Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Опубликуйте свой материал в официальном Печатном сборнике методических разработок проекта «Инфоурок»

(с присвоением ISBN)

Выберите любой материал на Вашем учительском сайте или загрузите новый

Оформите заявку на публикацию в сборник(займет не более 3 минут)

+

Получите свой экземпляр сборника и свидетельство о публикации в нем

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Внеаудиторная самостоятельная работа по математике на тему "Решение систем линейных уравнений"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Внеаудиторная самостоятельная работа по математике на тему "Решение систем линейных уравнений"

библиотека
материалов

Внеаудиторная самостоятельная работа по математике

для групп СПО базового уровня подготовки на тему:

решение систем линейных уравнений методом Гаусса;

решение систем линейных уравнений с помощью матриц.


Цель работы: развитие умений решения систем линейных уравнений методом Гаусса; решения систем линейных уравнений с помощью матриц;


Основной теоретический материал

Метод Гаусса. Из первого уравнения системы выражаем одну переменную через остальные. Это всегда возможно, если в левой части уравнения есть хотя бы один член с коэффициентом, отличным от нуля. Если такового нет, то возникает либо противоречие при условии hello_html_m56dcc0b8.gif, и, значит, система решений не имеет, либо тождественное равенство 0 = 0, которое можно исключить из рассмотрения.

Подставляем эту переменную во все остальные равенства, которые образуют линейную систему с меньшим числом переменных. Для этой системы повторяем описанную выше процедуру, и так далее, сокращая на каждом шаге число рассматриваемых переменных.

Ясно, что на каком-то шаге может возникнуть противоречивое равенство. Тогда делаем вывод: исходная система решений не имеет.

Может случиться, что на последнем шаге возникнет равенство вида hello_html_m2fe76181.gifгде hello_html_m6b07bb26.gifа hello_html_m66521c76.gifкакая-то из переменных. Из него можно найти единственное значение hello_html_m707ea9f0.gif. Из равенства, возникшего на предпоследнем шаге, находится единственное значение ещё одной переменной, и так далее находятся единственные значения всех переменных. В этом случае исходная система имеет единственное решение.

Наконец, возможен случай, когда на последнем шаге возникло линейное уравнение, в котором есть несколько переменных с коэффициентами, отличными от нуля. Одну из этих переменных можно выразить через остальные (их называют свободными). Придавая последним любые фиксированные значения, мы можем повторить описанную выше процедуру нахождения значений остальных переменных. Ясно, что у такой системы бесконечно много решений, любое число которых может быть найдено путем фиксирования произвольных конкретных значений свободных переменных.

Матричная запись и матричное решение системы уравнений первой степени Покажем, каким образом мы можем использовать матричный аппарат для решения систем линейных уравнений.

Пусть дана система из n линейных уравнений с n неизвестными hello_html_m5ac093be.gif

hello_html_m65e4aeb4.gif(1)


Числа hello_html_m44e4ab45.gifназываются коэффициентами системы (1), а числа hello_html_63aed197.gifсвободными членами. Система линейных уравнений(1) называется однородной, если hello_html_371fd0bc.gif

Матрица


А=hello_html_m27bab9d8.gifhello_html_4fa2b986.gifhello_html_m350bd580.gifhello_html_m27bab9d8.gifhello_html_m4554fcb9.gifhello_html_m27bab9d8.gifhello_html_m27bab9d8.gifhello_html_m7583340a.gif


Называется матрицей системы (1), а ее определитель hello_html_272e7414.gif определителем системы (1).

Решением системы (1) называется совокупность чисел hello_html_5c453d94.gif, которые обращают все уравнения системы в тождества.

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Система, не имеющая решений, называется несовместной.

Пусть определитель системы (1) отличен от нуля.

Обозначив матрицу–столбец из неизвестных через Х и матрицу-столбец из свободных членов через В: hello_html_mb78ff1c.gif hello_html_61539b2b.gif.

Согласно правилу умножения матриц имеем

hello_html_m53b39a45.gif.

Используя определение равенства матриц, данную систему (1) можно записать следующим образом:

АХ=В (2)

Равенство (2) называется матричным уравнением (здесь в роли неизвестного выступает матрица Х). Так как по условию hello_html_m57986509.gif, то для матрицы А существует обратная матрица hello_html_ma3e0f7.gif. Умножим обе части уравнения (2) слева наhello_html_ma3e0f7.gif: hello_html_ma3e0f7.gif(АХ) = hello_html_ma3e0f7.gifВ.

Используя сочетательный закон умножения матриц можно записать

(hello_html_ma3e0f7.gifА)Х =hello_html_ma3e0f7.gifВ. Так как hello_html_ma3e0f7.gifА=Е и ЕХ=Х, то получаем решение матричного уравнения в виде Х =hello_html_ma3e0f7.gifВ.

Решение типовых задач

Задача 1. Решите систему уравнений методом Гаусса:

hello_html_6d2a11eb.gifhello_html_m27bab9d8.gif

Решение. Подставляя выражение х через остальные переменные во второе и третье уравнения, записываем систему в видеhello_html_m27bab9d8.gifhello_html_20fa46fc.gif

Находим у из второго уравнения и подставляем в третье:

hello_html_3fee8f3d.gif

Т.е. hello_html_409c6427.gif и тогда (из второго уравнения) у=0 и, наконец (из первого уравнения): х = 1. Система имеет единственное решение.

Ответ: (1; 0; -2).

Задача 2. Решите систему уравнений с помощью матриц:

hello_html_1334054f.gif

Решение: В матричной форме эта система запишется в виде АХ=В. Здесь

hello_html_5001a9d2.gifhello_html_171f9b9e.gifhello_html_m24d6fb85.gif, hello_html_5d127e46.gif, hello_html_27a621e1.gif. Матрица hello_html_m6b5aac9e.gif hello_html_m5dbec842.gif hello_html_26cbe87f.gif hello_html_2a71674c.gif

Используя определение равенства матриц, получаем x = 4, y = 3, z = 5. Ответ: x = 4, y = 3, z = 5.


Задачи самостоятельной работы № 1

Задача 1. Решите систему уравнений методом Гаусса:

hello_html_m2a063dc7.gif

Задача 2. Решите систему уравнений с помощью матриц:

hello_html_21db763c.gif


Требования к оформлению самостоятельной работы

Решение систем выполняется в рабочей тетради для внеаудиторных самостоятельных работ.


Критерии оценки

Оценивание индивидуальных образовательных достижений по результатам выполнения работы производится в соответствии с универсальной шкалой.


Универсальная шкала оценки



Процент результативности

(правильных действий, ответов)


Оценка индивидуальных образовательных достижений

90 – 100



«5»

80-89


«4»

70-79

«3»

менее 70

«2»




Учебно-методическое и информационное обеспечение

Основные источники:

  1. И.Д. Пехлецкий Математика – М.: «Академия», 2005 – 299 с.

  2. А.А. Дадаян Сборник задач по математике. – М.: Инфра – М, 2007 – 352с.

Дополнительные источники:

  1. И.И. Баврин Высшая математика – М.: «Академия», 2002 - 611 с.

Интернет-ресурсы:

  1. http://num-meth.srcc.msu.su/.

  2. http://www.mathedu.ru/

  3. EqWorld: http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library.htm

Автор
Дата добавления 31.03.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров209
Номер материала ДВ-571222
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх