Внеаудиторные самостоятельные работы по разделу «ПОВТОРЕНИЕ» дисциплины «МАТЕМАТИКА» и методические указания к ним

ГБПОУ «Сахалинский строительный техникум»

Внеаудиторные самостоятельные работы по разделу «ПОВТОРЕНИЕ» дисциплины «МАТЕМАТИКА»

и методические указания к ним.

Внеаудиторные самостоятельные работы по математике по разделу «Повторение» и методические указания по их выполнению для студентов

1 курса.

ГБПОУ «Сахалинский строительный техникум» - 2015 г.

Составитель:

Казанцева Н. А. , преподаватель математики

Учебное пособие содержит внеаудиторные самостоятельные работы по математике по разделу «Повторение» и указания по их выполнению. Методические указания составлены в соответствии с рабочей программой по математике и предназначены для студентов 1-го курса Сахалинского строительного техникума, обучающихся по программам общего образования.

Пояснительная записка

Самостоятельная работа квалифицируется как форма организации учебного процесса, как объективное условие формирования познавательной, исполнительской, творческой активности и самостоятельности студентов при обучении. Самостоятельная работа студентов формирует готовность к самообразованию, создает базу непрерывного образования, возможность постоянно повышать свою квалификацию, а если нужно – переучиваться, быть сознательным и активным студентом.

Говоря о значении самообразования в формировании профессиональной компетентности будущих специалистов, необходимо подчеркнуть, что никакое воздействие извне, никакие инструкции, наставления, приказы, убеждения, наказания не заменят и не сравнятся по эффективности с самостоятельной деятельностью. Можно с уверенностью утверждать, что какие бы квалифицированные преподаватели ни осуществляли образовательный процесс, основную работу, связанную с овладением знаниями, студенты должны проделать самостоятельно. В более полном и точном смысле внеаудиторная самостоятельная работа — это деятельность студентов по усвоению знаний и умений, протекающая без непосредственного участия преподавателя, хотя и направляемая им.

Для внеаудиторного изучения предлагаются вопросы по темам, основной материал которых рассмотрен на аудиторных занятиях, индивидуальные задания призваны расширить кругозор студентов, углубить их знания, развить умения исследовательской деятельности, проявить элементы творчества. Современный поток информации требует от студентов новых видов умений и навыков работы с ней, которые необходимо сформировать к началу профессиональной деятельности.

В данном сборнике для внеаудиторного изучения предлагаются вопросы по разделу «Повторение».

Ежегодно студенты 1 курса техникума после прохождения входного контроля показывают низкие результаты качества знаний по дисциплине математика. Обычно выявляются следующие пробелы за курс основной школы:

• при решении примеров на действия с обыкновенными и десятичными дробями;

• при решении линейных уравнений и неравенств;

• при решении примеров на тождественные преобразования;

• при решении квадратных уравнений и неравенств;

• при решении систем уравнений и неравенств и другое.

Учитывая данное обстоятельство, невозможно приступить к изучению курса «МАТЕМАТИКА» 10 класса без коррекции знаний за курс основной школы.

Поэтому первым разделом тематического плана рабочей программы по математике выделен раздел «Повторение», целью которого является ликвидация пробелов в знаниях за курс основной школы.

В связи с тем, что вопросы раздела «Повторение» важны для студентов, а количество учебного времени ограничено учебным планом, предлагается внеаудиторная самостоятельная работа по разделу «Повторение».

Введение

Методические указания по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы по естественно - научной дисциплине Математика предназначены для студентов, обучающихся по программам общего образования.

Объем самостоятельной работы студентов определяется государственным образовательным стандартом среднего профессионального образования (ФГОС СПО) обучающихся по программам общего образования.

Выполнение внеаудиторной самостоятельной работы является обязательной для каждого студента, её объём в часах определяется действующим рабочим учебным планом Сахалинского строительного техникума.

Самостоятельная внеаудиторная работа по математике проводится с целью:

- систематизации и закрепления полученных теоретических знаний студентов;

- углубления и расширения теоретических знаний;

- развития познавательных способностей и активности студентов, самостоятельности, ответственности и организованности;

- формирования самостоятельности мышления, способностей к саморазвитию, самосовершенствованию и самореализации.

Внеаудиторная самостоятельная работа выполняется студентом по заданию преподавателя, но без его непосредственного участия. По математике используются следующие виды заданий для внеаудиторной самостоятельной работы:

для овладения знаниями: чтение текста (учебника, дополнительной литературы), работа со словарями и справочниками, учебно-исследовательская работа, использование аудио- и видеозаписей, компьютерной техники и Интернета;

- для закрепления и систематизации знаний: повторная работа над учебным материалом (учебника, дополнительной литературы, аудио- и видеозаписей), составление плана и алгоритма решения, составление таблиц для систематизации учебного материала, ответы на контрольные вопросы, подготовка сообщений к выступлению на уроке, конференции, подготовка сообщений, докладов, рефератов, тематических кроссвордов;

- для формирования умений: выполнение схем, анализ карт, подготовка к деловым играм.

Тематическое планирование

внеаудиторной самостоятельной работы (ВСР)

по разделу «Повторение»

ВСР

тема

Кол-во часов

1

Разложение на простые множители.

Действия с обыкновенными дробями

3

2

Решение линейных уравнений.

1

3

Решение линейных неравенств.

1

4

Решение квадратных уравнений.

2

5

Решение квадратных неравенств.

1

6

Тождественные преобразования выражений.

1

7

Решение систем уравнений.

1

8

Решение систем неравенств.

1

Всего по разделу «Повторение»

11

Перед выполнением внеаудиторной самостоятельной работы студент должен внимательно выслушать инструктаж преподавателя по выполнению задания, который включает определение цели задания, его содержание, сроки выполнения, ориентировочный объем работы, основные требования к результатам работы, критерии оценки. В процессе инструктажа преподаватель предупреждает студентов о возможных типичных ошибках, встречающихся при выполнении задания.

В качестве форм и методов контроля внеаудиторной самостоятельной работы студентов используются аудиторные занятия, зачеты, тестирование, самоотчеты, контрольные работы.

Критериями оценки результатов внеаудиторной самостоятельной работы студента являются:

- уровень освоения студентом учебного материала;

- умение студента использовать теоретические знания при выполнении практических задач;

- сформированностьобщеучебных умений;

- обоснованность и четкость изложения ответа;

- оформление материала в соответствии с требованиями.

В методических указаниях приведены теоретический (справочный) материал в соответствии с темой работы, обращение к которому поможет выполнить задания самостоятельной работы; вопросы для самоконтроля, подготавливающие к выполнению заданий и сами задания.

Внеаудиторная самостоятельная работа № 1

Тема: Простые числа. Разложение на простые множители

Просто́е число́ — это натуральное (целое положительное) число, имеющее ровно два различных натуральных делителя. Другими словами, число p простое, если оно больше 1 и делится только на 1 и на p.

Натуральные числа больше единицы, и не являющиеся простыми, называются составными.

Таким образом, все натуральные числа разбиваются на три класса: единицу (имеющую один делитель), простые числа (имеющие два делителя) и составные числа (имеющие больше двух делителей).

Разложение на простые множители.

Всякое составное число может быть единственным образом представлено в виде произведения простых множителей.

Пример 1:  а) 48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3= ∙ 3, 

б) 225 = 3 · 3 · 5 · 5 = ,   в) 1050 = 2 · 3 · 5 · 5 · 7 = 2∙3∙∙7.

Для небольших чисел это разложение легко делается на основе таблицы умножения. Для больших чисел рекомендуем пользоваться следующим способом, который рассмотрим на конкретном примере. Разложим на простые множители число 1463. Для этого воспользуемся таблицей простых чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,  41, 43,

47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,

103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,

157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.

 Перебираем числа по этой таблице и останавливаемся на том числе, которое является делителем данного числа. В нашем примере это 7. Делим 1463 на 7 и получаем 209. Теперь повторяем процесс перебора простых чисел для 209 и останавливаемся на числе 11, которое является его делителем. Делим 209 на 11 и получаем 19, которое в соответствии с этой же таблицей является простым числом. Таким образом, имеем: 1463 = 7 ∙ 11 ∙ 19, т.е. простыми делителями числа 1463  являются 7, 11 и 19. Описанный процесс можно записать следующим образом:

Делимое

Делитель

1463

7

209

11

19

19

1

Тема: Действия с обыкновенными дробями.

Расширение дроби. Значение дроби не меняется, если умножить её числитель и знаменатель на одно и то же число, отличное от нуля. Это преобразование называется расширением дроби.

Пример 2: 

Сокращение дроби. Значение дроби не меняется, если разделить её числитель и знаменатель на одно и то же число, отличное от нуля. Это преобразование называется сокращением дроби.

Пример 3:

Сравнение дробей. Из двух дробей с одинаковыми числителями та больше, знаменатель которой меньше.

Пример 4: 

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями та больше, числитель которой больше.

Пример 5: 

Для сравнения дробей, у которых числители и знаменатели различны, необходимо расширить их, чтобы привести к общему знаменателю.

Пример 6:   Сравнить две дроби:

Расширим первую дробь на знаменатель второй, а вторую - на знаменатель первой:

Использованное здесь преобразование называется приведением дробей к общему знаменателю.

Сложение и вычитание дробей. Если знаменатели дробей одинаковы, то для того, чтобы сложить дроби, надо сложить их числители, а для того, чтобы вычесть дроби, надо вычесть их числители (в том же порядке). Полученная сумма или разность будет числителем результата; знаменатель останется тем же.

Если знаменатели дробей различны, необходимо сначала привести дроби к общему знаменателю. При сложении смешанных чисел их целые и дробные части складываются отдельно. При вычитании смешанных чисел мы рекомендуем сначала преобразовать их к виду неправильных дробей, затем вычесть из одной другую, а после этого вновь привести результат, если требуется, к виду смешанного числа.

Пример 7: 

 

Умножение дробей. Умножить некоторое число на дробь означает умножить его на числитель и разделить произведение на знаменатель. Следовательно, мы имеем общее правило умножения дробей: для перемножения дробей необходимо перемножить отдельно их числители и знаменатели и разделить первое произведение на второе.

Пример 8:  

Деление дробей. Для того, чтобы разделить некоторое число на дробь, необходимо умножить это число на обратную дробь. Это правило вытекает из определения деления

Пример 9:

Пример 10:  Вычислить.

Данный пример представляет разность между обыкновенной и десятичной дробями. Возможны два способа решения.

1 способ: Запишем десятичной дробью. = 0,5 , тогда пример перепишем в десятичных дробях: 0,5 = 0,125.

2 способ: Запишем обыкновенной дробью.

= = = , тогда пример перепишем в обыкновенных дробях : = = ,

обыкновенную дробь запишем десятичной, получим = 0,125.

Пример 11:  Вычислить

Выполним действия:

1. 5 – 2 = 5+ 3 ;

2. 3 : = ∙ = ∙ = 2∙7 =14

Задания для самостоятельной работы:

№1. Разложить число на простые множители:

а) 192; б) 28800

№2. Вычислить:

3. Вычислить:

а) (1(15:3 −10,5:1)+1)∙ ;

б) 3(1)∙ − ;

в) 0,9∙(3:2,25 − (1)) − : 0,8 ;

г) 2,5 : ( 0,75 ∙) ;

д) 4 ∙(2 + 1) – (6 + 4 ):2 ;

е) (4 ∙ ) ∙2 ;

ж)

з)

№ 4.Найти значение выражения:

а) ;

б) ;

в) (1,4 – 3,5 :1):2,4 + 3,4 : 2 ;

г) ;

г)1,58∙1,65+ + ;

д) ;

е) ∙18 ;

ж) .

Внеаудиторная самостоятельная работа № 2

Тема: Решение линейных уравнений.

Уравнением называется равенство, содержащее переменную х.

Линейное уравнение с одной переменной – уравнение вида:

ax+b = 0, где aи b– некоторые постоянные, а  x – неизвестная величина.

Решить уравнение – значит найти численное значение неизвестного  x , при котором это уравнение обращается в тождество. Решить уравнение – значит найти чему равно х (корень уравнения). Относительно знака равно в уравнении выделяют две части, которые соответственно называют: левая и правая.

Равенство не нарушится, если к обеим его частям прибавить или отнять одно и то же число.

Любое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком (или при переносе выражения или числа из одной части уравнения в другую знак выражения или числа меняют на противоположный).

Если обе части уравнения умножить (или разделить) на одно и то же число, отличное от нуля, то получим уравнение, равносильное данному.

левая часть

правая часть

ax + b

ax

x

=

=

=

0

− b/:a

−

Пример 1:  Решить уравнение:6x = 7.

Решение:

левая часть

правая часть

6x

x

=

=

7 /: 6 , (разделим обе части уравнения на 6)

Ответ: х = = 1

Пример 2:  Решить уравнение:5x+4 = 0.

Решение:

левая часть

правая часть

5x + 4

5x

x

=

=

=

0

− 4 /: 5

−

Ответ: х = − .

Пример 3:  Решить уравнение: 11x+5 = 5x-12

Решение: Соберем выражения содержащие переменную х в левой части уравнения, а числа – в правой части уравнения, при переносе выражения из одной части уравнения в другую поменяем знак выражения на противоположный.

левая часть

правая часть

11x+5 11х- 5x

6x

х

=

=

=

=

5x-12

-5-12

− 17/:6

−

х

=

-2

Ответ: х = − 2

Пример 4:  Решить уравнение: 1− (x+7) = 9.

Решение: Раскроем скобки: т.к. перед скобками стоит знак минус, знаки выражений в скобках поменяются на противоположные.

левая часть

правая часть

1− (x+7) 1−х−7

−x − 6

−х

=

=

=

=

9

9

9

6+9

−х

х

=

=

15/:(−1)

−15

Ответ: х = − 15

Пример 5:  Решить уравнение: 8х − (x−1) = 5+7х.

Решение:

левая часть

правая часть

8х − (x−1) 8х – х+1

7x +1

7x −7х

=

=

=

=

5+7х

5+7х

5+7х

5−1

0х

=

4

Ответ: нет решений.

Пример 6:  Решить уравнение: 7х +4 (x−2) = 5(х+3)+7х.

Решение: В начале решения раскроем скобки в левой и правой частях уравнения:

левая часть

правая часть

7х +4 (x−2)

7х+4х−8

11x −8

11x −12х

=

=

=

=

5(х+3)+7х.

5х+ 15+7х

12х+15

15+8

−х

х

=

=

23/:(−1)

−23

Ответ: х = − 23

Пример 7:  Решить уравнение: = .

Решение: Уравнение записано в виде пропорции. Раскроем пропорцию по правилу: произведение крайних членов равно произведению средних членов, т.е. 2(1+х) = 8(4−3х). Далее решим уравнение:

левая часть

правая часть

2(1+х)

2+2х

24x +2х

26 х

=

=

=

=

8(4−3х)

32−24х

32−2

30/:26

х

=

= ==1

Ответ: х = 1

Задания для самостоятельной работы:

Решить уравнения:

28− х =9

5

х = 10

6

х – 6 = 0

7

7х +1 = 0

8

7 – 15 х = 10

9

5х −26 = 6х

10

9х −2 = 3+4 х

11

6(х + 4) = 3−2х

12

3(х + 3) +х = 9+4х

13

(3х−6)−(х−12)=30

14

9х − (10х − 5) = 4

15

4(х + 8) – 7(х - 1)= 12

16

8− (3х+1) = 3+2(6−4х)

17

2 (х + 6) = Зх− 8

18

= 2

19

=2

20

=

21

– =3

22

+ 2 =

23

– =3

24

+ =−

25

+ =−

26

+ =

Внеаудиторная самостоятельная работа № 3

Тема: Решение линейных неравенств.

Неравенство это выражение содержащее переменную и знаки <, >, ≤, или ≥. По знаку неравенства делятся на виды:

Вид неравенства

Знак неравенства

Точка на числовой прямой

Скобки при описании

строгие

< >

ᵒ

( )

нестрогие

≤ ≥

•

[ ]

Линейными неравенствами называются неравенства первого уровня (х = х¹).

Например, выражение 3x - 5 < 6 - 2x является линейным неравенством.

Решить неравенство означает найти все значения переменных, при которых это неравенство верно. Каждое из этих чисел является решением неравенства, а множество всех таких решений является его множеством решений неравенства. При записи ответа по окончании решения неравенства используют числовые промежутки, например,

хϵ (-∞ ; 0,3] или множество решений, например {x< 0,3}.

Неравенства, которые имеют одинаковое множество решений, называютсяэквивалентными неравенствами.

Правила решения неравенств аналогичны правилам решения уравнений.
Относительно знака неравенства в неравенстве выделяют две части, которые соответственно называют: левая и правая.

Неравенство не нарушится, если к обеим его частям прибавить или отнять одно и то же число.

Любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком (или при переносе выражения или числа из одной части неравенства в другую знак выражения или числа меняют на противоположный).

Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одно и то же число, отличное от нуля, то получим неравенство, равносильное данному.

При умножении обоих частей неравенства на отрицательное число, необходимо изменить знак неравенства на противоположный.
Пример 1:Решить неравенство: х+3 > 5х-5

Решение: Решаем точно так же, как и линейное уравнение. С единственным отличием:Внимательно следим за знаком неравенства!

Первый шаг самый обычный. С иксами - влево, без иксов - вправо... Это первое тождественное преобразование, простое и безотказное. Только знаки у переносимых членов не забываем менять. Знак неравенства сохраняется:

х-5х > -5-3

Приводим подобные. Знак неравенства сохраняется:

−4х > −8

Осталось применить последнее тождественное преобразование: разделить обе части на −4. Делим на отрицательное число. Знак неравенства изменится на противоположный:

х < 2

Построим числовую прямую (− ∞; +∞), отметим число 2 не закрашенной точкой (строгое неравенство), выделим числовой промежуток меньший 2, запишем ответ хϵ (− ∞ ;2).

- ∞ 2 +∞

Ответ: хϵ (− ∞ ; 2).

Пример 2: Решить неравенство: 3х-5 < 6-2х

Решение:                    

левая часть

правая часть

3x - 5

3х+2х

5x

х

<

<

<

<

6 - 2x

6+5

11 /:5

Ответ: хϵ (− ∞;2 ).

Пример 3:  Решить неравенство: 6−2 (x+1) ≤ 9х.

Решение:

левая часть правая часть

6−2 (x+1) ≤9х

6−2x −2 ≤9х

−2x−9х ≤ 2 −6

− 11х ≤ −4 /:(−11)

х ≥

Ответ: х ϵ [ ; +∞).

Пример 4:  Решить неравенство:<

Решение: Приведем дроби к общему знаменателю. Получим:

</∙40 ( умножим обе части уравнения на 40 )

5−15х < 6 – 10х

−15х+ 10х < 6 – 5

−5х < 1/:(−5)

х > −0,2

Ответ: х ϵ ( − 0,2 ; +∞).

Двойные неравенства.

Неравенство вида -3 < 2x + 5 ≤ 7называется двойным неравенством.

Пример 5. Решить неравенство: -3 < 2x + 5 ≤ 7.

Решение: Перенесем число 5 с противоположным знаком из средней части неравенства в крайние части: − 3−5 < 2x ≤ 7−5.

Получим, − 8 < 2x ≤ 2.

Разделим все части неравенства (левую, среднюю и правую) на 2, получим, − 4 < x ≤ 1 , откуда хϵ (− 4 ; 1].

Ответ: хϵ (− 4 ; 1].

Задания для самостоятельной работы:

Решить неравенства:

8− х ≤ 10

5

х < 14

6

х – 2 = 0

7

3 − 7 х ≤ 12

8

2х − 3≥ 6х

9

8х −2>6х

10

9х +1≥ 5+4 х

11

7(х + 2) < 3−4х

12

5(х − 3) +2х ≥ 6−2х

13

(11х+6)−(х−1) ≤ 14

14

3х − (15х − 5) > 3

15

7(х + 4) – 2(х + 1)≥31

16

− (3х+1) ≤ 5−2(6−2х)

17

5(3−х) >12+Зх

18

>2,2

19

≤ 4

20

<

21

+<4

22

≥ −

23

−7 ≤ 4x + 5 < 15

24

-2 < 0,5x −6 ≤ 10

Внеаудиторная самостоятельная работа № 4

Тема: Решение квадратных уравнений.

Квадратным уравнением называется уравнение вида

, гдеx - переменная,a,b,c - постоянные (числовые) коэффициенты.

О корнях квадратного уравнения можно судить по знаку дискриминанта D:

• D>0 , уравнение имеет 2 корня:

• D=0 , уравнение имеет корень:

• D<0, уравнение корней не имеет.

Пример 1. Решить уравнение  2x²+ 3x −5 = 0 . 

Решение: Определим числовые коэффициенты уравнения: а=2,b=3,c= −5. Тогда

D= == 9+40 = 49.

Вычислим корни уравнения: ;

х₁= 1;    х₂= −.   

Ответ: х₁= 1;    х₂= −2,5.

Если b=0 или c=0 , то уравнение называется квадратным неполным и имеет особое решение.

Пример 2. Решить уравнение 3x²+ 9x = 0 . 

Решение: Вынесем в левой части уравнения общий множитель за скобки 3х∙(х+3) = 0.

Произведение будет равно нулю, тогда когда каждый из множителей будет равен нулю:

Ответ: х₁= 0;    х₂= −3.   

Пример 3. Решить уравнение  x²−36 = 0 . 

Решение: Перенесем −36 в правую часть с противоположным знаком, получим x²=36, тогда = = 6.

Ответ: х₁= 6;    х₂= − 6.   

Если коэффициент при х четный, то имеет смысл вычислять не дискриминант, а четверть дискриминанта:= .

  В таком случае корни уравнения вычисляются по формуле:       .   

Пример 4. Решить уравнение  x²+ 5x + 6 = 0 . 

Здесь  a =1, b = 5,  c = 6.  Тогда имеем:

х_1,2 = ,      отсюда     

х₁= + == −2 ;    х₂= − == −3.   

Ответ: х₁= −2;    х₂= −3.   

Теорема Виета.

Приведенным квадратным уравнением называется уравнение с единичным коэффициентом при старшем члене (a=1), вида

. В этом случае целесообразно применять теорему Виета, которая позволяет получить относительно корней уравнения следующую систему уравнений:

 .

Следует заметить, что любое квадратное уравнение может стать приведенным, если его поделить на коэффициент при старшем члене, то есть при х².

Пример 5:  Решить уравнение  x²+ 3x − 4 = 0 . 

Решение: Здесь  = 3,  = −4.  Тогда по теореме Виета имеемсистему уравнений:

х₁+ х₂= −3

х₁∙ х₂= − 4

Путем несложных устных вычислений, получим х₁= 1; х₂= − 4.   

Ответ: х₁= 1;    х₂= − 4.   

Задания для самостоятельной работы:

Решить уравнение:

6 х² - 7х +1 = 0

5

1– 6х + 9х² = 0

6

1– 6х + 9х² = 0

7

х²– 10х – 24 = 0

8

4х² + 3х – 1 = 0

9

(3х+1)∙(6-4х) = 0

10

-12 + х²= 0

11

16х^{2 –} 25 = 0

12

-х²+ 18 = 0

13

9х²  – 16 = 0

14

2х² + х = 0

15

5х² + х = 0

16

х²– 5х + 4 = 0

17

х²+ 8х – 9 = 0

18

4х² – 3х – 1 = 0

19

х²+ 5х + 4 = 0

20

х²– 8х – 9 = 0

21

(6х−9)∙(3−2х) = 0

22

(8−4х)∙(3− 12х) = 0

23

9х² +12х −8 = 4х² +36 х −24

24

10х² + 2х +34 = 4х² − х +79

25

(х−6)²= (х−3)²

26

(х−9)²= (х+4)²

Внеаудиторная самостоятельная работа № 5

Тема: Решение квадратных неравенств.

Квадратным неравенством называется неравенство вида

, где x - переменная, a , b, c - постоянные (числовые) коэффициенты (знак неравенства может использоваться любой из <, >, ≤ или ≥ ).

Пример 1:  Решить неравенство:  2x²+ 3x −5 <0 . 

Решение: Приравняем левую часть неравенства к нулю, решим квадратное уравнение

2x²+ 3x −5 = 0 .

 Определим числовые коэффициенты уравнения: а=2,b=3,c= −5. Тогда D= == 9+40 = 49.

Вычислим корни уравнения: ;

х₁= 1;    х₂= −.   

Построим числовую прямую (− ∞; +∞), отметим числа (корни решенного уравнения) 1 и −2,5 не закрашенными точками (строгое неравенство):

- ∞ ᵒ ᵒ +∞

−2,5 1

Данные точки разбили числовую прямую на три числовых промежутка (− ∞ ; −2,5) U (− 2,5 ; 1)U (1; + ∞ ).

Следующая задача − выбрать промежуток(и), который(ые) и будет(ут) являться решением неравенства.

Для этого определим знаки на промежутках, т.к>0, на первом крайнем промежутке ставим +, чередуя знаки далее, получим:

- ∞ ᵒ ᵒ +∞

−2,5 1

Неравенство 2x²+ 3x −5 <0 имеет знак <0, а меньше нуля располагаются числа отрицательные, следовательно выбираем промежуток со знаком минус. 

Ответ: хϵ (− 2,5;1).

Пример 2:  Решить неравенство:  25x²−30x + 9 >0 . 

Решение: Приравняем левую часть неравенства к нулю, решим квадратное уравнение 25x²−30x + 9 = 0 .

Определим числовые коэффициенты уравнения: а=25,b=−30,c= 9. Тогда D= == 0.

Вычислим корни уравнения: ;

х = .   

Построим числовую прямую (− ∞; +∞), отметим число (корень уравнения) и не закрашенной точкой (строгое неравенство):

- ∞ ᵒ +∞

Данная точка разбила числовую прямую на два числовых промежутка (− ∞; ) U (; + ∞ ).

