1249906
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 5.520 руб.;
- курсы повышения квалификации от 1.200 руб.
Престижные документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ ДО 70%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО сейчас!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности № 5201 выдана ООО "Инфоурок")

ИнфоурокМатематикаДругие методич. материалыВнеаудиторная самостоятельная работа по математике на тему "Решение систем линейных уравнений"

Внеаудиторная самостоятельная работа по математике на тему "Решение систем линейных уравнений"

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.

Внеаудиторная самостоятельная работа по математике

для групп СПО базового уровня подготовки на тему:

решение систем линейных уравнений методом Гаусса;

решение систем линейных уравнений с помощью матриц.


Цель работы: развитие умений решения систем линейных уравнений методом Гаусса; решения систем линейных уравнений с помощью матриц;


Основной теоретический материал

Метод Гаусса. Из первого уравнения системы выражаем одну переменную через остальные. Это всегда возможно, если в левой части уравнения есть хотя бы один член с коэффициентом, отличным от нуля. Если такового нет, то возникает либо противоречие при условии hello_html_m56dcc0b8.gif, и, значит, система решений не имеет, либо тождественное равенство 0 = 0, которое можно исключить из рассмотрения.

Подставляем эту переменную во все остальные равенства, которые образуют линейную систему с меньшим числом переменных. Для этой системы повторяем описанную выше процедуру, и так далее, сокращая на каждом шаге число рассматриваемых переменных.

Ясно, что на каком-то шаге может возникнуть противоречивое равенство. Тогда делаем вывод: исходная система решений не имеет.

Может случиться, что на последнем шаге возникнет равенство вида hello_html_m2fe76181.gifгде hello_html_m6b07bb26.gifа hello_html_m66521c76.gifкакая-то из переменных. Из него можно найти единственное значение hello_html_m707ea9f0.gif. Из равенства, возникшего на предпоследнем шаге, находится единственное значение ещё одной переменной, и так далее находятся единственные значения всех переменных. В этом случае исходная система имеет единственное решение.

Наконец, возможен случай, когда на последнем шаге возникло линейное уравнение, в котором есть несколько переменных с коэффициентами, отличными от нуля. Одну из этих переменных можно выразить через остальные (их называют свободными). Придавая последним любые фиксированные значения, мы можем повторить описанную выше процедуру нахождения значений остальных переменных. Ясно, что у такой системы бесконечно много решений, любое число которых может быть найдено путем фиксирования произвольных конкретных значений свободных переменных.

Матричная запись и матричное решение системы уравнений первой степени Покажем, каким образом мы можем использовать матричный аппарат для решения систем линейных уравнений.

Пусть дана система из n линейных уравнений с n неизвестными hello_html_m5ac093be.gif

hello_html_m65e4aeb4.gif(1)


Числа hello_html_m44e4ab45.gifназываются коэффициентами системы (1), а числа hello_html_63aed197.gifсвободными членами. Система линейных уравнений(1) называется однородной, если hello_html_371fd0bc.gif

Матрица


А=hello_html_m27bab9d8.gifhello_html_4fa2b986.gifhello_html_m350bd580.gifhello_html_m27bab9d8.gifhello_html_m4554fcb9.gifhello_html_m27bab9d8.gifhello_html_m27bab9d8.gifhello_html_m7583340a.gif


Называется матрицей системы (1), а ее определитель hello_html_272e7414.gif определителем системы (1).

Решением системы (1) называется совокупность чисел hello_html_5c453d94.gif, которые обращают все уравнения системы в тождества.

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Система, не имеющая решений, называется несовместной.

Пусть определитель системы (1) отличен от нуля.

Обозначив матрицу–столбец из неизвестных через Х и матрицу-столбец из свободных членов через В: hello_html_mb78ff1c.gif hello_html_61539b2b.gif.

Согласно правилу умножения матриц имеем

hello_html_m53b39a45.gif.

Используя определение равенства матриц, данную систему (1) можно записать следующим образом:

АХ=В (2)

Равенство (2) называется матричным уравнением (здесь в роли неизвестного выступает матрица Х). Так как по условию hello_html_m57986509.gif, то для матрицы А существует обратная матрица hello_html_ma3e0f7.gif. Умножим обе части уравнения (2) слева наhello_html_ma3e0f7.gif: hello_html_ma3e0f7.gif(АХ) = hello_html_ma3e0f7.gifВ.

Используя сочетательный закон умножения матриц можно записать

(hello_html_ma3e0f7.gifА)Х =hello_html_ma3e0f7.gifВ. Так как hello_html_ma3e0f7.gifА=Е и ЕХ=Х, то получаем решение матричного уравнения в виде Х =hello_html_ma3e0f7.gifВ.

Решение типовых задач

Задача 1. Решите систему уравнений методом Гаусса:

hello_html_6d2a11eb.gifhello_html_m27bab9d8.gif

Решение. Подставляя выражение х через остальные переменные во второе и третье уравнения, записываем систему в видеhello_html_m27bab9d8.gifhello_html_20fa46fc.gif

Находим у из второго уравнения и подставляем в третье:

hello_html_3fee8f3d.gif

Т.е. hello_html_409c6427.gif и тогда (из второго уравнения) у=0 и, наконец (из первого уравнения): х = 1. Система имеет единственное решение.

Ответ: (1; 0; -2).

Задача 2. Решите систему уравнений с помощью матриц:

hello_html_1334054f.gif

Решение: В матричной форме эта система запишется в виде АХ=В. Здесь

hello_html_5001a9d2.gifhello_html_171f9b9e.gifhello_html_m24d6fb85.gif, hello_html_5d127e46.gif, hello_html_27a621e1.gif. Матрица hello_html_m6b5aac9e.gif hello_html_m5dbec842.gif hello_html_26cbe87f.gif hello_html_2a71674c.gif

Используя определение равенства матриц, получаем x = 4, y = 3, z = 5. Ответ: x = 4, y = 3, z = 5.


Задачи самостоятельной работы № 1

Задача 1. Решите систему уравнений методом Гаусса:

hello_html_m2a063dc7.gif

Задача 2. Решите систему уравнений с помощью матриц:

hello_html_21db763c.gif


Требования к оформлению самостоятельной работы

Решение систем выполняется в рабочей тетради для внеаудиторных самостоятельных работ.


Критерии оценки

Оценивание индивидуальных образовательных достижений по результатам выполнения работы производится в соответствии с универсальной шкалой.


Универсальная шкала оценки



Процент результативности

(правильных действий, ответов)


Оценка индивидуальных образовательных достижений

90 – 100



«5»

80-89


«4»

70-79

«3»

менее 70

«2»




Учебно-методическое и информационное обеспечение

Основные источники:

  1. И.Д. Пехлецкий Математика – М.: «Академия», 2005 – 299 с.

  2. А.А. Дадаян Сборник задач по математике. – М.: Инфра – М, 2007 – 352с.

Дополнительные источники:

  1. И.И. Баврин Высшая математика – М.: «Академия», 2002 - 611 с.

Интернет-ресурсы:

  1. http://num-meth.srcc.msu.su/.

  2. http://www.mathedu.ru/

  3. EqWorld: http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library.htm

Общая информация

Номер материала: ДВ-571222

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Благодарность за вклад в развитие крупнейшей онлайн-библиотеки методических разработок для учителей

Опубликуйте минимум 3 материала, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную благодарность

Сертификат о создании сайта

Добавьте минимум пять материалов, чтобы получить сертификат о создании сайта

Грамота за использование ИКТ в работе педагога

Опубликуйте минимум 10 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Свидетельство о представлении обобщённого педагогического опыта на Всероссийском уровне

Опубликуйте минимум 15 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данное cвидетельство

Грамота за высокий профессионализм, проявленный в процессе создания и развития собственного учительского сайта в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 20 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Грамота за активное участие в работе над повышением качества образования совместно с проектом "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 25 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Почётная грамота за научно-просветительскую и образовательную деятельность в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 40 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную почётную грамоту

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.