многоугольник распределения. Найти функцию распределения F(x) и построить ее график. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-10, Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-8, Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3,6,7..


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1
















Самостоятельная работа № 72

Тема: Решение теста по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей».

Цель работы: повторить, закрепить основные понятия по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей».

Методические рекомендации к выполнению теста: Решив задачу, нужно выбрать правильный ответ и записать номер, под которым он записан.

Задание:

1 вариант.

1. Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных уроков?

1) 30; 2) 100; 3) 120; 4) 5 ;

2.В денежно-вещевой лотерее на 1000000 билетов разыгрывается 1200 вещевых и 800 денежных выигрышей. Какова вероятность выигрыша?

1) 0,02; 2) 0,00012 ; 3) 0,0008; 4) 0,002;

3. В футбольной команде 11 человек. Необходимо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

1) 22; 2) 11; 3) 150; 4) 110;

4.Завод выпускает 15% продукции высшего сорта, 25% - первого сорта, 40% - второго сорта, а все остальное – брак. Найти вероятность того, что выбранное изделие не будет бракованным.

1) 0,8; 2) 0,1; 3) 0,015; 4) 0,35;

5. Аня решила сварить компот из фруктов 2-ух видов. Сколько различных вариантов (по сочетанию фруктов) компотов может сварить Аня, если у нее имеется 7 видов фруктов?

1) 14; 2) 10; 3) 21; 4) 30;

6. Каждый из трех стрелков стреляет в мишень по одному разу, причем вероятность попадания 1 стрелка составляет 80%, второго – 70%, третьего – 60%. Найдите вероятность того, что двое из трех стрелков попадет в мишень.

1) 0,336; 2) 0,452; 3) 0,224; 4) 0,144;

7. Вычислите: . 1) 48; 2) 94; 3) 56; 4) 96;

8. Дана выборка: 3; 8; 5; 3; 6; 8; 9; 2; 8. Найти моду. 1) 3; 2) 8; 3) 5; 4) 6;

9.Дана выборка: 7; 4; 5; 3; 6; 8; 7; 2; 7. Найти медиану. 1) 7 ; 2) 8 ; 3) 5 ; 4) 6 ;

10. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 30% этих стекол, вторая  — 70%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 4%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло, окажется бракованным.

1) 0,03; 2) 0,009; 3) 0,037; 4) 0,028;

2 вариант.

1. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

1) 100; 2) 30; 3) 5; 4) 120;

2. В ящике лежат карточки с буквами, из которых можно составить слово «электрификация». Какова вероятность того, что наугад выбранная буква окажется буквой к?

1) ; 2) 7; 3) ; 4) ;

3. В теннисном турнире участвуют 10 спортсменов. Сколькими способами теннисисты могут завоевать золото, серебро и бронзу?

1) 600; 2) 100; 3) 300; 4)720;

4. Музыкальная школа проводит набор учащихся. Вероятность быть не зачисленным во время проверки музыкального слуха составляет 40%, а чувство ритма – 10%. Какова вероятность положительного тестирования?

1) 0,5; 2) 0,4; 3) 0,6; 4) 0,04;

5. На полке стоят 12 книг. Наде надо взять 5 книг. Сколькими способами она может это сделать?

1) 792; 2) 17; 3) 60; 4) 300;

6. Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие, окажется высшего сорта равна 0,8. Найдите вероятность того, что из трех проверенных изделий только два высшего сорта.

1) 0,384; 2) 0,5; 3) 0,3; 4) 0,4;

7. Вычислите: . 1) 1; 2) 13; 3) 12; 4) 32;

8. Дана выборка: 5; 8; 5; 4; 6; 2; 5; 2; 4. Найти моду. 1) 4 ; 2) 8 ; 3) 5 ; 4) 6 ;

9. Дана выборка: 4; 7; 9; 3; 2; 5; 6; 7; 3. Найти медиану. 1) 7 ; 2) 5; 3) 6 ; 4) 2 ;

10. На сборочное предприятие поступили однотипные комплектующие с трех заводов в количестве: 35 с первого завода, 15 со второго и 50 с третьего. Вероятность качественного изготовления изделий на первом заводе 0,8, на втором 0,7, на третьем 0,8. Какова вероятность того, что взятое случайным образом изделие окажется качественным?

1) 0,280; 2) 0,175; 3) 0,495; 4) 0,855.


Критерии оценки:


Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-10,с записью решения, даже с недочетами.


Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-8, с записью решения, даже с недочетами.


Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-5.


Требования к оформлению самостоятельной работы: Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.








Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Внеаудиторная самостоятельная работа обучающихся по дисциплине Математика для специальности Технология машиностроения."

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 2 месяца

Социальный педагог

Получите профессию

Технолог-калькулятор общественного питания

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ ВСР-ТЕХМАШ, 2 КУРС.docx

Самостоятельная работа № 1

Тема: Составление опорного конспекта по теме «Матрицы и определители».

Цель работы:

  • повторить понятия: матрица, действия с матрицами; свойства операций над матрицам, матричные выражения; нахождение обратной матрицы, нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований; ранг матрицы , нахождение ранга матрицы методом миноров и методом Гаусса; матричные уравнения; определитель, свойства определителя и понижение его порядка; вычисление определителя «два» на «два», «три на три»; эффективные методы вычисления определителя;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Матрица, действия с матрицами;

  2. Свойства операций над матрицам, матричные выражения;

  3. Нахождение обратной матрицы, нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований;

  4. Ранг матрицы , нахождение ранга матрицы методом миноров и методом Гаусса;

  5. Матричные уравнения, примеры решений;

  6. Определитель, свойства определителя и понижение его порядка;

  7. Вычисление определителя «два» на «два», «три на три»;

  8. Эффективные методы вычисления определителя.

Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение № 2.










Самостоятельная работа № 2

Тема: Типовой расчет по теме «Вычисление матриц и определителей».

Цель работы:

  • повторить понятия: матрица и определитель;

  • формирование умения решать простейшие задачи на расчет матриц и определителей;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: лекции.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Даны матрицы

и .Построить матрицу С = 2А – 3В + АТ.

Решение:

-+=.

Пример 2.Найти произведение матрицы

на матрицу .

Решение:



т.е. .

Пример 3.Найти произведение С матрицы А на вектор – столбец .

.

Решение: Умножение возможно, т.к. вектор можно рассматривать как матрицу, имеющую 3 строки и 1 столбец, а матрица А имеет 3 столбца, и число ее столбцов равно числу строк вектора . Произведение С = А будет иметь порядок 4.1, т.е. будет вектором-столбцом с элементами с11, с21, с31, с41.

с11 = 1.4-1.2+0 = 2; с21 = 0.4+2.2-4.1 = 0;

с31 = 4+2 = 6; с41 = -4+4 = 0.


.

Таким образом, если умножение возможно, то произведение матрицы на вектор будет вектором.

Пример 4.а)Вычислить определитель матрицы: а) ,

б) Вычислить определитель : .

в) Вычислить определитель 4го порядка.

Решение: а)(А) = .

б) Вычислим по правилу Саррюса


= 1(-1) . (-5)+(-2)(-4)0+4(-3)3-0(-1)3-4(-2)(-5)-(-3)(-4)1=5+0-36+0-40-12=-83.

в) Найдем алгебраические дополнения А12, А13


= 0.

Пример 5. Вычислить определитель матрицы .

Решение: Находим миноры и алгебраические дополнения элементов 1-ой строки матрицы:



Вычисляем искомый определитель: (А) = 3.7 + (-2).(-35) + 4.(-7) = 63.

Пример 6.а)Найти обратную к матрице ,

б) Найти обратную к матрице .

Решение: а)Вычисляем алгебраические дополнения всех элементов данной матрицы:




Находим определитель матрицы А: А = 2.7 +(-1) . (-10)+(-2) .11 = 2 .

Теперь записываем обратную матрицу.

Проверка:




Значит, матрица А-1 найдена верно.

б) Найти обратную к матрице

Вычислим алгебраические дополнения всех элементов данной матрицы

А11 = +(-4)=-4 А21 = -(-2)=2

А12 = -3 А22 = +1

Найдем определитель  = (А) = 1(-4)-3(-2)=-4+6=2,

Проверка:


Задание:

1 вариант.

  1. Даны матрицы А и В. Найти С = 2А + 3В.

  2. Даны матрицы А и В. Найти матрицу С = АВ, если возможно.

.

  1. а)Вычислить определитель по правилу Саррюса (треугольника) ,

б)Вычислить определитель .

в) Вычислить определители четвертого порядка: 1. hello_html_33328dab.gif; 2. hello_html_5183d497.gif;

  1. Вычислить обратную матрицу а) hello_html_m32727190.gif; б).

  2. Даны две матрицы


  1. Построить матрицу С=2А–3В + АТ.

  2. Найти определитель матрицы С.

  3. Найти матрицу, обратную к матрице С.

  4. Найти произведение матриц А и С.



2 вариант.

  1. Даны матрицы А и В. Найти С = 3А – 2В.


.


  1. Даны матрицы А и В. Найти матрицу С = АВ, если возможно.

.

  1. а)Вычислить определитель по правилу Саррюса (треугольника) ,

б)Вычислить определитель .


в) Вычислить определители четвертого порядка:


1. hello_html_m3eaf178d.gif; 2. hello_html_12a54861.gif;

  1. Вычислить обратную матрицу а) hello_html_m5ab4ea92.gif; б).

  2. Даны две матрицы

.


  1. Построить матрицу С= 3А–В+АТ.

  2. Найти определитель матрицы С.

  3. Найти матрицу, обратную к матрице С.

  4. Найти произведение матриц А и С.


Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5, Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4, Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение № 2.








Самостоятельная работа № 3

Тема: Составление опорного конспекта по теме «Решение систем уравнений с помощью матричного метода».

Цель работы:

  • повторить понятие: решение систем уравнений с помощью матричного метода;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Матричная форма системы из n линейных уравнений c n неизвестными.

  2. Основная матрица коэффициентов системы, матрица-столбец неизвестных, матрица-столбец свободных членов.

  3. Определитель матрицы.

  4. Обратная матрица и единичная матрица.

  5. Проверка по исходной системе уравнений.

  6. Алгоритм решения систем уравнений с помощью матричного метода.


Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение № 2.














Самостоятельная работа № 4

Тема: Типовой расчет по теме «Решение систем линейных уравнений по правилу Крамера».

Цель работы:
  1. повторить понятие: решение систем уравнений по правилу Крамера;

  2. развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: лекции.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Решить систему по формулам Крамера, выполнить проверку:

Решение: Имеем линейную неоднородную систему из 4 уравнений с 4 неизвестными (m=n=4)

Составим из коэффициентов при неизвестных основной определитель системы . Если 0, то согласно теореме Крамера система совместна и ее единственное решение находится по формулам : хi=, i=1,2,3,4, где i-всмогательный определитель для нахождения неизвестного хi, который получается из основного определителя системы  путем замены в нем i-го столбца столбцом свободных членов. Определители будем вычислять, образуя нули в каком - либо столбце (или строке), используя их свойство.













.

Проверка.

Подставим найденное решение в исходную систему, то есть во все четыре уравнения. Получим







Отсюда следует: решение найдено верно.

Ответ: х1 =6, х2 = 9, х3 =14, х4 = 9.

Пример 2. Решить систему по формулам Крамера.  

Решение: Решим систему по формулам Крамера.


, значит, система имеет единственное решение.










Ответ: x1 =  5, x2 =  -1, x3 =  1.



Задание: 1-в. 2-в.

1.

1.

2.

2.

3.

3.

4.

4.

5.

5.

6.

6.

7.

7.





Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-7,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-6,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение № 2.








Самостоятельная работа № 5

Тема: Типовой расчет по теме «Решение систем линейных уравнений методом Гаусса».

Цель работы:

  • повторить понятие: решение систем уравнений методом Гаусса;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: лекции.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Исследовать систему уравнений и решить ее методом Гаусса, если она совместна:

а) найти ее общее решение; б) базисное решение; в) частное решение; Сделать проверку.



Решение: Дана неоднородная линейная система из 4-х уравнений с 4-мя неизвестными (m=n=4).

1) Определим, совместна или нет система (*). Вычисляем для этого ранги расширенной и основной матриц системы: Rg(A,B) и RgA.





(привели матрицу (A,B) к матрице (A,B), имеющую ступенчатую форму).

Итак, Rg(A, B) = Rg(A, B) = 2, RgA= RgA = 2 RgA= Rg(A,B) = 2.

Следовательно система (*) совместна. Т.к. Rg A n (n = 4)  система имеет бесчисленное множество решений.

  1. Найдем все решения системы (*). Для этого перейдем к следующей эквивалентной системе

, (**)

где х1 и х3- базисные неизвестные,

х2 и х4- свободные неизвестные.

От системы (**) перейдем к другой эквивалентной системе : (***)

Решая систему (***) , как систему из 2-х уравнений с 2-мя неизвестными х1 и х3, найдем их. Из последнего уравнения имеем x3 = 1.

Тогда из первого уравнения найдем х1= 2х32 + 2х2 + x4 = 2х2 + x4.

Т.к. х2 и х4 – свободные неизвестные, то можно считать х2 = , х4 = b.

Тогда общее решение системы (***), а значит и (*) имеет вид

х1 = 2+ b ; x2 = , x3 = 1; х4= b

или

Х= = + b +

+ (*)

  1. Найдем частное решение системы (*), полагая например, =1,b = 1, тогда имеем

х1= 3, х2 = 1, х3 = 1, х4 = 1.

Проверка (по исходной системе).



общее решение найдено верно.

Частное решение, в котором все свободные переменные равны нулю, называют базисным решением: х1 = 0 , х2 = 0, х3 = 1 х4 = 0.

Ответ: а) х1 = 2+ b ; x2 = , x3 = 1; х4= b, б) х1 = 0, х2= 0, х3= 1 х4= 0,в) х1= 3, х2 = 1, х3 = 1, х4 = 1.

Пример 2. Исследовать систему и решить ее методом Гаусса, если она совместна



Решение: Дана неоднородная линейная система из 4-х уравнений с 4-мя неизвестными (m=n=4).

1) Определим, совместна или нет система (*). Вычисляем для этого ранги расширенной и основной матриц системы: Rg(A,B) и RgA.



(привели матрицу (A,B) к матрице (A,B), имеющую ступенчатую форму).

Итак, Rg(A, B) = Rg(A, B) = 4, RgA= RgA = 4 RgA= Rg(A,B) = 4. Следовательно система (*) совместна. Т.к. Rg A= n (n = 4)  система имеет единственное решение.

2)Найдем все решения системы (*). Для этого перейдем к следующей

эквивалентной системе.

,

где все неизвестные - базисные.

Решая систему (**), как систему из 4-х уравнений с 4-мя неизвестными, найдем x1, x2, x3, x4. Из последнего уравнения имеем x4 = 2.

Тогда из третьего уравнения найдем x3 = 26х454 = 5254= 2.

Из второго уравнения найдем x2 = 9х313x4 + 47 = 1826 + 47=44 + 47 = 3.

Из первого уравнения находим х1 = x2 + 4x39x4 + 22 = 3818 + 22 =1.

Проверка.

Подставим найденные значения неизвестных во все уравнения системы (*).

решение найдено верно.

Ответ: х1 =1, х2 = 3, х3 = 2, х4 = 2.

Пример 3. Решить однородную систему линейных уравнений и найти ее фундаментальную систему решений:

(*)

Решение: Дана однородная линейная система из 3-х уравнений с 5-ю неизвестными (m=3, n=5).

  1. Однородная система (*) всегда совместна. Определим теперь ранг основной матрицы системы: RgA.

~ ~ = A.

(привели матрицу A к матрице A, имеющую ступенчатую форму).

RgA =Rg A= 2  Rg A  n (n=5)  система (*) имеет бесчисленное множество решений.

  1. Найдем все решения системы (*). Перейдем к следующей эквивалентной системе уравнений.

(**),

где х1, х2 - базисные неизвестные;

х3, х4, х5- свободные неизвестные.

От системы (**) переходим к следующей эквивалентной системе

 (***)

Решая систему (***) относительно х1 и х2 найдем: х2 = .

х1 = х3 + х4 5 + 2х2 = .

Т.к. х3 , х4 , х5- свободные неизвестные, то можно считать х3 =, х4 = b, x5 = c.

Тогда общее решение системы (***), а значит и (*) есть

х1 = x2 = , х3 =, x4 = b , x5 = c или

Х =

  1. Найдем частное решение системы (*), полагая, что = 8, b = 8, c = 8

х1= 0, х2 = 12, х3 = 8, х4 = 8, х5 = 8

Проверка (по исходной системе).

.

общее решение найдено верно.

Перейдем теперь к поиску фундаментальной системы решений. Из уравнений (***) ,придавая свободным неизвестным значения х3 =1, х4 = 0, х5= 0, затем х3= 0, х4 = 1, х5 = 0, и затем

х3 = 0, х4 = 0, х5 = 1, получаем фундаментальную систему решений



х1

х2

х3

х4

х5

0


1

0

0


0

1

0


0

0

1

(0;1; 0; 0) , = (;0; 1; 0) , = (;0; 0; 1).

Тогда общее решение системы имеет вид

= с1 (0;1; 0; 0) + с2 (;0;1; 0) + с3 (;0; 0; 1)

или = (с2 с3; c1 c2 + c3; c1; c2; c3) (сравните с предыдущим).

Ответ: х1 = x2 = , x3 =, x4 = b , x5 = c

или х = (,, b, c).



х1

х2

х3

х4

х5

0


1

0

0



0

1

0



0

0

1



Задание: 1вариант.



  1. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса, выполнить проверку:

а) б)



  1. Решить систему методом Гаусса, выполнить проверку:

а) б)



  1. Исследовать систему уравнений и решить ее методом Гаусса, если она совместна:

а) найти ее общее решение; б) базисное решение; в) частное решение; Сделать проверку.

А) Б)

  1. Исследовать систему и в случае совместности решить ее методом Гаусса. Cделать проверку.

а) б)

  1. Решить однородную систему линейных уравнений и найти ее фундаментальную систему решений:

а) б)

Cделать проверку.

2 вариант.

  1. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса, выполнить проверку:

а) б)



  1. Решить систему методом Гаусса, выполнить проверку:

а) б)

  1. Исследовать систему уравнений и решить ее методом Гаусса, если она совместна:

а) найти ее общее решение; б) базисное решение; в) частное решение; Сделать проверку.

А) Б)

  1. Исследовать систему и в случае совместности решить ее методом Гаусса. Cделать проверку.

а) б)

  1. Решить однородную систему линейных уравнений и найти ее фундаментальную систему решений:

а) б)

Cделать проверку.


Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3(одна система в каждом).

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение № 2.

Самостоятельная работа № 6

Тема: Составление опорного конспекта по теме «Действия над комплексными числами. Полярные координаты точки на плоскости».

Цель работы:

  • повторить понятия: алгебраическую, тригонометрическую и показательную форму комплексного числа; действия с комплексными числами: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня;

  • повторить понятия: полярная система координат, полюс, полярная ось, полярный радиус , полярный угол , порядок и техника построения точек в полярных координатах, взаимосвязь прямоугольной и полярной системы координат, аргумент комплексного числа ;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Понятие комплексного числа.

  2. Алгебраическая форма комплексного числа. Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел.

  3. Возведение комплексных чисел в степень.

  4. Извлечение корней из комплексных чисел. Квадратное уравнение с комплексными корнями.

  5. Действия над комплексными числами (примеры).

  6. Полярная система координат;

  7. Полюс, полярная ось, полярный радиус , полярный угол;

  8. Порядок и техника построения точек в полярных координатах;

  9. Взаимосвязь прямоугольной и полярной системы координат, аргумент комплексного числа;

  10. Уравнение линии в полярных координатах;



Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение № 2.





Самостоятельная работа № 7

Тема: Составление опорного конспекта по теме «Тригонометрическая форма комплексного числа».

Цель работы:

  • повторить понятия: алгебраическую, тригонометрическую и показательную форму комплексного числа, действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме ;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

1) Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа;

2) Модуль комплексного числа, аргумент комплексного числа в тригонометрической форме;

3) Представление в тригонометрической форме чисел ;

4) Формулы для нахождения аргумента;

5) Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме;



Методические рекомендации к составлению конспекта:



Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.



Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.



Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.



Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение № 2.





















Самостоятельная работа № 8

Тема: Типовой расчет по теме «Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме».

Цель работы:

  • повторить понятия: действия над комплексными числами, тригонометрическая форма комплексного числа ;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: лекции.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Запишите комплексные числа в тригонометрической форме:

а) ; б) ; в) ; г) .

Решение: Так как тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид , тогда: а) В комплексном числе : .

Тогда

, поэтому

б) , где ,

в) , где ,

г) , а , то .

Поэтому



Ответ:  а);б);в) ; г).

Пример 2. Найдите тригонометрическую форму комплексного числа

.

Решение: Пусть , .

Тогда , , .

Поскольку и , , то , а

.

Следовательно, , поэтому

, где .

Ответ: , где .

Пример 3. Найти .

Решение: -i = cos (3 /2) + i sin (3 /2) .

Следовательно,

(3 /2) + 2k (З /2) + 2k

= (cos + i sin ) ,

3 3

k= 0 ; 1 ; 2 . uk = cos (( /2) + (2 k/3)) + i sin (( /2) + (2 k/3)) , k = 0 ; 1 ; 2 . Таким образом , = cos ( /2) + i sin (/2) = i ;= cos (( /2) + (2 /3)) + + i sin (( /2) + (2/3)) =(/2) (1/2) i; = cos (( /2) + (4 /3)) + i sin (( /2) + (4/3)) =(/2) (1/2) i; Точки (0;1), (/2; 1/2) и (/2; 1/2) являются вершинами правильного треугольника.

Ответ: uk = cos (( /2) + (2 k/3)) + i sin (( /2) + (2 k/3)) , k = 0 ; 1 ; 2 .

Пример 4. Используя тригонометрическую форму комплексного числа, произвести указанные действия :

(1 i) ( + i)

___________________ ;

1 + i

Решение: Представим сначала каждое из чисел в тригонометрической форме: 1 i = 2 ( cos (5 /3) + i sin (5 /3)) ; + i = 2 ( cos (5 /6) + i sin (5 /6) ) ;

1 + i = ( cos ( /4) + i sin ( /4) ) .

Поэтому (1i) + i) =2 (cos (5 /3) + i sin (5 /3) ) 2 ( cos (5 /6) + i sin (5 /6) ) =

= 4 ( cos (5 /2) + ism (5 /2)) ;

(1 i)__( + i) = 4 ( cos (5 /2) + i sin (52) =

1+i (cos ( /4) + sin(/4))

= 2 ( cos ( /4) + i sin ( /4) ) = 2 ( (-/2/2) + i (/2) ) = 2(l+i)=2+2i.

Ответ: 2+2i.

Пример 5. Пользуясь корнями третьей степени из 1, вычислить.

Решение.

Известно, что все значения корня n-й степени из комплексного числа z можно получить, умножая одно из них на все значения корня n-степени из числа 1.

Одно из значений можно найти непосредственно. Оно равно 2i, так как= 8i .

Найдем теперь все значения :=

Где k принимает значения 0, 1 и 2.

Следовательно,

Таким образом, получаем три значения для :



Ответ: ;















Задание:

1 вариант.



  1. Запишите комплексные числа в тригонометрической форме:

а) ; б) 2; в) ; г) .

  1. Найдите тригонометрическую форму комплексного числа

  2. Найти .

  3. Используя тригонометрическую форму комплексного числа, произвести указанные действия :

(1 i) ( i)

___________________ ;

1 + i

  1. Пользуясь корнями третьей степени из 1, вычислить.

2 вариант.



  1. Запишите комплексные числа в тригонометрической форме:

а) ; б) 3; в) ; г) .

  1. Найдите тригонометрическую форму комплексного числа

  2. Найти .

  3. Используя тригонометрическую форму комплексного числа, произвести указанные действия :

(1 i) ( i)

___________________ ;

1 i

  1. Пользуясь корнями третьей степени из 1, вычислить.



Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3(одна система в каждом).

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение № 2.



















Самостоятельная работа № 9

Тема: Типовой расчет по теме «Вычисление вероятности события по формуле Байеса».

Цель работы:

  • повторить понятия: событие, вероятность события ;

  • формирование умения решать простейшие текстовые задачи на расчет вероятности случайного события, полной вероятности;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс, глава 12.

Решение типовых заданий:

Пример 1.На склад от трёх поставщиков поступило 200, 300 и 500 изделий соответственно. Продукция первого поставщика имеет 5 % брака, второго – 6 %, третьего – 4 %.Найдите вероятность получения со склада годного изделия.

Решение: Событие А - получено со склада годное изделие.

Событие В1 - получено со склада изделие от 1поставщика, р(В1) = 200/(200+300+500) = 0,2 .

Событие В2 - получено со склада изделие от 2поставщика, р(В2) = 300/(200+300+500) = 0,3 .

Событие В3 - получено со склада изделие от 3поставщика, р(В3) = 500/(200+300+500) = 0,5 .

Вероятность того, что годное изделие получено от 1 поставщика, равна 100 – 5 = 95% = 0,95.

Вероятность того, что годное изделие получено от 2 поставщика, равна 100 – 6 = 94% = 0,94.

Вероятность того, что годное изделие получено от 3 поставщика, равна 100 – 4 = 96% = 0,96.

По формуле полной вероятности имеем:

р(А) = 0,20,95 + 0,30,94 + 0,50,96 = 0,190 + 0,282 + 0,480 = 0,952.

Ответ: 0,952.

Пример 2.Среди поступающих на сборку деталей с первого станка 0,1 % бракованных ,

со второго – 0,2 % , с третьего – 0,25 %, с четвертого – 0,5 %.Производительности станков относятся как 4:3:2:1.Найдите вероятность поступления на сборку годного изделия.

Решение: Событие А - получено на сборку годное изделие.

Событие В1 - получено на сборку изделие с 1 станка, р(В1) = 4/(4 + 3 + 2 + 1) = 4/10 = 0,4.

Событие В2 - получено на сборку изделие со 2 станка, р(В2) = 3/(4 + 3 + 2 + 1) = 3/10 = 0,3.

Событие В3 - получено на сборку изделие с 3 станка, р(В3) = 2/(4 + 3 + 2 + 1) = 2/10 = 0,2.

Событие В4 - получено на сборку изделие с 4 станка, р(В4) = 1/(4 + 3 + 2 + 1) = 1/10 = 0,1.

Вероятность того, что годное изделие получено с 1 станка, равна 100 – 0,1 = 99,9% = 0,999.

Вероятность того, что годное изделие получено со 2 станка, равна 100 – 0,2 = 99,8% = 0,998.

Вероятность того, что годное изделие получено с 3 станка, равна 100 – 0,25 = 99,75% = 0,9975.

Вероятность того, что годное изделие получено с 4 станка, равна 100 – 0,5 = 99,5% = 0,995.

По формуле полной вероятности имеем:

р(А) = 0,40,999 + 0,30,998 + 0,20,9975 + 0,1 0,995= 0,3996 + 0,2994 + 0,1995 + 0,0995 = 0,9980.

Ответ: 0,998.

Пример 3.В данный район изделия поставляются тремя фирмами в соотношении 5:8:7.

Среди продукции первой фирмы стандартные изделия составляют 90 %, второй – 85 %,

третьей – 75 %.Найдите вероятность того, что: а) приобретенное изделие окажется нестандартным; б) приобретенное изделие оказалось стандартным. Какова вероятность того, что оно изготовлено третьей фирмой?

Решение: Событие А - приобретенное изделие окажется стандартным.

Событие В1 - получено изделие с 1 фирмы, р(В1) = 5/(5 + 8 + 7) = 5/20 = 0,25.

Событие В2 - получено изделие со 2 фирмы, р(В1) = 8/(5 + 8 + 7) = 8/20 = 0,4.

Событие В3 - получено изделие с 3 фирмы, р(В1) = 7/(5 + 8 + 7) = 7/20 = 0,35.

Вероятность того, что стандартное изделие получено с 1 фирмы , равна 90% = 0,9.

Вероятность того, что стандартное изделие получено с 1 фирмы , равна 85% = 0,85.

Вероятность того, что стандартное изделие получено с 1 фирмы , равна 75% = 0,75.

По формуле полной вероятности имеем:

р(А) = 0,250,9 + 0,40,85 + 0,350,75 = 0,225 + 0,340 + 0,2625 = 0,8275.

а) Событие С - приобретенное изделие окажется нестандартным. р(С) = 1 – р(А) = 1 – 0,8275 =

= 0,1725.

б) р(А/ В3) = 0,2625 / 0,8275 = 0,3172.

Ответ: а) 0,1725, б) 0,3172.

Пример 4. Завод выпускает для магнитофонов три типа предохранителей. Доля каждого из них в общем объеме составляет 30 %, 50 %, 20 % соответственно. При перегрузке сети предохранитель первого типа срабатывает с вероятностью 0,8, второго – 0,9 и третьего – 0,85. Выбранный наудачу предохранитель не сработал при перегрузке сети. Какова вероятность того, что он принадлежал к первому типу?

Решение: Событие А - предохранитель не сработал при перегрузке сети.

Событие В1 - предохранитель получен 1типа, р(В1) = 30/100 = 0,3.

Событие В2 - предохранитель получен 2типа, р(В1) = 50/100 = 0,5.

Событие В3 - предохранитель получен 3типа, р(В1) = 20/100 = 0,2.

Вероятность того, что не сработал предохранитель 1 типа, равна 1 – 0,8 = 0,2.

Вероятность того, что не сработал предохранитель 2 типа, равна 1 – 0,9 = 0,1.

Вероятность того, что не сработал предохранитель 3 типа, равна 1 – 0,85 = 0,15.

По формуле полной вероятности имеем:

р(А) = 0,30,2 + 0,50,1 + 0,20,15 = 0,06 + 0,05 + 0,03 = 0,14.

р(А/ В1) = 0,06 / 0,14 = 0,4286.

Ответ: 0,4286.

Пример 5. а) Один из трех стрелков вызывается на линию огня и производит выстрел. Цель поражена. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3,

для второго - 0,5, для третьего - 0,8.Найти вероятность того, что выстрел произведен вторым стрелком.

Решение: Событие А – цель поражена.

Событие В1 – выстрел сделал 1стрелок, р(В1) = 1/3.

Событие В2 – выстрел сделал 2стрелок, р(В2) = 1/3.

Событие В3 – выстрел сделал 3стрелок, р(В3) = 1/3.

Вероятность того, что цель поражена 1 стрелком, равна 0,3.

Вероятность того, что цель поражена 2 стрелком, равна 0,5.

Вероятность того, что цель поражена 3 стрелком, равна 0,8.

По формуле полной вероятности имеем:

р(А) = 1/30,3 + 1/30,5 + 1/30,8 = 3/30 + 5/30 + 8/30 = 16 / 30.

р(А/ В2) = 5/30 : 16/30 = 5 : 16 = 0,3125.

Ответ: 0,3125.

б) Агентство по страхованию автомобилей разделяет водителей по трем классам: класс Н1(мало рискует), класс Н2 (рискует средне), класс Н3 (рискует сильно).Агентство предполагает, что из

всех водителей, застраховавших автомобили, 30 % принадлежит к классу Н1 , 50 % - к классу Н2, 20 % - к классу Н3.Вероятность того, что в течение года водитель класса Н1 попадает хотя бы в одну аварию, равна 0,01; класса Н2 – 0,02; класса Н3 – 0,08. Водитель А страхует свой автомобиль и в течение года попадает в аварию. Какова вероятность того, что он относится к классу Н1 ?

Решение: Событие А - водитель страхует свой автомобиль и в течение года попадает в аварию.

Событие В1 - застраховали автомобили водители класса Н1, р(В1) = 30% = 0,3.

Событие В2 - застраховали автомобили водители класса Н2, р(В2) = 50% = 0,5.

Событие В3 - застраховали автомобили водители класса Н3, р(В3) = 20% = 0,2.

Вероятность того, что в течение года водитель класса Н1 попадает хотя бы в одну аварию, равна 0,01; класса Н2 – 0,02; класса Н3 – 0,08. По формуле полной вероятности имеем:

р(А) = 0,30,01 + 0,50,02 + 0,20,08 = 0,003 + 0,010 + 0,016 = 0,029.

р(А/ В1) = 0,003 / 0,029 = 0,1034.

Задание: 1 вариант.

  1. На склад от трёх поставщиков поступило 100, 400 и 500 изделий соответственно. Продукция первого поставщика имеет 5 % брака, второго – 6 %, третьего – 4 %.Найдите вероятность получения со склада годного изделия.

  2. Среди поступающих на сборку деталей с первого станка 0,15 % бракованных ,

со второго – 0,2 % , с третьего – 0,3 %, с четвертого – 0,45 %.Производительности станков относятся как 4:3:2:1.Найдите вероятность поступления на сборку годного изделия.