Следующая задача − выбрать промежуток(и), который(ые) и будет(ут) являться решением неравенства.

Для этого определим знаки на промежутках, т.к>0, ветви параболы направлены вверх, следовательно, на обоих полученных промежутках ставим знаки + : + +

- ∞ ᵒ +∞

Неравенство 25x²−30x + 9 >0 имеет знак >0, а больше нуля располагаются числа положительные, следовательно выбираем промежутки со знаками плюс. 

Ответ: хϵ (− ∞; ) U ( ; + ∞).

Пример 3:  Решить неравенство:  −3x²+2x + 5 ≤0 . 

Решение: Приравняем левую часть неравенства к нулю, решим квадратное уравнение −3x²+2x + 5 = 0 .

Определим числовые коэффициенты уравнения: а=−3,b=2,

c= 5. Тогда D= ==64.

Вычислим корни уравнения: ;

х₁= −1;    х₂=  .   

Построим числовую прямую (− ∞; +∞), отметим числа (корни уравнения) −1 и закрашенными точками (нестрогое неравенство):

- ∞ • • +∞

−1

Данные точки разбили числовую прямую на три числовых промежутка (− ∞ ; −1) U (− 1 ; )U (; + ∞ ).

Следующая задача − выбрать промежуток(и), который(ые) и будет(ут) являться решением неравенства.

Для этого определим знаки на промежутках, т.к<0,ветви параболы направлены вниз, на первом крайнем промежутке ставим −, чередуя знаки далее, получим:

Неравенство −3x²+2x + 5 ≤ 0 имеет знак ≤ 0, а меньше нуля располагаются числа отрицательные, следовательно выбираем промежутки со знаком минус. 

Ответ: хϵ (− ∞; −1] U [1; + ∞).

Пример 4:  Решить неравенство:  2x²+4x + 3 <0 . 

Решение: Приравняем левую часть неравенства к нулю, решим квадратное уравнение. D= == −8 <0, следовательно уравнение 2x²+4x+ 3 = 0 не имеет решений. Числовой коэффициент>0, ветви параболы направлены вверх, следовательно, т.к. нет пересечений с ОХ парабола располагается выше оси ОХ. Неравенство 2x²+4x + 3 <0 имеет знак <0, а меньше нуля располагаются числа отрицательные, которые располагаются ниже оси ОХ. Получили, неравенство не имеет решений.

Ответ: нет решений.

Пример 5:  Решить неравенство:  х²− 9≥0.

Решение: Находим корни уравнения х²− 9=0: х₁=-3; х₂=3.

Отметим на координатной оси ОХ точки -3 и 3:

Неравенство х²− 9≥0 имеет знак ≥ 0, следовательно выбираем промежутки со знаком +.

Ответ: (-∞; -3) U (3;+∞).

Задания для самостоятельной работы:

Решить неравенства:

6 х² - 7х +1 ≤ 0

5

х²– 2х −3 < 0

6

х²+10х +24 < 0

7

х²– 3х −18 > 0

8

х²– 4х −45 > 0

9

х²+11х +24 ≤ 0

10

х²+5х −6≤ 0

11

х²+5х < 24

12

х²+5х < 36

13

х²– х ≥ 42

14

х²+2х < 63

15

х²– х > 6

16

х²+17х < −72

17

х²> −5х+14

18

х²> −4х+21

19

х²> 4х+5

20

х²> −х+48

21

х²– 7х < 6х −15−х²

22

х²– 21х < −10х −5−х²

23

х²– 12х < −5х+9 −х²

24

х²+15х< 0

25

х²– 25≥ 0

26

121 х²– 4≤ 0

27

3х² +11х + 5 <х²

28

9х² +14х −3< 4х²

29

2х² −12х −59 < −3х² −5х −25

30

9х² −3х +3 < −х²−7х +35

Внеаудиторная самостоятельная работа № 6

Тема: Тождественные преобразования выражений.

          Тождество — это равенство верное при любых допустимых значениях входящих в его состав переменных. 

Всякую замену одного выражения другим, тождественно равным ему, называют тождественным преобразованием выражения. 
Известными тождествами являются формулы сокращенного умножения: 

Разность квадратов двух переменных равна произведению разности и суммы этих переменных.

2

Квадрат суммы (разности) двух переменных равен сумме квадратов первой и второй переменных плюс(минус) их удвоенное произведение.

3

Сумма кубов двух переменных равна произведению суммы первой и второй переменной на неполный квадрат разности этих переменных.

4

Разность кубов двух переменных равна произведению разности первой и второй переменных на неполный квадрат суммы этих переменных.

5

Куб суммы (разности) двух переменных

Пример1: Представить в виде многочлена применив формулу сокращенного умножения:

а)=;

б)=;

в)=

Пример 2: Вычислить .

Решение: Разложим выражение в скобках по формуле разность квадратов и выполним простейшие вычисления: (432−568)∙(432+568):1000= =−136∙1000:1000= −136.

Пример 3: Вычислить:

= = = = =∙3∙3∙10 =4∙9∙10=360.

