Внеаудиторная самостоятельная работа по теме: "Вычисление пределов функций, используя таблицу эквивалентности бесконечно малых, первый и второй замечательные предел"

Предпросмотр материала:

Самостоятельная работа по математике

для студентов 2 курса групп СПО

Раздел 1. Математический анализ

Тема 1.1. Вычисление пределов функций, используя таблицу эквивалентности бесконечно малых, первый и второй замечательные предел.

Цель: проверить умение студентов самостоятельно работать с литературой и применять полученные знания.

Теоретическая часть

Две бесконечно малые величины и называются эквивалентными (равносильными) при , если .

В этом случае пишут, что ~ .

Если при , то

· ~; ~; ~; ~;

· ~; ~;

· ~; ~; ~;

· ~;

· следствие: .

Теорема: Пусть при бесконечно малая величина эквивалентна бесконечно малой величине , а бесконечно малая величина эквивалентна бесконечно малой величине . Тогда (если они существуют).

Таким образом, при вычислении пределов бесконечно малые величины при функции можно заменять эквивалентными им.

Теорема (первый замечательный предел): Рассмотрим функцию . Эта функция в точке не определена, тем не менее ее предел при существует, причем .

Следствия из теоремы:

; ; ; ;

; ; ;

; .

Теорема (второй замечательный предел): Выражение , где - натуральное число, стремится к вполне определенному пределу, когда число . Этот предел большее 2 и меньше 3. То есть можно утверждать .

Следствия из теоремы:

; .

Примеры:

Решение: == =

(воспользовались эквивалентностью ~). Ответ: 0.

Решение: ====

(воспользовались эквивалентностью ~). Ответ: .

Решение: = (введем замену: ; при )

= ====

(воспользовались эквивалентностью ~). Ответ: .

Решение: = (введем замену: при )

======

=====;

(воспользовались эквивалентностью ~; ~;). Ответ: .

Решение: = (введем при )

====

=====

===;

(воспользовались эквивалентностью ~; ~;).

Ответ: .

Решение: = (воспользуемся вторым замечательным пределом,

выполним необходимые преобразования - в скобках выполним деление)

====

Ответ: .

Решение: = (воспользуемся вторым замечательным пределом,

выполним необходимые преобразования – распишем предел частного, как частное пределов и решим получившиеся пределы отдельно друг от друга)

== (найдем отдельно предел числителя и предел знаменателя)

числитель: = (выделим в скобках единицу, необходимую для второго

замечательного предела: разделим каждое слагаемое на 3),

===== (второе слагаемое представим в виде обратной дроби и введем ), тогда

===;

знаменатель: == (рассуждения аналогичные, как и в решении предела числителя только здесь введем ), тогда ===, таким образом, возвращаясь к общему решению, имеем: ==.

Ответ: .

Задания для самостоятельной работы:

Вычислите пределы функций, используя таблицу эквивалентных бесконечно малых, первый и второй замечательные пределы:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. ; 9. ;

10. ; 11. ; 12. ;

13. ; 14. ; 15. ;

16. ; 17. ; 18. ;

19. ; 20. .

Критерий оценки:

Оценка «отлично» ставится при выполнении любых 12-15 примеров, «хорошо» - при выполнении 10 любых примеров, при решении 6-9 примеров выставляется оценки «удовлетворительно», при решении менее 6 примеров оценка студенту не выставляется.

Используемая литература:

В.М.Говорова, Н.В.Мирошина, «Математика» сборник задач с решениями для поступающих в вузы, Москва, «Издательство Астрель», 2010 год;

Ответы:

1.	;	8.	;	15.	;
2.	;	9.	;	16.	;
3.	;	10.	;	17.	;
4.	;	11.	;	18.	;
5.	;	12.	;	19.	;
6.	;	13.	;	20.	.
7.	;	14.

Внеаудиторная самостоятельная работа по теме: "Вычисление пределов функций, используя таблицу эквивалентности бесконечно малых, первый и второй замечательные предел"

Алгебра

11 класс

Другие методич. материалы

DOCX

02.03.2019

2909

Алгебра

11 класс

Другие методич. материалы

Файл будет скачан в формате:

DOCX

Автор материала

Карпова Людмила Николаевна

преподаватель математики

На сайте: 8 лет и 6 месяцев
Всего просмотров: 7428
Подписчики: 1
Всего материалов: 8

7428
просмотров
8
материалов
1
подписчиков

Настоящий материал опубликован пользователем Карпова Людмила Николаевна.
Инфоурок является информационным посредником. Всю ответственность за опубликованные материалы несут пользователи, загрузившие материал на сайт. Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете на материал.