  1. В данный район изделия поставляются тремя фирмами в соотношении 4:7:9.

Среди продукции первой фирмы стандартные изделия составляют 70 %, второй – 95 %,

третьей – 80 %.Найдите вероятность того, что: а) приобретенное изделие окажется нестандартным; б) приобретенное изделие оказалось стандартным. Какова вероятность того, что оно изготовлено третьей фирмой?

  1. Завод выпускает для магнитофонов три типа предохранителей. Доля каждого из них в общем объеме составляет 40 %, 50 %, 10 % соответственно. При перегрузке сети предохранитель первого типа срабатывает с вероятностью 0,7, второго – 0,86 и третьего – 0,9. Выбранный наудачу предохранитель не сработал при перегрузке сети. Какова вероятность того, что он принадлежал к первому типу?

  2. а) Один из 4 стрелков вызывается на линию огня и производит выстрел. Цель поражена. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,4,

для второго - 0,6, для третьего - 0,8, для четвертого – 0,9.Найти вероятность того, что выстрел произведен четвертым стрелком.

б) Агентство по страхованию автомобилей разделяет водителей по трем классам: класс Н1(мало рискует), класс Н2 (рискует средне), класс Н3 (рискует сильно).Агентство предполагает, что из всех водителей, застраховавших автомобили, 20 % принадлежит к классу Н1 , 30 % - к классу Н2, 50 % - к классу Н3.Вероятность того, что в течение года водитель класса Н1 попадает хотя бы в одну аварию, равна 0,02; класса Н2 – 0,04; класса Н3 – 0,08. Водитель А страхует свой автомобиль и в течение года попадает в аварию. Какова вероятность того, что он относится к классу Н2 ?

2 вариант.

  1. На склад от трёх поставщиков поступило 100, 300 и 600 изделий соответственно. Продукция первого поставщика имеет 5 % брака, второго – 6 %, третьего – 4 %.Найдите вероятность получения со склада годного изделия.

  2. Среди поступающих на сборку деталей с первого станка 0,1 % бракованных ,

со второго – 0,15 % , с третьего – 0,25 %, с четвертого – 0,5 %.Производительности станков относятся как 4:3:2:1.Найдите вероятность поступления на сборку годного изделия.

  1. В данный район изделия поставляются тремя фирмами в соотношении 6:9:5.

Среди продукции первой фирмы стандартные изделия составляют 80 %, второй – 85 %,

третьей – 70 %.Найдите вероятность того, что: а) приобретенное изделие окажется нестандартным; б) приобретенное изделие оказалось стандартным. Какова вероятность того, что оно изготовлено третьей фирмой?

  1. Завод выпускает для магнитофонов три типа предохранителей. Доля каждого из них в общем объеме составляет 10 %, 30 %, 60 % соответственно. При перегрузке сети предохранитель первого типа срабатывает с вероятностью 0,8, второго – 0,95 и третьего – 0,7. Выбранный наудачу предохранитель не сработал при перегрузке сети. Какова вероятность того, что он принадлежал к первому типу?

  2. а) Один из 4 стрелков вызывается на линию огня и производит выстрел. Цель поражена. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,5,

для второго - 0,6, для третьего - 0,8, для четвертого – 0,7..Найти вероятность того, что выстрел произведен первым стрелком.

б) Агентство по страхованию автомобилей разделяет водителей по трем классам: класс Н1(мало рискует), класс Н2 (рискует средне), класс Н3 (рискует сильно).Агентство предполагает, что из всех водителей, застраховавших автомобили, 10 % принадлежит к классу Н1 , 40 % - к классу Н2, 50 % - к классу Н3.Вероятность того, что в течение года водитель класса Н1 попадает хотя бы в одну аварию, равна 0,03; класса Н2 – 0,05; класса Н3 – 0,08. Водитель А страхует свой автомобиль и в течение года попадает в аварию. Какова вероятность того, что он относится к классу Н3 ?



Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5, Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4, Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение № 2.







Самостоятельная работа № 10

Тема: Решение теста по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей».

Цель работы: повторить, закрепить основные понятия по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей».

Методические рекомендации к выполнению теста: Решив задачу, нужно выбрать правильный ответ и записать номер, под которым он записан.

Задание: 1 вариант.

1. Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных уроков? 1) 30; 2) 100; 3) 120; 4) 5 ;

2.В денежно-вещевой лотерее на 1000000 билетов разыгрывается 1200 вещевых и 800 денежных выигрышей. Какова вероятность выигрыша? 1) 0,02; 2) 0,00012 ; 3) 0,0008; 4) 0,002;

3. В футбольной команде 11 человек. Необходимо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать? 1) 22; 2) 11; 3) 150; 4) 110;

4.Завод выпускает 15% продукции высшего сорта, 25% - первого сорта, 40% - второго сорта, а все остальное – брак. Найти вероятность того, что выбранное изделие не будет бракованным.

1) 0,8; 2) 0,1; 3) 0,015; 4) 0,35;

5. Аня решила сварить компот из фруктов 2-ух видов. Сколько различных вариантов (по сочетанию фруктов) компотов может сварить Аня, если у нее имеется 7 видов фруктов?

1) 14; 2) 10; 3) 21; 4) 30;

6. Каждый из трех стрелков стреляет в мишень по одному разу, причем вероятность попадания 1 стрелка составляет 80%, второго – 70%, третьего – 60%. Найдите вероятность того, что двое из трех стрелков попадет в мишень. 1) 0,336; 2) 0,452; 3) 0,224 ; 4) 0,144;

7. Вычислите: . 1) 48; 2) 94; 3) 56; 4) 96;

8. Дана выборка: 3; 8; 5; 3; 6; 8; 9; 2; 8. Найти моду. 1) 3; 2) 8; 3) 5; 4) 6;

9.Дана выборка: 7; 4; 5; 3; 6; 8; 7; 2; 7. Найти медиану. 1) 7 ; 2) 8 ; 3) 5 ; 4) 6 ;

10. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 30% этих стекол, вторая  — 70%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 4%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло, окажется бракованным. 1) 0,03; 2) 0,009; 3) 0,037; 4) 0,028;

2 вариант.

1. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

1) 100; 2) 30; 3) 5; 4) 120;

2. В ящике лежат карточки с буквами, из которых можно составить слово «электрификация». Какова вероятность того, что наугад выбранная буква окажется буквой к?

1) ; 2) 7; 3) ; 4) ; 3. В теннисном турнире участвуют 10 спортсменов. Сколькими способами теннисисты могут завоевать золото, серебро и бронзу? 1) 600; 2) 100; 3) 300; 4)720;

4. Музыкальная школа проводит набор учащихся. Вероятность быть не зачисленным во время проверки музыкального слуха составляет 40%, а чувство ритма – 10%. Какова вероятность положительного тестирования? 1) 0,5; 2) 0,4; 3) 0,6 ; 4) 0,04;

5. На полке стоят 12 книг. Наде надо взять 5 книг. Сколькими способами она может это сделать?

1) 792; 2) 17; 3) 60; 4) 300;

6. Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие, окажется высшего сорта равна 0,8. Найдите вероятность того, что из трех проверенных изделий только два высшего сорта. 1) 0,384; 2) 0,5; 3) 0,3; 4) 0,4;

7. Вычислите: . 1) 1; 2) 13; 3) 12; 4) 32;

8. Дана выборка: 5; 8; 5; 4; 6; 2; 5; 2; 4. Найти моду. 1) 4 ; 2) 8 ; 3) 5 ; 4) 6 ;

9. Дана выборка: 4; 7; 9; 3; 2; 5; 6; 7; 3. Найти медиану. 1) 7 ; 2) 5; 3) 6 ; 4) 2 ;

10. На сборочное предприятие поступили однотипные комплектующие с трех заводов в количестве: 35 с первого завода, 15 со второго и 50 с третьего. Вероятность качественного изготовления изделий на первом заводе 0,8, на втором 0,7, на третьем 0,8. Какова вероятность того, что взятое случайным образом изделие окажется качественным?

1) 0,280; 2) 0,175; 3) 0,495; 4) 0,855.



Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-10,с записью решения, даже с недочетами. Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-8, с записью решения, даже с недочетами. Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-5. Требования к оформлению самостоятельной работы: Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2. Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №2.




























Самостоятельная работа № 11

Тема: Составление опорного конспекта по теме «Математическая статистика».

Цель работы:

  • повторить понятия: математической статистики, задачи математической статистики, генеральная и выборочная статистические совокупности, графическое представление статистической совокупности, полигон и гистограмма частот, эмпирическая функция распределения, вычисление числовых характеристик выборки ;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Основные понятия математической статистики;

  2. Задачи математической статистики, генеральная и выборочная статистические совокупности;

  3. Графическое представление статистической совокупности, полигон и гистограмма частот;

  4. Эмпирическая функция распределения;

  5. Выборочный метод , вычисление числовых характеристик выборки .


Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.


Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение № 2.











Самостоятельная работа № 12

Тема: Типовой расчет по теме «Производная».

Цель работы:

  • повторить понятия: производная степенной функции, правила вычисления производных суммы, разности, произведения, частного, сложных функций, правила вычисления производных элементарных функций;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс, глава 8-9.

Решение типовых заданий: лекции.

Задание: 1 вариант.

ЧастьА.

А1. Найдите производную функции y = ex - x7 . А2. Найдите производную функции у = ехsinx.

1) = ех + cosx; 2) = ех - cosx; 3) = ½ е2x - cosx; 4) = е2x - cosx.

А3. Вычислите значение производной функции у=3ех+cos2x в точке хо=0. 1) 3; 2) -1; 3) 1; 4)2. А4. Вычислите значение производной функции у= в точке хо=2. 1) 11,5; 2)10,5; 3) 11; 4) 9,5.

А5. Вычислить значение производной функции у=ех sinx + x2 в точке xo=0. 1) 0; 2) 1; 3) 2; 4) 3. А6. Вычислите значение производной функции у = cos2x + 4x в точке хо=. 1) 2;2) -2;3) 4;4) 0. А7. Вычислите значение производной функции у= - ln2x в точке хо = 2. 1) 3; 2) 4; 3) 2; 4) 1. А8. Вычислите значение производной функции у= -5х3+ 25x2 – 24x +23 в точке хо = 1. 1) 15; 2)11; 3) 17; 4) 9. А9. Найдите производную функции . 1) ; 2) ; 3) ; 4) . А10. Вычислите значение производной функции в точке хо= . 1) 2; 2) 4; 3) -2; 4)1/2.

Часть В.

В1.Найдите производную функции:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

В2. а) К графику функции проведена касательная через точку с абсциссой . Вычислите тангенс угла наклона этой касательной к оси абсцисс.

б) Напишите уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой .

В3. а) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке .

б) Площадь прямоугольника равна 81 см2. Найдите наименьший возможный периметр этого прямоугольника.

В4.Найдите область определения, промежутки монотонности, точки экстремума, экстремумы функции:

В5.Найдите корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения f ' (x) = 0, если f(x) = 4x + 8/x.

2 вариант.ЧастьА.