Пример 4: Решить уравнение: 2х²+3х+37= (х+7)²

Решение: 1.Раскроем скобки в правой части уравнения, используя формулы сокращенного умножения, получим: 2х²+3х+37= х²+14х+49;

2.Соберем все слагаемые в левую часть уравнения:

2х²+3х+37− х²−14х−49=0;

3.Приведем подобные:

х²−11х−12 =0;

4.Решим квадратное уравнение:

D= == 121+48 = 169.

Вычислим корни уравнения: ;

х₁= 12;    х₂= −  

Ответ: х₁= 12;    х₂= −  

Виды тождественных преобразований:

Приведение подобных членов

Определение:Подобными членами выражения называются члены, имеющие одинаковые буквенные части и отличающиеся только коэффициентами.

Пример 5: а) 7а + 3b — 15a = -8а + 3b;

б) (16:2 + 2)a — 4a + 14 = 6a + 14.

Приведение подобных слагаемых в буквенных выражениях, если не дано числовое значение букв, является единственным способом упростить выражение.

Если дано буквенное выражение и его надо вычислить, то, до того как подставить значения букв в условие, надо упростить выражение, в том числе — привести подобные слагаемые, а потом выполнить подстановку численного значения букв.

Пример 6: Вычислите значение выражения:

a³ + a² + b² — 2a³ — b, еслиa = 2 иb = 3.

Решение:Упростим прежде заданное выражение:
a³ + a² + b² — 2a³ — b = a² + b² — a³ — b = 2² + 3² — 2³ -3 = 4 + 9 — 8 −3 = 2.

Пример 7: Найти значение выражения:

при b=345.

Решение:=

Приведем во второй скобке выражение к общему знаменателю:

= =

=,

выполним сокращения, получим: 14+b−13=1+b.

При b=345 , 1+345=346.

Ответ: 346.

2

Раскрытие скобок − важная тема в математике, поэтому необходимо правильно уметь выполнять эти действия.

Рассмотрим случаи:

1) Раскрыть скобки, перед которыми стоит знак плюс (+).На самом деле, здесь все очень просто, т.к. можно просто переписать то же выражение, но уже без скобок:

а + ( b + с)   =   а + b + с. 

2) Если перед скобками стоит знак минус (−) , то нужно также переписать все выражение без скобок, но при этом сменить знаки перед каждым слагаемым в скобках:

   – ( а + b)  = – a   – b .   

3)Если перед скобками стоит коэффициент, то необходимо коэффициент умножить на каждое слагаемое в скобках.

3(a−1) = 3a−3

Пример 8: Раскрыть скобки:

а) 6 − ( b+4) = 6− b −4 = 2− b ;

б) 18 −2(a−4) = 18 −2a+8 = 26 – 2a;

в) 1 +7(a−1) = 1+7a−7 = 7a– 6

г) = =

= =15 − = 15 −30 = −15

3

Вынесение общего множителя за скобки:тождественное преобразование, в результате которого многочлен  приводится к произведению нескольких множителей, называют  разложением многочлена на множители. 

Пример8:

1) 2x ² + 2x = 2x • x + 2x • 1 =  2x (x + 1); 

2) 16x³y – 12x² = 4x²•4xy – 4x²•3= 4x²(4xy–3).

Пример 9. Упростите выражение: .

Решение. Преобразуем первую дробь. В числителе вынесем множитель 3 за скобки и разложим знаменатель по формуле:

.

Преобразуем вторую дробь. В числителе вынесем множитель 5 за скобки и применим к знаменателю формулу, получим:

.

Подставим полученные результаты в выражение:

: = ∙ =.

Ответ:   

Пример 10.  Упростите выражение: .

Решение. Применим к числителю, а к знаменателю формулы (так как x² - 1 = x² - 1²) и выполним необходимые сокращения:

= : =

= = .

Ответ:   .

Задания для самостоятельной работы:

№1. Представить в виде многочленаприменив формулу сокращенного умножения:

№2.Разложить на множители:

16 – 24y + 9y²

№3. Вычислить:

№4. Решить уравнения:

№5. Решить неравенство:

2х²+14х−20 > (х−6)²

№6.Найти значение выражения:

при a=36,7

№7. Упростить выражение:

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

()∙

11)

12)(): ().

Внеаудиторная самостоятельная работа № 7

Тема: Решение систем уравнений.

Системой уравнений называется два и более уравнения с несколькими неизвестными.

В школьном курсе в основном встречаются с системами двух уравнений с двумя неизвестными, например:

Решить систему уравнений – это значит найти множество её решений. Решение системы представляет собой набор значений всех входящих в неё переменных,который обращает каждое уравнение системы в верное равенство.

В системами двух уравнений с двумя неизвестными

решением будет являться пара (х;у).

Кроме того, система может быть несовместной(не иметь решений).

Методы решения систем уравнения.
Существуетдва способа решения систем уравнений:

Ι. Решение системы методом подстановки.
ΙΙ. Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы.

Метод подстановки является универсальным, с помощью этого метода всегда можно решить любую систему уравнений.

Для решения системы уравнений методом подстановки нужно следовать алгоритму:
1. Выражаем(из любого уравнения выражаем одну переменную через другую);
2. Подставляем (подставляем в другое уравнение вместо выраженной переменной, полученное выражение);
3. Решаем полученное уравнение с одной переменной, находим значение этой переменной;

4. Находим значение второй переменной через первую;

5.Записываем решение системы парой чисел (х;у).

Пример 1:Решить систему уравнений:

Решение системы уравнений методом подстановки:

2x+5y=1 (1 уравнение)
x-10y=3 (2 уравнение)

1. Выражаем:
Видно что во втором уравнении имеется переменная x с коэффициентом 1,отсюда получается что легче всего выразить переменную x из второго уравнения: x=3+10y;

2.После того как выразили подставляем в первое уравнение 3+10y вместо переменной x, получаем уравнение с одной неизвестной у: 2(3+10y)+5y=1

3.Решаем полученное уравнение с одной переменной.
2(3+10y)+5y=1 (раскрываем скобки)
6+20y+5y=1
25y=1−6
25y=−5 |: (25)
y= −
y= − 0,2.

Найдем x подставив y= − 0,2 во второе преобразованное в начале решения уравнение x=3+10y, получим:

x=3+10∙ (−0,2)=3−2=1.

Решением системы будет являться пара (х;у), т.е.(1; − 0,2).

Ответ: (1; − 0,2).

Чтобы решить систему методом почленного сложения (вычитания) нужноследовать алгоритму:
1.Выбрать переменную у которой будем делать одинаковые коэффициенты;
2.Складываем или вычитаем уравнения, в итоге получаем уравнение с одной переменной;
3. Решаем полученное линейное уравнение, находим одну из переменных;

4.Находим значение второй переменной через первую;

5.Записываем решение системыпарой чисел (х;у).

Пример 2:Решить систему уравнений:

Решение системы уравнений методом сложения:

3x−2y=1 (1 уравнение)
2x−3y= −10 (2 уравнение)

1.Выбираем переменную, допустим, выбираем x. В первом уравнении у переменной x коэффициент 3, во втором 2. Нужно сделать коэффициенты одинаковыми, для этого мы имеем право домножитькаждое уравнение или поделить на любое число. Первое уравнение домножаем на 2, а второе на 3 и получим два новых уравнения в каждом из которых при х одиннаковый коэффициент 6:

3x−2y=1 |*2
6x−4y=2

2 уравнение:

2x−3y= −10 |*3
6x−9y= −30

2.Из первого уравнения вычтем второе, чтобы избавиться от переменной x:
__6x−4y=2
   6х−9у=−30
6х−6х−4y+9y=2+30

5y=32

Решаем линейное уравнение: 5y=32 | :5
y=6,4.

3.Находим x. Подставляем в любое из уравнений полученное значение y=6,4, допустим в первое уравнение:3x-2y=1. Получим:
3x−2∙6,4=1
3x−12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Ответ: (4,6; 6,4)

Задания для самостоятельной работы:

№ 1. Решить систему уравнений:

а) х + у = 2

х −2 у = −8

б) 5х +4 у = −4

−3х −2у = 2

в) 4х –2 у = −9

3х−3 у = −6

г) 2 х – 3у = 11

5х + у = 2

д) 2х – у = 13

2х + 3у = 9

е) 3х – у = - 10

х ² + у = 10

ж) х + у = 2

х∙у = −15

з) х – у = 4

х∙у = 12

и) − х +у = 3

у∙х = 10

№ 2. Решить систему уравнений:

а) х² – 3у = - 9

у + х = 3

б) у = х²

х− у = −6

в) 3х – у = − 10

х ² + у = 10

г) у – х = 2

у ² + 4х = 13

д) х – у = - 6

ху = 40

е) х² – 3у = −9

у + х = 3

ж) у – х = 2

у ² + 4х = 13

з) х – у = - 6

ху = 40

и) х + у =8

ху = 12

Внеаудиторная самостоятельная работа № 8

Тема: Решение систем неравенств.

Система неравенств состоит из нескольких неравенств с одной переменной. Эти неравенства объединяются фигурной скобкой.

Значение переменной, при котором каждое из неравенств системы становится верным числовым неравенством, называют решением системы неравенств. Как правило решением системы неравенств является числовой промежуток.

Пример 1:Решить систему неравенств:

2x−1>3

3x−2<11    

Решение:1. Решив первое неравенство, получаем 2x>4|:2⟺х>2; 

2.Решив второе неравенство, получаем 3x<13|:3⟺x< ⟺ х< 4 ; 

3.Полученные промежутки отметим на оси координат. Для первого неравенства возьмём штриховку сверху; для второго неравенства возьмём штриховку снизу.

 4. Решение системы уравнений, это пересечение штриховок, т.е. промежуток, на котором штриховки совпадают.В данном случае получаем хϵ(2;4). 

Ответ: хϵ(2;4). 

№ 1. Решить систему неравенств:

а) х > 4

−3х ≤ 3

б) −х < − 4

−2х < 5

в) 2х ≥ − 2

− 4 х < 4

г) 2х ≥ − 6

х > 4

д) 2х−12 > 0

3х < 9

е) х−0,8 >0

−5 х < 10

№ 2. Решить систему неравенств:

а) 1 – 6 х 10

5х - 7 х - 7

б) х - 1 2 + 3х

5х - 7 х + 9

в) 10х –1 ≤ 2

4 - х ≤2 х + 1

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

к)

л)

Литература:

1. Дроби Рекомендуемые для чтения сайт: http://compendium.su/mathematics/mathematics5/index.html (глава 8)

http://www.metodkopilka.com/article.aspx?menuID=6&SubMenuID=23&id=177&SubID=24