А1. Найдите производную функции y = e -x -2x7 . 1) y´= - e-x -14x6; 2) y´= - e-x –; 3) y´= -e-x –2x6; 4) y´= e-x -14x6. А2. Найдите производную функции у=4х3+ е .

1) у´=12х2 ; 2) у´=12х2 – е ; 3) у´=х4 - е ; 4) у´=12х2 – хе -х-1.

А3. Найдите производную функции у = x2 + sinx в точке х0 =.

1) 2 -1; 2) 2 + 1; 3) 2 -1; 4) 2. А4. Вычислите значение производной функции в точке хо=2. 1) 10; 2) 12; 3) 8; 4) 6.

А5. Найдите производную функции у = sinх ex – 9x3 в точке xo=0. 1) 0; 2) -1; 3) 1; 4) -9.

А6. Найдите значение производной функции у = 5cos x – 7x в точке хо = 0 .1) -14; 2) -7; 3) -9; 4) -2. А7. Найдите производную функции . 1) 4х – 6+; 2) (2х - 3)2+; 3) 8х – 12 +; 4) 4х – 6 - . А8. Вычислите значение производной функции в точке хо= 4.

1) 21; 2) 24; 3) 0; 4) 3,5.

А9. Вычислите значение производной функции y = ln(2x+11)+ 5x в точке хо= -5. 1) 7; 2) -25; 3) 6; 4) 1. А10. Вычислите значение производной функции

в точке хо= . 1) 1; 2) 2; 3) 0; 4) 4.

Часть В.

В1.Найдите производную функции:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

В2. а) К графику функции проведена касательная через точку с абсциссой . Вычислите тангенс угла наклона этой касательной к оси абсцисс.

б)Напишите уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой .

В3. а) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке .

б )Площадь прямоугольника равна 25 см2. Найдите наименьший возможный периметр этого прямоугольника.

В4.Найдите область определения, промежутки монотонности, точки экстремума, экстремумы функции:

В5.Найдите корень (или произведение корней, если их несколько) уравнения f ' (x) = 0,

если f(x) = 3x + 9/x.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется, если : выполнено задание : часть А № 1-10, часть В № 1-5. Оценка «4» выставляется, если : выполнено задание : часть А № 1-8, часть В № 1-4. Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание : часть А № 1-10.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №2.

Тема: Решение теста по теме «Первообразная».

Цель работы: повторить, закрепить основные понятия по теме «Первообразная».

Методические рекомендации к выполнению теста: Решив задачу, нужно выбрать правильный ответ и записать номер, под которым он записан.

Задание: 1 вариант.

1) 2)

3) 4)

А2

Найдите первообразную для функции


1) 2)

3) 4)

А3

Для функции найдите первообразную, график которой проходит через точку

1) 2)

3)4)

А4

Какая из данных функций является первообразной для функции y=3x3–2x?


а) x4x2+1; б) x4x2; в) x4–2x2+3; г) таких нет

А5

Какая из данных функций является первообразной для функции y=1–2cos2x?


а) xcos3x; б) x+cos3x;

в) sin2x+1; г) 2–sin2x

А6

Известно, что F1, F2, F3– первообразные для f(x)=3x5–5 на R, графики которых проходят через точки M(1; –3), N(–1; 6), K(2; –4) соответственно. Перечислите, в каком порядке (сверху вниз) графики этих функций пересекают ось ординат?

а) F3, F1 ,F2; б) F3, F2, F1;

в) F1, F3, F2; г) свой ответ


А7

Материальная точка движется прямолинейно со скоростью v(t)=6t2 – 4t. Найдите закон движения точки, если в момент времени t = 0 она была в начале координат.

а) s(t)=4t3–6t2–2; б) s(t)=2t3–2t2; в) s(t)=t3–t2; г) свой ответ



Докажите, что функция является первообразной для функции на промежутке .

В2

Найдите множество первообразных функции:


В3

  1. Для функции найдите:

1)общий вид первообразных;2)первообразную, график которой проходит через точку .



2 вариант.

1) 2)

3) 4)

А2

Найдите первообразную для функции


1) 2)

3) 4)

А3

Для функции найдите первообразную, график которой проходит через точку

1) 2)

3) 4)

А4

Какая из данных функций является первообразной для функции

y = 7x6 – 15x4?


а) 2x7–5x3; б) x7x5–1;

в) x7–3x5–5,5; г) таких нет

А5

Какая из данных функций является первообразной для функции y= – 4sin2x?

а) 2cos2x+2; б) 2cos2x+2;

в) sin4x; г) 1–2cos2x

А6

Известно, что F1, F2, F3– первообразные для f(x) = 4x3 + 2x + 1 на R, графики которых проходят через точки M(0; 0), N(2; –5), K(1; 4) соответственно. Перечислите, в каком порядке (сверху вниз) графики этих функций пересекают ось ординат?

а) F1, F2 ,F3; б) F1, F3, F2;

в) F3, F1, F2; г) свой ответ

А7

Материальная точка движется прямолинейно со скоростью v(t) = 8t – 4. Найдите закон движения точки, если в момент времени t=2c пройденный путь составил 4 м.

а) s(t) = 4t2 – 4t – 4; б) s(t) = t2 t + 2; в) s(t) = 8t2 – 4t – 20; г) свой ответ



Найдите множество первообразных функции:


В3

Для функции найдите:

1)общий вид первообразных; 2)первообразную, график которой проходит через точку .

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется, если : выполнено задание : часть А № 1-7, часть В № 1-3. Оценка «4» выставляется, если : выполнено задание : часть А № 1-6, часть В № 1-2. Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание : часть А № 1,2,4,5,7.

Требования к оформлению самостоятельной работы: Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2. Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение № 2.

Самостоятельная работа № 14

Тема: Типовой расчет по теме «Вычисление интегралов».

Цель работы:

  • повторить понятия: неопределенный и определенный интеграл, решение интегралов разными способами;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: лекции.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Вычислить неопределенный интеграл hello_html_m28d9f170.png

Решение: Для решения данного интеграла не нужно использовать свойства неопределенных интегралов, достаточно формулы интеграла степенной функции:

hello_html_m5daa1757.png

В нашем случае hello_html_38d9df5f.png , тогда искомый интеграл равен:

hello_html_m124de27e.png

Ответ: hello_html_m430c1fca.png.

Пример 2. Метод непосредственного интегрирования.

Вычислить неопределенный интеграл hello_html_737468c1.png

Решение: Преобразуем подынтегральное выражение. Для этого вынесем из знаменателя hello_html_6c9069b6.png за знак интеграла

hello_html_2cbaea3f.png

далее, используя таблицу интегралов (Формула №11), получим

hello_html_m2fca855a.png

hello_html_m19aae7ca.png

Ответ: hello_html_45d6cb7.png.

Пример 3. Вычислить неопределенный интеграл hello_html_1f4de072.png

Решение. Распишем подынтегральную сумму, используя тригонометрические функции (определение котангенса)

hello_html_7f5428ca.png

Внесем hello_html_3e3cbee4.png под знак дифференциала:

hello_html_5d8a90ff.png

Полученный интеграл можно вычислить, используя табличный интеграл

hello_html_478d498a.png

В результате получим

hello_html_md6d786a.png

Ответ: hello_html_5be46950.png

Пример 4. Интегрирование заменой переменной.

Найти неопределенный интеграл hello_html_m31bfd3f8.png

Решение: Введем замену hello_html_m5b58e291.png и полученный интеграл находим как интеграл от степенной функции:

hello_html_m270a0240.png

hello_html_3cf20138.png

Сделаем обратную замену

hello_html_m492fb09.png

Ответ: hello_html_724172a6.png.

Пример 5. Интегрирование по частям.

 Найти неопределенный интеграл hello_html_48b1adde.png

Решение. Воспользуемся методом интегрирования по частям. Для этого положим

hello_html_5b7ed044.png

hello_html_39a68ebe.png

Подставим это в формулу для интегрирования по частям, затем воспользуемся формулой интеграла косинуса из таблицы интегралов

hello_html_74e7fea4.png

hello_html_m91c4f3f.png

Ответ: hello_html_172ba3.png.

Пример 6. Вычислите интеграл: а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) .

Решение:

а)

б)





в)







г)





д)







е)









Ответ: а) 6 ,б) 9, в) 2, г) - 2, д)2, е)18.

Задание:

1 вариант.

1.Найти неопределённый интеграл, использую таблицу интегралов.



1) , 3)



2) , 4) , 5)


2.Найти неопределённый интеграл методом подстановки.




1) , 2) , 3)



4) , 5)


3. Найти определённый интеграл, использую таблицу интегралов.


а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .


2 вариант.


1.Найти неопределённый интеграл, использую таблицу интегралов.



1) , 3) ,



2) , 4) , 5) .


2.Найти неопределённый интеграл методом подстановки.




1) , 2) , 3) ,



4) , 5) .



3. Найти определённый интеграл, использую таблицу интегралов.

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .



Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3(одна система в каждом).

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение № 2.





Самостоятельная работа № 15


Тема: Составление опорного конспекта «Применение производной к решению практических задач» .

Цель работы:

  • повторить понятия: свойства функций, графики функций, схема построения;применение производной к исследованию функций, геометрические приложения определённого интеграла.

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом .

План работы:

  1. Свойства квадратичных функций;

  2. Примеры построения квадратичных функций;

  3. Схема построения графиков функций с помощью производной;

  4. Таблица исследования функции на возрастание и убывание;

  5. Примеры построения графиков функций с помощью производной;

  6. Геометрические приложения определённого интеграла.

Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №2.
















Самостоятельная работа № 16


Тема: Составление кроссворда по теме «Математика».

Цель работы: повторение и закрепление знаний, в части правильности написания терминов и определений к ним; формирование умений поиска информации.

Методические рекомендации к составлению кроссвордов

  1. Ознакомьтесь со списком рекомендуемой литературы и источников.

  2. Повторите теоретический материал, соответствующий теме кроссворда, воспользовавшись материалом учебника, справочной литературой, конспектом лекции..

  3. Запишите ответы по определениям по горизонтали и вертикали.

  4. Проведите анализ, проверьте орфографию.

  5. Оформите второй вариант кроссворда с заполненной сеткой.

Задание:

По горизонтали:

1) Z = (cosφ + isinφ) - … форма комплексного числа.

4) По формулам Крамера решается … уравнений.

6) Основное понятие дифференциального исчисления.

8) = adbc это … два на два.

9) lim – это …

10) математик, который изобрёл универсальный способ решения математических уравнений в линейной алгебре.

13) Интеграл dx называется …

15) Разность F(b) – F(a) называется …

16) Из чисел составлена …

18) Если у интеграла указаны пределы интегрирования (числа), то он называется …

По вертикали:

2) Угол между положительной полуосью действительной оси и радиус – векторам, проведенный из начала координат к соответствующей точке называется … комплексного числа.

3) Таблица из чисел вида aij называется …

5) Если F/ (x) = f (x), то F(x) называется …

7) z = a + bi - … число.

11) Расстояние координат от М до точки комплексной плоскости называется … комплексного числа.

12) Раздел Математическая …

14) dx – это …

17) p(A) - … события А.




















Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : отгаданы все слова верно и построена таблица с ответами,

Оценка «4» выставляется , если : отгаданы все слова верно, но не построена таблица с ответами,

Оценка «3» выставляется, если : отгаданы не все слова верно, не построена таблица с ответами,.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение № 2.







Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Внеаудиторная самостоятельная работа обучающихся по дисциплине Математика для специальности Технология машиностроения."

Получите профессию

Няня

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ МЕТОД.УК. ВСР-ТЕХМАШ,1 КУРС..docx


ГБПОУ СПО (ССУЗ) «Чебаркульский профессиональный техникум»













Методические указания

к выполнению внеаудиторной самостоятельной работы обучающихся

по дисциплине Математика

для специальности 151901. Технология машиностроения.













2015 г.



Пояснительная записка


Цель методических указаний: оказание помощи обучающимся в выполнении внеаудиторной самостоятельной работы по дисциплине Математика.

Настоящие методические указания содержат работы, которые позволят обучающимся самостоятельно овладеть профессиональными знаниями и умениями, опытом творческой деятельности при решении проблем учебного и профессионального уровня и направлены на формирование следующих компетенций:

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей

профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые

методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их

эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных

ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации,

необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач,

профессионального и личностного развития.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии

в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться

с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды

(подчиненных), результат выполнения заданий.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и

личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно

планировать повышение квалификации.

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий

в профессиональной деятельности.

ОК 10. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением

полученных профессиональных знаний (для юношей).

В результате выполнения самостоятельных работ по дисциплине Математика обучающиеся должны:

уметь:

    • Распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить объекты с их описаниями, изображениями;

    • Описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве ;

    • Изображать основные многогранники и круглые тела;

    • Решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);

    • Использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

    • Выполнять арифметические действия, сочетая устные и письменные приемы, применение вычислительных устройств;

    • Решать уравнения и неравенства (линейные, квадратные);

    • Вычислять значения числовых и буквенных выражений, осуществляя необходимые подстановки и преобразования;

    • Находить значения корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма, используя при необходимости вычислительные устройства;

    • Проводить по формулам и правилам преобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы, тригонометрические функции;

    • Строить графики изученных функций;

    • Решать показательные и логарифмические уравнения и неравенства; простейшие иррациональные и тригонометрические уравнения;

    • Вычислять производные и первообразные элементарных функций, используя справочные материалы;

    • Исследовать в простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшие и наименьшие значения функций; строить графики многочленов с использованием аппарата математического анализа;

    • Решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием формул;

    • Вычислять в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов;

    • Использовать приобретенные знания и умения для анализа числовых данных, представленных в виде таблиц, диаграмм;

знать:

    • Вычисление в простейших случаях площадей и объемов с использованием определенного интеграла;

    • Распознавание на чертежах и моделях пространственных форм; соотношение объектов с их описанием, изображением;

    • Описание взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве ;

    • Изображение основных многогранников и круглых тел ;

    • Решение планиметрических и простейших стереометрических задач на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);

    • Использование при решении стереометрических задач планиметрических фактов и методов;

    • Выполнение арифметических действий, сочетая устные и письменные приемы, применение вычислительных устройств;

    • Решение уравнений и неравенств (линейных, квадратных);

    • Вычисление значений числовых и буквенных выражений, осуществляя необходимые подстановки и преобразования;

    • Нахождение значений корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма, используя при необходимости вычислительные устройства;

    • Преобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы, тригонометрические функции;

    • Построение графиков изученных функций;

    • Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств; простейших иррациональных и тригонометрических уравнений;

    • Вычисление производных и первообразных элементарных функций, используя справочные материалы;

    • Исследование в простейших случаях функций на монотонность, нахождение наибольших и наименьших значений функций; построение графиков многочленов с использованием аппарата математического анализа;

  • Решение простейших комбинаторных задач методом перебора, а также с использованием формул;

  • Вычисление в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов;

  • Использование приобретенных знаний и умений для анализа числовых данных, представленных в виде таблиц, диаграмм;

  • Значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;

  • Значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии;

  • Универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности;

Описание каждой самостоятельной работы содержит: тему, цели работы, задания, основной теоретический материал, алгоритм выполнения типовых задач, порядок выполнения работы, формы контроля, требования к выполнению и оформлению заданий.



Перечень видов самостоятельной работы


темы

Вид самостоятельной работы

Кол-во часов

Форма контроля

Введение.


0


ГЕОМЕТРИЯ

62


Тема 1. Прямые и плоскости в пространстве.

22


1.1 Повторение основных понятий планиметрии.

  1. Составление опорного конспекта «Треугольники».

  2. Типовой расчет по теме «Решение треугольников».

  3. Составление опорного конспекта «Четырехугольники».

  4. Решение теста по теме «Планиметрия».

8

Таблица в тетради, просмотр работы, оценка

1.2 Аксиомы стереометрии.


0


1.3 Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве.

  1. Составление опорного конспекта «Параллельность прямых и плоскостей».

  2. Типовой расчет по теме «Параллельность плоскостей».

  3. Типовой расчет по теме «Параллельность прямых и плоскостей».

  4. Составление опорного конспекта «Перпендикулярность прямых, прямой и плоскости».

  5. Типовой расчет по теме «Перпендикуляр и наклонная».

  6. Составление опорного конспекта «Перпендикулярность плоскостей».

  7. Решение теста по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве».

14

Таблица в тетради, просмотр работы, оценка


Тема 2.Многогранники.


  1. Типовой расчет по теме «Прямоугольный параллелепипед».

  2. Типовой расчет по теме «Пирамида. Усеченная пирамида».

  3. Составление опорного конспекта «Правильные многогранники».

  4. Решение теста по теме «Многогранники».

8

Таблица в тетради, просмотр работы, оценка

Тема 3. Тела и поверхности вращения.


  1. Составление опорного конспекта «Цилиндр».

  2. Типовой расчет по теме «Цилиндр».

  3. Типовой расчет по теме «Конус».

  4. Решение теста по теме «Тела вращения».

8

Таблица в тетради, просмотр работы, оценка

Тема 4. Измерения в геометрии.


  1. Типовой расчет по теме «Объём прямоугольного параллелепипеда».

  2. Типовой расчет по теме «Расчет объёма прямой и наклонной призмы».

  3. Типовой расчет по теме «Объём цилиндра».

  4. Типовой расчет по теме «Объём конуса».

  5. Типовой расчет по теме «Объём сегмента, слоя, сектора шара».

14

Таблица в тетради, просмотр работы, оценка


  1. Решение теста по теме «Объёмы тел».

  2. Составление кроссворда по теме «Тела вращения».



Тема 5.

Координаты и векторы.




  1. Составление опорного конспекта «Прямоугольная система координат в пространстве».

  2. Типовой расчет по теме «Простейшие задачи в координатах».

  3. Составление опорного конспекта «Умножение вектора на число» .

  4. Типовой расчет по теме «Скалярное произведение векторов».

  5. Составление кроссворда по теме «Стереометрия».

10

Таблица в тетради, просмотр работы, оценка

АЛГЕБРА

58


Тема 6. Развитие понятия о числе.

14


6.1 Повторение базисного материала курса основной школы.

  1. Составление опорного конспекта « Степень числа и ее свойства».

  2. Составление опорного конспекта «Пропорция».

  3. Решение криптограмм по теме «Уравнения».

  4. Типовой расчет по теме «Решение систем уравнений и неравенств».

  5. Типовой расчет по теме «Формулы сокращенного умножения».

  6. Составление опорного конспекта «Функция, график и её свойства».

12

Таблица в тетради, просмотр работы, оценка

6.2 Развитие понятия о числе.

  1. Составление опорного конспекта «Действия над комплексными числами».

2

Тема 7.

Корни, степени и логарифмы.


  1. Типовой расчет по теме «Понятие о корне n-й степени».

  2. Решение теста по теме «Степень с рациональным, действительным показателем, ее свойства».

  3. Типовой расчет по теме «Вычисление логарифмов».

6

Таблица в тетради, просмотр работы, оценка

Тема 8.

Основы тригонометрии.


  1. Составление опорного конспекта «Синус, косинус, тангенс числового аргумента, их знаки» .

  2. Составление опорного конспекта «Преобразование тригонометрических выражений».

  3. Типовой расчет по теме «Формулы сложения».

  4. Типовой расчет по теме «Синус, косинус и тангенс двойного и половинного угла».

  5. Типовой расчет по теме «Решение простейших тригонометрических уравнений».

  6. Типовой расчет по теме «Решение тригонометрических уравнений».

  7. Решение теста по теме «Решение тригонометрических неравенств».

14

Таблица в тетради, просмотр работы, оценка

Тема 9.Функции, их свойства и графики.


  1. Типовой расчет по теме «Область определения и множество значений тригонометрических функций».

  2. Типовой расчет по теме «Экстремумы функции».

  3. Типовой расчет по теме «Нахождения наибольшего и наименьшего значения функции».

6

Таблица в тетради, просмотр работы, оценка

Тема 10. Степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции.

  1. Решение теста по теме «Показательная и логарифмическая функции».

  2. Решение теста по теме «Свойства и график тригонометрических функций».

4

Таблица в тетради, просмотр работы, оценка

Тема 11.

Уравнения и неравенства.


  1. Типовой расчет по теме «Иррациональные уравнения».

  2. Решение теста по теме «Решение иррациональных уравнений».

  3. Типовой расчет по теме «Решение показательных и логарифмических уравнений».

  4. Типовой расчет по теме «Решение логарифмических уравнений и неравенств» .

  5. Решение теста по теме «Решение показательных и логарифмических неравенств». 

  6. Составление опорного конспекта «Метод интервалов».

  7. Типовой расчет по теме «Метод интервалов». 

14

Таблица в тетради, просмотр работы, оценка

НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

18


Тема 12.НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.


  1. Типовой расчет по теме «Производная».

  2. Составление опорного конспекта «Геометрический смысл производной».

  3. Составление опорного конспекта «Правила дифференцирования».

  4. Типовой расчет по теме «Правила дифференцирования».

  5. Составление опорного конспекта «Первообразная».

  6. Типовой расчет по теме «Правила нахождения первообразных».  

  7. Типовой расчет по теме «Вычисление площадей с помощью интегралов».

  8. Решение теста по теме «Первообразная».

  9. Составление кроссворда по теме «Алгебра и начала анализа».

18

Таблица в тетради, просмотр работы, оценка

КОМБИНАТОРИКА, СТАТИСТИКА И ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

5


Тема 13. Элементы комбинаторики.

  1. Составление опорного конспекта «Основные понятия комбинаторики».

2

Таблица в тетради, просмотр работы, оценка

Тема 14. Элементы теории вероятностей.

  1. Типовой расчет по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей».

2

Тема 15. Элементы математической статистики.

  1. Решение теста по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей».

1

Итого:


143


Тема внеаудиторной самостоятельной работы.

Срок выполнения

1

Составление опорного конспекта «Треугольники».

1 семестр, 1 неделя

2

Типовой расчет по теме «Решение треугольников».

1 семестр, 1 неделя

3

Составление опорного конспекта «Четырехугольники».

1 семестр, 2 неделя

4

Решение теста по теме «Планиметрия».

1 семестр, 2 неделя

5

Составление опорного конспекта «Параллельность прямых и плоскостей».

1 семестр, 3 неделя

6

Типовой расчет по теме «Параллельность плоскостей».

1 семестр, 3 неделя

7

Типовой расчет по теме «Параллельность прямых и плоскостей».

1 семестр, 4 неделя

8

Составление опорного конспекта «Перпендикулярность прямых, прямой и плоскости».

1 семестр, 4 неделя

9

Типовой расчет по теме «Перпендикуляр и наклонная».

1 семестр, 5 неделя

10

Составление опорного конспекта «Перпендикулярность плоскостей».

1 семестр, 5 неделя

11

Решение теста по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве» .

1 семестр, 6 неделя

12

Типовой расчет по теме «Прямоугольный параллелепипед».

1 семестр, 6 неделя

13

Типовой расчет по теме «Пирамида. Усеченная пирамида».

1 семестр, 7 неделя

14

Составление опорного конспекта «Правильные многогранники».

1 семестр, 7 неделя

15

Решение теста по теме «Многогранники».

1 семестр, 8 неделя

16

Составление опорного конспекта «Цилиндр» .

1 семестр, 8 неделя

17

Типовой расчет по теме «Цилиндр».

1 семестр, 9 неделя

18

Типовой расчет по теме «Конус».

1 семестр, 9 неделя

19

Решение теста по теме «Тела вращения».

1 семестр, 10 неделя

20

Типовой расчет по теме «Объём прямоугольного параллелепипеда».

1 семестр, 10 неделя

21

Типовой расчет по теме «Расчет объёма прямой и наклонной призмы».

1 семестр, 11 неделя

22

Типовой расчет по теме «Объём цилиндра».

1 семестр, 11 неделя

23

Типовой расчет по теме «Объём конуса».

1 семестр, 12 неделя

24

Типовой расчет по теме «Объём сегмента, слоя, сектора шара».

1 семестр, 12 неделя

25

Решение теста по теме «Объёмы тел».

1 семестр, 13 неделя

26

Составление кроссворда по теме «Тела вращения».

1 семестр, 13 неделя

27

Составление опорного конспекта «Прямоугольная система координат в пространстве».

1 семестр, 14 неделя

28

Типовой расчет по теме «Простейшие задачи в координатах».

1 семестр, 14 неделя

29

Составление опорного конспекта «Умножение вектора на число» .

1 семестр, 15 неделя

30

Типовой расчет по теме «Скалярное произведение векторов».

1 семестр, 15 неделя

31

Составление кроссворда по теме «Стереометрия».

1 семестр, 16 неделя

32

Составление опорного конспекта « Степень числа и ее свойства».

1 семестр, 16 неделя

33

Составление опорного конспекта «Пропорция».

1 семестр, 17 неделя

34

Решение криптограмм по теме «Уравнения».

1 семестр, 17 неделя

35

Типовой расчет по теме «Решение систем уравнений и неравенств».

2 семестр, 18 неделя

36

Типовой расчет по теме «Формулы сокращенного умножения».

2 семестр, 18 неделя

37

Составление опорного конспекта «Функция, график и её свойства».

2 семестр, 19 неделя

38

Составление опорного конспекта «Действия над комплексными числами».

2 семестр, 19 неделя

39

Типовой расчет по теме «Понятие о корне n-й степени».

2 семестр, 20 неделя

40

Решение теста по теме «Степень с рациональным, действительным показателем, ее свойства».

2 семестр, 20 неделя

41

Типовой расчет по теме «Вычисление логарифмов».

2 семестр, 21 неделя

42

Составление опорного конспекта «Синус, косинус, тангенс числового аргумента, их знаки» .

2 семестр, 22 неделя

43

Составление опорного конспекта «Преобразование тригонометрических выражений».

2 семестр, 22 неделя

44

Типовой расчет по теме «Формулы сложения».

2 семестр, 23 неделя

45

Типовой расчет по теме «Синус, косинус и тангенс двойного и половинного угла».

2 семестр, 23 неделя

46

Типовой расчет по теме «Решение простейших тригонометрических уравнений».

2 семестр, 24 неделя

47

Типовой расчет по теме «Решение тригонометрических уравнений».

2 семестр, 24 неделя

48

Решение теста по теме «Решение тригонометрических неравенств».

2 семестр, 25 неделя

49

Типовой расчет по теме «Область определения и множество значений тригонометрических функций».

2 семестр, 26 неделя

50

Типовой расчет по теме «Экстремумы функции».

2 семестр, 26 неделя

51

Типовой расчет по теме «Нахождения наибольшего и наименьшего значения функции ».

2 семестр, 27 неделя

52

Решение теста по теме «Показательная и логарифмическая функции».

2 семестр, 27 неделя

53

Решение теста по теме «Свойства и график тригонометрических функций» .

2 семестр, 28 неделя

54

Типовой расчет по теме «Иррациональные уравнения».

2 семестр, 28 неделя

55

Решение теста по теме «Решение иррациональных уравнений».

2 семестр, 29 неделя

56

Типовой расчет по теме «Решение показательных и логарифмических уравнений».

2 семестр, 30 неделя

57

Типовой расчет по теме «Решение логарифмических уравнений и неравенств» .

2 семестр, 30 неделя

58

Решение теста по теме «Решение показательных и логарифмических неравенств». 

2 семестр, 31 неделя

59

Составление опорного конспекта «Метод интервалов».

2 семестр, 32 неделя

60

Типовой расчет по теме «Метод интервалов». 

2 семестр, 32 неделя

61

Типовой расчет по теме «Производная».

2 семестр, 33 неделя

62

Составление опорного конспекта «Геометрический смысл производной».

2 семестр, 33 неделя

63

Составление опорного конспекта «Правила дифференцирования».

2 семестр, 34 неделя

64

Типовой расчет по теме «Правила дифференцирования».

2 семестр, 34 неделя

65

Составление опорного конспекта «Первообразная».

2 семестр, 36 неделя

66

Типовой расчет по теме «Правила нахождения первообразных».  

2 семестр, 37 неделя

67

Типовой расчет по теме «Вычисление площадей с помощью интегралов».

2 семестр, 37 неделя

68

Решение теста по теме «Первообразная».

2 семестр, 37 неделя

69

Составление кроссворда по теме «Алгебра и начала анализа».

2 семестр, 38 неделя

70

Составление опорного конспекта «Основные понятия комбинаторики».

2 семестр, 38 неделя

71

Решение теста по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей».

2 семестр, 38 неделя

72

Решение теста по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей».

2 семестр, 39 неделя











Методические рекомендации к составлению опорного конспекта.

Конспект – это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст, подготовка к типовому расчету.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

План работы:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки: Оценка «5» выставляется если :

- содержание соответствует теме,

- материал проработан глубоко,

- грамотно и полно использованы источники,

- имеется наглядность (чертежи, примеры),

Оценка «4» выставляется , если :

- материал проработан не глубоко,

-использованы не все источники,

Оценка «3» выставляется, если :

-нет наглядности,

- материал проработан не полностью

Методические рекомендации к выполнению типового расчета.

Типовой расчет содержит теоретический материал ( или ссылку на источник информации (опорный конспект из ВСР, учебник, интернет-ссылка)), типовые примеры, задание для самостоятельной работы.

План работы:

  1. Сделать конспект теоретического материала (если это не опорный конспект из ВСР), просмотреть и повторить (если это опорный конспект из ВСР).

  2. Проанализировать типовые примеры.

  3. Решить задание для самостоятельной работы, используя теоретический материал, типовые примеры.

Критерии оценки: Оценка «5» выставляется если :

- материал проработан глубоко,

- имеется чертежи, примеры ,

- задание выполнено полностью,

Оценка «4» выставляется , если :

- материал проработан не глубоко

- задание выполнено больше, чем на 50%,

Оценка «3» выставляется, если :

- материал проработан не полностью, но записаны типовые примеры,

- задание выполнено меньше, чем на 50%

Методические рекомендации к выполнению теста.

При работе с тестом записывается номер задания и буква (правильный ответ).

Критерии оценки: Оценка «5» выставляется если :

- правильно выбраны ответы, записано решение подробно.

Оценка «4» выставляется , если :

- правильно выбраны ответы, записано решение подробно не у всех заданий.

Оценка «3» выставляется, если : правильно выбраны ответы или с ошибками, не записано решение или записано кратко.



ПРИЛОЖЕНИЕ №1


Основные учебники :


  1. Алгебра и начала анализа 10-11 кл. Ш.А.Алимов и др. М., «Просвещение», 2009 г.

  2. Геометрия 10-11 кл. Л.С. Атанасян. М., «Просвещение»,2011 г.


Дополнительные учебники :



  1. Алгебра и начала математического анализа 10-11 кл. Колмогоров А.Н. и др. М., «Просвещение»,2009г.

  2. Алгебра и начала математического анализа 10-11 кл. Башмаков М.И. М., «Дрофа»,2009г.

  3. Геометрия 10-11 кл. Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. М., «Просвещение», 2009г.




Интернет-ссылки для ВСР.

Алгебра:

  1. http://math-prosto.ru/?page=pages/library-math/alimov-10-11.php

  2. http://nashol.com/2012102467590/algebra-i-nachala-matematicheskogo-analiza-10-11-klass-alimov-sh-a-kolyagin-u-m-2012.html

  3. http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/algebra-i-nachala-analiza-10-11-klass-po-uchebniku-sha-alimova-i-dr

  4. http://nashol.com/2014021575799/algebra-i-nachalo-matematicheskogo-analiza-10-klass-muravin-g-k-2013.html

  5. http://elkniga.ucoz.ru/load/multimedijnye_posobija/matematika/multimedijnoe_posobie_po_matematike_uroki_algebry_kirilla_i_mefodija_10_11_klass/14-1-0-15

Геометрия:

  1. http://nashol.com/knigi-po-matematike/#po_godam_2012

  2. http://nashol.com/2011102361137/geometriya-uchebnik-10-11-klass-atanasyan-l-s-butuzov-v-f-kadomcev-s-b-2009.html

  3. http://4book.org/uchebniki-rossiya/10-klass/62-geometriya-uchebnik-dlya-10-11-klassov-atanasyan-l-s-i-dr

  4. http://neovit.net/edu/math1.htm

  5. http://elkniga.ucoz.ru/publ/uchebniki/10_klass/geometrija_atanasjan_l_s_uchebnik_dlja_10_11_klassa_obshheobrazovatelnykh_uchrezhdenij/98-1-0-311





И любые другие аналогичные из интернета по разделам «Алгебра и начала анализа», «Геометрия».





Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Внеаудиторная самостоятельная работа обучающихся по дисциплине Математика для специальности Технология машиностроения."

Получите профессию

Бухгалтер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ МЕТОД.УК. ВСР-ТЕХМАШ,2 КУРС..docx


ГБПОУ СПО (ССУЗ) «Чебаркульский профессиональный техникум»













Методические указания

к выполнению внеаудиторной самостоятельной работы обучающихся

по дисциплине Математика

для специальности 151901. Технология машиностроения.













2015 г.


Пояснительная записка


Цель методических указаний: оказание помощи обучающимся в выполнении внеаудиторной самостоятельной работы по дисциплине Математика.

Настоящие методические указания содержат работы, которые позволят обучающимся самостоятельно овладеть профессиональными знаниями и умениями, опытом творческой деятельности при решении проблем учебного и профессионального уровня и направлены на формирование следующих компетенций:

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей

профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые

методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их

эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных

ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации,

необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач,

профессионального и личностного развития.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии

в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться

с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды

(подчиненных), результат выполнения заданий.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и

личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно

планировать повышение квалификации.

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий

в профессиональной деятельности.

ОК 10. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением

полученных профессиональных знаний (для юношей).

В результате выполнения самостоятельных работ по дисциплине Математика обучающиеся должны:

уметь:

  • производить операций над матрицами и определителями;

  • решать системы линейных уравнений различными методами;

  • выполнять действия над комплексными числами;

  • решать задачи на вычисление вероятности с использованием элементов комбинаторики;

  • анализировать сложные функций и строить их графики;

  • решать прикладные задачи с использованием элементов дифференциального и интегрального исчислений;

знать:

- основные математические методы решения прикладных задач;

- основные понятия и методы математического анализа, линейной алгебры, теорию комплексных чисел, теории вероятностей и математической статистики;

- основы интегрального и дифференциального исчисления;

- роль и место математики в современном мире при освоении профессиональных дисциплин и в сфере профессиональной деятельности.









Перечень видов самостоятельной работы


темы

Вид самостоятельной работы

Кол-во часов

Форма контроля

Введение


0


Раздел 1. Основы линейной алгебры.

10


1.1.Матрица и определители.

  1. Составление опорного конспекта по теме «Матрицы и определители».

  2. Типовой расчет по теме «Вычисление матриц и определителей».

4

Таблица в тетради, просмотр работы, оценка.

1.2. Решение системы уравнений различными методами.

  1. Составление опорного конспекта по теме «Решение систем уравнений с помощью матричного метода».

  2. Типовой расчет по теме «Решение систем линейных уравнений по правилу Крамера».

  3. Типовой расчет по теме «Решение систем линейных уравнений методом Гаусса».

6

Таблица в тетради, просмотр работы, оценка.

Раздел 2.Комплексные числа.

6


2.1.Формы комплексного числа.

  1. Составление опорного конспекта по теме «Действия над комплексными числами. Полярные координаты точки на плоскости».

  2. Составление опорного конспекта по теме «Тригонометрическая форма комплексного числа».

  3. Типовой расчет по теме «Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме».

6

Таблица в тетради, просмотр работы, оценка.

Раздел 3. Теория вероятности и математической статистики.

6


3.1. Элементы комбинаторики и вероятность событий.

  1. Типовой расчет по теме «Вычисление вероятности события по формуле Байеса».

  2. Решение теста по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей».

4

Таблица в тетради, просмотр работы, оценка.

3.2. Элементы математической статистики.

  1. Составление опорного конспекта по теме «Математическая статистика».


2

Раздел 4. Математический анализ.

10


4.1. Основы дифференциального и интегрального исчисления.

  1. Типовой расчет по теме «Производная».

  2. Решение теста по теме «Первообразная».

  3. Типовой расчет по теме «Вычисление интегралов».

6

Таблица в тетради, просмотр работы, оценка.

4.2. Решение прикладных задач.

  1. Составление опорного конспекта «Применение производной к решению практических задач» .

  2. Составление кроссворда по теме «Математика».

4

Таблица в тетради, просмотр работы, оценка.

Итого:


32 ч


















Тема внеаудиторной самостоятельной работы. ( по 2 ч.на работу)

Срок выполнения

1

Составление опорного конспекта по теме «Матрицы и определители».

1 семестр, 1 неделя

2

Типовой расчет по теме «Вычисление матриц и определителей».

1 семестр, 2 неделя

3

Составление опорного конспекта по теме «Решение систем уравнений с помощью матричного метода».

1 семестр, 3 неделя

4

Типовой расчет по теме «Решение систем линейных уравнений по правилу Крамера».

1 семестр, 4 неделя

5

Типовой расчет по теме «Решение систем линейных уравнений методом Гаусса».

1 семестр, 5 неделя

6

Составление опорного конспекта по теме «Действия над комплексными числами. Полярные координаты точки на плоскости».

1 семестр, 6 неделя

7

Составление опорного конспекта по теме «Тригонометрическая форма комплексного числа».

1 семестр, 7 неделя

8

Типовой расчет по теме «Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме».

1 семестр, 8 неделя

9

Типовой расчет по теме «Вычисление вероятности события по формуле Байеса».

1 семестр, 9 неделя

10

Решение теста по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей».

1 семестр, 10 неделя

11

Составление опорного конспекта по теме «Математическая статистика».

1 семестр, 11 неделя

12

Типовой расчет по теме «Производная».

1 семестр, 11 неделя

13

Решение теста по теме «Первообразная».

1 семестр, 12 неделя

14

Типовой расчет по теме «Вычисление интегралов».

1 семестр, 13 неделя

15

Составление опорного конспекта «Применение производной к решению практических задач» .

1 семестр, 14 неделя

16

Составление кроссворда по теме «Математика».

1 семестр, 16 неделя



















Методические рекомендации к составлению опорного конспекта.

Конспект – это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст, подготовка к типовому расчету.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

План работы:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки: Оценка «5» выставляется если :

- содержание соответствует теме,

- материал проработан глубоко,

- грамотно и полно использованы источники,

- имеется наглядность (чертежи, примеры),

Оценка «4» выставляется , если :

- материал проработан не глубоко,

-использованы не все источники,

Оценка «3» выставляется, если :

-нет наглядности,

- материал проработан не полностью

Методические рекомендации к выполнению типового расчета.

Типовой расчет содержит теоретический материал ( или ссылку на источник информации (опорный конспект из ВСР, учебник, интернет-ссылка)), типовые примеры, задание для самостоятельной работы.

План работы:

  1. Сделать конспект теоретического материала (если это не опорный конспект из ВСР), просмотреть и повторить (если это опорный конспект из ВСР).

  2. Проанализировать типовые примеры.

  3. Решить задание для самостоятельной работы, используя теоретический материал, типовые примеры.

Критерии оценки: Оценка «5» выставляется если :

- материал проработан глубоко,

- имеется чертежи, примеры ,

- задание выполнено полностью,

Оценка «4» выставляется , если :

- материал проработан не глубоко

- задание выполнено больше, чем на 50%,

Оценка «3» выставляется, если :

- материал проработан не полностью, но записаны типовые примеры,

- задание выполнено меньше, чем на 50%

Методические рекомендации к выполнению теста.

При работе с тестом записывается номер задания и буква (правильный ответ).

Критерии оценки: Оценка «5» выставляется если :

- правильно выбраны ответы, записано решение подробно.

Оценка «4» выставляется , если :

- правильно выбраны ответы, записано решение подробно не у всех заданий.

Оценка «3» выставляется, если : правильно выбраны ответы или с ошибками, не записано решение или записано кратко.



ПРИЛОЖЕНИЕ №2

Учебники :


  1. Григорьев С.Г., Иволгина С.В. Математика:Учебник для СПО / Григорьев С.Г., Иволгина С.В., под ред.В.А.Гусева– 9-е изд., стер. – М.: Академия, 2013 – 416 с.

  2. Башмаков М. И. Математика: Учебник СПО / М. И. Башмаков – М.: Академия, 2011 – 256 с.

  3. Пехлецкий И. Д. Математика: Учебник для СПО / Пехлецкий И. Д. – 6-е изд., стер. – М.: Академия, 2011 – 304 с.

  4. Березина Н. А., Максина Е. Л. Математика: Учеб. пособие для СПО / Н. А. Березина, Е. Л. Максина – М.: РНО, 2007 – 175 с.

  5. Богомолов Н. Практические занятия по математике.- М., 2006;

  6. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике, - М., 2006

  7. Дадаян А. А. Математика: Учебник для СПО / А. А. Дадаян. – М.: Форум, 2008 – 544 с.

  8. Дадаян А. А. Сборник задач по математике / А. А. Дадаян – М.: Инфра – М.: Форум, 2008 – 352 с.

  9. П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова Высшая математика в упражнениях и задачах (часть 1) - М.: «Мир и Образование», 2005-304с.

  10. Д. Т. Письменный. Конспект лекций по высшей математике. - «Айрис», 2007.

  11. Д. Т.Письменный. Сборник задач по высшей математике. - «Айрис», 2007

  12. Математика и информатика: Учебник для СПО / Ю. Н. Виноградов, А. И. Гомола, В. И. Потапов и др. – М.: Академия, 2011 – 272 с.

  13. Математический анализ в вопросах и задачах: Учебное пособие для ВУЗов/ В.Бутузов и др. - М, 2005.

  14. Михеев В. С., Стяжкина О. В.Учебное пособие для СПО - «Феникс», 2009.

  15. М. С. Спирина, П. А. Спирин. Учебник для студентов СПО - «Академия», 2009.

  16. Максимова О. В. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие для СПО изд.2-е, 2007.

  17. Старков С. Справочник по математическим формулам и графикам. - СПб., 2008.



Интернет-ссылки для ВСР.



  1. http://www.mathedu.ru/

  2. http://www.onecomplex.ru/

  3. http //matemonline.com/wp-content/uploads

  4. Cайты «Энциклопедий», например: http://www.rubricon.ru/; http://www.encyclope.com

  5. Новые технологии в образовании: http://edu.secna.ru/main/ http://festival.1september.ru

  6. http://www.fxyz.ru

  7. http://referat.ru

  8. http://math.immf.ru/

  9. http://integraly.ru/

  10. http://www.alleng.ru/edu/math.htm








Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Внеаудиторная самостоятельная работа обучающихся по дисциплине Математика для специальности Технология машиностроения."

Получите профессию

Няня

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Получите профессию

Интернет-маркетолог

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 663 478 материалов в базе

Скачать материал

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 31.05.2016 2113
    • RAR 5.2 мбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Зайцева Светлана Егоровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Зайцева Светлана Егоровна
    Зайцева Светлана Егоровна
    • На сайте: 8 лет и 2 месяца
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 344225
    • Всего материалов: 170

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Экскурсовод

Экскурсовод (гид)

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс повышения квалификации

Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС

36/72 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 139 человек из 52 регионов
  • Этот курс уже прошли 492 человека

Курс повышения квалификации

Развивающие математические задания для детей и взрослых

36 ч. — 180 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 66 человек из 26 регионов
  • Этот курс уже прошли 81 человек

Курс повышения квалификации

Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения

36/72 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 85 человек из 35 регионов
  • Этот курс уже прошли 1 415 человек

Мини-курс

Стратегии антикризисных коммуникаций и управление репутацией в современном бизнесе

6 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Эффективное управление запасами

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Стратегии бизнес-развития

6 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе